MATRIZES

Sejam, por exemplo, as matrizes:

XM1 + YM2 + ZM3 + WM4 = M Isto resultará no sistema:

Que equivale à equação matricial

3 12 2

4 01 1

2 23 0

1 25 6

M1 = M2 = M3 = M4 =

Para escrever a matriz na base acima, tem-se:a bc dM =

3 4 2 11 0 2 22 1 3 52 1 0 6

XYZW

abcd

x =Cada matriz se transforma no vetor(a11, a12, a21, a22) que, na equação matricial, se escreve em colunas.

3X + 4Y + 2Z + 1W = a1X + 0Y + 2Z + 2W = b2X + 1Y + 3Z + 5W = c2X + 1Y + 0Z + 6W = d

POLINÔMIOS

Cada base de um espaço vetorial de polinômios de grau “n” é formadapor n + 1 polinômios.

Por exemplo:

Para polinômios de grau 3, pode ser tomada como base o conjunto:

{v1 = 2t3 + t; v2 = t2 + 2t – 1; v3 = t + 2; v4 = 5}

Alem disso, pelo menos em um dos vetores, deve figurar um dos graus 3, 2, 1, 0.

A forma geral dos vetores de grau 3 é P3 = at3 + bt2 + ct + d

formado por 3 + 1 = 4 polinômios.

Para escrever o polinômio P3 na base do exemplo, tem-se:

Xv1 + Yv2 + Zv3 + Wv4 = P3

{v1 = 2t3 + t; v2 = t2 + 2t – 1; v3 = t + 2; v4 = 5}Base

P3 = at3 + bt2 + ct + d

Xv1 + Yv2 + Zv3 + Wv4 = P3

Polinômios

Equação:

X.(2t3 + 0t2 + 1t + 0) + Y.(0t3 + 1t2 + 2t – 1) + Z.(0t3 + 0t2 + 1t + 2) + W.(0t3 + 0t2 + 0t + 5) = = at3 + bt2 + ct + d

2X + 0Y + 0Z + 0W = a0X + 1Y + 0Z + 0W = b1X + 2Y + 1Z + 0W = c0X – 1Y + 2Z + 5W = d

2 0 0 0 X a0 1 0 0 Y b 1 2 1 0 Z c0 -1 2 5 W d

x =

Os polinômios podem ser escritos na forma de vetores (, , , ) cujas coordenadas são os coeficientes dos polinômios.

Na matriz esses vetores são representados em colunas.

2 - Sejam A = {a1 = 2, a2 = x + 1, a3 = x2 + 2}, B = {b1 = 4, b2 =2x – 1, b3 = x2 – x + 1} e C = {c1 =1, c2 = x, c3 = x2}, bases do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois.a) Transforme P(x)C = 4x2 – 2x + 7 para as bases B e A.b) Transforme P(x)A = 5a3

2 + 3a2 + 2a1 para as bases B e C.c) Escreva as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B

EXERCÍCIOS

1 – Quais são as bases canônicas dos espaços vetoriais abaixo sobre o corpo dos reais (Pn – polinômio de grau n; Mn – matrizes de ordem n)? (a) P2 (b) P3 (c) P4 (d) M2 (e) M3 (f) M4

3 – Escreva um conjunto de matrizes quadradas de ordem 2 que seja uma base para o espaço M2. Verifique se esse conjunto é mesmo uma base.

3 - Sejam os conjuntos:

3 12 2

4 01 1

2 23 0

1 25 6

M1 = , , ,M2 = M3 = M4 =

1 12 3

2 34 5

3 01 4

5 12 6

M’1 = , , , M’2 = M’3 = M’4 =

=

=

(a) Escreva a matriz nas bases e . 10 -12 5 9

(b) Determine a matriz que transforma a base na base .

(c) Prove que é uma base.

(d) Se M = é uma matriz escrita na base , escreva-a na 7 1

6 2 base .