Exemplo de cálculo das lajes do tabuleiro

utilizando as tabelas de Rüsch

Planta esquemática do tabuleiro

Esquema das lajes isoladas

Lajes L5 = L6

1- Momentos fletores nas lajes “internas” (L1 , L2 , L3 , L4)

1.1- Cálculo das lajes “isoladas”

1.1.1- Lajes L1 = L4

a) CargasCarga

permanente

Laje: h = 18cm Pavimentação: emédio = (5 + 11) / 2 = 8cm

Peso próprio da laje: 0,18 x 25 = 4,50 kN/m2

Peso da pavimentação: 0,08 x 24 = 1,92 kN/m2

Peso do recapeamento:

Carga móvel (classe TB 450)

2,00 kN/m2

---------------

g =8,42 kN/m2

Q = 75 kN (peso de uma roda); q = 5 kN/m2 (carga distribuída na pista)

Coeficiente de impacto

l = 5m (menor dos vãos) ⇒ φ = CIV = 1,00 + 1,06.[20/(5+50)]= 1,385

m 5 8 ,5 m

Lajes L 1

= L 4

Lajes L 2

= L 3

b) Identificação a tabela de Rüsch

lx = 5m , ly = 5m ⇒ ly / lx = 1

Consultando o índice das tabelas: tabela

85 , página 57

Momentos que podem ser calculados:

Mxm , Mym , Mye

Parâmetros para utilização das tabelas: lx / a , t / a

lx = 5m , a = 2m ⇒ lx / a = 2,5

t = t'+2⋅ e + h t'= 0,20 ×b = 0,20 × 0,50 = 0,316m

e = emédio = 8cm = 0,08m

h = 18cm = 0,18m

t = 0,316 + 2 × 0,08 + 0,18 = 0,656m ⇒ t / a = 0,656 / 2 = 0,328

c) Momentos fletores da carga permanente

Mg = k . g . lx2

k = coeficiente fornecido pela tabela

g = 8,42 kN/m2 lx = 5m

Mxm,g = 0,030×8,42×52 = 6,32 kN.m/m

Mym,g = 0,036×8,42×52 = 7,58 kN.m/m

Mye,g = -0,084×8,42×52 = -17,68 kN.m/m

d) Momentos fletores da carga móvel

Mq = φ ( Q . ML + q1 . Mp + q2 . Mp’ )

φ = 1,385 Q = 75 kN q1 = q2 = q = 5 kN/m2

ML = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a e t/a

Mp = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a

Mp’ = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a

lx/a = 2,5

t/a = 0,328 ⇒ é necessário interpolar ML entre

t/a = 0,25 e 0,50

Mxm,q :

Mxm,q = 1,385×(75×0,295 + 5×0 + 5×0,17) = 31,82 kN.m/m

Mym,q :

Mym,q = 1,385×(75×0,271 + 5×0 + 5×0,27) = 30,02 kN.m/m

Mye,q :

Mye,q = -1,385×(75×0,741 + 5×0 + 5×0,66) = - 81,54 kN.m/m

1.1.2- Lajes L2 = L3

a) Cargas

Carga permanente

Laje: h = 18cm Pavimentação: emédio = (5 + 11) / 2 = 8cm

Peso próprio da laje: 0,18 x 25 = 4,50 kN/m2

Peso da pavimentação: 0,08 x 24 = 1,92 kN/m2

Peso do recapeamento: 2,00 kN/m2

--------------

g =8,42 kN/m2 É a mesma das lajes L1 e L4

Carga móvel (classe 45)

Q = 75 kN (peso de uma roda) q = 5 kN/m2 (carga distribuída na pista)

Coeficiente de impacto l = 5m (menor dos vãos) ⇒

φ = CIV = 1,00 + 1,06.[20/(5+50)]= 1,385

lx / a ML para t / a

Mp Mp’ 0,25 0,328 0,50

2,5 0,323 0,295 0,233 - 0,17

lx / a ML para t / a

Mp Mp’ 0,25 0,328 0,50

2,5 0,281 0,271 0,250 - 0,27

lx / a

ML para t / a

Mp Mp’ 0,25 0,328 0,50

2,5 0,76 0,741 0,70 - 0,66

b) Identificação da tabela de Rüsch

Consultando o índice das tabelas:

tabela 88 ⇒ ly / lx = 2,0 e tabela 89 ⇒ ly / lx = 1,5

As tabelas 88 e 89 “não existem”

As indicações para o cálculo são fornecidas no índice:

para a carga permanente ⇒ valores de k estão no índice para a

carga móvel ⇒ Mxm e Mym utilizar a tabela 1

Mye utilizar a tabela 58

Parâmetros para utilização da tabela: lx / a , t / a

lx = 5m , a = 2m ⇒ lx / a = 2,5

t = 0,316 + 2 × 0,08 + 0,18 = 0,656m ⇒ t / a = 0,328

são iguais aos da laje L1

c) Momentos fletores da carga permanente

Mg = k . g . lx2 k = coeficiente fornecido pelo índice das tabelas em

função de ly / lx ly / lx = 1,7 ⇒ é necessário interpolar entre ly / lx = 2,0

e 1,5; g = 8,42 kN/m2 lx = 5m

Mxm,g = 0,066×8,42×52 = 13,89 kN.m/m

Mym,g = 0,038×8,42×52 = 8,00 kN.m/m

Mye,g = -0,111×8,42×52 = -23,37 kN.m/m

ly / lx

Valores de k para

Mxm Mym Mye

2,0 0,084 0,037 -0,119

1,7 0,066 0,038 -0,111

1,5 0,054 0,039 -0,105

d) Momentos fletores da carga móvel

Mq = φ ( Q . ML + q1 . Mp + q2 . Mp’ )

φ = 1,385 Q = 75 kN q1 = q2 = q = 5 kN/m2

ML = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a e t / a

Mp = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a

Mp’ = coeficiente fornecido pela tabela em função de lx/a

x/a = 2,5 ; t/a = 0,328 ⇒ é necessário interpolar

ML entre t/a = 0,25 e 0,50

Tabela 1 com tráfego na direção y ⇒ Mxm e Mym

Tabela 58 com tráfego na direção y ⇒ Mye

Tabela 1 com tráfego na direção y ⇒ Mxm e Mym

Mxm,q :

Mxm,q = 1,385×(75×0,581 + 5×0,58 + 5×0,96) = 71,02 kN.m/m

Mym,q :

Mym,q = 1,385×(75×0,323 + 5×0,10 + 5×0,24) = 35,91 kN.m/m

lx / a

ML para t / a

Mp Mp’ 0,25 0,328 0,50

2,5 0,59 0,581 0,56 0,58 0,96

lx / a

ML para t / a

Mp Mp’ 0,25 0,328 0,50

2,5 0,338 0,323 0,290 0,10 0,24

l

Tabela 58 com tráfego na direção y ⇒ Mye Mye,q :

Mye,q = -1,385×(75×0,84 + 5×0,39 + 5×0,95) = -96,53 kN.m/m

1.2- Correção para laje contínua

y'

Direção da continuidade da laje ⇒ x’

Corrigir somente os efeitos da carga móvel

lx / a

ML para t / a

Mp Mp’ 0,25 0,328 0,50

2,5 0,85 0,84 0,82 0,39 0,95

1.2.1- Lajes L1 = L4 Mxm,q = 31.82 Mym,q = 30,02 Mye,q = -81,54

lx’ = ly = 5m ly’ = lx = 5m ⇒ ly’ / lx’ = 1

Laje marginal ou extrema Placa vinculada nos 4 lados Coeficientes fornecidos pela tabela de correção:

MA = MB/2 α01 = 1,05 α0B = 0,96

Os vãos são menores que 20m:

α1 =1,2

1 +lx′100

α01 =1,2

1 +5

100

. 1,05 = 1,20

αB =1,2

1 +lx′100

α0B =1,2

1 +5

100

. 0,96 = 1,10

Mx’m,q = Mym,q ⇒ correção com α1 ⇒ Mym,q,corr = Mym,q.α1 = 30,02 × 1,20 = 36,02 kNm/m

My’m,q = Mxm,q ⇒ não precisa ser corrigido ⇒ não está na direção da continuidade

Mx’e,q = Mye,q ⇒ correção com αB ⇒ Mye,q,corr = Mye,q.αB = -81,54 × 1,10 =-89,69 kNm/m

Após as correções:Mxm,q = 36,02 kNm/m Mym,q = 31,82 kNm/m Mye,q = -89,69 kNm/m

1.2.2- Lajes L2 = L3

Mxm,q = 71,02 Mym,q = 35,91 Mye,q = -96,53

lx’ = ly = 8,5m ly’ = lx = 5m ⇒ ly’ / lx’ = 0,59

Laje interna Placa vinculada nos 4 lados Coeficientes fornecidos pela tabela de

correção: α02 = 1,05 α0C = 1,00

Os vãos são menores que 20m:

α2 =1,2

1 +lx′100

α02 =1,2

1 +8,5100

. 1,05 = 1,16

αC =1,2

1 +lx′100

α0C =1,2

1 +8,5100

. 1,00 = 1,11

Mx’m,q = Mym,q ⇒ correção com α2 ⇒ Mym,q,corr = Mym,q.α2 = 35,91 × 1,16 = 41,66 kN.m

My’m,q = Mxm,q ⇒ não precisa ser corrigido ⇒ não está na direção da continuidade

Mx’e,q = Mye,q ⇒ correção com αC ⇒ Mye,q,corr = Mye,q.αC = -96,53 × 1,11 = -107,15 kN.m

Após as correções: Mxm,q = 71,02 kN.m Mym,q = 41,66 kN.m Mye,q = -107,1 kN.m

1.3- Valores finais para dimensionamento no E.L.U.

Peso próprio da laje = 4,50 kN/m2

Carga permanente total: g = 8,42 kN/m2

Peso próprio / g = 0,52 < 0,75 ⇒ pontes em geral

⇒ γg = 1,35 e γq = 1,5

1.3.1- Lajes L1 = L4 Mxm,d = 1,35×7,58 + 1,5×36,02 = 64,26 kN.m/m

Mym,d = 1,35×6,32 + 1,5×31,82 = 56,26 kN.m/m

Mye,d = 1,35×(-17,68) + 1,5×(-89,69) = -156,47 kN.m/m

1.3.2- Lajes L2 = L3

Mxm,d = 1,35×13,89 + 1,5×71,02 = 123,74 kN.m/m

Mym,d = 1,35×8,00 + 1,5×41,66 = 72,38 kN.m/m

Mye,d = 1,35×(-23,37) + 1,5×(-107,1) = -189,96 kN.m/m

1.3.3- Momento fletor negativo das lajes L1 = L4

na ligação com a cortina

MA MB = Mye

MA = MB / 2 = Mye / 2

MA = -156,47 / 2 = -78,23

2- Forças cortantes nas lajes “internas” 2.1- Lajes L1 = L4

a) Cargas

g = 8,42 kN/m2 Q = 75 kN q = 5 kN/m2 φ = 1,365

b) Identificação da tabela de Rüsch

lx = 5m , ly = 5m ⇒ ly / lx = 1

Consultando o índice das tabelas: tabela 102

Parâmetros para a tabela de Rüsch: x/a = 2,5 t/a = 0,328

Forças cortantes que podem ser calculadas:

Vy = Qx → Vx = Qx ↑

c) Efeito da carga permanente

Vx,g = Vy,g = 0,44 g.lx = 0,44×8,42×5 = 18,52 kN/m

d) Efeito da carga móvel

Vq = φ ( Q . VL + q1 . Vp + q2 . Vp’ )

lx / a

Qx → = Vy Qx ↑ = Vx

VL para t / a Vp Vp’

VL para t / a Vp Vp’

0,25 0,328 0,50 0,50 0,328 0,50

2,5 1,80 1,55 1,00 0,01 0,40 1,80 1,53 0,95 - 0,26

Vx,q = 1,365×(75×1,53 + 5×0 + 5×0,26) = 158,41 kN/m

Vy,q = 1,365×(75×1,55 + 5×0,01 + 5×0,40) = 161,48 kN/m

e) Valores totais para dimensionamento no E.L.U.

Vx,d = 1,35×18,52 + 1,5×158,41 = 262,62 kN/m

Vy,d = 1,35×18,52 + 1,5×161,48 = 267,22 kN/m

l

2.2- Lajes L2 = L3

a) Cargasg = 8,42 kN/m2 Q = 75 kN q = 5 kN/m2 φ = 1,365

b) Identificação da tabela de Rüsch

lx = 5m , ly = 8,5m ⇒ ly / lx = 1,7

Parâmetros para a tabela de

Rüsch: x/a = 2,5 t/a = 0,328

Tabelas a serem utilizadas:

tabela 99: Vx = Qx ↑ tabela

102: Vy = Qx →

c) Efeito da carga permanente

Vx,g = 0,5 g.lx = 0,5×8,42×5 = 21,05 kN/m

Vy,g = 0,44 g.lx = 0,44×8,42×5 = 18,52 kN/m

d) Efeito da carga móvel: Vq = φ ( Q . VL + q1 . Vp + q2 . Vp’ ) tabela 99 , Vx =

Qx ↑

Vx,q = 1,365×(75×1,25 + 5×0,09 + 5×0,23) = 130,15 kN/m

tabela 102 , Vy = Qx →

Vy,q =

1,365×(75×1,55 + 5×0,01 + 5×0,40) = 158,41 kN/m

lx / a

VL para t / a

Vp Vp’ 0,25 0,328 0,50

2,5 1,42 1,25 0,88 0,09 0,23

lx / a

VL para t / a

Vp Vp’ 0,25 0,328 0,50

2,5 1,80 1,55 1,00 0,01 0,40

l

e) Valores totais para dimensionamento no E.L.U.

Vx,d = 1,35×21,05 + 1,5×130,15 = 223,64 kN/m

Vy,d = 1,35×18,52 + 1,5×158,41 = 262,62 kN/m

3- Momentos fletores nas lajes em balanço (L5 e L6)

lx = 1m , ly = 27m ⇒ ly /lx = 27 = ∞

Tabela no.98 com tráfego na direção y (páginas 72 e 73)

Página 71 ⇒ coeficientes para Mxe (engastamento)

Myr (borda livre)

Página 72 ⇒ coeficientes para Mxm (meio da laje)

Mym (meio da laje)

Mxm e Mym não serão calculados ⇒ vão lx é pequeno (1m)

a) Cargas

Carga permanente

Laje: hmédio = (15 + 28) / 2 = 21,5cm

Pavimentação: emédio = (5 + 11) / 2 = 8cm

Peso próprio da laje: 0,215 x 25 = 5,38 kN/m2

Peso da pavimentação: 0,08 x 24 = 1,92 kN/m2

Peso do recapeamento: 2,00 kN/m2

g =9,30 kN/m2

(Defensa e placa pré-moldada serão consideradas separadamente)

Carga móvel (classe 45)

Q = 75 kN (peso de uma roda) q = 5 kN/m2 (carga distribuída na pista)

Coeficiente de impacto l = 2×1,38m (laje em balanço) ⇒ φ = CIV

= 1,00 + 1,06.[20/(2,76+50)]= 1,402

Parâmetros para as tabelas de Rüsch lx = 1m , a = 2m ⇒ lx/a = 0,5

t’ = 0,316m , emédio = 0,08m , hmédio = 0,215m

⇒ t = 0,316 + 2×0,08 + 0,215 = 0,691m ⇒ t/a = 0,346

b) Momentos fletores da carga permanente

Mxe,g = -0,5×9,30×12 = -4,65 kN.m/m (laje, pavimentação e recapeamento)

Myr,g = 0

Efeito do peso da defensa, base da defensa e placa pré-moldada:

Defensa: (0,1934×25)×(1,00 + 0,19) = 5,75 kN.m/m

Base da defensa: (0,15×0,38×25)×(1,00 + 0,19) = 1,70 kN.m/m

Placa pré-moldada: (0,07×1,31×25)×(1,00 + 0,38) = 3,16 kN.m/m

Valor total:

Mxe,g = -4,65 – 5,75 – 1,70 – 3,16 = -15,26 kN.m/m

c) Momentos fletores da carga móvel Mxe,q :

Mxe,q = -1,402×(75×0,452 + 5×0 + 5×0) = -47,53 kN.m/m

Myr,q :

Myr,q = 1,402×(75×0,219 + 5×0 + 5×0) = 23,03 kN.m/m

d) Valores totais para dimensionamento no E.L.U.

Mxe,d = 1,35×(-15,26) + 1,5×(-47,53) = -91,88 kN/m

Myr,d = 1,00×(-15,26) + 0,0×23,03 = -15,26 kN/m

lx / a ML para t / a

Mp Mp’ 0,25 0,346 0,50

0,5 0,49 0,452 0,39 - -

lx / a ML para t / a

Mp Mp’ 0,25 0,346 0,50

0,5 0,265 0,219 0,145 - -