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Curso: Técnico em Mecânica

Módulo I – Introdutório

Município: Nova Venécia ES

PLANO DE ENSINOPROFESSOR (A)

DISCIPLINA Matemática Aplicada

CARGA HORÁRIA 40 horas

SEMESTRE / ANO 2/2019

MÓDULO I

DATA

•Saber modelar problemas práticos simples por meio de equações do 1º grau.

•Identificar e resolver equações de 1º grau, 2º grau e biquadradas;

•Modelar problemas práticos simples através da montagem de sistemas de equações.

•Calcular áreas planas simples e compostas.

•Calcular volumes de sólidos simples e compostos; Identificar e resolver problemas encontrados no setor petrolífero que necessitem do conteúdo apresentado (equações, áreas, volumes, etc.).

GERAL• Raciocinar de maneira lógica e abstrata;• Atuar nos diferentes segmentos organizacionais (formação generalista);• Interpretar gráficos e modelos matemáticos;

• Assumir e delegar responsabilidades;• Selecionar e classificar informações;

EMENTA

OBJETIVOS

2

• Raciocínio crítico e iniciativa para propor soluções;• Disposição para atualizar-se e aperfeiçoar-se constantemente;• Diagnosticar a atuar preventivamente em relação a problemas potenciais;

• Analisar de forma crítica e analítica resultados, informações e situações considerando o contexto em que estes acontecem e suas relações de causa e efeito diante do ambiente organizacional;• Transferir e generalizar conhecimentos aplicando-os no ambiente de trabalho e no seu campo de atuação profissional.

ESPECÍFICOS. Retomar os principais conceitos de matemática fundamental, para que os alunos possam aplicá-los no aprendizado de outras disciplinas que necessitem desses conhecimentos prévios ao longo do curso. Além disso, estimular o raciocínio lógico-dedutivo através da resolução de problemas que envolvam tais conceitos.

- Números Inteiros;- MMC;- Frações;- Números Decimais;- Proporção;- Porcentagem;- Regra de três;- Noções de Geometria;- Teorema de Pitágoras;- Relações Trigonométricas.

O aluno precisa acessar o ambiente virtual diariamente; O aluno precisa dedicar 4h diárias para compor 20 horas semanais para

a disciplina; As pesquisas propostas necessitam envolvimento e comprometimento

do aluno; A participação nos fóruns é para o desenvolvimento da aprendizagem; O acompanhamento das atividades será realizado pelos tutores a

distância e presencial; A correção das atividades será realizada pelos tutores à distância.

O processo de avaliação compreenderá a distribuição de 100 pontos por componente curricular, onde será aprovado o aluno que alcançar o minimo de

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

METODOLOGIA

AVALIAÇÃO

3

60 pontos. Essa pontuação será distribuinda entre a prova presencial, atividades de multipla escolha e participação em foruns de debate.

Prova Presencial equivalente a 40% da pontuação total;

Atividades de Multipla escolha equivalentes a 30% da pontuação total;

Participação dos foruns de debate equivalente a 30% da pontuação total.

A recuperação paralela acontecerá durante o processo online em que o tutor estará disponível para esclarecimento de dúvidas sobre o conteúdo estudado.

A recuperação final ocorrerá nos momentos presenciais, para os alunos que, após o término do componente curricular não atingirem os 60 pontos para aprovação.

A prova de recuperação final abrangerá todo conteúdo estudado no componente curricular, terá o valor de 100 pontos e o aluno que atingir o minimo de 60 pontos estará aprovado.

FACCHINI, Walter.Matemática: volume único, 2 ed.São Paulo:Saraiva,1997.

GIOVANNI, José Ruy. Matemática,2º grau, São Paulo:FDT,1998.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

4

APRESENTAÇÃO

A matemática aplicada é um ramo da matemática que trata da aplicação do conhecimento matemático a outros domínios. Tais aplicações incluem cálculo numérico, operações algébricas, equações e trigonometria, entre outros.

A matemática voltada à cursos técnicos como Edificações e Eletrotécnica descreve processos físicos, e portanto, é muito similar à física teórica.

Atualmente, o termo “matemática aplicada” é usado num sentido amplo. Inclui áreas clássicas, assim como as que estão se tornando cada vez mais importantes em suas aplicações. Até mesmo campos como a teoria dos números, dadas como parte da matemática pura, estão ganhando importância prática.

Portanto todo conteúdo selecionado neste módulo servirá como aplicação prática em alguma área do conhecimento dos módulos seguintes

Bons estudos!

5

Sumário

1 – Cálculo Numérico....................................................................................................6

2 – Potenciação e Radiciação.........................................................................................7

3 – Razão........................................................................................................................11

4 – Proporção..................................................................................................................11

5 – Grandezas Proporcionais...........................................................................................14

6 - Regra de Três Simples................................................................................................15

7 – Regra de Três Composta...........................................................................................17

8 - Porcentagem...............................................................................................................19

9 – Equações e Sistemas do 1° Grau...............................................................................21

10 – Equações e Sistemas do 2° Grau.............................................................................22

11 – Teorema de Pitágoras..............................................................................................24

12 – Trigonometria no Triângulo Retângulo...................................................................27

6

1. Cálculo Numérico

Operações com frações

Adição e Subtração: usamos o menor múltiplo comum.

1

3

1

15 18 5

28

142 5 6 30 30 15

Multiplicação: O produto de duas frações é uma fração que tem por numerador o produto dos numeradores e que tem por denominador o produto dos denominadores.

3

2

6

34 5 20 10

Divisão: O quociente de duas frações é uma fração resultante do produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração.

1

3

1

4

4

22 4 2 3 6 3

9

58

7

Cálculo do valor de expressões numéricas: deve-se obedecer à prioridade dos sinais indicativos e das operações matemáticas.

Prioridade dos Sinais Prioridade das Operações

1 ( ) 1 Potenciação e Radiciação

2 [ ] 2 Multiplicação e Divisão

3 { } 3 Adição e Subtração

Calcule o valor numérico das expressões:

a) 2 {5[3 (5 10) 1] 4} 3

4 7 1

4 1

R: 48

b) 3

5 2 R: 221/90 ou 2,46

43

1 17

2

c) 11 10

R: 30429/4400 ou 6,92

4 7 1

5 3

d) 2 39

R: -48/125 ou - 0,38

1 e) 31 1213 41

3 1 1

R: -414

2 - Potenciação

5

5

8

Potenciação de expoente inteiro: Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Então:

a n a.a.a.a.....a (n vezes) a n a

m a m n

a 0 1

a n a m a m

n

a 0

a1 a a m

n a mn

a n 1 a

0 a

a n

b

a nb n b 0

a) 1 53 2 4

4

b) 2 3 (4) 5R: 2003/16 ou 125,1875

c) 14 (2)4 (2)3 07 320 8 2

R: 127/1024

4 1d)

2

2

1

1 32 1

4 52

R: 42

R: 1069/1521

Potenciação de expoente não inteiro: Toda raiz pode ser escrita na forma de potência.

9

a 1n

a m

n

n a

n a m

2

10

Observação: se n for par e se a < 0, não caracteriza um número real:

R

a) (2) 3 (1) 0 53 25

(2)2 3 27

R: 0

b)(3 5)0 2

Exercícios

1) Calcule o valor das expressões:

R: 7

1 2

4 2 2 3

a) 4 5 5 3

R: 7/5

1 1 1

2

b) 5 3 4 2

1 5

R: 17/3

c) 1 0,19 4 0,8 0,5

1

0,1 0,01d)

0,2 0,02

R: 7/20

R: 1/2

25

4

4

25 32

5

11

2) Aplicando as propriedades das potências, simplifique as expressões:

256 49

a)87

93 27 4 37

b)1 2432

3

1256 253 12 103 104 109

c)2 3

257

d)3101 104

Respostas: a) 25 32

b) 32 9

c) 54 625

d) 0,4

3) Escreva os números abaixo como o produto de um número inteiro por uma potência de 10:

a) 0,3 = b) 3000 = c) 0,005 =

d) 0,0625 = e) 3,45 = f) 8000000 =

4) Calcule o valor de:

a) =

1 1c) 25 2 = d) 8 3

5) Calcule o valor das expressões:

b) 4 81=

0,25

6 64

12

a) 1 116 4 (2) 27 3 b) 4 0,54

8 233 8

13

R: a) 5 b) 1

6) Simplifique os radicais:

a) b) c)

R: a) 28 b) 23 4 c) 4

7) Racionalize os denominadores das expressões:

1 5 1a) b) c)

3 2 5

1d) e)

8) Efetue:

2 3 2 3 1 1 1a) b)

1 5 2 18 8

Respostas: a) 2 5

b)2 12

5 1024

3 2

2

2352 3 32

3

5 2

22 3

1 5

15

14

3 - Razão entre dois números:

A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente de a ÷ b, que

pode ser indicado por

a ou qualquer outra forma equivalente.

b

Os termos de uma razão recebem nomes especiais. Veja na “razão” 3 , o20

número 3 é chamado de antecedente, e o número 20 de

consequente. Lê-se: “3 está para 20”.

4 – Proporção

Podemos introduzir a ideia de proporção, após ter trabalhado bem o conceito

de razão.

Para ilustrar esta ideia, iniciaremos nossos estudos apropriando a Geometria.

Observe os seguintes retângulos:

Retângulo 1:

Retângulo 2:

15

Vamos analisar e responder as seguintes perguntas:

a) Qual a medida das dimensões do retângulo (altura e comprimento)?

Expresse a medida em unidades (u). (r: Retângulo 1: altura 3 u e

comprimento 5 u, retângulo 2: altura 6 u e comprimento 10 u)

b) Qual a razão entre a medida da altura do retângulo menor e a medida

do retângulo maior? E do comprimento? (r: 3/6 e 5/10)

c) Observe as razões obtidas entre a altura e o comprimento do retângulo.

O que você conclui? (r: Que são iguais.)

Quando duas razões são iguais, elas formam uma proporção. Logo, baseados

no que acabamaos dce fazer

3

5

1 , ou seja, a razão entra a altura e o

b d 6 10 2

comprimento dos retângulos, são iguais. Então podemos dizer que, os

retângulos são proporcionais.

Formalizando...

Se duas razões são iguais elas formam uma proporção.

Se a razão entre os números a e b, c e d é a mesma, ou seja, a e e

c e ,dizemos

b d

que a igualdade a

c é uma proporção.

b

Os números a, b, c, d que formam uma proporção, são denominados termos da

proporção, onde a e d são os extremos e b e c são os meios.

Indica-se por a

c e lê-se “a” está para “b”, assim como, “c” está

para “d ”.b

16

17

Propriedade Fundamental das Proporções

De modo geral, em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos

extremos e vice-versa. Simbolicamente:

a c a.d b.c

b d

Exercícios:

1 - Em um estojo há 21 canetas. A razão entre o número de canetas azuis

para o número de canetas vermelhas é de 3 para 4. Pergunta-se: quantas

canetas azuis e quantas canetas vermelhas há no estojo? (r: 9 azuis e 12

vermelhas)

2 - José e Eduardo colecionam figurinhas e a diferença entre a quantidade

de figurinhas de José para Eduardo é de 200 figurinhas. A razão entre a

quantidade de figurinhas de José e Eduardo é de 7 para 5. Calcule a

quantidade de figurinhas de cada um. (r: José e Eduardo têm 700 e 500

figurinhas respectivamente)

5 - Grandezas Proporcionais:

Você já parou pra pensar sobre o que é uma grandeza?

É tudo aquilo que pode ser medido ou contado, como massa, peso,

comprimento, tempo, temperatura, idade, preço etc.

Antes de formalizarmos os conceitos, observe e analise os seguintes

exemplos:

a) Se você gasta 1 litro de gasolina para percorrer 2 km, quanto você

gastará para percorrer 1 km? Neste exemplo, a distância percorrida caiu

pela metade, logo, você reduzirá pela metade também, o consumo de

18

gasolina.

19

b) Em uma papelaria cobram R$ 0.09 por página xerocada. Se eu xerocar

13 páginas, quanto vai custar? Note que a cada página xerocada, tenho

um custo de R$ 0.09, ou seja, se eu xerocar uma página irá me custar

R$ 0.09, duas R$ 0.18, três R$ 0.27 e assim por diante. À medida

que aumenta o número de páginas aumentará o meu custo. Logo

13x0.09 = R$ 1.17.

De acordo com estes exemplos, o que você notou de semelhante entre eles?

Qual a relação entre as grandezas? Observamos que quando uma das

grandezas dobra, triplica, fica pela metade, etc., a outra grandeza também

aumenta ou diminui na mesma proporção.

Generalizando...

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando/diminuindo uma delas, a outra aumenta/diminui na mesma razão da primeira, ou seja, duas grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão.

De forma análoga, observe estes exemplos:

a) Seis pedreiros levam 1 dia para construir um muro. Se diminuirmos o

número de pedreiros para 2, o muro ficará pronto em três dias. Ou seja,

quanto maior o número de pedreiros utilizados na construção do muro, menor

o tempo gasto para construção do mesmo.

b) Agora, veja e analise a tabela. O que acontece nas transições do primeiro

para o segundo termo? E do segundo para o terceiro?

1° termo 2° termo 3°

termo

Velocidade Média (km/h) 30 60 15

Tempo (h) 2 1 4

20

Note que, enquanto a velocidade do 1° para o 2° termo é multiplicado por 2, o

tempo é dividido por 2. Já no 2° termo para o 3° termo, a velocidade é dividida

por 4, enquanto o tempo é multiplicado por 4.

Quando isto acontece dizemos que as grandezas são inversamente

proporcionais.

Generalizando...

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira, ou seja, duas grandezas inversamente proporcionais variam sempre na razão inversa da outra.

6 - Regra de Três Simples

É um processo prático para resolver problemas através de proporções

utilizando duas grandezas,...

Agora leia e analise a situação problema:

Num dia de sol, Janete e Paulo mediram suas sombras. Janete tem 165 cm de

altura e Paulo 180 cm. Sabendo que em um determinado horário, o

comprimento da sombra de Paulo era 60 cm, qual o comprimento da sombra

de Janete no mesmo horário?

Como você resolveria este problema?

Levante os dados do problema e coloque estes dados em uma tabela com as

grandezas de mesma espécie na mesma coluna. Observe:

Altura Sombra

165 X

21

180 60

O que você pode notar em relação às grandezas?

Elas são diretamente proporcionais, pois à medida que a altura aumentar a

sombra também irá aumentar na mesma proporção.

Logo, temos que:

165 x

180 60

Então, pela propriedade fundamental das proporções:

180X = 60.125

X = 55 cm

Outro exemplo:

Uma torneira enche um tanque em 20 minutos, com uma vazão de 15 l/min. Se

a torneira diminuir a vazão para 5l/min., quantos minutos serão necessários

para encher o tanque?

De forma análoga ao exemplo anterior, vamos montar a tabela.

Tempo (min.) Vazão (l/min.)

20 15

X 5

Note que a medida que a vazão diminui o tempo irá aumentar na mesma

proporção, logo estas grandezas são inversamente proporcionais.

22

Para resolver este exercício, devemos inverter uma das razões da proporção.

Assim:

20 5

x 15

Depois disso, aplicaremos a propriedade fundamental das proporções:

5.X= 20.15

X=60 min.

7 - Regra de Três Composta

De modo análogo a regra de três simples, a regra de três composta resolve

situações-problema que envolvam mais que duas grandezas, dos mais

variados tipos. Nós só conseguimos resolver estas situações-problema, se de

duas em duas, as razões forem proporcionais (inversamente ou diretamente).

Importante: Compare cada grandeza com aquela que tem a variável.

Exemplo:

Em um prédio, 6 pintores pintam uma área de 300 m2 em 2 horas. Quantos

pintores são necessários para pintar uma área de 400 m2 em 1 hora?

Da mesma forma que nos exemplos de regra de três simples, levante os dados

do problema e coloque estes dados em uma tabela com as grandezas de

mesma espécie na mesma coluna.

Pintores Área Tempo

6 300 2

X 400 1

23

Agora, analise as grandezas, duas a duas.

Primeiramente compare pintores com área. Se os 6 pintores pintam uma área

de 300 m2, então, aumentando a quantidade da área para 400 m2, vamos

precisar de mais pintores. Logo estas grandezas são diretamente

proporcionais.

Vamos comparar agora, a grandeza pintores com a grandeza tempo, como

fizemos anteriormente, com a grandeza área.

É muito importante saber que a grandeza que tem a incógnita x é a que deve

ser comparada com as outras grandezas.

Comparando, então...

Utilizando 6 pintores gastaremos 2 horas, para gastar uma hora de pintura

precisaremos de mais pintores. Logo estas grandezas são inversamente

proporcionais.

Neste caso devemos:

a) Inverter os valores da razão onde as grandezas são inversamente

proporcionais àquela que contém a incógnita e permanecer aquela que é

diretamente proporcional. Assim:

6 300 1x 400 2

b) Igualar a razão que tem o termo x com o produto das outras razões:

6 300.

1x 400 2

24

6 300.1x 400.2

6 300x 800

x 6.800300

x 16

Assim, serão necessários 16 pintores...

Exercícios

1) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos

dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas? (r: 6 dias)

2) Um muro é construído em 6 dias por 20 operários, trabalhando 9 horas

por dia. Em quantos dias 12 operários, trabalhando 5 horas por dia,

podem fazer o muro? (r: 18 dias)

3) Um ciclista percorre em média200 km em 2 dias, se pedalar durante 4

horas por dia. Em quantos dias este ciclista percorrerá 500 km, se

pedalar 5 horas por dia? (r: 4 dias)

4) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kg de

ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão

necessários para alimentá-los durante 12 dias. (r: 7260 kg)

5) Um grupo de jovens fabrica em 16 dias 320 colares de 1,20 m cada.

Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias? (r: 96 colares)

8 - Porcentagem

Você já deve, muitas vezes, ter ouvido falar na expressão "por cento".

25

Por exemplo:

− O preço da gasolina aumentou trinta por cento.

− Esta roupa tem vinte por cento de desconto.

− Quinze por cento dos alunos não compareceram à escola

hoje. Para a expressão "por cento" usamos o símbolo %.

"Por cento" quer dizer uma determinada quantidade em cada cem.

Se, por exemplo, numa avaliação de matemática de 100 questões, Paulo acertou 70, isto quer dizer que ele acertou 70% das questões dadas, isto é, acertou 70 em 100.

Você percebeu que:

“O cento" é uma maneira diferente de dizer "centésimos":

70 em 100 = 70/100 = 0,70 = 70%

Há diversos modos de calcular porcentagem. Vejamos alguns:

Calcular 30% de Cr$ 800,00.

1) 30% = 30/100

30/100 de 800 = 300/100 x 800/1 = 24000/100 = 240

2) 800 x 30 = 24000

24000 : 100 = 240

Exercícios

1) Represente a porcentagem dada sob a forma de

fração: a) 99%

b) 42%

c) 50%

d) 48%

26

2) Calcule:

a) 20% de 800 =

b) 10% de 350 =

c) 18% de 1.400 =

9 - Equações e sistemas do 1o grau.

1) Resolva as equações:

x 2a)

42x 8 55

x 1b)

xx 2 x 1

17x 2 x

Respostas: a) x = 6 b) x = 4

2) Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo, resultando em um total de R$ 600,00. Qual era o preço a vista do produto?

R: 500

3) Duas pessoas tem juntas R$ 135,00. Quanto cada uma possui, sabendo-se que uma possui o dobro da outra?

R: 45 e 90

27

4) Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de seu cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento. R$ 300,00. Qual o valor da dívida, se o último pagamento era de 20 % da dívida original?

5) Resolva os sistemas de equações do 1o grau

R: 1000

x y 5a)

3x y 11

2x 3y 8b)

5x 2y 1

2x 9y 47c) x 20y 101

Respostas: a) 4 , 1 b) 1 , 2 c) -1 , 5

6) A soma de dois números é 21 e a sua diferença é 51. Calcule os dois números.

Resposta: -15 e 36

7) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e pede 3 pontos por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios tinha 130 pontos. Quantos exercícios ele acertou?

Resposta: 35

28

8) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos. Daqui a dois anos, a mais velha terá o dobro da idade da mais nova. Qual é a idade de cada uma?

R: 28 e 13 anos

10 - Equações e sistemas do 2o grau.

1) Resolva as equações:

a) 2x2 50 0

b) 2x 12 5x 1 4 0

x 3c)

x 2 4 1

1x 2

d) 5x 2 6x 1 0

Resposta: a) -5, 5 b) 0, 3/2 c) -3, 3 d) -1, -1/5

2) Resolva os seguintes sistemas de equações:

x y 2 x y 9a) x 2 y

2 10

b) x2 y2 2x 2y 23

Respostas: a) (-1;3),(3;-1) b) (4;5) , (5;4)

3) Resolva:

29

a) x4 x2 2 0

b) 2

c) x 2

Respostas: a) -1, 1 b) -3, 8 c) -2, 5

4) Um jardim de forma retangular tem 96 m2 de área. Se aumentarmos o comprimento desse jardim em 3 m e a largura em 2 m, a área do jardim passa a ter 150 m2. Calcule as dimensões originais do jardim.

Resposta: c = 12 m e l = 8 m

11 - Teorema de Pitágoras

O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

a2 = b2 + c2

Essa é a famosa relação denominada Teorema de Pitágoras.

Podemos verificar também essa relação por equivalência de áreas fazendo

uma montagem. Primeiro desenhamos um triângulo retângulo qualquer e

depois desenhamos três quadrados, cada um com sua base num dos lados do

triângulo

(conforme figura

abaixo):

x2 5x 20

2x2 x 6

30

Cortamos os três quadrados nas extremidades, sendo que nos dois menores

devemos cortar também nas linhas tracejadas. Juntamos as partes dos dois

quadrados menores formando o quadrado maior.

Confira:

Como os dois quadrados menores couberam exatamente no quadrado maior,

concluímos que:

Área do quadrado menor (b2) mais área do quadrado médio (c2) é igual à área

do quadrado maior (a2).

Provando que a2 = b2 + c2

Exemplo

Com base na estrutura de telhado, feita com barras de ferro, da figura abaixo:

a) qual deve ser a medida de x em metros?

A

B 3,2 D

4mx4

31

3,2 C

,

32

Portanto, usando o teorema de Pitágoras no triângulo ADC, teremos:A

x

D C

42 = x2 + (3,2)2

16 = x2 + 10,24

x2 = 16 – 10,24 = 2,4m

b) Barras de reforço foram colocadas na estrutura, formando um ângulo reto

nos lados AB e AC. Qual foi a medida dessas barras?

Agora usaremos as relações métricas:

y é a medida da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo DCA.

Sabemos que x = c = 2,4 e que o lado AC que chamaremos de a = 4, e o lado

DC chamaremos de b = 3,2.

Vimos que: a.h = b. c, neste problema: a.y = b.c

3,2

4

33

Então: 4.y = 2,4. 3,2

y = 7,68

= 1,92m.4

c) A que distancia do ponto C a barra de reforço foi fixada?

Usando a relação: c2 = am, 2,42 = 4 . m m = 5,764

m = 1,44m

Exercícios

1) Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira. Qual é

o comprimento dessa tábua, se as dimensões da porteira são 1,2m por 1,6m?

(r: 2 m).

2) Calcule o comprimento x nessa estrutura de telhado.

A

h = 40 cm B CLado BC mede 1m

(r: 0,64 m).

3) Determine a diagonal de um quadrado de lado a. (r: a )

12 - Relações trigonométricas no triângulo

retângulo Seno de um ângulo

hx

2

34

Seja um ângulo XOY e sobre o lado OU marquemos os pontos A, A’ e A’’. Tracemos por esses pontos as perpendiculares AB, A’B’ e A’’B’’ ao lado OX,

conforme a figura abaixo:

A’’ yA’

A

OB B’ x

B’’

Como os triângulos OAB, OA’B’ e OA’’B’’ são semelhantes (ângulo O em

comum e todos têm um ângulo reto por causa da perpendicular),

podemos escrever:

Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é

sempre igual e a ela dá-se o nome de seno.

Logo:

Chama-se seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo a razão entre a medida do cateto oposto a esse e a medida da hipotenusa.

Representa-se o seno de um ângulo, por exemplo, do ângulo A da seguinte

forma:

sen  ou sen(A)

Obs.: como seno, em inglês, é sine, nas calculadoras e em alguns aplicativos é

usada a forma sin(A).

AB A' B'

A'' B''OA OA' OA''

35

Aplicação:

Uma madeireira doará pranchas para construir uma rampa com plataforma

que será usada numa apresentação de manobras com mountain bike na praça

de uma cidade. Figura abaixo:

Fonte: (ANDRINI, 2002, p. 206)

Podemos então calcular o comprimento das rampas:

sen(37°) =medida do catetoopostoao

ângulode37=

medida da hipotenusa

1,80x

Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos que:

sen(37°) = 0,6018 0,6

Então: 0,6 = 1,80

x =x

1,8 30,6

Portanto, cada rampa deve ter 3 metros de comprimento.

Cosseno de um ângulo

36

De maneira análoga àquela feita para o seno, temos as razões:

OB OB'

OB''OA OA' OA''

Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é

constante e denomina-se cosseno.

Chama-se cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo à razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Portanto:

Representa-se o cosseno de um ângulo, por exemplo, do ângulo A, da

seguinte forma:

cos  ou cos(A)

Obs.: como cosseno, em inglês, é cosine nas calculadoras e em alguns

aplicativos (como o Excel) expressamos como cos(A).

Tangente de um ângulo

Também da semelhança de triângulos podemos determinar as razões:

AB AB'

AB''OB OB' OB''

Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é

constante e denomina-se tangente.

Chama-se tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo à razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Representa-se a tangente de um ângulo, por exemplo, do ângulo A da seguinte

forma:

37

tg  ou tg(A)

Obs.: como tangente, em inglês, é tangent, nas calculadoras e em alguns

aplicativos (como o Excel) expressamos como tan(A).

Observações:

1) O valor do seno, o valor do cosseno e também o da tangente, por

ser uma razão entre duas grandezas, são números puros (ou seja,

sem unidade).

2) Como a hipotenusa é sempre maior do que qualquer cateto, tanto o

seno como o cosseno de um ângulo agudo são sempre menores do

que 1.

3) A tangente de um ângulo agudo pode assumir qualquer valor positivo

do conjunto dos reais.

Exemplo:

Luiz possui um terreno em forma de trapézio, que pretende cercar com tela de

arame.

Calcule x, y e o perímetro do terreno.

38

tg(70°) =

medida do cateto oposto ao ângulode 70medida do cateto adjacente a 70

x=

13

Consultando a tabela, temos que a tg(70°) = 2,7475 2,75

2,75 =x

x = 35,75 m13

medida do catetoadjacente ao ângulo de 70 13Cos (70°) = medida da hipotenusa = y

Consultando a tabela, temos que a cos(70°) = 0,3420 0,34

130,34 = y y = 38,24m

Então o perímetro é igual a 60 + 38,24 + 47 + 35,75 = 180,99

Logo, Luiz precisará de, aproximadamente, 181 m de tela para cercar o

terreno.

Exemplo:

39

Dado o triângulo abaixo, determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo

B.

Resolução:

sen(B) cateto oposto

hipotenusa

6 cm10 cm

0,6

cos(B) cateto adjacente

hipotenusa

8 cm10 cm

0,8

tg (B) cateto oposto

cateto adjacente

6 cm

0,758 cm

Exercícios

1 - Determine as medidas dos catetos do triângulo retângulo abaixo.

40

Use : Sen 37º = 0,60 Cos 37º = 0,80 tg 37º = 0,75

030t3

41

A

x

CB y

2 ) Determine as medidas x e y indicadas no triângulo retângulo abaixo.

x

y

( dados sen 35º = 0,574 cos 35º = 0,819 )

3 ) Observe a figura seguinte e determine: C

a) a medida x indicadax

b) a medida y indicada

c) a medida do segmento AD

30 0 60 0

A BD y

300 cm

4 ) Uma rampa lisa com 10 m de comprimento faz ângulo de 15º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente a quantos metros?

37º

50 cm

6 cm

35º

42

( use: sen.15º = 0,26 , cos 15º = 0,97 )

5 ) Determine as medidas dos catetos do triângulo retângulo abaixo.

Sen 30º = 0,50 Cos 30º = 0,86 Tg 30º = 0,57

A

x

CB y

x10 m

15º

30º

50 cm