falha

8. ANÁLISE DE FALHAS – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS COMPÓSITOS

A falha de um elemento estrutural ocorre quando este não pode mais realizar sua

função. A fratura do material é o tipo de falha mais óbvio, mas não é o único. Deflexões

excessivas também são consideradas falhas. Deflexões são mais fáceis de predizer que

danos ou fraturas.

Este capítulo trata da análise de falhas em materiais compósitos laminados.

Apresentam-se as considerações relativas aos principais tipos de falhas que ocorrem nas

lâminas de materiais compósitos reforçadas por fibras, assim como os critérios

macroscópicos utilizados na detecção destes tipos de falhas.

Um modelo de degradação de rigidez de uma lâmina, em presença de falhas é

apresentado, considerando os diferentes modos de falha e sua correspondente modificação

na matriz constitutiva do material.

No presente estudo, propõe-se um modelo de falhas que considere a idade do

material, ou seja, quanto maior o tempo de envelhecimento, maior a suscetibilidade para

ocorrência de falhas.

A degradação provocada pelo envelhecimento nos materiais compósitos, em geral,

afeta de forma mais intensa a matriz. Por isto, as propriedades que dela dependem

apresentam uma maior redução. O critério de falha com envelhecimento deve, portanto,

considerar que à medida que o material envelhece, a probabilidade de falha na matriz é

proporcionalmente mais elevada que a probabilidade de falha nas fibras.

8.1 Abordagem de falhas

Os materiais compósitos possuem mecanismos de falhas bem mais complexos que

os materiais isotrópicos, até porque, no caso dos primeiros, deve-se considerar todos os

tipos de falhas de cada um dos materiais componentes, acrescidos das falhas de degradação

do compósito.

As falhas nas estruturas de materiais compósitos de lâminas constituídas de fibras e

matriz ocorrem, basicamente, de quatro modos:

- ruptura por tração e flambagem por compressão das fibras;

- ruptura da matriz;

- perda de aderência entre fibras e matriz;

- delaminação (ou separação entre as camadas do laminado).

Nos três primeiros, a falha relaciona-se com as propriedades e características dos

materiais constituintes das lâminas, enquanto que no último, tem-se a dependência do

esquema de laminação e das tensões interlaminares geradas.

Além disto, tem-se o efeito de agentes externos, que tendem a diminuir a resistência

do laminado.

Uma característica interessante é que, após a falha de uma lâmina, o laminado pode

ainda ser capaz de sustentar o carregamento aplicado. O que muda é a rigidez do laminado.

Desta forma, referem-se à falhas progressivas.

O estudo de falhas nos compósitos pode ser abordado segundo a micro ou a

macromecânica, porém, os aspectos micro-estruturais da falha são tão complexos que seria

difícil à resolução destes problemas com base nos métodos da micromecânica. Por isso,

normalmente adotam-se os conceitos de critérios de falha, baseados na abordagem

macromecânica. Neste caso, têm-se falhas na direção das fibras, falhas na direção

perpendicular a esta e delaminação, mas não são consideradas falhas separadamente nas

fibras e matriz.

Os critérios de falha são representados por superfícies de ruptura no espaço de

tensões ou deformações. Matematicamente, tem-se

( ) 1,,,, 54321 =Ψ σσσσσ (8.1)

ou

( ) 1,,,, 54321 =Ψ εεεεε (8.2)

Existem vários tipos de critérios de falha. Quanto a sua apresentação matemática,

podem ser polinomiais ou apenas fornecem um limite de tensões ou deformações nas

direções principais do material.

Os critérios polinomiais têm a forma

1... =+++ kjiijkjiijii FFF σσσσσσ (8.3)

em termos de tensões e

1... =+++ kjiijkjiijii GGG εεεεεε (8.4)

em termos de deformações. Os coeficientes dos polinômios são obtidos de dados

experimentais.

No caso do critério ser apenas um limite para tensões ou deformações, os efeitos da

interação das mesmas são negligenciadas. Já entre os critérios polinomiais, o polinômio

linear, normalmente, subestima a resistência do material, sendo, portanto, mais comumente

utilizados polinômios de ordem mais elevada. Os critérios quadráticos são os mais usados,

sendo o de Tsai-Wu um dos mais conhecidos. Quanto ao tipo de análise de falha, tem-se os

critérios que identificam simplesmente a ocorrência de falha e os que consideram os

diferentes modos de falha, e por isso, servem para serem empregados em analises de falhas

progressivas.

A seguir, são apresentados os critérios que se encontram implementados nesta

formulação, cabendo, ainda, salientar que, neste trabalho, a lâmina é considerada

transversalmente isotrópica, com o plano de isotropia sendo o plano 2-3. Neste caso, temos

que as resistências ao cisalhamento nos planos 1-2 e 1-3 são iguais. As direções principais

da lâmina (1, 2 e 3) encontram-se representadas na figura 4.3. E para as equações

apresentadas no seguinte tópico vale a notação abaixo.

Xt - resistência à tração na direção das fibras

Yt - resistência à tração na direção transversal às fibras

Xc - resistência à compressão na direção das fibras

Yc - resistência à compressão na direção transversal às fibras

SA - resistência ao cisalhamento nos planos 1-2 e 1-3

ST - resistência ao cisalhamento no plano 2-3

Obs.: se usarmos valores últimos, devemos considerar fator de segurança no projeto.

Pode-se usar valores permissíveis que já incorporem FS.

É importante observar que, na presente formulação, a resistência do material varia

em função da idade do mesmo, ou seja, as resistências limite, cuja notação foi apresentada

no parágrafo anterior, são, na realidade, funções do tempo, e não valores constantes como

se utiliza em análises sem consideração de efeitos de envelhecimento.

8.2 Critérios de falha

Os critérios de falha são equações com parâmetros ajustados com base em dados

experimentais de falha de uma lâmina de compósito, que são usados em situações para as

quais não se têm dados disponíveis. Os critérios de falha são ajustados usando-se dados

experimentais obtidos de testes simples com uma lâmina de compósito

Figura 8.1 - Lâminas

Na ausência de dados experimentais, os valores de resistência podem ser obtidos

através da micromecânica, como vimos anteriormente.

Em metais, consideram-se dois limites de tensão. A tensão de escoamento, que

caracteriza o fim do comportamento elástico do material. A tensão última caracteriza a

fratura do material. Após o escoamento, deformações permanentes são induzidas e o

material já possui dano, mas o colapso só ocorre quando a tensão última for atingida.

Em compósitos reforçados com fibras longas, os dois limites usualmente coincidem

e o material apresenta comportamento elástico até a falha.

Na realidade, danos internos podem ocorrer antes da tensão última. Desta forma, o

início destes danos pode ser considerado como um primeiro limite equivalente à tensão de

escoamento nos metais. Pois, embora não hajam deformações permanentes, os danos

internos aceleram efeitos secundários. Por exemplo: fissuras na matriz facilitam a entrada

de umidade que reduz a vida útil do compósito.

Para materiais isotrópicos, os critérios mais utilizados são os de vanMisses e Tresca.

8.2.1 Critério de Tsai-Wu

Este critério apresenta forma polinomial quadrática e pode ser expresso em termos

de tensões ou deformações.

1=+ jiijii FF σσσ (8.5)

onde, para um material com diferentes resistências em tração e compressão, os

parâmetros Fi e Fij são calculados como segue.

ct XXF 11

1 −=ct YY

F 112 −=

ct XXF

⋅=

111

ct YYF

⋅=

122 (8.6)

24433 )(1

ASFF == 255 )(

1

TSF =

221112*

12 FFFF ⋅⋅=

O fator 12*F é determinado por intermédio de uma variedade de testes de tensão

biaxiais tração-tração, tração-compressão e compressão-compressão. Estes testes são de

difícil execução e existem incertezas quanto ao fato dos valores obtidos nos diferentes

testes poderem ser aproximados. Além disto, os testes deveriam ser feitos para diferentes

idades do material.

Levando em conta que a falha ou resistência de falha do material não varia com a

mudança de sinal das tensões de cisalhamento, ao contrario do que acontece no caso da

mudança de sinal das tensões normais, os termos lineares referentes a tensões de

cisalhamento devem desaparecer.

A expressão do Critério de Tsai-Wu em termos de tensões para uma lâmina

transversalmente isotrópica fica

12 2555

2444

2333

2222

211121122211 =+++++++ σσσσσσσσσ FFFFFFFF .

(8.7)

Alternativamente pode-se escrever o critério em função de deformações.

1=+ jiijii GG εεε (8.8)

A principal limitação do Critério de Tsai-Wu é que ele não considera o fato de que

as falhas nas fibras e matriz ocorrem de modos muito distintos, pois define a ocorrência de

falha através de uma única expressão e, por isso, não serve para análises de falhas

progressivas.

8.2.2 Critério de Hashin

Hashin (1980), considerando que uma lâmina reforçada por fibras unidirecionais,

dispostas na direção 1, é transversalmente isotrópica no plano perpendicular à direção das

fibras, afirmou que o critério de falha não deve variar devido a rotações no plano 2-3 e,

portanto, deve ser função dos invariantes de tensão com relação às rotações em torno do

eixo 1, dados em (4.9).

( )

21233

213221323125

213

2124

223

2332233322

2233

33222

111

2

41

σσσσσσσ

σσ

σσσσσσ

σσσ

−−=

+=

+−=−=

+==

I

I

IouI

II

(8.9)

As componentes de tensão que aparecem em (8.9) são aquelas representadas na

figura 2.1. Cabe lembrar que, como os eixos 2 e 3 podem girar em torno do eixo 1, a

componente 33σ pode não ser normal ao plano médio da lâmina.

Afirmando ainda que a aproximação quadrática é a mais simples entre as que

apresentam bons resultados, Hashin (1980) propôs um critério polinomial quadrático que

apresenta a seguinte forma geral

1443321122

22222

1111 =++++++ IAIAIICIBIAIBIA (8.10)

sendo 1A , 2A , 3A , 4A , 1B , 2B e 12C constantes do material dependentes do

modo de falha e 1I , 2I , 3I , 4I e 5I os invariantes de tensão no plano 2-3, dados pelas

equações (8.9).

O critério leva em conta os diferentes modos de falha e foi enunciado como segue:

Modo de tração nas fibras

12

132

12

2

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

AT SXσσσ . (8.11)

Modo de compressão nas fibras

12

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

CXσ (8.12)

Modo de tração na matriz

( ) ( ) ( ) 1111 213

2123322

223

23322 =++−++ σσσσσσσ

ATT SSY(8.13)

Modo de compressão na matriz

( ) ( ) ( ) ( ) 1114

114

1 213

2123322

223

233

2223322

2

=++−+−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− σσσσσσσσσ

ATTT

C

C SSSSY

Y

(8.14)

8.2.3 Critério de Lee

Lee (1980, 1982) propôs um critério de determinação direta do modo de falha

baseado inteiramente no empirismo.

Modo de tração nas fibras

112

132

1211 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

AT Sou

Xσσσ

(8.15)

Modo de compressão nas fibras

12

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

CXσ (8.16)

Modo de tração na matriz

( ) 111 213

212

22 =+= σσσ

TT Sou

Y(8.17)

Modo de compressão na matriz

12

22 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

CYσ (8.18)

Delaminação

( ) 111 213

223

33 =+= σσσ

AT Sou

Y(8.19)

Tanto no Critério de Lee como no Critério de Hashin admite-se que a falha é

produzida apenas pelas tensões que agem no plano da mesma. No Critério de Lee, as

tensões normais e de cisalhamento são consideradas independentemente.

8.2.4 Critério da Máxima Deformação (para materiais com envelhecimento)

Este critério é bastante intuitivo, pois estabelece que a falha se dá quando uma das

componentes de deformação atuantes segundo as direções principais da lâmina atinge o seu

respectivo valor limite determinado experimentalmente.

Segundo o Critério da Máxima Deformação, a falha ocorre quando uma das

condições abaixo for satisfeita.

Alongamento

112

22

2

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

tt YX εε

εε(8.20)

Encurtamento

112

22

2

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

cc YX εε

εε(8.21)

Distorção

1112

23

2

13

2

12 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

TAA SSS εεε

εεε

(8.22)

onde

tX ε - limite de deformação de alongamento na direção 1 - 1EX t

cX ε - limite de deformação de encurtamento na direção 1 - 1EX c

tYε - limite de deformação de alongamento na direção 2 - 2EYt

cYε limite de deformação de encurtamento na direção 2 - 2EYc

ASε - limite de deformação de cisalhamento nos planos 1-2 e 1-3 - 12GS A

TSε - limite de deformação de cisalhamento nos planos 2-3 - 23GST

Estes limites devem ser obtidos experimentalmente.

O critério da máxima deformação é um critério de falha que, embora seja simples,

fornece bons resultados em comparação com outros critérios e dados experimentais

(Oliveira e Creus, 2000). Além disto, é um critério de aplicação direta e fornece a

diferenciação entre os modos de falha, o que é necessário em análises de falhas

progressivas. Por estas razões, ele é o critério preferencial no presente trabalho e é adotado

nas análises de falhas apresentadas no capítulo de exemplos. É muito popular na indústria.

8.2.5 Critério da Máxima Tensão

Este critério prediz a falha na lâmina, assumindo que esta ocorre quando uma das

componentes de tensão nas direções principais da lâmina atinge o seu valor limite.

Tração

112

22

2

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

tt YXσσ

Compressão

112

22

2

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

cc YXσσ

Distorção

1112

23

2

13

2

12 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

TAA SSSσσσ

Exemplo 1:

Usando o Critério da Máxima Tensão, calcule o fator de segurança para uma lâmina

sujeita ao estado de tensões

050

50200

54

123

2

1

====

−==

σσσσ

σσ

MPaMPaMPa

O material é carbono-epoxy com valores de resistência

MPaSSMPaY

GPaXMPaY

GPaX

TA

c

c

t

t

.75.131

134,119

826,1

======

Cálculo:

5,15075

62,250131

13,9200

1826

3

2

11

==

==

===

MPaMPaFS

MPaMPaFS

MPaMPaXFS t

σ

Resposta: o fator de segurança é 1,5.

Comparação entre critérios:

Figura 8.2 – comparação entre critérios

Critérios, como o da Máxima Tensão (e Máxima Deformação), desconsideram

efeitos de interação entre tensões e, por isso, não acusam falha no ponto P (por ex.) e

acusam falha em Q, sendo, neste último caso, conservadores.

Exemplo 2:

Identifique o modo de falha que irá ocorrer na lâmina do exemplo anterior se a

mesma estiver sujeita ao seguinte estado de tensões

050

1002000

54

123

2

1

====

−==

σσσσ

σσ

MPaMPaMPa

.

1,11826200011 ==

tXσ modo de falha por tração nas fibras (na direção das fibras)

667,07550

76,0131100

12

22

==

==

A

c

S

Y

σ

σ

* fazer usando Hashin e Lee

Resultados: 5,131,1913,01221

===σσσ

Act SYX

8.3 Falhas Progressivas

No item anterior forma apresentados alguns dos critérios de falha mais usados para

prever-se a falha (ou as falhas) de uma lâmina.

Para prever-se a falha final do laminado usa-se a análise de falhas progressivas, cuja

abordagem clássica consiste em usar um dos critérios de falha descritos na seção anterior

para prever a falha da primeira lâmina (ou primeira falha – FPF – First Ply Failure).

Depois, para cada lâmina com falha faz-se uma degradação da respectiva rigidez e a carga é

incrementada até que ocorra a falha da última lâmina (ou falha última – LPF – Lãs Ply

Failura).

A FPF está, usualmente, associada à falha na matriz , uma vez que a resistência da

matriz é, geralmente, inferior a das fibras. A LPF está, em geral, associada à falha das

fibras que são mais resistentes.

Este procedimento apresenta duas dificuldades principais para sua aplicação:

- obter valores realistas para a resistência do material e

- obter um modelo de degradação das lâminas que alie simplicidade e coerência com

os fenômenos reais.

8.3.1 Falha da Primeira Lâmina (FPF)

A carga para a qual ocorre à falha da primeira camada do laminado obtém-se

aplicando os critérios de falha vistos anteriormente. O cálculo das tensões nas camadas do

laminado é feito como foi visto no capítulo anterior.

Uma vez que a distribuição de tensões é descontínua e linear através da espessura

do laminado, os valores máximos estarão no topo ou na parte inferior da lâmina.

Figura 8.3 – Distribuição de tensões nas camadas

Para verificar se a lâmina (camada) irá falhar para um dado carregamento aplicado,

calcula-se as tensões nas laminas devido a este carregamento, e, uma vez conhecidos os

valores da tensão no topo e na parte inferior de cada camada, aplica-se um critério de falha.

O valor mínimo obtido, calculado para todas as camadas é o fator de segurança do

laminado.

Se o fator de segurança for menor do que uma unidade ou menor do que o valor

desejado, é preciso reprojetar o laminado. Se o fator de segurança for muito grande, isto

indica que o laminado está superdimensionado e pode-se reprojetá-lo, reduzindo custos.

Exemplo 1:

Use o Critério da Máxima Tensão para calcular a carga para a primeira falha (FPF)

para um laminado [ ]s90/0 sujeito a uma carga Nx = 175 KN/m . Cada lâmina possui

2,54mm de espessura e as propriedades do material são

25,0189

54

12

2

12

1

====

νGPaEGPaGGPaE

MPaSMPaY

GPaXMPaY

GPaX

A

c

c

t

t

41138

034,131

034,1

=====

A relação tensão-deformação nas coordenadas principais da lâmina (cada lâmina) é

[ ] GPaG

EEEE

Q⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∆∆∆∆

=900038,186,406,415,55

0000

12

2212

2121

νν

9792,011

21212 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∆

EEνν

* não há acoplamento entre extensão e flexão Bij = 0

Como o laminado é simétrico e só há carga plana, é necessário calcular apenas a

matriz [A] .

( ) 3,2,1,1

==∑=

jitQAN

kkkijij

[ ] [ ] GPaQQ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== °°

900038,186,406,415,55

00

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

200010001

R

[ ] [ ][ ][ ][ ][ ] GPaTTRQTQ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== −−

°

900015,556,406,438,18

1190

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

100001010

coscoscoscos2coscos2cos

22

22

22

θθθθθθθθθθθθθθ

sensensensensensensen

T

[ ] [ ]TT =⇒°= −190θ

mMPaA .44,9100

05,37374,46074,465,373

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Como o laminado possui a mesma quantidade de material orientado a 0° e 90°

A11 = A22 .

As deformações na superfície média são

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x

NNN

33

2212

1211

0

0

0

0000

ααααα

γεε

[ ] [ ] mMPaA ./1094,1000

072,23403,003403,072,2

31 −− ⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−==α

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−⋅

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

−

01055,59

104766

6

0

0

0

xy

y

x

γεε

Como as curvaturas são zero (não há momento aplicado), as deformações são

constantes ao longo da espessura do laminado.

[ ] MPaQ

xy

y

x

xy

y

x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧°

°

009,1

260

0

γεε

σσσ

[ ] MPaQ

xy

y

x

xy

y

x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧°

°

009,1

47,890

90

γεε

σσσ

°°

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ 0

3

2

1

0

σσσ

σσσ

xy

y

x

e[ ] MPaT

xy

y

x

xy

y

x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧°°

047,809,1

9090

σσσ

σσσ

CAMADA σ1 (MPa) σ2 (MPa) FS1 FS2

0° 26 1,09 39,8 1 28,4 3

90° -1,09 8,48 948,6 2 3,66 4

1 = xt / σ1 = 1034 / 262 = xc / σ1 = 1034 / 1,093 = yt / σ2 = 1034 / 1,094 = yc / σ2 = 1034 / 31

Como o FSmin = 3,66 , a carga da FPF é NFPF = 175 x 3,66 = 640,5 KN / m

Para esta carga, as duas camadas do centro apresentarão falha na direção transversal.

A tensão nas camadas centrais da falha é σ2 = 8,48 x 3,66 = 31MPa, que é, logicamente, a

resistência do material (yt = 31MPa).

8.3.2 Falha Última (LPF)

Após a falha de uma das camadas, ocorre uma redistribuição de tensões. Parte das

tensões (ou toda) carregadas pela camada que falhou deve ser transferida para as camadas

intactas. Para obter a carga para a qual a próxima camada irá falhar, deve-se recalcular as

tensões no laminado, considerando a degradação ocorrida na lâmina já falhada.

Figura 8.4 – Falhas nas camadas

A degradação pode ser considerada como uma redução nas propriedades, ou seja, na

rigidez da lâmina. Desta forma, no caso de falha transversal às fibras, pode-se representar a

perda de rigidez como

01212

02323

01212

022

011

νν fd

fdGG

fdGG

fdEE

EE

=

=

=

=

=

onde o índice ° indica a propriedade da lâmina intacta e fd é um fator de redução

que pode ser determinado experimentalmente. A determinação deste fator sempre envolve

dificuldades.

Representar a degradação é o “calcanhar de Aquiles” da análise de falhas.

8.3.2.1 Modelo de degradação da lâmina

A fim de realizar a análise de falhas progressivas, necessita-se empregar um modelo

de degradação da lâmina para efetuar as modificações na rigidez do material à medida que

as falhas avançam. Tal degradação, na realidade, ocorre de maneira bastante complexa

devido às características dos materiais compósitos. No entanto, pode-se empregar um

modelo simples de degradação que consiste em anular ou reduzir convenientemente os

termos da matriz constitutiva do material referentes ao modo de falha ocorrido. Este

procedimento encontra-se ilustrado em alguns trabalhos como Lee (1982), Tolson e

Zabaras (19991) e Cheung et al (1995).

Figura 8.5 – Planos principais da lâmina

Plano 1-2

Plano 2-3

Plano 1-3

Falha na direção das fibras – direção 1

Figura 8.6 Falha na direção 1

Neste caso, pode-se considerar que

1212

01212

022

011

νν fdfdGG

EE

fdEE

==

=

=

0545

34

23

02122

0111

σσ

σσ

σσ

σσ

fd

fdfdfd

fd

=

===

=

Desta forma, a matriz constitutiva do material para o modo de falha nas fibras, fica

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

2

1

22

3

2

1

33

2212

012

011

00000000

0000

εεε

σσσ

CRQ

RQRQRQRQ

Q d (8.22)

Falha na direção perpendicular às fibras – direção 2

σ22 σ23

σ21

σ12

σ11

σ13

σ32

σ31

σ21

σ12

σ11

σ13

σ32

σ31

Figura 8.7 – Falha na direção 2

Observando a figura, percebe-se que, para este tipo de falha, as tensões nas direções

principais do material ficariam

01212

02323

01212

022

011

νν fd

fdGG

fdGG

EE

fdEE

=

=

=

=

=

13513

22411

13323

12221

11122

00000

σσσσσσσσσσ

fdfdfdfdfd

≠≠===

(8.23)

E a matriz constitutiva correspondente ao modo de falha na matriz assume a forma

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

2

111

3

2

1

033

02212

012

011

00000000

0000

εεε

σσσ C

RQRQRQRQRQ

Q d (8.24)

A falha por cisalhamento pode ocorrer nos planos 1-2, 1-3 e 2-3

Falha por cisalhamento no plano 1-2

ε12

ε21

Figura 8.8 – Cisalhamento no plano 1-2

Considerando que as fibras possuam maior resistência que a matriz, a ruptura se

daria da seguinte forma:

Figura 8.9 – Ruptura por cisalhamento no plano 1-2

Isto caracteriza falha na matriz, e, neste caso, a matriz constitutiva sofre as

modificações a este tipo de falha.


Figura 8.10 – Cisalhamento 1-3


ε12

ε21

ε13

ε31

ε13

ε31

Neste caso, ocorreria uma espécie de delaminação na matriz da lâmina e esta

perderia sua resistência aos cisalhamentos 13ε e 23ε . Assim sendo, as tensões ficariam

00000

21

22

11

13

23

≠≠≠==

σσσσσ

(8.25)

E a matriz constitutiva fica

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5

4

3

2

1

33

2212

1211

5

4

3

2

1

00000000000000000000

εεεεε

σσσσσ

CCCCC

(8.26)


Figura 8.12 – Cisalhamento 2-3

ε23

ε32

ε23

ε32


Neste caso haveria ruptura da matriz equação.

Exemplo 2:

Calcule a carga da próxima falha para o laminado do exemplo anterior. A carga de

FPF é 640,5 KN/m (para um FS = 3,66). As duas camadas do centro falham na direção 2 e,

admitindo que as propriedades da lâmina sofram uma redução dada por

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0000000011Q

Q d ,

tem-se que relação tensão-deformação das camadas degradadas será

[ ] GPaQ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=°

9000000015,55

0 [ ] GPaQ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=°

900015,550000

90

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

72,450005,37337,23037,232,280

A [ ] [ ] 1−= Aα

mmGPamkNmNmNmmmmN ./10/10/1000.10/.10 66323 ====

[ ] [ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0438,1298,2

00

5,640

0

0

0

ααγεε

xy

y

x

xy

y

x

NNN

[ ]°

°

°

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ 0

12

2

1

0

0

0

0

0

0929,7

1,126

σσσ

γεε

σσσ

MPaQ

xy

y

x

xy

y

x

[ ] MPaQ

xy

y

x

xy

y

x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧°

°

0929,70

0

0

0

90

90

γεε

σσσ

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

00929,7

12

2

1

σσσ

σσσ

xy

y

x

T

CAMADA σ1 (MPa) σ2 (MPa) FS1 FS2

0° 126,1 7,929 8,2 1 3,91 3

90° -7,929 0 130,4 2 X1 = xt / σ1 = 1034 / 126,12 = xc / σ1 = 1034 / 7,9293 = yt / σ2 = 1034 / 7,929

mKNN /4,250491,35,640 =⋅=

falha

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