UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

EQUACOES DIFERENCIAIS B - 30 de marco de 2015

Prof. Reginaldo J. Santos

Exerccios Complementares sobre Equacao do Calor

1. Considere uma barra de 40 cm de comprimento, isolada nos lados, com coeficiente = 1,a extremidade da direita mantida a temperatura zero e extremidade da esquerda isolada,ou seja,

u

x(0, t) = u(40, t) = 0

e tal que a temperatura inicial e dada por

f(x) =

{20 x, se 0 x < 20,

0, se 20 x 40.Determine a temperatura u(x, t).

2. Resolva o seguinte problema de valor inicial e de fronteira que corresponde ao problemado calor em uma barra de comprimento L que do lado direito esta mantida a temperaturafixa T2 e do lado esquerdo e mantida isolada.

u

t= 2

2u

x2,

u

x(0, t) = 0, u(L, t) = T2,

u(x, 0) = f(x), 0 < x < L

3. Resolva o PVIF e determine a solucao estacionaria.u

t=2u

x2+ senx

u(0, t) = 1, u(pi, t) = 2,

u(x, 0) = 1 +x

pi, 0 < x < pi.

1

Solucao

1. Temos que resolver o problema de valor inicial e de fronteira2u

x2=u

t,

u

x(0, t) = 0, u(40, t) = 0,

u(x, 0) = f(x), 0 < x < 40.

A solucao do problema de valor inicial e de fronteira e entao

u(x, t) =n=0

c2n+1 cos(2n+ 1)pix

80e

(2n+1)2pi2

6400t

em que cn sao os coeficientes da serie de cossenos de ndice mpar de f(x), ou seja,

c2k+1 = 4(

20a2k+1(f(0)

0, 14

, 80) a2k+1(f (1)0, 14

, 80))

= 4

(20 1

(2k + 1)pisen s

(2k+1)pi40

80(2k + 1)2pi2

(s sen s+ cos s) (2k+1)pi40

)

=320

(2k + 1)2pi2

(1 cos (2k + 1)pi

4

)Portanto, a solucao de valor inicial e de fronteira e dada por

u(x, t) =320

pi2

k=0

1 cos (2k+1)pi4

(2k + 1)2cos

(2k + 1)pit

80e

(2n+1)2pi2

6400t.

2. Observamos que v(x, t) = T2 e uma solucao da equacao

v

t= 2

2u

x2= 0

que satisfaz as condicoesu

x(0, t) = 0, u(L, t) = T2,

Logo, a solucao do problema e

u(x, t) = v(x, t) + u0(x, t),

2

em que u0(x, t) e a solucao deu

t= 2

2u

x2,

u

x(0, t) = 0, u(L, t) = 0,

u(x, 0) = f(x), 0 < x < L

Assim,

u(x, t) = T2 +n=0

c2n+1 cos(2n+ 1)pix

2Le

2(2n+1)2pi2

4L2t

e a solucao do problema da valor inicial e de fronteiras se

u(x, 0) = f(x) = T2 +n=0

c2n+1 cos(2n+ 1)pix

2L

ou seja, os coeficientes sao dados por

c2n+1 =2

L

L0

[f(x) T2] cos (2n+ 1)pix2L

dx.

3. A solucao de {v = senxv(0) = 1, v(pi) = 2

e v(x) = 1 +x

pi+ senx. A solucao deu

t=2u

x2,

u(0, t) = 0, u(40, t) = 0,

u(x, 0) = 1 +x

pi (1 + x

pi+ senx) = senx, 0 < x < pi.

eu(x, t) = senxet

Portanto, a solucao e dada por

u(x, t) = 1 +x

pi+ senx senxet

Quando t tende a mais infinito a solucao tende a solucao estacionaria

v(x) = 1 +x

pi+ senx.

3