Download - Fabiana Gerusa Leindeker Da Silva - UFSM
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM
ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO
Fabiana Gerusa Leindeker Da Silva
EXPLORANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS NO
ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Santa Maria, RS
2016
Fabiana Gerusa Leindeker da Silva
EXPLORANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS NO
ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Trabalho de conclusão apresentado no
Curso de Especialização, em nível de Pós-
Graduação Latu Sensu, Ensino de
Matemática no Ensino Médio da
Universidade Federal de Santa Maria
(UFSM, RS), como requisito parcial para
obtenção do título de Especialista em
Ensino da Matemática no Ensino Médio.
Orientadora: Profª Drª. Maria Cecilia Pereira Santarosa
Santa Maria, RS
2016
Fabiana Gerusa Leindeker da Silva
EXPLORANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS NO
ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Trabalho de conclusão apresentado no
Curso de Especialização, em nível de Pós-
Graduação Latu Sensu, Ensino de
Matemática no Ensino Médio da
Universidade Federal de Santa Maria
(UFSM, RS), como requisito parcial para
obtenção do título de Especialista em
Ensino da Matemática no Ensino Médio.
Aprovada em 14 de maio de 2016:
Maria Cecilia Pereira Santarosa, Dr.ª (UFSM)
(Presidente/Orientadora)
Luciane Gobbi Tonet, Dr.ª (UFSM)
Valeria de Fatima Maciel Cardoso Brum, Dr.ª (UFSM)
Santa Maria, RS
2016
RESUMO
EXPLORANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS NO
ENSINO DOS NÚMROS COMPLEXOS
AUTORA: Fabiana Gerusa Leindeker da Silva
ORIENTADORA: Maria Cecilia Pereira Santarosa
Este trabalho de conclusão de curso apresenta uma proposta de ensino de Números
Complexos explorando as suas propriedades geométricas e o uso de coordenadas
polares com base na forma trigonométrica deste conjunto. Nas atividades propostas são
exploradas com detalhe as operações de rotação, contração e dilatação no plano,
proporcionadas pelas operações de multiplicação e potenciação de Números
Complexos. Além disso, exibe-se um encontro com os polígonos regulares através da
radiciação de números complexos e explora-se o cálculo da área destes polígonos
levando a generalização de uma fórmula para o encontro da área de um polígono regular
de lados gerado a partir da raiz enésima de um número complexo. Estas propostas tem
o objetivo de ampliar as formas de exibição e discussão de Números Complexos e estão
direcionadas ao professor de matemática do Ensino Médio que busque por novas
estratégias de ensino.
ABSTRACT
EXPLORING THE GEOMETRIC PROPERTIES IN
EDUCATION OF COMPLEX NUMBERS
AUTHOR: Fabiana Gerusa Leindeker da Silva
ADVISER: Maria Cecilia Pereira Santarosa
This course conclusion work presents a Complex Numbers of teaching proposal
exploring its geometric properties and the use of polar coordinates based on the
trigonometric form of this set. The proposed activities are explored in detail the rotation
operations, contraction and expansion in the plan, provided by the multiplication
operations and leveraging Complex Numbers. It also displays up a meeting with the
regular polygons by root extraction of complex numbers and explores the calculation of
the area of these polygons leading to generalization of a formula to find the area of a
regular polygon of n sides generated from nth root of a complex number. These
proposals have the aim of expanding the forms of display and discussion of Complex
Numbers and are directed to high school math teacher who seeks new teaching
strategies.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 7
2 UM POUCO DA HISTÓRIA SOBRE O SURGIMENTO DOS
NÚMEROS COMPLEXOS .....................................................................
10
3 NÚMEROS COMPLEXOS ..................................................................... 13
3.1 DEFINIÇÃO .............................................................................................. 13
3.2 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA .......................................................... 13
3.2.1 Considerações sobre a Unidade Imaginária ........................................... 14
3.2.2 Igualdade entre Números Complexos ..................................................... 15
3.2.3 Operações com Números Complexos na Forma Algébrica ................... 15
3.2.4 Conjugado de um Número Complexo ..................................................... 15
3.2.5 Conjugado da Soma, do Produto e de uma Potência .............................. 16
3.2.6 Divisão entre Números Complexos.......................................................... 16
3.3 PLANO DE ARGAND-GAUSS .................................................................. 17
3.3.1 Módulo de um Número Complexo ........................................................... 18
3.3.2 Propriedades Imediatas do Módulo ........................................................ 18
3.3.3 A Trigonometria dos Números Complexos ............................................. 19
3.3.4 A Forma Trigonométrica dos Números Complexos ............................... 20
3.3.5 Multiplicação e Divisão de Números Complexos na Forma
Trigonométrica .........................................................................................
21
3.3.6 Potenciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica .......... 23
3.3.7 Radiciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica ........... 24
4 PLANO DE AULA – ANÁLISE A PRIORI ........................................... 26
4.1 O PLANO DE AULA ................................................................................. 26
4.1.1 Exemplos apresentados no Início da Aula Inédita .................................. 27
4.1.2 Soluções e Considerações sobre os Objetivos das Atividades
Propostas ...................................................................................................
33
5 ANÁLISE A POSTERIORI ..................................................................... 50
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................... 63
REFERÊNCIAS ....................................................................................... 64
ANEXO ..................................................................................................... 65
7
1 INTRODUÇÃO
A experiência com o ensino da Matemática mostra que no Ensino Médio pouco
se vê sobre números complexos. Em algumas escolas, este não é mais um conteúdo a
ser abordado. De acordo com CARNEIRO (2004) nos cursos superiores de Licenciatura
e Bacharelado em Matemática, os números complexos são considerados como conteúdo
trivial do Ensino Médio, sendo neste último, evitados por serem taxados de estranhos e
de difícil compreensão. Além disso, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio
(OCEM) não fornecem muitas indicações quanto ao ensino de números complexos.
Consta apenas a motivação de introduzir estes números com enfoque histórico na
necessidade de se obter soluções para equações do segundo grau, sugerindo ainda, que
isto seja feito a partir da equação .
Os números complexos, quando fazem parte dos conteúdos do Ensino Médio,
são, em geral, abordados no terceiro ano, quando também é estudada a Geometria
Analítica. Mesmo existindo conexões entre os dois conteúdos, os números complexos
são vistos isolados. Este conjunto, sem conexão com outras áreas do conhecimento ou
com outros conteúdos matemáticos, torna-se desinteressante e sem utilidade prática. Os
números complexos aparecem naturalmente em muitas aplicações das áreas cientificas.
São eles uma ferramenta fundamental, por exemplo, nas engenharias, como na
Engenharia Elétrica na análise de circuitos de corrente alternada, grandezas com a
impedância (em ohm) e potência aparente (em volt-ampere) expressas por números
complexos.
Também no estudo de números complexos pode-se buscar conexões com outros
conteúdos matemáticos, como a Geometria Plana, a Geometria Analítica já mencionada
anteriormente, entre outros. Os números complexos facilitam o cálculo e a resolução de
muitos problemas. Fazendo uso deste conjunto é possível demonstrar alguns teoremas
da Geometria Plana com mais facilidade e também resolver problemas da Geometria
Analítica mais rapidamente.
O objetivo deste trabalho é apresentar uma aula inédita com foco na
representação geométrica dos números complexos. Para tanto, apresentamos um breve
histórico dos números complexos, como se deu seu surgimento e desenvolvimento,
sendo a sua representação geométrica, dada por Gauss, o marco na história para que
estes números fossem reconhecidos pela comunidade matemática. No que segue, serão
apresentadas suas representações e propriedades. E por fim, será apresentada a aula
8
inédita, vislumbrando a representação geométrica das operações de multiplicação,
potenciação e radiciação de complexos.
Deseja-se averiguar se a ênfase no enfoque geométrico contribui no processo de
ensino e aprendizagem de números complexos e, também, na revisão de conteúdos já
vistos, tais como áreas de polígonos regulares e Trigonometria. Para tanto, realizando o
objetivo principal do Trabalho de Conclusão de Curso, elaboramos um plano de aula
que foi colocado em prática após as aulas de explanação do conteúdo. Neste plano,
elaboramos uma aula inédita, trabalhando com a representação geométrica dos números
complexos na sua forma polar, ou trigonométrica, e as consequências geométricas
quando são feitas as operações de multiplicação, potenciação e radiciação.
A aula inédita deste trabalho foi aplicada no Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul – IFRS – Campus Rio Grande. É uma escola
da rede federal de Institutos de Educação Básica, Técnica e Tecnológica gerida pelo
Ministério da Educação por meio da Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
(SETEC/MEC).
A autora deste trabalho é professora nesta Instituição e o início do ano letivo no
ano de dois mil e dezesseis começou no final de fevereiro do mesmo ano. Foi aplicada a
aula inédita na turma 2A, na disciplina de Matemática II, do curso de Ensino Médio
integrado ao Técnico em Eletrotécnica, com 35 alunos, sendo alguns alunos do terceiro
ano que estão repetindo a disciplina. Os alunos são oriundos dos diversos bairros da
cidade de Rio Grande. O período é integral, com aulas pela manhã e a tarde e folga na
segunda-feira e na quinta-feira à tarde. Os professores do curso disponibilizam horários
de atendimento, onde os alunos podem tirar suas dúvidas individualmente ou em grupo.
O programa do Curso Integrado Técnico em Eletrotécnica prevê o ensino de
números complexos no segundo ano do Ensino Médio, sendo que no primeiro ano
consta no programa a Trigonometria. A Geometria Analítica será vista apenas no
terceiro ano, deste modo, a autora deste trabalho, na sua aula inédita, não pode fazer a
conexão entre Números Complexos e a Geometria Analítica.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) destaca-se
a importância em estabelecer conexões entre os conteúdos matemáticos e aplicações dos
conhecimentos a situações diversas. Na aula inédita a autora procurou fazer a conexão
de números complexos com ângulos, polígonos regulares e suas propriedades,
conteúdos vistos no Ensino Fundamental. Alguns alunos tiveram dificuldade, pois não
lembravam de algumas fórmulas de área, por exemplo, mas o que surpreendeu foi como
9
alguns alunos, por caminhos diferentes do convencional, de acordo com o que
lembravam, chegavam a solução.
Na perspectiva da Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS) de Ausubel
(2003), a variável mais importante para novas aprendizagens é o conhecimento prévio
do aluno. Isto quer dizer que, para aprender um conteúdo novo, o aluno deve apresentar
na sua estrutura cognitiva conceitos subsunçores que servirão de “ancoradouro” para a
interação com o novo conhecimento. O fato de alguns alunos não lembrarem de
fórmulas de áreas, por exemplo, pode caracterizar que a aprendizagem deste conceito
prévio não foi significativa, e sim, mecânica. Ou, simplesmente, não houve
aprendizagem prévia. Na aprendizagem mecânica o conteúdo assimilado é facilmente
esquecido.
Alguns objetivos principais a serem atingidos pela aula inédita foram definidos:
Representar no plano complexo um número complexo dado na sua forma
trigonométrica sem encontrar a forma algébrica;
Entender o produto entre números complexos como uma rotação no
plano, seguida de dilatação ou de contração;
Desenvolver a análise da potenciação de números complexos,
investigando o que acontece quando o expoente tende ao infinito nos possíveis casos
para o módulo do número complexo : | | | | e | | ;
Identificar e representar no plano o polígono formado com os vértices nas
raízes de um número complexo;
Encontrar a área destes polígonos, fazer conjecturas sobre as áreas
encontradas e determinar uma fórmula para a área em função de e do argumento do
número complexo dado na sua forma polar.
Para cada atividade proposta no plano de aula, foi feito um relato quanto aos
objetivos desejados pelo professor, as dificuldades apresentadas pelos alunos e as
diferentes formas que os alunos encontraram para chegar a solução do problema
proposto para servir de guia para a análise a posteriori. Por fim, apresentamos as
conclusões após a análise dos resultados obtidos.
10
2 UM POUCO DA HISTÓRIA SOBRE O SURGIMENTO DOS NÚMEROS
COMPLEXOS.
De acordo com Jacques Hadamard (apud Ripoll et al., 2009, p. 371), o caminho
mais curto entre duas verdades do campo real passa através do campo complexo. Na
História da Matemática, quando os matemáticos, ao resolverem problemas, se
deparavam com raízes quadradas de números negativos, sempre foi muito claro para
eles que tais problemas não tinham solução, pois um número negativo não tem raiz
quadrada. De acordo com Roque (2012), povos como os babilônicos já sabiam resolver
equações de segundo grau, ainda segundo Boyer (2012) para os babilônicos eram
frequentes problemas de encontrar dois números, dado seu produto e sua soma ou
diferença. Nas soluções de muitos destes problemas, apareciam radicais de números
negativos. Mesmo assim, não foram estas equações que deram origem ao uso de
números complexos, pois sempre que estas apareciam os matemáticos concluíam que a
equação, ou o problema proposto que deu origem a equação, não tinha solução.
Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à
grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501 – 1576). Conforme Pinto
(2009), em 1545, em seu livro Ars Magna, Cardano resolve o problema de dividir um
segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40. Tal problema é
equivalente a resolver a equação
(1)
Ao encontrar as raízes para a equação (1), √ e √ ,
Cardano propõe a existência de raízes quadradas de números negativos, admitindo
serem estas as soluções. Conforme Carmo (2005), Cardano afirma ter deixado de lado
toda a tortura mental envolvida em trabalhar com algo que, até então, não existia e
multiplica as raízes encontradas, ( √ ) ( √ ), obtendo o produto
desejado no problema inicial, . Cardano diz que tal resultado seria tão sutil quanto
inútil, pois as raízes satisfaziam o problema inicial, mas não tinham significado por se
tratar de raiz de número negativo.
Para resolver problemas concretos eram formuladas equações matemáticas. Na
resolução das equações do segundo grau, sempre que apareciam radicandos com
11
números negativos, isto indicava que o problema originalmente proposto não tinha
solução. Foram as equações de terceiro grau que impuseram a necessidade de trabalhar
com raízes de números negativos. De acordo com Pinto (2009), ainda no livro Ars
Magna de Cardano, ele apresenta a fórmula para a resolução da equação de terceiro
grau. Dada a equação
(2)
a fórmula de Cardano-Tartaglia que permite obter uma raiz para (2) é
√
√(
)
(
)
√
√(
)
(
)
(3)
Observamos na equação (3) que quando (
)
(
)
, teremos uma raiz
quadrada de número negativo e, portanto, parece que não existe tal raiz, isto é, a
fórmula não resolve a equação do terceiro grau. Porém, isso não acontece. Mesmo que
apareça raiz quadrada de número negativo, ainda assim é possível encontrar a raiz para
equação do terceiro grau pela fórmula (3) que Cardano apresentou em seu trabalho,
como veremos a seguir.
Raphael Bombelli, matemático italiano, discípulo de Cardano, publicou por
volta de 1560, o livro L’Algebra, em que descreve as ideias de Cardano de forma
didática. Ele considera a equação
(4)
e ao resolvê-la usando a fórmula de resolução (3), chega na seguinte expressão para
uma das raízes de (4):
√ √
√ √
(5)
12
Bombelli sabia que era uma solução da equação (4) e decide trabalhar
com as raízes quadradas de números negativos como se fossem números verdadeiros.
Ele enuncia algumas regras para trabalhar com tais raízes e analisando a solução,
percebe que se √ √
fosse um número da forma √ , talvez também
√ √
fosse da forma √ e, neste caso, teria ( √ ) ( √ )
, donde encontraria . Assim, aplicando as regras de cálculos algébricos,
Bombelli concluiu que e verificou que, de fato ( √ ) √ e
ainda que ( √ ) √ . Desta forma, Bombelli teve a necessidade
explícita de introduzir os números complexos nos cálculos para encontrar a solução real
da equação (4) e fez a primeira apresentação do assunto.
A partir dos estudos de Cardano e de Bombelli, outros matemáticos também
pesquisaram sobre esse problema, mas obteve-se uma formalização rigorosa desse
conjunto apenas dois séculos mais tarde quando Friedrich Gauss (1777 – 1855)
apresentou a interpretação geométrica dos números complexos.
Portanto, a história nos mostra que a representação geométrica dos números
complexos é muito importante para o entendimento deste conjunto. Por esta entre outras
razões, este trabalho tem a finalidade de trabalhar com as propriedades dos números
complexos com vistas a representação geométrica no plano complexo.
13
3 NÚMEROS COMPLEXOS
Apresentaremos o conjunto dos números complexos, denotado por , sua
definição, as representações, propriedades algébricas e geométricas, dando o
embasamento necessário para o nosso foco maior, a aula inédita. Os conceitos abaixo
foram elaborados pela autora a partir da experiência lecionando-os, e na pesquisa de
alguns livros didáticos citados nas referências.
3.1 DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO
Na matemática, existe mais de uma maneira de se conceituar, formalmente, um
número complexo. Neste material daremos a seguinte definição:
Dado um número , então com .
Sendo assim, o conjunto dos números complexos, de todos os pares ordenados
de reais fica definido:
{ } (6)
Observamos que há um isomorfismo entre o conjunto dos números complexos e
o conjunto dos pares ordenados onde e . De fato para cada
número complexo , existe um único ponto , tal que
, e para cada ponto , existe um único , tal que
. Portanto valem para os números complexos todas as operações e propriedades
entre pares ordenados. No que segue, faremos a apresentação das operações e
propriedades com os números complexos na sua representação algébrica.
3.2 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
O número complexo pode ser reescrito como , onde
√ . Esta é denominada forma algébrica de , onde os números reais e são,
respectivamente, denominados de parte real e parte imaginária de . Comumente usa-se
as notações: e . Quando e , temos um
número imaginário puro, e quando , temos um número real.
14
Com o exposto acima, percebe-se que ao considerarmos o conjunto :
{ } (7)
é fácil ver que para cada elemento , existe um único elemento e
para cada elemento , existe um único elemento . Ou seja, a
função , que associa a cada elemento , um elemento ,
é uma função bijetora e, portanto, podemos concluir que o conjunto dos números reais
está contido no conjunto dos números complexos, isto é, .
A seguir apresentaremos algumas propriedades dos números complexos com
esta representação e faremos algumas considerações pertinentes sobre a unidade
imaginária.
3.2.1 Considerações sobre a Unidade Imaginária
Definimos como unidade imaginária o número complexo , ou seja, ,
sendo a propriedade fundamental da unidade imaginária.
Observe o comportamento das potências naturais de :
(propriedade fundamental da unidade imaginária)
( )
( )
( )
( )
( )
A proporção que cresce, existe um período para , isto é, as potências vão
se repetindo periodicamente. Os valores que podem assumir são e . Desta
forma, o período é de quatro unidades, e para encontrar o valor que assume, devemos
escrever , , onde , sendo o resto da divisão de por ,
com efeito,
15
de onde concluímos que .
3.2.2 Igualdade entre Números Complexos
Dois números complexos são iguais, se e somente se, possuem as partes reais
iguais e partes imaginárias também iguais. Dados os complexos e , então
e .
3.2.3 Operações com Números Complexos na Forma Algébrica
Adição entre Números Complexos
Para somarmos dois números complexos na forma algébrica, somamos as partes
reais e somamos as partes imaginárias. Isto é, dados e , então
[ ] [ ] .
Multiplicação entre Números Complexos
A parte real do produto de dois números complexos na forma é igual a diferença
entre o produto das partes reais e o produto das partes imaginária dos dois complexos. E
a parte imaginária é igual a soma dos produtos da parte real de um pela parte imaginária
do outro. Isto é, dados Dados e , então
A multiplicação entre números complexos satisfaz a propriedade distributiva e a
propriedade fundamental da unidade imaginária ( .
3.2.4 Conjugado de um Número Complexo
O conjugado do número complexo , denotado por é o número complexo tal
que e . Assim dado , o conjugado de será
. (8)
Da definição de conjugado, resultam algumas propriedades a seguir listadas:
(i) O conjugado do conjugado de é o próprio ;
16
(ii) A soma entre um número complexo e o seu conjugado é um número real
igual ao dobro da parte real, isto é,
(iii) A diferença entre um número complexo e seu conjugado é um imaginário
puro, cuja parte imaginária é o dobro da parte imaginária do complexo, isto é,
(iv) O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real
positivo igual a soma do quadrado da parte real com o quadrado da parte imaginária,
isto é,
[ ] [ ]
3.2.5 Conjugado da Soma, do Produto e de uma Potência
Dados dois números complexos quaisquer e , seguem algumas propriedades
decorrentes da definição de conjugado e das operações entre complexos:
(i) O conjugado da soma é a soma dos conjugados, isto é,
(ii) O conjugado do produto é o produto dos conjugados, isto é,
(iii) O conjugado de uma potência é igual à potência do conjugado, isto é,
3.2.6 Divisão entre Números Complexos
Dados , com , observamos que para efetuar a divisão
precisamos saber o que significa dividir pela unidade imaginária e, assim como na
divisão de números irracionais, não podemos fazer essa divisão diretamente. Desta
forma, precisamos de um algoritmo que torne o denominador um número real. No
decorrer deste texto, apresentamos que, sempre ao multiplicar um número complexo
pelo seu conjugado, o produto será um número real positivo. Assim, se multiplicarmos a
fração dada por uma fração igual a formada pelo conjugado do denominador,
17
estaremos tornando real o denominador e não vamos alterar o resultado da divisão.
Observe
[ ] [ ] (9)
3.3 PLANO DE ARGAND-GAUSS
A representação gráfica de um número complexo na Figura 1, segue da sua
definição como par ordenado de números reais e . A cada número complexo
, corresponde um único ponto do plano cartesiano, e, a
cada ponto do plano corresponde um único número complexo. Chamaremos
o ponto de imagem geométrica do complexo , .
Figura 1 – Representação geométrica do número complexo .
Fonte: Autora
Carneiro (2004) observa que a representação gráfica dos números complexos foi
introduzida através de estudos de Gaspar Wessel (1745 – 1818) e publicada em 1798 na
Revista da Academia Dinamarquesa. Quando o plano cartesiano é utilizado para
representar números complexos, passamos a chama-lo de Plano Complexo ou Plano de
Argand-Gauss. Esta representação foi reconhecida apenas em 1806, quando Jean
Robert Argand (1768 – 1822) publicou sua exposição, sendo que sua incorporação
definitiva a matemática, se deu quando Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) divulgou
seus trabalhos, durante a segunda década do século XIX.
Algumas observações pertinentes a representação gráfica:
Todos os números reais têm sua representação gráfica no eixo ;
chamado eixo real;
18
Os números imaginários puros têm sua representação gráfica no eixo ,
denominado eixo imaginário.
3.3.1 Módulo de um Número Complexo
Considerando um número complexo , temos no ponto sua
representação gráfica. A distância de até a origem , um número real não negativo, é
chamado módulo do número complexo . É comumente denotado por | | ou , ou
simplesmente . O módulo de é facilmente obtido pelo Teorema de Pitágoras, o qual
afirma que em todo o triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos.
Na Figura 2, está representado o triângulo retângulo de catetos e e
hipotenusa | |, onde .
Figura 2 – Módulo de um número complexo .
Fonte: Autora
Algebricamente, o módulo do número complexo é o número
real não negativo dado por:
| | √ (10)
Geometricamente, o módulo do número complexo é a
distância do ponto até a origem .
| | (11)
19
3.3.2 Propriedades Imediatas do Módulo
Sendo , valem as propriedades:
| | | |
| | | | | |
|
|
| |
| | , com
| | | | | | (desigualdade triangular)
3.3.3 A Trigonometria dos Números Complexos
Sejam um número complexo não nulo e o ponto que o representa.
A medida do ângulo formado pelo semi-eixo positivo e pelo segmento
(tomada no sentido anti-horário) é chamada argumento principal do número complexo
, e indicada por , conforme ilustrada na figura 3.
Figura 3 – Argumento do número complexo .
Fonte: Autora
No caso em que e , isto é, quando está sob o semi-eixo positivo
, adotamos . Percebemos então que
(12)
Observamos que damos o nome de argumento principal a pelo fato de também
serem considerados como argumento do número complexo todos os
côngruos de , ou seja, os ângulos de medidas:
20
(13)
onde . É frequente nos referirmos ao argumento principal simplesmente como
argumento de .
3.3.4 A Forma Trigonométrica dos Números Complexos
As definições de módulo e argumento de nos permitem escrevê-lo numa nova
forma, além das já utilizadas (cartesiana e algébrica).
Para todo número complexo , de módulo | | e argumento ,
valem as seguintes relações:
| |
e
| |
(14)
donde segue que | | e | | .
Das relações em (14), podemos escrever
| | (15)
a qual denominamos forma polar ou trigonométrica, do número complexo .
Figura 4 – Forma Trigonométrica do número complexo .
Fonte: Autora
21
Para simplificação da escrita, adotaremos a seguinte notação
(16)
Desta forma, dado o número complexo escrito na forma trigonométrica
| | , então na notação simplificada para este trabalho .
A forma trigonométrica tem a vantagem de simplificar o trabalho na
multiplicação, na divisão, na potenciação e na radiciação, conforme veremos a seguir.
3.3.5 Multiplicação e Divisão de Números Complexos na Forma Trigonométrica
Sejam e números complexos não nulos. Vamos
calcular o produto , usando a propriedade distributiva:
Donde concluímos que
[ (17)
Da trigonometria, temos que:
(18)
Substituindo as relações de (18) em (17):
[ ] (19)
ou, usando a notação deste trabalho:
(20)
22
Concluímos que, para multiplicar dois números complexos na forma
trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar seus argumentos.
Esse procedimento pode ser generalizado para um número qualquer de fatores:
(21)
Vamos calcular o quociente entre e :
Donde, concluímos que:
(22)
Da trigonometria, temos que:
(23)
e
(24)
Substituindo (23) e (24) em (22), concluímos que:
[ ] (25)
e usando a notação adotada neste trabalho:
23
(26)
Portanto, para dividir dois números complexos na forma trigonométrica, basta
dividir seus módulos e subtrair seus argumentos.
3.3.6 Potenciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica
Com base na multiplicação, na forma trigonométrica, vamos verificar como se
processa o cálculo de potências da forma , sem que precisemos
recorrer a métodos exaustivos, tais como o binômio de Newton.
Considere e , ambos não nulos. Vamos calcular .
Se , temos:
(27)
Aplicando em (27) o resultado obtido em (21), tem-se:
(28)
Se , temos , podendo ser usado o resultado (28) para . Então,
fazemos:
(29)
Pela definição de número complexo, , portanto temos uma divisão
entre números complexos. Logo, aplicando (26) em (29), obtemos:
( ) (30)
24
O resultado (28) se repetiu para , e também se verifica para , pois
, temos que, para todo inteiro vale o resultado obtido em
(28).
Deste modo, para elevarmos um complexo a um expoente inteiro
qualquer, basta elevarmos o módulo ao expoente e multiplicarmos o seu argumento
por .
3.3.7 Radiciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica
Dado e não nulo, chamamos de raiz enésima de a todo número
complexo que satisfaz a relação .
Todo número complexo não nulo admite raízes enésimas. Por exemplo, o
número admite raízes quartas, a saber , uma vez
que:
No que segue, veremos como determinar as raízes de um número complexo.
Dado , seja uma raiz enésima de . Então:
(31)
e, portanto,
(32)
Segue das propriedades de números reais positivos que o módulo da raiz
enésima de um complexo é igual a raiz enésima do módulo de , isto é
, ou seja √ (33)
Sobre o argumento de , devemos considerar todas as determinações do
argumento de , isto é, , , e, portanto
25
(34)
Ao atribuirmos para os valores , em (34), obteremos valores
distintos e não côngruos para e, para qualquer outro valor de , o valor resultante de
será côngruo de um dos já obtidos.
Deste modo, concluímos que, determinado o módulo das raízes √ e cada
um dos valores distintos e não congruentes do argumento , podemos formar
números complexos , todos eles raízes enésimas de , dados por:
√ (
) (35)
26
4 PLANO DE AULA – ANÁLISE A PRIORI
A aula inédita foi elaborada de modo que o processo de ensino e aprendizagem
de números complexos, na sua forma trigonométrica, fosse feito exclusivamente através
da geometria no plano, considerando circunferências centradas na origem e ângulos da
primeira determinação positiva. Com o auxílio de material impresso contendo imagem
de um plano e suas coordenadas polares, disponível no anexo 1 deste trabalho, e o uso
das definições de operações na forma trigonométrica, espera-se contribuir no resgate da
geometria, bem como livrar-se, sempre que possível, dos exaustivos cálculos algébricos.
Durante as primeiras aulas do ano letivo, em especial naquela em que foi
apresentada a forma trigonométrica dos números complexos, a professora fez uso do
software GeoGebra, para apresentar aos alunos algumas propriedades das operações
entre complexos na forma polar. O GeoGebra é um programa de Geometria Dinâmica,
de uso livre onde podem ser desenvolvidas atividades que permitem as operações com
Números Complexos e a verificação do cálculo do produto entre complexos de modo
algébrico e geométrico, sendo desta forma uma ferramenta no processo de ensino e
aprendizagem. Esta exposição foi feita com auxilio de um projetor multimídia que está
a disposição em todas as salas de aula do Instituto Federal do Rio Grande do Sul,
campus Rio Grande. Os alunos foram incentivados a fazer o download deste software
em seus computadores pessoais e sempre que possível, manuseá-lo em seus estudos
individuais.
4.1 O PLANO DE AULA
O conteúdo da aula inédita foi trabalhado em sala de aula, com uso de material
impresso das atividades contendo o plano e coordenadas polares. Num primeiro
momento foram resolvidos alguns exercícios de maneira expositiva. Com o uso do
projetor multimídia, a professora projetou no quadro branco o plano complexo com as
coordenadas polares, o mesmo plano que consta no material impresso que foi entregue
aos alunos, e resolveu alguns exercícios usando a lousa.
O material em folhas de ofício com as atividades propostas foi impresso na
escola e também disponibilizado em uma página da internet que a professora criou
(sites.google.com/a/riogrande.ifrs.edu.br/matemática), vinculada a instituição, onde são
disponibilizados atividades e material didático extras. Os alunos foram orientados
27
anteriormente a aula inédita, a portar lápis, borracha, canetas, régua e transferidor.
Qualquer material extra, tais como, canetas coloridas, lápis de cor, entre outros, fica a
critério de cada aluno.
Os alunos deveriam discutir e desenvolver as atividades em grupo. Em seguida,
responder no material impresso que foi distribuído pela professora durante os períodos
de execução da aula inédita. Para cada atividade havia um espaço para possíveis
cálculos, mesmo que fosse cobrada apenas a representação geométrica.
A avaliação dos alunos foi feita de forma qualitativa e quantitativa no decorrer
das atividades propostas. Os alunos foram avaliados qualitativamente quanto a
participação, comprometimento, trabalho em equipe, na capacidade de expressão e
quantitativamente na analise, pela professora, das atividades resolvidas e entregue pelos
alunos ao final da aula.
As atividades propostas na aula didática foram testadas com antecedência pela
professora e autora deste trabalho e são apresentadas na análise a priori da aula inédita.
A aplicação da aula inédita foi realizada logo após a abordagem do conteúdo de
números complexos na sua forma trigonométrica. Esta foi documentada por meio de
fotografias e relatório de atividades. É importante saber que esta turma é de segundo
ano do Ensino Médio, e os alunos ainda não tiveram contato com a Geometria
Analítica. Portanto não faz sentido falar em equação de circunferência. Mesmo assim,
com a ideia de que o módulo de um número complexo é a distância entre o
ponto e a origem , a noção de circunferência aparece
naturalmente.
A professora apresentou para a turma a forma geométrica de encontrar o produto
entre números complexos, potência de números complexos e radiciação entre números
complexos, com pouco uso da álgebra envolvida nestes cálculos. O tempo previsto para
a aula inédita foi de dois períodos de 60 minutos cada.
A seguir, apresentam-se os exemplos que a professora abordou no início da aula
inédita.
4.1.1 Exemplos Apresentados no Início da Aula Inédita
Para todos os exemplos apresentados, foi projetado na lousa branca o plano
elaborado no software GeoGebra com malha de coordenadas polares aparente como o
28
da figura (5), assim como, para toda atividade, os alunos tiveram um semelhante no
material impresso.
Figura 5 – Plano Complexo com Coordenadas Polares.
Fonte: Autora
Exemplo 1:
Dados os números complexos , calcule:
a)
b)
A professora inicia a resolução do exemplo 1, encontrando no plano cartesiano
os complexos e (Figura 6). Para isso, relembra a definição de circunferência, e
então, a partir de um diálogo com os alunos, chega-se a conclusão de que, se o módulo
de um número complexo é , então este complexo deve estar sobre a circunferência
com centro na origem e raio . Além disso, o ângulo formado entre a parte positiva do
eixo e o segmento é igual ao argumento de . Desta forma, um número
complexo escrito na forma trigonométrica está bem definido.
Figura 6 – Representação de e .
29
Fonte: Autora
a) Para a solução do primeiro item do exemplo, a professora relembra com os
alunos que o módulo do produto é o produto dos módulos, logo estará sobre a
circunferência com centro na origem e raio Além disso, o argumento do
produto é a soma dos argumentos, logo . Deste
modo, encontra-se a representação geométrica do complexo (Figura 7).
Figura 7 – Representação geométrica do produto .
Fonte: Autora
b) Para este item, a professora novamente, relembra com os alunos que o
quociente entre os complexos estará sob uma circunferência de raio igual ao quociente
30
entre os módulos, portanto o complexo procurado está sobre a circunferência de raio
| |
| |
. Além disso, o argumento do quociente é igual a subtração dos argumentos,
logo (
) (Figura 8).
Figura 8 – Representação geométrica do quociente entre e .
Fonte: Autora
Exemplo 2:
Sabendo que é uma das raízes sextas de , encontre as outras raízes.
Para resolver este exemplo, o primeiro passo é representar no plano complexo a
raiz dada (Figura 9):
Figura 9 – Representação geométrica de .
Fonte: Autora
31
O segundo passo é lembrar que a representação gráfica das raízes enésimas de
um número complexo são os vértices de um polígono regular de lados, logo, as raízes
estão todas sobre uma mesma circunferência, neste caso de raio , pois o módulo da raiz
dada é igual a , e as demais raízes possuem o mesmo módulo. Temos um polígono
regular com lados, visto que é uma das raízes sextas de um número complexo
. Lembrando da propriedade de polígonos regulares, onde os ângulos centrais são
congruentes, sabemos que o ângulo central do hexágono deve ser
,
portanto o ângulo formado entre os segmentos e
é de , isto é,
. Deste modo, geometricamente, basta “andar” sobre a circunferência
de em para encontrar as outras raízes (Figura 10).
Figura 10 – Raízes sextas de .
Fonte: Autora
Exemplo 3:
Dado √ , determine e .
O primeiro passo é representar no plano complexo (Figura 11):
Figura 11 – Representação geométrica de √ .
32
Fonte: Autora
Em seguida, lembramos que a potência enésima de um número complexo , tem
módulo igual a potência enésima do módulo de e argumento igual a vezes o
argumento de . Mas | | √ , logo | | (√ ) e o argumento de é igual a
duas vezes o argumento de , isto é, . Já podemos
determinar geometricamente (Figura 12):
Figura 12 – Representação geométrica de .
Fonte: Autora
33
Percebemos então que o argumento da sequência de potências deste número
complexo será de em e que o módulo, a cada iteração, será multiplicado por √
(Figura 13).
Figura 13 – Representação geométrica de e .
Fonte: Autora
Nestas atividades, além da rotação no plano, poderiam ser resgatado conteúdos
como Progressão Aritmética e Progressão Geométrica. Não foi mencionado nada a
respeito, pois conforme relatado anteriormente, a sequência de conteúdos no programa
do Ensino Médio no Campus de Rio Grande do IFRS traz números complexos antes
destes conteúdos.
4.1.2 Soluções e Considerações sobre os Objetivos das Atividades Propostas
Apresentaremos aqui as soluções e os objetivos para cada uma das atividades
propostas na aula inédita.
Atividade 01.
Dados os números complexos , , e
.
34
a) Represente os complexos no plano complexo ilustrado a seguir evidenciando
o argumento e módulo de cada um (Figura 14).
Figura 14 – Representação geométrica de e .
Fonte: Autora
b) Represente e o produto no plano a seguir (Figura 15).
Figura 15 – Representação geométrica de .
Fonte: Autora
c) Represente no plano complexo e o produto (Figura 16).
35
Figura 16 – Representação geométrica de .
Fonte: Autora
d) Represente no plano e o produto (Figura 17):
Figura 17 – Representação geométrica de .
Fonte: Autora
e) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo em cada uma
das multiplicações realizadas nos itens anteriores:
36
Nesta atividade, espera-se que os alunos percebam que ao multiplicar o número
complexo por um complexo de módulo e argumento , o produto permanece na
circunferência de raio igual a | |, porém rotaciona-se em um ângulo .
Pode ser que eles falem isso apenas para o do exercício, deste
modo apresenta-se a seguinte atividade para conduzir a uma generalização do produto
entre um complexo por um complexo unitário .
Atividade 2.
Dado o complexo | | , representado
no plano complexo nos itens abaixo, e usando os
complexos , , , , ,
e , represente geometricamente os
produtos abaixo, fazendo uso do transferidor (Figura
18).
Figura 18 – Rotações de a partir do produto por complexos unitários
a)
b)
37
c)
d)
e)
f)
Fonte: Autora
d) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo nas
multiplicações realizadas nos itens anteriores.
O objetivo desta atividade é generalizar o resultado da atividade 1. Os alunos
deveriam perceber que ao multiplicar qualquer número complexo por um número
complexo unitário, isto é, módulo igual a um, e ângulo , é equivalente a rotacionar o
número complexo em um ângulo .
Atividade 3.
Dado o número complexo .
a) Represente no plano complexo (Figura 19).
38
Figura 19 – Representação geométrica das potências de .
Fonte: Autora
b) Escreva a sequência de módulos das potências calculadas no item “a”. Que
propriedade tem esta sequência?
O módulo de todas as potências de será sempre unitário, pois o
módulo de é igual a 1, | | . Portanto a sequência é constante e igual a .
c) Escreva a sequência de argumentos das potências calculadas no item “a”. Que
propriedade tem esta sequência?
A sequência de argumentos começa no argumento de , e segue
somando sempre ao argumento anterior, observe:
A sequência de argumentos é
39
d) E se continuássemos calculando , o que aconteceria
geometricamente?
As potências de estarão sempre sob a circunferência unitária e, além disso,
como o argumento de é um divisor de , então a partir de os complexos serão
repetidos periodicamente, pois em cabem exatamente ângulos de .
e) O que você pode concluir sobre as potências de analisando suas
representações geométricas?
Pelo fato de o módulo de ser unitário, todas as potências estarão sob a
circunferência unitária. A potência é uma rotação de ângulo a partir de .
Atividade 4.
Dado o número complexo √ :
a) Represente no plano complexo e (Figura 20).
Figura 20 – Representação geométrica das potências de √ .
Fonte: Autora
b) Escreva a sequência de módulos das potências calculadas no item “a”. Que
propriedade tem esta sequência?
40
Os módulos desta sequência estão mudando, não são sempre os mesmos como
na atividade anterior. O propósito deste item é que os alunos percebam que, para
encontrar o módulo da potência , basta multiplicar o módulo da potência por
√ , ou ainda, conforme a fórmula De Moivre, | | | | .
| | √
| | √ √
| | √
| | ( √ ) √
| | (√ )
c) Escreva a sequência de argumentos das potências calculadas no item “a”. Que
propriedade tem esta sequência?
A sequência de argumentos das potências de inicia no argumento de e cresce
de em , isto é, de uma maneira recorrente, para encontrar o argumento da
potência , basta somar ao argumento da potência anterior .
d) Se continuássemos calculando ... o que aconteceria geometricamente?
Neste item, o intento é que o aluno perceba que as potências de possuem
módulo cada vez maior, que tendem ao infinito e que o argumento aumenta de 45° em
45°, logo os complexos representados no plano complexo formam uma espiral em torno
da origem.
e) O que você pode concluir sobre as potências de √ analisando
suas representações geométrica em relação as potencias de encontradas na
atividade 3?
41
Devido ao fato de o módulo de ser maior que , o comportamento não seguiu
como na atividade 3, em que todas as potências ficaram sobre a circunferência centrada
na origem e raio unitário. Mas ainda há um giro em torno da origem de em .
Atividade 5.
Dado o número complexo √
:
a) Represente no plano complexo e (Figura 21).
Figura 21 – Representação geométrica das potências de √
.
Fonte: Autora
b) Escreva a sequência de módulos das potências calculadas no item “a”. Que
propriedade tem esta sequência?
A sequência de módulos não é constante, mas sim decrescente, pois estamos
fazendo as potências naturais de √
. De maneira recorrente, para encontrar o
módulo da próxima potência, basta multiplicar o módulo da potência anterior pelo
módulo de , ou seja, para encontrar | |, resolvemos o produto √
| |.
| | √
42
| | √
√
(
√
)
| |
√
√
(
√
)
| | | |
c) Escreva a sequência de argumentos das potências calculadas no item “a”. Que
propriedade tem esta sequência?
Os argumentos crescem na razão de , isto é, a cada nova iteração, somamos
ao argumento da iteração anterior:
d) Se continuássemos calculando ... o que aconteceria geometricamente?
As potências de vão formar uma espiral em torno da origem, com módulo cada
vez menor e o argumento aumentando de em .
e) O que você pode concluir sobre as potências de √
analisando
suas representações geométrica?
O objetivo deste item é que o aluno perceba que as potências vão girar em torno
da origem, de em , com o módulo cada vez menor. Portanto, para | | ,
quando cresce, então está se aproximando cada vez mais da origem do
sistema de coordenadas.
Atividade 6.
Dado o número complexo .
a) Represente-o no plano complexo (Figura 22).
43
Figura 22 – Representação geométrica de .
Fonte: Autora
b) Se é um dos vértices de um triângulo equilátero inscrito em uma
circunferência com centro em , represente geometricamente os outros vértices
e .
c) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
Para que o módulo de não se altere temos que multiplica-lo por um complexo
de módulo unitário, e pelas propriedades de triângulo equilátero, o ângulo central mede
, portanto temos que rotacionar em . Deste modo devemos multiplicar
por .
d) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
Pelos mesmos motivos anteriores, multiplicamos por para obter ,
44
e) e são raízes cúbicas de qual número complexo?
A atividade diz que é um dos vértices de um triângulo
equilátero, então é uma das três raízes cúbicas de um número complexo e, portanto,
deve satisfazer a equação , logo
f) Qual é a área do polígono de vértices e ?
Para este item e para os que seguem onde pede-se a área do polígono
encontrado, pretende-se resgatar o conteúdo visto no Ensino Fundamental sobre área de
polígonos regulares. Além disso, temos o intuito de que o aluno, após encontrar
algumas áreas, consiga generalizar a área do polígono com lados, em função de e de
| |, sendo os vértices do polígono as raízes enésimas de .
Atividade 7.
Dado o número complexo .
a) Represente no plano complexo (Figura 23).
Figura 23 – Representação geométrica de .
Fonte: Autora
b) Se é um dos vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com
centro em , represente geometricamente os outros vértices e (Figura
24).
45
Figura 24 – Representação geométrica dos vértices e .
Fonte: Autora
c) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
Baseando-se nas propriedades do quadrado e considerando que o módulo de
não deve se alterar, concluímos que .
d) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
Analogamente, .
e) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
Neste caso, .
f) e são raízes quartas de qual número complexo?
Se é raiz quarta de um número complexo , então a equação deve
estar satisfeita, portanto encontramos :
g) Qual a área do quadrado?
Atividade 8.
Dado o número complexo √ . Sabe-se que é vértice de um
hexágono regular, inscrito na circunferência com centro em .
46
a) Represente no plano complexo e vértices do hexágono
regular (Figura 25).
Figura 25 – Representação geométrica dos vértices do hexágono e
.
Fonte: Autora
b) Sabemos que as raízes sextas de um número complexo representam um
hexágono regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes sextas
são os vértices do hexágono ?
Para descobrir , basta resolver a equação √
:
(√ )
c) Represente e o hexágono gerado pelas raízes sextas de no mesmo plano
cartesiano (Figura 26).
47
Figura 26 – Representação geométrica de e de suas raízes sextas.
Fonte: Autora
d) Qual a relação entre os módulos de e dos complexos √
?
Os módulos dos complexos vértices do hexágono regular são todos iguais a √ e
pela fórmula De Móivre para potências de números complexos, isto é, | | (√ ) .
Além disso, o módulo das raízes sextas de é menor que o módulo de , pois | |,
observe:
| | | | | | √| |
| |
e) Qual é a área do hexágono?
O hexágono é formado por seis triângulos equiláteros cujo lado é igual ao
módulo de :
(√ )
(√ )
√
Atividade 9.
Dado o número complexo √
. Se é vértice de um octógono
inscrito na circunferência centrada na origem.
a) Represente no plano complexo e , vértices do
octógono regular (Figura 27).
48
Figura 27 – Representação geométrica de e .
Fonte: Autora
b) Sabemos que as raízes oitavas de um número complexo representam um
octógono regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes oitavas
são os vértices do octógono ?
Para descobrir , basta resolver a equação :
(√
)
c) Represente e o octógono gerado pelas raízes oitavas de no mesmo plano
cartesiano (Figura 28).
Figura 28 – Representação geométrica de e das raízes oitavas de .
Fonte: Autora
49
d) Qual a relação entre os módulos de e dos complexos √
?
Os módulos dos complexos vértices do octógono regular são todos iguais a √
e
da mesma forma que a atividade anterior, isto decorre da fórmula De Móivre para
potências de números complexos, isto é, | | (√
)
. Nesta atividade, encontramos o
módulo das raízes oitavas de é maior que o módulo de , pois | | , observe:
| | | | | | | | √| |
e) Qual é a área do octógono com vértices nas raízes oitavas de ?
O octógono é formado por oito triângulos isósceles congruentes com lados
medindo √
unidades de medida e ângulo do vértice , portanto
(
√
√
)
√
Atividade 10.
Procure uma relação entre a área do polígono formado pelas raízes enésimas de
, em função do natural e do módulo . Dica: Para esta atividade, observe a figura
29a, 29b, 29c e 29d e use a fórmula para área de um triângulo qualquer (Equação
36):
(36)
Figura 29 – Polígonos regulares inscritos na circunferência com centro O e raio
.
(a) Triângulo
equilátero.
(b) Quadrado
(c) Hexágono
regular
(d) Octógono
regular
Fonte: Autora
50
Observamos que as soluções da raiz enésima de um número complexo formam
um polígono regular de lados, consequentemente triângulos isósceles e congruente,
cujo lado é (√| |
) e ângulo do vértice
. Portanto
(
| | (
))
5 ANÁLISE A POSTERIORI
Conforme já comentado no capítulo 3, no início da aula inédita a professora
apresentou três problemas resolvendo-os no quadro com ajuda do projetor multimídia.
O conteúdo sobre números complexos já havia sido explanado em aulas anteriores. O
objetivo da aula inédita era de observar as representações geométricas das operações
entre números complexos.
Após a explicação da professora sobre as representações geométricas através dos
exemplos no inicio da aula, a turma dividiu-se em grupos e foram entregues as
atividades em material impresso. A professora registrou com fotos os momentos durante
as atividades, algumas imagens estão na figura 30. A orientação dada pela professora
foi de que os grupos deviam discutir as questões e procurar solucioná-las em conjunto,
porém um dos grupos dividiu as atividades entre seus integrantes para cada um fazer
uma parte do trabalho. No momento em que a professora identificou esse procedimento
por parte deste grupo, orientou a turma, falando que este não era um procedimento
coerente e que a ideia de fazer grupos era para haver a discussão sobre a matemática dos
números complexos entre os integrantes. Neste momento, decidiu-se que todos os
integrantes do grupo deveriam entregar o trabalho individualmente, mas a discussão em
grupo permaneceria com o intuito da troca de ideias e formas de soluções.
Figura 30
51
Fonte: Autora
Atividade 01
De modo geral, não houve problemas na resolução da primeira atividade, pois
esta consistia apenas em representar no plano os complexos dados e em seguida fazer a
representação do complexo de módulo | | e argumento pelos
complexos e ambos de módulo unitário e argumentos e
respectivamente.
Vale lembrar que apesar de os alunos terem a possibilidade da discussão em
grupo, o trabalho deveria ser entregue individualmente. Observou-se que um aluno
primeiro escreveu o número complexo na forma algébrica, para então representá-lo no
plano, e isso gerou erro na sua representação conforme figura 31-a. Os demais alunos
não tiveram dificuldades. A figura 31-b, 31-c, 31-d e 31-e apresenta algumas resoluções
da atividade 1.
Figura 31 – Atividade 1
a) Atividade 1 – a
b) Atividde 1 – a
52
c) Atividade 1 – b
d) Atividade 1 – c
e) Atividade 1 – d
f) Atividade 1 – e
Fonte: Autora
Observou-se que, em geral, nesta atividade os alunos conseguiram concluir que
ao multiplicar um número complexo por outro complexo de módulo unitário e
argumento , o complexo será rotacionado de um ângulo . Isto deu o embasamento
necessário para os alunos realizarem a atividade 2, onde o complexo é genérico, isto é,
não é dado o módulo e o argumento numericamente, mas geometricamente.
53
Atividade 2
Conforme mencionado anteriormente, a partir da atividade 1, os alunos
conseguiram perceber as rotações que acontecem com um complexo quando este é
multiplicado por um complexo unitário. Mesmo assim, aconteceu um erro quanto ao
entendimento da questão. Na atividade 2 – a, onde era pedido o produto , um
aluno representou no plano o número complexo e não representou o produto, no
item b, erroneamente escreveu que , e no item c, representou o complexo
, conforme mostra a figura 32.
Figura 32 – Atividade 2 – itens a, b e c.
Fonte: Autora
Mas o mais surpreendente nesta atividade foi a falta de conhecimento, por parte
dos alunos, no manuseio do transferidor. A professora registrou um aluno manuseando
o transferidor para somar o ângulo de ao argumento de , conforme figura 33.
54
Figura 33 – Aluno utilizando o transferidor para encontrar o argumento de .
Fonte: Autora
A professora ensinou a maneira correta de posicionar o transferidor para se obter
o argumento de , isto é, o complexo cujo argumento é . O centro do
transferidor deve ficar na origem do plano complexo e a linha base deve ficar na direção
de , então deve-se marcar o ângulo de , figura 34.
Figura 34 – Posicionamento correto do transferidor na atividade 2.
Fonte: Autora
Após solucionadas as dificuldades quanto ao manuseio do transferidor, os alunos
conseguiram concluir a atividade 2, conforme alguns exemplos apresentados na figura
35.
Figura 35 – Atividade 2 realizada por alguns alunos.
Fonte: Autora
55
Ao analisar as respostas do item d da atividade 2, verificou-se que os alunos
entenderam a ferramenta da multiplicação entre números complexos como uma rotação
no plano, conforme ilustrado em algumas respostas na figura 36.
Figura 36 – Alguns resultados da atividade 2 item d.
Aluno 1
Aluno 2
Aluno 3
Aluno 4
Aluno 5
Aluno 6
Aluno 7
Fonte: Autora
Com base no resultado da atividade 2, estima-se que os alunos compreenderam a
consequência do produto entre números complexos na representação geométrica.
Atividade 3
No primeiro item da atividade 3, foi pedido a representação geométrica das
potências de um número complexo unitário. Os alunos resolveram bem o problema,
apesar de alguns ainda insistirem em encontrar a forma algébrica para então fazer a
56
representação no plano, isto é, usando coordenadas cartesianas em vez de usar as
coordenadas polares.
Quanto ao item b e item c, onde foi solicitada a sequência de módulos e de
argumentos das potências de , os alunos não falavam sobre as propriedades
da sequência, porém não percebiam que estas seriam as propriedades. Foi necessário a
professora argumentar com os alunos, perguntando o que acontecia com os valores da
sequência, se havia alguma repetição ou alguma lei de recorrência.
Muitas vezes, alunos no Ensino Médio resolvem de maneira errada as potências
de , fazendo . Não obstante, ocorreu um fato como este, o que levou ao erro
da representação geométrica e da sequência de módulos das potências de na
atividade 3, conforme figura 37.
Figura 37 – Exemplo de erro no desenvolvimento das potências de .
Fonte: Autora
Outra ocorrência, como já mencionado em itens anteriores, ao uso das
coordenadas cartesianas, mesmo sendo apresentadas as coordenadas polares, conforme
figura 38.
57
Figura 38 – Representação das potências de usando coordenadas cartesianas.
Fonte: Autora
Os itens b, c, d, e e, foram bem resolvidos, sendo que no item d, os alunos
perceberam que as potências de começariam a se repetir a partir de .
Houve comentários nos grupos sobre a formação de um polígono com 12 lados e
vértices nas potências de . Na figura 39 está uma amostra do trabalho dos alunos
quanto a atividade 3.
Figura 39
Fonte: Autora
58
Atividade 4 e 5
Nas atividades 4 e 5 os alunos já estavam familiarizando-se melhor com a ideia
de escrever matematicamente, entendendo que para completar o trabalho eles deveriam
saber se expressar com palavras ou expressões algébricas para explicar a matemática
envolvida nas atividades.
As atividades 4 e 5 estão em um mesmo subitem deste trabalho, por se tratar de
potências de um número complexo , sendo que na atividade 4, | | e na atividade
5, | | . Todos os alunos, sem exceção fizeram as atividades corretamente e
analisaram as espirais formadas em torno da origem do sistema de coordenadas (Figura
40). Alguns se expressaram mais claramente para informar as conclusões a respeito da
atividade, outros tiveram mais dificuldade, mas o objetivo foi satisfeito visto que todos
entenderam as rotações em torno da origem e a contração ou dilatação do módulo do
complexo e suas potências.
Figura 40 – Atividades 4 e 5 de alguns alunos
Aluno 1
Aluno 2
59
Aluno 3
Aluno 4
Aluno 5
Fonte: Autora
Atividades 6, 7, 8 e 9
As atividades de 6 a 9 tratam de raízes de números complexos e os polígonos
regulares formados com vértices nestas raízes. Um dos objetivos destas atividades era
de resgatar o conhecimento adquirido quando da realização das atividades 1 e 2, que
tratavam de rotações de um ângulo no plano, a partir do produto de um complexo
por um complexo unitário de argumento igual a . Além deste, outro objetivo alcançado
foi o de resgatar as maneiras de encontrar a área de polígonos regulares. Os alunos
ficaram livres para usar a estratégia que quisessem para encontrar a área dos polígonos
regulares com três, quatro, seis e oito lados, e o resultado foi muito interessante, pois
eles encontraram as áreas pedidas de maneiras diferentes, usando o conhecimento
matemático adquirido no Ensino Fundamental e no primeiro ano do Ensino Médio.
60
A figura 41 ilustra a estratégia de um aluno que usou a lei dos cossenos para
encontrar o lado do triângulo equilátero formado pelas raízes cúbicas de um número
complexo.
Figura 41
Fonte: Autora
Continuando a análise quanto aos tipos de soluções feitas para encontrar a área
do polígono regular, alguns alunos utilizaram a fórmula para encontrar a área de
triângulos equiláteros e fizeram uso do Teorema de Pitágoras para encontrar a medida
do lado, conforme figura 42 e 43.
Figura 42 – Encontro da base através do Teorema de Pitágoras.
Fonte: Autora
Figura 43 – Triângulo retângulo em que foi aplicado o Teorema de Pitágoras.
Fonte: Autora
Ainda, alguns alunos utilizaram a fórmula para encontrar a área de qualquer
triângulo cujas base e altura são conhecidas. Para isso, encontram a medida da base do
triângulo por meio da forma algébrica do número complexo , pois pela simetria do
61
triângulo equilátero encontrado, o dobro da parte imaginária de é igual ao lado, ou
uma das bases, do triângulo equilátero, conforme figura 44.
Figura 44 – Estratégia para o cálculo da área do triângulo equilátero.
Fonte: Autora
Para encontrar a área do quadrado, do hexágono e do octógono, os alunos
seguiram os mesmos raciocínios utilizados na solução da atividade 6.
Atividade 10
Em geral os alunos precisaram da ajuda da professora para a realização da
atividade 10, pois tiveram dificuldade na generalização da fórmula. Eles resolviam as
áreas separadamente, substituindo valores para o seno do ângulo encontrado. Após
explicação dada pela professora, concluíram a tarefa e muitos voltaram nas atividades
anteriores para verificarem a validade da fórmula e também confirmarem as áreas
encontradas. Este procedimento foi interessante, porém alguns alunos apagaram a
estratégia criada nas atividades de 6 a 9 e resolveram novamente as atividades
encontrando as áreas a partir da fórmula encontrada na atividade 10, a figura 45 ilustra
este fato.
Figura 45
Fonte: Autora
62
Ao final das duas horas de atividades, apenas um grupo não concluiu o trabalho.
Este grupo permaneceu na sala de aula, junto com a professora, e concluiu o trabalho
durante os vinte minutos de intervalo.
63
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho, desenvolvido através de uma aula com atividades em grupo,
apresentou uma possibilidade de resgatar conhecimentos sobre a Geometria Plana, em
particular, sobre os polígonos regulares, através do estudo dos Números Complexos.
Além disso, permitiu a retomada do estudo sobre ângulos e uma nova visão do plano
cartesiano em coordenadas polares.
Em geral, a aula foi muito produtiva, os alunos tiveram participação constante.
Os grupos debateram estratégias e ajudavam uns aos outros ao relembrarem o que já
haviam estudado nos anos anteriores. Sempre que entravam em conflito quanto ao
conteúdo, buscavam a ajuda da professora.
Muitos alunos estavam “presos” a forma algébrica dos números complexos e não
conseguiam encontrar a representação geométrica em coordenadas polares. Estes alunos
escreviam os números complexos que estavam na forma trigonométrica, na forma
algébrica, para então encontrar a representação geométrica. Por esta razão, quando for
aplicado novamente este método de ensino, os números complexos serão apresentados
primeiramente em sua forma trigonométrica, sendo feita toda a abordagem das
operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Após realizado este
trabalho, então será apresentada a forma algébrica a partir da forma trigonométrica.
Os objetivos propostos foram alcançados pela maioria dos alunos. Mesmo assim,
numa próxima aplicação do plano de aula, será desenvolvida em mais etapas, sendo a
primeira etapa dedicada para as operações de multiplicação e divisão entre números
complexos, a segunda etapa será trabalhada a potenciação entre números complexos, na
terceira a radiciação e na quarta e última etapa a professora pretende trabalhar no
laboratório usando o software GeoGebra para analisar todas as atividades vistas nas
etapas anteriores.
Espera-se que as propostas de trabalho apresentadas nesta monografia sirvam
para professores de Matemática da Educação Básica que busquem uma nova forma de
ensinar Números Complexos, baseando-se nas propriedades geométricas deste conjunto.
64
REFERÊNCIAS
BOYER, Carl B.; PÉREZ, Mariano Martínez. Historia de la matemática. São Paulo:
Blucheer, 2012.
CAON, F. Números Complexos: inter-relação entre conteúdos e aplicações. Ponta Grossa: UEPG/Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, 2013. CARMO, M.P., MORGADO, A.C. e WAGNER, E. Trigonometria e Números Complexos, 3ª Edição. Rio de Janeiro: SBM, 2005.
CARNEIRO, J.P. A Geometria e o Ensino dos Números Complexos. Recife: VIII ENEM, 2004. HAHN, Liang-shin. Complex numbers and geometry. Cambridge University Press, 1994. LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P.,WAGNER, E e MORGADO, A.C. A Matemática do Ensino Médio - volume 3. Rio de Janeiro: SBM, 2006. LOPES, A.C.M., CABRAL, VP.G. e ALVES, F.J.C. Números complexos na vida real: Uma abordagem sobre o ensino e algumas aplicações. Pará: VII Encontro Paranaense de Educação Matemática. Pará, 2011. MILIES, C.P. A Emergência dos Números Complexos. São Paulo, 1993. RPM. no. 24. PCNEM. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2000. Disponível em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Último acesso em 10 abr. 2016. PCNs+. Orientações Educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2002. Disponível em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>. Último acesso em 10 abr. 2016.
PINTO, U.J. A História dos números complexos: das quantidades sofisticadas de Cardano às linhas orientadas de Argand. Rio de Janeiro: UFRJ/Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, 2009. ROQUE, T. e CARVALHO, J.B.P. Tópicos de História da Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
ROQUE, T. História da Matemática Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
65
ANEXO 1 – MATERIAL IMPRESSO ENTREGUE AOS ALUNOS DURANTE A
AULA INÉDITA
Atividade 01.
Dados os números complexos , , e .
a) Encontre os complexos no plano complexo representado abaixo:
b) Represente no plano e o produto .
c) Represente no plano e o produto .
d) Represente no plano e o produto :
e) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo nas multiplicações
realizadas nos itens anteriores:
66
Atividade 2.
Dado o complexo | | , representado no plano
complexo nos itens abaixo, e usando os complexos ,
, , , , , represente
geometricamente os produtos abaixo, fazendo uso do
transferidor.
a)
b)
c)
67
d)
e)
f)
d) Descreva com suas palavras o que acontece com o complexo nas multiplicações
realizadas nos itens anteriores. Tente generalizar este fato.
68
Atividade 3.
Dado o número complexo . a) Represente no plano complexo .
b) Escreva a sequência de módulos encontrados no item “a”. Que propriedade tem esta
sequência?
c) Escreva a sequência de argumentos encontrados no item “a”. Que propriedade tem
esta sequência?
d) E se continuássemos calculando ... , o que aconteceria geometricamente?
e) O que você pode concluir sobre as potencias de analisando suas
representações geométrica?
69
Atividade 4.
Dado o número complexo √ : a) Represente no plano complexo e .
b) Escreva a sequência de módulos encontrados no item “a”. Que propriedade tem esta
sequência?
c) Escreva a sequência de argumentos encontrados no item “a”. Que propriedade tem
esta sequência?
d) Se continuássemos calculando ... o que aconteceria geometricamente?
e) O que você pode concluir sobre as potencias de √ analisando suas
representações geométrica?
70
Atividade 5.
Dado o número complexo √
:
a) Represente no plano complexo e .
b) Escreva a sequência de módulos encontrados no item “a”. Que propriedade tem esta
sequência?
c) Escreva a sequência de argumentos encontrados no item “a”. Que propriedade tem
esta sequência?
d) Se continuássemos calculando ... o que aconteceria geometricamente?
e) O que você pode concluir sobre as potencias de √
analisando suas
representações geométrica?
71
Atividade 6.
Dado o número complexo . a) Represente-o no plano complexo.
b) Se é um dos vértices de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência
com centro em , represente geometricamente os outros vértices e .
c) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
d) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
e) e são raízes cúbicas de qual número complexo?
f) Qual a área do polígono formado por e ?
72
Atividade 7.
Dado o número complexo . a) Represente no plano complexo.
b) Se é um dos vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro
em , represente geometricamente os outros vértices e .
c) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
d) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
e) Por qual complexo deve-se multiplicar , para obter algebricamente?
f) e são raízes quartas de qual número complexo?
g) Qual a área do quadrado?
73
Atividade 8.
Dado o número complexo √ . Sabe-se que é vértice de um
hexágono regular, inscrito na circunferência com centro em . a) Represente no plano complexo e vértices do hexágono regular.
b) Sabemos que as raízes sextas de um número complexo representam um hexágono
regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes sextas são os
vértices do hexágono ?
c) Represente e o hexágono gerado pelas raízes sextas de no mesmo plano
cartesiano.
d) Qual a relação entre os módulos de e dos complexos √
?
e) Qual é a área do hexágono?
74
Atividade 9.
Dado o número complexo √
. Se é vértice de um octógono inscrito na
circunferência centrada na origem.
a) Represente no plano complexo e , vértices do octógono
regular.
b) Sabemos que as raízes oitavas de um número complexo representam um octógono
regular centrado na origem. Qual o número complexo , cujas raízes oitavas são os
vértices do octógono ?
c) Represente e o octógono gerado pelas raízes oitavas de no mesmo plano
cartesiano.
d) Qual a relação entre os módulos de e dos complexos √
?
e) Qual é a área do octógono com vértices nas raízes oitavas de ?
75
Atividade 10.
Procure uma relação entre a área do polígono formado pelas raízes enésimas de , o
natural , o módulo e o argumento de .
*Para esta atividade, observe as figuras abaixo e use a fórmula para área de qualquer
triângulo :
(a) Triângulo
equilátero.
(b) Quadrado
(c) Hexágono
regular
(d) Octógono
regular