UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR

INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PS-GRADUAO DE MATEMTICA E ESTATSTICA

RONDINELI CARNEIRO LOUREIRO

EXPERIMENTANDO A MATEMTICA ATRAVS DAS BOLHAS DE SABO

BELM PAR 2014

RONDINELI CARNEIRO LOUREIRO

EXPERIMENTANDO A MATEMTICA ATRAVS DAS BOLHAS DE SABO

Monografia apresentada Comisso Examinadora do curso de Ps- Graduao da Universidade Federal do Par - UFPA, como instrumento parcial para obteno do grau de Mestre em Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Jos Antnio Moraes Vilhena

BELM PA 2014

Deus, minha esposa que sempre me apoiou

nos meus projetos, pais e irmos.

AGRADECIMENTOS

Deus todo Poderoso, por sua sabedoria e benevolncia, e a Nossa Senhora de

Nazar por sua interseo junto a Nosso Senhor Jesus Cristo.

minha amada esposa Carla Gisele Loureiro, por toda pacincia para comigo.

Aos meus pais, Alfredo e Irailde pelo apoio aos meus estudos. Aos meus irmos

que sempre me apoiaram.

Ao meu orientador por sua pacincia e suas crticas construtivas.

Aos meus amigos do PROFMAT, pela amizade e companheirismo.

A todos os professores da Ps-graduao.

A Sociedade Brasileira de Matemtica (SBM), por oportunizar o PROFMAT,

programa que nos proporcionou imensurvel crescimento intelectual.

A Universidade Federal do Par (UFPA), por nos proporcionar sua estrutura fsica e

intelectual.

A CAPES, pelo reconhecimento e investimento que viabilizaram este projeto.

RESUMO

O nosso trabalho descreve o roteiro de uma atividade experimental, a qual

pde ser desenvolvida com os alunos do ensino bsico, atravs do estudo das

propriedades geomtricas das pelculas e bolhas de sabo. Inicialmente o trabalho

faz um breve estudo da teoria local das superfcies, em seguida apresentamos a

estrutura molecular das pelculas e bolhas de sabo e os efeitos da tenso

superficial presentes nelas, terminando a teoria com as leis Plateau, na parte prtica

o trabalho apresenta dez experimentos prticos que iro ajuda a ilustrar e entender

as propriedades anteriormente definidas.

Palavras-chave: Bolhas de Sabo, Pelculas de Sabo, Superfcies Mnimas,

Geometria, Geometria diferencial, Plateau

ABSTRACT

Our work describes the script for an experimental activity, which could be

developed with students of basic education through the study of the geometrical

properties of the films and soap bubbles. Initially work makes a brief study of the

local theory of surfaces, then we present the molecular structure of the films and

soap bubbles and the effects of surface tension present in them, finishing the theory

with the Plateau laws in practice part of the work presents ten experiments practical

that will help illustrate and understand the properties defined above.

Keywords: soap bubbles, soap films, Minimal Surfaces, Geometry, differential

geometry, Plateau

SUMRIO APRESENTAO ................................................................................................................................... 10

INTRODUO ....................................................................................................................................... 11

BREVE HISTRICO ................................................................................................................................ 13

METODOLOGIA .................................................................................................................................... 16

3. TEORIA LOCAL DAS SUPERFCIES ...................................................................................................... 17

3.1. SUPERFCIE PARAMETRIZADA REGULAR ................................................................................... 17

3.2. PLANO TANGENTE; VETOR NORMAL ......................................................................................... 19

3.3. PRIMEIRA FORMA QUADRTICA ............................................................................................... 20

3.4. SEGUNDA FORMA QUADRTICA ............................................................................................... 21

3.5. CURVATURA NORMAL ............................................................................................................... 22

3.6. CURVATURAS PRINCIPAIS; CURVATURA DE GAUSS; CURVATURA MDIA ................................. 22

BOLHAS E PELCULAS DE SABO .......................................................................................................... 25

4.1. COMO SE FORMAM AS BOLHAS DE SABO? ............................................................................. 25

4.2. TENSO SUPERFICIAL ................................................................................................................ 26

4.3. EQUAO DE LAPLACE-YOUNG ................................................................................................. 27

4.4. LEIS DE PLATEAU ....................................................................................................................... 31

5. EXPERIMENTOS COM PELCULAS DE SABO ................................................................................ 33

BOLHAS DE SABO ............................................................................................................................... 60

CONSIDERAES FINAIS ....................................................................................................................... 63

REFERENCIAS ........................................................................................................................................ 64

ANEXOS ................................................................................................................................................ 66

10

APRESENTAO

Quem de ns nunca brincou de fazer bolhas de sabo? Para alguns o

simples fato de soprar bolhas de sabo, constituem objeto de admirao que

dificilmente deixamos de manifestar algum tipo de contemplao quando tomamos

contato com uma. parte sua intrigante beleza, o mundo das bolhas de sabo

revela problemas de grande interesse matemtico e fsico.

11

INTRODUO

Na natureza diversos fenmenos acontecem a todo momento e todos eles

apresentam o princpio da energia mnima, ou seja, a natureza buscando sempre

minimizar e otimizar o gasto energtico. Portanto o autor desse trabalho focou suas

pesquisas em explorar um tema que trabalhado com alunos das sries finais do

ensino fundamental e inicio do ensino mdio, mximos e mnimos, seja na forma

funcional ou geomtrica, com a abordagem de um tema em que todos ns temos

alguma familiaridade, o processo de obteno de bolhas de sabo.

Apesar de ser uma atividade simples, este trabalho prope aos alunos uma

maneira de relacionar e aprofundar os conhecimentos de matemtica com as

observaes do cotidiano. Mesmo que o assunto no faa parte do currculo do

ensino bsico, ele pode ser trabalhado como forma de estimular os alunos

pesquisa e a experimentao, j que o mesmo utiliza os conhecimentos de

Geometria do ensino bsico.

Sendo assim podemos mostrar que a Matemtica est alm das operaes

elementares com nmeros e outras ideias abstratas presentes no currculo da

disciplina, as quais muitas vezes o aluno nem consegue compreender e muitos

menos relacion-las com outras cincias.

Usar um tema to simples aparenta uma brincadeira de criana para alunos

do ensino mdio, mas o assunto se revela uma estimulante maneira de apresentar

conceitos dessa cincia de uma maneira que desperte o interesse no aprendizado a

partir da observao e anlise do meio em que vivem e da compreenso nas formas

de interagir e transformar esse meio. Ento quanto questo de estimular os alunos

deve-se considerar a afirmao de Polya (2006)

Um professor de Matemtica tem assim, uma grande oportunidade. Se ele preenche o tempo que lhe concedido a exercitar seus alunos em operaes rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes, desperdiando, dessa maneira, a sua oportunidade. Mas se ele desafia a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas compatveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagaes estimulantes, poder incutir-lhes o gosto pelo raciocnio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcanar este objetivo.

Vemos que no uma tarefa fcil para o professor, hoje, no contexto atual em

que o aluno possui tanto acesso informao, tornar a Matemtica interessante e

12

desafiadora. Utilizar problemas estimulantes, que desafiem sua curiosidade e sua

capacidade de raciocnio pode ser uma forma de aumentar o interesse pela

aprendizagem em Matemtica. Com a experincia de sala de aula e baseados nas

literaturas o presente trabalho expe um projeto que descreve a construo de

modelos simples que permitem realizar pequenos experimentos com bolhas de

sabo que nos ajudam a compreender problemas de otimizao.

Devido complexidade matemtica que permeiam os problemas das

superfcies mnimas e caminhos mnimos, a natureza dos experimentos torna o

assunto mais atrativo aos alunos, j que se trata de um trabalho parte experimental,

e possui um carter investigativo, pois em alguns casos a demonstrao analtica

uma forma desafiadora de resolver e confirmar os resultados obtidos na prtica

experimental, usando elementos da geometria do ensino bsico, sendo que o

trabalho descreve o roteiro da realizao do experimento.

Inicialmente o trabalho apresenta uma breve introduo Teoria das

Superfcies, j que as bolhas e as pelculas de sabo so casos particulares da

teoria das superfcies, que pode ser omitido sem perda para os alunos, o captulo

seguinte contribui para entendimento de como se formam as bolhas de sabo e

como a tenso superficial interfere na forma tomada pelas superfcies de sabo

explicando a propriedade fundamental de torn-las superfcies mnimas.

A seguir temos a equao de Laplace-Young e sua relao com a curvatura

mdia das superfcies, o tpico seguinte aborda as Leis de Plateau, cujos

experimentos descritos no captulo seguinte, sero regidos por essas trs leis.

13

CAPTULO 1

1. BREVE HISTRICO

Ao longo da histria as bolhas de sabo sempre causaram admirao e

fascnio. O estudo cientfico das pelculas de sabo datam do sculo XV e dois

grupos se destacaram em campos distintos, um dos grupos tinham fsicos, qumicos,

bilogos que estudaram as propriedades macroscpicas e moleculares das

superfcies, em outro grupo estavam matemticos centrados em problemas que

requeriam minimizao da rea de uma superfcie contida num limite fixo e entre

outros problemas relacionados. A compreenso dos vrios tipos de padres

formados pelas superfcies de sabo est ligada ao calculo das variaes e vrios

princpios de minimizao. Por isso, talvez devamos comear com Maupertuis

(1698-1759), onde declarou seu princpio geral de que:

se houver alguma mudana que ocorre na natureza, a quantidade de aes

necessrias para esta alterao, tem de ser to pequena quanto possvel.

A minimizao da energia de uma pelcula de sabo outro aspecto do

teorema, e a natureza geral do teorema originalmente proposto por Maupertuis

que permite que filmes de sabo sejam usados para tais extensas ilustraes de

outros aspectos da fsica. A ideia de que a natureza sempre minimiza a ao,

outra forma de expressar esse principio. Precedido pelo trabalho de Maupertuis,

Pierre de Fermat (1601-1665) foi capaz de explicar as leis da reflexo e da refrao,

alm de propor e justificar o uso da minimizao do tempo gasto para a luz se

propagar de um ponto a outro, acreditando na ideia de que a natureza faz seus

movimentos pelas vias mais simples ou sempre atua pelo caminho mais curto

As primeiras ideias de superfcie mnima datam de 1760, com um problema

proposto por Lagrange: dada uma curva fechada simples, qual a menor superfcie

que tem esta curva como fronteira?

Em 1762 Lagrange desenvolveu um mtodo (que denominou clculo das

variaes), que deu lugar ao que hoje conhecemos por equao diferencial de Euler-

Lagrange, a qual se tratava de encontrar uma superfcie de rea mnima com

contorno pr-fixado e como consequncia estabeleceu a equao que minimiza a

rea localmente e cujas solues definem o que conhecemos por superfcies de

curvatura mdia constante, identicamente nula para o caso das Superfcies Mnimas,

14

ou seja, as superfcies mnimas se chamam assim porque minimizam a superfcie

para um determinado volume dado.

Como o interesse maior era em questes tericas, Lagrange no se

preocupou em encontrar solues concretas no triviais. Euler foi o primeiro que

rotacionou a curva chamada catenria para obter uma superfcie mnima que

chamou de alysseide, posteriormente foi denominada catenide. A soluo para a

superfcie de rea mnima limitada por dois anis coaxiais continua a ser uma das

poucas solues analticas disponvel neste campo. O mais extenso trabalho inicial

prtico foi realizado pelo fsico belga Antoine Ferdinand Plateau (1802-1883), o qual

realizou experincias, em meados do sculo XIX, que deram uma nova importncia

s superfcies mnimas, Plateau mostrou que a soluo tanto para o problema

proposto por Lagrange e outros que requerem minimizao poderiam ser obtidos

com a imerso de estruturas de arame moldados na forma de curvas espaciais em

uma soluo de gua, sabo e glicerina, assim Plateau percebeu que as superfcies

formadas pela fina pelcula numa determinada curva era a de menor rea possvel,

por ser a superfcie que apresentava a menor energia potencial, resultado das

interaes entre suas molculas (DO CARMO, 2005).

Desde ento o problema proposto por Lagrange ficou conhecido como o

Problema de Plateau. Um fato importante que nesse perodo Plateau j estava

completamente cego.

Josiah Willard Gibbs (1839-1903), bem conhecido por suas contribuies

termodinmica e a mecnica estatstica, investigou a drenagem e afinamento das

pelculas de sabo. Mas o nome mais conhecido no campo de Sir Charles Vernon

Boys (1855-1944) que deu aulas-demonstraes sobre o assunto e escreveu isto em

um livro (1890, reeditado 1959), o ttulo mais recente do livro Bolhas de Sabo -

suas cores e as foras que as moldam. Sir James Dewar (1842-1923) tambm

pesquisou sobre as pelculas de sabo, e os resultados de seu trabalho melhor

descrito por seu assistente ASC Lawrence no texto mais popular que escreveu,

intitulado Pelculas de Sabo, um estudo da individualidade Molecular.

A partir desses resultados experimentais obtidos por Plateau, vrios

matemticos comearam a procurar por novos mtodos analticos que podiam

provar a existncia de propriedades geomtricas associadas s superfcies mnimas

e resolver assim problemas de rea mnima, mas eles visavam explicitar uma

soluo. Porm, no sculo XX mudou-se este ponto de vista, ou seja, no visavam

15

mais solues explicitas, mas primeiro provar a existncia de solues e da mostrar

outras propriedades relevantes. Para Isenberg (1992) foi o trabalho de Jesse

Douglas que foram dados passos importantes nesse tema.

Em seu trabalho, Douglas (1931) expe que o problema de Plateau provar

a existncia de uma superfcie mnima atrelada a um dado contorno e seu texto traz

a primeira soluo para este problema com o tipo de contorno mais geral: uma

curva de Jordan no espao euclidiano n-dimensional.

Em 1976, com a publicao do artigo A Geometria das pelculas e Bolhas de

Sabo (Scientific American 235: 8293), Taylor e Almgren comprovam, os

postulados de Plateau numa srie de experimentos com pelculas de sabo

conectadas a diferentes limites ou frames. A publicao corroborou os princpios de

reas mnimas, e que segundo Emmer (1996), apresenta uma notvel coleo de

figuras que comparam a geometria das bolhas e pelculas com estruturas naturais.

16

CAPTULO 2

2. METODOLOGIA

Definido o tema de estudo, foi necessria uma ampla pesquisa em vrias

fontes, de modo a investigar todos os aspectos tericos envolvidos, a parti da

pensou-se numa forma de apresentao aos alunos do ensino bsico sobre as

superfcies mnimas e qual a relao com as bolhas e pelculas de sabo.

Aps a pesquisa, escreveu-se um roteiro para expor aos alunos do ensino

mdio o tema como uma atividade terica e prtica, que integrasse os

conhecimentos de sala de aula, com as superfcies de sabo, sendo que a atividade

proposta seria meramente uma forma visualizar os conhecimentos da matemtica

sendo aplicados em situaes reais.

Na realizao do projeto foi exposto um breve histrico de como se deu o

avano das pesquisas nesse ramo, as propriedades geomtricas e fsicas das

pelculas e bolhas de sabo na forma de aula expositiva dialogada. Aps esse

momento iniciou-se a parte prtica do tema abordado, onde os alunos tiveram

contato com os materiais que seriam utilizados na parte experimental. Nesse

momento procurou-se interligar os conhecimentos tericos previamente aprendidos

com os experimentos realizados.

Foi estudado com os alunos, juntamente com a parte experimental, as

demonstraes analticas de alguns experimentos propostos no presente trabalho,

demonstraes estas, que usavam elementos do currculo do ensino mdio. Mas o

fato de terem contato com um tema, permeado de complexidades, foi bastante

proveitoso, pois foi abordado de uma maneira to natural e simples.

17

CAPTULO 3

3. TEORIA LOCAL DAS SUPERFCIES

3.1. SUPERFCIE PARAMETRIZADA REGULAR

Consideremos que temos um sistema de coordenadas cartesianas x, y, z em

3 e seja uma funo

( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))X u v x u v y u v z u v

De duas variveis u , v que variam em um aberto 2U . Para cada

( , )u v U , ( , )X u v determina um ponto de 3 .

Definio 3.1. Uma superfcie parametrizada regular ou simplesmente uma

superfcie uma aplicao 2 3:X U , onde U um aberto de 2 , tal que:

a) X diferencivel de classe C

;

b) para todo ( , )q u v U , a diferencial de X em q , 2 3:qdX , injetora.

As variveis u , v so os parmetros da superfcie. O subconjunto S de 3

obtido pela imagem da aplicao X denominado trao de X .

Vamos analisar o que a definio nos diz sobre o comportamento de uma

superfcie. A condio (a) impe que a aplicao ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))X u v x u v y u v z u v

diferencivel de classe C quando as funes x, y, z tm derivadas parciais de

todas as ordens e so contnuas. A condio (b) vai garantir a existncia de plano

tangente em cada ponto da superfcie. Vejamos algumas formas equivalentes de

expressar essa condio. Sejam 1e , 2e a base cannica de 2

e 1e , 2e , 3e a base

cannica do 3. Para cada 0 0( , )q u v U , sabemos que a matriz associada a qdX

nas bases cannicas a matriz jacobiana.

18

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

x xu v u v

u v

y yJ u v u v u v

u v

z zu v u v

u v

,

pois

1 0 0 0 0 0 0( ) ( , ), ( , ), ( , )qx y z

dX e u v u v u vu u u

,

2 0 0 0 0 0 0( ) ( , ), ( , ), ( , )qx y z

dX e u v u v u vv v v

.

Denotando esses dois vetores por 0 0( , )uX u v e 0 0( , )vX u v respectivamente,

observamos que as seguintes afirmaes so equivalentes:

b.1. qdX injetora;

b.2. A matriz 0 0( , )J u v tem posto 2;

b.3. os vetores 0 0( , )uX u v , 0 0( , )vX u v so linearmente independentes;

b.4. 0 0 0 0( , ) ( , ) 0u vX u v X u v .

Proposio 3.2. Seja ( ) ( ( ),0, ( ))u f u g u , u I , uma curva regular, isto ,

( ) 0u u I , tal que ( ) 0f u . Ento, a aplicao

( , ) ( ( )cos , ( )sen , ( ))X u v f u v f u v g u ,

onde u I e v uma superfcie parametrizada regular.

Demonstrao. Como uma aplicao diferencivel, temos que as funes

coordenadas de X so diferenciveis. Os vetores

( ( )cos( ), ( )sen( ), ( ))uX f u v f u v g u ,

( ( )sen( ), ( )cos( ),0)vX f u v f u v ,

so linearmente independentes, pois

2 2 2 2( )[( ) ( ) ] 0u vX X f u g f ,

j que uma curva regular e f no de anula. Portanto, conclumos que X uma

superfcie parametrizada regular.

19

A aplicao X da Proposio 1.2 denominada superfcie de rotao da

curva em torno do eixo Oz, sendo que o eixo Oz no intercepta a curva pois

( ) 0f u .

3.2. PLANO TANGENTE; VETOR NORMAL

Definio 3.3. Se ( , )X u v uma superfcie parametrizada regular, dizemos que um

vetor w de 3 um vetor tangente a X em 0 0( , )q u v se 0( )w t , onde

( ) ( ( ), ( ))t X u t v t uma curva da superfcie, tal que 0 0 0 0( ( ), ( )) ( , )u t v t u v .

FIGURA 1: Plano tangente a X em 0 0( , )q u v

Definio 3.4. O plano tangente a X em 0 0( , )u v o conjunto de todos os vetores

tangentes a X em 0 0( , )u v , que denotamos por qT X , onde 0 0( , )q u v .

Proposio 3.5. Seja ( , )X u v uma superfcie parametrizada regular e 0 0( , )q u v .

Ento qT X o conjunto de vetores obtidos como combinao linear de 0 0( , )uX u v e

0 0( , )vX u v .

Por definio de superfcie parametrizada regular, uX e vX so vetores

linearmente independentes. Portanto, segue-se da proposio anterior que qT X

um plano do 3, gerado por uX e vX . Observamos que, em geral, uX e vX no

so ortogonais, nem unitrios.

20

Definio 3.6. Se ( , )X u v uma superfcie e 0 0( , )q u v , dizemos que um vetor de

3 normal a X em q se ortogonal a qT X , isto , ortogonal a todos os vetores

tangentes a X em q .

Dado um plano tangente qT X , existe um nica direo normal a este plano e,

portanto, existem exatamente dois vetores unitrios normais a X em q . Daqui por

diante, vamos fixar o vetor unitrio normal a X em q como sendo o vetor

( ) ( )u v

u v

X XN q q

X X

.

Se o domnio da superfcie X um aberto 2U , ento, variando , temos

uma aplicao diferencivel 2 3:N U S , denominada aplicao normal de

Gauss, definida por

( , ) ( , )u v

u v

X XN u v u v

X X

.

Cuja imagem est contida na esfera unitria, centrada na origem.

3.3. PRIMEIRA FORMA QUADRTICA

Definio 3.7. Seja 2 3:X U uma superfcie parametrizada regular, q U ,

a aplicao

2

:

( ) , .

q q

q

I T X

w I w w w w

denominada a primeira forma quadrtica de X em q .

Consideremos uma superfcie dada por ( , )X u v e um ponto 0 0( , )q u v . Ento,

um vetor qw T X da forma

0 0 0 0( , ) ( , )w aX u v bX u v ,

onde ,a b . Portanto,

2 20 0 0 0 0 0( ) , ( , ) 2 , ( , ) , ( , )q u u u v v vI w a X X u v ab X X u v b X X u v .

21

Usando notao

0 0 0 0( , ) , ( , )u uE u v X X u v ,

0 0 0 0( , ) , ( , )u vF u v X X u v ,

0 0 0 0( , ) , ( , )v vG u v X X u v ,

Temos que

2 20 0 0 0 0 0( ) ( , ) 2 ( , ) ( , )qI w a E u v ab F u v b G u v .

Variando ( , )u v , temos funes ( , ), ( , )E u v F u v e ( , )G u v diferenciveis, que so

denominadas coeficientes da primeira forma quadrtica.

3.4. SEGUNDA FORMA QUADRTICA

Definio 3.8. Seja 2 3:X U uma superfcie parametrizada regular. Fixado

0 0( , )q u v U , a segunda forma quadrtica de X em q uma aplicao

:q qII T X , que para cada vetor qw T X associa ( )qII w da seguinte forma: se

( ) ( ( ), ( ))t X u t v t uma curva diferencivel da superfcie, tal que 0 0( ( ), ( ))u t v t q e

0( )t w , ento definimos 0 0 0( ), ( , )qII t N u v , onde N o vetor normal a X .

Vamos verificar que ( )qII w no depende da curva escolhida. Seja

0 0 0 0( , ) ( , )u vw aX u v bX u v , e consideremos uma curva ( ) ( ( ), ( ))t X u t v t tal que

0 0( ( ), ( ))u t v t q e ( )t w , isto ,

0 0 0 0( ( ), ( )) ( , )u t v t u v , 0 0( ( ), ( )) ( , )u t v t a b .

Como

( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ))u vt u t X u t v t v t X u t v t

e

2

2

( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ( )) ( ( ), ( )) 2 ( ) ( ) ( ( ), ( ))

( ( )) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )),

u uu uv

vv v

t u t X u t v t u t X u t v t u t v t X u t v t

v t X u t v t v t X u t v t

temos que

0 0 0

2 20 0 0 0 0 0

( ) ( ), ( , )

( ) , ( , ) 2 , ( , ) , ( , )

q

q uu uv vv

II w t N u v

II w a X N u v ab X N u v b X N u v

onde a expresso acima no depende da curva .

22

Usando notao

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

( , ) , ( , ),

( , ) , ( , ),

( , ) , ( , ),

uu

uv

vv

e u v X N u v

f u v X N u v

g u v X N u v

Temos que

2 20 0 0 0 0 0( ) ( , ) 2 ( , ) ( , )qII w a e u v ab f u v b g u v .

Variando ( , )u v , temos funes ( , ), ( , )e u v f u v e ( , )g u v diferenciveis, que so

denominadas coeficientes da segunda forma quadrtica da superfcie parametrizada

X .

3.5. CURVATURA NORMAL

Definio 3.9. Seja ( , )X u v uma superfcie parametrizada regular e 0 0( , )q u v . A

funo curvatura normal em q uma aplicao : {0}n qk T X que, para cada

vetor qw T X no-nulo, associa

( )( )

( )

qn

q

II wk w

I w .

3.6. CURVATURAS PRINCIPAIS; CURVATURA DE GAUSS; CURVATURA

MDIA

Definio 3.10. Sejam ( , )X u v uma superfcie parametrizada regular e nk a funo

curvatura normal de X em 0 0( , )q u v . Ento, existem valores unitrios e ortogonais

1w e 2 qw T X , tais que 1 1( )nk k w e 2 2( )nk k w so valores mnimos e mximos da

funo nk .

Com a notao da proposio anterior 1w e 2w so chamados vetores

principais de X em q e as curvaturas 1k e 2k so denominadas curvaturas

principais de X em q . As direes de qT X determinados pelos vetores principais

so chamadas de direes principais.

23

O produto das curvaturas principais 1 2( )K q k k denomina-se curvatura

gaussiana de X em q e a semissoma de 1k e 2k , 1 2( )

2

k kH q

, chamada de

curvatura mdia X em q .

Dentre as superfcies de 3, destacam-se as que tm a curvatura gaussiana

constante, e as que tm curvatura mdia nula. Uma superfcie que tem curvatura

mdia identicamente nula denominada de superfcie mnima.

Proposio 3.11. Seja ( , )X u v uma superfcie parametrizada regular. Se 0 0( , )q u v ,

ento

0 0 0 0 0 0

2

0 0 0

1 2( )

2

e G f F E GH q

E G F

,

2

0 0 0

2

0 0 0

( )e g f

K qE G F

.

Exemplos 3.12.

(i) Considere a superfcie

( , ) ( sen( ), sen( )sen( ), cos( ))X u v a v a v u a v ,

0, , 0a u v , que descreve a esfera de raio a . Como todas as seces

normais so circunferncias de raio a m e o vetor normal

( , ) ( sen( )cos( ), sen( )sen( ), cos( ))N u v v u v u v

aponta para o interior da esfera, conclumos que a curvatura normal constante

igual a 1

a e a segunda forma quadrtica ( )qII w igual a

2| |w

a, para todo ( , )q u v e

qw T X . Portanto todo vetor unitrio tangente um vetor principal e as curvaturas

principais so 1 21

k ka

. Conclumos que 2

1K

a e

1H

a .

24

(ii) Considere a superfcie parametrizada (superfcie de Enneper)

3 32 2 2 2( , ) , ,

3 3

u vX u v u uv v vu u v

,

Temos que as curvaturas principais so 1 2 2 2

2

(1 )k

u v

e

2 2 2 2

2

(1 )k

u v

. Da

temos que 2 2 4

2

(1 )K

u v

e 0H

Definio 3.13. Considerando a superfcie

( , ) ( , , ( , ))X u v x y f x y ,

que descreve o grfico de uma funo diferencivel ( , )f x y , a condio para que X

seja uma superfcie mnima :

2 2(1 ) (1 ) 2 0x yy y xx x y xyf f f f f f f ,

onde 2

2, , x xx y

f f ff f f

x yx

xyf fx y

e 2

2yy

ff

y

.

25

CAPTULO 4

BOLHAS E PELCULAS DE SABO

4.1. COMO SE FORMAM AS BOLHAS DE SABO?

A maioria de ns j brincou com bolhas de sabo, o que no nos ocorre que

o comportamento das bolhas e pelculas de sabo governado por regras

matemticas, ento antes de entrarmos no fascinante mundo das bolhas de sabo,

primeiro devemos conhec-las e entend-las.

Para criar uma pelcula de sabo preciso primeiro produzir uma soluo de

sabo que consiste em molculas de sabo e as molculas de gua. Quando sabo

ou detergente misturado agua, uma parte se distribui pela superfcie do lquido,

com as extremidades hidrfilas (ons negativos) voltadas para dentro dele,

interagindo com a gua, e com as cadeias hidrfobas voltada para fora, interagindo

umas com as outras.

FIGURA 2: ons negativos de sabo na superfcie de uma soluo de gua e sabo

Todos os lquidos tm uma propriedade chamada tenso superficial, que

expressa a resistncia oferecida pela superfcie de um liquido a ser perfurada ou

deformada. A gua apresenta elevada tenso superficial porque suas molculas

atraem-se muito intensamente. A presena de uma camada de molculas de sabo

na superfcie da gua reduz significativamente a tenso superficial. Por isso, diz-se

que os sabes ou detergentes so agentes tensoativos ou surfactantes.

26

Surge agora a questo como se formam as bolhas de sabo? Quando

mergulhamos uma argola em gua com sabo e a retiramos, uma pelcula do lquido

permanece na argola. uma camada de gua lquida com molculas de sabo em

ambas as superfcies.

FIGURA 3: Estrutura de uma pelcula de sabo

Se assoprarmos delicadamente essa pelcula cada bolha obtida nada mais

do que uma poro de ar envolta por uma pelcula de gua contendo molculas de

sabo tanto na superfcie interna como externa. Se a bolha fosse de gua pura, a

elevada tenso superficial faria a bolha colapsar. A presena do sabo reduz a

tenso superficial e estabiliza a bolha.

4.2. TENSO SUPERFICIAL

Algumas vezes acostumamos a comparar a superfcie livre de um lquido com

a de uma membrana elstica sujeita a uma tenso uniforme em todas as direes.

Com alguns experimentos possvel concluir que h uma estreita analogia entre o

comportamento fsico de uma membrana elstica com a superfcie livre de um

lquido. Esta analogia foi proposta pela primeira vez por J. A. von Segner (1704-

1777) (Trait de Physique, Tomo I, Fasc. 3, 1907) em meados do sculo XVIII, mas

cinquenta anos depois que a respectiva teoria foi desenvolvida pelo fsico ingls

Young (1773-1829).

Tenso Superficial a fora na superfcie de um fluido que age em cada lado

de uma linha, desenhada nessa superfcie, por unidade de comprimento. O

resultado mais familiar da tenso superficial da gua a capacidade de manter

27

pequenos objetos presentes na superfcie. Por exemplo, se colocarmos

cuidadosamente em sua superfcie uma lmina de barbear, uma agulha de ao ou

mesmo um clipe de papel, verifica-se que os objetos so mantidos tona e no

afundam. Se voc olhar atentamente para a superfcie, horizontalmente, vemos que

a mesma deformada e permanece um pouco afundada se comportando como uma

rede elstica (FIGURA 4), mas se a superfcie agitada o objeto acabar

afundando.

FIGURA 4: Tenso superficial

Uma pelcula de sabo s tem uma fora, a tenso superficial, a fora que

faz com que as molculas de sabo se atraiam, reduzindo a rea da superfcie da

bolha de sabo. A pelcula de sabo a superfcie que tem menor rea para um

determinado contorno, por isso as pelculas de sabo so superfcies mnimas.

4.3. EQUAO DE LAPLACE-YOUNG

Vamos considerar que uma pequena superfcie ABCD sofra um

deslocamento u , normal superfcie, pelo excesso de presso p .

28

FIGURA 5: Expanso da rea superficial

O Trabalho realizado para esse um pequeno aumento na superfcie dado

por

W F u , (4.1)

podemos expressar o trabalho em funo da tenso superficial,

W S (4.2)

onde a tenso superficial e da pelcula e S pequeno incremento da rea

aps a expanso em relao a rea inicial. Temos que presso

F

p F p SS

(4.3)

onde S a rea considerada, ento reescrevendo a equao (3.1), temos.

W p S u , (4.4)

observe que

( ) ( )S x x y y x y , (4.5)

estudando geometricamente esse problema podemos observar que os tringulos

1O AB e 1O AB so semelhantes, assim:

1 1

x x x

r r u

(4.6)

29

analogamente para y . Da temos as expresses

1

1u

x x xr

(4.7)

2

1u

y y yr

, (4.8)

substituindo as expresses (3.7) e (3.8) em (3.5) obtemos

S x x y y xy

u ux y xy

r r

1 2

( ) ( )

1 1

2

1 2 1 2

1 1 ( )uS xy u xy

r r r r

, (4.9)

como u suficiente pequeno ento

1 2

1 1S xy u

r r

, (4.10)

relacionando (3.10) com (3.2) e (3.4) segue que

W S

p S u xy ur r

p x y u x y ur r

1 2

1 2

1 1

1 1

1 2

1 1p

r r

. (4.11)

Percebe-se que uma diferena de presso em ambos os lados de uma bolha

ou pelcula dado pelo produto da tenso superficial da bolha ou pelcula e da

quantidade que est claramente relacionada com a forma da bolha ou pelcula. Na

verdade, note que a nica exigncia (implicitamente) inserida no nosso pedao

infinitesimal de rea era que as curvas se encontram em ngulos retos. As

30

quantidades 1

1

r e

2

1

r so as curvaturas normais da superfcie nessas direes

perpendiculares (Assim ).

A curvatura Mdia de uma superfcie regular dado por 1 21

2H k k ,

sendo 1k e 2k as curvaturas normais mnima e mxima da superfcie, para o pedao

infinitesimal considerado anteriormente, temos que 1

1

1k

r e 2

2

1k

r , segue que

1 2

1 1 1

2H

r r

a seguir

1 2

1 12H

r r

2p H . (4.12)

Podemos verificar que em uma superfcie mnima em todos os seus pontos

0H , ento consequentemente a presso em toda superfcie de uma pelcula de

sabo igual a zero.

Nota-se que para uma bolha de sabo perfeitamente esfrica temos que

1 2

1 1 1

r r r , temos que

1H

r , da temos que a presso numa bolha expressa por

1

2pr

, (4.13)

pela equao (3.13) observamos que para duas bolhas esfericas de raios 1r e 2r ,

com 1 2r r , temos que

1 2

1 1

r r ,

multiplicando ambos os lados pela constante positiva 2 , segue que

1 2

1 12 2

r r

ento

1 2p p .

31

Note que quanto menor a bolha maior ser sua presso, portanto quando

uma bolha pequena encontra uma grande, a superfe da menor curva-se para dentro

da maior.

FIGURA 6: Bolas de sabo de diferentes tamanhos

Agora voltando ao caso de uma superfcie que possui curvatura mdia

constante 1

r, segue que tomando r suficiente grande para essa superfcie teremos

que 0H , essa superfcie tomaria a forma de um plano, que a superfcie mnima

mais trivial que temos, com isso a presso em ambos os lados da superfcie da

pelcula gual a zero.

4.4. LEIS DE PLATEAU

LEI 1: Quando uma pelcula de sabo se apoia numa superfcie, a pelcula de sabo

perpendicular superfcie.

FIGURA 7: Bolha de sabo perpendicular a uma superfcie

32

LEI 2: Quando pelculas de sabo se encontram, elas o fazem de trs em trs ao

longo de uma linha singular, formando um ngulo de 120.

FIGURA 8: bolha dupla de mesmo tamanho

FIGURA 9: ngulo entre as pelculas de sabo

LEI 3: Quatro linhas, cada uma destas formadas pela interseo de trs pelculas,

encontram-se em um ponto e o ngulo entre um par de linhas adjacentes 109 28 .

FIGURA 10: ngulo entre o par de linhas adjacentes

A obteno desse resultado ser feito mais adiante.

33

CAPTULO 5

5. EXPERIMENTOS COM PELCULAS DE SABO

Neste captulo apresentamos dez experimentos com pelculas de sabo que

iro ilustrar o que foi discutido anteriormente, uma vez que os estudantes tiveram um

pequeno contato com a teoria das superfcies mnimas, tenso superficial e as Leis

de Plateau, os mesmos atravs da orientao do professor podero construir e

executar os experimentos descritos no trabalho, de forma que possam visualizar o

que foi estudado anteriormente, interessante aos alunos que antes de mergulhar

as estruturas de arame na soluo de gua e sabo, o professor deve aguar a

criatividade dos mesmos, questionando como iro se comportar as superfcies das

pelculas de sabo nas estruturas de arames.

1 Experimento: Comprovar que as pelculas de sabo formam superfcies mnimas

A tendncia das pelculas de sabo para formar, superfcies mnimas pode

ser visto claramente atravs da experincia que se segue:

Viramos um pedao de arame at o formato de um arco de circunferncia,

deixando uma abertura nos extremos que amarraremos um pedao de fio nas duas

extremidades (FIGURA 11). Mergulhando este dispositivo numa soluo de gua e

sabo ir observar que o fio puxado para dentro da ferradura, isto , o lquido em

cima do fio tem a tendncia de reduzir ao mximo a superfcie interna, portanto

temos uma pelcula de sabo que tem a menor rea.

FIGURA 11: pelcula de sabo diminuindo sua rea devido a tenso superficial

34

Se com os dedos, puxamos o fio aumentando a rea da pelcula de sabo e,

em seguida, soltar, o que observamos que automaticamente a pelcula de sabo

tende novamente a ocupar a rea mnima.

FIGURA 12: aumentando a rea da pelcula de sabo

2 Experimento: Obter a superfcie de maior rea limitado por um permetro fixo.

Fazendo um lao com um pedao de barbante, e em seguida, prende-se este

permetro a um anel de arame. Mergulhando e retirando o anel da soluo de gua e

sabo, obtm-se duas pelculas separadas pelo permetro do barbante (FIGURA

13).

FIGURA 13: Duas pelculas planas separadas pelo permetro do barbante

Rompendo a pelcula interna ao barbante, a pelcula de sabo externa

minimiza sua rea que por sua vez torna a rea dentro do permetro do barbante

torna-se mxima, note que a figura formada pelo barbante uma circunferncia

(FIGURA 14). Confirmando assim o Teorema da Desigualdade Isoperimtrica, onde

35

para toda curva fechada de comprimento engloba uma rea menor ou igual a 2

4

p

.

Alm disso, este valor s alcanado para o circulo de raio 2

p

.

FIGURA 14: Aps o rompimento da pelcula interna, o permetro do barbante torna-se uma circunferncia

3 Experimento: Obter o caminho mais curto ligando trs pontos no plano

euclidiano

Consideremos ento um plano que contm trs pontos no colineares.

FIGURA 15: Trs pontos coplanares

Antes de demonstrarmos o resultado geral para a obteno do menor

caminho que liga trs pontos no plano euclidiano, podemos mostrar alguns possveis

caminhos aos alunos e pedir para que escolham qual deles a soluo do

problema, vejamos alguns exemplos.

36

FIGURA 16: caminhos ligando trs pontos

Fica a pergunta, qual deles o menor caminho?

Para a mostrarmos o resultado geral do problema vamos lembrar algumas

propriedades da elipse.

Seja uma elipse de focos A e B (FIGURA 17) ento para qualquer ponto P

pertencente elipse, temos que

AP PB l (5.1)

em que l constante. Seja tambm uma reta TT tangente a alipse em P temos que

,TPA T PB

E seja a reta normal NN em P, temos

,APN BPN

ou

APN BPN . (5.2)

FIGURA 17: elipse com focos em A e B

Agora consideremos duas elipses cofocais, com focos em e e dois pontos

e , cada um pertencente a uma elipse (FIGURA 18).

37

FIGURA 18: elipses cofocais em A e B

Pela equao (5.1) temos que 1 1 1AP BP l e 2 2 2AP BP l , ento

considerando o tringulo 1 2PPB (FIGURA 18), pela desigualdade triangular temos

1 2 2 1PP p B PB , (5.3)

adicionando 1AP em ambos os lados, temos

1 1 2 2 1 1AP PP PB AP PB (5.4)

Isto ,

2 2 1 1AP PB AP PB (5.5)

o que nos d

2 1l l . (5.6)

Agora vamos considerar o problema de encontrar o caminho mnimo que liga

os trs pontos , e . Seja o ponto de interseo das linhas retas que unem ,

e (FIGURA 19), que representam o menor caminho que liga , e . O menor

caminho no pode consistir em linhas curvas, pois as mesmas podem ser

substitudas por retas de menor comprimento. possvel que possa coincidir com

um dos vrtices do tringulo . Se caso acontea isso, deve coincidir com o

vrtice do ngulo maior, por exemplo, , pois seria o menor caminho, em

relao a soma de qualquer outro par dos lados do tringulo.

Estudaremos agora o caso em que no coincide com um dos vrtices, e

depois faremos uma comparao analtica entre os dois resultados.

38

FIGURA 19: Os trs pontos , e so ligados para o ponto para dar o percurso total mnimo.

Primeiramente vamos considerar um crculo de centro e raio (FIGURA

20) e tambm que e esto fora do crculo. Seja um ponto qualquer do plano e

assumindo um ponto que minimiza . Assim, qualquer ponto da

circunferncia, no circulo de raio , como (FIGURA 20) deve satisfazer

AP BP CP AP BP CP (5.7)

FIGURA 20: encontra-se no crculo de raio .

FIGURA 21: est dentro do raio do crculo .

Como , so ambos os comprimentos do raio do crculo,

AP BP AP BP , (5.8)

39

assim ter o menor valor possvel quando o menor caminho for escolhido,

note que a partir de (5.7) o ponto nico.

Ento considerando um conjunto de elipses com focos em e que cruzam

o crculo de centro (Figura 22).

FIGURA 22: elipses cofocais com focos em A e B intersectando o crculo de centro C

A elipse que tangencia o crculo ter o menor valor da constante .

Qualquer elipse que cruza o crculo em dois diferentes pontos ter um valor maior

dessa constante, equao (5.5). Portanto deve coincidir com o ponto em que a

elipse tangencia o crculo. Por esta elipse, a partir de (5.2),

,APC BPC (5.9)

pois normal tangente em .

Analogamente usando o mesmo argumento para o crculo de centro em e

raio temos

APB APC (5.10)

A partir de (5.9) e (5.10)

APC APB BPC . (5.11)

Como estes ngulos devem somar 360 ento so todos iguais a 120.

Os resultados obtidos anteriormente tm considerado que e esto fora do

centro do crculo em para o caso em que no coincide com um vrtice. Se pelo

menos um dos pontos, digamos A, estiver dentro ou sobre o centro do crculo C, em

seguida, a partir da FIGURA 21,

AP BP AB (5.12)

temos tambm que

CP AC (5.13)

40

pois o raio do crculo e o ponto se encontra no interior do crculo. Adicionando

(5.12) e (5.13),

AP BP CP AB AC , (5.14)

isto implica que o caminho mais curto sero obtidos se

coincide com . O que contraria nossa hiptese de que P no coincide

com um vrtice. Analogamente esta concluso tambm aplicvel quando ambos A

e B so considerados dentro do crculo. Ento, ou , ou ambos, no pode estar

dentro do crculo. Consequentemente ambos esto fora do crculo. Estas concluses

tambm se aplicam a crculos com centros e .

No entanto h dois pontos a esclarecer. Um deles : o argumento da elipse

encolhido acima s funciona se no est sobre o segmento , para que seja,

ento as elipses encolhidas para o segmento de linha teriam ngulo nulo. Para evitar

isso, vamos supor que o ponto est no segmento de linha e vamos considerar o

segmento , ele deve encontrar a 90 para fazer o menor

caminho (FIGURA 23).

FIGURA 23: Ponto P sobre o segmento AB

Ento, vamos fazer a discusso com elipses com focos e tangente ao

crculo com centro em . A linha tangente em encontra a 90, mas o mesmo

acontece com (FIGURA 24).

41

FIGURA 24: elpse com focos em B e C intersectando a circunferncia de centro A

Assim, eles so o mesmo segmento. Isso impossvel, j que o segmento

do foco e a tangente nunca vai para dentro das cnicas. Portanto esta contradio

diz que no pode ficar entre dois vrtices do tringulo. Finalmente para concluir

nossa demonstrao falta mostrar que ser efetivamente menor aqui

do que se coincidisse com um dos vrtices, uma vez que demonstramos apenas

que fornece um mnimo se o menor caminho total no for alcanado em um dos

vrtices. Agora de modo correspondente devemos mostrar que

menor que a soma de dois lados quaisquer, ou, por exemplo, menor do que

. Faremos isso prolongando os segmentos e (FIGURA 25) e a partir da

projetar o ponto em cada prolongamento, obtendo os pontos e ,

respectivamente. Sendo 60APD o comprimento da projeo

(5.15)

como projeo de ento . Se

(5.16)

ento

(5.17)

Analogamente para a projeo de no prolongamento , temos que

(5.18)

adicionando as equaes (16) e (17), obtemos a desigualdade

(5.19)

portanto efetivamente o ponto no qual mnimo.

42

FIGURA 25: projeo do ponto sobre o prolongamento dos segmentos e

Caso os trs pontos considerados estejam no vrtice de um tringulo onde

um dos ngulos maior que 120, ento o ponto coincide com esse vrtice.

O problema que acabamos de resolver analiticamente tambm pode ser

solucionado com o auxilio das superfcies de sabo. Considere um dispositivo

formado por duas placas de vidro paralelas fixadas por trs pinos, ao retirarmos o

dispositivo da soluo de gua com sabo a pelcula de sabo que ser formada

ter superfcie mnima, o que equivale no plano bidimensional a soluo do

problema.

FIGURA 26: dispositivo com trs pinos nos vrtices de um tringulo

43

FIGURA 27: mergulhando o dispositivo em gua e sabo

FIGURA 28: Situao de equilbrio da pelcula aps a retirada do dispositivo da soluo de gua e sabo

44

FIGURA 29: ngulos de 120 entre os planos retangulares

4 Experimento: Obter o caminho mais curto ligando quatro vertices de um

quadrado no plano euclidiano.

Qual seria o menor caminho que liga os quatro vrtices de um quadrado no

plano euclidiano?

FIGURA 30: quadrado ABCD no plano euclidiano

Vejamos algumas possveis configuraes de caminhos ligando os quatros

vrtices do quadrado.

45

FIGURA 31: seis possveis projetos de malha viria ligando as cidades A, B, C e D

A FIGURA 31 nos mostra seis projetos de caminhos ligando os quatros

vrtices de um quadrado, no projeto (1) temos um caminho total igual a

4 2 2 6,83, na opo (2), por exemplo, conseguimos reduzir o comprimento da

malha para 2 (0,5 2) 4,44 . Essa opo pode ainda ser melhorada, como mostra o

caminho na opo (3), onde o comprimento total se reduz para 4 unidades. O projeto

(4) continua garantindo a ligao entre as quatro cidades e reduz o comprimento

total da malha para 3 unidades. O projeto (5) no reduz o comprimento da malha em

relao ao anterior, mas melhora sua eficincia.

Dos seis projetos apresentados, (6) o caminho mais curto (2 2 2,83 ),

contudo ele no constitui a soluo do problema apresentado inicialmente, como

veremos a seguir.

Antes de obtermos a soluo geral para esse problema vamos considerar o

seguinte teorema.

Se e so dois pontos de um lado da reta s, e um ponto de s tal que a

soma seja mnima, ento os ngulos formados entre e s, e e s so

congruentes.

Demonstrao

Inicialmente marcamos o ponto , resultado da reflexo de sobre s, conforme

mostra a figura.

46

FIGURA 32: menor distncia entre e passando pela reta

Sendo um ponto que se desloca sobre s, todos os possveis tringulos

sero issceles onde , da que igual a . Ento segue

que o mnimo valor possvel para ocorrer quando os pontos , e

estiverem alinhados, ou seja, quando o ponto mvel coincidir com o ponto ,

garantindo assim que os ngulos formados entre e s, e e s sejam

congruentes.

Primeiramente vamos supor que o ponto esteja sobre o segmento , da

temos o seguinte caminho que liga esses pontos.

FIGURA 33: caminho ligando os pontos e quando est sobre o segmento

Temos que e , somando as duas desigualdades temos

que , logo , estando

sobre o lado , no fornece o caminho mnimo procurado, o mesmo acontece se

estiver em qualquer outro lado do quadrado.

47

Agora considere os pontos e , vrtices de um quadrado e o eixo de

simetria horizontal do quadrado, pelo teorema anterior, temos que o ponto nos

fornece o menor caminho para ir de at tocando a reta . Analogamente temos

o mesmo resultado para os pontos e .

FIGURA 34: caminho ligando os pontos e quando est sobre a reta

Agora considerando o tringulo , e considerando o resultado obtido para a

menor distncia que une trs pontos temos que existe um ponto , tal que

, para o tringulo analogamente temos que

, e tambm que 120AXB BXT AXT e 120CYD CYT DYT .

FIGURA 35: menor caminho ligando os pontos e

Agora supondo (FIGURA 35) teremos 30 e 30 implicando

60 e 30 e tambm 30 , implicando em 60 , o que caracteriza uma

contradio, pois a soma dos angulos internos do quadriltero deve ser 360.

48

Analogamente no poderemos ter , portanto . Da mesma forma

teremos que , como a reta o eixo de simetria horizontal do quadrado

temos que .

FIGURA 36: menor caminho ligando os pontos e

Este experimento trata-se de uma restrio do menor caminho entre quatro

pontos, pra uma demonstrao mais geral pode-se consultar textos referentes ao

problema de Steiner, uma leitura complementar pode ser encontrada no livro do

COURANT (1973).

O problema que acabamos de resolver matematicamente pode tambm ser

solucionado com auxlio de uma experincia com bolhas de sabo.

49

FIGURA 37: dispositivo com quatro pinos nos vrtices de um quadrado

FIGURA 38: superfcie de sabo buscando equilbrio

50

FIGURA 39: Bolha em equilbrio

5 Experimento: Obter a superfcie de menor rea limitada por duas circunferencias

de mesmo dimetro, coaxiais e paralelas.

Quando colocamos os aneis numa soluo de sabo e retiramos d modo que

os aneis fiquem paralelos e coaxiais. O que acontece? A superfcie tem um formato

cilindrico? Na verdade a superfcie formada trata-se da catenide que a superfcie

de revoluo gerada pela catenria.

FIGURA 40: catenide em filme de sabo

Catenide em 3

Superfcie obtida pela revoluo da catenria em torno do eixo Ox. Sua

parametrizao em 3 pode ser dada por:

( , ) ( ,cosh( )cos( ),cosh( )sen( ))X u v u u v u v

51

Derivadas de ordem Superior

(1,senh( )cos( ),senh( )sin( ))uX u v u v

(0, cosh( )sen( ),cosh( )cos( ))vX u v u v

(0,cosh( )cos( ),cosh( )sen( )uuX u v u v

(0, cosh( )cos( ), cosh( )sen( ))vvX u v u v

(0, senh( )sen( ),senh( )cos( ))uvX u v u v

Primeira Forma Fundamental

u u

u v

v v

q

q

E X X u v u v u

E u

F X X u v u v u v u v

F

G X X u v u v

G u

I w a E ab F b G

I w

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2

, 1 senh ( )cos ( ) senh ( )sen ( ) 1 senh ( )

cosh ( )

, senh( )cos( )cosh( )sen( ) senh( )sen( )cosh( )cos( )

0

, cosh ( )sen ( ) cosh ( )cos ( )

cosh ( )

( ) 2

( )

q

a u ab b u

I w a b u

2 2 2 2

2 2 2

cosh ( ) 2 0 cosh ( )

( ) ( ) cosh ( )

Segunda Forma Fundamental

u v

u v

uu

uv

vv

X XN

X X

u v vN

u u u

u v u ve X N

u u

e

u v v u v vf X N

u u

f

ug X N

2 2

senh( ) cos( ) sen( ), ,

cosh( ) cosh( ) cosh( )

cosh( )cos ( ) cosh( )sen ( ),

cosh( ) cosh( )

1

senh( )sen( )cos( ) senh( )cos( )sen( ),

cosh( ) cosh( )

0

cosh( )c,

v u v

u u

g

2 2os ( ) cosh( )sen ( )

cosh( ) cosh( )

1

q

q

q

II w a e ab f b g

II w a ab b

II w b a

2 2

2 2

2 2

( ) 2

( ) ( 1) 2 0 1

( )

52

Curvaturas

Curvatura Gaussiana

eg fK

EG F u

Ku

2

2 4

4

1 1

cosh ( )

1

cosh ( )

Curvatura Mdia

e G f F E gH

E G F

u uH

u u

H

2

2 2

2 2

1 2

2

1 ( 1) cosh ( ) 2 0 1 1 cosh ( )

2 cosh ( ) cosh ( ) 0

0

Curvatura Normal

2 2( )

2 2 2( ) ( )cosh ( )

qn

q

II b aK

I a b u

Curvaturas Principais

k Hk K

k ku

ku

k ku u

e

2

24

24

1 22 2

2 0

12 0 0

cosh ( )

1

cosh ( )

1 1

cosh ( ) cosh ( )

Como a curvatura mdia identicamente nula, a Catenide uma superfcie

mnima.

6 Experimento: Pegue um fio razoavelmente flexvel e enrole-a em torno de uma

lata para formar uma hlice. Deixe algum espao no final para uma ala, mergulhe a

hlice em uma soluo de sabo e depois retire. A superfcie formada uma

helicide.

53

FIGURA 41: helicide

Helicoide em 3

Considere uma hlice cilndrica dada por ( ) ( cos( ), sen( ), ),t a t a t bt t . Por

cada ponto da hlice pode-se traar uma reta paralela ao plano xy e que intersecta o

eixo Oz. A superfcie gerada por essas retas chamada helicide. uma superfcie

regrada obtida pela isometria do catenide, cuja parametrizao pode ser dada por:

( , ) ( cos( ), sen( ), )X u v v u v u u

Derivadas de ordem Superior

( sen( ), cos( ),1)uX v u v u

(cos( ),sen( ),0)vX u u

( cos( ), sen( ),0)uuX v u v u

(0,0,0)vvX

( sen( ),cos( ),0)uvX u u

Primeira Forma Fundamental

2 2 2 2

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

, 1 sen ( ) cos ( )

1

, sen( )cos( ) sen( )cos( )

0

, cos ( ) sen ( )

1

( ) 2

( ) (1 ) 2 0 1

( ) (1 )

u u

u v

v v

q

q

q

E X X v u v u

E v

F X X v u u v u u

F

G X X u u

G

I w a E ab F b G

I w a v ab b

I w a v b

54

Segunda Forma Fundamental

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

sen( ) cos( ), ,

1 1 1

cos( )sen( ) cos( )sen( ),

1 1

0

sen ( ) cos ( ),

1 1

1

1

, 0

u v

u v

uu

uv

vv

X XN

X X

u u vN

v v v

v u u v u ue X N

v v

e

u uf X N

v v

fv

g X N

2 2

2 2

2

2

( ) 2

1( ) 0 2 0

1

2( )

1

q

q

q

II w a e ab f b g

II w a ab bv

abII w

v

Curvaturas

Curvatura Gaussiana

2

2 2

2 2 2

2 2

4

10 0

1

(1 ) 1 0

1

(1 )

1

cosh ( )

eg f vK

EG F v

Kv

Ku

Curvatura Mdia

2

2

2

2

1 2

2

10 1 2 0 (1 ) 0

1 1

2 (1 ) 1 0

0

e G f F E gH

E G F

vv

Hv

H

55

Curvatura Normal

2( )

2 2 2 2 2 2 2 2( )

2

21

(1 ) ( ) 1

qn

q

ab

II abvK

I a v b a a v b v

Curvaturas Principais

2

2

4

2

4

1 22 2

2 0

12 0 0

cosh ( )

1

cosh ( )

1 1

cosh ( ) cosh ( )

k Hk K

k ku

ku

k ku u

e

Temos que a curvatura mdia identicamente nula em todos os pontos da

Helicide, portanto uma superfcie mnima.

7 Experimento: Obter a superfcie de menor rea limitada pelas arestas de um

tetraedro regular.

Construindo uma armao de arame de modo a formar um tetraedro e aps

mergulhar a armao em gua e detergente, obtm se qual superfcie? E quais

principios esto envolvidos no resultado obtido?

Retirando-se a armao da soluo de gua e sabo, obtm-se um sistema

formado por seis pelculas planas, na forma de tringulos issceles, que representa

a suprfcie de menor rea limitada pelo contorno (FIGURA 43). De cada vrtice

parte uma linha, formada pela interseco de trs pelculas, que se encontram no

centro do tetraedro. O ngulo entre duas linhas 10928, e o ngulo entre as

pelculas de 120.

56

FIGURA 42: A superfcie mnima formada por uma pelcula de sabo, tendo como bordo um tetraedro.

Note que pela segunda Lei de Plateau as superfcies de sabo se encontram

de trs em trs ao longo de uma linha singular, formando um ngulo de 120, sendo

assim tetraedro ficou dividido em quatro pequenas pirmides de volume V . Ento

seja V o volume do tetraedro, temos que

1

4V V

1 1 1

3 4 3b bA H A H

1

4H H .

Portanto cada linha de encontro entre trs pelculas tem comprimento 3

4H ,

sendo 6

3

aH , a a aresta do tetraedro, o ngulo entre as linhas e considerando

uma das pelculas que tem como lados umas das arestas do tetraedro, temos que:

2 2 2

2 2

2

2

2 2 cos

2 (1 cos )

cos 12

1cos ,

3

a

a

a

o que nos d 1

arccos 109,5 109 273

.

57

8 Experimento: Obter a superfcie de menor rea limitada pelas arestas de um cubo.

A superfcie mnima formada por imerso de uma moldura de arame no

formato cbico em uma soluo de gua e sabo mostrado na Figura 43. Ela

contm uma superfcie com um quadrado no centro. O quadrado tem quatro

lados curvos formados pelas linhas da pelcula de sabo que surgem da interseo

de trs superfcies. As laterais curvas do quadrado se cruzam em 10928', como

previsto pelos resultados de Plateau. H tambm duas outras linhas das pelculas

que se encontram uma em cada canto do quadrado com os ngulos previstos

pelas leis de Plateau. A partir das bordas e canto do quadrado saem superfcies

que terminam sobre as doze arestas do cubo. Elas no so todas planas. As nicas

superfcies planas so aquelas a partir dos vrtices do quadrado para as bordas da

estrutura que so perpendiculares ao quadrado. O plano do quadrado

sempre paralelo a uma das faces do cubo. Isso pode ser feito para saltar de

um plano para outro por qualquer sopro nela ou por agitao do quadro. L

so, portanto, trs superfcies mnimas com a mesma rea. Ao romper diferentes

partes da superfcie mnima pode-se obter o subconjunto de superfcies mnimas

associados com um nmero de arestas do cubo. Este nmero menor ou igual, a

doze.

FIGURA 43: A superfcie de sabo formada pelas doze arestas de um cubo

58

9 Experimento: Mostrar que para certos contornos existe mais do que uma

Superfcie Mnima.

As superfcies mnimas se chamam assim porque minimizam a superfcie para

um determinado volume dado. As superfcies mnimas do Espao Euclidiano

Tridimensional se caracterizam pelo fato de que, localmente, as funes que elas

representam podem apresentar um mnimo ou minimos, entre as quais pode haver

um mnimo relativo, no necessariamente absoluto, como se observa na superfcie

que se forma ao introduzir o arame das figuras abaixo na soluo de gua e sabo.

Nas fotografias abaixo a superfcie, que formada atravs da introduo do fio na

soluo de gua e sabo uma superfcie mnima (mnimo relativo), por isso no

mnima absoluta.

FIGURA 44: pelcula de sabo forma um mnimo relativo

A rea mnima obtida quando juntamos as duas extremidades superiores

dos arames curvados e rompemos a pelcula formada sobre os arcos paralelos,

como pode ser visto nas seguintes fotografas.

FIGURA 45: pelcula de sabo forma mnimo absoluto

59

10 Experimento: Obtendo a superfcie de Scherk.

Se introduzirmos em gua com sabo a estrutura de um cubo que est

ausente duas arestas paralelas, de uma mesma face e outras duas arestas,

perpendiculares as anteriores, da face paralela a anterior obtemos a superfcie

Scherck, cuja forma se assemelha uma sela de cavalo, como visto na figura.

FIGURA 46: pelcula de sabo formando a superfcie de Scherk

A superfcie de Scherk o grfico da funo cos

( , ) lncos

yf x y

x

Sendo

tg ,xf

f xx

, 2

2

2 sec , xx

ff x

x

tgyf

f xy

0xyf fx y

e

22

2secyy

ff x

y

,

pela equao de Euler-Lagrange temos

2 2(1 ) (1 ) 2x yy y xx x y xyf f f f f f f

2 2 2 21 tg sec 1 tg sec 2 tg tg 0 0x x x x x x ,

portanto superfcie de Scherk uma Superfcie Mnima.

60

BOLHAS DE SABO

FIGURA 47: fonte: http://static.freepik.com/fotos-gratis/bolha-de-sabao_21247574.jpg

A cincia explica que uma bolha de sabo uma poro de ar cercada por

uma pelcula de gua e um elemento tensoativo (sabo ou detergente). O volume de

uma bolha de sabo est determinado pela quantidade de ar cerrado em seu

interior. De todas as superfcies que abraam essa determinada quantidade de ar

em seu interior a de menor superfcie a esfera.

Se compararmos alguns slidos geomtricos que tenham o mesmo volume,

por exemplo, um cubo, um cilindro, um cone, uma pirmide e uma esfera, veremos

que a de menor superfcie a esfera. Esta forma esfrica propiciada pela tenso

superficial que faz com que a bolha de sabo tente ocupar a menor superfcie, da

as bolhas tenham a menor superfcie exterior com o maior volume interior de ar.

Suponhamos que temos uma pirmide de base quadrada, um cone, uma

esfera, um cilindro e um cubo, todos com volume de 1000 cm3 e com altura 10 cm.

Salvo a esfera cujo dimetro fixo para esse volume. Vamos calcular a rea dessas

superfcies e verificar que a de menor superfcie a esfera.

Pirmide

FIGURA 48: pirmide de volume 1000 cm3

21 10 300 17,323

V x x cm

61

2 210 8,66 13,22h cm

Portanto

2 2 217,32 13,224 17,32 4 757,922 2

pirmide

x hA x cm

.

Cone

FIGURA 49: cone de volume 1000 cm3

21 300 9,773

V r h r cm

2 2 2

2

2 2

10 100 9,77 13,98

9,77 9,77 13,98 728,96

cone

cone

g r

A r rg

A cm

.

Cilindro

FIGURA 50: cilindro de volume 1000 cm3

2

2

2 2

1001000 5,64

2 2 10

2 5,64 2 5,64 10 554,23

cilindro

cilindro

V r h r cm

A r r

A cm

.

62

Cubo

3 3

2 2 2

1000 1000 10

6 6 10 600cubo

V x x cm

A x cm

.

Esfera

3 3

2 2 2

4 30001000 6,20

3 4

4 4 6,20 483,05esfera

V r r cm

A r r cm

.

63

CONSIDERAES FINAIS

Esse trabalho utiliza uma metodologia simples com recursos didticos de fcil

acesso, que pode se executado em sala de aula, ou caso a escola possua, no

laboratrio multidisciplinar.

O trabalho props um tema que pde ser trabalhado com os alunos na forma

atividades experimentais ligadas matemtica que tornam as aulas mais atrativas e

participativas, de forma que o aluno constri seu prprio conhecimento a partir da

observao dos fenmenos e da modelagem matemtica.

O estudo das propriedades geomtricas presente nas bolhas e pelculas de

sabo, partindo de atividades experimentais, contribuiu consideravelmente para o

aprendizado dos alunos, atravs de construes de modelos concretos e

descobertas.

Algumas dificuldades foram verificadas durante a realizao das atividades,

principalmente nas demonstraes analticas, pois os alunos no esto

acostumados com esse tipo de leitura e desenvolvimento lgico.

Faz-se necessrio antes da realizao dessa atividade, trabalhar com os

alunos algumas demonstraes em geometria, a forma do desencadeamento lgico

das demonstraes, para que os mesmos se ambientem com a linguagem e as

ideias.

Aps a execuo total do projeto, foi feita uma entrevista informal com a

turma, de modo a sondar o aprendizado em relao ao tema abordado. Alguns

alunos relataram que "estudar matemtica com bolhas de sabo mais legal, pois,

dessa forma, h um significado no aprendizado da matemtica", outro comentou que

atividades como essa ajudam a compreender mais o estudo da geometria com

auxilio de materiais que nem se quer pensava que pudessem ser usados. Isso

refora a ideia que trazer a matemtica do cotidiano, faz com que a matemtica da

sala de aula faa sentido.

Com um pouco de esforo ns professores podemos tornar assuntos que so

relativamente complexos em brincadeiras de aprendizado, aproximando cada vez

mais os alunos dessa disciplina que para tantos ainda um desafio entend-la.

64

REFERENCIAS

[1] BOYS, C.V. Soap Bubbles, their colors and forces which mold them, Dover

1959.

[2] COURANT, R. and Robbins, H. What is Mathematics?, pp. 329-361 and 385-

397. Oxford, 1973

[3] LOVETT, D. Demonstrating science with soap films, IOP, Bristol, 1994

[4] DO CARMO, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e Superfcies (Coleo:

Textos Universitrios), Sociedade Brasileira de Matemtica SBM, Rio de

Janeiro, 2005.

[5] DO CARMO, M. P. Superfcies Mnimas. 2. edio. Rio de Janeiro: Impa,

2005, 122 p.

[6] DOUGLAS, J. Solution of the Problem of Plateau. Transactions of the

American Mathematical society, v. 33, n. 1, p. 263321, 1931

[7] EMMER, M. Architecture and Mathematics: Soap Bubbles and Soaps

Films. p. 53-65 in Nexus: Architecture and Mathematics, ed. Kim Williams,

Fucecchio Florence: Edizioni dell Erba, 1996.

[8] GRANJA, C. E. Atividades Experimentais de Matemtica nos anos finais

do Ensino Fundamental. Editora SM. So Paulo, 2012

[9] IEZZI, G., Dolce O., Degenszajn D., Prigo R., Almeida N. Matemtica Cincia

e Aplicaes. Volume 2. 4a Edio. Editora Atual. So Paulo, 2006.

[10] ISENBERG, C. The Science of Soaps Films and Soap Bubles. New York:

Dover Publications, 1992

65

[11] KAWANO, C. A Bolha de Sabo em Nmeros. Revista Galileu. Edio 187.

Editora Globo. So Paulo. Fevereiro de 2007.

[12] OPREA, J. The Mathematics of soap films: Explorations with Maple, AMS,

Student Mathematical Library Vol. 10, 2000.

[13] POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do mtodo

matemtico. Traduo e adaptao: Heitor Lisboa de Arajo. Rio de Janeiro:

Intercincia, 2006.

[14] TENEBLAT, K. Introduo Geometria Diferencial. 2 Edio,

Editora Edgard Blucher, 2008.

66

ANEXOS

ANEXO A Imagens dos alunos na execuo da metodologia.

Imagem 1

Imagem 2

Imagem 3

67

Imagem 4

Imagem 5

Imagem 6