experimentos de baixo custo no ensino, de mecânica para o ... · as medidas que iremos realizar,...

Marcos Luiz Batista MoreiraCaio Veloso Sátiro

Experimentos de baixo custo no ensinode mecânica para o ensino médio

UFRPE - UAG

© 2015 Marcos Luiz Batista MoreiraCaio Veloso Sátiro & UFRPE - UAG

Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil

Moreira, Marcos Luiz Batista.Experimentos de baixo custo no ensinode mecânica para o ensino médio. / Marcos Luiz Batista MoreiraCaio Veloso Sátiro. – Garanhuns, PE: UFRPE - UAG, 2015.

Bibliografia.ISBN XXXX-XXXX-XX.

1. Experimentos de baixo custo. 2. Mecânica. 3. Erros de medida. 4. Uso de tecnologias. 5. EnsinoMédio.

AgradecimentosEste trabalho é o produto da Dissertação de Mestrado em Ensino de Física pela UniversidadeFederal Rural de Pernambuco – UFRPE. Porém, ele não seria possível se não fosse a orientaçãodo professor Dr. Caio Veloso Sátiro, da UFRPE - UAG, e das contribuições dos meus amigos daturma 2013 do Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física, polo UFRPE – Garanhuns.E em especial, à minha esposa Suênia, que me apoiou incondicionalmente durante todacaminha.

Lista de ilustraçõesFigura 1 – Medição do comprimento do prego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Figura 2 – Identificação dos algarismos significativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Figura 3 – Primeira forma de adição de algarismos significativos. . . . . . . . . . . . . 13Figura 4 – Segunda forma de adição de algarismos significativos. . . . . . . . . . . . . 14Figura 5 – Multiplicação de algarismos significativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Figura 6 – Erros sistemáticos e aleatórios empregando alvos. . . . . . . . . . . . . . . . 16Figura 7 – Plano inclinado feito de cantoneira e bola de bilhar. . . . . . . . . . . . . . . 16Figura 8 – Pêndulo simples de massa m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 9 – Paralelepipedo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 10 – Cilindro reto de raio r e altura h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 11 – Calculadora científica Casio fx - 100MS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Figura 12 – Calculadora Padrão do Windows 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 13 – Calculadora Estatística com cinco números memorizados. . . . . . . . . . . 30Figura 14 – Gráfico de dispersão em coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . 31Figura 15 – Gráfico de dispersão em coordenadas cartesianas, linearizado e com função. 32Figura 16 – O programa coloca os dados da primeira coluna sempre no eixo da abscissa

e os dados da coluna da direita sempre na ordenada. . . . . . . . . . . . . . 33Figura 17 – Alterando o número de casas decimais na planilha do Excel. . . . . . . . . . 33Figura 18 – Escolha do Gráfico de Dispersão: Somente Marcadores. . . . . . . . . . . . . 33Figura 19 – Inserindo títulos horizontal e vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 20 – Tabela de dados com erros de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 21 – Inserindo barra de erro no gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 22 – Personalizando a barra de erro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 23 – Opção de Linha de Tendência: Exponencial, Linear, Logarítmica, Polinomial

ou Potência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 24 – Gráfico de dispersão com barra de erros e função, referente ao movimento

de uma escada rolante de um shopping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 25 – Comparação entre as réguas decimetrada (a), centimetrada (b) e milime-

trada (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 26 – Retângulo de cartão guache. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 27 – Diâmetro do circulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Figura 28 – Forças que atuam sobre o corpo em queda num fluido. a) o corpo iniciando

o movimento de queda. b) o corpo acelerado e sofrendo influência daforça de arraste. c) a força de arraste aumentou até ficar com a mesmaintensidade da força peso. O corpo cai com velocidade constante. . . . . . 41

Figura 29 – Bolinha e folha de papel abandonados a uma determinada altura. . . . . . 45Figura 30 – Bolinha abandonada a 2,00m do solo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 31 – Esquema do lançador de projéteis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 32 – Deslisamento de moeda sobre superfície plana e lisa. . . . . . . . . . . . . . 52Figura 33 – Identificação das moedas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 34 – Mão empurrando caderno com moeda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 35 – Moeda em cima de uma tira com velocidade constante numa pista. . . . . 52Figura 36 – Esquema para experimento PFD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Figura 37 – Experimento de ação e reação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Figura 38 – Fotos da marcação das réguas, retângulos (foto da esquerda) e círculos (foto

a direita) no cartão guache. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Figura 39 – Materiais de cartão guache prontos: retângulos e círculos. . . . . . . . . . . 56Figura 40 – Experimento de Movimento Retilíneo Uniforme 1 . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 41 – Esquema elétrico do eletroímã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 42 – Experimento de Movimento Retilíneo Uniforme 2 . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 43 – Bola de borracha e fita graduada em centímetros. . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 44 – Foto dos materiais usados no experimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 45 – Foto do experimento de projéteis montado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 46 – Experimento das moedas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Figura 47 – Moeda sobre o caderno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Figura 48 – Materiais da terceira parte do experimento “A”. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 49 – Experimento “B”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 50 – Modelo de capa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 51 – Modelo de folha de rosto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Figura 52 – Modelo de sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Figura 53 – Modelo dos elementos textuais do relatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Figura 54 – Modelo de referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Lista de tabelasTabela 1 – Valores dos desvios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Tabela 2 – Dados referente a uma escada rolante de shopping . . . . . . . . . . . . . . 32Tabela 3 – Valor mais provável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Tabela 4 – Desvio padrão e desvio padrão da média. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Tabela 5 – Resultado final das medidas, s = s ±δs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Tabela 6 – Resultado final das medidas, x = x ±δx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

SumárioIntrodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Incertezas em medições físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Operações com algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Tipos de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Valor mais provável (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Desvio ou resíduo (di ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Desvio padrão (σx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Desvio padrão da média (δx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Incertezas fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Incerteza relativa percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 Incertezas em uma única medida direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11 Propagação de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11.1 Somas e diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11.2 Produtos e quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11.3 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Utilizando a tecnologia na análise estatística das medidas . . . . . . . . . 27

2.1 Usando calculadoras científicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Usando a calculadora do computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Construção de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Construção de gráficos no computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1 Experimento I: Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Experimento II: Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Experimento III: Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Experimento IV: Lançamento de Projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5 Experimento V: Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 Relato da construção dos experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1 Relato de construção: Experimento I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Relato de construção: Experimento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Relato de construção: Experimento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4 Relato de construção: Experimento IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5 Relato de construção: Experimento V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Apêndices 65APÊNDICE A Estrutura do Relatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67APÊNDICE B Modelo de Capa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69APÊNDICE C Modelo de Folha de Rosto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

APÊNDICE D Modelo de Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73APÊNDICE E Modelo do Relatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75APÊNDICE F Modelo de Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77APÊNDICE G Respostas dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

IntroduçãoEm 1999 desapareceu o satélite meteorológico interplanetário1 , enviado pela NASA paraorbitar Marte. Ao investigar as causas do seu desaparecimento, chegou-se a conclusão que foi“um erro de conversão de unidades inglesas para as unidades métricas” em parte do sistemade computação que operava o satélite da Terra. Esse erro custou muito caro para a NASA e oscofres do governo dos Estados Unidos da América — poderíamos citar vários outros erros demedidas que trouxeram perdas materiais e de vidas humanas.

A ênfase dada ao desastre da NASA no episódio do satélite, serve de alerta para a impor-tância da ciência e dos cuidados que devemos ter ao usufruí-la. Por este motivo, escrevemosneste livro um material que servirá de apoio ao professor de Física na preparação de aulasexperimentais de baixo custo. O professor poderá utilizá-lo integralmente ou se preferir —fazer algumas adaptações para se adequar a realidade da escola e dos alunos.

Trazemos uma abordagem estatística a partir dos Algarismos Significativos, Incertezasde Medidas até a Propagação das Incertezas. Utilizaremos as tecnologias na analise estatís-tica dos dados como também na construção de gráficos experimentais com barra de erros.Construiremos gráficos de forma tradicional, com papel milimetrado e no final, propomosexperimentos com materiais de baixo custo e de fácil obtenção para o ensino de Mecânica noEnsino Médio.

Para que os alunos possam ter uma base na confecção de relatórios, foi desenvolvido noapêndice, modelos e orientações na construção de relatórios experimentais.

O professor que fará uso deste livro deve aproveitar ao máximo o experimento de baixocusto como estratégia pedagógica — não se contente apenas com a resposta dos alunosatravés dos relatórios — construa um espaço para se discutir sobre o experimento.

“[. . . ] para que o ensino se reflita em aprendizagem, cabe ao professor a seleçãoda metodologia experimental mais adequada à aprendizagem pretendida, poisdiferentes modalidades de experimentação privilegiam diferentes objetivos educa-cionais” (SARAIVA-NEVES; CABALLERO; MOREIRA, 2006, p. 389).

Como geralmente os alunos têm o primeiro contato com a disciplina de Física no 1º anode Ensino Médio, esse material torna-se oportuno, em seus passos iniciais, no descobrimentoda Física como ciência fundamental. Esperamos que a jornada em busca do conhecimentoseja agradável, prazerosa e divertida.

1 Os dez maiores erros de cálculo da ciência e da engenharia, veja em <http://www.bbc.co.uk/portuguese/noticias/2014/05/140530_erros_ciencia_engenharia_rb>

http://www.bbc.co.uk/portuguese/noticias/2014/05/140530_erros_ciencia_engenharia_rb

http://www.bbc.co.uk/portuguese/noticias/2014/05/140530_erros_ciencia_engenharia_rb

CAPÍTULO1Incertezas em medições físicas

A Física é conhecida como a ciência que estuda os fenômenos da natureza, tendo surgido daFilosofia como “Filosofia Natural”. A partir do século XIX, a Física delimitou seu campo deestudo para os fenômenos físicos.

Vamos observar no decorrer deste material, que a experimentação tem um papel ex-tremamente importante na Física e por essa razão devemos tomar bastante cuidado aoexpressarmos uma medida de uma determinada grandeza física.

Lord Kelvin, físico inglês do século XIX defendeu a importância das medidas com asseguintes palavras:

“[. . . ] sempre afirmo que se você puder medir aquilo de que estiver falando e con-seguir expressá-lo em números, você conhece alguma coisa sobre o assunto, masquando você não pode expressá-lo em números, seu conhecimento é pobre e insa-tisfatório [. . . ]”(LUZ; ÁLVARES, 2014, p. 24).

Ao longo da história das ciências, a precisão das medidas tem contribuído decisivamentepara o avanço de novas teorias em diversas áreas científicas.

As medidas que iremos realizar, ou melhor, toda e qualquer medida física, seja ela aferidacom o maior cuidado possível, não estará livre de erros1 , que são incertezas que afetam aprecisão dessas medidas. Falaremos mais sobre incertezas posteriormente.

1.1 Algarismos SignificativosAlgarismo é um conjunto de símbolos que representam sistematicamente números. Porconsequente, a palavra significativo, pode ser compreendida como “algo relevante ou quetenha importância”.

Podemos então definir a priori, algarismos significativos, como representações numéricas(algarismos arábicos2 ) que expressam uma medida com clareza.

Vamos supor que desejássemos medir o comprimento de um prego utilizando uma réguaconforme a Figura 1.

Figura 1: Medição do comprimento do prego.

1 Qualquer medida da flutuação ou da incerteza associada a uma medição.2 “Cada um dos dez símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (zero, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito e

nove) usado desde a Idade Média na representação dos números segundo o sistema decimal de numera-ção”(FERREIRA, 2010, p. 33).

12 Capítulo 1. Incertezas em medições físicas

Podemos observar que a menor divisão da régua é de 1cm. Quando tentamos expressar oresultado dessa medida, concluímos que a medida pode ser expressa como 6,4cm, 6,5cm ou6,6cm, então, só podemos ter certeza do primeiro algarismo, também chamado de algarismocorreto, e não temos certeza do último algarismo que foi avaliado, denominado de algarismoduvidoso ou algarismo incerto. Poderíamos ter avaliado outro algarismo, como por exemplo6,54cm, mas esse último algarismo não teria significado, pois a régua utilizada limita aquantidade de algarismos significativos da medida.

Portanto, podemos definir algarismos significativos de uma medida como sendo os alga-rismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso.

OBSERVAÇÕES

1. Se cada divisão de 1cm da régua da Figura 1 fosse subdividida em 10 partes iguais,teríamos uma régua graduada em milímetros e consequentemente, ao efetuarmosnovamente a medida do comprimento do prego, o primeiro algarismo duvidoso damedida anterior passaria a ser um algarismo correto na medida com a nova régua eportanto, teríamos mais um algarismo significativo que seria avaliado como algarismoincerto.

2. O algarismo zero a esquerda do primeiro algarismo não nulo, não é considerado alga-rismo significativo, enquanto que o último algarismo nulo é considerado algarismosignificativo. Por exemplo:

Figura 2: Identificação dos algarismos significativos.

Neste exemplo, podemos constatar que existem 3 algarismos significativos na medida0,250m.

3. Há diferenças importantes entre medidas que aparentemente seriam iguais, como porexemplo 15cm e 15,0cm. Na primeira medida, o algarismo significativo 5 foi avaliado enão sabemos o seu real valor. Na segunda medida, o algarismo 5 é um algarismo correto,enquanto que o número zero não é; ele é chamado de algarismo incerto ou duvidoso.Podemos imaginar que essas duas medidas foram realizadas com instrumentos demedidas com precisões diferentes.

1.2 Operações com algarismos significativosAs soluções de exercícios de Física, Química, etc. que contém medidas devem ter apenasalgarismos significativos. Por essa razão, iremos aprender algumas regras para se obter comoresposta dos cálculos que envolvem medidas, sempre algarismos significativos.

1.2. Operações com algarismos significativos 13

1.2.1 Adição e subtraçãoAs regras que iremos abordar nesta seção irão habilitá-lo a fazer operações de adição esubtração de medidas físicas com a mesma unidade de medida.

Para simplificar as demonstrações que iremos proceder, omitiremos as unidades demedida durante a execução dos cálculos. Portanto, vamos supor, que desejemos saber oresultado da adição (soma) das parcelas 742,0256; 35,178; 6,2 e 27,40. Então:

742,0256+35,178+6,2+27,40 = ?

Podemos observar que as parcelas têm casas decimais diferentes, e embora possa parecertrabalhoso encontrar a solução dessa operação, com a ajuda das regras a seguir, iremos perce-ber que não é difícil.

Regra 1

• identifique a menor e a maior quantidade de casas decimais na operação;

• complete com o número zero as parcelas que contém menos casas decimais até atingiro número máximo de casas decimais da operação;

• proceda a operação de adição (ou subtração) com todas as parcelas contendo o mesmonúmero de casas decimais;

• quando obtiver o resultado da operação, faça o arredondamento para a menor quanti-dade de casas decimais do início da operação.

Vamos resolver a operação através da regra 1:

Figura 3: Primeira forma de adição de algarismos significativos.

Regra 2

• Regra destinada ao arredondamento dos números. Vamos usar como exemplo o resul-tado da adição sem o arredondamento, 810,8036 – como vimos na Regra 1, temos queobter um resultado com a menor casa decimal da operação, ou seja, uma casa decimal,para isso, devemos saber, se o número for menor que 5, só basta abandoná-lo, mas se onúmero for maior ou igual a 5, além de abandoná-lo, devemos adicionar 1 ao númeroque permaneceu. Portanto, teremos:

810,8036 → 810,804 → 810,80 → 810,8

Regra 3

• identifique o menor número de casas decimais da operação;

• faça o arredondamento das parcelas para a menor quantidade de casas decimais daoperação;

• proceda a operação de adição (ou subtração) com todas as parcelas contendo o mesmonúmero de casas decimais;


Figura 4: Segunda forma de adição de algarismos significativos.

Agora vamos resolver a operação através da regra 3:Após realizar a mesma operação com as regras 1 e 3, podemos concluir que a regra número

3 é mais prática e objetiva, satisfazendo com êxito as operações de adição/subtração, comalgarismos significativos de medidas físicas.

Exercício 1.1 Resolva as operações de algarismos significativos (sem unidades):a) 3,14+85,902−10,8 b) 100−28,853−74,4444

1.2.2 Multiplicação e divisãoSuponha que desejamos saber o resultado da multiplicação dos fatores 4,36 e 2,1, os quaisrepresentam medidas quaisquer, que estão sendo omitidas com o intuito de tornar a demons-tração mais simples. Assim, podemos enunciar a próxima regra.

Regra 4

• Verifique o fator que possui o menor número de algarismos significativos, proceda aoperação de multiplicação ou de divisão e no resultado, mantenha apenas o número dealgarismos igual ao desse fator.

Agora podemos resolver a operação 4,36×2,1 = ?

Figura 5: Multiplicação de algarismos significativos.

Podemos perceber que o resultado direto da multiplicação adicionou algarismos que nãosão significativos, restando-nos apenas fazer o arredondamento referente a Regra 2 para obtero resultado com dois algarismos significativos, assim teremos:

9,156 → 9,16 → 9,2

OBSERVAÇÕES

1.3. Tipos de incertezas 15

1. Ao realizarmos uma mudança de unidade, devemos ter cuidado para não adicionarzeros que não são significativos na medida. Por exemplo, a medida 3,2km tem doisalgarismos significativos, quando fazermos a mudança de unidade poderemos obter3,2km = 3200m, podendo dar uma ideia errônea de que o 2 seja um algarismo correto,e o último zero como o algarismo duvidoso. Para evitar esse erro de interpretação,devemos escrever a medida em notação científica: 3,2×103 m.

2. Devemos ter cuidado com expressões que não são resultados de medidas, pois não hásentido em falar de algarismos significativos que não sejam de medidas.

Exercício 1.2 Resolva as operações de algarismos significativos (sem unidades):

a) 32,6×0,25 b) 100÷2,5 c)3,06×8,42

2,0

1.3 Tipos de incertezasNesta seção iremos tratar de dois tipos de incertezas em medições físicas: as incertezasaleatórias (erros aleatórios) e as incertezas sistemáticas (erros sistemáticos). Vamos observarque na maioria das vezes, a melhor maneira de se obter uma medida confiável é repeti-lavárias vezes e examinar os valores obtidos.

Os erros aleatórios podem ser obtidos a partir da repetição de medições, enquanto que asincertezas experimentais que não podem ser obtidas através de desta forma são chamadas deerros sistemáticos.

Com um pouco de prática, perceberemos que as fontes comuns de incertezas aleatóriasestão ligadas a pequenos erros de julgamento do observador, pequenas perturbações nos apa-relhos (como vibrações mecânicas), problemas de definição e muitos outros. Talvez a causamais comum de erro sistemático seja a descalibração de instrumentos, como cronômetrosque atrasam, trenas que estão deformadas, aparelhos que não estão devidamente zerados ousimplesmente instrumentos de qualidade duvidosa.

Para compreendermos melhor a diferença entre os erros aleatórios e os erros sistemáticos,faremos uma analogia, que se encontra na Figura 6.

Vamos supor que os buracos (pontos pretos) no alvo sejam oriundos de projéteis dearma de fogo, disparados por um soldado do exército brasileiro em treinamento. Podemosobservar em “a” que os tiros foram agrupados no centro do alvo, portanto, os erros aleatóriose sistemáticos foram pequenos; em “b”, os tiros foram agrupados no canto superior direito doalvo, portanto, os erros aleatórios foram pequenos e os erros sistemáticos foram grandes; em“c”, os tiros foram espaçados no centro do alvo, portanto, os erros aleatórios foram grandes eos erros sistemáticos foram pequenos; em “d”, os tiros foram espaçados no canto superiordireito do alvo, portanto, os erros aleatórios e sistemáticos foram grandes.

Podemos imaginar que os erros aleatórios dessa analogia sejam: mão tremula do soldado,condições atmosféricas que afetam a visualização do alvo ou simplesmente imperícia dosoldado. Esses erros fazem com que os projéteis sejam atingidos aleatoriamente nos alvos,mas se a mira da arma estiver desalinhada, os projeteis acertarão o alvo fora do centro,sistematicamente, em uma direção.

Através dessa analogia, podemos notar a diferença entre as incertezas, e teremos comoconsequência tratamentos diferentes para minimizar os erros aleatórios e sistemáticos.

Posteriormente iremos abordar alguns métodos estatísticos para minimizar os errosaleatórios e adquirir uma medida mais confiável. Mas não abordaremos o tratamento doserros sistemáticos, iremos somente identificá-los e reduzi-los até que sejam menores do quea precisão exigida.


Figura 6: Erros sistemáticos e aleatórios empregando alvos.

1.4 Valor mais provável (x)Vamos supor que desejemos medir o tempo que uma bola de bilhar leva para percorrer umadistância d na cantoneira, que se encontra levemente inclinada, conforme Figura 7, e que asincertezas sistemáticas sejam tão pequenas que possam ser desprezadas, restando, portanto,somente as incertezas aleatórias.

Figura 7: Plano inclinado feito de cantoneira e bola de bilhar.

Podemos detectar esses erros aleatórios fazendo várias medidas, por exemplo, as cincomedidas de tempo t , encontradas abaixo:

3,4s 3,3s 3,5s 3,5s 3,2s

A partir destas cinco medidas, como podemos estimar o valor mais provável x ? Pordefinição, a nossa melhor estimativa para o valor mais provável será a média aritmética x dascinco medidas encontradas. Portanto,

x = 3,4+3,3+3,5+3,5+3,2

5= 16,9

5= 3,38

(para simplificar, omitimos a unidade de medida). Agora iremos generalizar a definição damédia aritmética para N medidas, todas usando o mesmo equipamento e procedimentoencontraremos:

x1, x2, x3, x4, . . . , xN

1.5. Desvio ou resíduo (di ) 17

e a média aritmética para o valor mais provável x de N medidas, pode ser generalizada daseguinte forma:

x = x1 +x2 +x3 +x4 + . . .+xN

N(1.1)

= 1

N(x1 +x2 +x3 +x4 + . . .+xN ) (1.2)

= 1

N

N∑i=1

xi (1.3)

Exercício 1.3 Calcule o valor mais provável x das medidas: 12,4cm; 12,1cm; 12,9cm; 13,0cm;13,6cm e 11,8cm.

1.5 Desvio ou resíduo (di )Desvio ou resíduo di de uma medida é a diferença entre uma medida xi e o valor maisprovável x,

di = xi − x. (1.4)

Se os desvios forem muito pequenos, as medidas estarão muito próximas e, possivelmente,são muito precisas, mas se alguns dos desvios forem grandes, as medidas não serão tãoprecisas.

Para compreendermos melhor o conceito de desvio, vamos calcular os desvios dos tempos3,4s; 3,3s; 3,5s; 3,5s e 3,2s; e inserir na Tabela 1.

Tabela 1: Valores dos desvios

Número da Valor Valor mais Desviomedida i medido xi provável x di = xi − x

1 3,4 0,022 3,3 - 0,083 3,5 3,38 0,124 3,5 0,125 3,2 - 0,18

Exercício 1.4 Calcule os desvios di referente às medidas de comprimento do exercício 1.3.


1.6 Desvio padrão (σx)O desvio padrão é a estimativa da incerteza nas medidas, ela também é a dispersão existenteem relação ao valor mais provável. Quando o desvio padrão é pequeno, significa que osdados tendem a estar próximos da média (valor mais provável), mas quando o desvio padrãoé grande, significa que os dados encontram-se distantes da média (valor mais provável).Para podermos estimar a confiabilidade dessas medidas, o desvio padrão será calculado daseguinte maneira:

σx =√√√√ 1

(N −1)

N∑i=1

(di )2 (1.5)

=√

1

(N −1)

(d 2

1 + . . .+d 2N

)(1.6)

=√√√√ 1

(N −1)

N∑i=1

(xi − x)2 (1.7)

Com esta definição, podemos dizer que o desvio padrão pode ser entendido como a raizmédia quadrática dos desvios das medidas x1, . . . , xN .

O desvio padrão definido acima é chamado de desvio padrão amostral, além dele, háoutros desvios padrões que deixamos de mencionar, pelo simples fato de que eles diminuema incerteza das medidas, principalmente se o número de medidas N for pequeno.

Portanto, aplicando a definição do desvio padrão para os dados da Tabela 1, teremos:

N∑i=1

(di )2 =5∑

i=1(di )2 = (d1)2 + (d2)2 + (d3)2 + (d4)2 + (d5)2

= (0,02)2 + (−0,08)2 + (0,12)2 + (0,12)2 + (0,18)2

= 0,0004+0,0064+0,0144+0,0144+0,0324

= 0,068

σx =√√√√ 1

(N −1)

N∑i=1

(di )2 =√

1

5−1(0,068)

=√

1

4(0,068) =

√0,068

4=

√0,017 ∼= 0,13

Exercício 1.5 Calcule o desvio padrão σx referente aos desvios di do exercício 1.4.

1.7 Desvio padrão da média (δx)

A incerteza da resposta final, referente ao resultado de N medições de uma mesma grandezax é dada pelo desvio padrão da média δx, e é definida como:

δx = σxpN

(1.8)

1.8. Incertezas fracionárias 19

O desvio padrão da média também pode ser chamado de erro padrão ou erro padrão damédia. Agora, podemos expressar o resultado final para o valor de x, baseado na medida deN valores, x1, . . . , xN , como:

x = x ±δx (1.9)

Onde x é o valor mais provável de N medidas e δx é o desvio padrão da média, o sinal ±caracteriza a incerteza (para mais e para menos) do resultado final.

Finalmente podemos obter com confiabilidade o tempo necessário para que uma bolade bilhar possa percorrer uma distância d na cantoneira, levemente inclinada, calculando odesvio padrão da média δx, logo depois, estimaremos a medida de tempo. Então,

δx = σxpN

= 0,13p5

∼= 0,13

2,24∼= 0,058

Devemos arredondar o resultado final do desvio padrão da média para um algarismo signifi-cativo. Assim,

δx = 0,06

enquanto que o valor de x,x = 3,38±0,06

ou seja, o valor do tempo com a incerteza é:

t = (3,38±0,06)s

OBSERVAÇÃO

O número de casas decimais do desvio padrão da média δx, determina o número de casasdecimais do valor mais provável x.

Exercício 1.6 Determine o resultado final com a incerteza referente ao exercício 1.5.

1.8 Incertezas fracionáriasA incerteza fracionária determina aproximadamente a qualidade da medição, independentedo tamanho da grandeza medida.

incerteza fracionária = δx

|x| (1.10)

A incerteza fracionária pode ser chamada também de incerteza relativa ou de precisão, en-quanto que a incerteza δx (desvio padrão da média) pode ser chamada de incerteza absoluta,para evitar confusão com a incerteza fracionária.

Podemos observar que a incerteza fracionária não tem unidade de medida, ou seja, ela éuma grandeza adimensional, e que o símbolo |x| representa o valor absoluto3 de x.

3 O valor absoluto |x| de um número x é igual a x quando x é positivo, mas, quando x é negativo, é omitido osinal negativo, por exemplo, |3| = 3 e |−3| = 3.


1.9 Incerteza relativa percentualPor conveniência, podemos definir a incerteza relativa percentual, multiplicando por 100% aincerteza fracionária.

incerteza percentual =(δx

|x|)×100% (1.11)

A incerteza relativa percentual também é chamada de precisão da medida.Para compreendermos melhor a incerteza fracionária e a incerteza relativa percentual,

vamos calculá-los utilizando os dados do exemplo, em que já obtivemos como resultado final,

t = (3,38±0,06)s

sabendo que, x = 3,38 e δx = 0,06, teremos,

incerteza fracionária = δx

|x| =0,06s

|3,38s| =0,06s

3,38 s∼= 0,018

incerteza percentual =(δx

|x|)×100% = (0,018)×100%

= 1,8%

Então, podemos concluir que a precisão da medida foi de 1,8%, uma excelente precisão.

Exercício 1.7 Determine a incerteza fracionária das medidas abaixo:a) a = (9,8±0,2)m/s2 b) v = (3,0±0,1)×108 m/s

Exercício 1.8 Determine o erro padrão δx das medidas abaixo:a) l = 50m±2% b) y = 110cm±7%

1.10 Incertezas em uma única medida diretaMuitas medidas diretas são realizadas através de uma escala, como por exemplo, régua,cronômetro, voltímetro ou em telas digitais como cronômetro e voltímetros digitais. Nestaseção, vamos aprender a estimar a incerteza em medições diretas referente a uma únicamedida.

As vezes, as principais fontes de incertezas encontram-se na leitura de escalas, junta-mente com a necessidade de interpolar as marcações. Nestas situações pode-se estimarrazoavelmente a incerteza das medidas facilmente. Por exemplo, se tivéssemos que medir ocomprimento bem definido l , com uma régua graduada em milímetros, poderíamos admitirque o comprimento pode ser aproximado para o milímetro mais próximo, mas nada alémdisso. A incerteza δl seria δl = 0,5mm. Se as marcações da escala estivessem mais espaçadas,como por exemplo à cada 2mm, teríamos como incerteza δl ′ = 1mm. De qualquer maneira,as incertezas associadas a leitura de uma escala podem ser determinada de forma fácil eobjetiva.

Quando efetuamos uma única medida direta através da escala de um instrumento, to-mamos como incerteza da medida a metade da menor divisão da escala. Porem, se o ins-trumento for digital, aconselha-se verificar a incerteza do dispositivo no manual.

Vamos considerar que um voltímetro digital de precisão ±0,5% esteja medindo V =3,71 vol t s, isto significa que a incerteza da medida é δV = 0,02 vol t s. Mas se voltímetro nãotivesse manual, estimaríamos a incerteza em δV = 0,01 vol t s.

Agora iremos tratar dos problemas de definição, por exemplo, se desejarmos medir ocomprimento do fio L de um pêndulo simples da Figura 8 e não levarmos em consideração

1.11. Propagação de incertezas 21

Figura 8: Pêndulo simples de massa m.

que as dimensões da esfera influenciam no movimento periódico do pêndulo, ou seja, ocomprimento L é o comprimento do fio mais o raio da esfera.

Este exemplo ilustra que a falta de clareza no enunciado pode provocar um aumentoconsiderável nas incertezas.

Como experimentadores devemos agir com cautela para obter incertezas apropriadas emtodas as medições, evitando assim, as grandes flutuações das medidas, caso contrário, nossasmedições terão pouca utilidade.

1.11 Propagação de incertezasNem todas as grandezas físicas podem ser medidas diretamente, mas podem ser determinadasfazendo duas ou mais medidas de grandezas que possam ser aferidas diretamente e depoisutilizá-las no cálculo da grandeza de interesse. Por exemplo, para determinar a área A de umretângulo, é necessário medir o comprimento dos lados a e b para depois utilizar a fórmulada área A = a ×b. Podemos observar que as grandezas a e b podem ser medidas diretamente,enquanto que a área A pode ser medida indiretamente.

Não podemos esquecer que as medidas dos comprimentos a e b possuem incertezas, equando a usamos na fórmula da área A, ocorrerá uma propagação de incertezas que incidirãono resultado final da área A.

1.11.1 Somas e diferençasVamos supor que medimos duas grandezas x e y e depois desejemos fazer a soma x + y ou adiferença x − y . Devemos proceder da seguinte forma: as medidas são,

x = x ±δx (1.12)

ey = y ±δy (1.13)

e queremos obter,q = x + y, (1.14)

para isso, devemos ter o maior e menor valor de x + y , sendo que os maiores valores de x e ysão,

x = x +δx e y = y +δy, (1.15)

e os menores valores de x e y são,

x = x −δx e y = y −δy. (1.16)

Portanto, o maior valor para x + y será,

x + y = x +δx + y +δy = x + y + (δx +δy)

e o menor valor,

x + y = x −δx + y −δy = x + y −δx −δy = x + y − (δx +δy).


Portanto, a melhor estimativa de q = x + y ,

q = x + y ± (δx +δy) (1.17)

Podemos concluir que a soma das medidas x + y produzem como resultado final a somadas incertezas δx+δy . Esse método também pode ser estendido para a diferença das medidasx − y e obtém o mesmo resultado final para as incertezas como veremos a seguir.

Para a diferença (subtração) x − y também devemos ter o maior e o menor valor, sendoque os maiors valores de x e y continuam sendo as equações 1.15 e os menores valores de x ey são as equações 1.16.

Portanto, quando x for maior e y for menor, teremos o maior valor para x − y ,

x − y = x +δx − (y −δy) = x − y + (δx +δy),

quando x for menor e y for maior, teremos o menor valor para x − y ,

x − y = x −δx − (y +δy) = x − y −δx −δy = x − y − (δx +δy),

assim, a melhor estimativa de q ′ = x − y ,

q ′ = x − y ± (δx +δy) (1.18)

Portanto, provamos que a propagação de incertezas provenientes de somas ou diferençasde medidas, resultam na soma das incertezas.

Se tivermos várias medidas para somar e subtrair, devemos generalizar através da seguinteregra:

vamos supor que x, . . . , w sejam medidas com incertezas δx, . . . ,δw, e que os valoresmedidos sejam usados para calcular

q = x + . . .+ z − (u + . . .+w) . (1.19)

Se as incertezas em x, . . . , w forem conhecidas como independentes e aleatórias, então aincerteza em q é a soma quadrática

δq =√

(δx)2 + . . .+ (δz)2 + (δu)2 + . . .+ (δw)2 (1.20)

das incertezas originais. Em qualquer situação, nunca será maior do que as somas originais,

δq ≤+ . . .+δz +δu + . . .+δw. (1.21)

Para compreendermos melhor, vamos supor que um aluno esteja misturando líquidos emdois recipientes, e tenha medido as suas massas quando estava vazio e quando estava com oslíquidos, assim,

M1 = massa do 1º recipiente contendo líquidos

= 340±10gramas

m1 = massa do 1º recipiente vazio = 62±1gramas

M2 = massa do 2º recipiente contendo líquidos

= 820±20gramas

m2 = massa do 2º recipiente vazio = 87±1gramas

depois, ele calcula a massa total do líquido como,

M = M1 −m1 +M2 −m2 = (340−62+820−87)gramas

= 1011gramas

e de acordo com a regra, a incerteza na resposta final será a soma de todas as quatro incertezas,pois as medidas não são aleatórias, então,

δM = δM1 +δm1 +δM2 +δm2 = (10+1+20+1)gramas

= 32gramas

portanto, a resposta final, com arredondamento, é,


massa total do líquido = (1010±30)gramas

Observe que as incertezas dos recipientes são tão pequenas que puderam ser desprezadas.Obviamente, quando o experimentador tiver bastante prática, poderá identificar e desprezaras incertezas insignificantes, tornando mais ágil todo o processo de análise de incertezas.

Existe uma situação que não ficou muito clara nessa regra, afinal, quando devemos usaras equações,

δq =√

(δx)2 + . . .+ (δz)2 + (δu)2 + . . .+ (δw)2 (1.22)

ouδq = δx + . . .+δz +δu + . . .+δw (1.23)

Então, vamos esclarecer, a equação 1.23 deve ser usada em incertezas de uma única medidadireta, enquanto que a equação 1.22 deverá ser usada quando houver várias medidas e asincertezas dessas medidas surgirem de tratamento estatístico.

Exercício 1.9 Calcule o perímetro p de um retângulo de lados a = 15,6±0,5cm eb = 8,3±0,5cm, sabendo que p = a +a +b +b.

Exercício 1.10 Os intervalos de tempo ∆t1 = 5,61±0,06s, ∆t2 = 6,72±0,06s e∆t3 = 8,18±0,07s são resultados de tratamento estatístico. Calcule o intervalo de tempo total∆t .

1.11.2 Produtos e quocientesNesta seção não vamos deduzir a equação da incerteza do produto e do quociente por sermuito longa e complicada, optamos em definir a regra para se tornar mais simples.

A regra do produto e quociente das incertezas das medidas é definida da seguinte forma:

vamos supor que x, . . . , w sejam medidas com incertezas δx, . . . ,δw e que os valoresmedidos sejam usados para calcular

q = x × . . .× z

u × . . .×w. (1.24)

Se as incertezas em x, . . . , w forem conhecidas como independentes e aleatórias, então aincerteza fracionária em q é a soma quadrática das incertezas fracionárias originais,

δq

|q | =√(

δx

x

)2

+ . . .+(δz

z

)2

+(δu

u

)2

+ . . .+(δw

w

)2

. (1.25)

Em qualquer situação, ela nunca será maior do que as somas originais,

δq

|q | ≤δx

|x| + . . .+ δz

|z| +u

|u| + . . .+ δw

|w | . (1.26)

Novamente temos que esclarecer a regra, tendo em vista que temos duas situações paraque a regra seja aplicada apropriadamente. A forma mais simples é quando temos incertezasde medidas únicas diretas e podemos aplicar a equação 1.27,

δq

|q| =δx

|x| + . . .+ δz

|z| +u

|u| + . . .+ δw

|w | , (1.27)


portanto, a incerteza fracionária em q é a soma das incertezas fracionárias. Enquanto que,as incertezas provenientes de tratamento estatístico de medidas aleatórias são tratadas deacordo com a equação 1.28,

δq

|q | =√(

δx

x

)2

+ . . .+(δz

z

)2

+(δu

u

)2

+ . . .+(δw

w

)2

, (1.28)

ou seja, a incerteza fracionária em q é a soma quadrática das incertezas fracionárias.Vamos supor que desejemos saber o volume de uma barra de ferro de arestas a1 = 150±

1mm, a2 = 45,0±0,5mm e a3 = 54,0±0,5mm, conforme a Figura 9.

Figura 9: Paralelepipedo.

Sabemos que o volume V , é calculado como o produto das arestas, então,

V = a1 ×a2 ×a3 = (150mm)× (45,0mm)× (54,0mm)

= 364500mm3

Devemos expressar o resultado com três algarismos significativos, assim,

364500mm3 = 3,64500×105 mm3 → 3,65×105 mm3

agora vamos calcular a incerteza fracionária,

δV

V= δa1

|a1|+ δa2

|a2|+ δa3

|a3|= 1

|150| +0,5

|45,0| +0,5

|54,0|∼= 0,007+0,011+0,009

= 0,027 ≈ 0,03 ou 3%

Para determinarmos a incerteza δV , basta multiplicarmos o valor mais provável V com aincerteza fracionária,

δV = V × δV

|V | = (3,65×105 mm3)×0,03

= (3,65×0,03)×105 mm3 ∼= 0,11×105 mm3,

o resultado da incerteza deve ter preferencialmente um algarismo significativo, portanto,ficaremos com,

0,1×105 mm3,

Com isso, o valor mais provável deve ter somente uma casa decimal, então,

V = 3,65×105 mm3 ∼= 3,7×105 mm3,

e teremos como resultado final do volume V ,

V = V ±δV

V = 3,7×105 ±0,1×105 mm3


V = (3,7±0,1)×105 mm3

Exercício 1.11 Calcule o volume V do cilindro reto de raio r = 2,00±0,05cm e alturah = 6,00±0,005cm da figura 10.

Figura 10: Cilindro reto de raio r e altura h.

1.11.3 Casos especiaisNesta seção veremos dois casos espaciais que simplificarão os cálculos de propagação deerros. O primeiro caso se refere ao produto de um número sem incerteza com uma medidacom incerteza. Então:

se uma grandeza x for medida com uma incerteza δx e for usada para calcular o produto

q = B.x, (1.29)

onde B não tem incerteza, logo a incerteza em q é exatamente |B | vezes a incerteza em x,

δq = |B |.δx. (1.30)

O segundo caso se refere à avaliação da potência de uma medida. Então:

Se a grandeza x for medida com incerteza δx e o valor medido for utilizado para calculara potência

q = xn , (1.31)

então a incerteza fracionária de q é n vezes a incerteza em x,

δq

|q | = nδx

|x| . (1.32)

Para compreendermos melhor esses dois casos especiais, faremos dois exemplos.

Exemplo 1: Suponha que o diâmetro de um círculo seja de d = (5,00± 0,05)cm e se de-seje saber a circunferência do círculo C . Podemos resolver da seguinte maneira:

sabemos que a circunferência pode ser calculada, assim

C = 2πr =πd ,


fazendo as substituições,C = 3,14× (5,00±0,05)cm

= (15,7±0,157)cm ∼= (15,7±0,2)cm

perceba que após a multiplicação, a incerteza δC ficou com três algarismos significativos0,157, como havíamos visto anteriormente, a incerteza deve ter preferencialmente um alga-rismo significativo, por isso, fizemos o arredondamento para 0,2.

Exemplo 2: Suponha que a aresta de um cubo seja a = (2,00± 0,02)cm e se deseje sabero volume V desse cubo. Podemos resolver da seguinte maneira:

sabemos que o volume do cubo pode ser calculado, assim,

V = a3

vamos calcular o valor mais provável do volume,

V = (a)3 = (2,00cm)3 = 8,00cm3

agora vamos calcular a incerteza, para isso, devemos determinar a incerteza fracionária daaresta, então,

δa

|a| =0,02

|2,00| =0,02

2,00= 0,01

logo, a incerteza fracionária do volume será,

δV

|V | = nδa

|a| = 3×0,01 = 0,03

entretanto, a incerteza do volume será,

δV = V × δV

V= 8,00cm3 ×0,03 = 0,24cm3 ∼= 0,2cm3

então, o resultado final do volume será,

V = V ±δV

V = (8,00±0,2)cm3 → V = (8,0±0,2)cm3.

CAPÍTULO2Utilizando a tecnologia na análiseestatística das medidas

Existem maneiras mais fáceis de se obter o valor mais provável x e o desvio padrão δx, semter que calcular os desvios di , ocasionando assim, um ganho de tempo. Recomenda-se queantes de se valer dessa ferramenta, o aluno possua prática na análise estatística (x,di ,σx ,δx)de forma convencional, fazendo todos os cálculos, para poder fazer uso de calculadorascientíficas e/ou computadores sabendo realizar todo o processo de análise de dados.

2.1 Usando calculadoras científicasNão é necessário que a calculadora científica seja da mesma marca e modelo, o importante écompreender a sequência dos comandos, que há em qualquer calculadora científica — possaser que os comandos estejam em posições diferentes, não há problema, basta apenas umpouco de exercício para se acostumar.

Figura 11: Calculadora científica Casio fx - 100MS.

Para fazermos a análise estatística através da calculadora científica da Figura11, devemosproceder da seguinte forma:

28 Capítulo 2. Utilizando a tecnologia na análise estatística das medidas

1. Ligue a calculadora apertando o botão “ON”.

2. Limpar a memória da calculadora, apertando na ordem os botões, “SHIFT” e depois“CLR”, aparecerá no visor Scl(1), Mode(2) e All(3), aperte o botão “1” que representa Scl— aparecerá no visor Stat Clear, depois aperte o botão “=”, e em seguida o botão “AC”.Pronto! a memória estará limpa.

3. Para testar se a memória se encontra limpa, basta apertar no botão “REPLAY ↓ ”, seaparecer no visor n = 0, a memória estará limpa, caso contrário, repita o processo delimpeza.

4. Devemos deixar a calculadora no modo estatístico SD, para isso, apertamos duas vezeso botão “MODE”, aparecerá no visor SD(1), REG(2) e BASE(3), aperte o botão “1”, querepresenta SD — se aparecer no visor SD, bem pequeno, a calculadora estará no modoestatístico.

5. Vamos utilizar as medidas de tempo1 da seção 1.4 para calcular o valor mais provávelt ,o desvio padrão σt e o desvio padrão da média δt , sendo assim, as medidas são,

3,4s, 3,3s, 3,5s, 3,5s e 3,2s

6. Digite 3,4 e em seguida aperte o botão “M+” para a calculadora memorizar, apareceráno visor n = 1, isso significa que o primeiro número foi memorizado. Depois proceda omesmo para os números (3,3; 3,5; 3,5 e 3,2).

7. Quando todos os números estiverem memorizados, aperte o botão “SHIFT” e depois obotão “2”, aparecerá no visor x(1), xσn(2), xσn−1(3), aperte o botão “1” para calcular ovalor mais provável t , depois o botão “=”, o valor encontrado será de 3,38. Portando,

t = 3,38 s.

8. Como os números continuam memorizados na calculadora, aproveitamos para calcularo desvio padrão σt , aperte o botão “SHIFT” e depois o botão “2”, logo após aperte obotão “3” para calcular o desvio padrão amostral, depois aperte o botão “=”, o valorencontrado será 0,130384048, arredondando para duas casas decimais teremos 0,13.Portanto,

σt = 0,13s.

9. Para obtermos o desvio padrão da média δt , basta apenas digitar o desvio padrão amos-tral 0,13, apertar os botões “÷ ”, “raiz ”, “5” e “=”, o valor encontrado será 0,058137767,arredondando para um algarismo significativo teremos 0,06. Portanto,

δt = 0,06 s

enquanto que o resultado final da medida do tempo será de:

t = (3,38±0,06)s

2.2 Usando a calculadora do computadorNo exemplo a seguir utilizaremos a calculadora do Windows 7, que geralmente encontra-se noformato Padrão, conforme a Figura12, neste caso, devemos mudá-la para o formato estatístico.O passo-a-passo de encontrar a calculadora e modificá-la para o modo estatístico, ocorreráda seguinte forma:

1 O tempo que uma bola de bilhar leva para percorrer uma distância d, em uma cantoneira levementeinclinada.

2.2. Usando a calculadora do computador 29

Figura 12: Calculadora Padrão do Windows 7.

1. coloque o cursor do mouse em cima do ícone INICIAR do windows;

2. dê um click com o botão esquerdo do mouse;

3. coloque o cursor em cima do ícone “Todos os Programas”;

4. vá em “Acessórios” e dê um click com o botão esquerdo;

5. vá em “Calculadora” e dê um click com o botão esquerdo;

6. coloque o cursor do mouse sobre o ícone “Exibir” da calculadora e escolha “Estatística”.

Agora que a calculadora se encontra no modo estatístico, podemos calcular o valor maisprovável t , o desvio padrão σt e o desvio padrão da média δt , referente as mesmas medidasde tempo da seção 1.4.

Iremos proceder da seguinte forma:

1. digite o número 3,4 e click em “add” para memorizar o número;

2. digite o número 3,3 e click em “add”;


4. digite 0 número 3,5 e click em “add”;


6. depois que todos os números estiverem no visor da calculadora, conforme a Figura13,click em x para calcular o valor mais provável da medida de tempo — o valor encontradoserá 3,38, com a unidade teremos,

t = 3,38 s;

7. podemos calcular o desvio padrão σt sem calcular o valor mais provável, basta clickarem “σn−1” no lugar de “x”, o valor encontrado será 0,130384048104053, arredondandopara duas casas decimais e acrescentando a unidade de medida, teremos,

σt = 0,13s;

8. para finalizarmos, só falta calcular o desvio padrão da média. Como não há raiz qua-drada na calculadora estatística, devemos utilizar a calculadora padrão;

30 Capítulo 2. Utilizando a tecnologia na análise estatística das medidas

Figura 13: Calculadora Estatística com cinco números memorizados.

9. digite o valor do desvio padrão “0,13”, depois click em “\ ”, “5”, “p”, aparecera oresultado da raiz quadrada de 5, depois click em “=”, o resultado encontrado será0,0581377674149945, arredondando para um algarismo significativo e acrescentando aunidade de medida, teremos,

δt = 0,06 s

10. caso seja necessário apagar a memória, aperte o botão “D” do teclado.

É possível perceber que os cálculos estatísticos (t ,σt e δt ) foram tratados de forma maisprática através das calculadoras do que a forma tradicional do capítulo 1, porém, só recomen-damos o seu uso quando o aluno obtiver habilidade com o método tradicional, o qual devemser feito todos os cálculos, inclusive os desvios di .

CAPÍTULO3Construção de Gráficos

Os gráficos representam um papel crucial na Física Experimental. Através deles, podemosidentificar o fenômeno, verificar a validade de uma teoria e até mesmo possibilita a descobertade uma linguagem matemática apropriada para analisar melhor o fenômeno.

Os gráficos que trabalhamos na disciplina de Física no Ensino Médio, em sua maioriaestão em Coordenadas Cartesianas e possivelmente, esse assunto é visto na disciplina deMatemática do 1º ano do Ensino Médio, através da analise gráfica das funções1.

3.1 Sistema de Coordenadas CartesianasConsidere que uma grandeza física y varia em função de uma outra grandeza física x, ouseja, x pode ser chamada de grandeza independente, enquanto que y pode ser chamada degrandeza dependente. Matematicamente dizemos que y = f (x), lê-se y é função de x.

Se conhecermos a forma explícita da função y = f (x), podemos fazer a representaçãográfica da função em Coordenadas Cartesianas, que consiste em dois eixos perpendicularesentre si: o eixo x (reta horizontal) é chamado de abscissa, o qual, deve ser inserido a grandezaindependente, enquanto que o eixo y (reta vertical) é chamado de ordenada, o qual, deve serinserido a grandeza dependente. Chamamos de par ordenado (xi ; yi ) os elementos de x e dey que formam um ponto Pi como imagem. Os números do par ordenado são chamados decoordenadas cartesianas2. Tomemos como exemplo o gráfico da Figura 14, onde o ponto Atêm coodenadas cartesianas (1; 4), abscissa 1 e ordenada 4.

Figura 14: Gráfico de dispersão em coordenadas cartesianas.

1 O assunto de Funções geralmente é visto concomitantemente com Cinemática na Física.2 Assista o video sobre Coordenadas Cartesianas no site <https://www.youtube.com/watch?v=zJ8lWj5I0dk>

https://www.youtube.com/watch?v=zJ8lWj5I0dk

32 Capítulo 3. Construção de Gráficos

Figura 15: Gráfico de dispersão em coordenadas cartesianas, linearizado e com função.

Podemos observar na Figura 15, o aparecimento da função y = 2x +2, a qual pôde serrepresentado através do gráfico linear. Resolvemos dar ênfase a elaboração dos gráficos nocomputador, como veremos a seguir.

3.2 Construção de gráficos no computadorTendo em vista a morosidade de fazer gráficos a mão livre ou através do uso de papel mi-limetrado, utilizaremos o programa de computador Excel, para trazer maior praticidadee poder favorecer condições para uma melhor análise do experimento a ser realizado. Éimprescindível que o aluno saiba algumas noções básicas do referido programa.

Vamos supor que desejemos construir um gráfico de dispersão (Posição x Tempo) referenteao movimento de subida de 5 pessoas em uma escada rolante de 15m de comprimento emum shopping, onde existiriam adesivos a cada 3m.

Sabendo disso, seriam feitas medidas de tempo com um cronômetro, de acordo com odeslocamento de cada pessoa, chegando aos dados da Tabela 2.

Tabela 2: Dados referente a uma escada rolante de shopping

Posição(m) Tempo(s)3,0 ±0,2 5 ±16,0 ±0,2 10 ±19,0 ±0,2 15 ±2

12,0 ±0,2 20 ±215,0 ±0,2 25 ±2

Para construirmos o gráfico no programa Excel, seguiremos os procedimentos a seguir:

1. Digite as coordenadas do tempo na primeira coluna e as coordenadas da posição nasegunda coluna.

2. Selecione as células da posição, aperte o botão direito do mouse, click em “Formatarcélulas”, “Número”, depois escolha 1 casa decimal e click em “Ok” (Figura 17).

3. Selecione a tabela, vá em “inserir”, “Gráficos”, “Dispersão” e escolha “Dispersão somentecom marcadores”. (Figura 18)

4. Agora com o gráfico de dispersão feito, iremos organizá-lo, colocando o cursor domouse sobre as linhas horizontais e dando dois clicks com o botão esquerdo paraselecioná-las, depois aperte o botão “Del”ou “Delete” para apagar.

3.2. Construção de gráficos no computador 33

Figura 16: O programa coloca os dados da primeira coluna sempre no eixo da abscissa e osdados da coluna da direita sempre na ordenada.

Figura 17: Alterando o número de casas decimais na planilha do Excel.

Figura 18: Escolha do Gráfico de Dispersão: Somente Marcadores.


5. Vá em “Layout”, “Rotulos”, “Títulos dos Eixos” e click com o botão esquerdo paraaparecer as opções “Título do Eixo Horizontal Principal” e “Título do Eixo VerticalPrincipal”(Figura 19). Coloque o nome da grandeza Tempo (s) no eixo horizontal e onome da grandeza Posição (m) no eixo vertical, simplesmente dando dois clicks emcima do título para selecioná-lo.

Figura 19: Inserindo títulos horizontal e vertical.

6. Agora, para inserirmos a barra de erro, devemos colocar na tabela os erros referentes acada grandeza (Figura 20) e depois dar um click com o botão esquerdo do mouse sobre“Barras de Erros” e escolher “Mais Opções de Barras de Erros”. Quando aparecer a janelade “Formatar Barras de Erros”, click em “Fechar” para aparecer no gráfico as barras deerros verticais e horizontais (Figura 21).

Figura 20: Tabela de dados com erros de medida.

Figura 21: Inserindo barra de erro no gráfico.

7. Coloque o cursor do mouse sobre uma barra de erro horizontal e dê uma click com obotão esquerdo do mouse para selecioná-lo, depois dê uma click com o botão direito,escolha “Formatar Barras de Erros” e aperte o botão esquerdo, escolha Estilo Final “SemLegenda”, Erro “Personalizado”, click em “Especificar Valor”, selecione a coluna ±δTpara o Valor de Erro Positivo e Negativo e click em “Ok”. (Figura 22)

3.2. Construção de gráficos no computador 35

Figura 22: Personalizando a barra de erro.

Figura 23: Opção de Linha de Tendência: Exponencial, Linear, Logarítmica, Polinomial ouPotência.


8. Coloque o cursor do mouse sobre a barra de erro vertical e proceda da mesma maneiraque foi feita com a barra de erro horizontal.

9. Vá no “Layout”, “Análise”, e click com o botão esquerdo em “Linha de Tendência” paraselecionar “Mais Opções de Linha de Tendência”, escolha “Linear” e “Exibir equação noGráfico”. (Figura 23)

Todos esse passos foram necessários para se chegar no gráfico da Figura 24 e obter afunção linear da reta,

y = 0,6x (3.1)

podemos comparar essa função com a equação reduzida da reta,

y = mx + c (3.2)

onde m é o coeficiente angular3 e c é o coeficiente linear da reta. Então, m = 0,6 e c = 0,portanto, o prolongamento do gráfico ocorrerá na origem (0;0).

Observe que a Barra de Erro Vertical não é visível, por isso consideramos as incertezas dasposições como desprezíveis.

Figura 24: Gráfico de dispersão com barra de erros e função, referente ao movimento de umaescada rolante de um shopping.

3 Assista o video sobre o coeficiente angular em <https://youtu.be/WMZ4Rl_LGCM>.

https://youtu.be/WMZ4Rl_LGCM

CAPÍTULO4Experimentos

Os experimentos que serão tratados neste material auxiliarão o professor de física durante asua prática, proporcionando ao aluno uma vivência com fenômenos físicos, a fim de tornaros conceitos de Física ensinados em sala de aula (ambiente educacional) compreensíveis, aoponto do discente se tornar um ser experimentador - crítico, questionador do mundo queo cerca. Para isso, os experimentos serão confeccionados com materiais de fácil aquisiçãoe de baixo custo. Os roteiros direcionarão o aluno para a aprendizagem, mas isso não querdizer que não haja flexibilidade de ações durante a realização do mesmo. Proponho aqui,simplesmente um caminho a ser seguido durante um curso de física do 1º ano do EnsinoMédio.

Cinco experimentos foram elaborados para serem aplicados no Ensino Médio, servindocomo exemplos na construção de experimentos de baixo custo.

4.1 Experimento I: MedidasObjetivos

• Construir dois instrumentos de medida (régua);

• definir o erro instrumental;

• fazer medidas físicas, diretas e indiretas;

• fazer operações com algarismos significativos;

• calcular o valor mais provável e o desvio padrão da média de medidas físicas.

Materiais utilizados• 01 régua graduada em milímetros;

• 01 retângulo de cartão guache;

• 01 circulo de cartão guache;

• pedaço de cordão;

• 02 retângulos de cartão guache com dimensões idênticas a régua.

38 Capítulo 4. Experimentos

ProcedimentosEXPERIMENTO A

1. Sabendo-se que a cada 10mm (milímetros) correspondem a 1cm (centímetro) e quea cada 100mm (milímetros) correspondem a 1dm (decímetro), construa duas réguascom precisões: decimetrada e centimetrada. Use a régua milimetrada como padrão dereferência, de acordo com a Figura 25.

Figura 25: Comparação entre as réguas decimetrada (a), centimetrada (b) e milimetrada (c).

2. Determine o erro (incerteza) das réguas decimetrada, centimetrada e milimetrada.

EXPERIMENTO B

Figura 26: Retângulo de cartão guache.

1. Meça os lados a e b do retângulo com a régua decimetrada e resolva o que se pede:

a) a = a ±δa =? b = b ±δb =?b) número de algarismos significativos do valor mais provável dos lados a e b;

Na =? Nb =?

c) perímetro p do retângulo com a incerteza, p = a +a +b +b = p ±δp =?d) a área A do retângulo com a incerteza, A = a ×b = A±δA =?

OBSERVAÇÃO: Faça somente os itens a) da 2ª e 3ª questões na sala de aula, o restantedeve ser resolvido no horário que não seja de aula.

2. Meça os lados a e b do retângulo com a régua centimetrada e resolva o que se pede:

a) a = a ±δa =? b = b ±δb =?

4.1. Experimento I: Medidas 39

b) número de algarismos significativos do valor mais provável dos lados a e b;

Na =? Nb =?


3. Meça os lados a e b do retângulo com a régua milimetrada e resolva o que se pede:

a) a = a ±δa =? b = b ±δb =?b) número de algarismos significativos do valor mais provável dos lados a e b;

Na =? Nb =?


EXPERIMENTO C

Figura 27: Diâmetro do circulo.

1. Meça 5 vezes a circunferência C em várias posições do objeto usando linha e réguamilimetrada e calcule o valor mais provável C .

Medida Circunferência (C ) Valor mais provável(C

)12345

2. Calcule os desvios di , o desvio padrão σC e o desvio padrão da média δC da circunfe-rência.

3. Qual o resultado final da medida da circunferência C com a incerteza.

C = C ±δC =?

4. Meça 5 vezes o diâmetro D em várias partes do objeto usando a régua milimetrada ecalcule o valor mais provável D .


Medida Diâmetro (D) Valor mais provável(D

)12345

5. Calcule os desvios di , o desvio padrão σD e o desvio padrão da média δD do diâmetro.

6. Qual o resultado final da medida do diâmetro D com a incerteza.

D = D ±δD =?

7. Calcule π (pi) através da razão entre o resultado final da circunferência C e o resultadofinal do diâmetro D . Não se esqueça de calcular a incerteza de π.

π= C

D=?

QUESTÕES(A solução deve estar inserida na conclusão do relatório)

1. Qual régua têm maior precisão?

2. Houve alguma dificuldade em construir as réguas decimetrada e centimetrada? Se sim,quais foram as dificuldades?

3. Existe medida exata? Explique sua resposta.

4. Descreva o seu procedimento ao medir a circunferência do objeto.

5. Descreva o seu procedimento ao medir o diâmetro do objeto.

6. Qual ou quais grandezas foram medidas diretamente? Justifique sua resposta.

7. Qual ou quais grandezas foram medidas indiretamente?Justifique sua resposta.

4.2 Experimento II: Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)IntroduçãoQuando um corpo se move em um fluido (líquido ou gasoso) aparece sobre ele uma força dearraste, que se opõe ao movimento semelhante a força de atrito. Em geral, a força de arraste éuma combinação da resistência viscosa com a resistência da forma. Podemos identificar otipo de resistência predominante na força de arrasto através de uma grandeza adimensionalchamada de número de Reynolds (R), definida da seguinte maneira,

R = ρυd

v(4.1)

onde ρ é a densidade do fluido, υ é a viscosidade, v é a velocidade em relação ao corpo e d éo diâmetro da seção reta transversal do corpo.

No caso de pequenos objetos que se movem com baixa velocidade no meio do fluidoo arrasto é predominantemente viscoso quando o número de Reynolds é pequeno (R ≤ 1),

4.2. Experimento II: Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) 41

quando o número de Reynolds se torna maior, a resistência da forma fica mais evidente,sendo assim, o arrasto aerodinâmico (D) pode ser representado por,

D = 1

2ρAC v2 (4.2)

Onde C é o coeficiente de arraste, ρ é a densidade do fluido, A é a área frontal efetiva doobjeto (seção reta ortogonal à direção do escoamento) e v é a velocidade relativa entre ofluido e o objeto.

O coeficiente de arraste depende da natureza do objeto (tamanho, forma e rugosidade dasuperfície) e da natureza do fluido. Quanto menor for o coeficiente de arraste mais aerodinâ-mico será o objeto.

Figura 28: Forças que atuam sobre o corpo em queda num fluido. a) o corpo iniciando omovimento de queda. b) o corpo acelerado e sofrendo influência da força dearraste. c) a força de arraste aumentou até ficar com a mesma intensidade da forçapeso. O corpo cai com velocidade constante.

Quando analisamos o movimento de queda de um corpo em um fluido, podemos consta-tar que a velocidade e o arraste aumentam até que a força de arraste seja igual ao peso docorpo, neste instante, o corpo passa a cair com velocidade constante, o qual chamamos develocidade terminal. Aplicando a segunda lei de Newton teremos,

FR = m.a (4.3)

D −P = m.a (4.4)

onde m é a massa do corpo. Como o corpo passa a cair com velocidade constante, a aceleraçãotorna-se igual a zero (a = 0), atingindo a velocidade terminal. Podemos ainda determinar aintensidade da velocidade terminal (vT ) da seguinte forma,

1

2ρAC v2

T −P = 0 (4.5)

isolando vT teremos,

1

2ρAC v2

T = P (4.6)

v2T = 2P

ρAC(4.7)

obtendo como velocidade terminal,

vT =√

2P

ρAC(4.8)

O experimento que será proposto consiste no estudo do movimento de uma esfera de açoimersa em um óleo (fluido) o qual encontra-se contido em uma mangueira transparente. Aesfera de aço começa o movimento de queda partindo do repouso adquirindo velocidade atéatingir a velocidade terminal. Propomos a realização das medidas a partir de uma distânciaque assegure que a esfera de aço esteja com velocidade constante, tornando o experimentoadequado para o estudo do movimento retilíneo uniforme (MRU).


Objetivos• Saber identificar um MRU;

• Construir o gráfico (S × T) do experimento utilizando o programa Excel;

• Determinar o coeficiente linear e angular do gráfico;

• Saber o significado físico do coeficiente linear e angular.

Materiais utilizados

- Mangueira transparente;- Madeira;- 01 fita métrica;- 01 esfera de aço;- Óleo lubrificante de motor;- 02 rolhas de cortiça;- 01 parafuso;- 01 interruptor;- fio esmaltado;- 02 pilhas AA de 1,5V;- 01 suporte para duas pilhas AA;- 01 cronômetro;- 02 abraçadeiras.

ProcedimentosATENÇÃO: Para evitar o descarregamento precipitado das pilhas, recomenda-se evitar que oeletroímã fique ligado mais que 10 segundos.

1. Posicione o experimento de forma que a esfera possa tocar o eletroímã.

2. Ligue o eletroímã através do interruptor para prender a esfera.

3. Apoie a extremidade do experimento que tem o eletrímã em uma cadeira, de forma queele fique inclinado. Se possível, apoie a outra extremidade do experimento na quinainferior de uma parede, para que o experimento possa ser repetido sempre na mesmainclinação.

4. Desligue o eletroímã para que a esfera se desprenda e comece a cair no fluido (óleo).

5. Meça o tempo que a esfera leva para percorrer 10cm. Faça essa medida algumas vezespara adquirir prática com o acionamento do cronômetro.

6. Faça 5 medidas de tempo para cada posição que a esfera passar e preencha adequada-mente a tabela.

7. Calcule o desvio padrão σt e o desvio padrão da média δt e insira o resultado na tabela.

8. Determine o resultado final (t = t ±δt ) de cada tempo com a sua respectiva incerteza einsira na tabela.

4.2. Experimento II: Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) 43

∆S Posição t1 t2 t3 t4 t5 Valor mais(cm) s (cm) (s) (s) (s) (s) (s) provável t (s)

10 a 20 20 ± 110 a 30 30 ± 110 a 40 40 ± 110 a 50 50 ± 110 a 60 60 ± 110 a 70 70 ± 1

Posição (cm) Valor mais provável (s) σt δt (s)20 ± 130 ± 140 ± 150 ± 160 ± 170 ± 1

Posição (cm) Tempo (s)20 ± 130 ± 140 ± 150 ± 160 ± 170 ± 1

9. Faça o gráfico da posição versus o tempo (s× t ) com a barra de erros, utilize o programaExcel para construir o gráfico de dispersão com a linha de tendência e a equação dográfico.


1. Quais as dificuldades encontradas durante a realização do experimento.

2. O movimento de queda da esfera foi uniforme (velocidade constante)? Houve algumavariação de velocidade? Explique com suas palavras.

3. Explique a diferença entre o gráfico do experimento e o gráfico teórico ensinado emsala de aula.

4. Quais são os coeficientes linear e angular da equação do gráfico ?

5. Qual é o significado físico do coeficiente linear e angular da equação do gráfico?

6. O experimento ajudou a compreender o conceito de movimento retilíneo uniforme ?Justifique.

7. Até que ponto, o computador contribuiu na confecção e na compreensão do gráficoexperimental?

8. Dê sua opinião sobre o experimento realizado.


4.3 Experimento III: Queda LivreIntroduçãoQuando desprezamos a resistência do ar, todos os corpos de qualquer massa ou forma,abandonados de uma mesma altura, próximas da superfície da Terra, levariam o mesmotempo para atingir o solo. Chamamos esse movimento de queda livre. A trajetória é retilínea,vertical, e a aceleração é constante. Essa aceleração é conhecida como aceleração da gravidade~g , cujo valor é aproximadamente g = 9,8m/s2.

Todas as características do movimento de queda livre coincidem com o movimentoretilíneo uniformemente variado (MRUV), portanto, teremos funções do movimento dequeda livre semelhantes ao MRUV. O sistema de referência é um eixo vertical orientado paracima, com origem fixada, em geral no solo.

Como a aceleração da gravidade é orientada verticalmente para baixo, ao contrário dosistema de referência, o seu valor será sempre negativo e as funções serão:

v = v0 − g .t (4.9)

y = y0 + v0.t − g .t 2

2(4.10)

v2 = v20 −2.g (y − y0) (4.11)

Objetivos• Verificar se a influência da massa dos corpos no movimento de queda livre.

• Classificar o movimento de queda livre através da análise da aceleração do corpo.

• Construir o gráfico (s × t ) do experimento de queda livre.

• Calcular a aceleração da gravidade através dos dados obtidos no experimento e compará-lo com o resultado teórico.

Materiais utilizados• 01 bolinha de borracha;

• 01 Fita métrica de 2,0 m;

• Fita adesiva;

• 01 celular com câmera (material do aluno);

• 02 folhas de papel idênticas.

4.3. Experimento III: Queda Livre 45

ProcedimentosEXPERIMENTO A

Figura 29: Bolinha e folha de papel abandonados a uma determinada altura.

1. Pegue 2 folhas idênticas de caderno.

2. Faça uma bolinha de papel com uma das folhas.

3. Segure a folha de papel com uma mão e a bolinha de papel com a outra mão na mesmaaltura.

4. Largue a folha de papel e a bolinha de papel ao mesmo tempo e observe a queda deambas.

5. Quem chegou no chão primeiro, a folha de papel ou bolinha de papel?

6. Quem têm maior massa, a folha de papel ou a bolinha de papel? Explique.

7. O que poderia acontecer se esse experimento fosse realizado em um local onde nãohouvesse atmosfera (ou seja, vácuo)?

8. Podemos afirmar, que todos os corpos caem com a mesma velocidade em instantes dequeda iguais, independentes de sua massa e forma geométrica? Explique sua resposta.

EXPERIMENTO B

1. Coloque a fita métrica na parede na direção vertical.

2. Segure a bolinha com a mão, de forma que ela possa ficar rente a marcação zero.

3. Ligue a câmera do celular na função filmar e inicie a filmagem do experimento.

4. Solte a bolinha.

5. Faça esse procedimento 5 vezes.

6. Observe as filmagens do experimento em um programa de video que forneça a conta-gem do tempo em centésimo de segundos e preencha a Tabela 3.

7. Calcule o desvio padrão σs , e o desvio padrão da média s e insira o resultado na Tabela4.


Figura 30: Bolinha abandonada a 2,00m do solo.

Tabela 3: Valor mais provável.

Tempo s1 s2 s3 s4 s5 st (s) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm)0,080,160,240,320,400,480,560,64

Tabela 4: Desvio padrão e desvio padrão da média.

Posição t (s) s(cm) σs(cm) δs(cm)0,080,160,240,320,400,480,560,64

4.3. Experimento III: Queda Livre 47

Tabela 5: Resultado final das medidas, s = s ±δs.

Tempo t (s) Posição s (cm)0,080,160,240,320,400,480,560,64

8. Determine o resultado final (s = s ±δs) de cada posição com a sua respectiva incertezae insira na Tabela 5.

9. Faça o gráfico da posição versus o tempo (s× t ) com a barra de erros, utilize o programaExcel para construir o gráfico de dispersão com a linha de tendência e a função dográfico.

10. Compare a função do gráfico com a função s = f (t ) de queda livre e calcule a aceleraçãoda gravidade g . Não se esqueça da unidade de medida.

11. Sabendo-se que o valor teórico da aceleração da gravidade é g t = 9,8m/s2, estime oerro percentual de sua experiência utilizando a seguinte expressão:

e% = |ge − g t |g t

×100%


1. Dê sua interpretação sobre a queda dos corpos, tomando como base o experimentorealizado e comente os parágrafos abaixo.

a) Segundo o filósofo Aristóteles, que viveu no século IV a.C., os corpos leves epesados abandonados de uma mesma altura, teriam tempos de queda diferentes,o corpo mais pesado chegaria no solo antes do corpo mais leve.

b) De acordo com Galileu Galilei (1564 - 1642), ao abandonarmos de uma mesmaaltura, um corpo leve e um corpo pesado no mesmo instante, ambos caemsimultaneamente, atingindo o solo no mesmo instante.

2. Qual é a forma do gráfico encontrado através do programa Excel, obtidos com os dadosdo experimento B.

3. Como você classificaria o movimento realizado no experimento B? Justifique sua res-posta.

4. A aceleração da gravidade na Terra é constante? Assista o video no site do youtube em:<https://www.youtube.com/watch?v=VrvrxeOaT1Y>.

5. Por que foi necessário utilizar um programa de video que tivesse contagem de tempode centésimo de segundos?

6. O experimento ajudou a compreender o conceito de queda livre ? Justifique.

7. Até que ponto, o computador contribuiu na confecção e na compreensão do gráficoexperimental?

8. Dê sua opinião sobre o experimento realizado.

https://www.youtube.com/watch?v=VrvrxeOaT1Y


4.4 Experimento IV: Lançamento de ProjéteisIntroduçãoQuando um corpo é lançado obliquamente nas proximidades da superfície terrestre, percorreuma trajetória de formato parabólico. Desprezando a resistência do ar, o movimento podeser entendido como uma combinação entre dois movimentos que podem ser analisadosindependentemente, lançamento vertical e movimento retilíneo uniforme.

Devemos decompor o módulo da velocidade inicial de lançamento v0 nos eixos x e y ,

sabendo-se que, cosθ = v0x

v0e sinθ = v0y

v0, então,

v0x = v0.cos (4.12)

ev0y = v0. sin (4.13)

A partir de agora iremos analisar o movimento de forma independente, portanto o movi-mento na horizontal, tem velocidade v0x constante, então,

x = x0 + v0x .t (4.14)

fazendo a substituição da equação 4.12 na equação 4.14, teremos

x = x0 + (v0.cosθ).t (4.15)

considerando x0 = 0, obteremos,x = (v0.cosθ).t (4.16)

Analisando o movimento na vertical, observamos que v0y será afetada pela aceleração da gra-vidade g, sendo assim, o movimento será retilíneo uniformemente variado (MRUV), descritopela seguinte equação,

vy = v0y − g .tsubi d a (4.17)

portanto na subida, a velocidade final vy = 0 deixa a equação da seguinte forma,

0 = v0. sinθ− g .tsubi d a (4.18)

então, o tempo de subida torna-se,

tsubi d a = v0. sinθ

g(4.19)

4.4. Experimento IV: Lançamento de Projéteis 49

como o corpo sem a resistência do ar leva o mesmo tempo para descer, podemos concluirque o tempo para o corpo subir e descer é,

tsd = 2.v0. sinθ

g(4.20)

Agora podemos determinar o alcance horizontal máximo que um corpo pode atingir, assim,aplicando a equação 4.20 na equação 4.16 teremos,

xmáx. = (v0.cosθ).

(2.v0. sinθ

g

)assim,

xmáx. =v2

0 .(2.cosθ. sinθ)

g(4.21)

como,sin2θ = 2.cosθ. sinθ (4.22)

o alcance máximo será,

xmáx. =v2

0 . sin2θ

g(4.23)

a altura máxima pode ser calculada através de,

y = y0 + v0y .t − g .t 2

2(4.24)

aplicando as equações 4.13 e 4.19 na equação 4.24 e considerando y0 = 0, teremos,

ymáx. = 0+ (v0. sinθ).v0. sinθ

g− g

2.

(v0. sinθ

g

)2

ymáx = v20 sin2θ

g− v2

0 . sin2θ

2g

portanto,

ymáx = v20 . sinθ

2g(4.25)

Objetivos• verificar o alcance dos projéteis em função do ângulo de lançamento;

• calcular a velocidade inicial do projétil.

Materiais utilizados• 20cm de cano PVC – 20mm;

• 35cm de cano PVC – 25mm

• 01 vedação de 20mm;

• 01 elástico;

• 01 esfera de metal;

• 01 tampa de piloto de quadro branco;


• 01 transferidor;

• papel carbono;

• folhas de papel branco;

• cola super bonder;

• 02 abraçadeiras;

• 02 parafusos;

• 01 trena ou fita métrica.

Figura 31: Esquema do lançador de projéteis.

ProcedimentosPosicione o cano no ângulo de lançamento desejado, coloque a esfera de metal no cano, puxeo cano pela vedação até ficar rente com a madeira e depois solte.

Observe a posição onde a esfera se choca com o papel carbono e meça com uma trena oalcance, depois preencha a tabela.

ângulo θ x1(m) x2(m) x3(m) x4(m) x5(m) x(m)30o

45o

60o

75o

Para saber o alcance x referente a cada ângulo, calcule o desvio médio padrão δx deacordo com o capítulo 2, nas seções da calculadora estatística do Windows ou calculadoracientífica e preencha a tabela 6.

Tabela 6: Resultado final das medidas, x = x ±δx.

ângulo θ alcance x(m)30o

45o

60o

75o

Calcule a velocidade inicial de lançamento v0 para cada ângulo de lançamento. Utilize a

fórmula v0 =√

g .xsen2θ e g = 9,8m/s2.

4.5. Experimento V: Leis de Newton 51


1. Qual deve ser o ângulo para se obter o alcance máximo ?

2. Teve algum alcance que se repetiu? Se sim, qual ? E para quais ângulos ?

3. Há alguma diferença entre o experimento realizado e a teoria ? Justifique.

4.5 Experimento V: Leis de NewtonIntroduçãoOs princípios básicos da dinâmica foram estabelecidos por Galileu Galilei e por Isaac Newton.Galileu foi o primeiro a formular a lei da inércia, enquanto Newton foi responsável por unificartodo o conhecimento da mecânica de sua época, através de três leis que levam o seu nome.

Primeira lei de Newton (lei da inércia): Todo corpo permanece em repouso ou movimentoretilíneo uniforme a menos que seja forçado a modificar esse estado pela ação de forçasimpressas sobre ele.

Segunda lei de Newton (princípio fundamental da dinâmica): A força resultante que ageem um corpo é diretamente proporcional a aceleração resultante adquirida por ele.

Fr = m.ar (4.26)

onde m é a massa inercial do corpo.Terceira lei de Newton (princípio da ação e reação): Se um corpo A exerce uma força sobre

um corpo B , o corpo B exerce uma força sobre o corpo A de mesma intensidade e direção,mas de sentido contrário.

Observação: As leis de Newton são válidas para referenciais inerciais.

EXPERIMENTO A

Objetivo• Evidenciar a lei da inércia.

Materiais utilizados• 03 moedas;

• 01 caderno;

• 01 tira de cartão guache (papelão ou cartolina).

Procedimentos• Pegue duas moedas e coloque uma sobre a outra, em uma superfície lisa. Posicione a

terceira moeda na superfície, próxima das outras duas moedas, conforme a Figura 32.

• Atinja a terceira moeda com o dedo, para que ela possa deslizar sobre a superfície eatingir a moeda 1. Descreva o que aconteceu e depois explique de acordo com as leis deNewton.

• Coloque uma moeda sobre o caderno. Empurre o caderno com uma mão (Figura 34),sem que a moeda se mexa. Com a outra mão obstrua o movimento do caderno. Descrevao que aconteceu com a moeda e depois explique de acordo com as leis de Newton.


Figura 32: Deslisamento de moeda sobre superfície plana e lisa.

Figura 33: Identificação das moedas.

Figura 34: Mão empurrando caderno com moeda.

Figura 35: Moeda em cima de uma tira com velocidade constante numa pista.

• Coloque uma moeda sobre uma tira de cartão guache (papelão ou cartolina). Faça umdesenho de pista reta com uma curva fechada em uma folha de caderno.

• Com a moeda sobre a tira de cartão guache, percorra a pista cinco vezes com velocidadeaproximadamente constante (Figura 35). A cada vez que percorrer a pista, aumente avelocidade da tira e descreva o que aconteceu com a moeda e explique de acordo comas leis de Newton.

EXPERIMENTO B

Objetivo• Evidenciar o princípio fundamental da dinâmica

Materiais utilizados• 01 balança de precisão;

4.5. Experimento V: Leis de Newton 53

• 01 taboa de madeira;

• 03 parafusos;

• 01 elástico;

• 01 fita métrica;

• 03 caixas de fósforo;

• palitos de fósforos;

• sal.

Figura 36: Esquema para experimento PFD.

ProcedimentosPegue as caixas de fósforos vazia, com palitos de fósforo e com sal1 e meça a massa de cadauma com a balança de precisão. Coloque a caixa de fósforo vazia com a face maior sobrea madeira e puxe-o contra o elástico até topar no prego. Solte a caixa de fósforo e anote adistância percorrida pela caixa de fósforo. Proceda o experimento com as outras caixas defósforo. Compare os dados obtidos com cada caixa de fósforo e explique de acordo com asleis de Newton.

EXPERIMENTO C

Objetivos• Evidenciar a lei da ação e reação.

1 Os materiais que preencherão a caixa de fósforo pode ser mudado, o importante é fornecer massas diferentespara a caixa.


Materiais Utilizados• 01 garrafa PET;

• cano de PVC;

• T de PVC;

• 02 vedações;

• 03 pedaços de cordão;

• adesivo plástico.

Figura 37: Experimento de ação e reação.

ProcedimentosColoque fita adesiva nos buracos do cano e depois insira água na garrafa PET. Descreva o queaconteceu com a garrafa e depois explique de acordo com as leis de Newton.


1. Escreva dois exemplos em que a 1ª Lei de Newton fica evidenciada.

2. Escreva dois exemplos em que a 3ª Lei de Newton fica evidenciada.

CAPÍTULO5Relato da construção dosexperimentos

Decidimos inserir esse capítulo para deixarmos registrado a nossa contribuição através derelatos da construção dos experimentos. Percebemos uma enorme diferença entre planejar aconstrução de um determinado experimento e realmente fazê-lo. A aquisição de materiais(inservíveis ou comprados), os erros de planejamento, a montagem e o teste do experimentofarão parte dos relatos, que servirão de ponto de partida para uma possível reprodução doexperimento, pelo professor que resolver utilizar esse material de apoio.

5.1 Relato de construção: Experimento IComo o experimento era composto essencialmente de figuras geométricas planas, seria ne-cessário fazer uso de materiais de baixo custo, de fácil corte e que não fosse flexível. Optamosem fazer uso do “cartão guache”.

Foram comprados os seguintes materiais:

• 1 pacote com cartões guache 48cm x 66cm na cor laranja;

• 1 pacote com 10 réguas de 30cm;

• 1 folha de isopor;

• 1 cola de isopor.

Foram utilizados somente 3 cartões guache, os quais foram feitas as seguintes marcaçõespara serem cortadas com uma tesoura:

• 20 retângulos com dimensões idênticas à régua de 30cm;

• 8 retângulos de 4 tamanhos diferentes, formando 4 pares de retângulos;

• 2 círculos com dimensões de um prato pequeno;

• 2 círculos com dimensões de um pires “A”;

• 2 círculos com dimensões de um pires “B”;

• 2 círculos com dimensões de um copo.

Quando foi realizado o teste do experimento C, que consiste na medição do diâmetro e dacircunferência do círculo para poder calcular o valor de π (pi)— ficou constatado a dificuldadede se medir a circunferência do círculo com um cordão, devido a espessura do cartão guache.A solução encontrada foi de comprar uma folha de isopor para poder desenhar os 8 círculos,cortar com um estilete, para depois colar nos círculos de cartão guache.

56 Capítulo 5. Relato da construção dos experimentos

Figura 38: Fotos da marcação das réguas, retângulos (foto da esquerda) e círculos (foto adireita) no cartão guache.

Figura 39: Materiais de cartão guache prontos: retângulos e círculos.

5.2 Relato de construção: Experimento IIA construção do experimento consistiu inicialmente em conseguir os materiais:

• madeira de dimensões de 110cm×40cm;

• 02 rolhas de garrafas de vinho;

• 6m de fio de cobre esmaltado;

• fita adesiva;

Ainda foi necessário comprar os materiais:

• 100cm de mangueira transparente 3/4′′×2,0mm;

• 01 fita métrica;

• 01 parafuso de 7cm;

• 01 chave liga/desliga;

5.2. Relato de construção: Experimento II 57

• 04 abraçadeiras tipo U;

• 08 parafusos para as abraçadeiras;

• 02 abraçadeiras de aço;

• 01 esfera de aço de 3mm;

• 01 cronômetro 1/100 segundos;

• 01 porta pilhas;

• óleo de motor de carro.

A madeira foi cortada com uma serra circular para obter as dimensões de 110cm×20cme furada com uma furadeira para encaixar a chave liga/desliga.

Figura 40: Experimento de Movimento Retilíneo Uniforme 1

O fio de cobre esmaltado foi enrolado no parafuso de 7cm e deixado duas pontas, as quaisforam queimadas com uma chama e depois limpadas para remover as cinzas do esmaltequeimado. Depois foram feitas as ligações conforme o esquema da Figura 41.

Figura 41: Esquema elétrico do eletroímã.

Foram construídos mais dois equipamentos destinados ao estudo do movimento retilíneouniforme, um pouco mais simples do que o anterior, em madeira 110cm× 11cm e semeletroímã. O objeto que se move é uma bolha de ar que sobe através do óleo, quando oequipamento é girado.


Figura 42: Experimento de Movimento Retilíneo Uniforme 2

5.3 Relato de construção: Experimento IIIFoi necessário conseguir um papel com largura aproximada de 8cm e comprimento de 2m.Conseguimos um rolo de papel de impressão de máquina de cartão de crédito. Cortamosum pouco mais de 2m de papel e fizemos marcações a cada 2cm, e colocamos o valor dasmedidas a cada 10cm.

Figura 43: Bola de borracha e fita graduada em centímetros.

O papel funciona como trena (ou régua) e deve ser preso na parede com fita adesiva, deforma que ela fique na vertical. Utiliza-se também uma bola de borracha para ser abandonadaà 2m de altura.

Como o movimento de queda é muito rápido, é necessário filmar para depois fazer aanálise do video em um programa adequado no computador.

5.4 Relato de construção: Experimento IVDecidimos construir um lançador de projéteis de PVC, cujo agente acumulador de energiafosse o elástico de enrolar dinheiro, entretanto, desejávamos utilizar mola mas a dificuldade

5.4. Relato de construção: Experimento IV 59

em encontrada motivou-nos a substituí-la pelo elástico. Compramos 1 metro de cano PVCde 20mm, 1 metro de cano PVC de 25mm, uma vedação de 20mm e duas abraçadeiras demetal. Utilizamos uma serra para cortar os canos de PVC de 20mm no tamanho de 20cme no cano de 25mm o tamanho de 35cm. Raspamos as extremidades do cano de PVC parafazer o acabamento, depois colamos com uma cola super bonder a vedação de 20mm nocano de 20mm de tamanho 20cm. Usamos uma madeira de dimensões 45cm×10cm paraservir de base para o lançador de projéteis. O cano de 35cm foi colocado sobre um pedaçode espuma de ar-condicionado para deixar o cano afastado da madeira para que a vedaçãopossa mover-se livremente sem encostar na medeira. Prendemos o cano de 35cm na madeiraatravés de duas abraçadeiras e dois ganchos para fixar o elástico.

Figura 44: Foto dos materiais usados no experimento.

Figura 45: Foto do experimento de projéteis montado.

Procuramos a imagem de um transferidor na internet que medisse de zero à noventa graus,imprimimos e colamos no cartão guache, depois fizemos o acabamento. O transferidor foicolado na lateral da madeira do lançador de projéteis, em uma posição que não atrapalhassea realização do experimento. Colocamos um prego para servir de eixo para um pêndulo feitode linha e um parafuso, assim podemos saber o ângulo em que se encontra o lançador deprojéteis. Planejamos medir o alcance da esfera de metal através de uma trena, desda posiçãoinicial de lançamento até a marca deixada pela esfera no papel branco 1 ao cair sobre o papelcarbono que ficava sobre o papel branco.

1 O papel deve ser fixado na superfície com fita adesiva


5.5 Relato de construção: Experimento VEste experimento foi dividido em três partes que chamamos de “Experimento A”, “Experi-mento B” e “Experimento C”. O experimento “A” foi subdividido em três partes, na primeiraescolhemos duas moedas idênticas de 25 centavos para ser colocada uma sobre a outra comfaces diferentes para podermos identificar após a colisão a moeda que se moveu, escolhemostambém uma moeda de 5 centavos que tem uma espessura menor do que a moeda de 25,com isso, a moeda de 5 centavos só atingiria uma moeda de 25 centavos.

Figura 46: Experimento das moedas.

Na segunda parte utilizamos uma moeda e um caderno. Tanto a primeira parte quanto nasegunda não houveram problemas na montagem e nem na execução.

Figura 47: Moeda sobre o caderno.

Na terceira parte cortamos uma tira de cartão guache de forma que coubesse uma moedaem cima dela. Desenhamos um percurso com uma caneta em uma folha de papel. Ao testar-mos o experimento, notamos que a força de atrito dificulta a observação do fenômeno; sóquando aumentamos a velocidade da tira de cartão guache é que percebemos o deslocamentoda moeda para fora da curva. Os materiais usados neste experimento podem ser observadosna Figura 48.

Na construção do experimento “B” utilizamos uma madeira de dimensões 74cm×9cm,dois parafusos para fixar um elástico e um parafuso para limitar2 o impulso da caixa defósforo. Preparamos três caixas de fósforos, sendo que a primeira ficou vazia, a segunda foipreenchida com fósforos e a terceira foi preenchida de sal. Medimos a massa das três caixasde fósforos com uma balança de precisão e obtivemos os valores de 3,3 g para a primeira,6,8g para a segunda e 14,2g para a terceira. O mais importante neste experimento é termosmassas com valores diferentes.2 O elástico foi esticado até o parafuso.

5.5. Relato de construção: Experimento V 61

Figura 48: Materiais da terceira parte do experimento “A”.

Figura 49: Experimento “B”.

Quando realizamos o teste percebemos a necessidade de se colocar a caixa de fósforosempre na mesma posição, com a área maior em contato com a madeira ela deve ser seguradacom um ou dois dedos sobre a caixa de fósforos no momento do lançamento. Passamos fitadurex nas caixas que contém fósforo e sal.

ReferênciasFERREIRA, A. B. d. H. Mini Aurélio: o dicionário da língua portuguesa. 8. ed. Curitiba:Positivo, 2010.

FUKE, L. F.; YAMAMOTO, K. Física para o Ensino Médio: Mecânica. 1. ed. São Paulo: Saraiva,2010.

GASPAR, A. Física: Mecânica. 1. ed. São Paulo: Ática, 2003.

GUIMARÃES, O.; PIQUEIRA, J. R.; CARRON, W. Física 1. 1. ed. São Paulo: Ática, 2014.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: Mecânica. 8. ed. Rio deJaneiro: LTC, 2008.

LUZ, A. M. R.; ÁLVARES, B. A. Física contexto e aplicações. 1. ed. São Paulo: Scipione, 2014.

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: Mecânica. 4. ed. São Paulo: Edgard Blücher,2002.

PERUZZO, J. Experimentos de Física Básica: Mecânica. 1. ed. São Paulo: Livraria da Física,2012.

SARAIVA-NEVES, M.; CABALLERO, C.; MOREIRA, M. A. Repensando o papel do trabalhoexperimental, na aprendizagem da física, em sala de aula–um estudo exploratório (laboratoryactivities and physics learning at high school: an exploratory study in portuguese settings).Investigações em Ensino de Ciências, v. 11, n. 3, p. 383–401, 2006.

TAYLOR, J. R. Introdução à Análise de Erros: O Estudo de Incertezas em Medições Físicas. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.

Apêndices

APÊNDICEAEstrutura do Relatório

A estrutura do relatório de experimentos de Física compreende os seguintes elementos comomodelo:ELEMENTOS PRÉ-TEXTUAIS

• Capa;

• Folha de rosto;

• Sumário;

ELEMENTOS TEXTUAIS

• Introdução teórica

• Objetivos

• Material utilizado

• Procedimento experimental

• Obtenção e análise dos dados

• Conclusão

ELEMENTOS PÓS-TEXTUAIS

• Referências

APÊNDICEBModelo da Capa

As informações na capa deve ser transcritas na seguinte ordem:a) nome da instituição de ensino e curso;

b) nome(s) do(s) aluno(s);

c) roteiro com número de ordem e nome do experimento;

d) local (cidade onde está situada a instituição à qual o relatório será submetido);

e) ano da entrega do relatório.A fonte deve ter tamanho 12, estilo Arial ou Times New Roman, com espaço de entrelinhas de1,5.

70 APÊNDICE B. Modelo da Capa

INSTITUTO FEDERAL DE PERNAMBUCO

CAMPUS BELO JARDIM

CURSO TÉCNICO INTEGRADO EM INFORMÁTICA PARA INTERNET

NOME DO ALUNO

(centralizado e em negrito)

RELATÓRIO Nº 01: MEDIDAS


BELO JARDIM – PE

2015

Figura 50: Modelo de capa

APÊNDICECModelo da Folha de Rosto

As informações na folha de rosto de ser transcritas da seguinte ordem:a) nome(s) do(s) aluno(s);

b) roteiro com número de ordem e nome do experimento;

c) Notas descritivas: natureza (trabalho) e objetivo (bimestre, unidade, outro); disciplina;nome do curso e da instituição de ensino;

d) Professor;

e) local (cidade onde está situada a instituição à qual o relatório será submetido);

f) ano da entrega do relatório.As notas descritivas deve ser escrita com recuo de 8 cm, justificado com entrelinhas de 1,5.

72 APÊNDICE C. Modelo da Folha de Rosto

NOME DO ALUNO


RELATÓRIO Nº 01: MEDIDAS


Trabalho apresentado como requisito

do(a) 1º bimestre ( ou 1ª unidade) da

disciplina de Física do Curso Técnico

Integrado em Informática para Internet do

Instituto Federal de Pernambuco, Campus

Belo Jardim.

Professor: Nome do Professor

BELO JARDIM – PE

2015

Figura 51: Modelo de folha de rosto

APÊNDICEDModelo do Sumário

O sumário consiste na enumeração das principais seções do relatório, na ordem e grafia emque se sucedem, acompanhados das respectivas paginações.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO TEÓRICA .....................................................................................03

2. OBJETIVOS ..........................................................................................................03

3. MATERIAL UTILIZADO .........................................................................................03

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ....................................................................03

5. OBTENÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ................................................................03

6. CONCLUSÃO ........................................................................................................03

7. REFERÊNCIAS .....................................................................................................04

Figura 52: Modelo de sumário

APÊNDICEEModelo do Relatório

3

1. INTRODUÇÃO TEÓRICA

A introdução teórica é a parte inicial do relatório, onde deve constar o assunto

abordado no experimento de forma breve e objetiva.

2. OBJETIVO

Os objetivos são os mesmos do roteiro do experimento.

3. MATERIAL UTILIZADO

Durante a realização do experimento, o aluno deve fazer nota dos materiais

utilizados (ou conferir no roteiro do experimento).

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Os procedimentos para a realização do experimento estão contidos no

relatório, caso contrário, o aluno deverá escrever com detalhes todo o procedimento

utilizado para a realização do experimento.

5. OBTENÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS

Neste item deve conter os dados obtidos através da realização do

experimento, com seu respectivo tratamento, minimizando as incertezas e

solucionando o(s) problema(s) mencionado(s) no roteiro.

6. CONCLUSÃO

A conclusão deve conter a visão do aluno referente ao experimento,

respondendo as seguintes questões: o tempo e a quantidade de participantes no

grupo foram adequados? O experimento ajudou na compreensão do assunto

estudado em sala de aula? Os resultados do experimento foram os esperados?

Quais eram as expectativas antes de realizar o experimento? Os objetivos foram

alcançados?

Figura 53: Modelo dos elementos textuais do relatório

APÊNDICEFModelo de Referências

Relação de um conjunto padronizado de elementos descritivos, retirados de um documento,que permite sua identificação no todo ou em parte, ou seja, a bibliografia utilizada na intro-dução teórica, principalmente. Utilizar as normas da ABNT.

4

REFERÊNCIAS

GASPAR, A. Atividades experimentais no Ensino de Física. 1ª. ed. São Paulo:

Livraria da Física, 2014. ISBN 978-85-7861-247-4.

GUIMARÃES, O.; PIQUEIRA, J. R.; CARRON, W. Física 1. 1ª. ed. São Paulo: Ática,

v. I, 2014.

LUZ, A. M. R. D.; ÁLVARES, B. A. 1. Física contexto & aplicações. 1ª. ed. São

Paulo: Scipione, v. I, 2014.

YAMAMOTO, K.; FUKE, L. F. Física para o Ensino Médio. 1ª. ed. São Paulo:

Saraiva, v. I, 2010.

Figura 54: Modelo de referências

APÊNDICEGRespostas dos exercícios

Capítulo 1

1.1 a) 78,2 b) −3

1.2 a) 8,2 b) 40 c) 13

1.3 12,4cm

1.4 0,0cm; −0,3cm; 0,5cm; 0,6cm; −0,6cm

1.5 0,51cm

1.6 x = 12,4±0,2cm

1.7 a)0,020 b)0,033

1.8 a)1m b) 8cm

1.9 48±2cm

1.10 20,5±0,1s

1.11 75±4cm3

experimentos de baixo custo no ensino, de mecânica para o ... · as medidas que iremos realizar,...

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