exercícios de modelagem

Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 1

01 Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos

O estudo de sistemas dinmicos envolve a modelagem matemtica, a anlise e a simulao de sistemas fsicos de interesse da engenharia, tais como os sistemas mecnicos, eltricos, hidrulicos, pneumticos e trmicos. Tambm so de particular importncia os sistemas hbridos, resultantes da combinao de dois ou mais dos sistemas citados. Devemos, entretanto, ressaltar que a teoria dos sistemas dinmicos pode ser aplicada a outros tipos de sistemas, tais como sistemas biolgicos, econmicos, etc.

Iniciaremos nosso estudo com o conceito de sistema, diferenciando imediatamente um

sistema dinmico de um sistema esttico. Aps apresentarmos os vrios sistemas dinmicos fsicos usados em engenharia, conceituaremos excitao e resposta de um sistema e, em seguida, i os atravs de um exemplo o procedimento para a modelagem e a anlise de um sistema d Em seguida, depois de abordarmos rapidamente a representao da dinmica de um sacs 1

epp Eo Emc eti

lustrareminmico.

istema por diagramas de blocos, faremos uma classificao didtica dos sistemas dinmicos de cordo com vrios critrios. Tal classificao til por estar muito vinculada matematicamente om a modelagem. Por fim, examinaremos alguns tipos de resposta (comportamento) que um istema dinmico pode apresentar.

O QUE UM SISTEMA?

Conjunto de componentes interconectados, que apresentam certas relaes de causa e efeito e que atuam como um todo, com um determinado objetivo.

Sistema

importante diferenciar um sistema esttico de um sistema dinmico. O sistema

sttico aquele em que as propriedades descritivas do sistema no variam com o tempo, odendo variar espacialmente. J no sistema dinmico tais propriedades variam no tempo, odendo tambm variar espacialmente.

xemplo de sistema esttico: viga carregada estaticamente, isto , com cargas constantes, pois s deslocamentos de seus pontos variam espacialmente mas no com o tempo.

xemplo de sistema dinmico: a mesma viga carregada dinamicamente, ou seja, com cargas que udam com o tempo, pois os deslocamentos de seus pontos variam tambm com o tempo. Neste urso estudaremos apenas os sistemas dinmicos.

Os sistemas dinm emos ter sistemas conmicos, sistemas bio icos, sistemas de rnsito, etc. Neste te istemas que mais nteressam engenharia: icos no so necessariamente de natureza fsica. Podlgicos, sistemas de informao, sistemas ecolg

xto, porm, sero tratados exclusivamente os s


sistemas mecnicos sistemas eltricos sistemas hidrulicos sistemas trmicos sistemas pneumticos sistemas hbridos

Vamos tecer algumas consideraes sobre esses tipos de sistemas. sistemas mecnicos

So sistemas que possuem massas e/ou inrcias, as quais armazenam energia cintica e potencial gravitacional, assim como elementos armazenadores de energia potencial elstica (molas) e dissipadores de energia mecnica (amortecedores). Normalmente, suas entradas so foras, torques ou deslocamentos. Tambm podem ser colocados em movimento atravs da imposio de condies iniciais, tais como deslocamentos iniciais e/ou velocidades iniciais.

Um automvel um exemplo bastante familiar de um sistema mecnico. Ele apresenta

uma resposta dinmica durante aceleraes, frenagem, deslocamentos em curvas, passagens sobre irregularidades do terreno, etc. Uma aeronave em vo tambm constitui um exemplo de sistema mecnico: ela tem uma resposta dinmica s mudanas de velocidade, altitude e manobras. Estruturas de edifcios podem apresentar uma resposta dinmica a carregamentos externos, tais como vento, tremores de terra, etc.

sistemas eltricos

Normalmente so constitudos por circuitos eltricos que possuem componentes passivos, tais como resistores (dissipadores de energia eltrica), capacitores e indutores (armazenadores de energia eltrica), os quais so excitados por geradores de voltagem ou corrente. J os circuitos eletrnicos envolvem tambm o emprego de transistores e amplificadores. Devido disponibilidade e ao controle que temos sobre a energia eltrica, os sistemas eltricos so os que mais esto presentes na nossa vida diria: circuitos eltricos domsticos, motores eltricos, receptores de TV, rdios, aparelhos de som, computadores, etc. sistemas fluidos

Classificam-se em dois grandes grupos, conforme a natureza do fluido utilizado: sistemas hidrulicos, quando o fluido de trabalho um lquido, tal como gua ou leo, e sistemas pneumticos, quando o fluido de trabalho um gs, tal como ar, nitrognio, etc. So constitudos por orifcios, restries, vlvulas de controle (dissipadores de energia), reservatrios (armazenadores de energia), tubulaes (indutores) e atuadores excitados por geradores de presso ou escoamento de um fluido. O sistema de abastecimento de gua de um edifcio um exemplo de um sistema fluido (mais especificamente, um sistema hidrulico do tipo sistema de nvel de lquido), no qual o nvel da gua do reservatrio tem uma resposta dinmica em funo da quantidade de gua que bombeada para o reservatrio e da quantidade de gua que consumida no prdio. O escoamento de ar atravs de uma cavidade em um tubo causar uma resposta dinmica (um tom acstico). O sistema de freio hidrulico de um automvel, o sistema de distribuio de ar condicionado de um escritrio, o escoamento da mistura ar-combustvel do sistema de alimentao de um motor de combusto interna, etc., constituem exemplos de sistemas fluidos.


sistemas trmicos

Possuem componentes que oferecem resistncia trmica transferncia de calor (por conduo, conveco e radiao) e componentes que apresentam a propriedade de capacitncia trmica (armazenamento de energia trmica) quando excitados por uma diferena de temperatura ou um fl mento de uma casa tem uma resposta dinmica, conforme a lcanar a temperatura desejada. sistemas hbridos

So sistemas maioria dos sistemascombinao, podemos

o sistemas elet

energia eltricExemplos: alto

o sistemas fluid

pneumtica emExemplos: maavio,cilindro p

o sistemas termenergia mecnExemplos: mot

o sistemas elet

trmica. Exemplos: aqu

2 EXCITAO E

Quando solicitchamado de resposta.

3 ANLISE DIN

A Anlise Din

de um sistema. Ela se

uxo de calor. Um sistema de aquecitemperatura ambiente aumente at a

que combinam dois ou mais dos tipos de sistemas citados anteriormente. A dinmicos aplicados em engenharia so sistemas hbridos. Conforme a ter, dentre outros:

romecnicos: empregam componentes eletromagnticos que convertem a em mecnica. -falante, atuador solenide, motor eltrico, etc.

omecnicos: empregam componentes que convertem energia hidrulica ou energia mecnica. caco hidrulico, servo-hidrulico usado para controle do vo de um neumtico, etc.

omecnicos: empregam componentes que convertem energia trmica em ica. or de combusto interna, motor a jato, turbina a vapor, etc.

rotrmicos: empregam componentes que convertem energia eltrica em

ecedor eltrico domstico, aquecedor eltrico de gua, etc.

RESPOSTA

ado por uma dada excitao, o sistema exibe um certo comportamento, Outros termos muito empregados:

sistema = processo = planta excitao = entrada = input resposta = sada = output

MICA

mica o estudo da relao de causa e efeito entre excitao e resposta processa nas seguinte etapas:


Representar o sistema real na forma de diagrama (modelo fsico) e definir os parmetros do sistema e as variveis envolvidas. Estabelecer

hipteses simplificadoras

1

Escrever as equaes para cada componente do sistema, a partir de equaes constitutivas adequadas

A partir de Leis Fsicas, de acordo com a natureza do sistema, obter o modelo matemtico do mesmo

4

3

2

Resolver o modelo matemtico (as equaes do sistema) e comparar o resultado terico obtido com resultados experimentais.

Se a discrepncia for pequena, pode-se aceitar o modelo; caso contrrio, modificar o modelo e refazer a anlise

Inicialmente (etapa 1), devemos identificar o sistema a ser modelado e analisado. Como

exemplo ilustrativo, vamos considerar um sistema mecnico real constando de um pndulo simples, no qual temos uma massa m, suposta concentrada em um ponto, ligada estrutura fixa por um fio inextensvel de comprimento L. Consideremos que, ao serem impostos um deslocamento angular inicial e uma velocidade inicial ao sistema (condies iniciais), o mesmo oscilar dentro de um plano vertical, sendo o seu movimento descrito, a qualquer instante, por uma coordenada angular (t). Tambm vamos desprezar as perdas por atrito na articulao e considerar a inexistncia de resistncia aerodinmica. A fig. 1 ilustra o que foi dito.

Fig. 1 - Pndulo simples

Na etapa 1, portanto, foram definidos os parmetros do sistema (m e L) e a varivel (t).

Tambm foram adotadas hipteses simplificadoras (massa m concentrada em um ponto, comprimento do fio L constante, oscilao dentro de um plano vertical, desprezadas as perdas por atrito na articulao e atrito com o ar). A adoo de hipteses simplificadoras imperativa na anlise dinmica, pois facilita o lado matemtico. Entretanto, devemos ter muito cuidado ao


estabelecer tais hipteses, pois deve haver um compromisso entre simplicidade e preciso: o modelo deve ser o mais simples possvel mas deve reter as caractersticas essenciais do sistema real. Normalmente, quando fazemos a verificao do modelo e constatamos que existe uma discrepncia muito grande entre os resultados tericos e experimentais, a causa do problema reside na adoo de simplificaes inadequadas.

A seguir (etapas 2 e 3), devemos escrever as equaes para os componentes do sistema e

para o sistema como um todo. Para os componentes devemos usar equaes constitutivas. Uma equao constitutiva uma relao de causa e efeito, muitas vezes estabelecida experimentalmente, entre duas ou mais variveis descritivas. Exemplos: Lei de Ohm (e = Ri), Lei de Hooke ( = E), Lei dos Gases Perfeitos (p = RT), etc. Aplicando leis fsicas adequadas, como as Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc., chegamos normalmente a equaes diferenciais que relacionam matematicamente as variveis do modelo com as propriedades do modelo e com o tempo.

No nosso exemplo, usamos a 2a Lei de Newton para o movimento de rotao em torno do

centro de oscilao (tambm conhecida como Equao dos Momentos ou Equao de Euler). Fazendo isso, conforme estudaremos mais tarde, encontramos para modelo matemtico a equao diferencial no linear

(1) 0senLg.. =+

onde g a acelerao da gravidade e onde foi adotada a notao 22...

dtd ,

dtd == , etc.

O modelo matemtico assim obtido deve ser agora resolvido (etapa 4), para que

obtenhamos o comportamento (a resposta) do sistema. Tal soluo pode ser feita analiticamente ou numericamente. Se o modelo matemtico for relativamente simples, como no caso de uma equao diferencial ordinria linear (EDOL), devemos preferir uma soluo analtica, a qual exata. Entretanto, se o modelo for mais complicado, como no caso de uma equao diferencial no-linear, podemos apelar para uma soluo numrica, a qual aproximada. Felizmente, hoje em dia dispomos de muitos programas de computador que permitem essa ltima soluo, como o MatLab, o Simulink e o VisSim. Tais softwares permitem, tambm, simular o comportamento atravs de grficos nos quais podemos visualizar, por exemplo, o deslocamento e a velocidade em funo do tempo. Uma outra opo da qual podemos dispor a chamada linearizao do sistema em torno de um ponto de operao. No nosso exemplo podemos observar que, para pequenas oscilaes em torno da posio vertical = 0 (o ponto de operao), o ngulo em radianos tem aproximadamente o mesmo valor que sen . O leitor pode verificar isso em sua calculadora para o intervalo (-/6 < < /6). Ento, considerando sen nesse intervalo, podemos rescrever a eq. (1) como

(2) 0Lg.. =+

que uma EDOL de 2a ordem com coeficientes constantes e homognea, a qual de fcil soluo analtica:

(3) tLg

sen

Lg

tLg

cos)t( 0.

0+=


onde 0 e so as condies iniciais do problema, ou seja, o deslocamento inicial e a velocidade inicial que so as causas do movimento pendular.

0.

Uma vez obtido o comportamento do sistema, atravs da soluo do modelo matemtico,

devemos compar-lo com o comportamento obtido experimentalmente. Se tal comparao for satisfatria, podemos aceitar o modelo. Caso contrrio, devemos refinar o modelo e repetir o procedime delo satisfatrio. 4 PROJE Prapresenteestgios dpodendo h

5 REPRE

O

conforme

Cocontrole),

Em

fig. 4:

nto, at encontrarmos um moTO

ojeto a criao de um sistema que, ao ser solicitado por excitaes conhecidas, respostas especificadas (desejadas). O Projeto envolve praticamente todas os a Anlise, a qual, agora, dever ser repetida vrias vezes. O projeto no nico, aver vrios projetos apresentando desempenho satisfatrio.

SENTAO POR DIAGRAMA DE BLOCOS

diagrama de blocos a representao grfica da relao entre entrada e sada, ilustra a fig. 2:

Fig. 2 - Diagrama de Blocos

mo exemplo ilustrativo, consideremos o vo vertical de um foguete balstico (sem fig. 3:

sistema: o prprio foguete Excitaes: fora gravitacional (peso) Fg e resistncia aerodinmica Fd resposta: podemos considerar a altitude h(t), ou a velocidade v(t), ou ambas

Fig. 3 - Vo Vertical de um Foguete Balstico

termos de diagrama de blocos, podemos representar o sistema acima pelo diagrama da


Fig. 4 - Diagrama de Blocos 6 CLASSIFICAO DOS SISTEMAS DINMICOS Apresentamos, a seguir, uma classificao dos sistemas dinmicos de acordo com vrios critrios. Apesar de didtica, ela importante porque revela uma ligao matemtica com a modelagem. 6.1 SISTEMAS COM PARMETROS CONCENTRADOS E COM PARMETROS DISTRIBUDOS

No desenvolvimento do modelo matemtico necessrio identificar os componentes do sistema e determinar as suas caractersticas individuais. Tais caractersticas so governadas por leis fsicas (Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc., conforme a natureza do sistema) e so descritas em termos dos chamados parmetros (ou propriedades) do sistema. Os sistemas podem ser divididos em duas grandes classes, conforme a natureza de seus parmetros: aqueles cujos parmetros no dependem das coordenadas espaciais, chamados sistemas com parmetros concentrados, e aqueles cujos parmetros dependem das coordenadas espaciais, denominados sistemas com parmetros distribudos. No primeiro caso, a excitao e a resposta dependem apenas do tempo, logo so descritos por equaes diferenciais ordinrias; j no caso de parmetros distribudos, a excitao e a resposta dependem do tempo e das coordenadas espaciais, logo so descritos por equaes diferenciais parciais (mais de uma varivel independente). Como exemplo do primeiro caso, citamos um conjunto de discos montados em um eixo cuja massa pequena em comparao com as massas dos discos, logo podemos concentrar nos discos as massas dos eixos. J uma laje constitui um exemplo de segundo caso, pois vemos nitidamente que o parmetro massa est distribudo ao longo das coordenadas espaciais.

Neste curso sero estudados exclusivamente os sistemas com parmetros concentrados.

6.2 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO E INVARIANTES NO TEMPO

No modelo matemtico, i.., nas equaes diferenciais, os parmetros do sistema aparecem sob forma de coeficientes. Se os coeficientes so constantes, dizemos que o sistema invariante no tempo; se no, o sistema considerado variante no tempo. O pndulo simples analisado anteriormente constitui um exemplo de sistema invariante no tempo. J um foguete na sua fase propulsada um sistema variante no tempo, pois o mesmo perde massa durante a queima de combustvel.

Neste curso sero estudados apenas os sistemas invariantes no tempo.

6.3 SISTEMAS LINEARES E NO LINEARES


Uma propriedade do sistema que tem profundas implicaes na anlise a linearidade. Consideremos a fig. 5, na qual est expressa a relao entre a entrada r(t) e a sada c(t) sob forma de diagrama de blocos:

Fig. 5 Entrada e Sada de um Sistema

Consideremos, tambm, dois pares de entrada e sada, r1(t), c1(t) e r2(t), c2(t), conforme fig. 6 (a) e (b). Ento, para o mesmo sistema, seja a entrada r3(t), fig. 6 (c), uma combinao linear de r1(t) e r2(t):

(4) r3(t) = 1r1(t) + 2r2(t) onde 1 e 2 so constantes.

Fig. 6 Sistema Linear

Se a sada c3(t) representa uma combinao linear de mesma forma, i.., se

(5) c3(t) = 1c1(t) + 2c2(t) ento dizemos que o sistema um sistema linear. Caso contrrio, i.., se (6) c3(t) # 1c1(t) + 2c2(t) ento dizemos que se trata de um sistema no-linear. Em outras palavras, para um sistema linear, respostas a diferentes excitaes podem ser obtidas separadamente e depois combinadas linearmente, o que constitui o Princpio da Superposio, que o princpio fundamental da Teoria dos Sistemas Lineares.

A grande vantagem de trabalhar com sistemas lineares que o modelo matemtico dos mesmos descrito por um sistema de Equaes Diferenciais Lineares, que so de fcil soluo analtica. J o modelo de sistemas no lineares descrito por Equaes Diferenciais No Lineares, as quais so de difcil soluo analtica (ou mesmo impossvel). Nesse caso, temos duas opes: ou impomos certas hipteses simplificadoras (se forem exeqveis) que conduzam linearizao do sistema, ou apelamos para mtodos numricos aproximados, como os mtodos de Euler, Runge-Kutta, etc., os quais, felizmente, j esto implantados em muitos softwares de simulao, tais como MatLab, VisSim, etc.


Conforme veremos mais tarde, um sistema linear com parmetros concentrados com uma s entrada e uma s sada (sistemas SISO = Single Input Single Output) tem por modelo matemtico uma s Equao Diferencial Ordinria Linear (EDOL) do tipo

(7) r(t)ac(t)da...dada 1 =++++ c(t)dtdt

c(t)dtc(t)

n-n1-n

1-n

1n

n

0 onde c(t) a sada, r(t) a entrada e os coeficiente ai so os parmetros do sistema. A equao acima r presenta uma relao entre entrada e sada para o sistema. Notemos que a entrada r(t) aparecno mem Podemo (8) e reesc (9) que pod

operadparmeentretpara um (10) onde orecebeblocos

possam 6.4 SI inserid

e

e no membro direito da EDOL, enquanto que a sada c(t) e suas derivadas esto presentes bro esquerdo, assim como as propriedades do sistema.

s, neste ponto, definir um operador diferencial linear D(t) como

11 adta...

dta

dt D(t) ++++ n-n-n

1-n

1n

n

0ddda =

rever a EDOL do sistema como

D(t)c(t) = r(t) e ser assim representada em diagrama de blocos:

Fig. 7 Operador Diferencial Linear

A eq. (9) indica que a excitao r(t) pode ser obtida operando sobre a resposta c(t) o

or D(t), onde D(t) difere de sistema para sistema, j que os coeficientes ai so os tros do sistema, os quais traduzem as caractersticas dinmicas do sistema. Na anlise,

anto, temos interesse em determinar a resposta a uma dada excitao, isto , achar c(t) a determinada r(t). Isso pode ser expresso matematicamente por

c(t) = D-1(t) r(t)

operador D-1(t) pode ser interpretado como o inverso do operador D(t). O operador D-1(t) o nome de operador integral linear. A eq. (10) pode ser representada pelo diagrama de da fig. 8:

Fig. 8 Operador Integral Linear

No nosso curso trataremos apenas dos sistemas lineares e dos sistemas no lineares que ser linearizados em torno de um ponto de operao.

STEMAS ATIVOS E SISTEMAS PASSIVOS

Um sistema fsico com fonte interna de energia, como um circuito hidrulico no qual est o uma bomba, chamado sistema ativo. Caso contrrio, ele ser um sistema passivo. Como


exemplo de sistema passivo, podemos citar um circuito eltrico RLC sobre o qual no est atuando nenhuma fonte de tenso ou de corrente. No nosso curso trataremos os dois tipos de sistemas. 6.5 SISTEMA Se umtambm contconstitudo podiscreta no te(outra seqnser constitu No nos 7 RESPOST

Para oexcitao ou resolver a eqinvariantes norepresentam o

A solusoluo partic

A solu

sistema entraexistirem conEngenharia,

Por ou

excitao extsoluo partic

No caspara combinar

A natu

do sistema diresposta trans

S CONTNUOS E SISTEMAS DISCRETOS sistema submetido a uma entrada contnua no tempo, r(t), apresentar uma sada nua, c(t), ele chamado de sistema contnuo e o seu modelo matemtico ser r equaes diferenciais. Por outro lado, se um sistema submetido a uma entrada mpo, {rk} (uma seqncia de nmeros), apresentar uma sada tambm discreta, {ck} cia de nmeros), ele chamado de sistema discreto e o seu modelo matemtico do por equaes a diferenas finitas.

so curso trataremos os dois tipos de sistemas.

A DO SISTEMA

bter a resposta do sistema, ou seja, o seu comportamento quando submetido a uma a condies iniciais (tais como deslocamento inicial e/ou velocidade inicial), basta uao diferencial do modelo matemtico. Para o caso de sistemas lineares tempo, a equao diferencial linear com coeficientes constantes, os quais s parmetros do sistema.

o de uma equao diferencial consiste de duas partes: a soluo homognea e a ular.

o homognea corresponde ao caso em que a excitao externa nula, podendo o r em movimento somente quando lhe forem impostas condies iniciais. Se no dies iniciais e nem excitaes externas, o sistema permanece em repouso. Em costume chamar a soluo homognea de resposta livre ou resposta natural.

tro lado, a soluo particular a parte da resposta devida inteiramente erna, considerando as condies iniciais nulas. Em Engenharia, costume chamar a ular de resposta forada.

o de sistemas lineares, podemos invocar o Princpio da Superposio dos Efeitos a resposta livre com a resposta forada, obtendo a resposta total:

Resposta Total = Resposta Livre + Resposta Forada

reza da resposta depende da excitao utilizada, assim como das caractersticas nmico. A esse respeito, conveniente distinguir entre resposta permanente e iente.


A resposta permanente aquela em que o sistema atinge um certo estado de equilbrio, tal como uma resposta constante ou uma resposta peridica que se repete indefinidamente. Matematicamente, a parte da resposta total que permanece quando se faz o tempo tender ao infinito.

J a resposta transiente depende fortemente do tempo: matematicamente, a parte da resposta total que desaparece quando se faz o tempo tender ao infinito.

No que diz respeito ao tipo de excitao, podemos dizer que a resposta permanente

ocorre no caso de excitao harmnica ou peridica, enquanto que a resposta transiente ocorre no caso de outras excitaes que no as mencionadas.

A natureza da excitao afeta tambm a escolha do mtodo a ser utilizado na determinao da resposta. No caso de excitao harmnica ou peridica, vantajoso estudar a resposta permanente no domnio da freqncia, a qual conhecida como resposta em freqncia. J para os demais tipos de excitao, mais conveniente estudar a resposta transiente no domnio do tempo. No nosso curso faremos ambos os estudos. EXERCCIOS 1. Dadas as equaes diferenciais abaixo, classific-las, seguindo o exemplo do item a):

a) : EDOL de 1t5x. = a ordem, coeficientes constantes, no homognea

b) :_________________________________________ t5sen2x9x3x... =++

c) :_____________________________________________ 0x9x3x... =++

d) :_________________________________________ 0x9x)1t3(x... =++

e) :_______________________________________ )t(u3x9x)1t3(x... =++

f) 22

2

2

t)t,x(y

x)t,x(y

9 =

:________________________________________

2. Um sistema de nvel de lquido, tal como a caixa dgua de uma residncia, modelado

matematicamente pela equao diferencial de 1a ordem )t(qA1h

RAg

i

. =+h , onde A a rea da seo reta do reservatrio (constante), R a resistncia hidrulica do sistema (constante), g a acelerao da gravidade (constante), qi(t) a vazo volumtrica de gua que entra no reservatrio (excitao ou entrada do sistema) e h(t) a altura instantnea de lquido dentro do reservatrio, em relao ao fundo do mesmos. Admitindo que o reservatrio inicialmente estava vazio e que a vazo qi = Q constante, use seus conhecimentos de Clculo para resolver a equao diferencial e assim encontrar a resposta no tempo h(t), ou seja, como varia a altura do nvel de atua com o tempo. Esboce um grfico da resposta h(t).

Resp.: )e1(g

QRA)t(t

RAg=h


3. Usando seus conhecimentos de Clculo, demonstre que a eq. (3) a soluo da eq. (2), ambas do texto.

4. Suponha que a resposta de um sistema mecnico seja dada por

x(t) = e-t 2e-3t + sen2t Achar a resposta transiente e a resposta permanente.

Soluo

A resposta transiente dada por e-t 2e-3t, pois vemos claramente que ela tende a desaparecer medida que o tempo cresce. J a resposta permanente dada por sen2t, a qual no tende a desaparecer medida que o tempo cresce. 5. Com relao ao Exerccio 2, identificar a resposta permanente. 6. A resposta total de um sistema mecnico de segunda ordem submetido a um deslocamento

inicial x0 e a uma velocidade inicial dada pela equao 0.x

++= tsenxxtcosxe)t(x dd

0.

0nd0

tn , onde n, d e so constantes do sistema, a

serem definidas mais tarde. Pedem-se:

(a) a resposta acima livre ou forada? Por qu? (b) Identificar a resposta transiente e a resposta permanente.

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