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Exercício: coeficientes de Fourier generalizados em fun-ções hermitianas

Agora consideramos o espaço de Hilbert L2 ([−1, 1]) onde o produto interno seja ob-tido por

〈 f , g〉 =ˆ 1

−1f (x) g (x)dx (0.0.1)

Neste espaço temos duas bases ortonormais e neste exercício iremos calcular os coefi-cientes de Fourier generalizados por algumas funções nestas bases.

Como primeira base introduzimos as funções de Hermite, i.e.

ψn (x) =(2nn!√

π)− 1

2 e−x22 Hn (x) , (0.0.2)

onde os polinômios Hn (x) são os polinômios de Hermite. As funções de Hermiteconstituem uma base ortonormal, i.e. Eherm = {ψn (x)}.

A segunda base que utilizaremos é a base das funções trigonometricas que leva àserie Fourier clássica, i.e. Etrig = {ϕn (x)} onde

ϕn (x) = eiπnx. (0.0.3)

Portanto vamos a calcular os coeficientes de Fourier de uma função que pertencea L2 ([−1, 1]). Neste exemplo calculeremos os coeficientes de fourier generalizados dafunção gaussiana, i.e.

f (x) = ex22 . (0.0.4)

Coeficientes de Fourier na base das funções hermitianas

Dà teoria desenvolvida precedentemente sabemos que

f (x) =∞

∑n=0

〈 f (x) , ψn (x)〉ψn (x) , (0.0.5)

e portando chamando hn os coeficientes da função f no respeito dos elementos da baseEherm, podemos encontrar os coeficientes por cada n ∈N, i.e.

hn = 〈 f (x) , ψn (x)〉 = 1√2nn!√

π

ˆ 1

−1f (x) e−

x22 Hn (x) dx. (0.0.6)

Considerando que f (x) = ex22 então

hn =1√

2nn!√

π

ˆ 1

−1Hn (x) dx, (0.0.7)

onde os Hnsão os polinômios de Hermite, i.e.

H0 (x) = 1, (0.0.8)H1 (x) = 2x, (0.0.9)H2 (x) = 4x2 − 2, (0.0.10)

...... (0.0.11)

Hn+1 (x) = 2xHn (x)− 2nHn−1 (x) , (0.0.12)...

... (0.0.13)

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Se quisermos calcular portanto os primeiros coeficientes de Fourier generalizadospela base hermitiana podemos sustituir e obter as seguintes resultados:

h0 = 2π−14 (0.0.14)

h1 = 0 (0.0.15)

h2 = −√

86

π−14 (0.0.16)

h3 = 0 (0.0.17)...

... (0.0.18)

A analise dos coeficientes nos permite de notar que todos os coeficientes impares sãonulos. Isto porque a função analisada é uma função par e portanto não possue com-ponentes impares na decomposição. Afinal podemos escrever a função com a seguintesérie

f (x) = 2π−14 ψ0 −

√8

6π−

14 ψ2 + .... (0.0.19)

Coeficientes de Fourier na base trigonométrica

Se quisermos encontrar os coeficientes da mesma função mas na base Etrig podemosproceder como antes e considerar s coeficientes de Fourier

cn = 〈 f , ϕn〉 =ˆ 1

−1f (x) e−iπnxdx. (0.0.20)

Considerando que f (x) = ex22 então

cn =

ˆ 1

−1e

x22 (cos (πnx)− ı sin (πnx)) dx. (0.0.21)

Se considerarmos que sin (πnx) é uma função impar por qualquer n por enquantoa função f (x) é par, entaõ o integral reduz-se a

cn =

ˆ 1

−1e

x22 (cos (πnx)) dx. (0.0.22)