fabiana gerusa leindeker da silva - ufsm

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL

CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM

ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO

Fabiana Gerusa Leindeker Da Silva

EXPLORANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS NO

ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Santa Maria, RS

2016

Fabiana Gerusa Leindeker da Silva



Trabalho de conclusão apresentado no

Curso de Especialização, em nível de Pós-

Graduação Latu Sensu, Ensino de

Matemática no Ensino Médio da

Universidade Federal de Santa Maria

(UFSM, RS), como requisito parcial para

obtenção do título de Especialista em

Ensino da Matemática no Ensino Médio.

Orientadora: Profª Drª. Maria Cecilia Pereira Santarosa

Santa Maria, RS

2016

Fabiana Gerusa Leindeker da Silva



Trabalho de conclusão apresentado no

Curso de Especialização, em nível de Pós-

Graduação Latu Sensu, Ensino de

Matemática no Ensino Médio da

Universidade Federal de Santa Maria

(UFSM, RS), como requisito parcial para

obtenção do título de Especialista em

Ensino da Matemática no Ensino Médio.

Aprovada em 14 de maio de 2016:

Maria Cecilia Pereira Santarosa, Dr.ª (UFSM)

(Presidente/Orientadora)

Luciane Gobbi Tonet, Dr.ª (UFSM)

Valeria de Fatima Maciel Cardoso Brum, Dr.ª (UFSM)

Santa Maria, RS

2016

RESUMO


ENSINO DOS NÚMROS COMPLEXOS

AUTORA: Fabiana Gerusa Leindeker da Silva

ORIENTADORA: Maria Cecilia Pereira Santarosa

Este trabalho de conclusão de curso apresenta uma proposta de ensino de Números

Complexos explorando as suas propriedades geométricas e o uso de coordenadas

polares com base na forma trigonométrica deste conjunto. Nas atividades propostas são

exploradas com detalhe as operações de rotação, contração e dilatação no plano,

proporcionadas pelas operações de multiplicação e potenciação de Números

Complexos. Além disso, exibe-se um encontro com os polígonos regulares através da

radiciação de números complexos e explora-se o cálculo da área destes polígonos

levando a generalização de uma fórmula para o encontro da área de um polígono regular

de lados gerado a partir da raiz enésima de um número complexo. Estas propostas tem

o objetivo de ampliar as formas de exibição e discussão de Números Complexos e estão

direcionadas ao professor de matemática do Ensino Médio que busque por novas

estratégias de ensino.

ABSTRACT

EXPLORING THE GEOMETRIC PROPERTIES IN

EDUCATION OF COMPLEX NUMBERS

AUTHOR: Fabiana Gerusa Leindeker da Silva

ADVISER: Maria Cecilia Pereira Santarosa

This course conclusion work presents a Complex Numbers of teaching proposal

exploring its geometric properties and the use of polar coordinates based on the

trigonometric form of this set. The proposed activities are explored in detail the rotation

operations, contraction and expansion in the plan, provided by the multiplication

operations and leveraging Complex Numbers. It also displays up a meeting with the

regular polygons by root extraction of complex numbers and explores the calculation of

the area of these polygons leading to generalization of a formula to find the area of a

regular polygon of n sides generated from nth root of a complex number. These

proposals have the aim of expanding the forms of display and discussion of Complex

Numbers and are directed to high school math teacher who seeks new teaching

strategies.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 7

2 UM POUCO DA HISTÓRIA SOBRE O SURGIMENTO DOS

NÚMEROS COMPLEXOS .....................................................................

10

3 NÚMEROS COMPLEXOS ..................................................................... 13

3.1 DEFINIÇÃO .............................................................................................. 13

3.2 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA .......................................................... 13

3.2.1 Considerações sobre a Unidade Imaginária ........................................... 14

3.2.2 Igualdade entre Números Complexos ..................................................... 15

3.2.3 Operações com Números Complexos na Forma Algébrica ................... 15

3.2.4 Conjugado de um Número Complexo ..................................................... 15

3.2.5 Conjugado da Soma, do Produto e de uma Potência .............................. 16

3.2.6 Divisão entre Números Complexos.......................................................... 16

3.3 PLANO DE ARGAND-GAUSS .................................................................. 17

3.3.1 Módulo de um Número Complexo ........................................................... 18

3.3.2 Propriedades Imediatas do Módulo ........................................................ 18

3.3.3 A Trigonometria dos Números Complexos ............................................. 19

3.3.4 A Forma Trigonométrica dos Números Complexos ............................... 20

3.3.5 Multiplicação e Divisão de Números Complexos na Forma

Trigonométrica .........................................................................................

21

3.3.6 Potenciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica .......... 23

3.3.7 Radiciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica ........... 24

4 PLANO DE AULA – ANÁLISE A PRIORI ........................................... 26

4.1 O PLANO DE AULA ................................................................................. 26

4.1.1 Exemplos apresentados no Início da Aula Inédita .................................. 27

4.1.2 Soluções e Considerações sobre os Objetivos das Atividades

Propostas ...................................................................................................

33

5 ANÁLISE A POSTERIORI ..................................................................... 50

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................... 63

REFERÊNCIAS ....................................................................................... 64

ANEXO ..................................................................................................... 65

7

1 INTRODUÇÃO

A experiência com o ensino da Matemática mostra que no Ensino Médio pouco

se vê sobre números complexos. Em algumas escolas, este não é mais um conteúdo a

ser abordado. De acordo com CARNEIRO (2004) nos cursos superiores de Licenciatura

e Bacharelado em Matemática, os números complexos são considerados como conteúdo

trivial do Ensino Médio, sendo neste último, evitados por serem taxados de estranhos e

de difícil compreensão. Além disso, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio

(OCEM) não fornecem muitas indicações quanto ao ensino de números complexos.

Consta apenas a motivação de introduzir estes números com enfoque histórico na

necessidade de se obter soluções para equações do segundo grau, sugerindo ainda, que

isto seja feito a partir da equação .

Os números complexos, quando fazem parte dos conteúdos do Ensino Médio,

são, em geral, abordados no terceiro ano, quando também é estudada a Geometria

Analítica. Mesmo existindo conexões entre os dois conteúdos, os números complexos

são vistos isolados. Este conjunto, sem conexão com outras áreas do conhecimento ou

com outros conteúdos matemáticos, torna-se desinteressante e sem utilidade prática. Os

números complexos aparecem naturalmente em muitas aplicações das áreas cientificas.

São eles uma ferramenta fundamental, por exemplo, nas engenharias, como na

Engenharia Elétrica na análise de circuitos de corrente alternada, grandezas com a

impedância (em ohm) e potência aparente (em volt-ampere) expressas por números

complexos.

Também no estudo de números complexos pode-se buscar conexões com outros

conteúdos matemáticos, como a Geometria Plana, a Geometria Analítica já mencionada

anteriormente, entre outros. Os números complexos facilitam o cálculo e a resolução de

muitos problemas. Fazendo uso deste conjunto é possível demonstrar alguns teoremas

da Geometria Plana com mais facilidade e também resolver problemas da Geometria

Analítica mais rapidamente.

O objetivo deste trabalho é apresentar uma aula inédita com foco na

representação geométrica dos números complexos. Para tanto, apresentamos um breve

histórico dos números complexos, como se deu seu surgimento e desenvolvimento,

sendo a sua representação geométrica, dada por Gauss, o marco na história para que

estes números fossem reconhecidos pela comunidade matemática. No que segue, serão

apresentadas suas representações e propriedades. E por fim, será apresentada a aula

8

inédita, vislumbrando a representação geométrica das operações de multiplicação,

potenciação e radiciação de complexos.

Deseja-se averiguar se a ênfase no enfoque geométrico contribui no processo de

ensino e aprendizagem de números complexos e, também, na revisão de conteúdos já

vistos, tais como áreas de polígonos regulares e Trigonometria. Para tanto, realizando o

objetivo principal do Trabalho de Conclusão de Curso, elaboramos um plano de aula

que foi colocado em prática após as aulas de explanação do conteúdo. Neste plano,

elaboramos uma aula inédita, trabalhando com a representação geométrica dos números

complexos na sua forma polar, ou trigonométrica, e as consequências geométricas

quando são feitas as operações de multiplicação, potenciação e radiciação.

A aula inédita deste trabalho foi aplicada no Instituto Federal de Educação,

Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul – IFRS – Campus Rio Grande. É uma escola

da rede federal de Institutos de Educação Básica, Técnica e Tecnológica gerida pelo

Ministério da Educação por meio da Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica

(SETEC/MEC).

A autora deste trabalho é professora nesta Instituição e o início do ano letivo no

ano de dois mil e dezesseis começou no final de fevereiro do mesmo ano. Foi aplicada a

aula inédita na turma 2A, na disciplina de Matemática II, do curso de Ensino Médio

integrado ao Técnico em Eletrotécnica, com 35 alunos, sendo alguns alunos do terceiro

ano que estão repetindo a disciplina. Os alunos são oriundos dos diversos bairros da

cidade de Rio Grande. O período é integral, com aulas pela manhã e a tarde e folga na

segunda-feira e na quinta-feira à tarde. Os professores do curso disponibilizam horários

de atendimento, onde os alunos podem tirar suas dúvidas individualmente ou em grupo.

O programa do Curso Integrado Técnico em Eletrotécnica prevê o ensino de

números complexos no segundo ano do Ensino Médio, sendo que no primeiro ano

consta no programa a Trigonometria. A Geometria Analítica será vista apenas no

terceiro ano, deste modo, a autora deste trabalho, na sua aula inédita, não pode fazer a

conexão entre Números Complexos e a Geometria Analítica.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) destaca-se

a importância em estabelecer conexões entre os conteúdos matemáticos e aplicações dos

conhecimentos a situações diversas. Na aula inédita a autora procurou fazer a conexão

de números complexos com ângulos, polígonos regulares e suas propriedades,

conteúdos vistos no Ensino Fundamental. Alguns alunos tiveram dificuldade, pois não

lembravam de algumas fórmulas de área, por exemplo, mas o que surpreendeu foi como

9

alguns alunos, por caminhos diferentes do convencional, de acordo com o que

lembravam, chegavam a solução.

Na perspectiva da Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS) de Ausubel

(2003), a variável mais importante para novas aprendizagens é o conhecimento prévio

do aluno. Isto quer dizer que, para aprender um conteúdo novo, o aluno deve apresentar

na sua estrutura cognitiva conceitos subsunçores que servirão de “ancoradouro” para a

interação com o novo conhecimento. O fato de alguns alunos não lembrarem de

fórmulas de áreas, por exemplo, pode caracterizar que a aprendizagem deste conceito

prévio não foi significativa, e sim, mecânica. Ou, simplesmente, não houve

aprendizagem prévia. Na aprendizagem mecânica o conteúdo assimilado é facilmente

esquecido.

Alguns objetivos principais a serem atingidos pela aula inédita foram definidos:

Representar no plano complexo um número complexo dado na sua forma

trigonométrica sem encontrar a forma algébrica;

Entender o produto entre números complexos como uma rotação no

plano, seguida de dilatação ou de contração;

Desenvolver a análise da potenciação de números complexos,

investigando o que acontece quando o expoente tende ao infinito nos possíveis casos

para o módulo do número complexo : | | | | e | | ;

Identificar e representar no plano o polígono formado com os vértices nas

raízes de um número complexo;

Encontrar a área destes polígonos, fazer conjecturas sobre as áreas

encontradas e determinar uma fórmula para a área em função de e do argumento do

número complexo dado na sua forma polar.

Para cada atividade proposta no plano de aula, foi feito um relato quanto aos

objetivos desejados pelo professor, as dificuldades apresentadas pelos alunos e as

diferentes formas que os alunos encontraram para chegar a solução do problema

proposto para servir de guia para a análise a posteriori. Por fim, apresentamos as

conclusões após a análise dos resultados obtidos.

10

2 UM POUCO DA HISTÓRIA SOBRE O SURGIMENTO DOS NÚMEROS

COMPLEXOS.

De acordo com Jacques Hadamard (apud Ripoll et al., 2009, p. 371), o caminho

mais curto entre duas verdades do campo real passa através do campo complexo. Na

História da Matemática, quando os matemáticos, ao resolverem problemas, se

deparavam com raízes quadradas de números negativos, sempre foi muito claro para

eles que tais problemas não tinham solução, pois um número negativo não tem raiz

quadrada. De acordo com Roque (2012), povos como os babilônicos já sabiam resolver

equações de segundo grau, ainda segundo Boyer (2012) para os babilônicos eram

frequentes problemas de encontrar dois números, dado seu produto e sua soma ou

diferença. Nas soluções de muitos destes problemas, apareciam radicais de números

negativos. Mesmo assim, não foram estas equações que deram origem ao uso de

números complexos, pois sempre que estas apareciam os matemáticos concluíam que a

equação, ou o problema proposto que deu origem a equação, não tinha solução.

Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à

grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501 – 1576). Conforme Pinto

(2009), em 1545, em seu livro Ars Magna, Cardano resolve o problema de dividir um

segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40. Tal problema é

equivalente a resolver a equação

(1)

Ao encontrar as raízes para a equação (1), √ e √ ,

Cardano propõe a existência de raízes quadradas de números negativos, admitindo

serem estas as soluções. Conforme Carmo (2005), Cardano afirma ter deixado de lado

toda a tortura mental envolvida em trabalhar com algo que, até então, não existia e

multiplica as raízes encontradas, ( √ ) ( √ ), obtendo o produto

desejado no problema inicial, . Cardano diz que tal resultado seria tão sutil quanto

inútil, pois as raízes satisfaziam o problema inicial, mas não tinham significado por se

tratar de raiz de número negativo.

Para resolver problemas concretos eram formuladas equações matemáticas. Na

resolução das equações do segundo grau, sempre que apareciam radicandos com

11

números negativos, isto indicava que o problema originalmente proposto não tinha

solução. Foram as equações de terceiro grau que impuseram a necessidade de trabalhar

com raízes de números negativos. De acordo com Pinto (2009), ainda no livro Ars

Magna de Cardano, ele apresenta a fórmula para a resolução da equação de terceiro

grau. Dada a equação

(2)

a fórmula de Cardano-Tartaglia que permite obter uma raiz para (2) é

√

√(

)

(

)

√

√(

)

(

)

(3)

Observamos na equação (3) que quando (

)

(

)

, teremos uma raiz

quadrada de número negativo e, portanto, parece que não existe tal raiz, isto é, a

fórmula não resolve a equação do terceiro grau. Porém, isso não acontece. Mesmo que

apareça raiz quadrada de número negativo, ainda assim é possível encontrar a raiz para

equação do terceiro grau pela fórmula (3) que Cardano apresentou em seu trabalho,

como veremos a seguir.

Raphael Bombelli, matemático italiano, discípulo de Cardano, publicou por

volta de 1560, o livro L’Algebra, em que descreve as ideias de Cardano de forma

didática. Ele considera a equação

(4)

e ao resolvê-la usando a fórmula de resolução (3), chega na seguinte expressão para

uma das raízes de (4):

√ √

√ √

(5)

12

Bombelli sabia que era uma solução da equação (4) e decide trabalhar

com as raízes quadradas de números negativos como se fossem números verdadeiros.

Ele enuncia algumas regras para trabalhar com tais raízes e analisando a solução,

percebe que se √ √

fosse um número da forma √ , talvez também

√ √

fosse da forma √ e, neste caso, teria ( √ ) ( √ )

, donde encontraria . Assim, aplicando as regras de cálculos algébricos,

Bombelli concluiu que e verificou que, de fato ( √ ) √ e

ainda que ( √ ) √ . Desta forma, Bombelli teve a necessidade

explícita de introduzir os números complexos nos cálculos para encontrar a solução real

da equação (4) e fez a primeira apresentação do assunto.

A partir dos estudos de Cardano e de Bombelli, outros matemáticos também

pesquisaram sobre esse problema, mas obteve-se uma formalização rigorosa desse

conjunto apenas dois séculos mais tarde quando Friedrich Gauss (1777 – 1855)

apresentou a interpretação geométrica dos números complexos.

Portanto, a história nos mostra que a representação geométrica dos números

complexos é muito importante para o entendimento deste conjunto. Por esta entre outras

razões, este trabalho tem a finalidade de trabalhar com as propriedades dos números

complexos com vistas a representação geométrica no plano complexo.

13

3 NÚMEROS COMPLEXOS

Apresentaremos o conjunto dos números complexos, denotado por , sua

definição, as representações, propriedades algébricas e geométricas, dando o

embasamento necessário para o nosso foco maior, a aula inédita. Os conceitos abaixo

foram elaborados pela autora a partir da experiência lecionando-os, e na pesquisa de

alguns livros didáticos citados nas referências.

3.1 DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO

Na matemática, existe mais de uma maneira de se conceituar, formalmente, um

número complexo. Neste material daremos a seguinte definição:

Dado um número , então com .

Sendo assim, o conjunto dos números complexos, de todos os pares ordenados

de reais fica definido:

{ } (6)

Observamos que há um isomorfismo entre o conjunto dos números complexos e

o conjunto dos pares ordenados onde e . De fato para cada

número complexo , existe um único ponto , tal que

, e para cada ponto , existe um único , tal que

. Portanto valem para os números complexos todas as operações e propriedades

entre pares ordenados. No que segue, faremos a apresentação das operações e

propriedades com os números complexos na sua representação algébrica.

3.2 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

O número complexo pode ser reescrito como , onde

√ . Esta é denominada forma algébrica de , onde os números reais e são,

respectivamente, denominados de parte real e parte imaginária de . Comumente usa-se

as notações: e . Quando e , temos um

número imaginário puro, e quando , temos um número real.

14

Com o exposto acima, percebe-se que ao considerarmos o conjunto :

{ } (7)

é fácil ver que para cada elemento , existe um único elemento e

para cada elemento , existe um único elemento . Ou seja, a

função , que associa a cada elemento , um elemento ,

é uma função bijetora e, portanto, podemos concluir que o conjunto dos números reais

está contido no conjunto dos números complexos, isto é, .

A seguir apresentaremos algumas propriedades dos números complexos com

esta representação e faremos algumas considerações pertinentes sobre a unidade

imaginária.

3.2.1 Considerações sobre a Unidade Imaginária

Definimos como unidade imaginária o número complexo , ou seja, ,

sendo a propriedade fundamental da unidade imaginária.

Observe o comportamento das potências naturais de :

(propriedade fundamental da unidade imaginária)

( )

( )

( )

( )

( )

A proporção que cresce, existe um período para , isto é, as potências vão

se repetindo periodicamente. Os valores que podem assumir são e . Desta

forma, o período é de quatro unidades, e para encontrar o valor que assume, devemos

escrever , , onde , sendo o resto da divisão de por ,

com efeito,

15

de onde concluímos que .

3.2.2 Igualdade entre Números Complexos

Dois números complexos são iguais, se e somente se, possuem as partes reais

iguais e partes imaginárias também iguais. Dados os complexos e , então

e .

3.2.3 Operações com Números Complexos na Forma Algébrica

Adição entre Números Complexos

Para somarmos dois números complexos na forma algébrica, somamos as partes

reais e somamos as partes imaginárias. Isto é, dados e , então

[ ] [ ] .

Multiplicação entre Números Complexos

A parte real do produto de dois números complexos na forma é igual a diferença

entre o produto das partes reais e o produto das partes imaginária dos dois complexos. E

a parte imaginária é igual a soma dos produtos da parte real de um pela parte imaginária

do outro. Isto é, dados Dados e , então

A multiplicação entre números complexos satisfaz a propriedade distributiva e a

propriedade fundamental da unidade imaginária ( .

3.2.4 Conjugado de um Número Complexo

O conjugado do número complexo , denotado por é o número complexo tal

que e . Assim dado , o conjugado de será

. (8)

Da definição de conjugado, resultam algumas propriedades a seguir listadas:

(i) O conjugado do conjugado de é o próprio ;

16

(ii) A soma entre um número complexo e o seu conjugado é um número real

igual ao dobro da parte real, isto é,

(iii) A diferença entre um número complexo e seu conjugado é um imaginário

puro, cuja parte imaginária é o dobro da parte imaginária do complexo, isto é,

(iv) O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real

positivo igual a soma do quadrado da parte real com o quadrado da parte imaginária,

isto é,

[ ] [ ]

3.2.5 Conjugado da Soma, do Produto e de uma Potência

Dados dois números complexos quaisquer e , seguem algumas propriedades

decorrentes da definição de conjugado e das operações entre complexos:

(i) O conjugado da soma é a soma dos conjugados, isto é,

(ii) O conjugado do produto é o produto dos conjugados, isto é,

(iii) O conjugado de uma potência é igual à potência do conjugado, isto é,

3.2.6 Divisão entre Números Complexos

Dados , com , observamos que para efetuar a divisão

precisamos saber o que significa dividir pela unidade imaginária e, assim como na

divisão de números irracionais, não podemos fazer essa divisão diretamente. Desta

forma, precisamos de um algoritmo que torne o denominador um número real. No

decorrer deste texto, apresentamos que, sempre ao multiplicar um número complexo

pelo seu conjugado, o produto será um número real positivo. Assim, se multiplicarmos a

fração dada por uma fração igual a formada pelo conjugado do denominador,

17

estaremos tornando real o denominador e não vamos alterar o resultado da divisão.

Observe

[ ] [ ] (9)

3.3 PLANO DE ARGAND-GAUSS

A representação gráfica de um número complexo na Figura 1, segue da sua

definição como par ordenado de números reais e . A cada número complexo

, corresponde um único ponto do plano cartesiano, e, a

cada ponto do plano corresponde um único número complexo. Chamaremos

o ponto de imagem geométrica do complexo , .

Figura 1 – Representação geométrica do número complexo .

Fonte: Autora

Carneiro (2004) observa que a representação gráfica dos números complexos foi

introduzida através de estudos de Gaspar Wessel (1745 – 1818) e publicada em 1798 na

Revista da Academia Dinamarquesa. Quando o plano cartesiano é utilizado para

representar números complexos, passamos a chama-lo de Plano Complexo ou Plano de

Argand-Gauss. Esta representação foi reconhecida apenas em 1806, quando Jean

Robert Argand (1768 – 1822) publicou sua exposição, sendo que sua incorporação

definitiva a matemática, se deu quando Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) divulgou

seus trabalhos, durante a segunda década do século XIX.

Algumas observações pertinentes a representação gráfica:

Todos os números reais têm sua representação gráfica no eixo ;

chamado eixo real;

18

Os números imaginários puros têm sua representação gráfica no eixo ,

denominado eixo imaginário.

3.3.1 Módulo de um Número Complexo

Considerando um número complexo , temos no ponto sua

representação gráfica. A distância de até a origem , um número real não negativo, é

chamado módulo do número complexo . É comumente denotado por | | ou , ou

simplesmente . O módulo de é facilmente obtido pelo Teorema de Pitágoras, o qual

afirma que em todo o triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos

quadrados dos catetos.

Na Figura 2, está representado o triângulo retângulo de catetos e e

hipotenusa | |, onde .

Figura 2 – Módulo de um número complexo .

Fonte: Autora

Algebricamente, o módulo do número complexo é o número

real não negativo dado por:

| | √ (10)

Geometricamente, o módulo do número complexo é a

distância do ponto até a origem .

| | (11)

19

3.3.2 Propriedades Imediatas do Módulo

Sendo , valem as propriedades:

| | | |

| | | | | |

|

|

| |

| | , com

| | | | | | (desigualdade triangular)

3.3.3 A Trigonometria dos Números Complexos

Sejam um número complexo não nulo e o ponto que o representa.

A medida do ângulo formado pelo semi-eixo positivo e pelo segmento

(tomada no sentido anti-horário) é chamada argumento principal do número complexo

, e indicada por , conforme ilustrada na figura 3.

Figura 3 – Argumento do número complexo .

Fonte: Autora

No caso em que e , isto é, quando está sob o semi-eixo positivo

, adotamos . Percebemos então que

(12)

Observamos que damos o nome de argumento principal a pelo fato de também

serem considerados como argumento do número complexo todos os

côngruos de , ou seja, os ângulos de medidas:

20

(13)

onde . É frequente nos referirmos ao argumento principal simplesmente como

argumento de .

3.3.4 A Forma Trigonométrica dos Números Complexos

As definições de módulo e argumento de nos permitem escrevê-lo numa nova

forma, além das já utilizadas (cartesiana e algébrica).

Para todo número complexo , de módulo | | e argumento ,

valem as seguintes relações:

| |

e

| |

(14)

donde segue que | | e | | .

Das relações em (14), podemos escrever

| | (15)

a qual denominamos forma polar ou trigonométrica, do número complexo .

Figura 4 – Forma Trigonométrica do número complexo .

Fonte: Autora

21

Para simplificação da escrita, adotaremos a seguinte notação

(16)

Desta forma, dado o número complexo escrito na forma trigonométrica

| | , então na notação simplificada para este trabalho .

A forma trigonométrica tem a vantagem de simplificar o trabalho na

multiplicação, na divisão, na potenciação e na radiciação, conforme veremos a seguir.

3.3.5 Multiplicação e Divisão de Números Complexos na Forma Trigonométrica

Sejam e números complexos não nulos. Vamos

calcular o produto , usando a propriedade distributiva:

Donde concluímos que

[ (17)

Da trigonometria, temos que:

(18)

Substituindo as relações de (18) em (17):

[ ] (19)

ou, usando a notação deste trabalho:

(20)

22

Concluímos que, para multiplicar dois números complexos na forma

trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar seus argumentos.

Esse procedimento pode ser generalizado para um número qualquer de fatores:

(21)

Vamos calcular o quociente entre e :

Donde, concluímos que:

(22)

Da trigonometria, temos que:

(23)

e

(24)

Substituindo (23) e (24) em (22), concluímos que:

[ ] (25)

e usando a notação adotada neste trabalho:

23

(26)

Portanto, para dividir dois números complexos na forma trigonométrica, basta

dividir seus módulos e subtrair seus argumentos.

3.3.6 Potenciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica

Com base na multiplicação, na forma trigonométrica, vamos verificar como se

processa o cálculo de potências da forma , sem que precisemos

recorrer a métodos exaustivos, tais como o binômio de Newton.

Considere e , ambos não nulos. Vamos calcular .

Se , temos:

(27)

Aplicando em (27) o resultado obtido em (21), tem-se:

(28)

Se , temos , podendo ser usado o resultado (28) para . Então,

fazemos:

(29)

Pela definição de número complexo, , portanto temos uma divisão

entre números complexos. Logo, aplicando (26) em (29), obtemos:

( ) (30)

24

O resultado (28) se repetiu para , e também se verifica para , pois

, temos que, para todo inteiro vale o resultado obtido em

(28).

Deste modo, para elevarmos um complexo a um expoente inteiro

qualquer, basta elevarmos o módulo ao expoente e multiplicarmos o seu argumento

por .

3.3.7 Radiciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica

Dado e não nulo, chamamos de raiz enésima de a todo número

complexo que satisfaz a relação .

Todo número complexo não nulo admite raízes enésimas. Por exemplo, o

número admite raízes quartas, a saber , uma vez

que:

No que segue, veremos como determinar as raízes de um número complexo.

Dado , seja uma raiz enésima de . Então:

(31)

e, portanto,

(32)

Segue das propriedades de números reais positivos que o módulo da raiz

enésima de um complexo é igual a raiz enésima do módulo de , isto é

, ou seja √ (33)

Sobre o argumento de , devemos considerar todas as determinações do

argumento de , isto é, , , e, portanto

25

(34)

Ao atribuirmos para os valores , em (34), obteremos valores

distintos e não côngruos para e, para qualquer outro valor de , o valor resultante de

será côngruo de um dos já obtidos.

Deste modo, concluímos que, determinado o módulo das raízes √ e cada

um dos valores distintos e não congruentes do argumento , podemos formar

números complexos , todos eles raízes enésimas de , dados por:

√ (

) (35)

26

4 PLANO DE AULA – ANÁLISE A PRIORI

A aula inédita foi elaborada de modo que o processo de ensino e aprendizagem

de números complexos, na sua forma trigonométrica, fosse feito exclusivamente através

da geometria no plano, considerando circunferências centradas na origem e ângulos da

primeira determinação positiva. Com o auxílio de material impresso contendo imagem

de um plano e suas coordenadas polares, disponível no anexo 1 deste trabalho, e o uso

das definições de operações na forma trigonométrica, espera-se contribuir no resgate da

geometria, bem como livrar-se, sempre que possível, dos exaustivos cálculos algébricos.

Durante as primeiras aulas do ano letivo, em especial naquela em que foi

apresentada a forma trigonométrica dos números complexos, a professora fez uso do

software GeoGebra, para apresentar aos alunos algumas propriedades das operações

entre complexos na forma polar. O GeoGebra é um programa de Geometria Dinâmica,

de uso livre onde podem ser desenvolvidas atividades que permitem as operações com

Números Complexos e a verificação do cálculo do produto entre complexos de modo

algébrico e geométrico, sendo desta forma uma ferramenta no processo de ensino e

aprendizagem. Esta exposição foi feita com auxilio de um projetor multimídia que está

a disposição em todas as salas de aula do Instituto Federal do Rio Grande do Sul,

campus Rio Grande. Os alunos foram incentivados a fazer o download deste software

em seus computadores pessoais e sempre que possível, manuseá-lo em seus estudos

individuais.

4.1 O PLANO DE AULA

O conteúdo da aula inédita foi trabalhado em sala de aula, com uso de material

impresso das atividades contendo o plano e coordenadas polares. Num primeiro

momento foram resolvidos alguns exercícios de maneira expositiva. Com o uso do

projetor multimídia, a professora projetou no quadro branco o plano complexo com as

coordenadas polares, o mesmo plano que consta no material impresso que foi entregue

aos alunos, e resolveu alguns exercícios usando a lousa.

O material em folhas de ofício com as atividades propostas foi impresso na

escola e também disponibilizado em uma página da internet que a professora criou

(sites.google.com/a/riogrande.ifrs.edu.br/matemática), vinculada a instituição, onde são

disponibilizados atividades e material didático extras. Os alunos foram orientados

27

anteriormente a aula inédita, a portar lápis, borracha, canetas, régua e transferidor.

Qualquer material extra, tais como, canetas coloridas, lápis de cor, entre outros, fica a

critério de cada aluno.

Os alunos deveriam discutir e desenvolver as atividades em grupo. Em seguida,

responder no material impresso que foi distribuído pela professora durante os períodos

de execução da aula inédita. Para cada atividade havia um espaço para possíveis

cálculos, mesmo que fosse cobrada apenas a representação geométrica.

A avaliação dos alunos foi feita de forma qualitativa e quantitativa no decorrer

das atividades propostas. Os alunos foram avaliados qualitativamente quanto a

participação, comprometimento, trabalho em equipe, na capacidade de expressão e

quantitativamente na analise, pela professora, das atividades resolvidas e entregue pelos

alunos ao final da aula.

As atividades propostas na aula didática foram testadas com antecedência pela

professora e autora deste trabalho e são apresentadas na análise a priori da aula inédita.

A aplicação da aula inédita foi realizada logo após a abordagem do conteúdo de

números complexos na sua forma trigonométrica. Esta foi documentada por meio de

fotografias e relatório de atividades. É importante saber que esta turma é de segundo

ano do Ensino Médio, e os alunos ainda não tiveram contato com a Geometria

Analítica. Portanto não faz sentido falar em equação de circunferência. Mesmo assim,

com a ideia de que o módulo de um número complexo é a distância entre o

ponto e a origem , a noção de circunferência aparece

naturalmente.

A professora apresentou para a turma a forma geométrica de encontrar o produto

entre números complexos, potência de números complexos e radiciação entre números

complexos, com pouco uso da álgebra envolvida nestes cálculos. O tempo previsto para

a aula inédita foi de dois períodos de 60 minutos cada.

A seguir, apresentam-se os exemplos que a professora abordou no início da aula

inédita.

4.1.1 Exemplos Apresentados no Início da Aula Inédita

Para todos os exemplos apresentados, foi projetado na lousa branca o plano

elaborado no software GeoGebra com malha de coordenadas polares aparente como o

28

da figura (5), assim como, para toda atividade, os alunos tiveram um semelhante no

material impresso.

Figura 5 – Plano Complexo com Coordenadas Polares.

Fonte: Autora

Exemplo 1:

Dados os números complexos , calcule:

a)

b)

A professora inicia a resolução do exemplo 1, encontrando no plano cartesiano

os complexos e (Figura 6). Para isso, relembra a definição de circunferência, e

então, a partir de um diálogo com os alunos, chega-se a conclusão de que, se o módulo

de um número complexo é , então este complexo deve estar sobre a circunferência

com centro na origem e raio . Além disso, o ângulo formado entre a parte positiva do

eixo e o segmento é igual ao argumento de . Desta forma, um número

complexo escrito na forma trigonométrica está bem definido.

Figura 6 – Representação de e .

29

Fonte: Autora

a) Para a solução do primeiro item do exemplo, a professora relembra com os

alunos que o módulo do produto é o produto dos módulos, logo estará sobre a

circunferência com centro na origem e raio Além disso, o argumento do

produto é a soma dos argumentos, logo . Deste

modo, encontra-se a representação geométrica do complexo (Figura 7).

Figura 7 – Representação geométrica do produto .

Fonte: Autora

b) Para este item, a professora novamente, relembra com os alunos que o

quociente entre os complexos estará sob uma circunferência de raio igual ao quociente

30

entre os módulos, portanto o complexo procurado está sobre a circunferência de raio

| |

| |

. Além disso, o argumento do quociente é igual a subtração dos argumentos,

logo (

) (Figura 8).

Figura 8 – Representação geométrica do quociente entre e .

Fonte: Autora

Exemplo 2:

Sabendo que é uma das raízes sextas de , encontre as outras raízes.

Para resolver este exemplo, o primeiro passo é representar no plano complexo a

raiz dada (Figura 9):

Figura 9 – Representação geométrica de .

Fonte: Autora

31

O segundo passo é lembrar que a representação gráfica das raízes enésimas de

um número complexo são os vértices de um polígono regular de lados, logo, as raízes

estão todas sobre uma mesma circunferência, neste caso de raio , pois o módulo da raiz

dada é igual a , e as demais raízes possuem o mesmo módulo. Temos um polígono

regular com lados, visto que é uma das raízes sextas de um número complexo

. Lembrando da propriedade de polígonos regulares, onde os ângulos centrais são

congruentes, sabemos que o ângulo central do hexágono deve ser

,

portanto o ângulo formado entre os segmentos e

é de , isto é,

. Deste modo, geometricamente, basta “andar” sobre a circunferência

de em para encontrar as outras raízes (Figura 10).

Figura 10 – Raízes sextas de .

Fonte: Autora

Exemplo 3:

Dado √ , determine e .

O primeiro passo é representar no plano complexo (Figura 11):

Figura 11 – Representação geométrica de √ .

32

Fonte: Autora

Em seguida, lembramos que a potência enésima de um número complexo , tem

módulo igual a potência enésima do módulo de e argumento igual a vezes o

argumento de . Mas | | √ , logo | | (√ ) e o argumento de é igual a

duas vezes o argumento de , isto é, . Já podemos

determinar geometricamente (Figura 12):


Fonte: Autora

33

Percebemos então que o argumento da sequência de potências deste número

complexo será de em e que o módulo, a cada iteração, será multiplicado por √

(Figura 13).

Figura 13 – Representação geométrica de e .

Fonte: Autora

Nestas atividades, além da rotação no plano, poderiam ser resgatado conteúdos

como Progressão Aritmética e Progressão Geométrica. Não foi mencionado nada a

respeito, pois conforme relatado anteriormente, a sequência de conteúdos no programa

do Ensino Médio no Campus de Rio Grande do IFRS traz números complexos antes

destes conteúdos.

4.1.2 Soluções e Considerações sobre os Objetivos das Atividades Propostas

Apresentaremos aqui as soluções e os objetivos para cada uma das atividades

propostas na aula inédita.

Atividade 01.

Dados os números complexos , , e

.

34

a) Represente os complexos no plano complexo ilustrado a seguir evidenciando

o argumento e módulo de cada um (Figura 14).


Fonte: Autora

b) Represente e o produto no plano a seguir (Figura 15).


Fonte: Autora

c) Represente no plano complexo e o produto (Figura 16).

35


Fonte: Autora

d) Represente no plano e o produto (Figura 17):


Fonte: Autora

e) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo em cada uma

das multiplicações realizadas nos itens anteriores:

36

Nesta atividade, espera-se que os alunos percebam que ao multiplicar o número

complexo por um complexo de módulo e argumento , o produto permanece na

circunferência de raio igual a | |, porém rotaciona-se em um ângulo .

Pode ser que eles falem isso apenas para o do exercício, deste

modo apresenta-se a seguinte atividade para conduzir a uma generalização do produto

entre um complexo por um complexo unitário .

Atividade 2.

Dado o complexo | | , representado

no plano complexo nos itens abaixo, e usando os

complexos , , , , ,

e , represente geometricamente os

produtos abaixo, fazendo uso do transferidor (Figura

18).

Figura 18 – Rotações de a partir do produto por complexos unitários

a)

b)

37

c)

d)

e)

f)

Fonte: Autora

d) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo nas

multiplicações realizadas nos itens anteriores.

O objetivo desta atividade é generalizar o resultado da atividade 1. Os alunos

deveriam perceber que ao multiplicar qualquer número complexo por um número

complexo unitário, isto é, módulo igual a um, e ângulo , é equivalente a rotacionar o

número complexo em um ângulo .

Atividade 3.

Dado o número complexo .

a) Represente no plano complexo (Figura 19).

38

Figura 19 – Representação geométrica das potências de .

Fonte: Autora

b) Escreva a sequência de módulos das potências calculadas no item “a”. Que

propriedade tem esta sequência?

O módulo de todas as potências de será sempre unitário, pois o

módulo de é igual a 1, | | . Portanto a sequência é constante e igual a .

c) Escreva a sequência de argumentos das potências calculadas no item “a”. Que


A sequência de argumentos começa no argumento de , e segue

somando sempre ao argumento anterior, observe:

A sequência de argumentos é

39

d) E se continuássemos calculando , o que aconteceria

geometricamente?

As potências de estarão sempre sob a circunferência unitária e, além disso,

como o argumento de é um divisor de , então a partir de os complexos serão

repetidos periodicamente, pois em cabem exatamente ângulos de .

e) O que você pode concluir sobre as potências de analisando suas

representações geométricas?

Pelo fato de o módulo de ser unitário, todas as potências estarão sob a

circunferência unitária. A potência é uma rotação de ângulo a partir de .

Atividade 4.

Dado o número complexo √ :

a) Represente no plano complexo e (Figura 20).

Figura 20 – Representação geométrica das potências de √ .

Fonte: Autora



40

Os módulos desta sequência estão mudando, não são sempre os mesmos como

na atividade anterior. O propósito deste item é que os alunos percebam que, para

encontrar o módulo da potência , basta multiplicar o módulo da potência por

√ , ou ainda, conforme a fórmula De Moivre, | | | | .

| | √

| | √ √

| | √

| | ( √ ) √

| | (√ )



A sequência de argumentos das potências de inicia no argumento de e cresce

de em , isto é, de uma maneira recorrente, para encontrar o argumento da

potência , basta somar ao argumento da potência anterior .

d) Se continuássemos calculando ... o que aconteceria geometricamente?

Neste item, o intento é que o aluno perceba que as potências de possuem

módulo cada vez maior, que tendem ao infinito e que o argumento aumenta de 45° em

45°, logo os complexos representados no plano complexo formam uma espiral em torno

da origem.

e) O que você pode concluir sobre as potências de √ analisando

suas representações geométrica em relação as potencias de encontradas na

atividade 3?

41

Devido ao fato de o módulo de ser maior que , o comportamento não seguiu

como na atividade 3, em que todas as potências ficaram sobre a circunferência centrada

na origem e raio unitário. Mas ainda há um giro em torno da origem de em .

Atividade 5.

Dado o número complexo √

:

a) Represente no plano complexo e (Figura 21).

Figura 21 – Representação geométrica das potências de √

.

Fonte: Autora



A sequência de módulos não é constante, mas sim decrescente, pois estamos

fazendo as potências naturais de √

. De maneira recorrente, para encontrar o

módulo da próxima potência, basta multiplicar o módulo da potência anterior pelo

módulo de , ou seja, para encontrar | |, resolvemos o produto √

| |.

| | √

42

| | √

√

(

√

)

| |

√

√

(

√

)

| | | |



Os argumentos crescem na razão de , isto é, a cada nova iteração, somamos

ao argumento da iteração anterior:


As potências de vão formar uma espiral em torno da origem, com módulo cada

vez menor e o argumento aumentando de em .

e) O que você pode concluir sobre as potências de √

analisando

suas representações geométrica?

O objetivo deste item é que o aluno perceba que as potências vão girar em torno

da origem, de em , com o módulo cada vez menor. Portanto, para | | ,

quando cresce, então está se aproximando cada vez mais da origem do

sistema de coordenadas.

Atividade 6.


a) Represente-o no plano complexo (Figura 22).

43


Fonte: Autora

b) Se é um dos vértices de um triângulo equilátero inscrito em uma

circunferência com centro em , represente geometricamente os outros vértices

e .

c) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?

Para que o módulo de não se altere temos que multiplica-lo por um complexo

de módulo unitário, e pelas propriedades de triângulo equilátero, o ângulo central mede

, portanto temos que rotacionar em . Deste modo devemos multiplicar

por .

d) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?

Pelos mesmos motivos anteriores, multiplicamos por para obter ,

44

e) e são raízes cúbicas de qual número complexo?

A atividade diz que é um dos vértices de um triângulo

equilátero, então é uma das três raízes cúbicas de um número complexo e, portanto,

deve satisfazer a equação , logo

f) Qual é a área do polígono de vértices e ?

Para este item e para os que seguem onde pede-se a área do polígono

encontrado, pretende-se resgatar o conteúdo visto no Ensino Fundamental sobre área de

polígonos regulares. Além disso, temos o intuito de que o aluno, após encontrar

algumas áreas, consiga generalizar a área do polígono com lados, em função de e de

| |, sendo os vértices do polígono as raízes enésimas de .

Atividade 7.


a) Represente no plano complexo (Figura 23).


Fonte: Autora

b) Se é um dos vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com

centro em , represente geometricamente os outros vértices e (Figura

24).

45

Figura 24 – Representação geométrica dos vértices e .

Fonte: Autora


Baseando-se nas propriedades do quadrado e considerando que o módulo de

não deve se alterar, concluímos que .


Analogamente, .

e) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?

Neste caso, .

f) e são raízes quartas de qual número complexo?

Se é raiz quarta de um número complexo , então a equação deve

estar satisfeita, portanto encontramos :

g) Qual a área do quadrado?

Atividade 8.

Dado o número complexo √ . Sabe-se que é vértice de um

hexágono regular, inscrito na circunferência com centro em .

46

a) Represente no plano complexo e vértices do hexágono

regular (Figura 25).

Figura 25 – Representação geométrica dos vértices do hexágono e

.

Fonte: Autora

b) Sabemos que as raízes sextas de um número complexo representam um

hexágono regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes sextas

são os vértices do hexágono ?

Para descobrir , basta resolver a equação √

:

(√ )

c) Represente e o hexágono gerado pelas raízes sextas de no mesmo plano

cartesiano (Figura 26).

47

Figura 26 – Representação geométrica de e de suas raízes sextas.

Fonte: Autora

d) Qual a relação entre os módulos de e dos complexos √

?

Os módulos dos complexos vértices do hexágono regular são todos iguais a √ e

pela fórmula De Móivre para potências de números complexos, isto é, | | (√ ) .

Além disso, o módulo das raízes sextas de é menor que o módulo de , pois | |,

observe:

| | | | | | √| |

| |

e) Qual é a área do hexágono?

O hexágono é formado por seis triângulos equiláteros cujo lado é igual ao

módulo de :

(√ )

(√ )

√

Atividade 9.


. Se é vértice de um octógono

inscrito na circunferência centrada na origem.

a) Represente no plano complexo e , vértices do

octógono regular (Figura 27).

48


Fonte: Autora

b) Sabemos que as raízes oitavas de um número complexo representam um

octógono regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes oitavas

são os vértices do octógono ?

Para descobrir , basta resolver a equação :

(√

)

c) Represente e o octógono gerado pelas raízes oitavas de no mesmo plano

cartesiano (Figura 28).

Figura 28 – Representação geométrica de e das raízes oitavas de .

Fonte: Autora

49


?

Os módulos dos complexos vértices do octógono regular são todos iguais a √

e

da mesma forma que a atividade anterior, isto decorre da fórmula De Móivre para

potências de números complexos, isto é, | | (√

)

. Nesta atividade, encontramos o

módulo das raízes oitavas de é maior que o módulo de , pois | | , observe:

| | | | | | | | √| |

e) Qual é a área do octógono com vértices nas raízes oitavas de ?

O octógono é formado por oito triângulos isósceles congruentes com lados

medindo √

unidades de medida e ângulo do vértice , portanto

(

√

√

)

√

Atividade 10.

Procure uma relação entre a área do polígono formado pelas raízes enésimas de

, em função do natural e do módulo . Dica: Para esta atividade, observe a figura

29a, 29b, 29c e 29d e use a fórmula para área de um triângulo qualquer (Equação

36):

(36)

Figura 29 – Polígonos regulares inscritos na circunferência com centro O e raio

.

(a) Triângulo

equilátero.

(b) Quadrado

(c) Hexágono

regular

(d) Octógono

regular

Fonte: Autora

50

Observamos que as soluções da raiz enésima de um número complexo formam

um polígono regular de lados, consequentemente triângulos isósceles e congruente,

cujo lado é (√| |

) e ângulo do vértice

. Portanto

(

| | (

))

5 ANÁLISE A POSTERIORI

Conforme já comentado no capítulo 3, no início da aula inédita a professora

apresentou três problemas resolvendo-os no quadro com ajuda do projetor multimídia.

O conteúdo sobre números complexos já havia sido explanado em aulas anteriores. O

objetivo da aula inédita era de observar as representações geométricas das operações

entre números complexos.

Após a explicação da professora sobre as representações geométricas através dos

exemplos no inicio da aula, a turma dividiu-se em grupos e foram entregues as

atividades em material impresso. A professora registrou com fotos os momentos durante

as atividades, algumas imagens estão na figura 30. A orientação dada pela professora

foi de que os grupos deviam discutir as questões e procurar solucioná-las em conjunto,

porém um dos grupos dividiu as atividades entre seus integrantes para cada um fazer

uma parte do trabalho. No momento em que a professora identificou esse procedimento

por parte deste grupo, orientou a turma, falando que este não era um procedimento

coerente e que a ideia de fazer grupos era para haver a discussão sobre a matemática dos

números complexos entre os integrantes. Neste momento, decidiu-se que todos os

integrantes do grupo deveriam entregar o trabalho individualmente, mas a discussão em

grupo permaneceria com o intuito da troca de ideias e formas de soluções.

Figura 30

51

Fonte: Autora

Atividade 01

De modo geral, não houve problemas na resolução da primeira atividade, pois

esta consistia apenas em representar no plano os complexos dados e em seguida fazer a

representação do complexo de módulo | | e argumento pelos

complexos e ambos de módulo unitário e argumentos e

respectivamente.

Vale lembrar que apesar de os alunos terem a possibilidade da discussão em

grupo, o trabalho deveria ser entregue individualmente. Observou-se que um aluno

primeiro escreveu o número complexo na forma algébrica, para então representá-lo no

plano, e isso gerou erro na sua representação conforme figura 31-a. Os demais alunos

não tiveram dificuldades. A figura 31-b, 31-c, 31-d e 31-e apresenta algumas resoluções

da atividade 1.

Figura 31 – Atividade 1

a) Atividade 1 – a

b) Atividde 1 – a

52

c) Atividade 1 – b

d) Atividade 1 – c

e) Atividade 1 – d

f) Atividade 1 – e

Fonte: Autora

Observou-se que, em geral, nesta atividade os alunos conseguiram concluir que

ao multiplicar um número complexo por outro complexo de módulo unitário e

argumento , o complexo será rotacionado de um ângulo . Isto deu o embasamento

necessário para os alunos realizarem a atividade 2, onde o complexo é genérico, isto é,

não é dado o módulo e o argumento numericamente, mas geometricamente.

53

Atividade 2

Conforme mencionado anteriormente, a partir da atividade 1, os alunos

conseguiram perceber as rotações que acontecem com um complexo quando este é

multiplicado por um complexo unitário. Mesmo assim, aconteceu um erro quanto ao

entendimento da questão. Na atividade 2 – a, onde era pedido o produto , um

aluno representou no plano o número complexo e não representou o produto, no

item b, erroneamente escreveu que , e no item c, representou o complexo

, conforme mostra a figura 32.

Figura 32 – Atividade 2 – itens a, b e c.

Fonte: Autora

Mas o mais surpreendente nesta atividade foi a falta de conhecimento, por parte

dos alunos, no manuseio do transferidor. A professora registrou um aluno manuseando

o transferidor para somar o ângulo de ao argumento de , conforme figura 33.

54

Figura 33 – Aluno utilizando o transferidor para encontrar o argumento de .

Fonte: Autora

A professora ensinou a maneira correta de posicionar o transferidor para se obter

o argumento de , isto é, o complexo cujo argumento é . O centro do

transferidor deve ficar na origem do plano complexo e a linha base deve ficar na direção

de , então deve-se marcar o ângulo de , figura 34.

Figura 34 – Posicionamento correto do transferidor na atividade 2.

Fonte: Autora

Após solucionadas as dificuldades quanto ao manuseio do transferidor, os alunos

conseguiram concluir a atividade 2, conforme alguns exemplos apresentados na figura

35.

Figura 35 – Atividade 2 realizada por alguns alunos.

Fonte: Autora

55

Ao analisar as respostas do item d da atividade 2, verificou-se que os alunos

entenderam a ferramenta da multiplicação entre números complexos como uma rotação

no plano, conforme ilustrado em algumas respostas na figura 36.

Figura 36 – Alguns resultados da atividade 2 item d.

Aluno 1

Aluno 2

Aluno 3

Aluno 4

Aluno 5

Aluno 6

Aluno 7

Fonte: Autora

Com base no resultado da atividade 2, estima-se que os alunos compreenderam a

consequência do produto entre números complexos na representação geométrica.

Atividade 3

No primeiro item da atividade 3, foi pedido a representação geométrica das

potências de um número complexo unitário. Os alunos resolveram bem o problema,

apesar de alguns ainda insistirem em encontrar a forma algébrica para então fazer a

56

representação no plano, isto é, usando coordenadas cartesianas em vez de usar as

coordenadas polares.

Quanto ao item b e item c, onde foi solicitada a sequência de módulos e de

argumentos das potências de , os alunos não falavam sobre as propriedades

da sequência, porém não percebiam que estas seriam as propriedades. Foi necessário a

professora argumentar com os alunos, perguntando o que acontecia com os valores da

sequência, se havia alguma repetição ou alguma lei de recorrência.

Muitas vezes, alunos no Ensino Médio resolvem de maneira errada as potências

de , fazendo . Não obstante, ocorreu um fato como este, o que levou ao erro

da representação geométrica e da sequência de módulos das potências de na

atividade 3, conforme figura 37.

Figura 37 – Exemplo de erro no desenvolvimento das potências de .

Fonte: Autora

Outra ocorrência, como já mencionado em itens anteriores, ao uso das

coordenadas cartesianas, mesmo sendo apresentadas as coordenadas polares, conforme

figura 38.

57

Figura 38 – Representação das potências de usando coordenadas cartesianas.

Fonte: Autora

Os itens b, c, d, e e, foram bem resolvidos, sendo que no item d, os alunos

perceberam que as potências de começariam a se repetir a partir de .

Houve comentários nos grupos sobre a formação de um polígono com 12 lados e

vértices nas potências de . Na figura 39 está uma amostra do trabalho dos alunos

quanto a atividade 3.

Figura 39

Fonte: Autora

58

Atividade 4 e 5

Nas atividades 4 e 5 os alunos já estavam familiarizando-se melhor com a ideia

de escrever matematicamente, entendendo que para completar o trabalho eles deveriam

saber se expressar com palavras ou expressões algébricas para explicar a matemática

envolvida nas atividades.

As atividades 4 e 5 estão em um mesmo subitem deste trabalho, por se tratar de

potências de um número complexo , sendo que na atividade 4, | | e na atividade

5, | | . Todos os alunos, sem exceção fizeram as atividades corretamente e

analisaram as espirais formadas em torno da origem do sistema de coordenadas (Figura

40). Alguns se expressaram mais claramente para informar as conclusões a respeito da

atividade, outros tiveram mais dificuldade, mas o objetivo foi satisfeito visto que todos

entenderam as rotações em torno da origem e a contração ou dilatação do módulo do

complexo e suas potências.

Figura 40 – Atividades 4 e 5 de alguns alunos

Aluno 1

Aluno 2

59

Aluno 3

Aluno 4

Aluno 5

Fonte: Autora

Atividades 6, 7, 8 e 9

As atividades de 6 a 9 tratam de raízes de números complexos e os polígonos

regulares formados com vértices nestas raízes. Um dos objetivos destas atividades era

de resgatar o conhecimento adquirido quando da realização das atividades 1 e 2, que

tratavam de rotações de um ângulo no plano, a partir do produto de um complexo

por um complexo unitário de argumento igual a . Além deste, outro objetivo alcançado

foi o de resgatar as maneiras de encontrar a área de polígonos regulares. Os alunos

ficaram livres para usar a estratégia que quisessem para encontrar a área dos polígonos

regulares com três, quatro, seis e oito lados, e o resultado foi muito interessante, pois

eles encontraram as áreas pedidas de maneiras diferentes, usando o conhecimento

matemático adquirido no Ensino Fundamental e no primeiro ano do Ensino Médio.

60

A figura 41 ilustra a estratégia de um aluno que usou a lei dos cossenos para

encontrar o lado do triângulo equilátero formado pelas raízes cúbicas de um número

complexo.

Figura 41

Fonte: Autora

Continuando a análise quanto aos tipos de soluções feitas para encontrar a área

do polígono regular, alguns alunos utilizaram a fórmula para encontrar a área de

triângulos equiláteros e fizeram uso do Teorema de Pitágoras para encontrar a medida

do lado, conforme figura 42 e 43.

Figura 42 – Encontro da base através do Teorema de Pitágoras.

Fonte: Autora

Figura 43 – Triângulo retângulo em que foi aplicado o Teorema de Pitágoras.

Fonte: Autora

Ainda, alguns alunos utilizaram a fórmula para encontrar a área de qualquer

triângulo cujas base e altura são conhecidas. Para isso, encontram a medida da base do

triângulo por meio da forma algébrica do número complexo , pois pela simetria do

61

triângulo equilátero encontrado, o dobro da parte imaginária de é igual ao lado, ou

uma das bases, do triângulo equilátero, conforme figura 44.

Figura 44 – Estratégia para o cálculo da área do triângulo equilátero.

Fonte: Autora

Para encontrar a área do quadrado, do hexágono e do octógono, os alunos

seguiram os mesmos raciocínios utilizados na solução da atividade 6.

Atividade 10

Em geral os alunos precisaram da ajuda da professora para a realização da

atividade 10, pois tiveram dificuldade na generalização da fórmula. Eles resolviam as

áreas separadamente, substituindo valores para o seno do ângulo encontrado. Após

explicação dada pela professora, concluíram a tarefa e muitos voltaram nas atividades

anteriores para verificarem a validade da fórmula e também confirmarem as áreas

encontradas. Este procedimento foi interessante, porém alguns alunos apagaram a

estratégia criada nas atividades de 6 a 9 e resolveram novamente as atividades

encontrando as áreas a partir da fórmula encontrada na atividade 10, a figura 45 ilustra

este fato.

Figura 45

Fonte: Autora

62

Ao final das duas horas de atividades, apenas um grupo não concluiu o trabalho.

Este grupo permaneceu na sala de aula, junto com a professora, e concluiu o trabalho

durante os vinte minutos de intervalo.

63

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho, desenvolvido através de uma aula com atividades em grupo,

apresentou uma possibilidade de resgatar conhecimentos sobre a Geometria Plana, em

particular, sobre os polígonos regulares, através do estudo dos Números Complexos.

Além disso, permitiu a retomada do estudo sobre ângulos e uma nova visão do plano

cartesiano em coordenadas polares.

Em geral, a aula foi muito produtiva, os alunos tiveram participação constante.

Os grupos debateram estratégias e ajudavam uns aos outros ao relembrarem o que já

haviam estudado nos anos anteriores. Sempre que entravam em conflito quanto ao

conteúdo, buscavam a ajuda da professora.

Muitos alunos estavam “presos” a forma algébrica dos números complexos e não

conseguiam encontrar a representação geométrica em coordenadas polares. Estes alunos

escreviam os números complexos que estavam na forma trigonométrica, na forma

algébrica, para então encontrar a representação geométrica. Por esta razão, quando for

aplicado novamente este método de ensino, os números complexos serão apresentados

primeiramente em sua forma trigonométrica, sendo feita toda a abordagem das

operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Após realizado este

trabalho, então será apresentada a forma algébrica a partir da forma trigonométrica.

Os objetivos propostos foram alcançados pela maioria dos alunos. Mesmo assim,

numa próxima aplicação do plano de aula, será desenvolvida em mais etapas, sendo a

primeira etapa dedicada para as operações de multiplicação e divisão entre números

complexos, a segunda etapa será trabalhada a potenciação entre números complexos, na

terceira a radiciação e na quarta e última etapa a professora pretende trabalhar no

laboratório usando o software GeoGebra para analisar todas as atividades vistas nas

etapas anteriores.

Espera-se que as propostas de trabalho apresentadas nesta monografia sirvam

para professores de Matemática da Educação Básica que busquem uma nova forma de

ensinar Números Complexos, baseando-se nas propriedades geométricas deste conjunto.

64

REFERÊNCIAS

BOYER, Carl B.; PÉREZ, Mariano Martínez. Historia de la matemática. São Paulo:

Blucheer, 2012.

CAON, F. Números Complexos: inter-relação entre conteúdos e aplicações. Ponta Grossa: UEPG/Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, 2013. CARMO, M.P., MORGADO, A.C. e WAGNER, E. Trigonometria e Números Complexos, 3ª Edição. Rio de Janeiro: SBM, 2005.

CARNEIRO, J.P. A Geometria e o Ensino dos Números Complexos. Recife: VIII ENEM, 2004. HAHN, Liang-shin. Complex numbers and geometry. Cambridge University Press, 1994. LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P.,WAGNER, E e MORGADO, A.C. A Matemática do Ensino Médio - volume 3. Rio de Janeiro: SBM, 2006. LOPES, A.C.M., CABRAL, VP.G. e ALVES, F.J.C. Números complexos na vida real: Uma abordagem sobre o ensino e algumas aplicações. Pará: VII Encontro Paranaense de Educação Matemática. Pará, 2011. MILIES, C.P. A Emergência dos Números Complexos. São Paulo, 1993. RPM. no. 24. PCNEM. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2000. Disponível em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Último acesso em 10 abr. 2016. PCNs+. Orientações Educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2002. Disponível em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>. Último acesso em 10 abr. 2016.

PINTO, U.J. A História dos números complexos: das quantidades sofisticadas de Cardano às linhas orientadas de Argand. Rio de Janeiro: UFRJ/Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, 2009. ROQUE, T. e CARVALHO, J.B.P. Tópicos de História da Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.

ROQUE, T. História da Matemática Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.

65

ANEXO 1 – MATERIAL IMPRESSO ENTREGUE AOS ALUNOS DURANTE A

AULA INÉDITA

Atividade 01.

Dados os números complexos , , e .

a) Encontre os complexos no plano complexo representado abaixo:

b) Represente no plano e o produto .

c) Represente no plano e o produto .

d) Represente no plano e o produto :

e) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo nas multiplicações

realizadas nos itens anteriores:

66

Atividade 2.

Dado o complexo | | , representado no plano

complexo nos itens abaixo, e usando os complexos ,

, , , , , represente

geometricamente os produtos abaixo, fazendo uso do

transferidor.

a)

b)

c)

67

d)

e)

f)

d) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo nas multiplicações

realizadas nos itens anteriores. Tente generalizar este fato.

68

Atividade 3.

Dado o número complexo . a) Represente no plano complexo .

b) Escreva a sequência de módulos encontrados no item “a”. Que propriedade tem esta

sequência?

c) Escreva a sequência de argumentos encontrados no item “a”. Que propriedade tem

esta sequência?

d) E se continuássemos calculando ... , o que aconteceria geometricamente?

e) O que você pode concluir sobre as potencias de analisando suas

representações geométrica?

69

Atividade 4.

Dado o número complexo √ : a) Represente no plano complexo e .


sequência?


esta sequência?


e) O que você pode concluir sobre as potencias de √ analisando suas


70

Atividade 5.


:

a) Represente no plano complexo e .


sequência?


esta sequência?


e) O que você pode concluir sobre as potencias de √

analisando suas


71

Atividade 6.

Dado o número complexo . a) Represente-o no plano complexo.

b) Se é um dos vértices de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência

com centro em , represente geometricamente os outros vértices e .



e) e são raízes cúbicas de qual número complexo?

f) Qual a área do polígono formado por e ?

72

Atividade 7.

Dado o número complexo . a) Represente no plano complexo.

b) Se é um dos vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro

em , represente geometricamente os outros vértices e .



e) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?

f) e são raízes quartas de qual número complexo?

g) Qual a área do quadrado?

73

Atividade 8.

Dado o número complexo √ . Sabe-se que é vértice de um

hexágono regular, inscrito na circunferência com centro em . a) Represente no plano complexo e vértices do hexágono regular.

b) Sabemos que as raízes sextas de um número complexo representam um hexágono

regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes sextas são os

vértices do hexágono ?

c) Represente e o hexágono gerado pelas raízes sextas de no mesmo plano

cartesiano.


?

e) Qual é a área do hexágono?

74

Atividade 9.


. Se é vértice de um octógono inscrito na

circunferência centrada na origem.

a) Represente no plano complexo e , vértices do octógono

regular.

b) Sabemos que as raízes oitavas de um número complexo representam um octógono

regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes oitavas são os

vértices do octógono ?

c) Represente e o octógono gerado pelas raízes oitavas de no mesmo plano

cartesiano.


?

e) Qual é a área do octógono com vértices nas raízes oitavas de ?

75

Atividade 10.

Procure uma relação entre a área do polígono formado pelas raízes enésimas de , o

natural , o módulo e o argumento de .

*Para esta atividade, observe as figuras abaixo e use a fórmula para área de qualquer

triângulo :

(a) Triângulo

equilátero.

(b) Quadrado

(c) Hexágono

regular

(d) Octógono

regular

fabiana gerusa leindeker da silva - ufsm

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