Exercícios DISCURSIVOS -2 Lentes e refração

1. (Ufpr 2013) Um estudante possui uma lente convergente cujos raios de curvatura de ambas as superfícies são iguais a 30 cm. Ele determinou experimentalmente a distância focal da lente no ar e obteve o valor de 10 cm. Com essas informações, é possível determinar o índice de refração da lente e assim saber de qual material ela foi feita. a) Com base nessas informações, calcule o índice de refração da lente. b) Se o estudante determinasse a distância focal com a lente imersa na água, ele obteria o

mesmo valor descrito no enunciado? Justifique a sua resposta.

2. (Ufu 2011) Na última copa do mundo, telões instalados em várias cidades transmitiram, ao vivo, os jogos da seleção brasileira. Para a transmissão, foram utilizados instrumentos ópticos chamados de projetores, que são compostos de uma lente convergente que permite a formação de imagens reais e maiores que um objeto (slides, filmes, etc). A figura abaixo mostra, de maneira esquemática, a posição do objeto e da imagem ao longo do eixo ab de uma lente esférica delgada, tal como as usadas em projetores. AB é o objeto, e CD, a imagem de AB conjugada pela lente.

Responda: a) Qual a distância, ao longo do eixo ab, do centro óptico da lente à imagem CD? b) Qual a distância focal da lente? c) Qual a ampliação linear transversal? 3. (Ufrj 2010) A figura a seguir mostra uma lente convergente de distância focal 10 cm frente a

um espelho plano paralelo à lente. O espelho encontra-se a uma distância de 20 cm do vértice

V da lente. Do outro lado da lente, uma vela de 6,0 cm de altura encontra-se a uma distância

de 30 cm do vértice da lente.

a) Calcule a distância entre a vela e sua imagem formada pelo espelho plano.

b) Calcule a altura da imagem da vela formada pelo espelho plano.

4. (Ufg 2010) Para realizar a medida do coeficiente de dilatação linear de um objeto, cujo material é desconhecido, montou-se o arranjo experimental ilustrado na figura a seguir, na qual, d = 3,0cm e D = 150,0 cm.

O objeto tem um comprimento inicial de 4,0 cm. Após ser submetido a uma variação de temperatura de 250 ºC, sua imagem projetada na tela aumentou 1,0 cm. Com base no exposto, calcule o valor do coeficiente de dilatação linear do objeto.

5. (Ita 2010) A figura mostra uma barra LM de 10 2 cm de comprimento, formando um ângulo

de 45° com a horizontal, tendo o seu centro situado a x = 30,0 cm de uma lente divergente,

com distância focal igual a 20,0 cm, e a y = 10,0 cm acima do eixo ótico da mesma. Determine

o comprimento da imagem da barra e faça um desenho esquemático para mostrar a orientação

da imagem.

6. (Unesp 2009) Desde maio de 2008 o IBAMA recebe imagens do ALOS, um satélite japonês de sensoriamento remoto que orbita a cerca de 700 km da superfície da Terra. Suponha que o sistema óptico desse satélite conjugue imagens nítidas no seu sensor quando este se localiza 4,0 cm atrás da lente (objetiva) e seja capaz de fotografar áreas quadradas do solo com, no

mínimo, , correspondente a um pixel (elemento unitário de imagem) do sensor óptico

da câmara. Qual a distância focal dessa lente e a área de cada pixel sobre a qual a imagem da superfície da Terra é conjugada?

7. (Epcar (Afa) 2012) Considere um recipiente fixo contendo um líquido em repouso no interior de um vagão em movimento retilíneo e uniforme que se desloca para a direita. A superfície de separação entre o líquido e o ar contido no vagão forma um dióptro perfeitamente plano que é atravessado por um raio luminoso monocromático emitido por uma fonte F fixa no teto do vagão, como mostra a figura abaixo. Nessa condição, o ângulo de incidência do raio luminoso

é 1 60 .θ

2900 m

Num determinado momento, o vagão é acelerado horizontalmente para a esquerda com

aceleração constante de módulo 3

a g3

e, nessa nova situação, o ângulo de incidência do

raio, neste dióptro plano, passa a ser 2.θ Considerando que a aceleração gravitacional no local

é constante e possui módulo igual a g, a razão entre os senos dos ângulos de refração dos raios refratados na primeira e na segunda situações, respectivamente, é

a) 1

2

b) 1

c) 2

d) 3 8. (Ufpr 2015) Dependendo das condições do ambiente onde os espelhos devem ser utilizados, eles são fabricados com um material transparente recobrindo a superfície espelhada, com o objetivo de protegê-la. Isto aumenta a vida útil do espelho, mas introduz um deslocamento no ponto onde a luz refletida emerge, se comparado a um espelho não recoberto. A figura abaixo representa o caminho percorrido por um raio luminoso monocromático ao incidir sobre um espelho recoberto superficialmente por um material

transparente com espessura T 2mm e índice de refração 2n . O meio 1 é o ar, com índice de

refração 1n 1 e o meio 2 possui índice de refração 2n 2. Na situação mostrada na figura,

1 45 .θ

Considere sen45 cos45 2 2, sen30 1 2 e cos30 3 2.

Utilizando estes dados, calcule a distância D entre a entrada do raio luminoso no meio 2 e sua saída, assim como está indicada na figura.

9. (Ufscar 2004) O prisma da figura está colocado no ar e o material de que é feito tem um

índice de refração igual a 2 . Os ângulos A são iguais a 30°. Considere dois raios de luz

incidentes perpendiculares à face maior.

a) Calcule o ângulo com que os raios emergem do prisma.

b) Qual deve ser o índice de refração do material do prisma para que haja reflexão total nas

faces OA?

10. (Ufpe 2010) Um feixe de luz monocromática incide perpendicularmente numa placa de

vidro, transparente e espessa, de índice de refração igual a 1,50. Determine a espessura da

placa, em centímetros, sabendo que a luz gasta 1,0 × 10-10

s para atravessá-la.

11. (Ufpr 2014) Um sistema de espelhos, esquematizado na figura abaixo, está imerso num

meio 1 cujo índice de refração é 2.

Um raio luminoso incide sobre o espelho horizontal pela trajetória a fazendo um ângulo de 𝟔𝟎º em relação à reta normal deste espelho. Após esta reflexão, o raio segue a trajetória b e sofre nova reflexão ao atingir outro espelho, que está inclinado de 75° em relação à horizontal. Em seguida, o raio refletido segue a trajetória c e sofre refração ao passar deste meio para um meio 2 cujo índice de refração é igual a 1, passando a seguir a trajetória d. Utilizando estas

informações, determine o ângulo de refração ,θ em relação à reta normal da interface entre os

meios 1 e 2.

Resoluções

Resposta da questão 1: a) Como no ar a lente é convergente, então ela é biconvexa simétrica: R1 = R2 = R = 30 cm.

Considerando nar = 1, pela equação do fabricante de lente (Halley):

lente lente

ar ar

lente lente lente

lente

n n1 1 1 1 1 11 1

f n R R 10 1 30 30

1 2 3 3 5n 1 n 1 n 1

10 30 2 2 2

n 2,5.

b) Comparando as distâncias focais no ar e na água:

lentelente

ar ar água ar

lentearlente

águaágua água

n1 2 n1 1f n R f n .

nfn1 2 11 nf n R

Como o índice de refração da água é maior que o do ar, no segundo membro, o denominador é maior que o numerador, então a fração é maior que 1. Assim, a distância focal na água é maior que no ar. Matematicamente:

lente

água ar

lentear

água

lente

lente lente arágua ar

lentear água

água

água ar

n1

f n.

nf1

n

n1

n n nn n 1 1 1

nn n1

n

f f .

Resposta da questão 2: A figura mostra um raio luminoso atravessando a lente pelo centro óptico (não houve desvio).

a) OC = 6 quadrículas = 6 x 2 = 12 cm b) Observando a figura, vemos que: p = 8 cm e p’ = 12 cm

1 1 1 1 1 1 3 2 24

f 4,8 cmf p p ' f 8 12 24 5

c) p ' 12

A 1,5p 8

Resposta da questão 3:

Dados: p = 30 cm; f = 10 cm; h = 6 cm.

a) Aplicando a equação de Gauss:

p f1 1 1 30(10) 300p' p' p' 15

f p p' p f 30 10 20cm.

Essa imagem real (p’ > 0) da vela funciona como objeto real para o espelho plano, que

fornece uma segunda imagem, virtual e simétrica. A figura a seguir ilustra essa situação,

com as medidas envolvidas.

Analisando essa figura, vemos que a distância (D) da vela até sua imagem fornecida pelo

espelho plano é:

D = 30 + 20 + 5 D = 55 cm.

b) O altura da imagem da vela fornecida pelo espelho plano é igual a altura da imagem

fornecida pela lente, pois a imagem formada no espelho plano tem o mesmo tamanho que o

objeto.

Pela equação do aumento linear transversal:

h' p' h' 15h' 3

h p 6 30cm. Ou seja, a imagem é invertida e tem altura h’ = 3 cm.

Resposta da questão 4: Dados: y = 4 cm; (y’ = 1 cm; p = d = 3 cm; p’ = D = 150 cm; (T = 250 °C). Calculando o aumento linear transversal (em módulo), antes do aquecimento.

|A| = y ' p ' 150 y '

50 y p 3 4

|y’| = 200 cm.

Depois do aquecimento, o aumento linear é o mesmo, pois não se alteram as posições do objeto e da imagem.

Os novos comprimentos da imagem e do objeto são, respectivamente: (y’ + y’) e (y + y). Aplicando novamente a equação do aumento:

A = y ' y '

y y

Substituindo valores, vem:

50 = 200 1

4 y

50 y + 200 = 201 y = 21

cm 2 10 cm50

.

Mas y é a dilatação sofrida pelo objeto. Então:

y = y T y

y T

=

22 10

4 250

= 2 10

-5 °C

–1

Resposta da questão 5:

Dados: LM = 10 2 cm; x = 30 cm; y = 10 cm; f = – 20 cm (lente divergente)

No destaque, à esquerda na figura acima, pela diagonal do quadrado, temos:

LM 2 10 2 2 10 cm.

Assim, podemos determinar as coordenadas dos pontos extremos da barra (M e L) no sistema

de eixos (p,y).

Analisando a figura, vem:

M(25,15) cm; L(35,5) cm.

Da equação dos pontos conjugados:

1 1 1 1 p f

p' f p p' pf

p' = p f

pf. (equação 1)

Da equação do aumento linear transversal:

y ' p' p ' yy '

y p p. (equação 2)

Apliquemos as equações (1) e (2) para encontrarmos as coordenadas das imagens de

M’(p’M,y’M) e L’(p’L;y’L) .

' '

M M

' '

M M

25( 20) 500 100p p cm.

25 ( 20) 45 9

100 15 609y y cm.

25 9

' '

L M

' '

L M

35( 20) 700 140p p cm.

35 ( 20) 55 11

140 5 2011y y cm.

35 11

Aplicando a expressão da distância entre dois pontos, encontramos o comprimento (D) da

imagem:

2 22 ' ' ' '

M L M L

2 2

2

2 2

2

2

D p p y y

100 140 20 60D

9 11 11 9

1.100 1.260 180 660D

99 99

256.000D 26

9.800

D 5,1 cm.

Resposta da questão 6: Como o quadrado fotografado está muito distante da lente (objeto impróprio), a imagem forma-se no foco. Portanto a distância focal da lente objetiva é f = 4 cm.

A área do quadrado fotografado é de . Calculemos o lado desse quadrado:

A imagem do lado desse quadrado é projetada num pixel. Calculemos o lado (L’) de cada pixel.

Dados:

Semelhança de Triângulos:

A área A’ de um pixel é então:

Resposta da questão 7: [D] Analisando a refração da luz, antes do trem sofrer a aceleração, e aplicando a Lei de Snell Descartes, teremos:

líquido 1 ar 1 líquido 1 1líquido

3 3n .sen n .sen n .sen 1. sen

2 2.nβ θ β β

Onde 1β é o ângulo de refração na primeira situação.

Como o vagão se movimenta para a direita e sofre uma aceleração para a esquerda, o líquido irá sofrer uma inclinação, representada por φ na figura abaixo.

2900 m2L 900 L 30 m.

5D 700 km 7 10 m;

–2d 4 cm 4 10 m; L 30 m.

Dd

L L’

objetiva

Inte

rbits®

26

5

L ' d L ' 4 10 L ' 1,71 10 m.

L D 30 7 10

22 6 12 2

6 2

A ' L ' 1,71 10 3 10 m

A' 3 10 mm .

Sendo assim, o novo ângulo de incidência ( 2θ ) do raio de luz passará a ser 2 60ºθ φ .

Considerando o ponto “CM” como sendo o centro de massa do líquido e desenhando as forças que atuam no líquido, teremos o seguinte esquema:

Onde P representa a força peso do líquido e N a força normal trocada entre o líquido e o recipiente. Somando vetorialmente as forças, teremos a força resultante que proporciona a aceleração sofrida pelo líquido.

N P R R

tgP

φ

Como R m.a e P m.g :

R m.a atg tg

P m.g gφ φ

De acordo com o enunciado, 3

a g3

:

3g

a 33tg tg tg 30ºg g 3

φ φ φ φ

Como o ângulo de incidência ( 2θ ) na segunda situação passa a ser 2 60ºθ φ , teremos:

2 2 260º 60º 30º 30ºθ φ θ θ

Aplicando a Lei de Snell Descartes na segunda situação:

líquido 2 ar 2 líquido 2 2líquido

1 1n .sen n .sen n .sen 1. sen

2 2.nβ θ β β

Onde 2β é o ângulo de refração na segunda situação.

Como o enunciado pede a razão entre os senos dos ângulos de refração dos raios refratados na primeira e na segunda situações, teremos:

líq.1 1

2 2

líq.

3

2.nsen sen3

1sen sen

2.n

β β

β β

Resposta da questão 8:

Aplicando a Lei de Snell, é possível encontrar o valor no ângulo 2θ

1 1 2 2

2

2

2

n sen n sen

21 2 sen

2

1sen

2

30

θ θ

θ

θ

θ

Com o valor deste ângulo, pela análise do triangulo destacado, é possível achar o valor da distância D.

22

2

sen D 2tg

sen 2

1 2 D 2

23 2

3 D 2

4 2

4D

3

4 3D

3

D 2,31mm

θθ

θ

Resposta da questão 9: a) A figura mostra o trajeto seguido pelo raio luminosos.

Aplicando-se Snell na passagem do material para o ar, vem:

0 0

ar

2n.sen30 n .sen 2 0,5 1sen sen 45

2

b) Determinação do ângulo limite

0

ar

nn.sen30 n .sen n 0,5 1.sen sen

2

Para não haver raio emergente a equação acima não pode ter solução. Portanto:

n

sen 1 n 22

Resposta da questão 10: 02 cm.

Dados: n = 1,5; 10t 1,0 10 s Δ .

Da definição de índice de refração, a velocidade da luz na placa de vidro é: 8

8c c 3,0 10n v 2,0 10 m / s.

v n 1,5

A espessura da placa é:

8 10 2L v t 2 10 1 10 L 2 10 m

L 2 cm.

Resposta da questão 11: A figura mostra os ângulos relevantes para a resolução da questão.

Aplicando a lei de Snell na refração:

1 1 2 2n sen n sen 2 sen 30° 1 sen

1 22 sen sen

2 2

45 .

θ θ θ

θ θ

θ