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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

FERRAMENTAS DA ASTROESTATÍSTICA PARA OESTUDO DA VELOCIDADE RADIAL ESTELAR

MÁRCIO ASSUNÇÃO TEIXEIRA

NATAL-RN

JULHO 2016

MÁRCIO ASSUNÇÃO TEIXEIRA

FERRAMENTAS DA ASTROESTATÍSTICA PARA OESTUDO DA VELOCIDADE RADIAL ESTELAR

Dissertação de Mestrado apresentada ao programa de pós-

graduação em Física do Departamento de Física Teórica e expe-

rimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como

requisito parcial para obtenção do grau de mestre em Física.

Orientador: Daniel Brito de Freitas

NATAL-RN

2016

À todos que me fizeram chegar até aqui

ii

AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente, à minha família, por todo o incentivo e apoio durante o mes-

trado. À minha namorada, que esteve comigo durante as fases difíceis e de frustração. A todos os

amigos do departamento, que sempre estiveram comigo, que compartilharam todas as dificuldades

enfrentadas e que me ajudaram nos momentos difíceis. Ao meu orientador, Daniel, por ter me dado

a orientação, durante esse período do mestrado, necessária para o meu desenvolvimento como pes-

quisador e preparação para um futuro doutorado, aprendizado que levarei comigo por toda minha

vida acadêmica e profissional. A todos os professores que fizeram parte da minha formação, de

forma direta ou indireta, por terem me dado o conhecimento necessário para a minha formação,

tanto como estudante, quanto como futuro profissional. Por fim, agradeço ao CNPq, pelo apoio

financeiro, através da concessão da bolsa de Mestrado, que permitiu a realização desse trabalho.

iii

“There are an infinite number of worlds, some like this world, others unlike it” .

Epicurus

iv

Ferramentas da Astroestatística para o estudo da velocidade radialestelar

por

Márcio Assunção Teixeira

RESUMO

O método da velocidade radial estelar é usada desde as descobertas dos primeiros exo-

planetas. Esse método tem se mostrado bem sucedido na obtenção dos parâmetros orbitais dos

exoplanetas, como, por exemplo, a excentricidade da órbita, o período de translação, a relação de

massa do planeta, a distância do periastro, entre outros. A análise dos dados de velocidade radial

contém vários problemas, devido a sua função matemática ser altamente não-linear e multimodal.

Para a inferência desses parâmetros, métodos estatísticos adequados são necessários na análise dos

dados.

Nesse trabalho, desenvolvemos algoritmos que nos permite realizar inferências estatísti-

cas. Os métodos de inferência utilizados são o método do χ2 mínimo, o método de Monte Carlo

via cadeia de Markov e o Nested Sampling. Estudamos cada um dos métodos, simulando dados,

com adição de ruído, e aplicando-os em dois casos: na equação linear e para funções senoidais. Por

último, aplicamos os métodos estatísticos para o caso da velocidade radial estelar, fazendo uso de

dados da estrela HD 187085, com o objetivo de determinar a eficácia de tais métodos, comparando

os resultados com os obtidos na literatura.

v

Astrostatistical tools for the study of stellar radial velocity

by

Márcio Assunção Teixeira

ABSTRACT

Stellar radial velocity method has been used since the descovery of the earliest exoplanets.

This method has been very successful in the obtention of exoplanets’ orbital parameters, such

as, for exemple, the orbital eccentricity, the translational period, the planet’s mass relation, the

periastron distance, among others. The analysis of radial velocity data has various problems due

to its mathematical function, that is highly non-linear and multimodal. For parameter inference,

adequated statistical methods are required, in the analysis of these datas.

In this work, the development of algorithms allows the performance of statistical infe-

rence. The inference methods used are the minimum χ2 method, Markov Chain Monte Carlo

method and the Nested Sampling. Each method is studied by simulating data, with noise addition,

and applying these methods to two cases: a linear equation and sinusoidal functions. Finally, the

statistical methods are applied in the case of the stellar radial velocity, by using the HD 187085

star’s data, aiming to determine the efficiency of such methods, by comparing the results with

previously obtained results in literature.

vi

LISTA DE FIGURAS

1.1 Redução do fluxo relativo no método de trânsito planetário . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Orientações das órbitas de exoplanetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Desvio do espectro luminoso de uma estrela devido a presença de um planeta . . . 5

1.4 Esquematização dos métodos de detecção de planetas . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Caracteristicas de uma órbita elíptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Caracteristicas de uma órbita em três dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Curvas de velocidade para e = 0, 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Curvas de velocidade para e = 0, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Curvas de velocidade para e = 0, 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Exemplo do método do χ2 mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Exemplo do método de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Cadeias Markovianas de parâmetros orbitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Distribuição posteriori de parâmetros orbitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Algoritmo de Metropolis-Hastings em conjunto com o Amostrador de Gibbs . . . . 40

vii

3.6 Evidência em termos da likelihood e da massa cumulativa a priori . . . . . . . . . 42

3.7 Contorno de likelihood no Nested Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8 Nested Sampling para sistema multi-planetários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1 Simulação do teste do χ2 mínimo com ruído uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Simulação do teste do χ2 mínimo com ruído gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Melhor ajuste através do MCMC para prioris uniformes . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Cadeias Markovianas e distribuição posteriori para equação linear - caso 1 . . . . . 51

4.5 Melhor ajuste através do MCMC para diferentes priori . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.6 Cadeias Markovianas e distribuição posteriori para equação linear - caso 2 . . . . . 53

4.7 Melhor ajuste através do Nested Sampling para diferentes priori . . . . . . . . . . 55

4.8 Melhor ajuste através do Nested Sampling para priori gaussiana . . . . . . . . . . 55

4.9 Curva de melhor ajuste da função seno através do χ2 mínimo . . . . . . . . . . . . 57

4.10 Curva de melhor ajuste da soma de cossenos através do χ2 mínimo . . . . . . . . . 57

4.11 Curva de melhor ajuste da função seno através do MCMC . . . . . . . . . . . . . 58

4.12 Cadeias de Markov e distribuições posteriori para a função seno . . . . . . . . . . 59

4.13 Curva de melhor ajuste da soma de cossenos para análise MCMC . . . . . . . . . . 60

4.14 Cadeias de Markov e distribuições posteriori para a soma de cossenos . . . . . . . 61

4.15 Melhor ajuste pelo método Nested Sampling para função seno . . . . . . . . . . . 62

4.16 Melhor ajuste pelo método Nested Sampling para a soma de cossenos . . . . . . . 63

4.17 Curva de velocidade radial obtido por Balan & Lahav . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.18 Curva de velocidade radial no melhor ajuste dos parâmetros - Simulado . . . . . . 66

4.19 Curva de velocidade radial no melhor ajuste dos parâmetros para HD 187085 atra-

vés do χ2 mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

viii

4.20 Cadeias Markovianas e distribuições posterioris para HD 187085 pelo método MCMC 69

4.21 Curva de velocidade radial, através do MCMC, para HD 187085 . . . . . . . . . . 71

4.22 Curva de velocidade radial, através do Nested Sampling, para HD 187085 . . . . . 72

ix

LISTA DE TABELAS

2.1 Influência de diferentes companheiras em uma estrela M2 . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1 Comparação entre os melhores ajustes para ruído uniforme . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Comparação entre os melhores ajustes para ruído gaussiano . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Distribuições a priori dos parâmetros orbitais para o método MCMC. . . . . . . . . 68

4.4 Melhor ajuste dos parâmetros orbitais obtidos por Balan & Lahav (2008b) . . . . . 70

4.5 Melhor ajuste dos parâmetros orbitais obtidos para HD 187085 através do MCMC . 70

4.6 Melhor ajuste dos parâmetros orbitais obtidos para HD 187085 através do Nested

Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.7 Comparação entre os melhores ajustes dos parâmetros orbitais obtidos para HD

187085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

x

SUMÁRIO

Resumo v

Abstract vi

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas x

1 Introdução 1

1.1 Principais técnicas de detecção de exoplanetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Trânsito planetário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Velocidade radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Outros métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Motivações e objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Velocidade radial como forma de detectar exoplanetas 11

2.1 Órbitas elípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

xi

2.2 Velocidade radial e curvas de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Erros das medidas e ruídos astrofísicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Métodos estatísticos e inferência 25

3.1 Método da máxima verossimilhança e o método do χ2 mínimo . . . . . . . . . . . 26

3.2 Método do mínimo quadrado não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 O método do máximo declive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.3 Método de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Teorema de Bayes e a inferência Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Método de Monte Carlo via cadeia de Markov (MCMC) . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1 Algoritmo de Metropolis-Hastings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2 Amostrador de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Nested Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Simulações e resultados 46

4.1 Equação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1 Método do χ2 mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.2 Método de Monte Carlo via Cadeia de Markov . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.3 Nested Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Senos e cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56



4.2.3 Nested Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Velocidade radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

xii



4.3.3 Nested Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Conclusões e perspectivas 73

5.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

xiii

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

A detecção de exoplanetas teve início no final da década de 80, com o trabalho de Camp-

bell et al. (1988). Esse trabalho consistiu em analisar dezesseis estrelas, das quais, duas estrelas,

χ1 Orionis A e γ Cephei A, mostravam uma variação na velocidade radial na ordem de alguns

poucos km/s. As outras 14 estrelas não mostravam variações maiores do que 50 m/s. Campbell

et al. (1988) sugeriram que pudessem haver companheiras para χ1 Orionis A e γ Cephei A, po-

rém, não haviam evidências fortes o suficiente para determinar se era, de fato, um planeta ou uma

anã marrom. As companheiras de ambas só foram confirmadas, coincidentemente no mesmo ano,

por König et al. (2002) e Cochran et al. (2002), respectivamente. König et al. (2002) mostraram

uma companheira estelar para χ1 Orionis, com massa estimada de 15% a massa do Sol. Enquanto

que Cochran et al. (2002) confirmou um planeta orbitando γ Cephei A, com massa mínima de

1, 60± 0, 13 massas de Júpiter.

Uma vez que o trabalho de Campbell et al. (1988) não tinha evidências forte o suficiente

para confirmar a existência de uma companheira planetária, a descoberta do primeiro exoplaneta

é atribuída ao trabalho de Wolszczan & Frail (1992). Os resultados desse trabalho mostraram,

com medidas realizadas através do radiotelescópio de Arecibo, a existência de um sistema de,

no mínimo, dois planetas, orbitando o pulsar PSR B1957+12. Através do método pulsar timing,

foi detectado um “bamboleio” de ±0, 7m.s−1, causado pelo movimento orbital dos planetas, o

1

Capítulo 1. Introdução 2

que levou as suas detecções. Em 1994, um terceiro planeta foi descoberto orbitando o pulsar

(Wolszczan 1994).

O primeiro planeta descoberto orbitando uma estrela da sequência principal foi confirmado

em 1995, por Mayor & Queloz (1995). O planeta em questão tem massa mínima de metade da

massa de Júpiter e orbita a sua estrela, 51 Pegasi, com período aproximado de quatro dias. O

planeta, chamado de 51 Pegasi b, foi descoberto através das medidas de velocidade radial da estrela,

obtidas pelo Observatório de Haute-Provence.

Desde a descoberta dos primeiros exoplanetas, e com o avanço da tecnologia dos telescó-

pios e das ferramentas de análise de dados, vários outros exoplanetas têm sido descobertos e seus

parâmetros orbitais inferidos. Atualmente, mais de 3400 exoplanetas foram descobertos, de acordo

com a Enciclopédia de Planetas Extrassolares12. Desses mais de 3400 exoplanetas, 677 foram des-

cobertos através do método da velocidade radial estelar, 2650 foram detectados através do método

de transito planetário e o restante foi descoberto através de outros métodos, como o de microlentes

gravitacionais ou de imagem direta.

1.1 Principais técnicas de detecção de exoplanetas

Como mostrado, através dos dados da Enciclopédia de Planetas Extrassolares, dos méto-

dos de detecção de planetas, dois se destacam por seus sucessos em detectar exoplanetas e inferir

seus parâmetros orbitais, o método de trânsito planetário e o método da velocidade radial. Nessa

seção, será mostrado os mecanismos por trás de ambos os métodos, que permitem a detecção de

exoplanetas. O método da velocidade radial é o objeto de estudo do trabalho e é detalhado no

capítulo 2.

1A enciclopédia de planetas extrassolares é um catálogo que fornece os mais recentes dados e detecções obtidospor astrônomos profissionais e é usado para facilitar o progresso na exoplanetologia. O catálogo se encontra disponívelonline através do site: http://exoplanet.eu

2Acesso em: 19 de Julho de 2016.

2


1.1.1 Trânsito planetário

O método de trânsito planetário consiste na medição da curva de luz da estrela observada,

isto é, observa-se o fluxo de luz da estrela por um período de tempo. A presença de um planeta,

orbitando tal estrela, irá fazer com que, no intervalo de tempo em que o planeta esteja passando

“em frente” a estrela, em relação a um observador aqui na Terra, observa-se uma queda no fluxo

relativo da estrela, devido a esse eclipse causado pelo planeta, como exemplificado na figura 1.1.

Essa diminuição do fluxo relativo, se observado sempre após os mesmos intervalos de tempo, pode

indicar que haja um planeta orbitando aquela estrela, com período orbital igual ao período entre

essas diminuições do fluxo. Esse método exige que o sistema estrela-planeta observado tenham

órbitas alinhadas, de tal forma que visto da Terra, o planeta possa eclipsar a estrela. A figura 1.2

ilustra dois casos em que a órbita está alinhada e dois casos em que a órbita do planeta é de tal forma

que o planeta nunca afetará a curva de luz, tornando impossível a detecção do trânsito planetário.

Figura 1.1: Redução do fluxo relativo no método de trânsito planetário. Exemplos de curvas de luz,em escalas de tempo e fluxo uniformes. Em cada caso, varia-se o tamanho da estrela e do planeta,para ilustrar o efeito causado em termos das dimensões dos objetos. A trajetória dos planetas sãomostrados pelas linhas pontilhadas. O eixo horizontal representa o tempo, em horas, e o eixovertical representa o fluxo relativo ou o raio dos objetos. (Perryman 2011)

3


Figura 1.2: Orientações das órbitas de exoplanetas. Nos dois casos acima, temos casos em que otrânsito planetário afetará a curva de luz da estrela, sendo possível a detecção do planeta. Nos doiscasos abaixo, é impossível a detecção dos planetas através do método de trânsito planetário, devidoao não alinhamento da órbita, em relação ao observador. A seta, em cada figura, mostra a direçãoda órbita. (Imagem retirada do “Las Cumbres Observatory Global Telescope Network”, acessívelatravés do site: https://lcogt.net)

O método de trânsito planetário pode ser utilizado para obter informações que não são

possíveis em outros métodos. A massa do planeta, obtida através do método de velocidade radial,

depende do ângulo de inclinação da órbita, de modo que é inferido uma massa mínima. No trânsito

planetário, é possível determinar esse ângulo de inclinação da órbita. A composição da atmosfera

do planeta também pode ser estudado através desse método. No período em que o planeta está

passando em frente a estrela, a luz da estrela atravessará a atmosfera do planeta, em que uma parte

dessa luz será absorvida. Conhecendo o espectro da estrela, pode-se comparar os dados espectrais

da luz antes e durante o trânsito, assim inferindo a composição atmosférica do planeta (Perryman

2011).

Os instrumentos utilizados nas medições de curva de luz são tanto telescópios terrestres,

quanto observatórios espaciais. Dos telescópios terrestres, podemos destacar HATNet (Hungarian

Automated Telescope Network), que descobriu, até a presente data, mais de 29 exoplanetas, e o

WASP (Wide Angle Search for Planets), que detectou mais de 100 exoplanetas. Dos observatórios

espaciais, o CoRoT (Baglin et al. 2006), não mais em funcionamento, conseguiu encontrar 31

exoplanetas, e o Kepler (Borucki et al. 2010), da NASA, conta com 2327 exoplanetas confirmados3.3Dados do Kepler fora retirados do site da NASA, disponível em: http://kepler.nasa.gov . Acesso em: 19 de Julho

4


1.1.2 Velocidade radial

Dois corpos orbitantes, em que a única interação entre eles é dada pela gravidade, irão or-

bitar o centro de massa do sistema. No caso de um sistema estrela-planeta, o movimento da estrela

em torno do centro de massa do sistema pode ser percebido, para um observador na Terra, através

do desvio das linhas espectrais causado por esse movimento. Esse desvio das linhas espectrais pode

ser relacionado à velocidade radial estelar, através da equação do efeito Doppler. Quando a estrela

se aproxima do observador, é detectado um desvio para o azul, e quando se afasta do observador, é

detectado um desvio para o vermelho, como ilustra a figura 1.3. A ordem de grandeza da variação

da velocidade radial da estrela está diretamente relacionada à massa do planeta, ou planetas, que

estejam orbitando a estrela, a inclinação da órbita em relação ao observador e da distância que o

planeta se encontra da estrela.

Figura 1.3: Desvio do espectro luminoso de uma estrela devido a presença de um planeta. A linhavermelha representa o desvio do espectro para o vermelho e indica a recessão da estrela. A linhaazul representa o desvio do espectro par o azul e indica a aproximação da estrela. A imagem nãose encontra em escala, em termos de tamanhos e distâncias. (Imagem retirada do Press Kit 005 doESO. Disponível no site: https://www.eso.org)

Diferentemente do método de trânsito planetário, a velocidade radial tem uma limitação

quanto a inferência de dois parâmetros. A massa do planeta e o semi-eixo maior da órbita não

podem ser inferidos com precisão. O valor inferido é um valor mínimo, dado por M sin i ou a sin i,

de 2016.

5


em que i é a inclinação da órbita. Informações sobre a atmosfera planetária também não podem ser

obtidas através deste método. Em alguns casos, os dois métodos podem ser utilizados para analisar

a mesma estrela, a fim de complementar as limitações de cada um deles e ter valores mais precisos

dos parâmetros, como, por exemplo, o planeta WASP-121 b (Delrez et al. 2014).

Os instrumentos utilizados na obtenção de dados de velocidade radial são telescópios ter-

restres. Os dois telescópios principais, atualmente, devido as precisões de seus resultados, utilizam

um tipo de rede de difração conhecida como “échelle”, em que há uma baixa dispersão. O primeiro

deles, pertencente ao grupo do ESO (European Southern Observatory), o HARPS (High Accuracy

Radial velocity Planet Searcher) (Mayor & Queloz 1995) é um telescópio de 3.6 metros, em funci-

onamento desde 2003. A precisão do HARPS, hoje, consegue medir variações na velocidade radial

da ordem de grandeza de 1 m.s−1. Em 2015, o ESO anunciou a instalação de um pente de frequên-

cia a laser (LFC, do inglês: Laser Frequency Comb), que tem uma precisão nas medidas de poucos

centímetros por segundo, o que permite a detecção de planetas de baixa massa4. O segundo, per-

tencente ao California Association for Research in Astronomy, é o HIRES, no observatório W. M.

Keck (Vogt et al. 1994). O HIRES tem uma precisão também da ordem de grandeza de 1 m.s−1 e

tem sido o telescópio mais bem sucedido na detecção de exoplanetas através da velocidade radial5.

No dia 27 de Janeiro de 2016, o Observatório Keck anunciou o uso de um pente de frequência a

laser, que permitirá medições mais precisas. Uma descrição sobre o pente de frequência e demons-

tração da precisão nas medidas de velocidade radial podem ser encontrados no trabalho de Yi et al.

(2015).6

1.1.3 Outros métodos

Além dos dois métodos explicitados, alguns outros métodos se mostraram bem sucedidos

na detecção de exoplanetas. Porém, esses métodos não são tão eficazes quanto os métodos de

trânsito planetário e velocidade radial. Cada um desses métodos detectou menos de cem planetas,

até a presente data desse trabalho. Alguns desses outros métodos são:

4Informação retirada do site do ESO, disponível em: https://www.eso.org . Acesso em: 19 de Julho de 2016.5Enciclopédia de Planetas Extrassolares. Acesso em: Acesso em: 19 de Julho de 2016.6Informações sobre o HIRES retirado do site do Observatório Keck, disponível em:

http://www.keckobservatory.org . Acesso em: 19 de Julho de 2016.

6


• Microlentes gravitacionais: Ocorre quando a luz de uma estrela mais distante atravessa

o campo gravitacional de um sistema estrela-planeta. O campo gravitacional do sistema

estrela-planeta funcionará como uma lente, convergindo a luz da estrela distante. Essa con-

vergência é maior para um sistema estrela-planeta do que se não houvesse nenhum planeta,

permitindo que o planeta possa ser detectado. Porém, esse método exige que as estrelas es-

tejam praticamente alinhadas, para que ocorra o fenômeno de lente, fazendo com que apenas

ocorra em um pequeno intervalo de tempo. A Enciclopédia de Planetas Extrassolares regis-

trou 48 exoplanetas descobertos através das microlentes gravitacionais (Acesso em: 19 de

Julho de 2016).

• Pulsar Timing: Um pulsar é uma estrela de nêutrons que emite ondas de radio periodica-

mente devido a sua rotação. Por causa da regularidade da rotação de um pulsar, pequenas

anomalias no tempo de observação dos pulsos de onda de rádio podem ser relacionadas com

o movimento do pulsar. Se um ou mais planetas orbitam um pulsar, o movimento do pulsar

em torno do centro de massa do sistema pode ser detectado, permitindo, assim, a detecção

dos planetas. Esse foi o método utilizado por Wolszczan & Frail (1992) na descoberta do

primeiro exoplaneta detectado. A Enciclopédia de Planetas Extrassolares registrou 23 exo-

planetas descobertos através do Pulsar Timing (Acesso em: 19 de Julho de 2016).

• Transit Timing Variation (TTV): Esse método consiste em considerar se, quando ocorre um

trânsito planetário, o período do trânsito é regular ou sofre alguma variação. Se um planeta

foi detectado através do método de trânsito planetário, uma variação na periodicidade desse

trânsito pode indicar que existam outros planetas, em que os seus trânsitos não passam “na

frente” da estrela e, portanto, seria impossível de ser detectado através apenas do método de

trânsito planetário. A desvantagem desse método é a falta de informações sobre o planeta

descoberto. Podendo ser inferido um valor máximo de massa ou se o objeto tem uma massa

planetária. A Enciclopédia de Planetas Extrassolares registrou 7 exoplanetas descobertos

através do método TTV (Acesso em: 19 de Julho de 2016).

• Imagem direta: Todos os métodos citados anteriormente se baseiam na detecção indireta de

exoplanetas. O método de imagem direta se baseia na luz refletida pelo planeta, no visível, ou

através da emissão térmica do planeta, no infravermelho. A detecção através da observação

7


da luz diretamente, no visível, nem sempre é possível, uma vez que a intensidade da luz

refletida pelo planeta é muito baixa e tende a se “perder” antes de poder ser observada aqui

na Terra. Esse método tem a vantagem de que por ser direto, tem uma confiabilidade maior

nos seus resultados, e é um método menos extensivo do que os métodos de velocidade radial

ou trânsito planetário. A Enciclopédia de Planetas Extrassolares registrou 70 exoplanetas

descobertos através do método de imagem direta (Acesso em: 19 de Julho de 2016).

A figura 1.4 mostra uma esquematização dos métodos de detecção e o número de planetas

detectado por cada método, com os dados do ano de 2015. No lado esquerdo, se encontra os

métodos de efeitos dinâmicos, a velocidade radial e o Timing. No centro se encontra o método de

microlentes gravitacionais. E, na direita, se encontra a fotometria, que, nele, se encontra o método

de trânsito planetário.

Figura 1.4: Esquematização dos métodos de detecção de planetas, no ano de 2015. Cada linha nahorizontal representa a massa dos planetas que os métodos conseguem detectar. A linha contínuarepresenta métodos já existentes. A linha pontilhada representa uma projeção, para 10-20 anos nofuturo. As setas pretas representam descobertas, junto com o número de planetas descobertos. Setasbrancas indicam descobertas que ainda carecem de confirmação ou maiores evidências. Imagemretirada da Enciclopédia de Planetas Extrassolares.

.

8


1.2 Motivações e objetivos

Com o avanço tecnológico dos instrumentos de medição, surge cada vez mais um maior

número de dados. Esse crescente número de dados necessitam de uma análise mais detalhada,

feitas através de ferramentas estatísticas robustas, capazes de nos dar resultados confiáveis. A

análise de grande número de dados, também conhecido como mineração de dados, tem sido a nova

tendência na astrofísica. Para tais análises, o uso de recursos computacionais é imprescindível,

sendo desenvolvidos algoritmos e softwares eficientes para esse propósito.

Os avanços nos telescópios também permitiram uma precisão maior nas medidas, de tal

forma que, atualmente, podemos obter medidas de velocidade radial da ordem de grandeza de

poucos centímetros. Esses dados mais precisos são da mesma ordem de grandeza dos ruídos as-

trofísicos, de modo que dificulta a detecção de um exoplaneta e a inferência de seus parâmetros

orbitais. Assim, um método estatístico avançado não é somente importante, mas é necessário para

a análise correta dos dados de velocidade radial.

O estudo da astroestatística7 nos permite o desenvolvimento de ferramentas estatísticas e

computacionais para, no escopo desse trabalho, a análise de dados de velocidade radial. Trabalhos

recentes na detecção de exoplanetas e inferências de parâmetros orbitais de tais exoplanetas foram

utilizados como motivação de se utilizar determinados métodos estatísticos nas análises realizadas

neste trabalho, como, por exemplo, Balan & Lahav (2008a), que traz uma análise feita através do

método MCMC, e Feroz et al. (2011), em que os resultados são obtidos através do método Nested

Sampling. Outros trabalhos, de viés mais estatísticos, inclui Feroz & Skilling (2013), que mostra

como analisar, através do método Nested Sampling, problemas com distribuições multimodais, e

Andreon & Weaver (2015), um livro com uma descrição completa sobre métodos Bayesianos, com

aplicações na física.

Assim, no estudo da velocidade radial estelar, através de ferramentas estatísticas, temos

como objetivos:

• Descrição física e modulação matemática da velocidade radial estelar, explicitando sua de-

pendência com os parâmetros orbitais;

7A astroestatística é uma área cujo objetivo é o uso da estatística inserida nos problemas da astrofísica

9


• Estudo breve das fontes de erros e ruídos nas medidas;

• Estudo de diferentes ferramentas estatísticas para a inferência de parâmetros e os casos em

que funcionam;

• Desenvolvimento de ferramentas computacionais para a simulação e análise de dados, utili-

zando os métodos estatísticos estudados;

• Realizar simulações de dados, com acréscimo de ruído aleatório, para o teste das ferramentas

estatísticas e computacionais na inferência de parâmetros;

• Utilizar as ferramentas desenvolvidas para um conjunto de dados reais de velocidade radial,

a fim de inferir sobre os parâmetros orbitais e comparar os resultados com os da literatura.

No Capítulo 2, faremos um estudo da velocidade radial estelar, sua relação com os parâ-

metros orbitais do planeta e a questão dos ruídos nas medidas. No Capítulo 3, demonstraremos os

modelos e métodos estatísticos que podem ser utilizados na inferência de parâmetros, explicitando

suas características, vantagens e desvantagens. No Capítulo 4, serão feitas simulações para o teste e

análise de três dos métodos estatísticos estudados no capítulo 3, o método do χ2 mínimo, o MCMC

e o Nested Sampling. Ainda no capítulo 4, utilizaremos esses métodos estatísticos para a análise de

dados reais, no caso da velocidade radial estelar, em que comparamos os resultados com aqueles já

obtidos na literatura. No Capítulo 5, temos a conclusão e perspectivas futuras para esse trabalho.

10

CAPÍTULO 2

VELOCIDADE RADIAL COMO FORMA DE DETECTAR

EXOPLANETAS

A detecção por velocidade radial consiste em analisar a variação da velocidade radial da

estrela, devido a uma perturbação nela. Essa perturbação pode ser dada por uma companheira

binária ou por um ou mais planetas. A presença de planetas ou de uma companheira binária faz

com que a estrela orbite o centro de massa do sistema. Isto leva a uma variação da velocidade

radial, que é perceptível através do desvio causado nas linhas espectrais destas estrelas, devido ao

efeito Doppler (Kepler & Saraiva 2014).

Através das medidas de velocidade radial, do modelo matemático e de uma análise esta-

tística apropriada, podemos inferir sobre os parâmetros orbitais dos planetas, tais como a excentri-

cidade da órbita ou o período de translação, por exemplo.

Neste capítulo, iremos estudar sistemas planetários, as leis que regem e como detectar

exoplanetas. Inicialmente, abordaremos as órbitas elípticas, desenvolvendo um modelo físico e

matemático de um sistema planetário, explicitando os parâmetros orbitais. Em seguida, iremos

modelar matematicamente a velocidade radial de uma estrela, mostrando os casos para um ou mais

planetas e como a velocidade radial tem sido modelada nos testes estatísticos que se mostraram bem

sucedidos na detecção de exoplanetas. Por último, será detalhada a natureza dos erros e incertezas

associadas as medidas, que são devido ao movimento e ao referencial, e os ruídos astrofísicos, que

11

Capítulo 2. Velocidade radial como forma de detectar exoplanetas 12

surgem da atividade estelar.

2.1 Órbitas elípticas

Um planeta orbitando uma estrela terá sua órbita descrita por uma elipse, em acordo com

a primeira lei de Kepler, que diz que a órbita de um planeta será uma elipse, com a estrela em um

dos seus focos1 . O efeito gravitacional do planeta na estrela também faz com que a estrela orbite,

numa elipse, o centro de massa do sistema estrela-planeta.

A elipse tem um conjunto de propriedades que servem de base matemática para a descrição

das órbitas. Iremos listar as propriedades mais importantes para o desenvolvimento do trabalho:

1. Em qualquer ponto da curva, a soma das distâncias desse ponto aos dois focos é constante e

será igual a 2a, em que a é o semi-eixo maior.

2. Quanto maior a distância entre dois focos, maior é a excentricidade, e, da elipse. A equação

da excentricidade pode ser dada por

e =

√a2 − b2a2

, (2.1)

em que b é o semi-eixo menor.

3. Se considerarmos um dos focos ocupado por um estrela, o ponto da órbita mais próximo

desse foco será chamado de periastro, e o ponto mais distante será chamado de apoastro. A

distância do periastro e do apoastro até a estrela são dadas, respectivamente, por

q = a(1− e) , (2.2)

e

Q = a(1 + e) . (2.3)

4. Equação da elipse em coordenadas polares: Considerando um ponto P (r, ν) sobre a elipse (o

1O livro "Astronomia & Astrofísica"(Kepler & Saraiva 2014) traz uma descrição completa das leis de Kepler.

12


ponto onde se encontra o planeta, na figura 2.1), em que ν é chamada de anomalia verdadeira

(que equivale ao ângulo θ, nas coordenadas polares) . Pela lei dos cossenos, temos que

r21 = r2 + (2ae)2 + 2r(2ae) cos ν . (2.4)

Da primeira propriedade, sabemos que r1 + r = 2a. Assim, a equação 2.4 se torna

r =a(1 + e2)

(1 + e cos ν). (2.5)

Esta equação nos dá a distância do foco em que se encontra a estrela até um ponto qualquer

na órbita.

A figura 2.1 ilustra uma órbita planetária com uma estrela em um dos focos. A imagem

mostra também os parâmetros trabalhados até então, tanto no sistema de coordenadas cartesiano,

em que a origem é dada no centro da elipse (e temos os ponto (a, 0) e (0, b)), quanto no sistema de

coordenadas polares, em que a origem é dada no foco F1 (e temos o vetor r até o planeta e o ângulo

ν).

Figura 2.1: Caracteristicas de uma órbita elíptica. Os pontos da órbita podem ser descritos tanto emtermos da anomalia verdadeira (em relação a elipse), ν, quanto da anomalia excêntrica (em relaçãoao círculo auxiliar), E (Perryman 2011).

13


Vários ângulos no plano orbital, chamados de "anomalias", são utilizados para descrever

a posição de um planeta ao longo de sua órbita, em um tempo específico (Dvorak 2008).

A anomalia verdadeira, ν(t), também denotado por f(t), é o ângulo entre a direção do

periastro e a posição atual do planeta. Esse é o ângulo normalmente utilizado para caracterizar uma

órbita observacional.

A anomalia excêntrica, E(t), é um ângulo entre a direção do periastro e um ponto acima

do planeta, no círculo auxiliar. A anomalia verdadeira e a anomalia excêntrica se relacionam através

das equações:

cos ν(t) =cosE(t)− e

1− e cosE(t), (2.6)

ou

tanν(t)

2=

(1 + e

1− e

)1/2

tanE(t)

2. (2.7)

A anomalia média, M(t), é um ângulo relacionado a um movimento médio fictício em

torno da órbita, usado para calcular a anomalia verdadeira. Em uma órbita completa, na qual o

planeta (ou estrela) real não se move numa velocidade angular constante, uma taxa média pode ser

especificada em termos do movimento médio, tal que

n = 2π/P , (2.8)

em que P é o período orbital. A anomalia média, num tempo t− tp, após a passagem pelo periastro

é definida como

M(t) =2π

P(t− tp) ≡ n(t− tp) , (2.9)

A anomalia média se relaciona com a anomalia excêntrica pela equação:

M(t) = E(t)− e sinE(t) . (2.10)

A equação 2.10 não possui solução analítica, sendo necessário o uso de computação numérica para

encontrar uma solução. Alguns métodos computacionais para a solução desta equação podem ser

encontrados no trabalho de Murison (2006).

14


Toda a descrição, até esse ponto, tem sido feita levando em consideração um sistema em

duas dimensões. Ao generalizarmos para três dimensões, alguns novos parâmetros surgem, como

ilustrados na figura 2.2. Esses parâmetros são ângulos usados para representar a projeção da órbita

verdadeira na órbita observada. Eles dependem apenas da orientação do observador em relação a

orbita (Perryman 2011).

Figura 2.2: A generalização da órbita para três dimensões causa uma dependência maior no ângulodo observador. Isso faz com que surjam três novos parâmetros (i,Ω, e ω) para a descrição completada órbita. i é a inclinação do plano orbital. Ω define a longitude do nodo ascendente (medido noplano de referência). ω é o ângulo do nodo ascendente até o periastro. O plano de referência étangente a esfera celeste (Perryman 2011).

i é a inclinação orbital em relação ao plano de referência, variando entre 0 e 180. O mo-

vimento do planeta é referido como sendo prógrado (na direção do aumento do ângulo da posição)

se i < 90, retrógrado para i > 90 e projetado na linha dos nodos, se i = 90. Ω é a longitude

do nodo ascendente, medido no plano de referência, de forma antihorária. ω é o argumento do

periastro. Ele é a coordenada angular do periastro do objeto em relação ao seu nodo ascendente,

medido no plano orbital e na direção do movimento (Chobotov 2002).

Para um sistema de dois corpos, ambos orbitam o centro de massa de forma elíptica, com

o centro de massa nos focos das elipses. Para cada um dos corpos, a terceira lei de Kepler é dada

15


por

P 2 =4π2

GMa3 , (2.11)

em que M e a, respectivamente a massa do corpo e o semi-eixo maior da órbita em questão, tem

diferentes valores para cada tipo de órbita medida.

Com a definição dos parâmetros orbitais e de sua significância física e astronômica nos

sistemas estrela-planeta, podemos agora definir a velocidade radial estelar em termos destes parâ-

metros.

2.2 Velocidade radial e curvas de velocidade

As medidas de velocidade radial descrevem o movimento projetado da estrela, ao longo

da linha de visada, enquanto essa orbita o centro de massa do sistema. A medida é feita através de

um desvio Doppler no comprimento de onda das linhas de absorção do espectro da estrela.

Se, no referencial do observador, a fonte luminosa está recedendo com velocidade v em

um ângulo θ relativo a direção do observador à fonte, a variação no comprimento de onda é dada

por

∆λ = λobs − λem , (2.12)

em que λobs e λem são, respectivamente, o comprimento de onda observado e o comprimento de

onda emitido pela fonte. Para v c (sem efeitos relativísticos) e θ π/2, a equação 2.12 toma a

forma

vr = v cos θ ≈(

∆λ

λem

)c, (2.13)

em que c é a velocidade da luz no vácuo. Por convenção, valores positivos indicam recessão,

enquanto que valores negativos indicam que a fonte está se aproximando.

Sabendo como a velocidade radial se relaciona com o desvio nas linhas do espectro, preci-

samos encontrar a relação entre a velocidade radial e os parâmetros orbitais. Considerando a figura

2.2 como uma representação da órbita da estrela em torno do centro de massa, a coordenada z da

16


estrela, ao longo da linha de visão, pode ser obtida por trigonometria e é dada por

z = r(t) sin i sin(ω + ν), (2.14)

em que r(t) é a distância do centro de massa. Derivando z em relação ao tempo, para encontrarmos

a velocidade radial, temos que

vr = z = sin i[r sin(ω + ν) + rν cos(ω + ν)],

ou

vr = K[cos(ω + ν) + e cosω] . (2.15)

K é chamado de semi-amplitude da velocidade radial e é dada por

K ≡ 2π

P

a? sin i

(1− e2)1/2, (2.16)

em que a? é o semi-eixo maior da estrela, em relação ao foco ocupado pelo centro de massa.

Considerando a terceira lei de Kepler, dada pela equação 2.11, mas para o caso da estrela

orbitando o centro de massa, podemos escrevê-la como

P 2 =4π2

GM ′a3? , (2.17)

e M ′ é dado por

M ′ ≡M3

p

(M? +Mp)2, (2.18)

em que Mp é a massa do planeta e M? é a massa da estrela.

As equações 2.16, 2.17 e 2.18 podem ser combinadas em uma expressão alternativa para

K (Cumming et al. 1999)

K =

(2πG

P

)1/3Mp sin i

(M? +Mp)2/31

(1− e2)1/2. (2.19)

Conhecendo a massa da estrela, através do tipo espectral e da classe de luminosidade, por exemplo,

17


podemos então determinar Mp sin i. A massa do planeta sempre estará acompanhada pelo termo

sin i, assim, podemos somente inferir um limite inferior para a massa do planeta (Gregory 2005).

Da mesma forma, a? também não pode ser determinado separadamente. Será inferido o valor de

a? sin i.

Das equações 2.15 e 2.6 - 2.10, vemos que a velocidade radial depende de cinco parâ-

metros livres, que são chamados de parâmetros primários (Balan & Lahav 2008a): K,ω, e, tp e

P . Enquanto que os parâmetros secundários são aqueles obtidos através do valor dos parâmetros

primários: Mp, a?, ap. Alguns trabalhos, como o de Feroz et al. (2011), fazem χ = tp/P um pa-

râmetro primário, fazendo com que tp se tornasse um parâmetro secundário, e inserem um termo

de fase V , que descreve a componente da velocidade radial do centro de massa do sistema relativo

ao centro de massa do sistema solar, fazendo com que o número de parâmetros primários aumente

para seis. A equação, neste caso, se torna

vr = V −K[cos(ω + ν) + e cosω] . (2.20)

Para sistemas com mais de um planeta, as interações gravitacionais planeta-planeta são

ignoradas. Supõe-se apenas a interação de cada planeta com a estrela, de forma independente. A

equação 2.15 pode ser generalizada como

vr =N∑i=1

Ki[cos(ωi + νi) + ei cosωi] , (2.21)

em que N representa o número de planetas no sistema. Assim, teremos um conjunto de 5N (ou

5N + 1, no caso de V estar inserido na equação) parâmetros livres.

Conhecendo os parâmetros livres e com um conjunto de dados das medições da velocidade

radial, os parâmetros podem ser ajustados e ter seu melhor ajuste inferido através de ferramentas

estatísticas. Nos casos de sistemas multi-planetários, pode-se ajustar os parâmetros do planeta com

sinal dominante. Após feito isso, subtrai-se a contribuição deste planeta dos dados observados. O

processo então é repetido até que os sinais significantes de todos os planetas seja analisado. No

capítulo 3, são apresentadas tais ferramentas, de um modo geral, que nos permite analisar os dados.

Alguns métodos que já se mostraram bem-sucedido, e que será apresentado, inclui o algoritmo de

18


Levenberg-Marquardt (Cumming 2004), o método de Monte Carlo via Cadeia de Markov (Balan

& Lahav 2008a) e o Nested Sampling (Feroz et al. 2011).

As figuras 2.3, 2.4 e 2.5 mostram as curvas de velocidade, obtidas através da equação

2.20, ilustrando como a forma da curva irá depender dos parâmetros e e ω, enquanto que os outros

parâmetros influenciam apenas na amplitude e no período das curvas. Podemos ver que a influência

de ω aumenta de acordo com o aumento da excentricidade. Nas figuras, os parâmetros e e ω serão

variados, enquanto os outros serão fixados nos valores: K = 20 m.s−1, P = 1200 dias e χ = 0, 6.

Figura 2.3: Curvas de velocidade para e = 0, 05. Podemos ver que para um baixo valor da excen-tricidade, o ângulo ω não influencia tanto na forma do gráfico.

19


Figura 2.4: Curvas de velocidade para e = 0, 5. Podemos ver uma influência maior de ω na formadas curvas de velocidade.

20


Figura 2.5: Curvas de velocidade para e = 0, 9. O valor alto da excentricidade faz com a curvaapresente essas regiões de rápida queda ou subida.

21


2.3 Erros das medidas e ruídos astrofísicos

A precisão dos instrumentos utilizados são de extrema importância para a detecção de

exoplanetas. Sistemas com planetas de pequena massa terão uma pequena variação na velocidade

radial da estrela. Se o instrumento não for preciso o suficiente, a detecção de tais planetas se

tornam impossíveis. Os dados obtidos através dos telescópios são contaminados por erros. O

erro é algo característico do processo de medição, podendo ter vários fatores que influenciam. Os

erros serão divididos, nesse trabalho, em dois tipos: o erro instrumental, que inclui também o erro

devido a referenciais, e o ruído astrofísico, que é o erro devido a atividade estelar, e que não tem

como ser retirado das medidas. Da mesma forma que planetas de pequena massa causarão uma

pequena variação na velocidade radial, se essa variação for da ordem de grandeza dos erros das

medidas, pode se tornar difícil a detecção deste planeta ou o sinal pode mimicar o sinal de um

planeta. Conhecer a fonte dos erros nos ajuda a fazer uma análise mais precisa dos dados. A tabela

2.1 mostra, para uma típica estrela M2, a influência de uma companheira com diferentes massas e

períodos orbitais. Podemos ver que para uma companheira estelar, a ordem de grandeza da variação

da velocidade radial é muito grande, quando comparada a uma companheira planetária. Enquanto

que para uma companheira com a massa da Terra, a variação é muito pequena e pode até mesmo se

perder no ruído.

M2 3 d 10 d 1 ano1MSol 93km/s 63km/s 19km/s0.08MSol 11km/s 7,5km/s 2,3km/s1MJupiter 140m/s 94m/s 28m/s1MTerra 0.5m/s 0,3m/s 0,09m/s

Tabela 2.1: Influência de diferentes tipos de companheiras para uma típica estrela M2. A primeiracoluna se refere a massa das companheiras e o cabeçalho se refere ao período orbital das mesmas.Fonte: Tabela cedida pelo Astrônomo do ESO, Doutor Cláudio Melo.

A equação 2.13 não considera efeitos relativísticos. Os termos correspondentes a relati-

vidade especial causam uma mudança na velocidade radial na ordem de vários m.s−1. A equação

também omite os efeitos do índice de refração do ar no espectrômetro, nar = 1, 000277 (em con-

dições normais de temperatura e pressão), no qual introduz erros de aproximadamente 1 m.s−1

(Marcy & Butler 1992).

22


O movimento do observador, em torno do centro de massa do Sistema Solar, devido a

rotação e translação da Terra, produz contribuições as medidas. Essas contribuições, variantes no

tempo, podem chegar a até 0, 5 e 30 km.s−1, para o movimento de rotação e de translação, res-

pectivamente. Para detectar a variação na velocidade radial, precisamos utilizar um referencial em

repouso ou em movimento uniforme. Por isso, é comum adotar o centro de massa do Sistema Solar

como referencial. Ajustando os efeitos que perturbam o movimento do sistema, como a influência

gravitacional dos outros planetas do Sistema Solar, os termos residuais podem ser levados a um

valor menor do que 1 m.s−1 (Perryman 2011).

Esses tipos de efeitos, em geral, conseguem ser compensados ou separados do conjunto

de dados finais. Vários telescópios atuais possuem um pipeline que já fazem a análise e retiram

os erros dados por esses efeitos (em geral, relacionados ao movimento e ao próprio instrumento),

como o HARPS, por exemplo, que utiliza um método "Simultaneous Thorium"2 para obtenção de

uma medida precisa da velocidade radial.

O ruído astrofísico (ou ruído estelar) pode ser considerado como sendo a atividade na su-

perfície estelar, oscilações estelares, granulação da superfície, companheiros planetários não iden-

tificados, atividade magnética da estrela ou erros sistemáticos. Todos esses fatores influenciam

no bamboleio (do inglês, jitter) das medidas de velocidade radial. Esses erros são relevantes e é

necessário conhecê-los. Mesmo estrelas com pouca atividade magnética ainda apresentam hetero-

geneidade devido a convecção magnética na superfície. Quando as bolhas de plasma sobem pela

fotosfera, e, portanto, se movem em direção ao observador, elas sofrem um desvio para o azul, e

quando as bolhas dispersam e caem em direção ao interior da estrela, elas sofrem um desvio para o

vermelho. Esse movimento causa uma assimetria nas linhas observadas do espectro. Para estrelas

do tipo Sol, o resultado total dessas variações no espectro causam desvios na velocidade radial da

ordem de dezenas de cm.s−1 (Ceglar et al. 2014).

Os efeitos da oscilação estelar nas medidas do efeito Doppler são geralmente menores do

que os efeitos produzidos por atividade estelar, mas são mais significantes para gigantes e sub-

gigantes. Resultados do HARPS mostraram que integrações de 15 minutos são suficientes para

reduzir esse efeito para menos do que 0, 2 m.s−1 (Mayor & Udry 2008).

2Para mais informações sobre o méotodo: < http://www.eso.org/sci/facilities/lasilla/instruments/harps/overview.html>

23


Apesar dos ruídos astrofísicos não serem possíveis de se retirar das medidas, alguns traba-

lhos, como Balan & Lahav (2008a), mostram uma modelação matemática para os dados, de modo

a levar em consideração os erros. A equação para os dados tem a forma

di = vi + ei + ε , (2.22)

em que di são os dados observados, vi é a velocidade radial teórica dada pela equação 2.15, ei é uma

componente de incerteza, que inclui os ruídos astrofísicos e considera-se que seja normalmente

distribuído, e ε considera qualquer erro ou incerteza que não tenha sido previsto. Esse modelo,

usado, por exemplo, em Balan & Lahav (2008a), Gregory (2005) e Feroz et al. (2011), é bastante

útil na análise Bayesiana3, ao considerar a forma como o erro se distribui. Tuomi et al. (2012)

faz uma extensiva análise dos sinais que aparecem intrínsecos às medidas de velocidade radial

através de comparação de modelos, utilizando estatística Bayesiana, para quantificar o número de

sinais significantes e a magnitude e propriedades do ruído em excesso nos dados, para a estrela HD

10700 (τ Ceti). No trabalho, Tuomi et al. (2012) concluem que junto a um modelo de decaimento

exponencial, o ruído branco4 é o que melhor se ajusta ao ruído dos conjuntos de dados. Ajustando

os parâmetros do ruído, pode-se detectar sinais muito fracos, com amplitude menor do que 1m.s−1.

3A análise Bayesiana, e os métodos estatísticos derivadas dela, serão explorados no próximo capítulo.4O ruído branco é um ruído aleatório que é dado por uma distribuição gaussiana e é não-correlacionado.

24

CAPÍTULO 3

MÉTODOS ESTATÍSTICOS E INFERÊNCIA

A obtenção de dados, a partir das observações e experimentos, nem sempre é o suficiente

para nos dar as informações que queremos extrair. Necessitamos, então, de ferramentas matemá-

ticas que nos permitam analisar estatisticamente o conjunto de dados obtidos, para que possamos

extrair tais informações. Um dos motivos para se utilizar essas ferramentas se dá devido ao fato da

imprecisão ou da interferência nas medidas, que são característicos do processo de medição (Hogg

& Craig 1978). No capítulo anterior, foram mostradas as causas dessas imprecisões no caso da

velocidade radial (os ruídos astrofísicos). A análise estatística, em conjunto com os dados, nos

permite obter informações como, por exemplo, qual modelo teórico explica melhor os dados, qual

conjunto de parâmetros melhor se adequa em comparação aos dados ou quais as distribuições de

probabilidade dos parâmetros ou do modelo, em seus respectivos espaços de valores. No presente

trabalho, focaremos na inferência de parâmetros.

Nesse capítulo, mostraremos alguns métodos e análises estatísticas, e a teoria matemática

por trás delas, explicitando os casos em que funcionam e os casos em que a análise é falha. Co-

meçaremos com modelos mais simples, baseados no mínimo quadrado e máxima verossimilhança,

passando pelo teorema de Bayes e a inferência Bayesiana e, por último, mostrando métodos que se

utilizam da inferência Bayesiana.

25

Capítulo 3. Métodos estatísticos e inferência 26

3.1 Método da máxima verossimilhança e o método do χ2 mí-

nimo

O método da máxima verossimilhança (referida, no resto do trabalho, como “likelihood”)

é um método de inferência de parâmetros, que pode ser aplicado numa grande variedade de proble-

mas estatísticos. O método é baseado na likelihood, isto é, na função de densidade de probabilidade

(ou, para o caso discreto, na massa de probabilidade) vista como uma função dos dados, dado um

conjunto particular de parâmetros do modelo (Rice 2007).

Suponha que as variáveis aleatórias X1, . . . , XN sejam descritas pela mesma função de

densidade de probabilidade f(x1, x2, . . . , xN |θ), em que θ representa o conjunto de parâmetros do

modelo. Se osXi são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), então a probabilidade con-

junta será igual ao produto das densidades marginais, de modo que podemos escrever a likelihood

L(θ) como (Feigelson & Babu 2012)

L(θ) =N∏i=1

f(Xi|θ) . (3.1)

Ao invés de maximizarmos a própria likelihood, é mais fácil maximizar o seu logaritmo

natural. Para uma amostra i.i.d., o log-likelihood é

l(θ) = lnL(θ) =N∑i=1

lnf(Xi|θ) . (3.2)

O método da máxima likelihood, então, irá depender da forma como as variáveis se dis-

tribuem. Cada problema poderá ter uma likelihood diferente, mas se a distribuição for correta para

o problema, maximizar a likelihood nos permitirá inferir sobre os parâmetros. Porém, conforme o

tamanho da amostra de dados vai aumentando, a distribuição amostral da média se aproxima cada

vez mais de uma distribuição normal, de acordo com o teorema do limite central1. Isto é, para

um grande número de dados, podemos aproximar a função de distribuição de probabilidade como

1O teorema do limite central diz que para uma sequência de variáveis aleatórias independentes com a mesmadistribuição, a distribuição pode ser aproximada por uma Gaussiana, no limite em que o tamanho amostral tende ainfinito (Feigelson & Babu 2012)

26


sendo uma gaussiana. Assim, a likelihood pode ser escrita como

L(θ) =N∏i=1

1

σ√

2πexp

[−1

2

(yi − y(xi,θ)

σi

)2], (3.3)

em que yi representa o conjunto de dados, y(xi,θ) representa o modelo teórico para uma determi-

nada grandeza xi (como o tempo, por exemplo) e o conjunto de parâmetros, θ, e σi é o erro relativo

a i-ésima medida.

O método da máxima likelihood é caracterizado por convergir para o verdadeiro valor dos

parâmetros, na medida em que o número N de medidas vai aumentando. O método não possui ten-

dência, isto é, para qualquer tamanho amostral, o parâmetro de interesse é calculado corretamente.

A estimativa tem menor variância. A solução da máxima likelihood é única. Porém, para uma boa

inferência, devemos conhecer a distribuição de probabilidade correta. Este método não funciona

muito bem para modelos com equações não-lineares, uma vez que equações não-lineares podem

ter mais de uma solução para elas, logo o método da máxima likelihood pode dar um resultado de

falso melhor ajuste dos parâmetros (Hogg & Craig 1978).

Outro método, conhecido como o método do χ2 (lê-se “qui-quadrado”) mínimo, pode ser

obtido diretamente como consequência do método da máxima likelihood. A partir da equação (3.3),

temos que maximizar a likelihood significa o mesmo que minimizar o termo da exponencial, que

chamaremos de χ2. Assim, temos que

χ2(θ) =N∑i=1

(yi − y(xi,θ)

σi

)2

. (3.4)

Além das características do método da máxima likelihood, temos que o método do χ2

mínimo pode dar falsos resultados caso o modelo ou o erro não seja distribuído normalmente, ou

caso exista uma forte correlação entre os parâmetros do modelo (Hansen et al. 2013). Apesar disto,

o método se mostrou bem sucedido em vários problemas na física e astronomia, como, por exemplo,

a determinação de melhor ajuste e regiões de confiança dos parâmetros de densidade nos modelos

cosmológicos ΛCDM e XCDM (Teixeira 2014), e em estimação de parâmetros em astronomia de

raio-X (Lampton et al. 1976).

27


Um exemplo, para fins ilustrativos, da inferência através do método do mínimo quadrado,

na astrofísica, pode ser encontrado na figura 3.1. O problema trata de comparação de modelo e

inferência de parâmetros no estudo, através de lente gravitacional fraca, da distribuição de matéria

escura numa amostra de 30 grupos de galáxias luminosas em raio-X, com desvio para o vermelho

entre 0,15 e 0,3.2

Figura 3.1: Comparação da massa do virial estimada para os modelos SIS e NFW para cada umdos 30 grupos de galáxias. Os pontos representam os dados observados. A linha é obtida atravésdo melhor ajuste dos parâmetros aplicado ao modelo teórico. O eixo horizontal representa a massado virial no modelo SIS (do inglês: singular isothermal sphere). O eixo vertical representa a massado virial no modelo NFW (Navarro-Frenk & White). (Okabe et al. 2010).

3.2 Método do mínimo quadrado não-linear

Na seção anterior, era necessário que os parâmetros aparecessem linearmente na equação

do modelo teórico. Se um ou mais dos parâmetros forem não-linear, a inferência pode dar falsos

melhores ajustes. Nesta seção, mostraremos como tratar o caso não-linear para a inferência, no

caso do mínimo quadrado.

Definimos uma função não-linear, em termos de algum parâmetro, como sendo uma fun-

ção f = f(α1, . . . , αN) tal que ∂f/∂αi = g(αi), para pelo menos um dos parâmetros α (caso

fosse linear, a derivada seria uma constante). Isto é, sua derivada parcial em relação a um, ou

2Para informações mais detalhadas sobre o fenômeno físico e a forma como foi utilizado o método estatístico,acessar o trabalho de Okabe et al. (2010)

28


mais, dos seus parâmetros será uma função do próprio parâmetro (Hansen et al. 2013). Para a in-

ferência de parâmetros em tal modelo, vários métodos podem ser utilizados, como, por exemplo,

o método de Newton, o método do máximo declive (em inglês, steepest descent) ou o método de

Levenberg-Marquardt, que serão os três métodos abordados neste trabalho.

Da equação 3.4, podemos aproximar o valor do χ2, tal que

χ2(θ) =N∑i=1

(yi − y(xi,θ)

σi

)2

= (y − y(θ))TW(y − y(θ)), (3.5)

em que y e y são vetores agora, T indica a transposta do vetor, e W é uma matriz diagonal relativo

ao peso das medidas, comWii = 1/σ2i . Se a função y é não-linear em termos dos parâmetros, então

a minimização do χ2 deve ser feita através de iterações. O objetivo de cada iteração é de encontrar

uma perturbação h dos parâmetros θ que reduza o χ2.

3.2.1 O método do máximo declive

O método do máximo declive é um método de minimização geral, no qual atualiza os

valores dos parâmetros na direção oposta ao gradiente da função do modelo. O método converge

bem para problemas com função do modelo simples. Para problemas com milhares de parâmetros,

este método é, às vezes, o único método viável (Gavin 2015).

O gradiente do χ2 em relação aos parâmetros do modelo é dado por

∂

∂θχ2(θ) = (y − y(θ))TW

∂

∂θ(y − y(θ))

= −(y − y(θ))TW∂y(θ)

∂θ

= −(y − y(θ))TWJ , (3.6)

em que J é a matriz Jacobiana m x n e representa a sensibilidade local da função do modelo a

variação dos parâmetros. Portanto, o termo de perturbação h, que atualiza os parâmetros na direção

29


do máximo declive, pode ser escrito como

hmd = αJTW(y − y) , (3.7)

sendo α um escalar positivo que determina o tamanho do passo na direção do máximo declive.

3.2.2 Método de Newton

O método de Newton (também conhecido como método de Gauss-Newton) presume que

a função do modelo é aproximadamente quadrática nos parâmetros, na região próxima do melhor

ajuste. Para problemas de tamanhos moderados, o método de Newton converge mais rapidamente

do que o método do máximo declive (Press et al. 1997). Perturbando a função do modelo, podemos

aproximá-la localmente por uma expansão de Taylor de primeira ordem, tal que

y(θ + h) ≈ y(θ) +∂y

∂θh = y + Jh . (3.8)

Assim, substituindo y(θ) na equação 3.5 e derivando χ2 em relação a perturbação, temos que

∂

∂hχ2 ≈ −2(y − y)TWJ + 2hTJTWJ . (3.9)

Minimizando χ2, isto é, fazendo a derivada igual a zero, encontramos uma relação para o termo

que atualiza os parâmetros

[JTWJ]hmd = JTW(y − y) . (3.10)

3.2.3 Método de Levenberg-Marquardt

O método de Levenberg-Marquardt pode ser entendido como uma mistura do método de

Newton e o método do máximo declive. Este método consiste em variar, de acordo com a situação,

a atualização dos parâmetros entre os métodos de máximo declive e de Newton. A equação é dada

por (Lourakis 2005)

[JTWJ + λI]hlm = JTW(y − y) , (3.11)

30


em que I é a matriz identidade e λ é um escalar. Para baixos valores de λ, temos o método de

Newton, e para altos valores de λ, temos o método do máximo declive. Computacionalmente, o

escalar λ é atualizado a cada iteração, fazendo com que o algoritmo alterne entre os dois métodos.

Se a iteração e atualização dos parâmetros resultar num χ2 pior, então o valor de λ aumenta. En-

quanto que se o valor do χ2 melhorar, o valor de λ diminui. Portanto, quando os parâmetros se

encontram longe do valor de melhor ajuste, o algoritmo funciona como o método de máximo de-

clive. E quando os parâmetros se encontram próximo do melhor ajuste, o algoritmo funciona como

o método de Newton. Essa alternância entre métodos implica num resultado mais confiável e num

tempo de computação reduzido, porém o método pode falhar, caso o ponto inicial dos parâmetros

seja muito distante da solução (Himmelblau 1972) ou caso a equação seja multimodal, fazendo

com que o resultado dado seja um mínimo local e não o mínimo global. Um exemplo do algoritmo

está disponível no livro Numerical Recipes (Press et al. 1997), em C ou Fortran.

Na figura 3.2, temos um exemplo do método, utilizado na detecção de exoplanetas atra-

vés do método de velocidade radial. O método de Levenberg-Marquardt não é muito confiável

nesta análise, uma vez que a equação é multimodal, portanto se faz necessário o auxilio de outra

ferramenta. Neste caso, é utilizado um periodograma de Lomb-Scargle3.

Figura 3.2: Exemplo do método de Levenberg-Marquardt aplicado ao problema da velocidaderadial na detecção de exoplanetas. Em ambos, temos a representação da velocidade radial comexcentricidade e = 0.5, em que foi (gráfico de cima) e não foi (gráfico de baixo) detectado planeta.A linha pontilhada representa a órbita verdadeira e a linha sólida representa a órbita no melhorajuste dos parâmetros. O χ2 nos dois casos é menor para a curva sólida. (Cumming 2004).

3O periodograma de Lomb-Scargle é uma ferramenta computacional para determinar ciclos e períodos em umasérie temporal. Uma análise detalhada pode ser encontrada no trabalho de Zechmeister & Kürster (2009).

31


3.3 Teorema de Bayes e a inferência Bayesiana

Do estudo da probabilidade, se tivermos dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amos-

tral, Ω, a probabilidade condicional do evento A, dado o evento B é definido (Rice 2007) como

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B), (3.12)

em que P (A|B) é a probabilidade de A, dado B, P (A ∩ B) é a probabilidade da interseção entre

A e B, e P (B) é a probabilidade do evento B. Como consequência da equação 3.12, obtemos a lei

da multiplicação, dada por

P (A ∩B) = P (A|B)P (B) , (3.13)

e pode ser generalizada para n eventos, tal que

P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An) = P (A1)P (A2|A1) . . . P (An−1|A1, . . . , An−2)

×P (An|A1, . . . , An−1) . (3.14)

Consideremos B1, B2, . . . , Bn como sendo partições do espaço amostral Ω, isto é, a união

de todos os Bi é igual ao próprio Ω e Bi ∩ Bj = 0 para i 6= j. Então, a lei da probabilidade total

nos diz que, para um evento A, teremos

P (A) =n∑i=1

P (A|Bi)P (Bi) . (3.15)

Dos resultados das equações 3.14 e 3.15, podemos, então, escrever o teorema de Bayes

da forma

P (Bj|A) =P (A|Bj)P (Bj)∑ni=1 P (A|Bi)P (Bi)

. (3.16)

Esse teorema é aplicável a qualquer forma de probabilidade e evento. Estatística Bayesiana mo-

derna adota uma interpretação particular dessas probabilidades, sendo usada na inferência Bayesi-

ana (Feigelson & Babu 2012).

O teorema de Bayes pode ser reescrito para funções de densidade de probabilidade, sem

32


que haja perda de informação ou generalização (Andreon & Weaver 2015). Substituindo A por um

observável (ou conjunto de dados) D, e B por um vetor de parâmetros θ, temos que a equação 3.16

toma a forma

P (θ|D) =P (D|θ)P (θ)

P (D), (3.17)

em que cada termo da expressão tem uma importância específica. P (θ|D) é a probabilidade condi-

cional do vetor de parâmetros θ, dado o conjunto de dados D. Esse termo é chamado de probabili-

dade posteriori. P (D|θ) é a probabilidade condicional do observável D, dado θ, e é chamado de

função de likelihood. O termo P (θ) é a probabilidade marginal do vetor de parâmetros, também

chamado de informação a priori. E o termo P (D) é a probabilidade marginal do conjunto de

dados D, chamado de evidência.

A informação a priori será a distribuição como se acredita ou como dados coletados an-

teriormente nos leva a crer que tal modelo ou parâmetros sejam distribuídos. Encontrar a forma

correta da informação (ou distribuição) a priori é uma das principais dificuldades deste método

(Wilkinson 2000) . Outra dificuldade se encontra na análise computacional para modelos teóricos

complexos. O uso de ferramentas computacionais junto a inferência Bayesiana se faz necessário

para a simplificação do problema. O método de Monte Carlo via cadeia de Markov e o Nested

Sampling são dois exemplos de ferramentas estatísticas que facilitam a computação e a inferência

dos parâmetros. Ambos são abordados neste trabalho.

A likelihood, já discutida na seção 3.1, em geral apresenta uma forma simples, como

a de uma distribuição Gaussiana ou de Poisson. Porém, problemas mais complexos, em que a

equação tenha muitas variáveis, seja altamente não-linear ou apresente uma função de likelihood

multimodal, possuem funções de likelihood muito difíceis de definir (Feigelson & Babu 2012).

Alguns métodos ainda mais avançados de inferência estatística são capazes de resolver esses casos,

como um caso generalizado do Nested Sampling. Porém, a análise deste modelo generalizado

encontra-se fora do escopo do trabalho.

A evidência, ou a probabilidade marginal do conjunto de dados X , é a probabilidade

apenas dos dados. É o foco principal do Nested Sampling, que será discutido na seção 3.5, em que

se usa a evidência para inferência de parâmetros, determinar média e desvio padrão, e comparação

de modelos.

33


A distribuição posteriori quantifica o que sabemos dos parâmetros depois de termos ob-

servado o conjunto de dados. Se a distribuição posteriori tiver um pico bem definido, então os

parâmetros foram bem estimados. Se for uma função sem ou com vários picos, então os parâme-

tros foram mal estimados ou com um grau de incerteza grande (Andreon & Weaver 2015).

A inferência Bayesiana tem sido utilizada com sucesso no contexto da obtenção de parâ-

metros orbitais através dos dados de velocidade radial. Como, por exemplo, os trabalhos de Balan

& Lahav (2008a), Gregory (2005) e Brewer & Donovan (2015).

3.4 Método de Monte Carlo via cadeia de Markov (MCMC)

A inferência Bayesiana é uma poderosa ferramenta para determinação de parâmetros.

Contudo, para modelos mais complexos, a computação vai se tornando muito difícil e longa. Para

resolvermos este problema, podemos fazer uso do método de Monte Carlo via cadeia de Markov

(MCMC, do inglês: Markov Chain Monte Carlo). O MCMC tem sido bastante explorado recente-

mente, devido aos avanços computacionais e a sua aplicação na inferência Bayesiana. Este método

tem sido utilizado com sucesso na detecção de exoplanetas e na inferência de seus parâmetros or-

bitais (Gregory 2006), e na reinterpretação dos dados de velocidade radial (Balan & Lahav 2008a).

Na seção anterior, vimos que a distribuição posteriori era dada pela equação 3.17. A partir

dela, temos que o valor esperado posterior de uma função f(θ) será dada por

E[f(θ)|D] =

∫f(θ)P (θ)P (D|θ)dθ∫P (θ)P (D|θ)dθ

, (3.18)

em que E[.] é o valor esperado, em que o ponto significa um argumento qualquer. A integral acima

tem sido, até recentemente, uma das maiores dificuldades na inferência Bayesiana. Na maioria das

aplicações, a avaliação analítica do valor esperado era impossível (Gilks et al. 1997). O MCMC é

um dos métodos de se resolver a integral para os casos mais complexos ou com alta dimensionali-

dade. Para evitar confusão entre termos, reescreveremos a equação 3.18 de uma forma mais geral.

Chamaremos de X um vetor de k variáveis aleatórias, com distribuição π(.). Em termos práticos,

X será os parâmetros do modelo e π(.) será a distribuição posteriori. Assim, a equação 3.18 toma

34


a forma

E[f(X)] =

∫f(x)π(x)dx∫π(x)dx

. (3.19)

A equação acima presume que X seja composta de variáveis aleatórias contínuas. Porém, para o

caso discreto, a integral é substituída por um somatório.

A integração de Monte Carlo consiste em retirar amostras das distribuições necessárias e

então aproximar os valores esperados das médias amostrais. Neste caso, para avaliarmos E[f(X)],

retiramos amostras Xt, t = 1, . . . , n de π(.) e, então, estimamos a média populacional de f(X)

pela média amostral. Assim, temos que

E[f(X)] ≈ 1

n

n∑t=1

f(Xt) . (3.20)

Uma forma de gerar as amostras Xt é através de uma cadeia de Markov, em que π(.) seja sua

distribuição estacionária. Esse é o chamado método de Monte Carlo via Cadeia de Markov.

Se gerarmos uma sequência de variáveis aleatórias, X0, X1, . . . , tal que para cada tempo

t ≥ 0, o próximo estado Xt+1 será retirado de uma distribuição P (Xt+1|Xt), que depende apenas

do estado presente da cadeia. Isto é, o estado futuro da cadeia independe dos estados passados

e, consequentemente, da história da cadeia (Wilkinson 2000). Iremos presumir que a cadeia seja

homogênea no tempo, ou seja, P (.|.) não depende de t.

Sujeita a condições regulares e dado que a memória da cadeia só depende do valor presente

(uma cadeia com memória de curto prazo), a cadeia irá, eventualmente, “esquecer” o seu estado

inicialX0 e irá convergir para uma distribuição estacionária (ou invariante) única, que denotaremos

por φ(.). Portanto, conforme t aumenta, os pontos das amostras Xt irão parecer como amostras

dependentes de φ(.). Para evitar contaminação dos dados devido as amostras iniciais, devemos des-

cartar esses pontos. Assim, podemos estimar o valor esperadoE[f(X)], em queX terá distribuição

φ(.) (Gilks et al. 1997). Se forem descartados m pontos, temos que o valor esperado será dado por

f =1

n−m

n∑t=m+1

f(Xt) , (3.21)

que é chamada de média ergódica.

35


Para a análise computacional, dois algoritmos se destacam no MCMC: o algoritmo de

Metropolis-Hastings e o Amostrador de Gibbs, como veremos a seguir.

3.4.1 Algoritmo de Metropolis-Hastings

Sabendo como calcular o valor esperado, precisamos construir uma cadeia de Markov, em

que a distribuição estacionária φ(.) seja precisamente a nossa distribuição de interesse, chamada

de distribuição alvo, π(.). O algoritmo foi descrito por Hastings (1970), que é uma generalização

do método inicialmente proposto por Metropolis et al. (1953), e propõe uma forma genérica de se

construir uma cadeia de Markov paraX , que seja ergódica e estacionária em relação a π(.). Um dos

motivos para a escolha deste algoritmo é a sua simplicidade, sua versatilidade e pela diminuição no

tempo de computação (Robert 2015).

No algoritmo, para cada tempo t, o estado seguinte Xt+1 é escolhido, primeiramente,

através de uma amostra de um ponto candidato, Y , retirado de uma distribuição proposta, q(.|Xt).

Perceba que a distribuição proposta pode depender do valor atualXt. O ponto candidato Y é, então,

aceito com probabilidade α(Xt, Y ), em que

α(X, Y ) = min

(1,π(Y )q(X|Y )

π(X)q(Y |X)

), (3.22)

min é uma função computacional que retorna o menor número em seu argumento. Se o candidato

for aceito, então a cadeia se move e o próximo estado se torna Xt+1 = Y . Se o candidato for

rejeitado, a cadeia não se move, isto é, Xt+1 = Xt. A distribuição proposta, q(.|.), pode ter

qualquer forma e a distribuição estacionária da cadeia será π(.) (Gilks et al. 1997).

Assim, podemos escrever o algoritmo de Metropolis-Hastings da seguinte forma:

1. Iniciar o contador de iteração j = 1, e iniciar a cadeia em X0;

2. Gerar um valor proposto Y a partir de q(.|Xt);

3. Avaliar a probabilidade de aceitação α(Xt−1, Y ) do valor proposto;

4. Faça Xt = Y com probabilidade α(Xt−1, Y ), ou faça Xt = Xt−1, caso contrário;

36


5. Mude o contador de j para j + 1 e retorne ao passo 2.

No caso especial em que a distribuição proposta seja simétrica, isto é, em que q(X|Y ) =

q(Y |X), a equação 3.22 pode ser reduzida à

α(X, Y ) = min

(1,π(Y )

π(X)

). (3.23)

Outros exemplos de casos especiais são: O primeiro, chamado de Caminhada aleatória de Metropo-

lis, considera q(Y |X) = q(|X − Y |) (Robert 2015); o segundo, de cadeias independentes, a transi-

ção proposta é formada independentemente da posição anterior na cadeia, tal que q(X|Y ) = f(Y )

e q(Y |X) = f(X); o terceiro é uma cadeia híbrida, em que o algoritmo de Metropolis-Hastings

é trabalhado em conjunto com o amostrado de Gibbs (que será mostrado na próxima seção). O

segundo caso pode ser trabalhado dentro do contexto da inferência Bayesiana, em que ao invés de

fazermos π(Y )/π(X) na equação 3.23, substituímos por L(Y )/L(X), ou seja, depende apenas da

razão entre as likelihoods do ponto candidato e do ponto atual (Wilkinson 2000).

A figura 3.3 apresenta um exemplo do MCMC aplicado a velocidade radial para deter-

minação dos parâmetros orbitais da estrela HD 73526. Temos um conjunto de sete gráficos, em

que cada um contém a forma da cadeia após as iterações, após a remoção dos pontos iniciais das

cadeias. Percebe-se que, apesar do caráter aleatório da cadeia, ela permanece dentro de uma faixa

de valores. Essa faixa corresponde a região de maior probabilidade. A figura 3.4 mostra a distribui-

ção posteriori dos parâmetros orbitais. Comparando as duas figuras, vemos que a região de maior

probabilidade da cadeia é exatamente a mesma da distribuição posteriori. As distribuições a priori

utilizadas para os parâmetros foram mostrados por Balan & Lahav (2008a) e Gregory (2005) como

sendo: Jeffrey’s prior4, para T (ou P , como também é denotado o período); Jeffrey’s modificado5,

para K e s (termo relativo aos erros das medidas); e uniforme para o resto dos parâmetros. Nas

figuras, os parâmetros aparecem na ordem, da esquerda para a direita e de cima para baixo: P (d),

K(ms−1), V (ms−1), χ, e, ω(rad) e s(ms−1).

4Jeffrey’s Prior: Nesse contexto, essa distribuição é dada por 1T ln(Tmax/Tmin)

5Jeffrey’s Modificado: Nesse contexto, essa distribuição é dada por 1(K+Ka) ln((Ka+Kmax)/K0)

37


Figura 3.3: Comparação das iterações MCMC após o descarte dos pontos iniciais. Os parâmetrossão de uma análise Bayesiana de dados de velocidade radial para detecção de exoplanetas e infe-rência dos parâmetros orbitais. O eixo horizontal representa o número de iterações e o eixo verticalrepresenta o valor do parâmetro (Gregory 2005).

Figura 3.4: Distribuição posteriori dos parâmetros orbitais da estrela HD 73526. Cada distribuiçãotem apenas um pico no ponto de melhor ajuste do parâmetro. O eixo horizontal representa o valordo parâmetro e o eixo vertical o valor da sua função de densidade de probabilidade (Gregory 2005).

38


3.4.2 Amostrador de Gibbs

O amostrador de Gibbs é uma forma de simular a partir de distribuições multivariadas

baseada na capacidade de simular a partir de distribuições condicionais. Isto é, quando X é tal que

Xt = (X1t , X

2t , . . . , X

kt ), em que k > 1. A ideia básica por trás do amostrador de Gibbs é que, ao

invés de retirarmos um candidato para o próximo estado de uma vez, fazemos de forma separada,

para cada uma das k dimensões de X , em que cada escolha dependerá das outras k − 1 dimensões

(Resnik & Hardisty 2010).

Considerando que a densidade de interesse seja π(Xt), em que Xt = (X1t , X

2t , . . . , X

kt ),

podemos escrever o algoritmo como sendo:

1. Iniciar o contador de iteração j = 1. Iniciar o primeiro estado da cadeiaX0 = (X10 , X

20 , . . . , X

k0 )

com os valores iniciais da cadeia;

2. Obtenha um novo valor Xt, a partir de Xt−1, por sucessivas gerações de valores:

X1t ∼ π(X1|X2

t−1, . . . , Xkt−1)

X2t ∼ π(X2|X1

t , X3t−1, . . . , X

kt−1)

...

Xkt ∼ π(Xk|X1

t , X2t , . . . , X

k−1t )

3. Mude o contador j para j + 1 e volte ao passo 2.

Durante a iteração, os novos valores são utilizados assim que obtidos. Ou seja, após obter-

mos X1t , o valor de X2

t será retirado da distribuição já considerando o valor novo de X1t , e X3

t será

retirado considerando os valores novos de X1t e X2

t . Esse algoritmo define uma cadeia de Markov

homogênea, uma vez que cada valor simulado depende apenas do valor simulado anteriormente, e

não em qualquer outro valor simulado ou no contador de iteração j (Wilkinson 2000).

Existem, hoje, vários softwares que fazem análise de dados e retornam a distribuição pos-

teriori, baseados no amostrador de Gibbs. Alguns deles, disponíveis gratuitamente, são: JAGS6,

WinBUGs7 e OpenBUGS8.6JAGS: Disponível para download em: http://mcmc-jags.sourceforge.net7WinBUGs: Disponível para download em: http://www.mrc-bsu.cam.ac.uk8OpenBUGS: Disponível para download em: http://www.openbugs.net

39


O amostrador de Gibbs pode ser usado em conjunto com o algoritmo de Metropolis-

Hastings, como dito na subseção anterior. Cada valor novo das componentes de X precisaria

ser avaliado e ser aceito ou rejeitado, de acordo com o algoritmo de Metropolis-Hastings. A figura

abaixo mostra uma ilustração para o caso desses dois algoritmos em conjunto para dois parâmetros,

X.1 eX.2. Os parâmetros seguem a distribuição π(.) e iniciam no estadoX0. Podemos observar que

os estados se movem, dentro do espaço dos parâmetros, em uma direção de cada vez, característico

do amostrador de Gibbs. Pode-se perceber, também, que temos passos que foram rejeitados, fa-

zendo com que a cadeia não se movesse, que é característico do algoritmo de Metropolis-Hastings.

Fazendo com que haja essa alternância na atualização dos parâmetros, a cadeia converge de forma

mais confiável para o melhor ajuste dos parâmetros.

Figura 3.5: Ilustração do amostrador de Gibbs junto do algoritmo de Metropolis-Hastings, parauma distribuição alvo bivariada. Componentes 1 e 2 são atualizados alternadamente, produzindomovimentos alternados na vertical e na horizontal

3.5 Nested Sampling

Ao realizar uma análise Bayesiana, dois problemas difíceis emergem. Primeiro, na estima-

tiva de parâmetros em que a distribuição posteriori seja multimodal ou apresente degenerescência.

Segundo, na escolha de possíveis modelos teóricos para o problema (Feroz & Skilling 2013). O

40


Nested Sampling, desenvolvido pelo físico John Skilling (2004), é uma forma contemporânea do

método de Monte Carlo que foca no cálculo eficiente da evidência, mas que ainda permite a in-

ferência posteriori como consequência, dando meios de avaliar tanto a estimação de parâmetros,

quanto a escolha de modelo (Feroz et al. 2014).

A evidência, mostrada inicialmente na equação 3.17, no caso de variáveis aleatórias con-

tínuas, é dada por

Z =

∫L(θ)π(θ)dθ , (3.24)

em que, agora, a evidência será denotada por Z, L(.) é a função de likelihood, π(.) é densidade a

priori e θ é o vetor de parâmetros de interesse. A evidência engloba a chamada navalha de Occam,

isto é, um modelo menos complexo (com menos parâmetros ajustáveis) que se ajusta bem aos dados

será preferido, ao invés de um modelo mais complexo (Pullen & Morris 2014).

A escolha de modelo pode ser feita através da avaliação da densidade posteriori. Para dois

modelos, H1 e H0, temos que

β =Pr(D|H1)Pr(H1)

Pr(D|H0)Pr(H0)=Z1

Z0

Pr(H1)

Pr(H0), (3.25)

em que β é chamado de fator de Bayes. Se os modelos forem equiprováveis, ou não haja nenhuma

informação que favoreça qualquer um dos dois modelos, podemos fazer Pr(H1)/Pr(H0) = 1.

Assim, a comparação entre modelos pode ser facilmente calculada, uma vez que soubermos as suas

respectivas evidências.

Definindo a massa cumulativa a priori como

X(λ) =

∫L(θ)>λ

π(θ)dθ , (3.26)

temos que X(λ) irá cair de 1 à 0, enquanto λ cresce. Assim, a integral da evidência é transformada

de um espaço de parâmetro multidimensional para um espaço unidimensional, tal que

Z =

∫ 1

0

L(X)dX . (3.27)

Se a likelihood, L(X), for conhecida (e integrável à Riemann), ao avaliarmos as likelihoods, Li =

41


L(Xi), para uma sequência determinística de valores de X

0 < XM < · · · < X2 < X1 < X0 < 1 , (3.28)

então, a evidência pode ser aproximada numericamente usando apenas métodos de quadratura

(Evans 2006), tal que

Z ≈ Z =M∑i=1

Liωi , (3.29)

com ωi sendo o peso e dado por ωi = 1/2(Xi−1 −Xi+1) ou ωi = Xi −Xi+1. M é o número total

de pontos.

A figura 3.6 mostra a relação inversa entre L e X . A máxima likelihood pode ser vista

como o caso em que X tende a zero, assim como L vai para zero quando X tende a um. Podemos

justificar a utilização do método da quadratura para aproximar a evidência devido ao fato de ser

uma função contínua e dada pela área abaixo da curva.

Figura 3.6: Representação da integral dada pela equação 3.27, mostrando a relação inversa entre alikelihood e a massa cumulativa a priori (Skilling 2004).

O somatório na equação 3.29 pode ser resolvido da seguinte forma. Primeiro, N pontos

’ativos’ são retirados uniformemente da distribuição a priori, π(θ), e o volume a priori inicial, X0,

é definido como igual a um. Em cada iteração i subsequente, o ponto com a menor likelihood é

removida do conjunto ativo de pontos e substituído por outro ponto, que é retirado uniformemente

da distribuição a priori. Porém, com a condição de que sua likelihood seja maior do que a likelihood

42


do ponto no qual ele está substituindo (Jing 2009). O volume a priori contido dentro da região na

i-ésima iteração é uma variável aleatória dado por Xi = tiXi−1, em que ti segue a distribuição

Pr(t) = NtN−1. Esse processo é repetido até que o volume inteiro tenha sido atravessado. Como

cada valor de log t é independente, depois de i iterações o volume a priori irá se reduzir a logXi ≈

exp(−(i√i)/N) (Feroz & Skilling 2013). Portanto, podemos fazer

Xi = exp(−i/N) . (3.30)

O valor médio e o desvio padrão dos parâmetros são dados, respectivamente, por (Aitken

& Akman 2013):

µθ =M∑i=1

ωiLiZ

θi , (3.31)

e

σθ =

(M∑i=1

ωiLiZ

θ2i − µ2θ

)1/2

. (3.32)

O algoritmo básico para uma análise por Nested Sampling pode feito da seguinte forma:

1. Retire N amostras no espaço dos parâmetros θ1, . . . ,θN da distribuição a priori π(θ);

2. Ache o ponto θl com a menor likelihood da sequência atual de N pontos θ1, . . . ,θN , e faça

Li = L(θl);

3. Faça Xi = exp(−i/N) ou retire uma amostra ti com P (t) = NtN−1 e faça Xi = tiXi−1;

4. Faça ωi = Xi−1 −Xi ou ωi = (Xi−1 −Xi+1)/2 (caso tenha obtido Xi através da amostra

de ti);

5. Atualize Z, tal que Zi = Zi−1 + ωiLi;

6. Retire um ponto θk de π(θ) com restrição de que L(θk) > Li, e, então, substitua o valor de

θl por θk

7. Volte ao passo 2 e repita passos 2-6 até terminação;

8. Atualize Z com adição dos pontos ativos, XN(L(θ1) + · · ·+ L(θN)/N

43


O último passo é baseado na consideração de efeitos de borda (Skilling 2006). A condição de

terminação da repetição dos passos 2-6 é através do valor da atualização no passo 5. Se o valor

ωiLi for muito pequeno em relação a Zi−1, então a repetição pode ser terminada, pois iterações

seguintes não irão contribuir mais de forma significante para o valor da evidência (Pullen & Morris

2014).

Uma das dificuldades principais da computação se encontra na amostragem. Nem sempre

será possível retirar uma amostra θk de π(θ) que satisfaça a restrição L(θk) > Li. Mesmo quando

possível, após um certo número de iterações, a likelihood vai se aproximando do valor máximo, o

que torna o processo de computação cada vez mais lenta, para encontrar uma amostra que satisfaça

a condição de restrição. Uma possível solução a esse problema é de transformar a distribuição a

priori numa distribuição uniforme e usar MCMC para explorar um novo ponto (Jing 2009).

A figura 3.7 ilustra como o método funciona. Com três pontos ativos, temos, na imagem

da direita, que a cada passo, o ponto que tem menor likelihood é removido do conjunto e substituído

por um outro ponto que tem likelihood maior. Na imagem da esquerda (que representa o espaço

dos parâmetros), vemos como essas substituições, em cada passo da imagem da direita, levam cada

vez mais ao valor real dos parâmetros. Ao topo da imagem da direita, temos o conjunto de todos

os pontos utilizados, os pontos ativos que sobraram e os pontos que foram descartados.

Figura 3.7: Exemplo de um procedimento utilizando Nested Sampling para N = 3. Em cadapasso, um ponto é substituído e o estado seguinte se aproxima cada vez mais do melhor ajuste dosparâmetros. Os contornos de likelihood diminuem por um fator de exp(−1/3) em área (Skilling2006).

44


No contexto da astrofísica, para velocidades radiais estelares, o trabalho de Feroz et al.

(2011) mostra uma análise utilizando o Nested Sampling. A figura 3.8, retirada do referido trabalho,

ilustra a curva de velocidade radial para um sistema de três planetas, da estrela HD 37124 (figura

de cima). E a figura de baixo mostra o mesmo método sendo utilizado para um sistema com seis

planetas, da estrela HD 10180. Ambas as figuras mostram a robustez do método para detecção e

inferência de parâmetros de sistemas multi-planetários.

Figura 3.8: Medidas de velocidade radial, com barras de erro de 1σ, e a curva obtida através domelhor ajuste dos parâmetros, inferidos pelo Nested Sampling, para a estrela HD 37124 (imagemde cima) e para a estrela HD 10180 (imagem de baixo). O eixo horizontal representa o tempo emque as medidas foram feitas e é medida em dias Julianos. O eixo vertical representa a variação davelocidade radial (Feroz et al. 2011).

45

CAPÍTULO 4

SIMULAÇÕES E RESULTADOS

No capítulo 2, desenvolvemos a teoria física por trás da velocidade radial, no contexto

de detecção de exoplanetas e determinação dos parâmetros orbitais. No capítulo 3, estudamos as

ferramentas matemáticas e estatísticas para a análise de dados e inferência de parâmetros. Nesse

capítulo, iremos utilizar três das ferramentas estatísticas, o método do χ2 mínimo, MCMC e Nested

Sampling, em três casos de interesse físico e matemático: A equação linear, funções senoidais e

a velocidade radial. Os casos são desenvolvidos na ordem do mais simples ao mais complexo. A

escolha destes casos foi feita de modo que possamos nos aproximar gradativamente ao caso de

interesse. Nos dois primeiros casos, serão utilizados dados simulados, em que teremos a função de

interesse mais um ruído, gerado pela amostragem de uma distribuição previamente escolhida. No

último caso, utilizaremos dados reais de velocidade radial.

A simulação dos dados é feita através da equação que queremos trabalhar. Definimos

valores “reais” dos parâmetros que serão ajustados nos testes estatísticos. Após a definição da

equação e dos valores reais dos parâmetros, adicionamos um termo de ruído, fazendo amostragens

aleatórias de distribuições. O teste estatístico tentará recuperar os valores reais dos parâmetros,

uma vez que os valores da função estarão contaminados pelo ruído.

Temos, então, como objetivos: mostrar como cada método funciona, inferir o melhor

ajuste dos parâmetros para cada caso, mostrar os gráficos obtidos através do melhor ajuste dos

46

Capítulo 4. Simulações e resultados 47

parâmetros e explicitar as limitações dos métodos estatísticos apresentados. Para isso, fazemos uso

de algoritmos de autoria própria, utilizando a linguagem R1. Tais algoritmos estarão disponíveis

em breve na página do NAOS Astronomy2.

4.1 Equação linear

Uma equação linear é a equação que tem a forma

y(x) = ax+ b . (4.1)

Se recebemos um conjunto de dados, ou ao simularmos estes dados, e tentarmos ajustar esses

dados com uma equação linear, teremos dois parâmetros ajustáveis, a e b. Em todas as situações e

métodos estatísticos, nesse trabalho, o número de pontos simulados é de N = 50.

Em cada um dos métodos estatísticos, trabalharemos com diferentes situações. Mostrando,

por exemplo, como a presença do ruído influencia no teste, quais as limitações que a adição do ruído

causa ou como modular o ruído, adicionando-o no modelo teórico, para um precisão melhor dos

dados, assim como mostrado na equação 2.22 para o caso da velocidade radial.

4.1.1 Método do χ2 mínimo

A análise foi feita em cima de uma equação linear com ruídos dados por distribuições

uniforme, em que todos são equiprováveis, e gaussiana, em que os valores serão centrados num

valor médio. Os valores reais dos parâmetros, escolhidos de forma arbitrária, são a = 5 e b = 10.

A ordem de grandeza do ruído tem um papel muito importante no ajuste dos parâmetros.

Se a ordem de grandeza do ruído for maior que a ordem de grandeza do valor “puro” das medidas,

o teste não será capaz de ajustar os parâmetros de forma satisfatória. As figuras 4.1 e 4.2, mostram

justamente os casos em que os ruídos têm ordem de grandeza da ordem do valor puro das medidas

1Disponível gratuitamente para download em: < https://www.r-project.org >2NAOS astronomy é o Núcleo de Astrofísica Observacional e Astroestatística da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte, cujo site pode ser acessado através do endereço: < http://naosastronomy.com > .

47


e quando a ordem de grandeza dos ruídos é maior.

O algoritmo gera valores aleatórios para os ruídos, de modo que toda vez que o programa

é executado, o ruído terá um valor diferente. Portanto, para ilustrar melhor a influência da ordem

de grandeza do ruído, executamos o programa dez vezes. O valor do melhor ajuste, para cada caso,

se encontra nas tabelas 4.1 e 4.2.

Figura 4.1: Simulação do teste do χ2 mínimo com ruído uniforme. Os valores máximos e mínimosdas distribuições uniforme são, respectivamente, 5 e −5 (figura da esquerda) e 20 e −20 (figura dadireita). O melhor ajuste dos parâmetros é de a = 5, 1 e b = 9, 7 (figura da esquerda) e a = 6, 2 eb = 7, 4 (figura da direita). A linha representa a função no melhor ajuste dos parâmetros.

Mesma ordem de grandeza Ordem de grandeza maiora = 5, 1 b = 9, 7 a = 6, 2 b = 7, 4a = 4, 9 b = 9, 9 a = 4, 7 b = 13, 4a = 5, 0 b = 9, 7 a = 6, 5 b = 6, 3a = 4, 8 b = 11, 0 a = 6, 5 b = 7, 2a = 5, 1 b = 9, 1 a = 7, 5 b = 2, 3a = 5, 0 b = 9, 5 a = 5, 9 b = 6, 8a = 5, 1 b = 9, 7 a = 2, 2 b = 15, 5a = 5, 3 b = 9, 5 a = 4, 8 b = 7, 6a = 4, 9 b = 10, 1 a = 5, 8 b = 6, 9a = 5, 4 b = 9, 2 a = 2, 4 b = 15, 4

Tabela 4.1: Comparação entre os melhores ajustes para diferentes ordens de grandeza dos ruídos,para o ruído uniforme. Podemos perceber que o desvio padrão nos melhores ajustes no primeirocaso (ruído da mesma ordem de grandeza) é menor do que no segundo caso (ruído com ordem degrandeza maior). Quanto maior for o valor do ruído, em comparação ao valor “puro” das medidas,menor é a confiança dos ajustes.

48


Figura 4.2: Simulação do teste do χ2 mínimo com ruído gaussiano. Os valores médios e desviospadrão das distribuições são, respectivamente, 0 e 5 (figura da esquerda) e 0 e 20 (figura da direita).O melhor ajuste dos parâmetros é de a = 4, 9 e b = 9, 6 (figura da esquerda) e a = 3, 4 e b = 16, 3(figura da direita). A linha representa a função no melhor ajuste dos parâmetros.

Mesma ordem de grandeza Ordem de grandeza maiora = 4, 9 b = 9, 6 a = 2, 5 b = 12, 3a = 5, 3 b = 9, 3 a = 4, 7 b = 11, 4a = 4, 7 b = 11, 0 a = 6, 7 b = 1, 4a = 5, 2 b = 9, 8 a = 2, 3 b = 13, 1a = 5, 0 b = 10, 0 a = 2, 9 b = 18, 0a = 4, 9 b = 9, 4 a = 5, 8 b = 3, 7a = 5, 4 b = 10, 0 a = 3, 8 b = 10, 3a = 5, 2 b = 9, 3 a = 6, 4 b = 9, 1a = 5, 4 b = 8, 6 a = 6, 1 b = 5, 2a = 4, 4 b = 11, 2 a = 5, 2 b = 11, 0

Tabela 4.2: Comparação entre os melhores ajustes para diferentes ordens de grandeza dos ruídos,para ruído gaussiano. Podemos perceber que o desvio padrão nos melhores ajustes no primeirocaso é menor do que no segundo caso. Ilustrando, assim, como a ordem de grandeza do ruídoatrapalha na inferência dos parâmetros.

Podemos ver, através das figuras e tabelas 4.1 e 4.2, que o método do χ2 mínimo conse-

gue satisfatoriamente ajustar os parâmetros no caso de uma função linear. Porém, se a ordem de

grandeza do ruído na medida for muito grande, em comparação ao valor “puro” da medida, temos

que o teste não é mais tão confiável, sendo preferido alguma técnica mais robusta para analisar os

dados. Podemos também observar que a média, para os casos em que o ruído é da mesma ordem

de grandeza e nos casos em que a ordem de grandeza do ruído é maior, converge para o valor real

dos parâmetros. De modo que o problema do excesso de ruído pode ser solucionado aumentando o

49


número de de medidas ou o número de inferências realizadas, em acordo com o Teorema do Limite

Central.

4.1.2 Método de Monte Carlo via Cadeia de Markov

Na análise feita através do método MCMC, nosso objetivo será mostrar, para o único caso

em que o ruído é gaussiano, o melhor ajuste dos parâmetros, a linha obtida no melhor ajuste, a

cadeia Markoviana e as distribuições posteriori dos parâmetros de interesse. Serão analisados dois

casos, em que cada um terá uma distribuição a priori diferente para alguns parâmetros, para o estudo

de como a distribuição a priori pode, ou não, influenciar na obtenção da distribuição estacionária.

Os valores reais dos parâmetros são de a = 5 e b = 10, enquanto que o ruído gaussiano é dado com

média µ = 0 e desvio padrão σ = 5. O desvio padrão do ruído, nesta análise, também entra como

uma variável ajustável, e o valor do seu melhor ajuste também será explicitado.

A figura 4.3 representa o melhor ajuste para o caso em que as distribuições a priori dos

três parâmetros são dadas por distribuições uniforme, com mínimo igual a 0, 1 e máximo igual a

50. Na figura 4.4, temos a cadeia Markoviana e a distribuição posteriori de cada parâmetro. O valor

inicial da cadeia é de a = 25, b = 15 e σ = 10. O algoritmo realiza 50000 iterações, em que, após

a terminação do programa, rejeitamos os dados iniciais para evitar contaminação. A rejeição de

dados, para a obtenção da distribuição estacionária, é de 80% dos pontos.

Figura 4.3: Melhor ajuste através do MCMC para distribuições a priori uniforme. Os valoresdos parâmetros no melhor ajuste é a = 5, 10, b = 8, 97 e σ = 6, 12, com desvio padrão de,respectivamente, 0, 70, 1, 53 e 0, 77.

50


Figura 4.4: À esquerda, temos as cadeias Markovianas para os três parâmetros de interesse. En-quanto que na direita, temos as suas distribuições posteriori. Em que, em ambos os casos, var1representa a, var2 é a variável b e var3 é σ. Podemos ver, nas distribuições posteriori, que temosum pico bem definido para cada parâmetro. Podemos também perceber que, apesar do caráteraleatório, os valores na cadeia giram em torno do valor real dos parâmetros.

51


As figuras 4.5 e 4.6 representam os mesmos casos anteriores, a função no melhor ajuste

dos parâmetros, as cadeias Markovianas e as distribuições posteriori dos parâmetros. Mas as dis-

tribuições a priori, agora, são dadas por distribuições gaussianas, com média 0 e desvio padrão 3,

para a e σ, enquanto que a distribuição a priori de b é dada por uma distribuição uniforme, com

mínimo de 0 e máximo de 30. O ponto de início da cadeia é o mesmo do caso anterior, a = 25,

b = 15 e σ = 10.

Podemos observar que, apesar da distribuição posteriori ter uma forma levemente dife-

rente, o que ocorre devido ao caráter aleatório do ruído que é gerado e ao caráter aleatório da

própria cadeia, temos que a região de maior probabilidade ainda se encontra perto do valor real dos

parâmetros. Assim, neste caso, em que a função de estudo é linear, não vemos uma relação muito

grande entre a distribuição a priori e a distribuição estacionária.

Figura 4.5: Melhor ajuste através do MCMC para diferentes priori. Os valores dos parâmetros nomelhor ajuste é a = 4, 78, b = 10, 47 e σ = 5, 53, com desvio padrão de, respectivamente, 0, 55,1, 57 e 0, 68.

52


Figura 4.6: À esquerda, temos as cadeias Markovianas para os três parâmetros de interesse. En-quanto que na direita, temos as suas distribuições posteriori. Em que, em ambos os casos, var1representa a, var2 é a variável b e var3 é σ. Podemos ver, nas distribuições posteriori, que temos,em alguns casos, um pico “secundário”, um pouco menor que o pico maior. Isso pode ser resolvidoaumentando o número de iterações da cadeia ou ajustando a distribuição a priori.

A partir das figuras apresentadas nas análises das duas situações, pode-se observar que a

escolha da distribuição a priori não tem muita influência. Em ambos os casos, conseguimos ajustar

bem a função no melhor ajuste dos parâmetros aos pontos. Isso se deve à simplicidade da equação

e pelo fato dos parâmetros não serem correlacionados. Tendo uma ideia do valor real do parâmetro,

pode-se ajustar a distribuição a priori para que seja uma gaussiana com média próxima ao valor

real do parâmetro. Resultando em um valor mais confiável.

53


4.1.3 Nested Sampling

No método do Nested Sampling, queremos mostrar como a média dos parâmetros, no

conjunto ativo se aproxima do valor real dos parâmetros. A análise não focará muito no estudo

da evidência, mas no cálculo da média e desvio padrão dos parâmetros. De modo que os gráficos

produzidos, como mostram as figuras 4.7 e 4.8, será da função estudada não no melhor ajuste dos

parâmetros, mas no valor da média dos parâmetros. E será mostrado que a média dos parâmetros

do conjunto ativo pode ser usado como o melhor ajuste dos parâmetros.

Assim como no caso anterior, analisaremos duas situações distintas, em que a diferença

entre elas está na distribuição nas quais serão retiradas as amostras. Evitando a repetição dos

casos estudados anteriormente, a primeira situação, agora, será em que o parâmetro a e σ são

dados por distribuições uniforme, com mínimo igual a 0, 1 e máximo igual a 20, e b será dado

por uma distribuição gaussiana, com média 5 e desvio padrão 5 (um valor muito longe do valor

real do parâmetro implicará em um erro grande). Já no segundo caso, teremos dois parâmetros

com distribuições representadas por distribuições gaussianas, a e b, com médias 2 e 5, e desvios

padrão 3 e 5, respectivamente. σ será representado por uma distribuição uniforme, com máximo

20 e mínimo 0, 1, para evitar erro no algoritmo, quando σ apresenta valor negativo. Isso é feito

para que a distribuição não fique centrada muito próximo do valor real, mostrando de forma mais

satisfatória a eficácia do algoritmo. Em ambos os casos, o número inicial do conjunto de dados será

de N = 100. Após toda a análise e das substituições dos pontos, será retirado metade dos pontos,

ficando, ao final, com 50 pontos ativos. O número de iterações, isto é, o número de vezes em que

um valor é substituído no conjunto inicial é 1000N , para um valor mais preciso da média.

Podemos ver, através da figuras, que o valor da média dos parâmetros, de fato, ajusta bem

os pontos. Podemos ver, também, que este método tem um resultado bem confiável, com baixo

desvio padrão. Porém, é necessário um conhecimento prévio a cerca de como os parâmetros se

distribuem. Em uma distribuição gaussiana, o desvio padrão irá aumentando, conforme a média

da distribuição for se afastando do valor real dos parâmetros. Assim como no caso da análise

MCMC, a simplicidade da equação linear faz com que não surjam problemas devido a mudança

das distribuições a priori.

54


Figura 4.7: Melhor ajuste através do Nested Sampling para diferentes priori. Os valores dos parâ-metros no melhor ajuste é a = 4, 97, b = 10, 06 e σ = 5, 40, com desvio padrão de, respectiva-mente, 0, 17, 0, 50 e 0, 17.

Figura 4.8: Melhor ajuste através do Nested Sampling para priori gaussiana. Os valores dos parâ-metros no melhor ajuste é a = 5, 30, b = 9, 87 e σ = 5, 42, com desvio padrão de, respectivamente,0, 20, 0, 51 e 0, 17.

55


4.2 Senos e cossenos

As funções senos e cossenos são descritas, respectivamente, por

y(x) = A sin(kx) , (4.2)

e

y(x) = A cos(kx) , (4.3)

em que A é a amplitude e k é a frequência angular.

A análise, para os três métodos estatísticos, consiste em estudar dois casos distintos. No

primeiro, o método será aplicado nas equações da forma da equação 4.2, com adição do ruído. No

segundo caso, a análise será feita em uma adição de cossenos, em que teremos quatro parâmetros

ajustáveis, relativo a amplitude e da frequência de cada cosseno. Diferentemente do estudo feito

na seção anterior, haverão intervalos sem pontos, simulando uma série temporal que tenha um

intervalo de tempo entre um conjunto de medições e outro. A escolha do intervalo dos parâmetros

e do segundo caso, a soma dos cossenos, servem como uma introdução à análise feita na seção

seguinte, sobre velocidade radial, cuja equação é dada pela equação 2.15.


O primeiro caso estudado, como mencionado anteriormente, será feito em uma equação

senoidal, dada pela equação 4.2. Os valores reais dos parâmetros são A = 5 e k = 3. O ruído é

dado por um ruído gaussiano, com média µ = 3 e desvio padrão σ = 4. Enquanto que no segundo

caso, dado pela soma de dois cossenos, teremos quatro parâmetros livres, com valores reais dados

por A1 = 3, k1 = 5, A2 = 5 e k2 = 3. O ruído, também dado por uma distribuição gaussiana, tem

média µ = 1 e desvio padrão σ = 3.

Podemos observar, através da figura 4.9, que, apesar do intervalo entre conjunto de pontos,

o método do χ2 mínimo ainda consegue ajustar os dados de forma satisfatória. A figura 4.10 ilustra

a curva de melhor ajuste para o caso da soma de cossenos. O melhor ajuste dos parâmetros nos

mostra que o método do χ2 mínimo começa a apresentar erros altos para alguns parâmetros, mesmo

56


com um baixo valor de ruído. Assim, o método já se torna impróprio para equações deste tipo,

equações mais complexas ou com um maior número de parâmetros.

Figura 4.9: Curva de melhor ajuste da função seno através do χ2 mínimo. O melhor ajuste dosparâmetros é de A = 4, 6 e k = 3. Observa-se que, apesar de alguns pontos acima da curva, omelhor ajuste foi próximo ao valor real.

Figura 4.10: Curva de melhor ajuste da soma de cossenos através do χ2 mínimo. O melhor ajustedos parâmetros é de A1 = 2, 1, k1 = 5, 0, A2 = 4, 0 e k2 = 3, 0. Observa-se que, apesar de, emgeral, os pontos se encontrarem próximos a curva, o resultado do melhor ajuste se encontra distantedo valor real dos parâmetros..

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O objetivo da análise do método de Monte Carlo via Cadeia de Markov é a obtenção das

distribuições posteriori dos parâmetros. O primeiro caso estudado, a de uma simples função seno,

terá os seguintes valores reais dos parâmetros: A = 5, k = 3. O ruído, assim como na análise do

χ2 mínimo é dado por uma distribuição gaussiana, que tem média µ = 3 e desvio padrão σ = 4. O

desvio padrão será, além do A e k, um parâmetro a ser inferido. As distribuições a priori são dadas

por distribuições gaussianas, em que para A temos média 3 e desvio padrão 3, para k temos média

5 e desvio padrão 3 e para σ temos média 1 e desvio padrão 3. O valor inicial da cadeia é dada por

A = 20, k = 10 e σ = 15. O número de iterações da cadeia é de N = 100000, em que ao final das

iterações, são removidos 95000 pontos. De modo que a cadeia final é dada por 5000 pontos.

A figura 4.11 e 4.12 representam, respectivamente, a função no melhor ajustes dos parâ-

metros e as distribuições posteriori dos parâmetros. Podemos observar que a distribuição posteriori

de A e σ não possui um único pico bem definido, como no caso de k. Porém, a região de maior

probabilidade ainda se encontra próximo ao valor real dos parâmetros.

Figura 4.11: Curva de melhor ajuste da função seno através do MCMC. O melhor ajuste dos parâ-metros é dado por A = 4, 85, k = 2, 93 e σ = 5, 27. O desvio padrão dos parâmetros é dado por0, 31 para A, 0, 09 para k e 0, 54 para σ. Apesar do intervalo entre pontos de x, o método consegueobter um resultado confiável.

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Figura 4.12: Cadeias de Markov e distribuições posteriori para a função seno. Na figura, var1representa o parâmetro A, var2 representa k e var3 representa σ. Apesar da região de maior proba-bilidade de A e k estarem próximos do valor real dos parâmetros, a distribuição de σ se encontralonge do valor real.

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O segundo caso, em que temos a adição de cossenos, tem como valores reais dos parâme-

tros semelhantes ao do caso do χ2 mínimo: A1 = 3, k1 = 5, A2 = 5 e k2 = 3. O ruído, também

semelhante ao da análise feita para o χ2 mínimo, tem média µ = 1 e desvio padrão σ = 3. As

distribuições a priori são dadas por distribuições gaussianas, em que a média e desvio padrão são

µ = 3 e σ = 3 para A1 e k2, µ = 5 e σ = 3 para k1 e A2, e µ = 1 e σ = 3 para o parâmetro σ,

relacionado ao ruído. O estado inicial da cadeia é dado por A1 = 15, k1 = 10, A2 = 10, k2 = 15

e σ = 15. O número de iterações é de N = 100000 e o número de pontos finais na cadeia é de

50000.

A curva da função no melhor ajuste dos parâmetros é mostrada na figura 4.13, em que ob-

servamos que a função ajusta bem os pontos simulados. As cadeias Markovianas e as distribuições

posteriori são mostradas na figura 4.14. No resultado da análise, foi obtido um melhor ajuste com

um erro baixo, em relação ao valor real dos parâmetros. O desvio padrão do melhor ajuste ilustra

melhor a baixa taxa de erro.

Figura 4.13: Curva de melhor ajuste da soma de cossenos para análise MCMC. O melhor ajustedos parâmetros é dado por A1 = 3, 25, k1 = 5, 0, A2 = 5, 55, k2 = 2, 99 e σ = 3, 21. O desviopadrão obtido foi de 0, 65 para A1, 0, 05 para k1, 0, 63 para A2, 0, 04 para k2 e 0, 30 para σ.

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Figura 4.14: Cadeias de Markov e distribuições posteriori para a soma de cossenos. Na figura, var1,var2, var3, var4 e var5 representam, respectivamente, A1, k1, σ, A2 e k2. Apesar dos valores baixosdos desvios padrão e do melhor ajuste próximo ao valor real, podemos observar que alguns dosparâmetros possuem mais de um pico em valores distintos, podendo acarretar em um falso melhorajuste para tais parâmetros.

61



Na análise realizada, através do método Nested Sampling, os valores reais dos parâmetros

são levemente diferentes das análises anteriores. No primeiro caso, em que temos a função seno,

teremos que os valores reais dos parâmetros são dados por A = 5, k = 3 e σ = 3. Enquanto

que no segundo caso, da soma de cossenos, temos os valores A1 = 5, k1 = 3, A2 = 3, k2 = 5 e

σ = 3. No primeiro caso, as distribuições a priori, de onde serão retiradas as amostras, são dadas

por distribuições gaussianas, para A e k, com média 2 e 5 e desvio padrão 5 e 5, respectivamente.

Para o parâmetro σ, a distribuição a priori é dada por uma distribuição uniforme, com mínimo 0, 1

e máximo 20. Já no segundo caso, σ, A1 e k1 tem as mesmas distribuições que σ, A e k do caso

anterior. Porém, A2 e k2 são dados por distribuições gaussianas, com média 2 e 5 e desvio padrão

3 e 3.

Os resultados, ilustrados nas figuras 4.15 e 4.16, são próximos aos valores reais dos pa-

râmetros, porém, no segundo caso, o desvio padrão associado ao melhor ajuste dos parâmetros é

maior, se comparado à análise feita na análise MCMC, encontrada na subseção anterior. Enquanto

que no primeiro caso, os valores de melhor ajuste e de desvio padrão foram melhores do que na

análise MCMC. Isso pode ter ocorrido devido ao caráter aleatório do ruído adicionado, cujo efeito

pode ter sido mais acentuado em uma análise ou menos acentuada em outra.

Figura 4.15: Melhor ajuste pelo método Nested Sampling para função seno. Os melhor ajuste dosparâmetros são dados por A = 5, 00, k = 3, 03 e σ = 3, 68. O desvio padrão é de 0, 57 para A,0, 04 para k e 0, 27 para σ.

62


Figura 4.16: Melhor ajuste pelo método Nested Sampling para a soma de cossenos. Os melhorajuste dos parâmetros são dados por A1 = 4, 58, k1 = 3, 03, A2 = 3, 66, k2 = 5, 17 e σ = 3, 68. Odesvio padrão é de 0, 86 para A1, 0, 17 para k1, 0, 80 para A2, 0, 21 para k2 e 0, 46 para σ. Apesardos valores próximos ao melhor ajuste, o desvio padrão associado foi alto, comparado ao MCMC.

4.3 Velocidade radial

Após as análises de casos mais simples, analisaremos, agora, o problema central deste

trabalho. A equação da velocidade radial, dada pela equação 2.20, não será a forma utilizada

nesse trabalho. Alternativamente, a equação utilizada será a mesma equação de trabalhos que já se

mostraram bem sucedidos em inferir parâmetros orbitais. A equação, utilizada por Balan & Lahav

(2008a), Gregory (2006) e Feroz et al. (2011), é dada por

vr = V −K(sin(ν + ω) + e sin(ω)) , (4.4)

em que V é um termo de fase, K é a semi-amplitude de velocidade, ω é a longitude do periastro, e

é a excentricidade e ν é a anomalia verdadeira, cuja equação é dada pela equação 2.7,

tan(ν

2

)=

(1 + e

1− e

)1/2

tan

(E

2

), (4.5)

e E(t), a anomalia excêntrica, é dado, em termos da anomalia média, M(t), pela equação

M(t) = E(t)− e sinE(t) . (4.6)

63


Por fim, temos que a anomalia média é dada pela equação

M(t) = 2π

(t

P− χ

), (4.7)

em que P é o período orbital do sistema e χ é o fator de passagem do periastro, definido no

capítulo 2. A equação 4.5 não possui solução analítica, tendo sido necessário o desenvolvimento

de ferramentas computacionais para solucioná-la.

Os parâmetros livres, que serão ajustados nas análises, são: V , K, ω, e, P , χ e s. s é

um termo relativo ao ruído, considerado gaussiano, como modelado pelos trabalhos citados an-

teriormente. Por ser um termo aditivo, s tem a dimensão de velocidade. Nesse trabalho, iremos

analisar dois casos similares para a velocidade radial no método do χ2 mínimo e apenas um caso

nos outros dois métodos. Utilizando os valores de melhor ajuste dos parâmetros para a estrela HD

187085, iremos aplicar os métodos estatísticos primeiramente para dados simulados (somente na

análise do χ2 mínimo), com ruído gaussiano adicionado, e para os dados reais da velocidade radial

da estrela HD 187085. Os dados reais utilizados foram obtidos pelo Telescópio Anglo-Australiano,

do observatório de mesmo nome, localizado na Austrália. O objetivo dessa seção é comparar os

resultados obtidos com os resultados do trabalho de Balan & Lahav (2008b) e da enciclopédia de

planetas extrassolares 3.

HD 187085 é uma estrela da sequência principal, que se encontra a uma distância de

44, 98pc, na constelação de Sagitário. Tem uma idade estimada de 3, 3Giga-anos, massa de 1, 22M,

metalicidade [Fe/H] de 0, 05 e pertence a classe espectral G0V. Essa estrela possui apenas um pla-

neta descoberto até a data do presente trabalho, o planeta HD 187085b. Os valores dos parâmetros

orbitais do planeta, que serão utilizados nesse trabalho como os valores reais dos parâmetros, no

caso da simulação de dados, são dados por4: K = 17, 25 m.s−1, ω = 0, 46 rad, e = 0, 33, P = 986

dias, χ = 0, 12, V = −0, 99 e s = 5, 51.

A figura 4.17 mostra a curva de velocidade radial obtida por Balan & Lahav (2008a) e será

utilizada para a comparação com as curvas obtidas como resultado desse trabalho.

3Acesso em: 19 de Julho de 2016.4Dados obtidos através do trabalho de Balan & Lahav (2008a) e da enciclopédia de planetas extrassolares. A

simulação de dados será utilizado apenas no método do χ2 mínimo, apenas como uma forma explorar mais o método.Em caso de conflito entre os dados, adotamos os dados da enciclopédia.

64


Figura 4.17: Curva de velocidade radial obtido por Balan & Lahav para HD 187085. Essa curvaserá utilizada na comparação com os resultados obtidos nesse trabalho. (Balan & Lahav 2008b)


Como já mencionado, o primeiro caso trabalhado é o caso em que os dados de velocidade

radial são simulados e um ruído é adicionado sobre estes dados. Os objetivos são: verificar a

precisão do simulador de dados, obter o melhor ajuste dos parâmetros e verificar o quão bem a curva

da velocidade radial no melhor ajuste dos parâmetros ajusta os dados simulados. Por limitação do

método, o parâmetro s, relativo ao ruído, não entra na análise. O primeiro problema apresentado,

na utilização desse método, está no tempo de computação necessário para uma análise com seis

variáveis. Para uma análise bem precisa, duas soluções foram pensadas. A primeira delas consiste

em executar o código numérico, fazendo com que os parâmetros variem em um intervalo grande,

mas com um passo grande nas iterações. Feito isso, executamos o código novamente, dessa vez,

restringindo os valores dos parâmetros e diminuindo o tamanho do passo da iteração, de acordo

com o melhor ajuste obtido anteriormente. Repete-se até que tenhamos um pequeno intervalo dos

parâmetros e fazendo a iteração em pequenos passos. A segunda delas consiste em executar o

código com um grande intervalo e com pequeno passo. O tempo de execução, nesse caso, pode

chegar a mais de 3 dias seguidos de computação, o que não é recomendável. A execução do código

para os resultados apresentados nesse trabalho foi feita seguindo a primeira opção.

A figura 4.18 mostra a curva de velocidade radial no melhor ajuste dos parâmetros. Po-

65


demos observar que, apesar da curva ter se adequado bem aos dados simulados, um pequeno ruído

guassiano, com média µ = 0 e desvio padrão σ = 3, foi o suficiente para que o melhor ajuste, nos

parâmetros ω e e, tenham apresentado um erro muito grande. De modo que essa sensibilidade ao

ruído faz com que esse método não seja adequado na inferência de parâmetros para a velocidade

radial.

O segundo caso estudado, em que a análise é feita através de dados reais de velocidade

radial, a curva no melhor ajuste dos parâmetros e os pontos observados são ilustrados na figura

4.19. Podemos observar que existem muitos pontos que se encontram distantes da curva, o que

significa que a curva não ajusta muito bem os dados reais da velocidade radial. Vemos que, em

geral, os parâmetros obtidos através do método χ2 mínimo possuem um erro alto, em relação aos

parâmetros obtidos por Balan & Lahav (2008b), mostrados na tabela 4.4 da subseção seguinte, com

exceção do fator de passagem do periastro, χ, e do período, P.

Figura 4.18: Curva de velocidade radial no melhor ajuste dos parâmetro para dados simulados. Omelhor ajuste dos parâmetros é dado por: K = 16, 5 m.s−1, ω = 5, 09 rad, e = 0, 51, χ = 0, 1,P = 1000 dias e V = −3 m.s−1. Apesar da curva ajustar bem os parâmetros, o erro nas medidasde ω e e faz com que o método não seja bem sucedido na inferência dos parâmetros.

66


Figura 4.19: Curva de velocidade radial no melhor ajuste dos parâmetros para HD 187085 atravésdo χ2 mínimo. O melhor ajuste dos parâmetros é dado por: K = 14, 8 m.s−1, ω = 1, 12 rad,e = 0, 21, χ = 0, 13, P = 1060 dias e V = 1, 3 m.s−1. Os valores do melhor ajuste ainda possuemum erro alto, comparado com o resultado obtido por Balan & Lahav (2008b)


Nessa subseção, focaremos apenas na análise dos dados reais de velocidade radial da

estrela HD 187085. Seguindo o trabalho de Balan & Lahav (2008b), que utiliza MCMC em sua

análise, o objetivo é obter resultado semelhante ao resultado do referido trabalho.

Gregory (2006) e Balan & Lahav (2008a) sugerem duas possíveis opções de escolha de

distribuições a priori. Balan & Lahav (2008a) mostra, ainda, que há uma leve diferença nos re-

sultados obtidos em cada uma das opções, porém essa diferença não é significativamente alta.

A primeira opção de distribuições a priori é mostrada na tabela 4.3, retirado de Balan & Lahav

(2008a), em que o período, P , segue uma distribuição a priori dada por uma Jeffrey’s Prior, e a

semi-amplitude, K, e o termo de ruído, s, seguem uma Jeffrey’s Prior modificada. A forma mate-

mática de ambas distribuições se encontram na figura. A segunda opção de distribuições a priori,

chamada de Top Hat, consiste em considerarmos todas as distribuições a priori como sendo distri-

buições uniforme, com limites máximos e mínimos iguais aos limites da primeira opção. Como a

diferença entre as duas opções não são significativas, por simplicidade, adotaremos a Top Hat para

a análise feita nesse trabalho.

67


Parâmetro Priori Forma matemática Min MaxP (dias) Jeffreys 1

P ln(PmaxPmin

)0,2 15000

K(m.s−1) Mod. Jeffreys (K+K0)−1

ln(K0+Kmax

K0)

0 2000

V (m.s−1) Uniforme 1Vmax−Vmin

-2000 2000e Uniforme 1 0 1ω Uniforme 1

2π0 2π

χ Uniforme 1 0 1s(m.s−1) Mod. Jeffreys (s+s0)−1

ln(s0+smax

s0)

0 2000

Tabela 4.3: Distribuições a priori dos parâmetros orbitais para o método MCMC. A tabela mostraa distribuição para cada parâmetro, a forma matemática da distribuição e os valores mínimo emáximo de cada parâmetro. Retirada de Balan & Lahav (2008b).

A tabela 4.4 nos mostra o resultado do melhor ajuste dos parâmetros obtido por Balan

& Lahav (2008b). As distribuições posteriori e as cadeias Markovianas obtidas como resultados

desse trabalho se encontram na figura 4.20, enquanto que a curva de velocidade radial no melhor

ajuste se encontra na figura 4.21. Podemos observar que as distribuições posteriori apresentam, em

todos os parâmetros, mais de um pico. Isso se deve ao fato da equação de velocidade radial ser

não-linear e ser multimodal. O ponto inicial da cadeia foi de: K = 25, ω = 0, e = 0, 01, χ = 0, 01,

P = 1500, V = 0 e s = 25. E o número de iterações na cadeia foi de 15 milhões. Mesmo com uma

enorme quantidade de iterações, a execução do código numérico se mostrou mais rápida e eficiente

do que no caso do χ2 mínimo. Como vimos anteriormente, a média do valor dos parâmetros na

cadeia nos dá o valor de melhor ajuste dos parâmetros. Baseado no trabalho de Balan & Lahav

(2008a), o desvio padrão será utilizado como a região de confiança. Os resultados obtidos nesse

trabalho, para as médias e desvios padrão dos parâmetros, se encontram na tabela 4.5. Comparando

as tabelas de resultados, vemos que o código numérico desenvolvido para a análise desse trabalho

nos dá resultados próximos aos resultados encontrados na literatura.

68


Figura 4.20: Cadeia Markoviana e distribuições posterioris para HD 187085. As variáveis var1,var2, ..., são, respectivamente: K, ω, e, χ, P , V e s. As figuras na esquerda representam ascadeias Markovianas dos parâmetros e as figuras na direita representação suas distribuições pos-teriori. Podemos observar que apesar dos valores obtidos terem sido próximos aos resultados deBalan & Lahav (2008b), temos que as distribuições posteriori apresentam mais de um pico. Isso sedá devido a multimodalidade da equação de velocidade radial.

69


Parâmetro Média±desvio padrãoK 17, 25± 9, 01ω 0, 49± 0, 38e 0, 34± 0, 22χ 0, 12± 0, 06P 1066, 00± 45, 86V −0, 99± 1, 63s 5, 51± 1, 09

Tabela 4.4: Melhor ajuste dos parâmetros orbitais obtidos por Balan & Lahav (2008b). Esse resul-tado será usado na comparação com os resultados obtidos nesse trabalho.


Tabela 4.5: Melhor ajuste dos parâmetros orbitais obtidos para HD 187085 através do MCMC.Alguns parâmetros, como K e P , possuem os seus desvios padrão muito baixo, comparado aosresultados da tabela anterior. Isso se deve ao grande número de iterações realizados nessa análise.


Na análise realizada através do método Nested Sampling, os objetivos serão: Obter a curva

de velocidade radial no melhor ajuste dos parâmetros, observando o quão bem se ajustam os dados,

e determinar a eficácia do método, no contexto da velocidade radial, através da comparação do seu

resultado tanto com o obtido por Balan & Lahav (2008b), quanto o obtido na análise do MCMC,

que se encontram nas tabelas 4.4 e 4.5. As distribuições a priori dos parâmetros orbitais serão dados

pelo Top Hat, para melhor comparação entre os resultados.

Análise é feita através de 5000N iterações. Temos, inicialmente, que o número do con-

junto de amostras aleatórias, é de N = 100. Após as substituições dos parâmetros no conjunto de

amostra, para cada iteração, retira-se metade dos pontos do conjunto e analisamos as médias dos

parâmetros e seus desvios padrão. Foi mostrado, nas seções 4.1 e 4.2, que as médias dos parâme-

tros podem ser utilizadas como seus valores de melhor ajuste. A comparação entre likelihoods é

feita através do logaritmo da likelihood. Ao calcular a likelihood, o seu valor vai rapidamente a 0,

70


Figura 4.21: Curva de velocidade radial, através do MCMC, para HD 187085. Podemos observarque a curva ajusta satisfatoriamente os dados, de forma similar à curva encontrada em Balan &Lahav (2008b).

impossibilitando a obtenção do valor mínimo das likelihoods do conjunto dos parâmteros.

A figura 4.22 ilustra a curva de velocidade radial no melhor ajuste dos parâmetros e como

essa curva se ajusta aos dados reais. O melhor ajuste dos parâmetros se encontra na tabela 4.6. Po-

demos perceber, da tabela, que o valor do argumento do periastro, ω, se encontra acima dos valores

contidos nas tabelas 4.4 e 4.5. A análise Nested Sampling se baseia em atualizar o conjunto de

dados, com a condição de que a likelihood nos novos parâmetros seja maior do que a dos parâme-

tros que estejam sendo substituídos, de modo que para um problema com variáveis multimodais,

pode ocorrer do conjunto final de dados ter uma parte de seus valores em um modo e uma parte

em outro. No caso de ω, ocorre algo semelhante, em que uma parte dos dados se encontra próximo

do valor de 0, 50 e uma pequena parte se encontra próximo do valor 5. Isso afeta o valor da média

e do desvio padrão desse parâmetro. Situação semelhante ocorre no parâmetro χ, que apresentou

também um valor alto nessa análise.

A tabela 4.7 mostra o valor de melhor ajuste dos parâmetros orbitais obtidos por Balan &

Lahav (2008b) e os valores obtidos como resultado desse trabalho, para uma maior facilidade na

comparação entre os próprios métodos e a comparação com o resultado de Balan & Lahav (2008b).

71


Figura 4.22: Curva de velocidade radial, através do Nested Sampling, para HD 187085. Podemosobservar que, apesar da análise ter ajustado bem cinco dos sete parâmetros, alguns pontos aindapermanecem distantes da curva.


Tabela 4.6: Melhor ajuste dos parâmetros orbitais obtidos para HD 187085 através do Nested Sam-pling. Alguns parâmetros, como K e P , possuem os seus desvios padrão muito baixo, comparadoaos resultados da tabela anterior. Isso se deve ao grande número de iterações realizados nessaanálise.

Parâmetro Balan & Lahav χ2 mínimo MCMC Nested SamplingK 17,25 14,8 16,74 17,29ω 0,49 1,12 0,32 1,49e 0,34 0,21 0,34 0,34χ 0,12 0,13 0,07 0,21P 1066 1060 1011,46 1060,21V -0,99 1,3 -2,06 -0,93s 5,51 - 5,57 5,32

Tabela 4.7: Comparação entre os melhores ajustes dos parâmetros orbitais obtidos para HD 187085.Na análise do χ2 mínimo, não temos o parâmetro s, relativo ao erro.

72

CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

5.1 Conclusões

Apresentamos, neste trabalho, como inferir sobre os parâmetros orbitais de exoplanetas,

a partir da velocidade radial estelar. Para tal, estudamos detalhadamente ferramentas estatísticas

que nos permite analisar um conjunto de dados e, a partir do conhecimento do modelo matemático

teórico, inferir sobre os parâmetros desse modelo. A partir dos métodos estatísticos estudados,

foram desenvolvidas ferramentas computacionais que pudessem simular dados, com adição de um

ruído, e realizar os testes estatísticos, com a finalidade de obter os valores iniciais dos parâmetros

e analisar a função no melhor ajuste dos parâmetros, obtido como resultado da análise. Os códigos

numéricos desenvolvidos, para a realização de tais funções citadas, foram todos bem sucedidos em

seus respectivos métodos de inferência. O estudo dos testes estatísticos e das ferramentas compu-

tacionais desenvolvidas é realizado em três casos específicos: Equação linear, funções senoidais e

o caso da velocidade radial estelar. Para a velocidade radial, foram utilizados dados reais da estrela

HD 187085. Em cada caso, foram utilizados três métodos estatísticos distintos, o método do χ2

mínimo, o método de Monte Carlo via cadeia de Markov e o Nested Sampling.

A equação linear foi utilizada pela simplicidade da função. No estudo realizado, os três

métodos estatísticos conseguiram ser bem sucedidos para valores de ruídos da mesma ordem de

73

Capítulo 5. Conclusões e perspectivas 74

grandeza dos dados. Na análise feita através do χ2 mínimo, estudamos a forma como a ordem

de grandeza influencia na inferência dos parâmetros. Pôde-se perceber que para altas ordens de

grandeza do ruído, o erro na inferência das medidas se torna muito alto, de modo que o resultado

se torna pouco confiável. No MCMC, mostramos de forma bem sucedida que os valores de melhor

ajuste se encontram nas regiões de maior probabilidade das distribuições posteriori. E no Nested

Sampling, concluímos que a média dos parâmetros no conjunto ativo pode ser utilizado como o

melhor ajuste.

O caso de equações senoidais foi escolhido como forma introdutória ao caso da veloci-

dade radial. Duas situações foram estudadas, a de uma função seno e a da soma de duas funções

cossenos, com amplitudes e frequências diferentes. Com exceção do χ2 mínimo, que não ajustou

bem os parâmetros do segundo caso, os melhores ajustes obtidos foram aproximadamente iguais

aos valores reais dos parâmetros usados para simular os dados. No caso da função seno, o método

Nested Sampling conseguiu ajustar os dados de forma mais satisfatória. Porém, no caso da soma

de cossenos, o MCMC foi o método que obteve o melhor resultado e com o menor desvio padrão

dos parâmetros.

O caso da velocidade radial, que é o objeto de estudo desse trabalho, tem uma equação

altamente complexa, em que ela é não-linear e multimodal. A inferência é feita em cima de seis

parâmetros, no método do χ2 mínimo, e de sete parâmetros, nos métodos MCMC e Nested Sam-

pling. O método do χ2 mínimo não foi bem sucedido tanto na análise com dados simulados, quanto

na análise dos dados reais. Nesse método, os erros dos parâmetros, em relação aos seus valores

utilizados na simulação ou os obtidos por (Balan & Lahav 2008b), foram altos. O erro no resultado

do método do χ2 mínimo já era antecipado, uma vez que o método é apropriado apenas para equa-

ções lineares e pela falha do método em ajustar os parâmetros no caso trabalhado anteriormente,

da soma de cossenos. Trabalhos como o de Cumming (2004) utilizam um método do χ2 mínimo

não-linear para a inferência de parâmetros, em conjunto com o periodograma de Lomb-Scargle. O

método MCMC foi bem sucedido na inferência dos parâmetros, ajustando de forma satisfatória os

sete parâmetros livres. O resultado obtido, através desse método, foi próximo ao resultado obtido

por Balan & Lahav (2008b). Por fim, a análise através do método Nested Sampling conseguiu

ajustar bem cinco dos sete parâmetros. Os outros dois parâmetros tiveram um alto erro, em relação

74

Capítulo 5. Conclusões e perspectivas 75

aos resultados de Balan & Lahav (2008b), devido a multimodalidade da equação. Assim, necessi-

taríamos de um método mais robusto e que possa inferir os parâmetros de forma mais eficiente.

5.2 Perspectivas

Esse trabalho tem potencial para futuras explorações e aprofundamento. Uma análise pode

ser realizada através dos dados de velocidade radial para estrelas em sistemas multiplanetários. Mé-

todos estatísticos mais robustos tem sido desenvolvidos dentro do contexto da astronomia, como no

trabalho de Feroz & Hobson (2008), que sugere uma generalização do Nested Sampling para a so-

lução de problemas multimodais, e o trabalho de Brewer & Donovan (2015), que sugere uma forma

rápida e eficaz para a análise de dados de sistemas multiplanetários. Dessa forma, implementando

métodos mais eficazes, a evolução do trabalho pode levar a inferência mais precisa dos parâmetros

orbitais, de sistemas multiplanetários e de planetas de baixa massa, cuja velocidade radial estelar é

da ordem de grandeza de poucos centímetros.

75

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ferramentas da astroestatÍstica para o estudo da ... · os resultados com os obtidos na...

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