exercícios de algebra elementar - ivan monteiro
TRANSCRIPT
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
EXERCCIOS DE LGEBRA ELEMENTAR
Prof. Ivan Monteiro
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
2012 Bubok Publishing S.L.
1 edio
ISBN:
DL:
Impresso em Portugal / Printed in Portugal
Impresso pela Bubok
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Dedicatria
D E D I C O E S T O B R A A O S M E U S A V S M A T E R N O S H I L T O N S I L V A ( I N M E M O R Y ) E M A R I A L O U R D E S D E B A R R O S S I L V A ( I N M E M O R Y ) .
S A U D A D E S E T E R N A S !
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
FUNDAMENTOS D A TEOR I A DOS CONJUNTOS
1. Um mdico me disse: De 100 crianas que eu examino, 65 tm gripe e 45 tm gripe e outra doena. Quantas dessas 100 crianas examinadas pelo mdico tm outras doenas?
2. Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: Quem flamengo? 36 levantaram o brao. A seguir, perguntou: Quem e Internacional? 28 levantaram o brao. Quantos alunos so, ao mesmo tempo, Flamengo e Internacional ?
3. Dos meus 26 colegas de turma, 18 fizeram exames para Escola Tcnica e 12 para o Colgio Naval. S um deles no fez nenhum exame. Quantos fizeram exames s para o Colgio Naval?
4. De um total de 800 pessoas examinadas por um grupo de mdico pesquisadores, 500 tinham sintomas de uma doena A, 200 tinham sintomas de outra doena B e 130 tinham sintomas das duas doenas. Quantas no tinham sintomas nem da doena A nem da B ?
5. Numa pesquisa realizada entre 500 pessoas, 318 gostavam de uma mercadoria A, 264 de uma mercadoria B e 112 gostavam das duas mercadorias. Quantas no gostavam da mercadoria A e nem da B ?
6. Numa turma de 30 alunos, 6 escrevem com a mo esquerda e dois com as duas mos. Quantos escrevem com a mo direita?
7. Numa turma de 42 alunos, 35 gostam de futebol, 18 de basquete e 12 gostam dos dois . Quantos no gostam nem de futebol e nem de basquete?
8. De 24 carros que estavam no estacionamento, 17 eram Volkswagens e 10 eram de 1977. Quantos carros eram Volkswagens de 1977?
9. Em 100 jogadores de futebol, 32 jogam tambm futebol de salo, 18 jogam tambm basquete e 11 praticam os trs esportes. Quantos jogam s futebol?
10. Uma pesquisa entre telespectadores mostrou que, em cada 100 pessoas, 60 assistem a novela A, 50 assistem a novela B, 50 assistem a novela C, 30 assistem as novelas A e B, 20 as novelas B e C, 30 as novelas A e C e 10 as trs novelas. Quantos no assistem essas novelas?
11. Tenho 6 canetas. 4 escrevem em azul e 4 escrevem em vermelho. Quantas escrevem tanto em azul como em vermelho?
12. O Servio de Orientao Educacional de uma escola verificou, num questionrio apresentado a 800 rapazes, que 500 gostam de futebol, 200 de cinema e 130 dos dois. Portanto, o total daqueles que no gostam de futebol nem de cinema :
a) 670 b) 230 c) 100 d) 30e) No pode ser determinado, pois o enunciado absurdo.
(Concurso de Professores 1 Grau RJ-1976)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
13. Dos 42 alunos de uma turma. 8 foram reprovados em matemtica. 6 em Portugus e 5 em Cincias. 4 foram reprovados em Portugus e matemtica, 3 em matemtica e Cincias e 2 em Portugus e Cincias. Sabendo que 2 alunos foram reprovados nas trs matrias, diga quantos no foram reprovados em nenhuma dessas matrias.
14. De 18 alunos que esto em recuperao, 6 fazem Portugus e Cincias; 5 fazem Portugus e Matemtica; 9 jazem matemtica e Cincias; 2 fazem essas 3 matrias; ningum faz s Portugus ou s Cincias. Quantos faro recuperao s de Matemtica?
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 80 2) 22 3) 7 4) 230 5) 30 6) 26 7) 1 8) 3 9) 61 10) 10 11) 2 12) b 13) 30 14) 2
POL I NM IO S
1. Calcular o valor numrico de :
a) 03,426
0=+==++ xbaaba
x
xe para
(Col. Pedro II 2. Srie Ginasial P. Parcial 1953)
b) 132
3==
+
bab
a e para
( E.P.C. do Ar Concurso 1951)
c) ( ) 22 13 == babab e para
d)212
23033
== bababaab e para
2. Calcular o valor numrico de ( ) 3222
baabba
para 2=a e 1=b (E.N.C.D. 1951)
3. Calcular o valor numrico do polinmio
( )211
3153, 22 ==++= yxxyxyxxyxP e para (E.P.C. do Exrcito 1953)
4. Classificar as expresses: a) 12 2 + xx
b) 13
222
++ xx
5. Classificar a expresso:
4253
23 ++
+
xxx
x (C.N. 1959)
6. O polinmio, em 1232 23 +++ yxxmxyx ; e do 2 grau se m....
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
7. O polinmio, em 523, 234 +++ xmxxxx completo se m....
8. O polinmio, em 13, 22 +++ mxyyxyx e homogneo se m....
9. Calcular pm e para que o polinmio, em ( ) ( ) 223 21, ypxyxxmyx +++ e seja homogneo completo.
10. Reduza os termos semelhantes e calcule o valor numrico de :
a) ( )33223223 7432 yxxyyxyxyyxx ++++ para 21 == yx e (Col. Pedro II 2 Srie Ginasial P. Parcial 1954)
b) Da soma de cbcba 1213957 + e subtrair o polinmio cba 375 . (Col. Pedro II 2 Srie Ginasial P. Parcial 1954)
c) Sendo 22 1453 babaP += 22 69 babaQ +=
22 856 babaR += Calcule ( )RQp ++ (I.E. 1951)
d) Qual a diferena entre: 262352 22 ++ xxxx e ?
e) Qual o monmio que devo somar a 132 23 + xxx para obter um Trinmio do 2 grau ?
11. Efetuar a multiplicao ( ) ( )3952 ++ xxx (C.N. 1952) 12. Efetuar o produto ( ) ( )12 22 + xxx dando a resposta ordenada segundo as
potncias decrescentes de x . 13. Desenvolvendo e ordenando, crescentemente em relao a x , a expresso: ( ) ( ) axxbxxxxa + 2222 312 , o ltimo termo ter como coeficiente........
(E.N.S.K. 1959) 14. Efetuar
a) ( ) 2:2468 23 ++ xxx b)
x
xx
226 23
c) ( ) xxxx mmm :11 + 15. Qual o quociente da diviso de 4726 23 + xxx por 23 2 xx ? 16. Calcule o resto da diviso de: 43 22 + xx por ( )2x . 17. Efetuar a) ( )212 + mx b) 331
31
x
c) ( )25,0x18. Calcular os valores de :
a) ( ) ( )[ ]BACBAB + para 83731715 2235 +=+=+= xxCxxBxxA e ,
b) ( )[ ] 321610565 22 +=+= xxBxxAABBA e para .
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
c) Calcular ( )[ ] ( ) yyyxxx +++ 161232 para 22 55102 aayaax +== e .
d) Calcule o valor da expresso ( )[ ] 1;1;1 22 ==+=+ aCaaBaABCBaBAa sendo .
e) Calcular o valor numrico para 211 === zyx e e , do polinmio que se deve somar a zyx 365 + para se obter zyx 8411 + .
(Col. Pedro II 2 Srie Ginasial P. Parcial 1954) f) Se o valor numrico da expresso 22 25 yx 27 e x e y so iguais e negativos,
qual ser o valor de x e y ?
g) Calcular c para que o valor numrico de ckk + 2 seja igual a 5, para 1=k . h) Calcular o valor de a para que o valor numrico de 12 ++ aa seja o mesmo que o
valor de 2a .
i) A expresso 32323 abab tem para valor numrico 13, para 2=b numrico de a
:
(a) 43
(b) 43
(c) 2039
(d) 2039
(e) nenhum dos resultados anteriores
(I.E. 71/72)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) a)-2,5 b)0 c)-6 d)-4
2) 127
3) 1279
4) a) Racional fracionria. b) Racional inteira do 3 grau, no homognea, incompleta, reduzida e ordenada. 5) Racional fracionria. 6) 0=m 7) 0m 8) 1=m 9) 21 = pm e 10) a) 52 b) cba 18252 + c) aba +218
d) 1+x e) 32x
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
x271
11) 2762 23 + xxx 12) 2234 ++ xxxx 13) 22ab 14) a) 1234 23 ++ xxx b) xx 23 c) 21 mmm xxx 15) x2 16) 0 17) a) 24 2 +mx b) c) x 18) a)1 b)1 c)0
d)1 e)-26 f)-3
g)-15 h)-1 i) a
PP rr oo dd uu tt oo ss nn oo tt vv ee ii ss
1. Efetuar:
1. (x + 5) (x + 2)
2. (x - 5) (x - 4) 3. (x + 8) (x - 3) 4. (x + l) (x -1) 5. (2x + 3) (2x -3)
6.
+
215
215 2323 yxyx
7. (a + 3) (3 - a) 8. (-x -2) (-x + 2) 9. (a + b + 1) (a + b -1) 10. (x + 3y + 2z) (x -3y + 2z) 11. (a + b - c) (a -b + c) 12. (x + 5)(x + 5)
13. (x3 + 3)2
14. (2x3ym + 3x2y)2
15. (ab2 - 1)(ab2 - 1)
16. 2
21 221
xyx
17. (2x -3y)2
18. (a + b) (a2- ab + b2)
19. (x + 1)(x2 - x + 1)
20. (x - y) (x2+ xy + y2)
21. (x2 - 2) (x4 + 2x2 + 4)
22. (x2 + 2)3
23. (xm + 2y3)3
24. (3a2 - 2b)3
25. (0,5x2y--1 - 2xy2)3
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
26. O produto de 3
2 2 ba + por 3
2 2 ba + ...... (I.E. -1956)
27. A igualdade a2 + b2 + c2 = (a + c)2 verificada para o seguinte valor de b2: (a) 0
(b) ( )222
ca
ca
+
+
(c) ac2
(d) 224 ca
(e) ac2 (I.E. 71/72)
28. Acrescentando expresso 4124 +yx o termo........obtm-se o quadrado de
212 +yx .
(Seleo 3 Srie - Ginsio E. Guanabara -1961) 29. Desenvolver (a8b5 + c3d6)3 (E.N.C.D. -1948) 30. Quanto devemos subtrair de (a -2)3 para obter (a + 3)3? 31. Elevando x ao quadrado obtemos a2 + 2ob + b2. Podemos afirmar que x igual a: a) (a + 2b)2 b) (a + b)2 c) (2a + b)2 d) ( )2ba + e) (a +b) (a -b)
(Concurso Professores 5 a 6 Serie -1976)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) x2 + 7x + 10
2) x2 -9x + 20
3) x2 + 5x 24
4) x2 1
5) 4x2 9
6) 2125 46 yx
7) 9 - a2
8) x2 -4
9) (a + b)2 1
10) (x + 2z)2 - 9y2
11) a2 - (b - c)2
12) x2 + 10x + 25
13) x6 + 6x3 + 9
14) 4x6y2m + 12x5ym+l + 9x4y2
15) a2b4 - 2ab2 + 1
16) 224 42241
xyyx +
17) 4x2 12xy + 9y2
18) a3 + b3
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
19) x3 + 1
20) x3 -y3
21) x6 8
22) x6 + 6x4 + 12x2 + 8
23) x3m + 6x2my3 + 12xmy6 + 8y9
24) 27a6 54a4b + 36a2b2 - 8b3
25) 63334536 88623
81 yxxyxxyx +
26) 93
442
24 bbaa ++
27) c
28) x2y
29) a24bl5 + 3a16bl0c3d6 + 3a8b5c6dl2 + c9dl8
30) 15a2 15a -35
31) d
FATORAO
1. Fatorar 12a5b8 - 6a6b7 + 180a8b6 - 9a7b9 (E.N.C.D. -1948) 2. Fatorar 8z(x -y) - 3(x -y) (C.N. -1952) 3. 81x2 - y16 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 4. Transforme a seguinte expresso num produto de fatores do primeiro grau:
yayx 232 2594
(I.E. -1954) 5. Decomponha em trs fatores 16x4 - 1 (C.N. -1954) 6. Escrever todos os fatores do binmio: 256y8 - z8 (E.N.C.D. -1951) 7. Fatorar: y3 - x3 (E.P.C. do Ar -1958) 8. Fatore: 9y2 - 42y + 49 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 9. Decomponha o trinmio x2 - 7x - 30 em um produto de fatores binmios do primeiro
grau. (I.E. -1951) 10. Fatore: x2 - x - 56 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 11. Fatorando-se 3x2 - 6xy + 3y2 obtm-se........... (I.E. -1956) 12. Decompor: (x + y - 1)2 - 5(x + y - 1) - 6 num produto de dois fatores.
(Curso C. Metropolitano -1960) 13. Fatore: mx + 5y + xy + 5m . (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 14. Fatorar ab - ac + b2 - bc (E.N.C.D. -1948) 15. Decomponha num produto de dois fatores binmios e polinmios: 2 - b - 2a + ab
(I.E. -1951) 16. Decomponha em fatores do 1 grau a expresso seguinte: y = x3 + x2 x 1
(C.N. -1958) 17. Decomponha em fatores do primeiro grau a expresso: x xy - 1 + y2
18. (I.E. -1955)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
19. Decomponha em fatores do primeiro grau a expresso: a(a - 1) - b(b + 1) (E.N.C.D. -1955)
20. Fatorar x2 2xy + y2 - a2 (C.N. -1951) 21. Decomponha em um produto de fatores do 1 grau a expresso: x2 - y2 + 2yz - z2
(I.E. -1951) 22. Fatorar 4a2 + 9b2 - 25 -12ab (E.N.C.D. 1951) 23. Fatorar os polinmios: a2 + 6a -7 e x4 2x3 + x2 - 8x + 8
(E.P.C. do Exrcito - Janeiro, 1953 3 Ano)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 3a5b6 (4b2 - 2ab + 60a3 - 3a2b3) 2) (x - y) (8z - 3) 3) (9x + y8) (9x y8)
4)
+ axyaxyy 5
325
32
5) (4x2 + 1) (2x + 1)(2x -1) 6) (16y4 + z4) (4y2 + z2) (2y + z) (2y - z) 7) (y - x) (y2 + xy + x2) 8) (3y - 7)2 9) (x - 10) (x + 3) 10) (x - 8) (x + 7) 11) 3(x - y)2
12) (x + y - 7) (x + y) 13) (x + 5) (m + y) 14) (b - c) (a + b) 15) (2 - b) (1 - a) 16) (x + 1)2 (x - 1) 17) (1 - y) (x - y - 1) 18) (a + b) (a -b -1) 19) (x - y + a) (x - y - a) 20) (x + y - z) (x - y + z) 21) (2a - 3b + 5) (2a - 3b - 5) 22) (a + 7) (a - 1) e (x - 1) (x3 - x2 - 8)
M N IMO MLT I P LO COMUM (mmc ) E MX IMO D I V I SOR COMUM (mdc ) D E P O L I NM IOS
1. O m.d.c. de 5xy2, 15x3 e 17x5y4 ....................... (C.N. -1956) 2. Calcular o m.d.c. entre ab - 2a - 3b + 6 e ab - 2a 3. Calcular o m.d.c. entre a + 2; a2 - 4 e ax + 2x 4. Determinar o m.d.c. das expresses: x2 - 1 e x2 + 2x - 3 (C.N. -1953) 5. Fatorar: a3 a2b ab2 + b3; a3 - b3 e a3 - 2a2b + ab2 e, a seguir, dizer qual o m.d.c.
desses polinmios. 6. Calcular o m.d.c. dos polinmios: x2 + 2x + 1 e x3 + 1
(E.P.C. do Exrcito Janeiro, 1953) 7. Achar o m.d.c. entre: (x3 + 2x2 -3x) e (2x3 + 5x2 3x) (C.N. -1959) 8. Determinar o m.d.c. de 4x4 - x2 + 2x -1 e 2x3 - x2 -2x + 1
(E.P.C. do Exrcito -1952 3 Ano) 9. Calcular o m.m.c. entre 8x4y2, 16x5yz3 e 12x6y4z
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
10. Calcular o m.m.c. entre a2 - b2 e a2 - 2ab + b2. 11. Calcular o m.m.c. entre ax - a; x2 - 2x + 1 e a2x2 - a2. 12. Calcular o m.m.c. dos polinmios: 2x2 - x -1 e 2x3 + 2x2 - 2x - 2
(E.P.C. do Exrcito -1953 3 Ano)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) x 2) b - 2 3) a + 2 4) x - 1 5) a - b 6) x + 1
7) x(x + 3) 8) (2x - l) (x + 1) 9) 48x6y4z3 10) (a - b)2 (a + b) 11) a2(x + 1)(x -1)2 12) 2(x + 1)2 (x -1) (2x + 1)
FRAES A LGBR I CA S
I. Simplificar:
1. 1223
2
2
+
+
xx
xx
2. 2
12
2
+
xx
x
3. xx
xxx
96
3
234
+
4. xyyxxyyx
2
5
5. 5
55+
+++
a
baba
6. y
xyyx+
+++
57535
(E.N.C.D.-1948)
7. Simplificando a frao 5018
9152
x
x obtm-se ........................... (E.N.C.D.-1959)
8. Reduza a frao 4423
2
2
+
+
aa
aa a expresso mais simples e, a seguir, calcule o valor
numrico para 32
=a . (E. Aeronutica -1948)
9. 96
92
2
++
xx
x
10. 322344
babbaaba
+++
11. 222222
22
acbabcbaab
+
++
(E. Aeronutica 1945)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
12. 1892
623
2
+
+
xxx
xx
(I.E. 1945)
13. 1
222
23
+
x
xxx
(C.N.-1958)
14. Simplificando a frao 96
1272
2
++
++
aa
aa encontramos:
a)34
+
+
a
a b)
912
c) 1519
d) 67
+
+
a
a e)
34
(Supletivo Rio de Janeiro)
15. Simplifique a frao: 232144
2
2
+
+
xx
xx
a) 221
+
x
x
b) 11
+
x
x c)
212
x
x d)
212
+
x
x e)
24
x
x
(E. Tcnica Rio de Janeiro 1971)
16. ( ) ( )( ) ( )222222
22
baccacbacbabccba
+++
+
(C.N.-1959)
II. Efetuar
17. xx
xx
x
xx
53
9152
2
2
2
2
18. xbxax
bxaxbax
x
+
+++2
2 1:
19. ( ) ( )22
yxyx
yxyx
+
+: (E.N.C.D. 1948)
20. yx
aa
yxa
33231 2
22
2
+
+
: (I.E. 1951)
21. xyx
x
xx
xx
yxyxyx
++
2
3
23
2
32
33
36
22. xxx
xx
x
x
xx
xx
1643
649
96127
23
23
3
2
2
2
++
+
+
+:
23.
421
123
172
3 314
z
yxzx
y (C.P.O.R Seleo Novembro 1950)
24. Efetue e simplifique:
( ) ( )214224
222
44
2 yyxxyx
yx+
+
:
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
(C.N.-1957) III - Efetuar
25. ( ) ( ) ( )( )( )babababa
babba
++
++
+
4347242
42234
26. ( )( )( )( ) ( )
( )( )12131
1112 2
+
+
+
aa
aa
aa
aa
27. ( ) ( )( )( )212
421 2
2
+
aa
aa
a
aa
28. ( )( )( )
( ) ababba
ababba
232332
+
29. ( )( ) ( )
baaba
babba
ababa
+
+
+
33
32
24
:
30. ( )( )( )
( )( ) 623
:2212
3444
2
23
+
+
+
+
+
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
31. O resultado mais simples da expresso yxxyx
yxyxyx
+
+
2
22
22
:2
e:
a) x b)
xyxyx
+
2
c) ( )yxyxx
+
d) x
1
e) ( )yxx
2
2
(Exames Madureza GB 1971) 32. Efetuar, dando a resposta em sua expresso mais simples:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacc
abcbb
cabaa
+
+
(C.N. 1959) 33. Reduzir a expresso mais simples:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacc
abcbb
cabaa
+
+
333
GG AA BB AA RR II TT OO
IIIIIIII ........
1) 12
x
x
2) 21
+
+
x
x
3) 322
x
xx
4) ( ) ( )112 ++ xx 5) 1+b 6) 7+x
7) 106
3+
x
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
8) 41
9) x
x
+
33
10) ba
11) cbacba
+
++
12) 3
1x
13) 2x 14) a 15) d 16) 1
IIIIIIII IIIIIIII ........
17) 1 18) 1 19) 22 yx
20) yayxax
a
2233
+
+
21) 2+x
22) x
1
23) 63571 yx
24) 221
yx +
25) ba 42
1
26) (11
+
a
a )2
27) 21
+
a
a
28) ba
ab32
29) 21
30) x
1
31) d 32) 0 33) a + b + c
EQUAO DO 1 G R AU
1. Qual o valor de a na equao:203
43
52 aa
= ? (E.P.C. do Ar -1951)
2. Calcule o valor de y na equao: nm
yy =+
(Col. Pedro 11 -3~ Srie Ginasial -P. Parcial -1953)
3. Resolva em relao a a, a seguinte frmula: a
bkaC =
(E.P.C. do Ar -1951) 4. Quantas razes tem a equao . (a2 l )x = a + 1, quando a = -1 ? (C.N. -1957) 5. Quantas razes tem a equao: (m l)x = m2 + 1, quando m = 1? (C.N. -1957) 6. Determine os valores de m para que a equao abaixo tenha soluo 2mx + 7 = 4x
(l.E. -1951) 7. A igualdade (m + 3)x = 3p + 1 uma identidade quando m ................. e p................
(I.E. -1959)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
8. Determine a a fim de que a equao (a l )x = b seja determinada. (C.N. -1958)
9. Para que a equao (2m l )x = 3p - x - 2 no tenha soluo devemos ter m ....... e p....... (I.E.-1957)
10. Para que a equao 2x - 3 = ax + 1 seja impossvel, devemos ter a = .................. (E.N.S.K. -1959)
11. Determine os valores de p e q para que a equao (5p -1) x + q - 3 = 0 seja impossvel.
(I. Educao 2 P. Parcial 3 Srie Ginasial -25/11/53) 12. Calcule o valor de k para que se torne impossvel a equao: k2y - k2 =: 2k + 2ky
(E.P.C. do Exrcito -1955) 13. Discutir as solues da equao px + q = O. (C.N. -1952) 14. Discutir a equao (b + a)x = b2. (Exame Aptido - Portugal -1942) 15. Sabendo que a e b so nmeros mpares, resolva e discuta a equao:
2+=a
bbx
bbx
a
ax (Pr-normal)
16. Se a 0 e a -b, a soluo da equao ( )222
2 baba
a
abax+
=
, aps as simplificaes
. ............................................ (E.N.C.D. -1958) 17. A soluo da equao ax - b =.bx - a, (a b) ............................... (I.E. -1956)
Resolver as equaes :
18. 23
11
1=
+
++
+
a
x
a
x (I.E.-1953)
19. 4131
=
+
++
+
m
ym
y (E.N.C.D.-1953)
20. 221 baax
abax
babx
=
+
+ (E.N.C.D.-1955)
21. baax
babx
abxb
baax
+
+
+=
++
+ 22 (I.E.-1955)
22. Dada a equao mx k = km m, podemos afirmar que: a) x = -1, qualquer que sejam m e k; b) ela e impossvel; c) ela e indeterminada; d) x = -1, se m k; e) x = 1, se m k.
(Concurso Professor Municpio do Rio de Janeiro 1976)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 3
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
2) 1+m
mn
3) ck
b
4) Uma infinidade. 5) Nenhuma 6) m 2
7) m = 0, 31
=p .
8) a 1
9) 32
,0 = pm
10) a = 2
11) 3,51
= qp
12) K = 2 13) Determinada: p 0.
Indeterminada: p = q = 0
Impossvel: q p = 0.
14) b -a: determinada; b = a = 0: indeterminada;
b = -a 0: impossvel.
15) Sempre determinada e x = b.
16) baba
+
+ 22
17) 1 18) a + 2 19) 2m - 1 20) a
21) 3b
22) d
S I S T E M A D E E Q U A E S D O 1 G R A U C O M D U A S I N C G N I T A S .
1. O sistema
=+
=
864432
yxyx
e indeterminado. D uma de suas solues.
(C.N. -1951)
2. Calcule a para que o sistema abaixo admita infinitas solues.
=+
=+
11
ayxyax
(Fac. Filosofia Cincias e Letras Santo Andr -1914) 3. Determine o valor de a para que o sistema tenha uma nica soluo.
=+
=+
235830102
yx
yax (C.N. -1911)
4. O sistema
=+
=+
byxyx410
425 impossvel quando b ........................... (I.E. -1959)
5. O valor de k para o qual o sistema
=
=+
35273
yxykx
no tem soluo :
a) 2 b) 5 c) 3 d) 0,8 e) 1,2 (Matemtica Humanas - Univ. MACK -S.P. -1915)
6. Determinar os parmetros a c b de modo que o sistema
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
=+
=
1534
yxbyax
seja indeterminado. (E.P.C. do Exrcito Janeiro, 1953. 1 Ano)
7. O sistema
=+
=
36223pyx
ymx e indeterminado para m = ............. e p = .......................
(I.E. -1957)
8. Para quais valores de a e b o sistema
=+
=
10432byx
ayx ser indeterminado?
(C.N. -1951)
9. Calcular o valor de m para que o sistema
=+
=+
9261372
yxymx
seja impossvel. (C.N. -1955)
10. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja impossvel: ( )
=+
+=+
1264423
ypxmyx
(I.E.-1955) 11. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja indeterminado:
( )
+=
=+
129416
pyxymx
(E.N.C.D.)
12. Se 51x + 49y = 35 e 49x + 51y = 65, ento 2x :
a) -14 b) -7 c) 7 d) 14 e) 35 (Concurso Professores - Municpio do Rio de Janeiro -1916)
13. Determinar k. para que o sistema
=+
=+
219144
ykxkyx
seja indeterminado. (E.P.C. do Exrcito - Janeiro, 1953 e Seleo l Cientfico -C. Militar -1954)
14. Determine m de modo que o sistema abaixo no admita soluo.
( )( ) ( )
+=+
=+
yxxymyyxm
2321215
(I.E. -1953)
15. Determinar o valor de k para que o sistema seja indeterminado:
=
=
1123
kxykyx
(C.N. -1952)
16. Determinar k e p para que o sistema ( )
+=+
=
3424356
kyxkpkykx
seja indeterminado. (E.P.C. do Exrcito -1955)
17. Determinar m, para que o sistema ( )
=+
=
mymxmymx
72972356
tenha uma infinidade
de solues. 18. Determinar k, no sistema abaixo, de modo que as equaes sejam incompatveis
( )
+=
+=+
1412278105138
kyxkyxk
(E.Naval-1944)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
19. Determinar k no sistema ( )
+=+
+=
225322
kykxkykx
de modo que :
1) as equaes sejam incompatveis; 2) o sistema seja indeterminado.
20. Qual o valor a atribuir ao parmetro m para que os sistemas
=+
=+
2312
mymxmymx
e
=
=
ayax
sejam equivalentes? (C.N. -1954)
21. Dado o sistema
=+
=
113216
yxkykx
determinar k para que os valores de x e y sejam iguais. (C.N. -1959)
22. Para que o sistema ( )
( )
=++
=+
1322
yxkkykkx
seja indeterminado, devemos ter k igual a:
a) 4 b) 4 c) 1 d) 1 e) n.r.a. (Marinha Mercante -1972)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 2 e 0 2) a = -1 3) a 4 4) b 8 5) e 6) a = 12, b = -20 7) m = -I, p = -1 8) a = 5, b = -6 9) m = 1
10) p = -6, 87
m
11) 31
=m , p = 5
12) a
13) k = 6 14) m = -1,5 15) No h valor de k 16) k = 3 e p = 20
17) m = 3
18) 169
=k
19) k = 6 e k = -1; no h valores
20) a
1
21) 661
=k
22) d
IIIIIIII nnnnnnnn eeeeeeee qqqqqqqq uuuuuuuu aaaaaaaa eeeeeeee ssssssss dddddddd oooooooo 11111111 gggggggg rrrrrrrr aaaaaaaa uuuuuuuu
1. Indique os valores de x que satisfazem a. inequao 2x - 3 > 3 (x - 2)
(E.P.C. do Ar - Admisso -1951)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
2. D o maior nmero inteiro que satisfaa a inequao: 2 -3x > 7 (I.E. -1954)
3. O menor valor inteiro de x, para o qual a inequao 19x - 40 > 14x -16 satisfeita . (E.N.C.D.-1959)
4. O maior valor inteiro de x que satisfaz a inequao xx >4
13 e............................
(E.N.C.D. -"1958)
5. Dar o menor nmero inteiro que satisfaz a inequao: 9
26
24
+ 0 e 3 -x < 0, obtm.se, como soluo.
(I.E.-1959) 7. O menor, nmero inteiro que satisfaz simultaneamente as inequaes -2x < 6 e
2x < 4 e ..................................... (I.E. -1958) 8. O menor nmero inteiro que satisfaz simultaneamente as inequaes : 3x > 9 - 5x < -46 e .................. (I.E.-1957) 9. Determine os valores de x que verifiquem o sistema:
04
672
43
151
yyyy
(I.E.-1954)
10. Quais os valores inteiros de y que verificam, simultaneamente, as desigualdades:
xx
xx
212
73
64
32
>+
>
(E.N.C.D. -1951)
11. Quais os valores de y para que o sistema abaixo se verifique?
04
672
43
151
yyyy
(E.N.C.D. -1951)
12. Calcule os nmeros inteiros que satisfaam, simultaneamente, as desigualdades
xx
xx
212
73
64
32
>+
>
(I.E. -1951)
13. Determine os valores inteiros que verificam o sistema
xx e:
a) - 1 b) - 2 c) 0 d) 1 e) 2 (Concurso Professores - Municpio do Rio de Janeiro -1976)
16. O conjunto de solues inteiras do sistema
35
132
13
3
xx
xx
e:
a) {-3, -2, -1, 1, 2} b) {-2, -1, 0, 1}
c) {-3, -2, -1, 0, 1, 2} d) {-2, -1, 0,...}
e) {-2, -1, 1}
17. O conjunto soluo a inequao 1174
>
x
x e:
a) {x Rx > 2} b) {x Rx < 1 ou x > 2} c) {x R1 < x < 2}
d) {x Rx < 1 e x >2} e)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) x < 3 2) -2 3) 5 4) 0 5) -19 6) x > 3 7) 2 8) 10 9) Entre 4 e 6
10) 2, 3 e 4 11) y > 5 12) 4 13) 2,3 e 4 14) 2 15) a 16) b 17) b
EE QQ UU AA EE SS DD OO 22 GG RR AA UU
I. Calcule o valor de x nas equaes: a) 15x2 = 0
b) l4x2 + 7x = 0
c) 39
22=
+x (E.P.C. do Exrcito 1953)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
d) 4x2 + 17x + 4 = 0 (Maratona Intelectual -1953)
e) 0422 =+ xx
f) a4m2x2 - a6m4 = 0
g) x2 - 8ax + 15a2 = 0
h) ( ) ( ) xbaxba 2122
222
=
+
+ (Escola Naval)
i) k2x2 - 2pkx + p2 - q2 = 0 (E.P.C. do Exrcito -1955)
j) 23
21
11
=
+ xx
k) 6x-2 -17x-l + 12 = 0 (Escola de Aeronutica)
l) x
x
=
434
3
m) ( ) ( )123
13
2 =
xxxx
x (E.P.C. do Exrcito -1953)
n) 2=
++
+
bxbx
ax
ax (E.P.C. do Exrcito -1953)
II. Faa o que se pede ou responda ao que se pergunta: 1. Determine o valor da maior raiz da equao 3x2 + 4x - 2 = 0
(E.P.C. do AI -1951) 2. Calcule o valor da raiz de maior valor absoluto na equao 2x2 + 3x -2 = 0 3. Calcular m na equao mx2 - 3x + m - 1 = 0 de modo que a unidade seja sua raiz.
4. Sabendo que 53
raiz da equao 5mx2 - 5x - 1 = 0, calcule o valor de m.
5. Sem efetuar o produto dos primeiros membros das equaes: (x -2) (x + 2) = 0 e (2x + 1) (3x - 5) = 0 , calcule as razes.
6. Sem resolver a equao 9x2 - 6ax + a2 - 4,= 0, diga se 3
2a uma de suas razes.
7. Determinar m e p de modo que sejam nulas as razes da equao: m(x2 - x + 1 + m) + px = x + 2 (E.P.C. do Exrcito -1953) 8. Que valores pode assumir o parmetro k para que a equao abaixo tenha uma das
razes nulas? 0436 22 =+ kkxx (E.P.C.doExrcito-1953) 9. Determinar k de sorte que a equao (x - k)2 + 3 (x - 2k) = 0 tenha uma raiz igual a
zero. (Col. Militar - Seleo 1 Cientfico -1954)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
10. Qual o valor de m para que a equao (m -1 )x2 + 3mx 2m = 0 tenha uma s raiz no nula?.
11. Determinar os valores de m para que a equao abaixo tenha razes iguais: x
2 - (m - l)x + m - 2 = 0 (E.P.C. do Exrcito- Julho, ,1953)
12. Determinar m para que a equao x2 - m(x -1) = 2 - x tenha uma raiz dupla. 13. Determinar k de modo que as razes da equao 5x2 + 9x + k = 0, sejam reais e
desiguais. (E.P.C. do Exercito -1953) 14. Achar m para que a equao (2m + l)x2 + 4mx + 2(m -1) = 0 tenha duas razes
distintas. 15. Qual a condio para que as razes da equao mx2 + nx + p = 0 sejam imaginrias?
(E.P.C. do Ar -1951) 16. Achar m para que a equao 4x2 - 4x + 2m - 1 = 0 no possua razes reais. 17. Dada a equao 3x2 - 7x + 1 = 0, determinar x' + x" e x' . x"; sem resolver a
equao. (E.P.C. do Ar -1952) 18. Sem resolver as equaes abaixo, determinar a soma e o produto das razes: a) 2x2 + 6x-1 = 0 b) 0212234 2 =+ xx
c) x2 ax x + a = 0 d) (m - 2)x2 + (m + 2)x m2 + 4 = 0
19. Determine os valores de k para os quais a equao: (9k -12)x2 - (2k + 7)x + k + 5 = 0 1) tem razes simtricas; 2) tem uma s raiz nula.
(E.P.C. do Exrcito 1955) 20. Calcule a soma dos quadrados das razes da equao x2 - 2x + 6 = O
(I. Educao -2~ P. Parcial -1953) 21. Sem resolver a equao 3x2 - 2x - 5 = 0, calcule a soma dos inversos de suas razes. 22. Calcular h na equao (h + 3)x2 - 2(h + l)x + h -10 = 0 de modo que a soma dos
inversos da razes seja 31
. (E. Aeronutica -1942)
23. Dada a equao x2 - 5x + q = 0, achar q de modo que: a) uma das razes seja 3; b) a soma dos inversos das razes seja
45
.
(Col. Militar - Admisso -1945) 24. Determinar k na equao x2 + kx + 36 = 0, de modo que entre as razes x' e x" exista
a relao:125
"
1'
1=+
xx (E.P.C. do Ar -1957)
25. Sem resolver as equaes abaixo diga qual o sinal de suas razes: a) 2x2 - 8x + 5 = 0 b) 3x2 + 5x + 1 = 0 c) 5x2 - 2x + 8 = 0
d) m2x2 - 2x + 1 = 0 e) x2 + m2x + 1 = 0.
26. Sem resolver a equao 5x2 + 22x -15 = 0 diga:
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
a) se as razes tm o mesmo sinal; por qu? b) qual o sinal da maior raiz; por qu?
(E.P.C. do Ex. -1952) 27. Reconhea os sinais da seguinte equao: ax2 + a3x + a2 + b2 = 0.
(E.P.C. do Exrcito -1955) 28. Calcular m na equao mx2 - 3x + 1 = 0 de modo que suas razes sejam positivas. 29. Calcular o menor valor inteiro de m para o qual as razes da equao mx2 + 3x -1 = 0
so positivas. 30. Calcular o valor inteiro de m para o qual a equao 2x2 + 3x + m = 0 tem razes
reais, desiguais e negativas. 31. Calcular m de modo que a equao. (m - 2)x2 + 2x -1 = 0 tenha razes de sinais
contrrios sendo a maior, em valor absoluto, negativa. 32. Determine os sinais de xl e x2 (x1< x2), razes da equao em x: x
2 + bx + c = 0 onde b > 0 e c < 0 (C.N. -1958)
33. Formar as equaes cujas razes so a) 2 e -5. b) -0,5 e 0,4 (Col. Pedro 11 - Art. 91) c) k d) 3232 + e . (Col. Pedro 11 -P. Parcial -1953) 34. Compor a equao do 2 grau cujas razes so os valores absolutos de x e y no Sistema
=
=+
13322
xyyx
35. Estabelecer a equao do 2 grau cujo produto de suas razes e 1 e a maior e 32 +
36. Qual o valor de k que torna equivalentes, no campo real, as equaes: (x2 + 1) (x - k) = 0 e -7x + 2 = -3x ? (C.N. -1957) 37. Calcule a menor raiz da equao px2 + px + 2 = 0 sabendo que, se subtrairmos uma
unidade do valor de p obteremos uma nova equao do 2 grau, cujas razes so iguais. (E.N.C.D. -1958)
38. Determinar c na equao x2 -10x + c = 0, de modo que uma raiz seja o qudruplo, da outra.
39. Determinar c na equao, de modo que suas razes sejam consecutivas: x
2 -7x + c = 0.
40. Determinar b na equao 2x2 + bx + 1 = 0 de modo que uma de suas razes seja a metade da outra.
41. Calcular o menor de m na equao mx2 - (3m l )x + m = 0 de modo que a razo entre suas razes seja 1/4.
42. Calcular m de modo que as razes da equao abaixo existam e sejam inversas. 2x2 + 5x + 2m - 3 = 0.
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
43. Os nmeros a e b so razes da equao em x: 10x2 + 3x + 10ab = 0; calcule a e b sabendo-se que o quntuplo do inverso de a igual ao simtrico do dobro do inverso de b. (C.N. 1 Concurso - 1958)
44. Dada a equao 2x2 3x + 4 = 0, cujas razes so x' e x", forme outra equao cujas razes so
"
1'
1xx
e .
45. Dada a equao x2 14x + 25 = 0, formar outra equao cujas razes sejam, respectivamente, a mdia aritmtica e a mdia geomtrica das razes da equao dada.
46. Dada a equao x2 - 6x + 25 = 0 determinar a equao do 2 grau cujas razes so as mdias aritmtica e geomtrica das razes da equao dada.
(C.N. 1 Concurso - 1959). 47. Dada a equao x2 - 2px + q2 = 0, forme outra equao do 2 grau cujas razes
sejam, respectivamente; a mdia aritmtica e a mdia geomtrica das razes da equao dada. (E.P.C. do Exercito -1955)
48. Determine c na equao 4x2 - 12x + c = 0 de modo que a diferena das razes seja nove. (C. Naval -1956)
49. Completar: a) A equao incompleta do 2 grau que tem uma raiz nula da forma.................... = 0. b) Quando a soma das razes da equao do 2 grau for nula, a equao do tipo.....= 0 c) Supondo a > 0 e sendo x' e x" as razes de ax2 + bx + x = 0 quando x x" < 0
teremos a
c
................ 0. (E.P.C. do Exrcito -1953)
50. A diferena das razes da equao 4x2 - 15x + p = 0 49
. O valor de p :
(a) 9 (b) 3 (c) 9
(d) 4
15 (e)
154
(I.E. -1972) 51. Resolva equao: abcx2 - (a2b2 + c2)x + abc = 0
(a) abc
c
ab e
(b) ( ) ( )acbcba ++ e
(c) cba
ca
b e
(d) abcabc e
(e) bca
abe
e
(E. Tcnica -1971) 52. Determinar k na equao x2 - 4x + k = 0 sendo R e S as suas razes e sendo: SS RR SR RS = 256. (C.N.-1971)
53. Qua1 a resposta que voc aceitaria de seus alunos para a expresso ba11
+ , sendo a e
b as razes da equao x2 - 4x + 12 = 0 ?
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
(a) 3 (b) 3
(c) 31
(d) 31
(e) Impossvel calcular
(Concurso Professores Estado RJ - 1976) 54. Na equao x2- 4x + k = 0 onde a e b so suas razes e aa bb ab ba = 16, o valor
de k2 : (a)1 (b)9 (c)4 (d)16 (e)25
(Concurso Professores - Municpio do Rio de Janeiro -1976)
GG AA BB AA RR II TT OO
IIIIIIII ........
a) 0 e 0 b) 0 e
21
c) 5 d) 4 e
41
e) 222 e f) am g) 5a e 3a h)
baba
baba
+
+ e
i) k
qp
j) 3 e 34
k) 32
43
e
l) 3 e 1 m) x = 3 (1 raiz estranha, pois anula o
m.m.c.). n) 0 e
2ba +
IIIIIIII IIIIIIII ........
1) 3
102 +
2) 2 3) 2
4) 9
10
5) 2, -2 e 35
,
21
6) Sim 7) m = -2, p = -1 ou m = 1, p = 2 8) 4 ou 1 9) 0 ou 6 10) No h valor de m 11) 3 12) 3
13) 2081
mm e
15) mpn 42 < 16) m > 1
17) 31
37
e
18) a) 3 e 21
19) -3,5 e -5 20) -8 21) -0,4
22) 5
16
23) 6 e 4
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
24) -15 25) a) Positivas; b) negativas; c) no tem razes reais; d) positivas; e) negativas.
26) a) No, porque o produto 0 2 32) x1 > 0 e x2 < 0
33) a) x2 + 3x -10 = 0 ; b)10x2 + x - 2 = 0; c) x2 k2 = 0; d) x2 - 4x + 1 = 0 34) 6x2 - 9x + 2 = 0 35) x2 - 4x + 1 = 0
36) 21
37) 32
38) 16 39) 12 40) 3
41) 112
42) 2,5
43) 51
21
== ba e
44) 02034 2 =+ xx 45) x2 12x + 35 = 0 46) x2 8x + 15 = 0 47) x2 (p + q)x + pq = 0 48) 72
49) ax2 + bx = 0; ax2 + c = 0; 0> a
c
50) a 51) a 52) 4 53) c 54) c
EQUAO B I Q UADRADA
1. Resolver: 5x4 = 0 2. Resolver: 4x4 - 1 = 0 3. As razes da equao 3x4 - 6x2 = 0 so ....................... (I.E. e C.D. - 1957) 4. As razes da equao x4 - 5x2 + 4 = 0 so..................... (I.E. -1956) 5. Resolver: 4x4 - 9x2 + 2 = 0 6. Resolver: 214 512 - 3 = 0 (F. Eng. S.P. -1975) 7. Resolver: c4x4 + c2(a2 - b2)x2 a2b2 = 0 (E.P.C. do Ar -1957)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
8. Resolva a equao:9
1011
22
=
+
+
x
x
x
x (C.N. -1958)
9. Resolver: 5x-4 2x-2 - 3 = 0 10. A soma das razes da equao 3x4 + x2 + 5 = 0 igual a ................... (I.E..- 1959) 11. Uma das razes da equao x4 - bx2 + 36 = 0 3. Calcular as outras, sendo b
constante. (C.N. -1959) 12. Calcule a mdia aritmtica das razes da equao: x4 5x2 + 4 = 0 (C.N. -1957)
Compor as equaes de razes:
13. 32 e
14. a
a212 e
15. 2m e m
16. 5353 + e
17. Qual a equao biquadrada que possui uma raiz nula e uma. raiz igual a 2 ? 18. A equao biquadrada, de coeficientes inteiros e primos entre si, que apresenta as
razes -3 e +2 ..................................... (E.N.C.D. -1958) 19. Resolva a equao: x4 - 8x2 + 9 = 0, transformando as razes em radicais simples. Sem resolver as equaes abaixo, dizer a natureza de suas razes: 20. 2x4 - 3x2 + 5 = 0 21. x4 2x2 -15 = 0 22. 9x4 - 6x2 + 1 = 0 23. 4x4 + 4x2 + 1 = 0 24. Calcular m para que a equao tenha duas razes nulas: x4 - 3x2 + m -1 = 0 25. A equao mx4 + (p + 1 )x2 + m2 + m = 0 tem todas as suas razes nulas se ............ 26. A equao x4 2x2 + m -3 = 0 tem duas razes nulas e duas reais e simtricas se........ 27. Para que a equao 2x4 + 3x2 + m + 1 = 0 tenha duas razes nulas e duas imaginrias.
temos......................
28. Para que a equao x4 + ax2 + 4 = 0 tenha razes deveremos ter................. (E.N.S.K. - 1959)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) Todas nulas
2) 22
3) 0, 0, 2- e 2 4) 4 e 1
5) 221 e
6) 3
7) c
b
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
8) 21
9) 1 10) 0 11) -3 e 2 12) 0 13) x4 - 7x2 + 12 = 0 14) 4a2x4 - (8a3 + l)x2 + 2a = 0 15) x4 - 5m2x2 + 4m4 = 0 16) x4 - 6x2 + 4 = 0 17) x4 4x2 = 0 18) x4 - 13x2 + 36 = 0
19) ( ) ( )21272127 + e 20) No tem razes reais 21) Duas reais simtricas 22) Duas a duas reais e simtricas 23) No tem razes reais 24) m = 1 25) m = p = -1 26) m = 3 27) m = -1 28) a -4
EQUAO IRRAC I ONA L
Resolver: 1. xx =12 2
2. 1133 =x
3. xx =+ 531
4. 2=xx
5. xx 217 =++
6. xx =+ 11 2 (I.E.-1956)
7. 132 += xx (I.E.-1959)
8. 08274 =++ xx
9. 257 +=+ xx
10. 11026 =+++ xx (C.N.-1959)
11. 7323 +=++ xxx
12. 1211 +=++ xxx (C.N.-1959)
13. 532 =++ xx
14. 2222 =+ x
15. 363421 = x
16. 33
2= x
x (I.E. e E.N.C.D.-1957)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
17. ( ) 55 2121 =++ xx 18. 21 =+
xx
19. 64 = xx
20. 3036 =+ xx
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 1
2) 32
3) 2 ou 3 4) 4 5) 2 6) 1 7) 2
8) 21
9) 2 10) 5 11) 6
12) 25
13) 3 14) 3 15) 5 16) 9 17) 4 18) 1 19) 81 20) 15.625
S I S T EMAS D E EQUAES ( PARTE 2 )
1. Calcule os valores reais x e y, que so solues dos seguintes sistemas redutveis ao 2 grau.
1.
=+
=
3116
22
22
xyyx
yx
2.
=
=
31022
xyyx
3.
=
=+
8341729
22
22
yx
yx
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
4.
=
=
1611
211
22 yx
yx
5.
=
=
+
yx
yxyx
48725
22
22
(E.Militar-1937)
6. ( )
=++
=++
314822
xyyxyxyx
(E.Militar-1940)
7.
=+
=+
4
72
yx
yx
8.
=+
=+
33
2
22
yx
yx
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 5 e 3; -5 e 3
2) 2 e 11 e 3
====
yxyx
3) 2 e 1 == yx
4) 31
e 51
5) 8 e 6; -8 e -6 6) 3 e 7; 7 e 3 7) x = 3, y = 1
8) 0 e 3 ;1 e 2
PROBLEMAS
11 PP AA RR TT EE
1. Qual o nmero, cujos 52
mais os 73
, mais 54 igual ao prprio nmero, mais 72? (E.N.C.D. -1948)
2. Que horas so, se o que ainda resta para terminar o dia e 32
do que j passou?
3. As idades de Joo e Pedro somam 45 anos e h 5 anos a idade de Joo era quatro vezes a de Pedro. Que idades tm agora Joo e Pedro? (E.P.C. do Ex. -1953)
4. Roberto tem 24 anos e Paulo 10. No fim de quantos anos a idade de Roberto ser o triplo da de Paulo? (C.N. -1951)
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
5. Dois indivduos tm: o primeiro 45 anos e o segundo 15. Depois de quantos anos a idade do 2 ser um quarto da idade do 1 ? (E.P .C. do Ex. -1954)
6. A soma das idades de A e B 35. Daqui a 5 anos a idade de A ser o dobro da de B. Calcular as idades de A e B. (C.N. -1955)
7. Um pai tem 32 anos e o seu filho 14. Quando aconteceu ou acontecer que a idade de um seja o triplo da do outro?
8. Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade 72
da minha e h 5 anos era 61
. Qual a idade do pai e qual a do filho? (E.P.C. do Ex. -1953) 9. Resolva o problema: H 18 anos, a idade de uma pessoa era o duplo da de outra; em
9 anos a idade da primeira passou a ser 45
da segunda. Que idade tm as duas atualmente? (E.P.C. do Ex. -1952)
10. Uma pessoa possui 2 cavalos e uma sela que vale R$ 15,00. Colocando a sela no primeiro cavalo, vale este o dobro do segundo. Colocando-a no segundo, vale este R$ 30,00 menos que o primeiro. Quanto vale cada cavalo?
(Maratona Intelectual -1953) 11. Duas vasilhas contm, em conjunto, 36 litros de gua. Se transferssemos, para a que
tem menos gua, 52
da gua contida na outra, ficariam ambas com a mesma
quantidade de gua. Quantos litros contm cada vasilha? (E.N.S.K; -1959) 12. Tenho R$ 53,00 em notas de R$ 5,00 e de R$ 1,00. Sabendo que o total de notas
21, calcular o nmero de notas de cada valor. 13. Tm-se galinha e carneiros, ao todo 21 cabeas e 50 ps. Quantos animais h de
cada espcie? (Col. Pedro II - Artigo 91 -1949) 14. Resolver o seguinte problema: Num depsito, h viaturas de 4 e de 6 rodas, ao todo
40 viaturas e 190 rodas. Quantas viaturas h de cada espcie, no depsito? (A soluo deve ser algbrica.) (E.P.C. do Exrcito - Julho, 1953, 1 Ano)
15. Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. Uma delas, sozinha, ench-lo-ia em 7 horas. Em quantos minutos a outra, sozinha, encheria o tanque? (C.N. -1952)
16. Uma torneira enche um tanque em 12 e outra em 18 horas. Em quantas horas e minutos as duas juntas enchero o tanque?
GG AA BB AA RR II TT OO
1) -105 2) 14h 24min 3) 33 e 12 4) H 3 anos 5) H 5 anos 6) 25 a 10 7) H 5 anos 8) 35 e 10 anos
9) 24 e 21 10) R$ 60,00 e R$ 105,00 11) 30 e 60 12) 8 e 13 13) 17 e 4 14) 25 e 15 15) 560 16) 7h 12min
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
22 PP AA RR TT EE
1. Determine dois nmeros cuja soma seja (-2) e o produto seja (-15). Soluo algbrica. (E.P.C. do Exrcito -1952)
2. Dois nmeros inteiros esto entre si na razo 75
e a diferena entre seus quadrados
excede de 5 centenas o qudruplo do menor. Calcular os nmeros. (E.P .C. do Exrcito -1953)
3. Qual o maior de dois nmeros cuja soma 2 e cujo produto 43 ?
(C.N. -1951) 4. A soma de dois nmeros 100 e o produto, 1.875. Determinar estes nmeros.
(E.N.C.D. -1948) 5. A soma de dois nmeros 14 e a soma dos seus quadrados, 100. Quais so os
nmeros ? (E.P.C. do Exrcito - Julho, 1953)
6. Qual o menor dos dois nmeros cuja soma 2 e o produto 95
?
7. A diferena de dois nmeros uma dezena. Qual o menor dos dois nmeros, se ele excede a raiz quadrada do maior de 2 unidades.
8. A soma dos quadrados de dois nmeros inteiros e positivos 41. Achar esses nmeros, sabendo-se que so consecutivos.
9. A diferena dos quadrados de dois nmeros inteiros 32. O triplo do menor excede o dobro do maior de 3 unidades. Achar os nmeros.
10. A soma dos quadrados de dois nmeros inteiros 41. Trs vezes um deles igual ao dobro do outro mais duas unidades. Achar os nmeros. (E.N.C.D. - 1950)
11. A soma de dois nmeros 7 e o primeiro mais a raiz quadrada do segundo 5. Achar os nmeros.
12. A soma de dois nmeros 13; o primeiro mais a raiz quadrada do 2 7. Calcular esses nmeros. (C.N. 1953)
13. O produto dos dois algarismos de um nmero 12. Trocando a posio dos algarismos, obteremos um outro nmero que excede o primitivo de 36 unidades. Qual o nmero?
14. Determinar um nmero de dois algarismos, tal que, dividindo-o pela soma dos algarismos. igual ao quociente 4; e que o produto destes algarismos mais 52 igual ao nmero, escrito em ordem inversa. (C.P.O.R. - Seleo -1950)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) -5 e 3 2) 25 e 35 3) 1,5 4) 75 e 25 5) 6 e 8 6) 1/3
7) 6 8) 4 e 5 9) 7 e 9 10) 5 e 4 11) 3 e 4 12) 4 e 9
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
13) 26 14) 48
33 PP AA RR TT EE I. Resolva: 1. A soma de dois nmeros 48. Um deles o dobro do outro. Calcule o menor. 2. Joo e Pedro tm juntos 44 anos, Joo tem o triplo da idade de Pedro. Calcule suas
idades. 3. Comprei um terno e uma camisa por R$ 800,00. O terno custou o triplo do preo da
camisa. Qual o preo do terno? 4. A soma de dois nmeros 72 e o quociente exato da diviso desses nmeros 5.
Quais so esses nmeros ? 5. Eu sou. 26 anos mais velho do que minha filha. Qual a minha idade se o triplo da
de minha filha? 6. Um pai tem 30 anos e seu filho 6. Daqui a quantos anos a idade do pai ser o dobro
da do filho? 7. Eu tenho 37 anos e minha melhor aluna 15 anos. H quantos anos eu tive o triplo de
sua idade? 8. Um pai tem 37 anos e o filho 7. Quando aconteceu ou acontecer da idade do pai ser
o triplo da do filho? 9. Um pai tem 50 anos e os seus trs filhos 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a
quantos anos os filhos, juntos, tero a mesma idade do pai? Sugesto: bom lembrar que, cada ano, a diferena entra a idade do pai e dos filhos, juntos, diminui de 2 anos.
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 16 2) 33 e 11 3) R$ 600,00 4) 12 e 60 5) 39
6) 18 7) 4 8) Daqui a 8 anos 9) 14
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
DESAF I O S
1. Determine o polinmio P(x), do 2 grau, tal que P(-1) = 1, P(1) = 2 e P(2) = 3. 2. Determine a equao do 2 grau cuja menor raiz 32 e o produto das duas
razes 1. 3. Dados dois conjuntos A e B tais que
( ) ( ) ( ) ( ) ,.. e 5. ,10. bnnnn == pode-se afirmar que a soma dos valores possveis paras ( ).n : a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
(Col. Naval 1998)
4. A soluo da equao x
xx4
11 =+ :
a) Uma dzima peridica. b) Um n. natural, quadrado perfeito. c) Um n. racional cujo inverso tem 4 divisores positivos. d) Um n. irracional e) Inexistente
(Col. Naval 1996)
5. O quociente entre a maior e menor raiz da equao 9 8
9 174
xx
x+ = :
(Col. Naval 1994)
6. A soma e o produto das razes da equao ( ) ( ) 0665565 222 =+++ xxxx so, respectivamente:
(Col. Naval 1996)
7. ( )0 ,01122
++
+
baabbaba
igual a:
a) abab
+
+ 22
b) ( )ababab+
+ 22
c) ab
ab +
d) ba11
+
e) NRA
8. Calcule ( )( ) ( )( ) ( )( )bcacc
abcbb
cabaa
+
+
9. Demonstre identidade de Plato. ( ) ( ) ( )2222222 2abbaba +=+ 10. A mdia aritmtica de 50 nmero 38. Se dois dos nmeros, 45 e 55. So
suprimidos, a mdia aritmtica passa a ser: a) 35,5 b) 37
c) 37,2 d) 37,5
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
e) 37,52
11. Sendo qp
uma frao irredutvel, que nmero se deve subtrair de seus termos para
se obter p inverso dessa frao? 12. Se na frmula yxxy e ,2= descrevem de 25%, .
a) Decresce 50% b) Decresce 75%
c) Decresce 6437
do seu valor
d) Decresce 6427
do seu valor
e) N R A 13. As razes de 062 =+ xx
a) So positivas b) Tm produto igual a 6 c) Tm soma 0 d) Tm soma 1 e) N R A 14. Calcule a soma dos cubos das razes da equao 0262 = xx . 15. Calcule m de modo que uma das razes de x2 + mx + 27 = 0, seja o quadrado da
outra. 16. Dada a equao 2x2 + x + 1 = 0 de razes x1 e x2 , calcule o valor da expresso
22
221
1
11 xx
x
x
++
+.
17. Determinando-se os pares (x,y) de nmeros reais que satisfaam s condies
=
+
+=
xyyx
xxy
12
22
2
tem-se:
a) Dois pares b) Nenhum par c) Trs pares d) Uma infinidade de pares e) Um nico par
18. Verifique se existem nmeros inteiros positivos x tais que 028345
2
2
+
xx
xx.
19. Cada sistema disposto na primeira coluna possui uma correspondente representao grfica, constante da segunda coluna.
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Y
X
Y
X
=
=+21
0xy
xyS ( )
=
=
12
2
2xy
xyS ( )
=
=
42
2
3xy
xyS ( )
=
=+
12
4 yxyx
S ( )
=+
=+
2222
5 yxyx
S ( )
Assinale a seqncia resultante da correta associao das duas colunas. a) S4 S5 S2 S3 S1 b) S1 S2 S4 S5 S3 c) S5 S1 S4 S3 S2 d) S5 S2 - S3 S4 S1
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
e) S5 S4 S2 S3 S1 20. Sabendo que os nmeros inteiros q e r so tais que 622 =+ rqrq , podemos
afirmar que q e r so as razes da equao. a) 2x2 + 4x 6 = 0 b) x2 x 12 = 0 c) 3x2 9x + 4 = 0 d) x2 + 6x + 1 = 0 e) 2x2 12x + 6 = 0
21. Sobre o conjunto verdade da equao 22222
yxyx
yxyx
+=
+ no universo dos nmeros
podemos afirmar que. a) infinito b) vazio c) unitrio d) Contm nmeros negativos e) Contm dzimas peridicas.
LGEBRA
Ex1. Prove que : ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )zyxzyx=
=+++
111111
Ex2 : Simplifique
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacccbabbcabaa ++111
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacccbabbcabaa ++ 222111
Ex3: Mostre que: ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2222 xbcacbxax
cabcbaxcxb
cabacxbx
a =
+
+
Ex4: Mostre que: ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 1=
+
+
bcacbxax
abcbaxcx
cabacxbx
Ex5: Mostre que se a + b + c = 0
Ento : 9=
+
+
+
+
ac
bcb
a
bac
bac
a
cbb
ba
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Ex6: Simplifique a seguinte expresso:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacabc
abcbacb
cababca
++
+++
+++
222
Ex7: Calcule
..............111
11
11
1
++
++
=S
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
PROVAS
MINISTRIO DA DEFESA . EXRCITO BRASILEIRO DEP - DFA - EsS A Concurso de Admisso aos CFS/2000 EXAME INTELECTUAL
APROVO:
Diretor de Ensino da Essa
IIIIIIII NNNNNNNN SSSSSSSS TTTTTTTT RRRRRRRR UUUUUUUU EEEEEEEE SSSSSSSS Inicialmente, confira os campos de identificao do candidato na Folha Respostas e
na Folha de Redao, seguindo a orientao do aplicador da prova. A soluo das Provas s ser vlida na Folha de Respostas e na Folha de Redao. No sero fornecidas Folha de Respostas reserva e Folha de Redao reserva por
erro do candidato. Folhas reservas s sero fornecidas nos casos de falha de impresso. Ao terminar, verifique o preenchimento e entregue a Folha de Respostas, Folha de
Redao e a Prova ao aplicador. A Prova e o gabarito estaro disposio dos interessados em data, hora e local
informados pela Comisso de Aplicao. S ser permitida a sada do local da prova aps transcorridas 02 h 40 min (duas horas e quarenta minutos) do tempo total destinado realizao das provas (aps s 11:40 hs). Tempo de durao das Provas (Mltipla Escolha + Redao): 04 horas
11111111 PPPPPPPP RRRRRRRR OOOOOOOO VVVVVVVV AAAAAAAA -------- MMMMMMMM AAAAAAAA TTTTTTTT EEEEEEEE MMMMMMMM TTTTTTTT IIIIIIII CCCCCCCC AAAAAAAA 1. Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a
dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo ser armado, trabalhando-se 10 horas por dia?
(A) 7 dias; (B) 6 dias; (C) 5 dias; (D) 4 dias; (E) 3 dias. 2. Seja ABCOE... um polgono regular convexo onde as mediatrizes dos lados AB e
CD formam um ngulo de 30. Sendo assim, temos que o nmero de diagonais desse polgono igual a: A)
(A) 252; (B) 251; (C) 250; (D) 249; (E) 248. 3. A expresso algbrica x2 - y2 z2 + 2yz + x + y z, admite como fator: (A) x + y + z + 1; (B) x y z + 1; (C) x + y z + 1; (D) x y + z + 1; (E) x + y + z + 1. 4. Dos 800 sargentos formados pela EsSA a cada ano, 5% pedem para sair do Exrcito
ao completarem 5 anos de servio. Ento, a quantidade de sargentos formados pela EsSA aps 12 anos e que ainda esto em atividade :
(A) 96OO; (B) 9460; (C) 9280; (D) 9120; (E) 8800;
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
5. Considere os pontos colineares A, B, O e C na ordem OABC. Se AO = 3 cm, OB = 5 cm e 4AB + AC 2BC = 6cm, ento a distncia, em cm, entre os pontos O e C igual a:
(A) 5; (B) 6; (C) 7; (D) 8; (E) 9. 6. Duas pessoas, fazendo seus exerccios dirios, partem de um mesmo ponto e
contornam, andando, uma pista oval. Uma dessas pessoas anda de forma mais acelerada e d uma volta completa na pista em 12 minutos, enquanto a outra leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quanto tempo essas duas pessoas voltaro a se encontrar no ponto de partida?
(A) 40 minutos; (B) 50 minutos; (C) 60 minutos; (D) 70 minutos; (E) 90 minutos. 7. A potncia (2,12121212...)990 tem quantos divisores naturais ? (A) 12; (B) 13; (C) 120; (D) 121; (E) 991. 8. Numa circunferncia, uma corda de 60 cm tem uma flecha de 10cm. O dimetro da
circunferncia mede: (A) 50 cm; (B) 100 cm; (C) 120 cm; (D) 180 cm; (E) 200 cm. 9. A soma dos inversos das razes da equao x2 - 36x + 180 = 0 :
(A) 51
;
(B) 61
;
(C) 301
;
(D) 361
;
(E) 152
;
10. Um grupo de 18 homens pretendem construir um muro em 15 dias. Ao final de 10
dias perceberam que s haviam realizado 52
da obra. Se o grupo for reforado com
mais 12 homens, quanto tempo a mais que o pretendido levaro para concluir a obra?
(A) 2; (B) 4; (C) 7; (D) 9; (E) 10.
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
22 PP rr oo vv aa dd ee MM aa tt eemm tt ii cc aa
211
//
==
CDAB
CAAB
CBAB
e
1. valor da expresso ( ) ( )( ) ( )9950
49100
1111
+
xx
xx para x = 101/99 :
(A) -1 (B) 100 (C) 1 (D) -100 (E) 101
2. Observando a figura2 (Fig.2) acima, conclu-se que o valor do ngulo a :
(A) 70 (B) 800 (C) 75 (D) 85 (E) 650
3. O nmero natural N = (105 + 3.104 + 7.103 + 440 + n) divisvel por 13, n um nmero natural menor que 10, e q o quociente da diviso de N por 13. Logo, o valor de q + n :
(A) 13052 (B) 10582 (C) 10739 (D) 10126 (E) 10026
4. O suplemento do ngulo 45 17' 27" foi dividido em trs partes iguais. A medida de cada parte :
(A) 2254'41"
(B) 4454'11"
(C) 1134'51"
(D) 3442'33"
(E) 5444'33" "
5. Um tringulo tem lados que medem 6, 9 e c. O nmero mximo de elementos do conjunto que podem ocupar o lugar de c :
(A) 5 (B) 6 (C) 9 (D) 3 (E) 7
6. Numa determinada escola, onde 40% dos alunos so do sexo masculino, foi feita uma pesquisa sobre conhecimentos na rea de informtica, com o seguinte resultado:
a) 18% dos alunos no tm conhecimento na rea de informtica.
b) 30% dos alunos do sexo masculino no tm conhecimento na rea de informtica.
-
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Pode-se concluir, portanto, que a razo entre ,a quantidade de alunas desta escola que no tem e as que tem conhecimento, na rea de informtica : (A) 1/4 (B) 1/6 (C) 1/5 (D) 1/10 (E) 1/9
7. Uma empresa de telefonia precisa implantar torres de comunicao ao longo de trs rodovias distintas, que medem 450 km, 330 km e 300 km, Para facilitar sua localizao, decidiu-se instalar as torres mantendo, entre elas, sempre a mesma distncia nas trs rodovias. Foi utilizada a maior distncia possvel, e elas foram instaladas a partir do quilmetro zero de cada rodovia. O nmero de torres instaladas nas rodovias foi:
(A) 35 (B) 37 (C) 39 (D) 36 (E) 38
8. Na figura 1(Fig.1), a medida do segmento AB 12cm, e a do segmento CD e 8cm. Logo, a medida do segmento EF :
(A) 24/5 cm
(B) 30/5 cm
(C) 20/5 cm
(D) 29/5 cm
(E) 25/5 cm
9. Numa lanchonete, o refrigerante vendido em copos descartveis de 300 ml por R$ 1,35 e de 500 ml por R$ 1,80. Ao se comparar o preo do refrigerante no copo de 500 ml em relao ao de 300 ml, conclui-se que :
(A) 20% maior
(B) 30% maior
(C) Igual
(D) 20% menor
(E) 30% menor
10. Exrcito Brasileiro foi chamado para auxiliar no combate Dengue. O sargento Nilton recebeu um grupo de soldados, e a misso de distribui-los nos bairros de uma cidade. Observou, ento, que se enviasse 12 soldados para cada bairro, sobrariam 4 soldados, e que se enviasse 16 soldados para cada bairro, 3 bairros no receberiam soldado algum. O nmero de soldados recebidos pelo sargento Nilton :
(A) 160 (B) 176 (C) 128 (D) 144 (E) 192