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Equacao do calor

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

    INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS

    DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

    EQUACOES DIFERENCIAIS B - 30 de marco de 2015

    Prof. Reginaldo J. Santos

    Exerccios Complementares sobre Equacao do Calor

    1. Considere uma barra de 40 cm de comprimento, isolada nos lados, com coeficiente = 1,a extremidade da direita mantida a temperatura zero e extremidade da esquerda isolada,ou seja,

    u

    x(0, t) = u(40, t) = 0

    e tal que a temperatura inicial e dada por

    f(x) =

    {20 x, se 0 x < 20,

    0, se 20 x 40.Determine a temperatura u(x, t).

    2. Resolva o seguinte problema de valor inicial e de fronteira que corresponde ao problemado calor em uma barra de comprimento L que do lado direito esta mantida a temperaturafixa T2 e do lado esquerdo e mantida isolada.

    u

    t= 2

    2u

    x2,

    u

    x(0, t) = 0, u(L, t) = T2,

    u(x, 0) = f(x), 0 < x < L

    3. Resolva o PVIF e determine a solucao estacionaria.u

    t=2u

    x2+ senx

    u(0, t) = 1, u(pi, t) = 2,

    u(x, 0) = 1 +x

    pi, 0 < x < pi.

    1

  • Solucao

    1. Temos que resolver o problema de valor inicial e de fronteira2u

    x2=u

    t,

    u

    x(0, t) = 0, u(40, t) = 0,

    u(x, 0) = f(x), 0 < x < 40.

    A solucao do problema de valor inicial e de fronteira e entao

    u(x, t) =n=0

    c2n+1 cos(2n+ 1)pix

    80e

    (2n+1)2pi2

    6400t

    em que cn sao os coeficientes da serie de cossenos de ndice mpar de f(x), ou seja,

    c2k+1 = 4(

    20a2k+1(f(0)

    0, 14

    , 80) a2k+1(f (1)0, 14

    , 80))

    = 4

    (20 1

    (2k + 1)pisen s

    (2k+1)pi40

    80(2k + 1)2pi2

    (s sen s+ cos s) (2k+1)pi40

    )

    =320

    (2k + 1)2pi2

    (1 cos (2k + 1)pi

    4

    )Portanto, a solucao de valor inicial e de fronteira e dada por

    u(x, t) =320

    pi2

    k=0

    1 cos (2k+1)pi4

    (2k + 1)2cos

    (2k + 1)pit

    80e

    (2n+1)2pi2

    6400t.

    2. Observamos que v(x, t) = T2 e uma solucao da equacao

    v

    t= 2

    2u

    x2= 0

    que satisfaz as condicoesu

    x(0, t) = 0, u(L, t) = T2,

    Logo, a solucao do problema e

    u(x, t) = v(x, t) + u0(x, t),

    2

  • em que u0(x, t) e a solucao deu

    t= 2

    2u

    x2,

    u

    x(0, t) = 0, u(L, t) = 0,

    u(x, 0) = f(x), 0 < x < L

    Assim,

    u(x, t) = T2 +n=0

    c2n+1 cos(2n+ 1)pix

    2Le

    2(2n+1)2pi2

    4L2t

    e a solucao do problema da valor inicial e de fronteiras se

    u(x, 0) = f(x) = T2 +n=0

    c2n+1 cos(2n+ 1)pix

    2L

    ou seja, os coeficientes sao dados por

    c2n+1 =2

    L

    L0

    [f(x) T2] cos (2n+ 1)pix2L

    dx.

    3. A solucao de {v = senxv(0) = 1, v(pi) = 2

    e v(x) = 1 +x

    pi+ senx. A solucao deu

    t=2u

    x2,

    u(0, t) = 0, u(40, t) = 0,

    u(x, 0) = 1 +x

    pi (1 + x

    pi+ senx) = senx, 0 < x < pi.

    eu(x, t) = senxet

    Portanto, a solucao e dada por

    u(x, t) = 1 +x

    pi+ senx senxet

    Quando t tende a mais infinito a solucao tende a solucao estacionaria

    v(x) = 1 +x

    pi+ senx.

    3