Estudo sobre o Processo de Wright-Fisher com Flutuação Populacional

e Recombinação

Elizabeth J. R. de Almeida1 Telles Timóteo Da Silva

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elizabeth.jra@hotmail.com, timoteo@ufsj.edu.br,

Alexandre C. L. Almeida celestino@ufsj.edu.br

Universidade Federal de São João Del Rei – UFSJ

Rodovia MG 443, Km 7, Fazenda do Cadete, Ouro Branco, MG

RESUMO

A genética de populações estuda a evolução do conjunto de genes de uma população de

indivíduos, quando sujeitos às forças que tendem a modificar o conteúdo genético desta

população [1,2]. O uso de métodos estatísticos formalizou uma aproximação da evolução das

populações no início do século XX. Assim, diferentes descrições matemáticas de evolução

surgiram e o crescimento da genética matemática de populações é normalmente associado ao

trabalho de vários pesquisadores, entre eles Sewall Wright e R. A. Fisher [3].

No trabalho aqui tratado, uma cadeia de Markov N(t) é empregada no modelo genético

de Wright-Fisher para modelar a flutuação populacional, entre os estados de tamanho mínimo e

máximo para a população.

Desta forma, o modelo de Wright-Fisher para dois alelos, A e a, em um lócus é

representado pela distribuição de probabilidade condicional do número de genes A no tempo

t+1, dado o número de genes A no tempo t e os tamanhos da população no tempo t e no t+1.

Sendo n(t) o número de genes A na população nesse tempo t, temos a seguinte distribuição para

o processo :

O trabalho tem por objetivo investigar o comportamento do processo sob influência da

mutação e, posteriormente, da recombinação.

O comportamento do processo pode ser analisado pela heterozigosidade, definida

como sendo a probabilidade de dois genes tomados ao acaso da população serem distintos.

Se considerarmos a mutação como uma alteração num determinado gene, que determina

se ocorrerá mudança de alelo ou não, podemos analisar a frequência com que cada alelo aparece

durante a formação das gerações seguintes. Essa frequência está intimamente relacionada com o

valor da taxa de mutação. Como consequência, o valor esperado da heterozigosidade tende a um

valor não-nulo que depende das taxas de mutação, diferentemente do caso sem mutação, no qual

a heterozigosidade tendia a zero.

Os comportamentos da heterozigosidade com e sem mutação foram, então, estudados

através de simulações computacionais. Os Gráficos 1 e 2 mostram o comportamento da

heterozigosidade média sem e com mutação, respectivamente, para tamanhos populacionais

fixos de 10, 100 e 18 (média harmônica de 10 e 100). Os gráficos com simulações da

heterozigosidade quando há flutuação populacional não estão representados, pois, nos casos

estudados com flutuação, o comportamento da heterozigosidade média é o correspondente ao da

simulação com a média harmônica.

1 Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/FAPEMIG.

2 Orientador, parcialmente financiado pelo CNPq Processo No. 314729/2009-7 e FAPEMIG

Processo No. 00253-10.

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Encontra-se em andamento a modelagem da recombinação genética e análise de seu

efeito no Processo de Wright-Fisher. Neste caso, não será estudado apenas um lócus, como nos

modelos já existentes [4]. Teremos que estender o modelo para dois loci, ainda variando o

tamanho populacional por saltos Markovianos.

Gráfico 1 : Variação da heterozigosidade média no processo sem mutação

Gráfico 2 :Variação da heterozigosidade média no processo com mutação

Palavras-chave : Genética matemática, Processo de Wright-Fisher, Cadeias de Markov

Referências

[1] R. Bürger, "The mathematical theory of selection, recombination, and mutation", John Wiley

& Sons, Chichester, 2000.

[2] W. J. Ewens, The changing role of population genetics theory, Lecture Notes in

Biomathematics, 100 (1994) 186-197.

[3] C. W. Fox & J. B. Wolf, " Evolutionary Genetics: concepts and case studies ", Oxford

University Press, New York, 2006.

[4] M. Iizuka, Effective Population Size of a Population with Stochastically Varying Size,

Journal of Mathematical Biology, 61 (2010) 359-375.

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