exercícios resolvidos recomendados para consolidação do...

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Exercícios resolvidos recomendados para consolidação do estudo:

1. Um automóvel está percorrendo uma estrada retilínea de 460 km. Os primeiros 100 km

são realizados em 1 hora. Logo após, o automóvel para por 60 min. Os últimos 360 km

são feitos com uma velocidade constante de 120 km/h. Pede-se:

a) A velocidade média em todos os trechos

b) O tempo gasto em todo percurso

c) A velocidade média de todo percurso

d) O gráfico da posição em função do tempo

2. Analise os gráficos e calcule os coeficientes angulares identificando-os como

velocidade ou aceleração.

a)

0

100

200

300

400

500

600

700

0 10 20 30 40 50

Posição de uma partícula em função do tempo

Posi

ção (

m)

tempo (s)

tempo (s)

2

b)

3 - A posição de uma partícula que se move sobre o eixo x é dada, no SI, por:

( )

a) Sua velocidade em t = 3,5 s é:

b) Sua velocidade é constante ou variável no tempo? Justifique sua resposta.

Exercício retirado do livro, HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 6a. edição, 2008 .v.1. (Adaptado).


( )

Suas funções da velocidade e da aceleração no tempo, são, respectivamente:


0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6

Velocidade de uma partícula em função do tempo

Vel

oci

dad

e (m

/s)

tempo (s)

tempo (s)

3


( )

a) Sua velocidade em t = 1 s é:

b) O sentido do eixo x em que a partícula está se deslocando é: (positivo ou

negativo). Justifique sua resposta.

c) O módulo de sua velocidade em t = 1 s é:



( )

a) Sua velocidade média durante o intervalo de t = 2,00 s e t = 3,00 s é:

b) As velocidades instantâneas em t = 2,00 s e t = 3,00 s são, respectivamente:

c) Sua velocidade instantânea em t = 2,50 s é:

d) A velocidade instantânea quando a partícula estiver no meio do caminho entre

suas posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s é:

Exercício retirado do livro, HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 6a. edição, 2008 .v.1. (Adaptado). 7 - (UFC) Uma partícula desloca-se sobre uma reta na direção x. No instante tA = 1,0 s, a partícula encontra-se na posição A e no instante tB = 6,0 s encontra-se na posição B, como indicadas na figura a seguir.

Determine a velocidade média da partícula no intervalo de tempo entre os instantes tA e tB. 8 - (FGV-SP) Uma equipe de reportagem parte em um carro em direção a Santos, para cobrir o evento "Música Boa Só na Praia". Partindo da cidade de São Paulo, o veículo deslocou-se com uma velocidade constante de 54 km/h, durante 1 hora. Parou em um mirante, por 30 minutos, para gravar imagens

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da serra e do movimento de automóveis. A seguir, continuaram a viagem para o local do evento, com o veículo deslocando-se a uma velocidade constante de 36 km/h durante mais 30 minutos. A velocidade escalar média durante todo o percurso foi, em m/s, de:

a) 10 m/s.

b) 12 m/s.

c) 25 m/s.

d) 36 m/s.

e) 42 m/s.

9 - (CTPS) Após uma chuva torrencial as águas da chuva desceram o rio A até o rio B, percorrendo cerca de 1.000 km. Sendo de 4 km/h a velocidade média das águas, o percurso mencionado será cumprido pelas águas da chuva em aproximadamente:

a) 20 dias.

b) 10 dias.

c) 28 dias.

d) 12 dias.

e) 4 dias.

10 - (UNESP-SP) Ao passar pelo marco “km 200” de uma rodovia, um motorista vê um anuncio com a inscrição: ABASTECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”.

Considerando que esse posto de serviço se encontra junto ao marco “km 245” dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velocidade média, em km/h, de:

a) 80

b) 90

c) 100

d) 110

e) 120

11 - (UNESP-SP) No primeiro trecho de uma viagem, um carro percorre uma distância de 500m, com velocidade escalar média de 90km/h. O trecho seguinte, de 100m, foi percorrido com velocidade escalar média de 72km/h. A sua velocidade escalar média no percurso total foi, em m/s, de:

a) 20

b) 22

c) 24

d) 25

e) 30

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12 - (UNESP-SP) O motorista de um automóvel deseja percorrer 40km com velocidade média de 80km/h. Nos primeiros 15 minutos, ele manteve a velocidade média de 40km/h.Para cumprir seu objetivo, ele deve fazer o restante do percurso com velocidade média, em km/h, de:

a) 160 b) 150 c) 120 d) 100 e) 90

13 - (UFRJ) Nas Olimpíadas de 2004, em Atenas, o maratonista brasileiro Vanderlei Cordeiro de Lima liderava a prova quando foi interceptado por um fanático.

A gravação cronometrada do episódio indica que ele perdeu 20 segundos desde o instante em que foi interceptado até o momento em que retomou o curso normal da prova. Suponha que, na ocasião do incidente, Vanderlei corresse a 5,0 m/s e que, sem ser interrompido, mantivesse constante sua velocidade. Calcule a distância que nosso atleta teria percorrido durante o tempo perdido. 14 - (UFFRJ) Inaugurada em 1974, a Ponte Presidente Costa e Silva, mais conhecida como Ponte Rio-Niterói, foi projetada para receber pouco mais de 50 mil veículos por dia.

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Hoje, recebe cerca de 120 mil, de modo que na hora de maior movimento, sempre ocorre grande congestionamento. Considere que um estudante do Rio, vindo para a UFF, percorra os primeiros 7 km da ponte com uma velocidade constante de 70 km/h e gaste 20 minutos para atravessar os 6 km restantes. Supondo que na volta ele gaste 10 minutos para atravessar toda a ponte, é correto afirmar que a velocidade média na vinda e a velocidade média na volta são, em km/h, respectivamente, iguais a:

a) 30 e 78

b) 44 e 78

c) 30 e 130

d) 44 e 130

e) 88 e 78

15 - (UNIRIO) Caçador nato, o guepardo é uma espécie de mamífero que reforça a tese de que os animais predadores estão entre os bichos mais velozes da natureza.

Afinal, a velocidade é essencial para os que caçam outras espécies em busca de alimentação. O guepardo é capaz de, saindo do repouso e correndo em linha reta, chegar à velocidade de 72km/h em apenas 2,0 segundos. Determine a aceleração escalar média deste mamífero.

16 - (FMTM-MG) Um cientista, estudando a aceleração média de três diferentes carros, obteve os seguintes resultados:

I. O carro I variou sua velocidade de v para 2v em um intervalo de tempo igual a t;

II. O carro II variou sua velocidade de v para 3v em um intervalo de tempo igual a 2t;

III. O carro III variou sua velocidade de v para 5v em um intervalo de tempo igual a 5t.

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Sendo, respectivamente, a1, a2 e a3 as acelerações dos carros I, II e III, pode-se afirmar que:

a) a1=a2=a3

b) a1>a2>a3

c) a1<a2<a3

d) a1=a2>a3

e) a1=a2<a3

17 - (FGV-SP) Um trem desloca-se com velocidade de 72 km/h, quando o maquinista vê um obstáculo a sua frente. Aciona os freios e para em 4s. A aceleração média imprimida ao trem pelos freios foi, em módulo, igual a:

a) 18 m/s2

b) 10 m/s2

c) 5 m/s2

d) 4 m/s2

e) zero

18 - (PUC-SP) Qual o tempo necessário para que um corpo que acelera a 2 m/s2, partindo do repouso, atinja a velocidade de 108 km/h?

19- (PUC-RS) Uma jogadora de tênis recebe uma bola com velocidade de 20,0m/s e a rebate na mesma direção e em sentido contrário com velocidade de 30,0m/s.

Se a bola permanecer 0,100s em contato com a raquete, o módulo da sua aceleração média será de:

a) 100m/s2

b) 200m/s2

c) 300m/s2

d) 500m/s2

8

e) 600m/s2

20 - (PUC-RJ-2008) Um objeto em movimento uniformemente variado tem sua velocidade inicial v0 = 0,0 m/s e sua velocidade final vf = 2,0 m/s, em um intervalo de tempo de 4s. A aceleração do objeto, em m/s2, é:

a) ¼

b) ½

c) 1

d) 2

e) 4

21- (UEPG-PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:

a) escalar b) algébrica c) linear d) vetorial e) n.d.a.

Respostas

Raciocínio da Resolução 1:

a) Nos primeiros 100 km, a velocidade é igual:

v1 = ΔS/ Δt = 100/1 = 100km/h

Nos últimos 360 km, a velocidade é 120 km/h

9

b) O tempo gasto nos últimos 360 km é Δt = ΔS/ v1 = 360/120 = 3 h

Logo o tempo gasto em todo percurso é 1 (primeiro trecho) + 1 (60 min parado = 1

h parado +3 = 5 h)

c) Considerando todo o percurso:

v1 = ΔS/ Δt = 460 / (1+1+3) = 460 /5 = 92 km/h

d)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 1 2 3 4 5

Posição em função do tempo

Posi

ção (

m)

tempo (s) tempo (s)

1

0


a)

Desenhe um triângulo entre 300 m e 100 m

Calcule o coeficiente angular desta reta: ΔS = 300-100 = 200 m

Δt = 30 – 0 = 30 s

v= ΔS/Δt = 200/30 = 6,67 m/s – velocidade

0

100

200

300

400

500

600

700

0 10 20 30 40 50

Posição de uma partícula em função do tempo

Posi

ção (

m)

tempo (s)

tempo (s)

1

1

b)

Desenhe um triangulo entre 80 m e 40 m

Calcule o coeficiente angular desta reta:

Δv = 40 – 80 = – 40 m/s

Δt = 4 – 2 = 2 s

a= Δv/Δt = -40/ 2 = 20 m/s2 – aceleração


Sabemos que a velocidade instantânea é dada pela derivada da função posição x(t) em relação ao tempo, ou seja:

( ) ( )

Então, temos que derivar a equação horária da posição da partícula em relação ao tempo:

( )

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6

Velocidade de uma partícula em função do tempo

Vel

oci

dad

e (m

/s)

tempo (s)

tempo (s)

1

2

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Sabemos que a derivada de uma constante é zero, Assim, a primeira derivada é:

( )

Sabemos que uma constante pode sair da derivada:

( )

( )

Usando a regra da derivada: ( )

, temos:

( )

( )

( )

Logo, a segunda derivada é:

( )

( )

A terceira derivada:

( )

( )

( )

Agrupando todas as derivadas, temos:

( ) ( )

( )

( ) .

1

3

a) Sua velocidade em t = 3,5 s é:

Então: ( )

b) A velocidade é variável no tempo.

Justificativa: Pela equação horária da velocidade: ( ) , vemos que a velocidade é uma função do tempo, ou seja, se o valor do tempo muda o valor da velocidade também se altera. Então, a velocidade é variável no tempo.


Sabemos que a função velocidade é dada pela derivada da função posição x(t) em relação ao tempo, ou seja:

( ) ( )


( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )


( )


( )

( )


, temos:

1

4

( )

( )


( )

( )


( ) ( )

( )

( ) .

Sabemos que a função aceleração é dada pela derivada segunda da função posição x(t) em relação ao tempo, ou seja:

( ) ( )

Também podemos obtê-la como a derivada da função velocidade em função do tempo:

( ) ( )

Como já calculamos v(t), podemos derivar a equação horária da velocidade da partícula em relação ao tempo:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )


( )

1

5


( )

( )


, temos:

( )

( )


( ) ( )

( )


Sabemos que a velocidade instantânea é dada pela derivada da função posição x(t) em relação ao tempo, ou seja:

( ) ( )


( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )


( )


1

6

( )

( )


, temos:

( )

( )


( )

( )

( )


( ) ( )

( )

( ) .

a) Sua velocidade em t = 1 s é:

Então: ( )

b) O sentido do eixo x em que a partícula está se deslocando é: (positivo ou

negativo). Justifique sua resposta.

O sentido da velocidade é negativo em relação ao eixo de deslocamento da partícula.

Como o valor da velocidade em t = 1 s é de – 8 m/s, o sinal negativo da velocidade indica que a partícula está se movendo em sentido contrário do seu eixo de deslocamento. Se pensarmos em termos de velocidade média, o conceito fica muito claro. Vamos ver?

( )

1

7

O tempo está sempre crescendo, uma vez que não conseguimos voltar ao passado,

então: ( ) é sempre positivo, pois o tempo final é sempre maior que o

tempo inicial.

Dessa forma, o sinal da velocidade média (e também da velocidade instantânea) é

dado pelo sinal de ( ).

Sabemos que a velocidade é negativa, então, ( ) ou seja, é negativo.

O que nos diz que ( ), isso é: que a posição final da partícula é menor que

sua posição inicial. Dessa forma, o deslocamento da partícula se dá no sentido contrário do eixo x. Veja um exemplo numérico.

Sentido da velocidade (- 8 m/s)

0 xf = 2 xi = 5 x(m)

( ) ( )

c) O módulo de sua velocidade em t = 1 s é:

O módulo de um vetor é seu valor independente do sinal, uma vez que o sinal está associado ao seu sentido, como vimos no item b. Assim, o módulo de v(t) = 8 m/s.


Sabemos que:

( )

( )

( )

A equação horária da posição da partícula em relação ao tempo:

( )

1

8

a) Sua velocidade média durante o intervalo de t = 2,00 s e t = 3,00 s é:

Para calcularmos a velocidade média entre os instantes t = 2,00 s e t = 3,00 s, temos que saber quais são os valores da posição da partícula em cada um desses tempos. Para isso, basta substituir o valor do tempo em x(t):

t = 2,00 s

( ) ( )

t = 3,00 s

( ) ( )

Cálculo da velocidade média:

( )

( ) ( )

b) As velocidades instantâneas em t = 2,00 s e t = 3,00 s são, respectivamente:

Para calcular a velocidade instantânea vamos usar: ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )


( )


( )

( )

1

9


, temos:

( )


( ) ( )

( )

( ) .

Para t = 2,00 s

( ) ( )

Para t = 3,00 s

( ) ( )

c) Sua velocidade instantânea em t = 2,50 s é:

Para t = 2,50 s

( ) ( )

d) A velocidade instantânea quando a partícula estiver no meio do caminho entre

suas posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s é:

Já calculamos a variação da posição da partícula entre os instantes t = 2,00 s e t = 3,00 s quando fizemos o cálculo da velocidade média.

( ) ( )

O meio do caminho entre esses dois intervalos de tempo é:

( )

2

0

Nós somamos a posição em t = 2,00, pois é a posição inicial da partícula. Então, a metade do caminho entre t = 2,00 s e t = 3,00 s, deve iniciar na posição t = 2,00 s e somarmos a metade do percurso total.

Uma ilustração:

0 xi xm xf x(m)

Tempo gasto para chegar a xi:

De t = 0,00 s a t = 2,00 s

0 xi xm xf x(m)

Tempo gasto para chegar a xf:

De t = 0,00 s a t = 3,00 s

0 xi xm xf x(m)

Tempo gasto para chegar a xm:

0 xi xm xf x(m)

Na verdade, isso é bastante intuitivo, pois a metade do caminho entre t = 2,00 s e t = 3,00 s deve ficar entre os valores de x(2,00 s) e x (3,00 s).

Para encontrarmos a velocidade instantânea nesse ponto, temos que achar o tempo referente a essa posição. Para isso, vamos substituir esse valor na equação de x(t).

2

1

( )

√

Com este tempo, vamos encontrar a velocidade instantânea do meio do percurso.

t = 2,60 s

( ) ( )

.


Vm =

( )

m/s


Como a resposta é pedida em m/s temos que fazer as devidas conversões de unidade. V = 54 km/h = 54/3,6 m/s = 15 m/s 1 h = 60 min x 60 s = 3600 s 30 min = 30 x 60 s = 1800 s V = 36 km/h = 36/3,6 m/s = 10 m/s Quando calculamos a velocidade média, só nos importa as posições iniciais e finais e os tempos iniciais e finais. Paradas, ir e voltar um determinado trecho, nada influenciará. Primeiro passo: encontrar as posições iniciais e finais. Posição inicial: vamos considerar que o veículo partiu de S0 = 0 m.

2

2

Agora, temos que calcular a distância percorrida no primeiro trecho da viagem. Sabemos que por um período de 3600 s, o veículo estava com uma velocidade média de 15 m/s. Nesse período, a distância percorrida foi de:

Segundo passo: o veículo ficou parado por 1800 s.

Terceiro passo: Sabemos que por um período de 1800 s, o veículo estava com uma velocidade média de 10 m/s. Nesse período, a distância percorrida foi de:

Quarto passo: Calcular a velocidade média de todo o percurso.

Estipulando t0 = 0 s. Calcular Sf: Sf = S0 + ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 = 0 + 54000 + 0 + 18000 = 72000 m. Calcular tf: tf = t0 + ∆t1 + ∆t2 + ∆t3 = 0 + 3600 + 1800 + 1800 = 7200 s. Calcular a velocidade média de todo o percurso:

s

Resposta a.


, então

. Substituindo os valores:

= 250 h.

2

3

As respostas estão em dias, então, temos que converter horas para dias: Sabemos que 1 dia tem 24 h. Logo, 250 h/24 h = 10,4 dias. Como a resposta é aproximada, temos que o percurso é percorrido em 10 dias.

Resposta b.


Sabemos que:

∆S = Sf – S0 S0 é a posição em que o motorista vê a placa, S0 = 200 km, Sf é a posição do restaurante, Sf = 245 km. ∆S = Sf – S0 = 245 – 200 = 45 km ∆t é um dado do problema. O restaurante está a 30 min. Temos que converter min para hora, pois a velocidade média é expressa em km/h. 1 h 60 min x h 30 min Resolvendo a regra de três, temos: 60x = 30, x = 30/60 = 0,5 h. Calculando a velocidade média:

Resposta b.


Como sabemos:

2

4

O problema nos dá as velocidades médias e as distâncias percorridas em dois trechos de uma trajetória, e nos pede a velocidade média total na trajetória completa. Para solucionarmos o problema, precisamos encontrar o tempo gasto em cada trecho. Trecho 1: Vm1 = 90 km/h e ∆S1 = 500 m Como a resposta é dada em m/s, temos que converter a velocidade. Vm1 = 90/3,6 = 25 m/s. Agora, podemos encontrar o tempo gasto nesse trecho.

Trecho 2: Vm2 = 72 km/h e ∆S2 = 100 m Convertendo a velocidade. Vm2 = 72/3,6 = 20 m/s. Agora, podemos encontrar o tempo gasto nesse trecho.

Calculando a velocidade média total:

=

Resposta c.


A velocidade média em todo percurso deve ser de 80 km/h, então, vamos calcular o tempo estimado pelo motorista para percorrer os 40 km.

Porém, durante os 15 min iniciais a velocidade média executada pelo veículo foi de 40 km/h. Para saber qual será a velocidade média durante o resto do percurso, temos que saber quanto o motorista já percorreu dos 40 km totais.

2

5

Como a velocidade do segundo trecho é pedida em km/h, temos que converter minutos para horas. 1h 60 min x h 15 min Resolvendo a regra de três: 60x = 15, então: x = 15/60 = 0,25 h. Agora, vamos calcular o deslocamento do veículo no intervalo de tempo ∆t1 = 0,25 h com a velocidade média de 40 km/h.

Falta percorrer 30 km (∆S2 = ∆St - ∆S1 = 40 – 10 = 30 km) no intervalo de tempo restante de 0,25 h (∆t2 = ∆tt - ∆t1 = 0,5 – 0,25 = 0,25 h). Com esses dados vamos calcular a velocidade média para o restante do percurso.

Resposta c.


Como sabemos,

a velocidade média apresentada pelo corredor foi

estipulada em 5,0 m/s e o intervalo de tempo em que ele poderia ter corrido se não fosse atropelado por um fanático, foi de 20 s. O problema pede que calculemos a distância que Vanderlei poderia ter percorrido, vamos calculá-la?


Primeiramente, vamos fazer as conversões de unidades necessárias: Tempo – converter de minuto para hora Intervalos de tempo gastos na ida:

2

6

∆t2 = 20 min = 20/60 min = 20/60 = 0,33 h (1h = 60 min). Intervalos de tempo gastos na volta: ∆t = 10 min = 10/60 min = 10/60 = 0,17 h Agora, vamos calcular a velocidade da volta, pois é mais fácil:

( )

Como usamos valores aproximados na conversão da unidade de tempo, podemos considerar, observando as respostas, que a velocidade média de volta é de 78 km/h. Vamos calcular a velocidade média da ida. Para isso, temos de calcular a distância percorrida e o intervalo de tempo para os dois trechos mencionados: Trecho 1: V1 = 70 km/h e ∆S1 = 7 km Cálculo de ∆t1:

Sabemos os valores de ∆S2 e da ∆t2, então, podemos calcular a velocidade média de ida, que será:

As velocidades de ida e volta são, respectivamente, 30 km/h e 78 km/h.

Resposta a.


Sabemos que a aceleração média é definida como:

2

7

Como a velocidade está expressa em km/h e o tempo em s, dois sistemas de unidades diferentes, vamos converter a velocidade para o SI, onde a unidade é m/s. V = 72 km/h = 72/3,6 m/s = 20 m/s. Agora, podemos calcular a aceleração média do guepardo.

.


Vamos calcular a aceleração dos três carros e compará-las.

Para o carro I: sua velocidade variou de v para 2v em um intervalo de tempo igual a t.

Para o carro II: sua velocidade variou de v para 3v em um intervalo de tempo igual a 2t.

Para o carro III: sua velocidade variou de v para 5v em um intervalo de tempo igual a 5t.

⁄

Comprando as acelerações, vemos que a1 = a2 > a3

Resposta e.


Sabemos que:

2

8

A velocidade inicial é de 72 km/h e o intervalo de tempo gasto até parar é de 4 s. Como as grandezas estão em sistemas de unidades diferentes, vamos converter a velocidade para m/s. Vi = 72 km/h = 72/3,6 m/s = 20 m/s. Vf = 0 m/s (o trem para). Calculando o módulo da aceleração:

Como o problema pede o módulo da aceleração, então am = 5 m/s2

Resposta c.


Sabemos que:

am = 2 m/s2, vf = 108 km/h e vi = 0 Vamos converter a velocidade final para m/s para podermos fazer os cálculos, uma vez, que as grandezas encontram-se em unidades de medida diferentes. Vf = 108 km/h = 108/3,6 m/s = 30 m/s Vi = 0 m/s Considerando que ti = 0 s, vamos encontrar o valor de tf, que é o objetivo do problema.

.

O tempo gasto para que o corpo atinja a velocidade de 108 km/h é de t = 15 s

2

9


A velocidade inicial com que a tenista recebe a bola é de vi = 20 m/s, quando ela rebate a bola o sentido da velocidade muda. Assim, o sinal da velocidade final terá o sinal contrário ao da velocidade inicial para representar essa mudança de sentido no movimento. Dessa forma, vf = - 30 m/s. Essa alteração na velocidade ocorre em um intervalo de tempo de 0,100 s. Vamos calcular a aceleração média?

Como o problema pede o módulo da aceleração média, ela será de 500 m/s2.

Resposta d.


V(3) = 12 m/s e V(9) = 0 m/s

⁄

Resposta b.


Como estamos informando o módulo, a direção e o sentido da velocidade da bola, estamos tratando-a como um vetor.

Resposta d.

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