estudo numérico de crescimento de gelo poroso entre...

Jan Mateu Armengol

Estudo Numérico de Crescimento de GeloPoroso entre Placas Planas Paralelas

02/15

CAMPINAS2015

i

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaElizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098

Armengol, Jan Mateu, 1988- Ar54e ArmEstudo numérico de crescimento de gelo poroso entre placas planas paralelas

/ Jan Mateu Armengol. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

ArmOrientador: Carlos Teofilo Salinas Sedano. ArmDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de

Engenharia Mecânica.

Arm1. Gelo. 2. Trocadores de calor. I. Salinas Sedano, Carlos Teofilo,1960-. II.

Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III.Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Numerical study of frost formation over parallel platesPalavras-chave em inglês:FrostFin-and-tube heat exchangerÁrea de concentração: Térmica e FluidosTitulação: Mestre em Engenharia MecânicaBanca examinadora:Carlos Teofilo Salinas Sedano [Orientador]Vicente Luiz ScalonCaio Glauco SanchezData de defesa: 27-02-2015Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

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iv

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICADEPARTAMENTO DE ENERGIA

Prof. Dr. Vicente Luiz ScalonFEB/UNESP

Campinas, 27 de fevereiro de 2015.

v

Agradecimentos

Agradeço ao meu orientador pelo bom trato e pelo apoio dado durante todo o desenvolvimentodeste trabalho.

Aos professores que me deram as bases para poder construir o castelo de cartas, em especial aoProf. Dr. Jesus Perfecto Xamán Villaseñor.

Aos amigos que me ajudaram e me deram paciência para confeccionar o trabalho.

À Faculdade de Engenharia Mecânica da UNICAMP, representada pelos professores e funcioná-rios, que me concedeu a oportunidade de realizar este trabalho.

A CAPES pelo suporte financeiro.

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Resumo

ARMENGOL, J.M.. Estudo Numérico de Formação de Gelo Poroso entre Placas Planas Paralelas.2015. 94p. Tese (Mestrado). Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual deCampinas, Campinas.

Neste trabalho é apresentado um modelo para a formação de gelo poroso entre placas planasparalelas baseado em um novo tratamento bidimensional da taxa de crescimento. O modelo con-sidera as equações de transporte de quantidade de movimento, energia e massa. Para a resoluçãodo modelo, as equações são discretizadas usando o método de volumes finitos em um domíniobidimensional composto por ar e gelo poroso. A interface móvel ar-gelo é tratada utilizando a for-mulação de malha fixa. O domínio computacional inclui a região frontal das placas planas com afinalidade de estudar o crescimento do gelo poroso nessa região. O código numérico é verificadopor partes de acordo com artigos de referência na literatura e o modelo é validado com dados experi-mentais. Os dados experimentais, reportando temperatura e crescimento de forma locais, coincidemcom os resultados numéricos com um erro relativo inferior a 10 % para o caso intermediário de taxade umidade.

Palavras-chave: Gelo, Trocadores de calor.

ix

Abstract

ARMENGOL, J.M.. Numerical Study of Frost Formation over Parallel Plates. 2015. 94p. Thesis(Master’s degree.). Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas,Campinas.

In this study, a frost formation model is presented based on a new two-dimensional approachfor the growth rate. For modeling the frost formation over parallel cold plates, the basic transportequations of mass, energy and momentum have been discretized using the finite volume methodin a two-dimensional domain in which air and frost are considered. A volume tracking methodemploying a fixed grid formulation is used to deal with the air-frost moving boundary. An extendeddomain in the inlet boundary has been considered in order to study the frost formation in theleading edge of the plate. The numerical code is gradually verified using benchmarking references.The numerical results have been validated against experimental data in which frost growth andtemperature as a function of time are reported as local values. The model predictions of the frostthickness as a function of time agree with the experimental data within 10 % of deviation for thecase of intermediate humidity ratio.

Keywords: Frost, Fin-and-tube heat exchanger.

xi

Lista de Ilustrações

2.1 Esquema de trocador de calor de tubo aletado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Região bidimensional entre as aletas planas do trocador de calor . . . . . . . . . . 92.3 Domínio computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Balanço unidimensional na fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Exemplo ilustrativo do crescimento de gelo bidimensional . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Malha com contato na fronteira e nó centrado no volume de controle. . . . . . . . . 213.2 Representação do volume de controle P em uma malha bidimensional . . . . . . . 233.3 Malha deslocada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Exemplo da matriz iFROST que identifica os subdomínios . . . . . . . . . . . . . 343.5 Nomenclatura para o cálculo da média harmônica na fronteira . . . . . . . . . . . . 393.6 Esquema do balanço de massa em um volume de controle da interface ar-frost . . . 403.7 Esquema do incremento de volume na face leste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.8 Diagrama de blocos geral do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1 Modelo físico do problema da condução de calor em regime transitório. . . . . . . 484.2 Comparação da solução numérica com a analítica para o ponto (x, y) = (0, 5m0, 5m). 524.3 Modelo físico do problema de convecção-difusão com velocidades conhecidas. . . 524.4 Comparação qualitativa dos resultados obtidos (figura da esquerda) com a solução

publicada em Versteeg e Malalasekera (2007) (figura da direita). . . . . . . . . . . 554.5 Modelo físico do problema Dirven-Cavity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.6 Perfil de velocidade vertical no plano horizontal médio (eixo y) calculada com SIM-

PLE e SIMPLEC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.7 Campo de velocidades e linhas de corrente para Re = 100. . . . . . . . . . . . . . 594.8 Campo de velocidades e linhas de corrente para Re = 400. . . . . . . . . . . . . . 594.9 Campo de velocidades e linhas de corrente para Re = 1000. . . . . . . . . . . . . 594.10 Modelo físico da cavidade aquecida diferencialmente. . . . . . . . . . . . . . . . . 604.11 Campos de velocidades e de temperatura, e linhas de corrente para Ra = 103. . . . 634.12 Campos de velocidades e de temperatura, e linhas de corrente para Ra = 104. . . . 644.13 Campos de velocidades e de temperatura, e linhas de corrente para Ra = 105. . . . 644.14 Campos de velocidades e de temperatura, e linhas de corrente para Ra = 106. . . . 64

xiii

4.15 Modelo físico da dupla convecção natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.16 Comparação do número de Nusselt com os dados publicados por Beghein et al.

(1992). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.17 Modelo físico da cavidade aquecida diferencialmente. . . . . . . . . . . . . . . . . 694.18 Temperatura adimensional (T ∗) no plano médio horizontal. . . . . . . . . . . . . . 724.19 Velocidade vertical adimensional (V ∗) no plano médio horizontal. . . . . . . . . . 734.20 Número de Nusselt no plano vertical x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.1 Perfil de temperatura na direção vertical para x=130mm. . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Perfil de velocidade horizontal para x=130mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Perfil de velocidade vertical para x=130mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4 Pontos de adquisição de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.5 Comparação do crescimento do frost no modelo numérico com os dados experi-

mentais de Lenic (2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.6 Comparação da evolução das temperaturas do modelo numérico com os dados ex-

perimentais de Lenic (2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.7 Comparação do crescimento da camada com três densidades de frost inciais dife-

rentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.8 Distribuição de temperatura e geometria da camada de frost para diferentes instan-

tes tempos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.9 Distribuição da umidade depois de seis horas de simulação. . . . . . . . . . . . . . 855.10 Distribuição da densidade na camada de frost depois de seis horas de simulação. . . 865.11 Crescimento da camada de frost para três velocidades de entrada de ar diferentes

em x = 130 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

xiv

Lista de Tabelas

3.1 Equivalências da formulação geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Função A(|Pe|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Equivalência da formulação geral para a quantidade de movimento . . . . . . . . . 353.4 Equivalência da formulação geral para a equação de energia no ar . . . . . . . . . . 363.5 Equivalência da formulação geral para a equação de energia no frost . . . . . . . . 363.6 Equivalências da formulação geral no transporte da umidade . . . . . . . . . . . . 374.1 Comparação da solução numérica com a analítica para o ponto (x, y) = (0.5m, 0.5m). 514.2 Resultados das simulações. Erros relativos entre parênteses. . . . . . . . . . . . . . 635.1 Parâmetros numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Propriedades termofísicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 Comparação de resultados com diferentes tamanhos de malha . . . . . . . . . . . . 765.4 Condições operacionais dos dados experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

xv

Nomenclatura

m fluxo mássico de vapor de água, kg ·m−2 · s−1

φ concentração

A área, m2

cp capacidade térmica, J · kg−1 ·K−1

D coeficiente de difusão de massa, m2 · s−1

E,W,N, S nós computacionais, respetivamente, leste, oeste, norte e sul

e, w, n, s faces do volume de controle, respetivamente, leste, oeste, norte e sul

H distância, m

Le número de Lewis

Nu número de Nusselt

P pressão, Pa

Pe número de Peclet

qsub calor de sublimação específico, J · kg−1

Ra número de Rayleigh

Re número de Reynolds

Sh número de Sherwood

T temperatura, oC

t tempo, s

u velocidade horizontal, m · s−1

V volume, m3

xvii

v velocidade vertical, m · s−1

x coordenada cartesiana na direção horizontal, m

y coordenada cartesiana na direção vertical, m

Símbolos gregos

α difusividade térmica, m2/s

λ condutividade térmica, W ·m−1 ·K−1

µ viscosidade dinâmica, Pa · s

ω taxa de umidade, kgv · kg−1a

φ variável genérica

ρ densidade, kg ·m−3

τ tortuosidade

ε porosidade

Subscritos

0 valor inicial

diff difundido para o interior da camada

a ar

CS superfície de controle

ef efetivo

f frost

i gelo

in entrada

s superfície da placa fria

v vapor

xviii

SUMÁRIO

Lista de Ilustrações xiii

Lista de Tabelas xv

Nomenclatura xvii

SUMÁRIO xix

1 Introdução 11.1 Revisão da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Modelos que usam correlações experimentais para estimar o efeito do es-coamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Modelos que simulam a camada de gelo e o escoamento simultaneamente . 41.1.3 Conclusões da revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Modelo matemático 72.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Modelo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Considerações físicas do modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Equações governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1 Subdomínio ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Subdomínio frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propriedades físicas do frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.3 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.4 Condições inciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Crescimento da camada de frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Solução do modelo matemático 193.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

xix

3.2 Método de volumes finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Malha computacional espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Forma geral das equações de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.3 Integração da equação geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.4 Esquemas de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.5 Equação discreta final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.6 Malha deslocada (staggered grid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.7 Acoplamento das equações de quantidade de movimento e massa . . . . . . 27

3.3 Tratamento das condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.1 Condições de Direchlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.2 Condições de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Aplicação do método dos volumes finitos ao problema de crescimento de frost . . . 333.4.1 Conservação da quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Subdomínio ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Subdomínio frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.2 Conservação de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Subdomínio ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Subdomínio frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.3 Transporte de vapor de água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Subdomínio ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Subdomínio frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Discretização da densificação do frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Discretização do crescimento de frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7 Descrição do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7.1 Determinação do escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7.2 Cálculo dos campos de temperatura e de umidade . . . . . . . . . . . . . . 443.7.3 Avaliação do crescimento de frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8 Critérios de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Verificação do código 474.1 Condução de calor em regime transitório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1 Modelo Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.2 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.3 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

xx

4.2 Convecção-difusão com velocidades conhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1 Modelo Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.2 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.3 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Cavidade com parede deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.1 Modelo Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.2 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.3 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Cavidade quadrada aquecida diferencialmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.1 Modelo Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.2 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.3 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5 Transferência de calor e massa em uma cavidade quadrada fechada . . . . . . . . . 654.5.1 Modelo Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.5.2 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5.3 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6 Cavidade quadrada aquecida diferencialmente em regime transitório . . . . . . . . 684.6.1 Modelo Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.6.2 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.6.3 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Resultados e discussão 755.1 Independência de malha espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2 Independência de malha temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3 Validação com dados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4 Estudo da influência da densidade inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.5 Distribuição de variáveis e geometria do frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5.1 Distribuição de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.5.2 Distribuição da umidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5.3 Distribuição da densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

xxi

5.6 Estudo da influência da velocidade no crescimento da camada de frost . . . . . . . 86

6 Conclusões e sugestões para próximos trabalhos 89

Referências 91

xxii

1 Introdução

A formação de gelo é de importante consideração em numerosas aplicações a baixas tempe-raturas, como evaporadores de sistemas de refrigeração, purificação de gases, rotores de compres-sores, transferência e armazenamento de líquidos criogênicos e na indústria aeroespacial.

A camada de gelo em trocadores de calor representa uma resistência térmica no processo detransferência de calor, além de criar também uma perda de pressão por obstrução no escoamento.Assim, o rendimento do trocador de calor fica comprometido. Outro caso de interesse é a forma-ção de gelo em asas de aeronaves que pode alterar o perfil aerodinâmico das mesmas, levando aum diminuição da sustentação e um aumento do arrastro. Da mesma maneira, uma obstrução porformação de gelo na transferência e no bombeamento de líquidos criogênicos pode causar gravesproblemas na industria criogênica.

Para essas problemáticas possam ser resolvidas ou controladas faz-se necessário uma predi-ção de: crescimento de gelo, densidade da camada de gelo, temperatura da superfície da camada,fluxo de calor através da camada e queda de pressão no escoamento. Uma melhor compreensão danatureza do fenômeno de formação de gelo tem então uma importância prática relevante.

Quando um escoamento de ar úmido entra em contato com uma superfície de temperaturaabaixo do ponto de congelamento da água, ela passa a apresentar uma formação de camada de gelo.A camada de gelo é considerada uma estrutura porosa contendo gelo sólido e pequenas bolhas dear. Essa formação de gelo poroso é tipicamente conhecida na literatura como frost. No presentetrabalho as referências a essa camada são feitas, indistintamente, por camada de frost ou camadade gelo poroso.

Durante o crescimento do frost a camada exibe diferentes características para cada períodoespecífico de crescimento. Segundo investigações de Hayashi et al. (1977) e Óneal e Tree (1984)entre outros, o fenômeno de crescimento é dividido em três etapas:

1. Período de crescimento dos cristais

2. Período de crescimento de frost

3. Período de fronteira plenamente desenvolvida

1

Na primeira etapa de crescimento, o vapor de água presente no ar condensa e/ou sublimainversamente na superfície da placa fria. As pequenas gotas de água atuam como centro da nucle-ação para a cristalização, cada foco de cristalização cresce de forma independente com a umidadepresente no ar, mas nesse estágio o gelo não pode ser entendido como um meio poroso. Assim,o gelo é assimilado a uma coluna sólida onde convecção de calor e transferência de massa são osprincipais mecanismos presentes, mais do que a difusão molecular dentro da camada.

No segundo período, os focos de cristalização se unem para formar uma camada consideradacomo um meio poroso onde o vapor escoa dentro dela por difusão molecular. Assim, uma parte dovapor de água proveniente do ar entra na camada de gelo e difunde para o interior dessa, ocorrendoa densificação da camada. O resto do vapor de água sublima inversamente na superfície e contribuino crescimento da camada.

A camada vai crescendo e densificando com o tempo. Por causa da densificação a conduti-vidade da camada aumenta, porém, o incremento na espessura da camada aumenta a resistênciatérmica da mesma. O resultado deste crescimento é o aquecimento da superfície do frost.

No terceiro período, a temperatura da superfície da camada de gelo atinge um valor maiorou igual ao ponto triplo da água. Então, pequenas gotas líquidas de água aparecem na superfícieda camada, e posteriormente, essas gotas se unem e formam uma fina camada de água líquidaque penetra dentro da camada de gelo. Essa água líquida congela progressivamente, pois existeum gradiente de temperatura no interior da camada. Como consequência dessa água congelada,a condutividade térmica da camada aumenta e a superfície de frost é esfriada de novo. Assim, oprocesso recomeça. O fenômeno acontece de forma cíclica até alcançar o equilíbrio termodinâmico.Um estudo detalhado deste período pode ser encontrado em Aoki et al. (1983).

1.1 Revisão da literatura

Vários estudos teóricos e experimentais para diferentes geometrias são encontrados na lite-ratura. Na presente revisão são apresentados os modelos de geometria de placa plana consideradosmais relevantes para a elaboração deste trabalho. Os modelos expostos são classificados em doisgrupos:

2

1. Modelos que aplicam as equações de difusão e conservação de energia na camada de gelo eusam correlações experimentais para simular o efeito do escoamento de ar.

2. Modelos que usam equações governantes para o ar úmido e o frost, simulando simultanea-mente os subdomínios do ar e do frost.

1.1.1 Modelos que usam correlações experimentais para estimar o efeito do esco-amento

Tao et al. (1993) criou um modelo matemático baseado no estudo da estrutura do frost deHayashi et al. (1977). Esse modelo inclui a primeira fase de crescimento assim como a segunda.Para modelar a primeira fase, o crescimento dos cristais é aproximado como o crescimento unidi-mensional de uma coluna de gelo. Para a segunda fase de crescimento é usado o método da médiavolumétrica. Os resultados são comparados com os dados experimentais de Mao et al. (1993). Oestudo conclui que o coeficiente de difusão dentro da camada de gelo é sete vezes maior que omesmo coeficiente no ar.

Ismail e Salinas (1999) apresentam a metodologia da média volumétrica aplicada ao cálculode crescimento de frost em placas paralelas. Nesse trabalho são estudados as melhores condiçõesiniciais para as características geométricas dos cristais assim como a difusividade. Finalmente, omodelo é validado com dados experimentais da literatura.

Os trabalhos de Na e Webb (2004a) e Na e Webb (2003) introduzem na literatura a condiçãode supersaturação do ar na superfície da camada de gelo. Na e Webb (2004b) apresenta um modelounidimensional que contempla um gradiente de densidade no interior da camada de gelo. Tambémpropõe uma nova correlação para a capacidade térmica do frost baseado no estudo de Hayashi et al.

(1977).

Mais recentemente, Hermes et al. (2009) apresenta um modelo unidimensional baseado emcorrelações empíricas no qual consegue ajustar os resultados numéricos aos dados experimentaiscom 10% de erro relativo. O modelo é considerado semi-algébrico, pois as equações governantessão integradas analiticamente, a exceção da integração no tempo a qual é feita de forma numérica.

Finalmente, Kandula (2011) reformula as correlações empíricas da densidade e da conduti-

3

vidade térmica efetiva do frost, aumentando a dependência dessas propriedades com o comporta-mento do escoamento de ar úmido. Assim, gera um modelo matemático unidimensional com bonsresultados para uma vasta faixa de condições de trabalho. Porém, as correlações experimentaisseguem restritas a geometria de placas planas paralelas.

1.1.2 Modelos que simulam a camada de gelo e o escoamento simultaneamente

Um dos primeiros trabalhos a desenvolver a ideia na forma de um modelo bidimensional foiLee et al. (2003). Este modelo consegue simular campo de velocidades, campo de pressão e campode umidade de forma simultânea com o crescimento da camada de frost. Este trabalho representana área de modelagem um avanço com respeito aos trabalhos prévios, pois os resultados das si-mulações coincidem com dados experimentais com uma margem de 10 % de erro relativo, excetonos primeiros instantes de crescimento. Porém, neste trabalho a densidade do frost é consideradaconstante na direção do crescimento.

O trabalho de Lenic et al. (2009) formulou um modelo bidimensional usando algumas des-cobertas recentes sobre a condição de supersaturação na superfície do frost publicadas por Na eWebb (2004a) e prescindindo de correlações experimentais para a interação ar-frost. Nesse modelosão usadas correlações experimentais apenas para calcular as propiedades do frost a partir da po-rosidade do mesmo. Para as simulações (LENIC et al., 2009) criou um código próprio utilizando ométodo de volumes finitos. Para validar o modelo, os resultados numéricos são comparados comdados experimentais apresentados em Lenic (2006).

Recentemente, foram publicados os trabalhos de Kim et al. (2015) e Cui et al. (2011) queusam software comercial (Ansys Fluent) para a resolução das equações governantes tanto do arúmido como do frost. Destaca-se no trabalho de Cui et al. (2011) o uso de uma nova formulaçãobaseada na teoria da nucleação.

1.1.3 Conclusões da revisão bibliográfica

Há dois grupos de modelos de crescimento de gelo: (1) modelos que usam correlações ex-perimentais para estimar o efeito do escoamento e (2) modelos que simulam a camada de gelo e o

4

escoamento simultaneamente. Ambos os modelos conformam atualmente linhas de pesquisa ativasna área. Porém, o segundo grupo, que é mais recente, tem sido mais desenvolvido nos últimos anosdevido à contínua melhora das técnicas numéricas e das capacidades de processamento de informa-ção das máquinas computacionais. A principal ventagem apresentada pelo grupo (2) com respeitoao grupo (1) é a possibilidade de estender o modelo de crescimento para diferentes geometrias.Entenda-se que o grupo (1) faz uso de correlações experimentais para uma determinada geome-tria; enquanto o grupo (2) calcula o escoamento de forma numérica, podendo estender a outrasgeometrias sem ter que modificar o modelo.

Os dois trabalhos mais recentes do grupo (2) têm utilizado software comercial, o que restringea capacidade de pesquisa por ter uma oferta de prestações limitada e ter parte do código inacessível.Assim, o trabalho mais recente publicado o qual não usa software comercial é o de Lenic et al.

(2009). Este trabalho apesar de ter todas as equações governantes formuladas bidimensionalmente,aproxima o crescimento de frost a um crescimento unidimensional, ou seja, um elemento de frost

pode crescer em uma única direção, neste caso na direção perpendicular à placa.

Neste mesmo contexto, um estudo do crescimento de frost bidimensional sem uso de softwarecomercial e usando uma formulação bidimensional para o crescimento de frost pode auxiliar parauma melhor compreensão do fenômeno.

O presente estudo pretende contribuir nesse sentido, formulando um modelo bidimensionalque simula o escoamento de ar úmido e a camada de ar de forma simultânea. Para o crescimentodo frost é usado uma formulação bidimensional, ou seja, um elemento de frost pode crescer tantona direção perpendicular quanto na direção paralela à placa.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo geral

O objetivo geral deste trabalho é desenvolver um modelo bidimensional para o segundo pe-ríodo de crescimento de gelo poroso. Pretende-se modelar tanto a camada de frost como o es-coamento de ar ao redor dela. Assim, utilizam-se as equações de conservação de quantidade demovimento, conservação de energia e transporte de massa. Para calcular as propriedades da ca-

5

mada de frost utiliza-se as equações de difusão e de conservação de energia, tratando a camadacomo um meio poroso.

1.2.2 Objetivos específicos

Os objetivos específicos deste trabalho são:

1. Implementar um código transiente 2-D para resolver as equações de quantidade de movi-mento, energia e transporte de massa numa cavidade retangular, sendo as propriedades dofluido varáveis (densidade, viscosidade, capacidade térmica, condutividade térmica e coefi-ciente difusivo).

2. Desenvolver um modelo de crescimento de gelo poroso bidimensional.

3. Acoplar o modelo de crescimento de gelo poroso bidimensional com o código transiente2-D para resolver as equações de quantidade de movimento, energia e transporte, sendo ainterface de ar-frost uma fronteira móvel.

4. Determinar a evolução temporal das características da camada de frost (campos de densidade,temperatura e umidade, e espessura da camada).

5. Comparar os resultados obtidos com dados experimentais da literatura.

6. Estudar a influência da velocidade de entrada do ar úmido no crescimento da camada de geloporoso.

6

2 Modelo matemático

O modelo matemático proposto é usado para a simulação do crescimento de gelo porosoapresentado aqui modela tanto a camada de gelo poroso como o escoamento ao redor dela. Detalha-se neste capítulo o domínio físico do problema a ser estudado e as equações que governam ofenômeno tanto do lado do ar úmido como do frost. A seguir são listadas as condições de contornoe discutidas as condições iniciais adotadas. Explica-se também como foi tratado o meio poroso. Porfim, apresenta-se o modelo de crescimento da camada.

2.1 Introdução

O modelo matemático apresentado neste trabalho explica como o vapor de água existente emum escoamento é depositado na superfície fria aletada de um trocador de calor. O vapor de águasublimado inversamente é depositado em estado sólido nessa superfície. Porém, este fenômeno nãogera uma camada de gelo denso; mas sim, uma camada porosa, onde coexistem o gelo sólido epequenas bolhas de ar úmido em estado gasoso. Esta condição de camada porosa gera uma difusãode ar úmido dentro da camada de frost.

A modelagem inclui a camada crescente de frost assim como o escoamento de ar úmidoao redor dela. De outra forma, tem-se no modelo um subdomínio de ar úmido e outro de frost.Cabe ressaltar que a fronteira entre esses dois domínios está em movimento. Assim, o problema éforçosamente em regime transiente, pois a camada de gelo poroso cresce com o tempo.

O fato de modelar também o escoamento apresenta uma vantagem clara com respeito aosoutros modelos: são eliminadas as correlações experimentais na interface ar-frost. Mas, é impor-tante dizer, que o fenômeno de deposição do frost é complexo, com isso é difícil considerar todosos mecanismos atuando na interface. É justo ressaltar que as correlações experimentais conseguemajustar adequadamente as simulações aos dados experimentais de forma precisa.

Contudo, um modelo livre de correlações experimentais pode significar um modelo aplicávela outras geometrias sem necessidade de previamente obter as correlações experimentais para essageometria específica.

7

2.2 Modelo físico

O crescimento de frost será calculado na superfície aletada de um trocador de calor de tuboaletado onde o fluido refrigerante circula dentro dos tubos circulares para esfriar o ar que escoaentre as aletas planas (na figura 2.1 pode-se observar um esquema desse trocador). A escolha dessemodelo físico deve-se ao fato de ser um dos casos mais comuns na indústria onde este fenômeno defrost aparece. Assim, esse tipo de trocador trabalha com dois fluidos: o ar e o refrigerante. Como ofrost aparece no lado do ar, o modelo computacional está restrito a essa região.

Figura 2.1: Esquema de trocador de calor de tubo aletado.

Por simplicidade, o domínio computacional escolhido é o espaço bidimensional entre as pla-cas planas. Por ser esta região simétrica, estuda-se a metade inferior indicada com um quadro delinha descontínua na figura 2.2. Nota-se que, em relação aos estudos publicados até o momento, háuma diferença que consiste na inclusão de uma região prévia ás placas. O objetivo disso é conside-rar o possível crescimento horizontal do frost, evitando condições de contorno fisicamente pouco

8

realistas.

Entrada

de ar

Figura 2.2: Região bidimensional entre as aletas planas do trocador de calor

Assim sendo, o domínio computacional para modelar o crescimento de frost no trocador detubo aletado é um domínio retangular composto por dois subdomínios: ar e frost. A fronteira oestecorresponde à entrada de ar, a leste à saída de ar, a sul à superfície da placa fria e a norte à condiçãode simetria. Na figura 2.3 é esquematizado esse domínio.

Saída de

ar

Subdomínio de ar

Subdomínio de frost

Hx,2

Hy

Hx,1

Entrada

de ar

x

y yf

Figura 2.3: Domínio computacional

9

2.3 Considerações físicas do modelo matemático

A seguir se enumeram as principais considerações físicas que foram assumidas para o desen-volvimento da modelagem,:

1. Considerações correspondentes à camada de gelo:

(a) A difusão de massa e de calor é assumida quase-estática e bidimensional.

(b) A pressão é constante em todo o domínio interior da camada de gelo (HERMES

et al., 2009).

(c) O diâmetro dos poros da camada é suficientemente pequeno para não apresentar con-vecção natural dentro da camada de gelo (WOODSIDE, 1958).

(d) A radiação térmica é negligenciável devido às baixas diferenças de temperaturas(DIETENBERGER, 1983).

(e) A pressão total do gás é constante e igual à pressão atmosférica (LE GALL et al., 1997).

(f) A umidade local do ar corresponde à umidade de saturação na temperatura local(KANDULA, 2011).

2. Considerações correspondentes ao escoamento de ar úmido:

(a) O ar entra no domínio com velocidade constante e perfil uniforme de velocidades.

(b) As propriedades termofísicas do ar são consideradas constantes.

(c) Considera-se escoamento incompressível em regime laminar.

(d) A velocidade de entrada é suficientemente grande para desprezar a convecção naturaltérmica e mássica, assim, o campo de velocidades é desacoplado dos campos de umi-dade e de temperatura.

(e) Na fronteira sul correspondente ao subdomínio de ar, é considerada condição de con-torno de simetria. Esta consideração é aceitável sempre que a espessura da placa forsuficientemente pequena.

10

2.4 Equações governantes

2.4.1 Subdomínio ar

As equações que governam o escoamento de ar úmido são:

Equação de conservação de massa:

∂ρa∂t

+∂(ρau)

∂x+∂(ρav)

∂y= 0 (2.1)

Equação de conservação da quantidade de movimento no eixo x:

∂(ρau)

∂t+∂(ρau · u)

∂x+∂(ρav · u)

∂y= −∂P

∂x+

∂

∂x

[µ∂u

∂x

]+

∂

∂y

[µ∂u

∂y

](2.2)

Equação de conservação da quantidade de movimento no eixo y:

∂(ρav)

∂t+∂(ρau · v)

∂x+∂(ρav · v)

∂y= −∂P

∂y+

∂

∂x

[µ∂v

∂x

]+

∂

∂y

[µ∂v

∂y

](2.3)

Equação de conservação de energia:

∂(ρaT )

∂t+∂(ρau · T )

∂x+∂(ρav · T )

∂y=

∂

∂x

[λacp,a

∂T

∂x

]+

∂

∂y

[λacp,a

∂T

∂y

](2.4)

Equação de transporte de vapor de água:

∂(ρaω)

∂t+∂(ρau · ω)

∂x+∂(ρav · ω)

∂y=

(∂

∂x

[ρaD

∂ω

∂x

]+

∂

∂y

[ρaD

∂ω

∂y

])(2.5)

11

2.4.2 Subdomínio frost

Considerando velocidades nulas na camada porosa de gelo e a sublimação da fase vapor, aequação da conservação de energia pode ser expressa como:

∂(ρfT )

∂t=

∂

∂x

[λfcp,f

∂T

∂x

]+

∂

∂y

[λfcp,f

∂T

∂y

]+qsubcp,f

∂ρf∂t

(2.6)

A massa de vapor procedente do ar que penetra dentro do frost densifica a camada com opassar do tempo, pois o vapor muda de forma contínua para o estado sólido. Usando a equaçãobidimensional de conservação de massa e a lei de Fick, este fenômeno pode ser descrito como emNa e Webb (2004b):

∂ρf∂t

=

(∂

∂x

[ρaDef

∂w

∂x

]+

∂

∂y

[ρaDef

∂w

∂y

])(2.7)

Propriedades físicas do frost

As propriedades do frost variam no espaço e no tempo, pois dependem fortemente da porosi-dade deste. A porosidade do frost é definida como:

ε =ρg − ρfρg − ρa

(2.8)

Neste estudo são adotadas a condutividade térmica como função da densidade do frost des-crita na equação 2.9, e a capacidade térmica a pressão constante em função da porosidade descritana equação 2.10; ambas as equações são propostas em Lee et al. (2003):

λf [W/(m ·K)−1] = A1 + A2ρf + A3ρ2f [ρ em kg/m3] (2.9)

onde A1 = 0.132, A2 = 3.13 · 10−4, A3 = 1.6 · 10−7

12

cp,f =[cp,gρg(1− ε) + cp,aρaε]

ρf(2.10)

O coeficiente difusivo dentro da camada tem um valor menor devido a tortuosidade do meioporoso. A dependência do coeficiente difusivo com a porosidade e o parâmetro tortuosidade sãodiscutidos em Na e Webb (2004a). Neste trabalho é escolhido o coeficiente de tortuosidade, τ ,definido em Cunningham e Williams (1980) como:

τ =1 + ε

2(2.11)

E a relação para o coeficiente difusivo efetivo, Def , definido em Na e Webb (2004a) como:

Def = D · ε · τ (2.12)

Assim:Def = D · ε · 1 + ε

2(2.13)

2.4.3 Condições de contorno

A seguir são descritas as condições de contorno do domínio computacional, e a figura 2.4apresenta um esquema dessas condições.

Fronteira sul :

Subdomínio de ar. Devido à simetria, temperatura e umidade apresentam gradiente nulonormal à fronteira. A componente vertical é nula e a velocidade horizontal apresentagradiente nulo na direção normal.

Subdomínio de frost. A fronteira inferior do domínio correspondente à placa fria. Assimé assumida temperatura constante e igual à da placa, Ts. Considera-se que a placa éimpermeável, então pode-se escrever: ∂ω

∂y= 0

Fronteira oeste (subdomínio de ar): Corresponde à entrada do escoamento, assim as velocidadessão conhecidas e igual a u = uin e v = 0. A temperatura T = Tin e a umidade w = win.

13

Fronteira norte (subdomínio de ar): Devido à simetria, temperatura e umidade apresentam gra-diente nulo normal à fronteira. A componente vertical é nula e a velocidade horizontal apre-senta gradiente nulo na direção normal.

Fronteira leste: Assuma-se fronteira de efluxo com todas as variáveis com gradiente nulo normalà face leste. Sendo que no subdomínio do frost as velocidades devem ser nulas.

Figura 2.4: Condições de contorno

2.4.4 Condições inciais

Subdomínio de ar. No tempo inicial é assumido um campo de velocidades nulo, e campos detemperaturas e umidades constantes e iguais a Tin e win respectivamente.

Subdomínio de frost. Como o modelo descreve apenas a partir da segunda fase de crescimentode frost, as condições iniciais da segunda fase correspondem ao estado final da primeira fasede crescimento. Para evitar aleatoriedade na escolha destas condições são usados valoresexperimentais para densidade de frost inicial, ρf,0, e espessura inicial de frost δf,0. Para adensidade no trabalho de Le Gall et al. (1997) foi escolhido um valor inicial de 25 kg/m3, eem outros trabalhos como Lenic et al. (2009) e Na e Webb (2004a) o valor escolhido foi de30 kg/m3. Em um trabalho experimental (JONES E PARKER, 1975) testaram a influência da

14

densidade inicial na taxa de crescimento e na densidade do frost, e segundo eles a densidadee a espessura da camada convergiam para o mesmo valor sempre que a densidade inicialestivesse na faixa de 8 a 48 kg/m3. No capítulo 5 é realizado um estudo da influência dadensidade inicial do frost nas características da camada para o modelo em estudo.

Para a espessura inicial Tao et al. (1993) escolheu um valor de 10−4m, em outras recentespublicações de Lenic et al. (2009) e Na e Webb (2004a) foi escolhido um valor de 2 · 10−5m.

Sendo a espessura inicial um valor pequeno, é considerada uma temperatura inicial constantee igual à temperatura constante da placa fria, Ts.

Por concordância com a literatura os valores iniciais adotados para a camada de frost são:

◦ Densidade inicial, ρf,0 = 30kg/m3

◦ Espessura inicial, δf,0 = 2 · 10−5m

◦ Temperatura inicial, Tf,0 = Ts

2.5 Crescimento da camada de frost

Esta seção está destinada a modelar a taxa de crescimento de frost. A abordagem realizadaneste trabalho tenta generalizar os modelos existentes e estender a taxa de crescimento a duas di-mensões. Para isso, é seguido a mesma linha de raciocínio dos modelos unidimensionais propostospor Le Gall et al. (1997) e Lee et al. (2003), nos quais a taxa de crescimento é deduzida de umbalanço de massa na fronteira do frost, da forma:

ρfdy

dt= ma − mdif (2.14)

onde ma em [kg · s−1 · m−2] corresponde ao fluxo mássico de vapor de água proveniente do arentrando na camada de frost. E mdif em [kg · s−1 · m−2] corresponde ao fluxo mássico de vaporde água que difunde para o interior da camada de frost. O sentido positivo é indicado na figura 2.5,

15

sendo que os fluxos são definidos como em Le Gall et al. (1997):

ma = ρaDdw

dy(2.15a)

mdif = −ρaDdifdw

dy(2.15b)

Este balanço de massa indica que a diferença entre a massa que entra pelo lado do ar e amassa de vapor que consegue difundir para o interior da camada é a massa que sublima na interfacee contribui para o crescimento da camada. Esse raciocínio é atualmente aceito e foi usado empublicações mais recentes de Na e Webb (2004b). O trabalho de Lenic et al. (2009) reescreveu asequações governantes apresentadas em Na e Webb (2004b) de forma bidimensional, mas continuouusando a mesma relação unidimensional para o cálculo do crescimento. Observa-se na figura 2.5um esquema desse balanço unidimensional na interface ar-frost.

Figura 2.5: Balanço unidimensional na fronteira

Para estender este balanço para uma fronteira bidimensional, é feito um balanço de massa em

16

um volume de controle da camada de frost localizado na interface ar-frost. De maneira que tem-se:

ρfdV

dt=

∫SC

m dA (2.16)

Uma representação do balanço bidimensional é mostrado na figura 2.6. No capítulo 3 explica-se a abordagem numérica desta taxa de crescimento bidimensional.

Figura 2.6: Exemplo ilustrativo do crescimento de gelo bidimensional

Por último, o modelo supõe que a densidade do novo frost formado é igual à densidade dofrost em contato com ele, isso pode ser expresso como:

∂ρf∂n

= 0 (2.17)

onde n representa a direção de crescimento.

17

3 Solução do modelo matemático

Neste capítulo a metodologia numérica para solucionar o modelo matemático é discutida.Usando o método de volumes finitos, a equação de convecção e difusão em duas dimensões édiscretizada de forma detalhada. São apresentadas as aproximações numéricas adotadas neste tra-balho, assim como a metodologia de acoplamento da equação de quantidade de movimento com aequação de continuidade de massa, por meio dos algoritmos SIMPLE e SIMPLEC.

Um vez explicado o método de volumes finitos, detalha-se a metodologia para aplicá-lo àresolução das equações governantes do fenômeno em estudo. Além disso, comentam-se as discre-tizações da densificação e o crescimento do frost.

Finalmente, são detalhados os critérios de convergência adotados no presente estudo.

3.1 Introdução

Na capítulo anterior foi apresentado o modelo matemático para determinar o crescimento degelo poroso entre duas placas paralelas. O fenômeno de estudo envolve o transporte da quantidadede movimento, energia e massa de forma acoplada. Até o momento não se conhece uma solu-ção geral analítica, embora existam algumas soluções para casos específicos nos quais é possívelsimplificar a complexidade do problema. Assim, no presente estudo é preciso recorrer ao uso dealguma técnica numérica para resolver o modelo matemático de forma geral.

Para a modelagem computacional de fenômenos que envolvem equações diferenciais par-ciais, destacam-se três técnicas numéricas: diferenças finitas, elementos finitos e volumes finitos.Estes três métodos são os mais amplamente usados para solucionar esse tipo de problemas. Es-ses métodos se baseiam na discretização das equações governantes resultando em um sistema deequações algebricas.

Nas últimas décadas tem sido generalizado o uso do método de volumes finitos para proble-mas de mecânica dos fluidos, principalmente, porque a conservação das propriedades em estudo dofluido é satisfeita de forma exata em qualquer grupo de volumes de controle. E, consequentemente,o balanço de conservação global no domínio também é satisfeito. Nas próximas seções é deta-

19

lhada a metodologia de solução do modelo matemático de crescimento de gelo usando o métodode volumes finitos.

3.2 Método de volumes finitos

De forma geral, o método de volumes finitos permite calcular a distribuição no domínio com-putacional de uma variável φ com base na equação de conservação e com a necessária informaçãodessa variável na fronteira do domínio.

Para obter a solução numérica da equação geral, o domínio computacional deve ser subdi-vidido num conjunto de sub-regiões não superpostas, denominadas volumes de controle, com umponto nodal associado a cada um. O conjunto dos volumes de controle e dos pontos nodais associ-ados é denominado de grade computacional ou malha.

Uma vez que a malha é gerada, a equação diferencial é aproximada por uma equação algé-brica em cada um dos volumes de controle. Esta equação algébrica relaciona o valor da variáveldependente φ num ponto nodal com os valores nos pontos nodais vizinhos. Para obter essa relação,a equação geral é integrada em cada volume de controle. Assim, é obtida uma equação algébricapara cada nó da grade computacional.

Finalmente, o sistema de equações algébricas é solucionado, na maioria dos casos, com ummétodo iterativo.

A explicação detalhada para a discretização em volumes finitos pode ser consultada em Pa-tankar (1980) e Versteeg e Malalasekera (2007)

3.2.1 Malha computacional espacial

O domínio físico é dividido em volumes de controle de forma ordenada e não superposta,cobrindo todo o domínio. Um número finito de nós são localizados dentro do domínio, um nó paracada volume de controle. Para isso, em Patankar (1980), são descritas duas práticas.

20

Pratica A : As fronteiras dos volumes de controle são colocadas no ponto médio entre dois nós.

Prática B : Os nós são localizados no centro dos volumes de controle.

Por outro lado, para os volumes de controle da fronteira existem duas formas de tratamento:

Contato com a fronteira : A interface do volume de controle coincide com a fronteira do domínio.Então, existe um nó localizado exatamente na fronteira com espessura de volume de controlenula na direção normal à fronteira.

Sem contato com a fronteira : A interface do volume de controle na fronteira não coincide coma fronteira do domínio, assim o volume de controle da fronteira tem espessura na direçãonormal à fronteira.

No presente estudo é usada uma malha de acordo com a prática B e o tratamento de contatocom a fronteira. Na figura 3.1 pode-se observar uma representação gráfica dessa configuração.

Figura 3.1: Malha com contato na fronteira e nó centrado no volume de controle.

O tamanho dos volumes de controle pode ser uniforme em todo o domínio computacional,ou pode ser de tamanho variável para se ajustar às necessidades do problema. No presente estudo amalha usada é uma malha uniforme.

21

3.2.2 Forma geral das equações de transporte

As equações de conservação apresentadas no modelo matemático (conservação de quantidadede movimento, energia e massa) possuem um formato geral comum expressado na equação 3.1.

∂(ρφ)

∂t+ ~O · (ρ~V φ) = ~O · (Γ~Oφ) + S (3.1)

Esta equação diferencial para a propriedade intensiva genérica φ possui um coeficiente di-fusivo Γ e um termo fonte S. As equações consideradas anteriormente podem ser obtidas destaequação geral associando valores particulares para a variável φ, o coeficiente difusivo Γ e o termofonte S. Na tabela 3.1 são mostrados os valores de φ, Γ e S para tratar a equação geral como umaequação de transporte específica.

Tabela 3.1: Equivalências da formulação geral

Equação de conservação φ Γ S

Massa 1 0 0

Quantidade de movimento em x u µ −∂P∂x

+ Fx

Quantidade de movimento em y v µ −∂P∂y

+ Fy

Energia T λcp

q

Espécie química ω ρD m′′

3.2.3 Integração da equação geral

A figura 3.2 mostra o volume de controle para o nó interno P em uma malha bidimensionalcartesiana. Na figura estão também representados em maiúsculas os nós vizinhos a norte (N ), sul(S), leste (E) e oeste (W ); e as interfaces do volume de controle em minúsculas, assim como otamanho do volume de controle (∆x e ∆y) e as distâncias com os nós vizinhos. A notação indicadana figura é utilizada para a integração da equação geral.

A equação geral em duas dimensões e coordenadas cartesianas, pode ser escrita como:

22

Figura 3.2: Representação do volume de controle P em uma malha bidimensional

∂(ρφ)

∂t+∂(ρu · φ)

∂x+∂(ρv · φ)

∂y=

∂

∂x

[Γ∂φ

∂x

]+

∂

∂y

[Γ∂φ

∂y

]+ S (3.2)

Integrando a equação 3.2 entre os limites geométricos do volume de controle, temos:

∂(ρφ)

∂t∆x∆y + [(ρuφ)e − (ρuφ)w]∆y + [(ρvφ)n − (ρvφ)s]∆x =[

(Γ∂φ

∂x)e − (Γ

∂φ

∂x)w

]∆y +

[(Γ∂φ

∂y)n − (Γ

∂φ

∂y)s

]∆x+ S∆x∆y (3.3)

onde ρuφ representa o fluxo convectivo, Γ∂φ

∂xrepresenta o flux difusivo e S representa o valor

médio do termo fonte no volume de controle. Os fluxos difusivo e convectivo são consideradosconstantes em cada interface do volume de controle.

A equação 3.3 deve também ser integrada no tempo. As integrais temporais requerem a ado-ção de um perfil de variação da variável φ do instante t até t+∆t. Esta escolha implica em esquemasdistintos para as equações discretizadas. A integral da variável φ pode ser representada como uma

23

combinação linear dos seus valores nos instantes inicial e final do intervalo de tempo considerado:

∫ t+∆t

t

φdt = [fφ+ (1− f)φo]∆t 0 ≤ f ≤ 1 (3.4)

onde φo representa o valor da variável φ no instante t e φ, o valor no instante t + ∆t. Cada valordo parâmetro f resulta em um esquema de integração diferente, e os esquemas mais comumenteusados são:

f = 0 : esquema explícito

f = 0.5 : esquema Crank-Nicolson

f = 1 : esquema implícito

Por conta da estabilidade da solução numérica, discutido em Patankar (1980), no presenteestudo é usado o esquema implícito. Assim, adotando f = 1, a integração no tempo da equação 3.3fica:

(ρφ)P − (ρφ)oP∆t

∆x∆y + [(ρuφ)e − (ρuφ)w]∆y + [(ρvφ)n − (ρvφ)s]∆x =

[(Γ∂φ

∂x)e − (Γ

∂φ

∂x)w]∆y + [(Γ

∂φ

∂y)n − (Γ

∂φ

∂y)s]∆x+ S∆x∆y (3.5)

3.2.4 Esquemas de interpolação

Da equação 3.5 pode-se observar a necessidade de conhecer o valor de φ e a sua derivada nasfronteiras dos volumes de controle, sendo que, a princípio, só são conhecidos os valores de φ nosnós do domínio. Para este fim são usados os esquemas de interpolação.

Para aproximar o valor da derivada de φ na fronteira é usado um interpolação de diferençacentrada de primeira ordem, a estabilidade desta aproximação esta discutida em Versteeg e Mala-

24

lasekera (2007). Assim, por exemplo, para calcular a derivada de φ na interface este (e), temos:

(∂φ

∂x)e =

φE − φP∂xPE

(3.6)

Para o cálculo de φ nas interfaces do volume de controle existem diferentes tipos de aproxi-mações que, em geral, podem ser classificadas em esquemas de alta e baixa ordem, dependendo donúmero de nós usados para a interpolação. Embora os esquemas de alta ordem gerem resultadosmais precisos, no presente trabalho são adotados os esquemas de baixa ordem por simplicidade ecom a finalidade de facilitar a convergência do problema. Os esquemas de baixa ordem convencio-nais são:

◦ Esquema Centrado

◦ Esquema Upwind

◦ Esquema Híbrido

◦ Esquema Power Law

3.2.5 Equação discreta final

Para simplificar a equação 3.5, são definidos os seguintes termos:

Fluxos convectivos:

Fe = (ρuφ)e∆y Fw = (ρuφ)w∆y Fn = (ρvφ)n∆x Fs = (ρvφ)s∆x (3.7)

Fluxos difusivos:

De =ΓeδxPE

∆y Dw =ΓwδxWP

∆y Dn =ΓnδyPN

∆x Ds =ΓsδySP

∆x (3.8)

O número de Peclet:

25

Pew =Fw

Dw

Pee =Fe

De

Pen =Fn

Dn

Pes =Fs

Ds

(3.9)

Decompondo o termo fonte S em:

S = SC + SPφP (3.10)

Podemos reescrever a equação 3.5 em notação de coeficiente agrupados (PATANKAR, 1980)como:

aPφP = aWφW + aEφE + aNφN + aSφS + b (3.11)

onde:

aE = DeA(|Pee|) +max[−Fe, 0] (3.12a)

aW = DwA(|Pew|) +max[Fw, 0] (3.12b)

aN = DnA(|Pen|) +max[−Fn, 0] (3.12c)

aS = DsA(|Pes|) +max[Fs, 0] (3.12d)

a0P = ρ0 ∆x∆y

∆t(3.12e)

aP = aE + aW + aS + aN + ρP∆x∆y

∆t− SP∆x∆y (3.12f)

b = a0Pφ

0P + SC∆x∆y (3.12g)

A função A = (|Pe|) depende do esquema numérico utilizado. Na tabela 3.2 são apresentadas asequivalências da função A = (|Pe|) para os diferentes esquemas de interpolação:

3.2.6 Malha deslocada (staggered grid)

A malha deslocada é uma técnica muito útil para a solução das equações da quantidade demovimento. Esta técnica consiste na geração de três malhas superpostas para o armazenamento dasvaráveis:

26

Tabela 3.2: Função A(|Pe|)

Esquema de interpolação A(|Pe|)Centrado 1− 0.5|Pe|Upwind 1Exponencial |Pe|

e|Pe|−1

Híbrido max[0, (1− 0.5|Pe|)]Power Law max[0, (1− 0.1|Pe|)5]

Malha principal é uma malha em que os volumes de controle estão centrados nos nós, nela sãoarmazenados os valores das variáveis escalares: pressão, temperatura, concentração, etc...

Malha para u é a malha principal deslocada no sentido positivo da direção x de forma que as in-terfaces leste e oeste coincidam nos nós da malha principal, nela são armazenados os valoresda velocidade horizontal.

Malha para v é a malha principal deslocada no sentido positivo da direção y de forma que asfronteiras norte e sul coincidam com os nós da malha principal, onde são armazenados osvalores da velocidade vertical.

Na figura 3.3 é mostrada uma representação das três malhas.

São dois os motivos pelo qual foi adotada este tipo de malha. Primeiramente, porque nocálculo dos fluxos convectivos não é necessária a interpolação das velocidades, já que elas sãocalculadas na interface dos volume de controle da malha principal. Em segundo, no cálculo dotermo fonte das equações de quantidade de movimento o valor da pressão não é interpolado, issogera estabilidade numérica e ajuda na obtenção de resultados fisicamente realistas.

3.2.7 Acoplamento das equações de quantidade de movimento e massa

A resolução da quantidade de movimento envolve o cálculo das duas componentes da velo-cidade (u e v) e da pressão (P ). Aparecem duas dificuldades para o cálculo dessas três variáveis:

◦ O termo convectivo da equação de quantidade de movimento é altamente não linear.

27

(a) Malha principal (b) Malha para u (c) Malha para v

Figura 3.3: Malha deslocada.

◦ Não existe uma equação de transporte para a pressão.

Nota-se que as equações de quantidade de movimento e continuidade de massa estão forte-mente acopladas, pois as componentes de velocidade aparecem em ambas as equações. Nota-setambém que a pressão aparece no termo fonte da equação de quantidade de movimento.

Para superar essas dificuldades é usado o algoritmo SIMPLE (Semi-implicit Method for

Pressure-Linked Equations) descrito em Patankar (1980) o qual é eficiente e estável. Primeramente,trata-se de resolver as equações de conservação da quantidade de movimento a partir de um campode pressões estimado. Posteriormente, esta distribuição de velocidades e a mesma pressão são cor-rigidos com a equação de continuidade de forma iterativa, até chegar em um campo de velocidadesque cumpra ao mesmo tempo as equações de conservação e continuidade.

De forma geral, a estrutura iterativa do algoritmo SIMPLE pode ser resumida como segue:

1. Decompor o termo fonte, de tal forma que a pressão apareça explicitamente

bu = −Ae(PE − PP ) + bu1 (3.13a)

bv = −An(PN − PP ) + bv1 (3.13b)

onde Ai é a área da interface i do volume de controle. A partir das equações 3.13 as equa-

28

ções discretizadas de conservação de quantidade de movimento em notação de coeficientesagrupados, podem ser descritas como:

aueue =∑

vizinhos

avizinhosuvizinhos − Ae(PE − PP ) + bu1 (3.14a)

avnvn =∑

vizinhos

avizinhosvvizinhos − An(PN − PP ) + bv1 (3.14b)

2. Para resolver as equações de quantidade de movimento é preciso estimar um campo de pres-são P ∗. Assim o campo de velocidades obtido pode não satisfazer a continuidade de massa;o campo de velocidades obtido é indicado como: u∗ e v∗. As equações 3.14 podem ser rees-critas da forma:

aueu∗e =

∑vizinhos

avizinhosu∗vizinhos − Ae(P ∗E − P ∗P ) + bu1 (3.15a)

avnv∗n =

∑vizinhos

avizinhosv∗vizinhos − An(P ∗N − P ∗P ) + bv1 (3.15b)

3. Propõe-se que a distribuição de pressão correta P seja obtida a partir de uma correção depressão P ′, da forma:

P = P ∗ + P ′ (3.16)

Assim, a velocidade correta é entendida também como a velocidade corrigida, da forma:

u = u∗ + u′ (3.17a)

v = v∗ + v′ (3.17b)

4. Substituindo as equações 3.17 e 3.16 na equação de conservação de quantidade de movimento

29

3.14 e subtraindo a equação 3.15, chega-se à expressão:

aueu′ =

∑vizinhos

avizinhosu′vizinhos − Ae(P ′E − P ′P ) (3.18a)

avnv′ =

∑vizinhos

avizinhosv′vizinhos − An(P ′N − P ′P ) (3.18b)

5. Das equação 3.18 são deduzidas as correções de velocidades:

u′e = due (P′P − P ′E) (3.19a)

v′n = dvn(P ′P − P ′N) (3.19b)

onde due e dvn são coeficientes definidos conforme o algoritmo usado. No presente estudo sãoimplementados os algoritmos SIMPLE e SIMPLEC, os quais são discutidos a seguir:

SIMPLE Para obter as correções de velocidade, o termo inteiro da somatória correspondenteda equação 3.18 é desprezado, de maneria que os coeficientes due e dvn ficam sendo:

due =Aeaue

(3.20a)

dvn =Anavn

(3.20b)

A aproximação realizada nesse ponto é válida quando a solução tende a convergir. As-sim, esse critério sobrestima o valor da pressão durante o processo iterativo, pelo que érecomendável subrelaxar a pressão para convergir o processo iterativo.

SIMPLEC Por outro lado, o algoritmo SIMPLEC, evita desprezar a somatória de formadireta. Para isso é subtraído o termo:∑

vizinhos

auvizinhosu′e

nos dois lados da expressão 3.18a. Assim, por comparação com a equação 3.19 é obtidoo coeficiente due . O coeficiente dvn é calculado analogamente. Assim, obtêm-se:

due =Ae

aue −∑

vizinhos auvizinhos

(3.21a)

dvn =An

avn −∑

vizinhos avvizinhos

(3.21b)

30

6. Finalmente, é calculado a correção de pressão P ′. Para isso, a equação de continuidade demassa é integrada em um volume de controle da malha principal:

ρp − ρoP∆t

∆x∆y + [(ρu)e − (ρu)w]∆y + [(ρv)n − (ρv)s]∆x = 0 (3.22)

Expressando a equação 3.22 em termos da pressão corregida usando as expressões 3.19 e3.17, em notação de coeficientes agrupados, temos:

aPP′P = aWP

′W + aEP

′E + aNP

′N + aSP

′S + b (3.23)

onde:

aE = ρedue∆y (3.24a)

aW = ρwduw∆y (3.24b)

aN = ρndvn∆x (3.24c)

aS = ρsdvs∆x (3.24d)

aP = aE + aW + aS + aN (3.24e)

b =ρoP − ρP

∆t∆x∆y + [(ρu∗)w − (ρu∗)e]∆y + [(ρv∗)s − (ρv∗)n]∆x (3.24f)

Nota-se que o termo fonte da equação 3.24 é igual à equação de continuidade em termos davelocidade estimada. Assim, durante o processo de iteração esse termo deve tender a zero.

3.3 Tratamento das condições de contorno

A solução numérica do problema depende das condições iniciais e das condições de contorno.Assim, a condição inicial deve ser especificada para todos os nós do domínio no primeiro instanteda simulação. Já as condições de contorno devem ser especificadas na fronteira e, neste caso, sãoconstantes durante toda a simulação.

As condições de contorno especificadas neste trabalho são de dois tipos: condições de Dire-chlet ou primeira classe e condições de Neumann ou segunda classe.

31

3.3.1 Condições de Direchlet

Neste tipo de condição é fixado um valor da variável nos nós fronteira (independentementedos nós vizinhos), ou seja, o tratamento dos coeficientes da equação de coeficientes agrupados éfeito de maneira que o nó fronteira mantém o valor especificado (φespecificado) em todo momento.Assim, da equação de coeficientes agrupados:

aPφP = aWφW + aEφE + aNφN + aSφS + b (3.25)

Deve-se impor os valores:

aE = aW = aN = aS = 0 (3.26a)

aP = 1 (3.26b)

b = φespecificado (3.26c)

Substituindo os valores da equação 3.26 na equação 3.25 obtem-se:

φP = φespecificado (3.27)

3.3.2 Condições de Neumann

Neste tipo de condição é imposto uma variação (A) de uma variável (φ) em uma dada direção(n). Pode ser expresso como:

∂φ

∂n= A (3.28)

Aproximando linearmente a equação anterior, por exemplo na fronteira sul do domínio, éobtido:

32

φN − φPδy

= A (3.29)

Levando em consideração a equação 3.25, o valor dos coeficientes deve ser:

aE = aW = aS = 0 (3.30a)

aP = aN = 1 (3.30b)

b = −Aδy (3.30c)

De forma que substituindo os valores descritos em 3.30 na equação 3.25 o valor da variávelna fronteira é:

φP = φN − Aδy (3.31)

O procedimento é análogo para as outras fronteiras do domínio.

3.4 Aplicação do método dos volumes finitos ao problema de crescimento de frost

Para o cálculo de crescimento de frost é necessário calcular os campos de velocidade, tempe-ratura e umidade nos dois subdomínios em cada intervalo de tempo. Mas os dois subdomínios estãoacoplados e não se dispõem condições de contorno na interface, só nas bordas do domínio com-putacional. Isso siginfica que para resolver a equação de energia no domínio do ar, por exemplo,precisa-se de alguma informação da temperatura na interface ar-frost. Mas essa informação a priorié desconhecida. Assim, a estratégia computacional adotada neste trabalho foi resolver as equaçõesde transporte no domínio completo.

A dificuldade numérica principal para essa abordagem reside na localização da interface,pois os valores das propriedades termofísicas variam dependendo de se o volume de controle cor-

33

responde a ar ou a frost. Para isso é criada uma matriz de números inteiros, chamada de iFROST,que possui células tanto quanto volumes de controle no domínio. O objetivo dessa matriz é iden-tificar a natureza do volume de controle. Assim, cada célula representa um rótulo que indica se ovolume de controle é ar (indicado como 0); frost interno (indicado com 2); ou frost da interfacear-frost (indicado como 1) com pelo menos um dos vizinhos em contato com o ar. Um exemplo damatriz iFROST é mostrada na figura 3.4.

Figura 3.4: Exemplo da matriz iFROST que identifica os subdomínios

Assim, as equações de transporte são resolvidas no domínio todo, calculando de forma dife-rente os coeficientes ap, ae, aw, an, as e b, dependendo da natureza do volume de controle. Tambémas propriedades termofísicas: condutividade térmica λ, calor específico cp, viscosidade µ, coefici-ente difusivo D, porosidade ε e densidade ρ são matrizes calculadas com base na matriz iFROST.

Por último, é preciso mencionar que essa matriz varia em cada intervalo de tempo, a medidaque a geometria da camada de frost muda. Logo, esta estratégia permite automatizar o tratamentoda interface ar-frost.

A seguir é detalhado o tratamento de cada uma das equações de transporte.

34

3.4.1 Conservação da quantidade de movimento

O transporte da quantidade de movimento é resolvido com o uso do algoritmo SIMPLE des-crito no seção 3.2.7. Faz-se distinção no cálculo dependendo da localização do volume de controleonde se deseja resolver as velocidades.

Subdomínio ar

Nos volumes de controle correspondentes ao ar, as equações de quantidade de movimentosão resolvidas a partir da formulação geral com os seguintes valores:

Tabela 3.3: Equivalência da formulação geral para a quantidade de movimento


Quantidade de movimento em x u µar −∂P∂x

Quantidade de movimento em y v µar −∂P∂y

onde µar corresponde ao valor da viscosidade dinâmica do ar considerada constante e igual a 1, 74 ·10−5Pa · s

Subdomínio frost

Segundo as considerações assumidas neste trabalho, no subdomínio do frost as velocida-des devem de ser nulas. Para satisfazer esta condição é usado uma técnica detalhada em Patankar(1980), chamada de bloqueio de células (block-off cells). Este artifício consiste em atribuir um valormuito grande à viscosidade, de tal forma que o valor nulo de velocidade na fronteira é propagadono subdomínio do frost. O valor adotado neste trabalho foi de µf = 1030 Pa · s, o qual garantevelocidade nula no subdomínio de frost.

35

3.4.2 Conservação de energia

Fazendo distinção no cálculo conforme a natureza do volume de controle, as propriedadestermofísicas e o termo fonte têm valores diferentes:

Subdomínio ar

Nos volumes de controle correspondentes ao ar a equação de energia é resolvida a partir daformulação geral com os seguintes valores:

Tabela 3.4: Equivalência da formulação geral para a equação de energia no ar


Energia T λarCp,a

0

onde a condutividade térmica tem um valor constante, λar = 2, 37 · 10−2W/(m ·K)−1, e a capaci-dade térmica tem também um valor constante, Cp,a = 1, 005 · 103J/(kg ·K)−1.

Subdomínio frost

Nos volumes de controle correspondentes ao frost tem-se:

Tabela 3.5: Equivalência da formulação geral para a equação de energia no frost


Energia TλfCp,f

qsubcp,f

∂(ρf )

∂t

Onde Cp,f e λf correspondem aos valores locais da capacidade térmica e condutividade tér-mica, respetivamente, segundo as equações 2.9 e 2.10. O calor de sublimação é considerado cons-tante e igual a qsub = 2, 833 · 106J/kg.

36

3.4.3 Transporte de vapor de água

Analogamente, a equação de transporte de vapor de água é calculada de diferente forma nosdois subdomínios como segue:

Subdomínio ar

Fazendo uso da equação geral de transporte, o campo de umidade no ar é calculado usando:

Tabela 3.6: Equivalências da formulação geral no transporte da umidade


Concentração de vapor de água ω ρarD 0

Onde a densidade do ar é considerada um valor constante, ρar = 1, 252 kg/m3 e o coefici-ente difusivo do vapor no ar é também considerado constante e igual a D = 2, 6 · 10−5 m2/s.

Subdomínio frost

A umidade do ar dentro da camada de frost corresponde à umidade de saturação na tempera-tura local, como detalhado em Kandula (2011). Como a pressão total do gás é constante e igual àpressão atmosférica, (LE GALL et al., 1997), é possível calcular a umidade de saturação com o usoda carta psicométrica. Com os valores de umidade de saturação em função da temperatura apresen-tados no ASHRAE Handbook (2001), é calculada uma regressão polinomial de terceiro grau comosegue:

ωsat(T )[kg/kg] = B3 · T 3 +B2 · T 2 +B1 · T +B0 [T em oC] (3.32)

onde B0 = 3, 8 · 10−3, B1 = 3, 0 · 10−4,B2 = 10−5 e B3 = 10−7.

A imposição da umidade de saturação nos volumes de controle de frost é feita da mesma ma-

37

neira que o tratamento das condições de contorno de Direchlet. Assim, os coeficientes da equaçãode coeficientes agrupados num volume de controle P na camada de frost, tem os valores: aP = 1,aE = aW = aN = aS = 0 e b = wsat. Dessa forma, ao resolver a umidade no interior da camadatem-se:

ωP =aEωE + aWωW + aNωN + asωS + b

ap= ωsat (3.33)

Então, a condição é cumprida independentemente dos valores de umidade dos vizinhos.

3.5 Discretização da densificação do frost

Como apresentado no capítulo 2, a densificação da camada de frost com o tempo é descritapela equação:

∂(ρf )

∂t=

(∂

∂x

[ρaDef

∂w

∂x

]+

∂

∂y

[ρaDef

∂w

∂y

])(3.34)

Integrando esta equação em um volume de controle P bidimensional como o representadona figura 3.2, utilizando um esquema de integração no tempo implícito e um esquema de diferençacentral para a derivada da umidade na fronteira, chega-se a uma equação de coeficientes agrupados:

krρf,P = kEwE + kWwW + kNwN + kSwS + kPwP + b (3.35)

38

onde

kR =∆y∆x

∆t(3.36a)

kE = (ρaDef )e∆y

δxPE(3.36b)

kW = (ρaDef )w∆y

δxWP

(3.36c)

kN = (ρaDef )n∆x

δyPN(3.36d)

kS = (ρaDef )s∆x

δySP(3.36e)

kP = −kE − kW − kS − kN (3.36f)

b = kRρof,P (3.36g)

O cálculo de Def na fronteira do domínio é feito com a média harmônica dos dois valores nodaisadjacentes (PATANKAR, 1980). Por exemplo, usando o esquema da figura 3.5, (Def )e é calculadocomo:

(Def )e =

(1− feDef,P

+fe

Def,E

)−1

(3.37)

sendo:fe =

δxe+δxe

(3.38)

Figura 3.5: Nomenclatura para o cálculo da média harmônica na fronteira

Nota-se que a densificação do frost é calculada de forma direta a partir dos campo de umidadee de densidade no instante de tempo anterior. Assim, não é preciso iterar para obter o campo de

39

densidade do frost no tempo atual, ρf .

3.6 Discretização do crescimento de frost

Para determinar a taxa de crescimento da camada de frost é feito um balanço de massa emum volume de controle da camada de frost localizado na interface ar-frost. Na figura 3.6 é esque-matizado este balanço. Tem-se:

ρfdV

dt=

∫SC

m dA (3.39)

Integrando a equação anterior em um volume de controle P como o representado na figura3.2, tem-se:

ρfdV

dt=∑SC

maA−∑SC

mdifA (3.40)

sendo A a área transversal normal ao fluxo. O crescimento de frost é sempre em sentido ao sub-domínio ar. Como um volume de controle pode ter mais de uma das suas faces em contato com oar, é preciso determinar um critério para ponderar esse crescimento. Um esquema do crescimentotridimensional na direção leste é mostrado na figura 3.7.

Figura 3.6: Esquema do balanço de massa em um volume de controle da interface ar-frost

40

Parece lógico que a face que recebe mais vapor de água procedente do ar tenha o maior cres-cimento. Assim, a taxa de incremento de volume de cada face é ponderada em função da quantidadede massa de vapor que recebe do ar, da forma:

dV

dt e=

ma,eAe∑maA

dV

dt(3.41a)

dV

dt w=ma,wAw∑maA

dV

dt(3.41b)

dV

dt n=ma,nAn∑maA

dV

dt(3.41c)

dV

dt s=

ma,sAs∑maA

dV

dt(3.41d)

onde

dV

dt=dV

dt e+dV

dt w+dV

dt n+dV

dt s(3.42a)

ma,eAe∑maA

+ma,wAw∑maA

+ma,nAn∑maA

+ma,sAs∑maA

= 1 (3.42b)

Para expressar o crescimento da face leste, por exemplo, de forma adimensional (∆C∗e ) écalculada a porcentagem que este incremento de volume (dV

dt e) representa do volume de controle

adjacente no sentido leste. Um esquema desta porcentagem está esquematizado na figura 3.7.

Figura 3.7: Esquema do incremento de volume na face leste

41

Para cada uma das faces, tem-se:

∆C∗e =∆xe∆xE

(3.43a)

∆C∗w =∆xw∆xW

(3.43b)

∆C∗n =∆yn∆yN

(3.43c)

∆C∗s =∆ys∆yS

(3.43d)

Assim, ∆C∗ está sempre entre 0 e 1. Quando tiver o valor de 1 significa que o volume de controleadjacente se converteu completamente em frost.

Aproximando linearmente o termo dVdt e

= dxdt eAe, tem-se: dV

dt e= ∆x

∆t eAe onde ∆xe é o cres-

cimento na direção x na face leste durante o intervalo de tempo ∆t. Logo, os crescimentos unidi-mensionais nas faces são calculados como:

∆xe =dVdt e

Ae∆t (3.44a)

∆xw =dVdt w

Aw∆t (3.44b)

∆yn =dVdt n

An∆t (3.44c)

∆ys =dVdt s

As∆t (3.44d)

3.7 Descrição do algoritmo

O algoritmo tem como objetivo calcular o crescimento da camada de frost e a variação daspropriedades da mesma. Assim, o algoritmo desenvolvido passa por três etapas diferentes em cadaincremento de tempo. Na figura 3.8 mostra-se um diagrama de blocos geral do algoritmo. As trêsetapas mencionadas são enumeradas a seguir:

1. Determinação do escoamento (u, v)

2. Cálculo dos campos de temperatura e de umidade (T,w)

42

Valores iniciais

U0 , V0 , T0, w0

iFrost 0, ρf,0

Cálculo do escoamento

Uk , Vk ,

Cálculo de temperatura , de umidade e da densificação do frost

Tk, wk, ρf,k

Cálculo do crescimento do frost

iFrost k

STOP t > tmax sim não

t = t+dt

Figura 3.8: Diagrama de blocos geral do algoritmo

3. Avaliação do crescimento de frost

Nas próximas subseções são explicadas cada uma dessas etapas.

3.7.1 Determinação do escoamento

◦ Dados de entrada:

· Geometria da camada de frost no instante de tempo atual.

· Campo de velocidade no tempo anterior.

◦ Dados de saída:

43

· Campo de velocidade no instante de tempo atual.

Como explicado na seção 3.4.1, o algoritmo SIMPLE é aplicado para acoplar as velocidades coma pressão.

3.7.2 Cálculo dos campos de temperatura e de umidade



· Campos de temperatura e de umidade no instante anterior.

· Campo de densidade do frost no instante anterior.


· Campos de temperatura e de umidade no instante de tempo atual.

· Campo de densidade do frost no instante de tempo atual.

As equação de trasnporte de energia e de vapor de água estão acopladas. Pois a quantidade devapor de água que sublimará na camada de frost depende tanto da equação de energia quanto daequação de massa. Para acoplá-las, primeiro é calculado o campo de temperaturas supondo que adensidade da camada de frost naquele instante é igual ao tempo anterior (ρof = ρf ), obtendo assim,um campo de temperaturas estimado (T ∗). Então, pode ser calculada a distribuição de umidade nacamada de gelo (W ∗

sat(T∗)) e depois a distribuição de umidade em todo o subdomínio de ar. Com

esse campo de umidade estimado é calculada a quantidade de vapor de água que muda de fase, ouseja, a densificação da camada de frost (ρf ). Agora, é possível calcular uma nova distribuição detemperatura tendo em conta essa mudança de fase. O processo é repetido até a convergência doscampos de temperatura e umidade.

3.7.3 Avaliação do crescimento de frost


44


· Campos de temperatura e de umidade no instante de tempo atual.

· Campo de densidade do frost no instante de tempo atual.

· Geometria da camada de frost no instante de tempo atual.


· Geometria da camada de frost no próximo instante de tempo.

A partir do balanço de massa detalhado na seção 3.6, é calculada a geometria da camadade frost para o próximo instante de tempo. Essa geometria é necessária para recomeçar a fase dedeterminação do escoamento.

3.8 Critérios de convergência

Como indicador da convergência da solução em cada variável é utilizado o valor residualglobal do desvio quadrático médio, definido como:

Rφ =

√√√√∑V.C

[aPφP −

( ∑vizinhos

avizinhosφvizinhos + b

)]2

(3.45)

Por outro lado, é usado o resíduo mássico como indicador da convergência da pressão. Paraisso, é calculado o desbalanço de massa em cada volume de controle do domínio e tomado o maiorem valor absoluto, como segue:

Rmassico = max

[ρoP − ρP

∆t∆x∆y + [(ρu∗)w − (ρu∗)e]∆y + [(ρv∗)s − (ρv∗)n]∆x

](3.46)

Estabelecendo para cada variável φi do problema uma tolerância máxima (εφi), assim comouma tolerância máxima para a pressão (εP ), o problema é considerado convergido quando:

45

Rφi ≤ εφi ∀i e Rmassico ≤ εP (3.47)

46

4 Verificação do código

Com o objetivo de validar o programa do presente estudo, o código é desenvolvido progres-sivamente em etapas. Sendo que cada etapa é o ponto de partida da etapa seguinte. As diferentesetapas são validadas de forma independente nos problemas de referência da literatura.O primeiro problema descrito na seção 4.1 trata de condução de calor bidimensional em regimetransitório. Formulado em coordenadas cartesianas com condições de fronteira de primeira e se-gunda classe. Os resultados são comparados com a solução analítica publicada em Ozisik (1985).A seguir, na seção 4.2, estuda-se convecção e difusão de calor em regime permanente com campo develocidade conhecido e compara-se com a solução publicada em Versteeg e Malalasekera (2007).Na seção 4.3 apresenta-se um problema de convecção e difusão da quantidade de movimento emregime permanente com condições de fronteira de primeira classe. O problema é conhecido naliteratura como Driven-Cavity Problem e encontra-se uma solução de referência em Ghia et al.

(1982). Na seção 4.4 trata-se um problema de acoplamento das equações de transporte de quanti-dade de movimento com a equação de transporte de energia, os resultados são comparados com ospublicados em de Vahl Davis (1983). Na seção 4.5 acrescenta-se no problema anterior o calculode transporte de massa por convecção difusão e verifica-se o código com os resultados publicadosem Beghein et al. (1992). Finalmente, na seção 4.6, o problema de acoplamento das equações dequantidade de movimento com a equação de transporte de energia é estudada em estado transitório,e para a verificação do problema são reproduzidos os resultados publicados em Leal et al. (2000).

4.1 Condução de calor em regime transitório

Esta parte do código representa o primeiro passo na construção do programa completo, vali-dar o código que simula a condução de calor em regime transitório é de interesse pois o gelo porosoapresenta condução de calor em regime transitório. Assim, o objetivo deste problema é determinara variação de temperatura bidimensional em estado transitório, T (x, y, t), em uma placa de materialhomogêneo, sendo que a placa é submetida a condução de calor sem geração.

47

4.1.1 Modelo Físico

O modelo físico representado na figura 4.1 consiste em uma placa quadrada bidimensional.As fronteiras verticais são mantidas a uma temperatura constante e as fronteiras horizontais sãoconsideradas adiabáticas.

Figura 4.1: Modelo físico do problema da condução de calor em regime transitório.

4.1.2 Modelo Matemático

A equação governante do fenômeno é a de conservação de energia por difusão em estadotransitório, descrita como:

∂(ρT )

∂t=

∂

∂x

[λ

cp

∂T

∂x

]+

∂

∂y

[λ

cp

∂T

∂y

](4.1)

48

Têm-se as seguintes condições de contorno para t > 0:

∂T

∂y|y=0 =

∂T

∂y|y=Hy = 0 (4.2a)

T (0, y) = TA; para yε[0, Hy] (4.2b)

T (Hx, y) = TB; para yε[0, Hy] (4.2c)

A condição inicial é descrita como uma função da coordenada x:

T (x, y) = T0 · sin(πx

Hx

) para t = 0 (4.3)

4.1.3 Discretização

Usa-se uma malha uniforme de nó centrado no volume de controle com nó de contato nafronteira. Para a solução do exercício foi utilizada uma malha de 91x91 nós. Sendo ∆y = ∆x =

0, 011 m.

Aplicando a metodologia de volumes finitos apresentada anteriormente, a equação gover-nante é integrada em um volume de controle usando um esquema implícito para o tempo. Assim,obtêm-se uma equação de coeficientes agrupados da forma:

aPTP = aWTW + aETE + aNTN + aSTS + b (4.4)

Sendo para os nós internos:

49

aW =Γw

∂xWP

∂y (4.5a)

aE =Γe

∂xPE∂y (4.5b)

aN =Γn∂yPN

∂x (4.5c)

aS =Γs∂yPS

∂x (4.5d)

a0P = ρ0 ∆x∆y

∆t(4.5e)


∆t(4.5f)

b = a0PT

0P (4.5g)

Observa-se que para ∆t grandes as equações 4.5 se aproximam à discretização em estadopermanente.

As condições de contorno são impostas nos nós fronteira da seguinte forma:

Fronteira norte: aP = 1, aE = 0, aW = 0, aS = 1, aN = 0, b = 0

Fronteira sul: aP = 1, aE = 0, aW = 0, aS = 0, aN = 1, b = 0

Fronteira este: aP = 1, aE = 0, aW = 0, aS = 0, aN = 0, b = TB

Fronteira oeste: aP = 1, aE = 0, aW = 0, aS = 0, aN = 0, b = TA

4.1.4 Resultados

Os resultados numéricos obtidos utilizando o modelo numérico descrito na subseção 4.1.3são comprados com a solução analítica do modelo matemático publicada em Ozisik (1985):

T (x, t) = T0e−αβt sin(βx) (4.6)

50

onde

α =λ

ρCpβ =

π

Hx

(4.7a)

Observa-se que a solução do problema independe da coordenada y, pois as condições defluxo de calor nulo nas fronteiras norte e sul impõem uma situação de simetria no problema. Paraa resolução do problema foram adotados os seguintes valores: λ = 2, 0 W

moC, Cp = 1, 0 J

kgoC, ρ =

1, 0 kgm3 , T0 = 200C, Hx = Hy = 1m, dt = 0, 001s

Na tabela 4.1 comparam-se os resultados numéricos com a solução analítica da evoluçãotemporal da temperatura no ponto (x, y) = (0, 5m0, 5m).

Tabela 4.1: Comparação da solução numérica com a analítica para o ponto (x, y) = (0.5m, 0.5m).

t [s] Tnumerica [0C] Tanalitica [0C] Erro relativo [%]0,0 20,000 20,000 0,000,1 2,8340 2,7782 2,010,2 0,4016 0,3859 4,060,3 0,0569 0,0536 6,150,4 0,0081 0,0074 8,280,5 0,0011 0,0010 10,46

Na figura 4.2 é mostrada a evolução temporal da temperatura no ponto (x, y) = (0, 5m0, 5m),observa-se qualitativamente que a solução numérica e a analítica têm o mesmo comportamento.

4.2 Convecção-difusão com velocidades conhecidas

Este problema permite avaliar o campo de temperaturas em um escoamento confinado emuma cavidade quadrada com velocidades conhecidas. Representa o passo prévio antes de começara calcular os campos de velocidades e de pressão. Esta parte do código valida o transporte deenergia uma vez conhecido o campo de velocidades.

51

Figura 4.2: Comparação da solução numérica com a analítica para o ponto (x, y) = (0, 5m0, 5m).


Trata-se de um escoamento com campo de velocidades conhecido constante em uma cavidadequadrada com condições de contorno de primeira classe. Na figura 4.3 é mostrado o esquema domodelo físico.

Figura 4.3: Modelo físico do problema de convecção-difusão com velocidades conhecidas.

52


O fenômeno de convecção e difusão de calor é governado pela equação de transporte deenergia, descrita na equação 2.4. Com as seguintes condições de contorno para a temperatura:

T (0, y) = T (x,Hy) = 1000C; para yε[0, Hy] e xε[0, Hx] (4.8a)

T (Hx, y) = T (x, 0) = 00C; para yε[0, Hy] e xε[0, Hx] (4.8b)


Para a discretização é usada uma malha uniforme de nó centrado no volume de controle comnó de contato na fronteira. Para a solução do exercício foi utilizada uma malha de 121x121 nós.Sendo ∂y = ∂x = 0, 083 m.

Aplicando a metodologia de volumes finitos apresentada anteriormente, a equação 2.4 é in-tegrada em um volume de controle usando um esquema implícito para o tempo. A solução é obtidautilizando a técnica de falso transitório. Assim, obtêm-se uma equação de coeficiente agrupados daforma:

aPTP = aWTW + aETE + aNTN + aSTS + b (4.9)

Sendo para os nós internos:

aE = DeA(|Pee|) +max[−Fe, 0] (4.10a)

aW = DwA(|Pew|) +max[Fw, 0] (4.10b)

aN = DnA(|Pen|) +max[−Fn, 0] (4.10c)

aS = DsA(|Pes|) +max[Fs, 0] (4.10d)

a0P = ρ0 ∆x∆y

∆t(4.10e)


∆t(4.10f)

b = a0PT

0P (4.10g)

53

onde:

De =λe

Cp∂xPE∆y (4.11a)

Fe = (ρu)e∆y (4.11b)

Pee =De

Fe(4.11c)

Para interpolar o valor da temperatura na fronteira dos volumes de controle é utilizado oesquema de interpolação UPWIND, pois é o esquema que foi usado em Versteeg e Malalasekera(2007). Assim, o valor da função A(|Pe|) tem o valor da unidade: A(|Pe|) = 1.

4.2.4 Resultados

É calculado o valor da temperatura ao longo da reta y = Hx−x, para três tamanhos de malha(10x10, 50x50 e 100x100). Nos três casos é utilizado o esquema de interpolação UPWIND. Osresultados obtidos são então comparados qualitativamente na figura 4.4 com os resultados publica-dos em Versteeg e Malalasekera (2007), na figura 4.4 é também representada a solução exata doproblema. Observa-se que os resultados obtidos coincidem qualitativamente com os do problemade referência.

54

Figura 4.4: Comparação qualitativa dos resultados obtidos (figura da esquerda) com a solução pu-blicada em Versteeg e Malalasekera (2007) (figura da direita).

4.3 Cavidade com parede deslizante

Trata-se de um problema de convecção e difusão de quantidade de movimento em regimepermanente. O objetivo é calcular os campos de velocidades e campo de pressão em estado per-manente. Considere-se um escoamento laminar, incompressível com propriedades constantes. Esteproblema é também conhecido na literatura como Driven-Cavity Problem. Desta forma, nesta sec-ção é validado o código referente ao escoamento de ar ao redor da camada de gelo poroso.


O Escoamento é confinado em uma cavidade quadrada fechada de paredes impermeáveisrepresentada na figura 4.5 com condições de contorno de primeira classe nas quatro fronteiras. Aparede superior é mantida a uma velocidade horizontal constante U0, enquanto as outras paredestêm velocidade nula. Considere-se não deslizamento nas paredes.

55

Figura 4.5: Modelo físico do problema Dirven-Cavity.


As equações governantes do fenômeno para um fluido newtoniano incompressível em regimelaminar, são descritas pelas equações 2.1, 2.2 e 2.3.

Para as velocidades define-se a condição de não deslizamento em todas as fronteiras do do-mínio:

u(x,Hy) = U0; para xε[0, Hx] (4.12a)

u(x, 0) = 0; para xε[0, Hx] (4.12b)

u(0, y) = u(Hx, y) = 0; para yε[0, Hy] (4.12c)

v(x, 0) = v(x,Hy) = 0; para xε[0, Hx] (4.12d)

v(0, y) = v(Hx, y) = 0; para yε[0, Hy] (4.12e)


O problema foi discretizado em uma malha uniforme de nó centrado no volume de controlecom nó de contato na fronteira. Foi utilizada uma malha de 129x129 nós. Sendo ∆y = ∆x =

56

7, 8125 · 10−3 m.As equações 2.2 e 2.3 são integradas em um volume de controle usando um esquema implícitopara o tempo. A solução é obtida utilizando a técnica de falso transitório. Para obter o valor davariável dependente nas fronteiras dos volumes de controle é utilizado o esquema de interpolaçãoUPWIND.Para o acoplamento das velocidades com a pressão, são utilizados dois algoritmos diferentes: SIM-PLE e SIMPLEC. Assim, no estudo se aproveita para comprar as soluções obtidas com os doisalgoritmos.

4.3.4 Resultados

Foram calculadas a velocidade vertical no plano horizontal médio (y = Hy

2) para número de

Reynolds de 100, 400 e 1000; com os algoritmos SIMPLE e SIMPLEC. Os resultados são compa-rados qualitativamente com os resultados publicados em Ghia et al. (1982) nas figura 4.6. Emboraos resultados coincidem em números de Reynodls pequenos, observa-se um pequeno desvio nos re-sultados correspondentes a números de Reynodls maiores. Esse desvio poderia ser devida na maiorcomplexidade do padrão do escoamento em Reynodls altos.

Nas figuras 4.7, 4.8 e 4.9 são mostrados para Re=100, Re=400 e Re=1000, respectivamente,os campos de velocidades e as linhas de corrente calculados com o algoritmo SIMPLE.

57

(a) Re = 100

(b) Re = 400

(c) Re = 1000

Figura 4.6: Perfil de velocidade vertical no plano horizontal médio (eixo y) calculada com SIMPLEe SIMPLEC.

58

X

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frame 001 26 Sep 2014 velocidad

(a) U X

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


(b) V X

Y

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

Frame 001 26 Sep 2014 Streamlines

(c) Linhas de corrente

Figura 4.7: Campo de velocidades e linhas de corrente para Re = 100.

X

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


(a) U X

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


(b) V X

Y

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8




X

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


(a) U X

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


(b) V X

Y

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8




59

4.4 Cavidade quadrada aquecida diferencialmente

Trata-se de um problema de acoplamento das equações de transporte de quantidade de mo-vimento com a equação de transporte de energia. O movimento é induzido em uma massa de arpor uma diferença de temperatura entre as paredes verticais de uma cavidade quadrada. O escoa-mento é considerado incompressível, em regime laminar e de propriedades constantes exceto para adensidade que é considerada variável só para o termo de empuxo contemplado na equação de quan-tidade de movimento para o eixo vertical a través da aproximação de Boussinesq. Foram obtidosos resultados do campo de velocidades, campo de temperatura e as linhas de corrente para diferen-tes números de Rayleigh mantendo constante o número de Prandt. Assim, é validado o acople docampo de velocidades com o transporte de energia.


O modelo físico consiste em uma massa de ar confinada em uma cavidade quadrada bidimen-sional de paredes impermeáveis. A fronteira oeste é mantida a uma temperatura quente constante(Th) , enquanto a fronteira leste é mantida a uma temperatura fria constante (Tc). As duas fronteirashorizontais são consideradas adiabáticas.

Figura 4.10: Modelo físico da cavidade aquecida diferencialmente.

60


As equações governantes do fenômeno em estudo são: a equação de conservação da massa(2.1), a equação de transporte da quantidade de movimento no eixo x (2.2), a equação de transportede energia (2.4) e a equação de conservação da quantidade de movimento no eixo y:

∂(ρv)

∂t+∂(ρu · v)

∂x+∂(ρv · v)

∂y= −∂P

∂y+

∂

∂x

[µ∂v

∂x

]+

∂

∂y

[µ∂v

∂y

]+ ρgβ(T − T0) (4.13)

onde β é o coeficiente térmico de expansão volumétrica.

Para as velocidade define-se a condição de não deslizamento em todas as fronteira do domí-nio:

u(x, 0) = u(x,Hy) = 0; para xε[0, Hx] (4.14a)

u(0, y) = u(Hx, y) = 0; para yε[0, Hy] (4.14b)

v(x, 0) = v(x,Hy) = 0; para xε[0, Hx] (4.14c)

v(0, y) = v(Hx, y) = 0; para yε[0, Hy] (4.14d)

Para a temperatura, tem-se as seguintes condições de contorno:

∂T

∂y|y=0 =

∂T

∂y|y=Hy = 0 (4.15a)

T (0, y) = Th; para yε[0, Hy] (4.15b)

T (Hx, y) = Tc; para yε[0, Hy] (4.15c)

Para caracterizar a transferência de calor do sistema foi calculado o número de Nusselt (Nu)ao longo da parede vertical esquerda. Sendo esse a razão entre a transferência de calor por convec-ção; e uma transferência de calor por condução de referência, no caso foi considerado o fluxo decondução pura em todo o sistema. Assim, calcula-se o Nusselt local (Nu(y)) e o Nusselt médio

61

(Nu) como:

Nu(y) =qconv

qcond=

∂T

∂x|x=0

Th − TcHx

(4.16a)

Nu =1

Hy

∫ y=Hy

y=0

Nu(y) · dy (4.16b)

Para a comparação dos resultados de velocidade e de temperatura com os valores da literatura,são definidos os seguintes parâmetros adimensionais:

u∗ =uHxρCp

λv∗ =

vHyρCpλ

(4.17a)

x∗ =x

Hx

y∗ =y

Hy

(4.17b)

T ∗ =T − TcTf − Tc

Ra =gH3

xβ(Th − Tc)λν

(4.17c)


As equações governantes são integradas em um volume de controle usando um esquema im-plícito para o tempo. A solução é obtida utilizando a técnica de falso transitório. Para obter o valorda variável dependente nas fronteiras dos volumes de controle é utilizado o esquema de interpola-ção Híbrido. Para o acople das velocidades com a pressão é utilizado o algoritmo SIMPLEC. Foiutilizada uma malha não uniforme 60x60, volumes de controle refinados perto das paredes.

4.4.4 Resultados

A seguir compara-se a velocidade horizontal máxima no plano médio vertical (Umax), a ve-locidade vertical máxima no plano médio horizontal (Vmax), o número de Nusselt médio (Numax),

62

o número de Nusselt máximo (Numax) e a sua posição (y(Numax)) e finalmente o número de Nus-selt mínimo (Numin) e a sua posição (y(Numin)) com os resultados publicados em de Vahl Davis(1983). Os valores de Nusselt obtidos correspondem a um número de Prandtl de 0,72. Os errosrelativos com respeito aos valores de referência em % são indicados entre parênteses na tabela 4.2.O maior erro relativo obtido foi para Ra = 106 e corresponde a 6,51%.

Tabela 4.2: Resultados das simulações. Erros relativos entre parênteses.

Ra = 103 Ra = 104 Ra = 105 Ra = 106

Umax 3,64 (0,02) 16,15 (0,16) 34,86 (0,40) 65,37 (1,15)Vmax 3,70 (0,15) 19,62 (0,06) 68,74 (0,22) 221,08 (0,78)Nu 1,11 (0,02) 2,24 (0,01) 4,51 (0,09) 8,78 (0,17)Numax 1,50 (0,09) 3,53 (0,17) 7,71 (0,01) 17,51 (2,27)y(Numax) 0,09 (1,16) 0,13 (3,11) 0,07 (3,54) 0,03 (4,21)Numin 0,69 (0,09) 0,58 (0,45) 0,74 (2,54) 1,05 (6,51)y(Numin) 0,99 (0,13) 0,99 (0,45) 0,99 (0,13) 0,99 (0,13)

Os resultados dos campos de velocidade horizontal e vertical, o campo de temperatura e adistribuição das linhas de corrente para o número de Prandtl 0,72 e números de Rayleigh de 103,104, 105 e 106 são mostrados nas figuras 4.14, 4.11, 4.12 e 4.13, respectivamente.

Frame 001 10 Oct 2014 UVPT

(a) U∗


(b) V ∗


(c) T ∗

Frame 001 10 Oct 20

(d) Linhas de cor-rente

Figura 4.11: Campos de velocidades e de temperatura, e linhas de corrente para Ra = 103.

63


(a) U∗


(b) V ∗


(c) T ∗





(a) U∗


(b) V ∗ (c) T ∗ (d) Linhas de cor-rente



(a) U∗


(b) V ∗


(c) T ∗




64

4.5 Transferência de calor e massa em uma cavidade quadrada fechada

Nesse problema é calculado o campo de velocidades, o campo de temperatura e o campo deconcentração de uma espécie química em um escoamento de ar confinado dentro de uma cavidadequadrada fechada. Para isso, é acrescentado ao problema anterior a equação de transporte de massa.O movimento é agora induzido pela existência de um gradiente de temperatura e um gradiente deconcentração. Na literatura o problema é também chamado de dupla convecção natural. É consi-derado um fluido incompressível, em regime laminar e de propriedades constantes. A variação dadensidade do fluido é contemplada com a aproximação de Boussinesq, produzida pelas diferen-ças de temperatura e concentração. Assim, é validado o acople do campo de velocidades com otransporte de energia e o transporte de massa.


O modelo físico representado na figura 4.15 consiste em uma massa de ar confinada emuma cavidade quadrada bidimensional de paredes impermeáveis. A fronteira oeste é mantida auma temperatura quente constante (Th) e a uma concentração alta (Ch), enquanto a fronteira este émantida a uma temperatura constante fria (Tc) e a uma concentração baixa (Cc). As duas fronteirashorizontais são consideradas adiabáticas e com gradientes de concentração nulos na direção normal.

Figura 4.15: Modelo físico da dupla convecção natural.

65


As equações governantes do fenômeno em estudo são: equação de conservação da massa(2.1), equação de transporte da quantidade de movimento no eixo x (2.2), equação de transportede energia (2.4), equação de transporte de massa (2.5) e equação de conservação da quantidade demovimento no eixo y:

∂(ρv)

∂t+∂(ρu · v)

∂x+∂(ρv · v)

∂y= −∂P

∂y+∂

∂x

[µ∂v

∂x

]+∂

∂y

[µ∂v

∂y

]+ρgβT (T−T0)+ρgβC(C−C0)

(4.18)

onde βT é o coeficiente térmico de expansão volumétrica e βC é o coeficiente mássico deexpansão volumétrico.

Para as velocidade define-se a condição de não deslizamento em todas as fronteira do domí-nio:





66

Para a temperatura e a concentração, têm-se as seguintes condições de contorno:

∂T

∂y|y=0 e y=Hy = 0; para xε[0, Hx] (4.20a)

∂C

∂y|y=0 e y=Hy = 0; para xε[0, Hx] (4.20b)

T (0, y) = Th; para yε[0, Hy] (4.20c)

T (Hx, y) = Tc; para yε[0, Hy] (4.20d)

C(0, y) = Ch; para yε[0, Hy] (4.20e)

C(Hx, y) = Cc; para yε[0, Hy] (4.20f)

(4.20g)

Para caracterizar a transferência de calor do sistema foi calculado o número de Nusselt (Nu)na parede vertical esquerda. Para caracterizar o transporte de massa foi calculado o número deSheerwood. Assim,

Nu(y) =

∂T

∂x|x=0

Th − TcHx

, Sh(y) =

∂C

∂x|x=0

Ch − CcHx

(4.21a)

Para a definição do problema adimensional se apresentam o número de Rayleigh térmico(RaT ), o número de Rayleigh mássico (RaC), o número de Lewis (Le) e o número de Prandtl (Pr):

RaT =gH3βT (Th − Tc)

λν, RaC =

gH3βC(Ch − Cc)λν

(4.22a)

Le =α

D, Pr =

ν

α(4.22b)

O número de Lewis representa a relação entre as difusividades térmica e mássica. Para Le =

1, a contribuição dos gradientes térmico e mássico no movimento do fluido é a mesma. Assim, se

67

esperam iguais números de Nusselt e Sherwood para este caso.


As equações governantes são integradas em uma volume de controle usando um esquemaimplícito para o tempo. A solução é obtida utilizando a técnica de falso transitório. Para obter ovalor da variável dependente nas fronteiras dos volumes de controle é utilizado o esquema de inter-polação Híbrido.Para o acople das velocidades com a pressão é utilizado o algoritmo SIMPLEC.Foi utilizada uma malha não uniforme 60x60 com volumes de controle refinados perto das paredes.

4.5.4 Resultados

Para a validação dos resultados o número de Nusselt e de Sheerwood são comparados nafigura 4.16 com os valores publicados em Beghein et al. (1992), com Pr = 0, 71 , RaT = RaC =

106 e Le = 1. Como o número de Lewis corresponde à unidade, os números de Sherwood e Nusseltsão iguais, assim, são apresentados unicamente os valores do Nusselt.

Os resultados obtidos consideram-se aceitáveis já que não são observadas diferenças quali-tativas na comparação com os dados publicados. Além disso, os números de Nusselt e Sherwoodobtidos são coincidentes.

4.6 Cavidade quadrada aquecida diferencialmente em regime transitório

O movimento é induzido em uma massa de ar inicialmente em repouso por uma diferençade temperatura entre as paredes verticais de uma cavidade quadrada. O escoamento é consideradoincompressível, em regime laminar e de propriedades constantes. A convecção natural é simuladaa través da aproximação de Boussinesq. Para a verificação do problema é estudada a evoluçãotemporal dos campos de velocidades e temperatura para diferentes números de Rayleigh mantendoconstante o número de Prandt. Assim, é validada a parte transitória do código.

68

Figura 4.16: Comparação do número de Nusselt com os dados publicados por Beghein et al. (1992).


O modelo físico consiste em uma massa de ar confinada em uma cavidade quadrada bidimen-sional de paredes impermeáveis. A fronteira oeste é mantida a uma temperatura quente constante(Th) , enquanto a fronteira leste é mantida a uma temperatura constante fria (Tc). As duas fronteirashorizontais são consideradas adiabáticas.

Figura 4.17: Modelo físico da cavidade aquecida diferencialmente.

69


As equações governantes do fenômeno em estudo são: equação da conservação da massa(2.1), equação de transporte da quantidade de movimento no eixo x (2.2), equação de conservaçãoda quantidade de movimento no eixo y (4.13) e equação da conservação de energia (2.4).

Para as velocidades define-se a condição de não deslizamento em todas as fronteira do domí-nio:





Para a temperatura, tem-se as seguintes condições de contorno:

∂T

∂y|y=0 e y=Hy = 0; para xε[0, Hx] (4.24a)

T (0, y) = Th; para yε[0, Hy] (4.24b)

T (Hx, y) = Tc; para yε[0, Hy] (4.24c)

Com condições iniciais:

u(x, y, 0) = v(x, y, 0) = 0; para xε[0, Hx] e yε[0, Hy] (4.25a)

T (x, y, 0) = Tc; para xε[0, Hx] e yε[0, Hy] (4.25b)

Para caracterizar a transferência de calor do sistema foi calculado o número de Nusselt (Nu)ao longo da parede vertical esquerda. Sendo esse a razão entre a transferência de calor por con-vecção e uma transferência de calor por condução de referência, no caso considera-se o fluxo decondução pura em todo o sistema. Assim, calcula-se o Nusselt local (Nu(y)) e o Nusselt médio.

70

(Nu) como:

Nu(y) =qconv

qcond=

∂T

∂x|x=0

Th − TcHx

(4.26a)

Nu =1

Hy

∫ y=Hy

y=0

Nu(y) · dy (4.26b)

Para a comparação dos resultados da velocidade e temperatura com os valores da literatura,são definidos os seguintes parâmetros adimensionais:

u∗ =uHxρCp

λv∗ =

vHyρCpλ

(4.27a)

x∗ =x

Hx

y∗ =y

Hy

(4.27b)

T ∗ =T − TcTf − Tc

t∗ =α

H2x

t (4.27c)


As equações governantes são integradas em um volume de controle usando um esquemaimplícito para o tempo. Para obter o valor da variável dependente nas fronteiras dos volumes decontrole é utilizado o esquema de interpolação Híbrido. Para o acople das velocidades com a pres-são é utilizado o algoritmo SIMPLEC. O problema foi discretizada em uma malha uniforme com50x50 volumes de controle.

4.6.4 Resultados

Os perfis de velocidade vertical adimensional e de temperatura adimensional no plano mé-dio horizontal (y = Hx/2), assim como o número de Nusselt médio na parede vertical x = 0,

71

são comparados nas figuras 4.19, 4.18 e 4.20 com os resultados publicados em Leal et al. (2000)para os números de Rayleigh 103 e 105, para Pr=0,71. Das anteriores figuras pode ser observada aproximidade das soluções, pelo que os resultados são considerados aceitáveis.

(a) Ra = 103

(b) Ra = 105

Figura 4.18: Temperatura adimensional (T ∗) no plano médio horizontal.

72

(a) Ra = 103

(b) Ra = 105

Figura 4.19: Velocidade vertical adimensional (V ∗) no plano médio horizontal.

73

(a) Ra = 103

(b) Ra = 105

Figura 4.20: Número de Nusselt no plano vertical x = 0.

74

5 Resultados e discussão

Neste capítulo são apresentados os resultados das simulações numéricas de formação de frost

entre placas planas paralelas. Para garantir a validade dos mesmos é realizado um estudo de in-dependência de malha espacial assim como um estudo de independência de malha temporal. Paraa validação do modelo matemático, os resultados numéricos são contrastados com dados expe-rimentais. A seguir, é estudada a influência das condições iniciais nos resultados numéricos decrescimento da camada de frost. Para análise do fenômeno de formação de gelo são discutidos osresultados do campo de temperaturas, campo de umidade e campo de densidade na camada de frost.Por último, é discutida a influência da velocidade de entrada do ar úmido na formação de frost.

Os parâmetros numéricos e as propriedades termofísicas para a realização das simulações sãomostrados nas tabelas 5.1 e 5.2.

Tabela 5.1: Parâmetros numéricos

Parâmetro ValorCoeficiente de relaxação de u 0,6Coeficiente de relaxação de v 0,5Coeficiente de relaxação de P 0,5Coeficiente de relaxação de T 1,0Coeficiente de relaxação de w 1,0

Tabela 5.2: Propriedades termofísicas

Propriedade Valor UnidadeDensidade do ar 1,252 kg/m3

Capacidade térmica do ar 1005 J/(kg ·K)Viscosidade do ar 1, 74 · 10−5 Pa · sCoeficiente de difusão do vapor no ar 2, 6 · 10−5 m2/sDensidade do gelo 918 kg/m3

Capacidade térmica do gelo 1993 J/(kg ·K)Calor de sublimação 2, 833 · 103 J/kg

75

5.1 Independência de malha espacial

Para verificar que os resultados obtidos com o programa computacional apresentado aqui nãodependem do tamanho da malha, é preciso realizar um estudo de independência de malha espacial.

Para isso, será resolvido o problema com diferentes tamanhos de malha. Quando ao refinara malha o resultado já não variar será assumido que essa é a malha computacional ótima para esseproblema.

Os tamanhos de malha testados são: 61x31, 81x41, 101x51, 121x61 e 141x71. Para compararos resultados das malhas foi escolhido o perfil em y de temperaturas e umidade no plano x=130mm. Este perfil foi escolhido porque é o perfil para o qual se dispõe de dados experimentais e,consequentemente, a solução será validada.

Os resultados de temperatura máxima (Tmax), temperatura média (Tmean), umidade máxima(ωmax) e umidade média (ωmean) obtidos para os diferentes tamanhos de malha são apresentados natabela 5.3. Nessa tabela pode-se observar que a diferença porcentual da temperatura média no perfilda malha de 121x61 com a da malha de 141x71 é pouco superior ao 0.1 %, pelo que é escolhida amalha de 121x61.

Tabela 5.3: Comparação de resultados com diferentes tamanhos de malha

61x31 81x41 101x51 121x61 141x71Tmax [oC] 19,79 19,79 19,79 19,79 19,79Tmean [oC] 7,55 8,27 8,32 8,66 8,65

ωmax [gv/kga] 8,48 8,48 8,49 8,49 8,49ωmean [gv/kga] 5,89 6,03 6,03 6,10 6,10

5.2 Independência de malha temporal

O problema em estudo é um fenômeno transitório. Então, é necessário calcular a evoluçãotemporal das variáveis que caracterizam o problema. Dado que a solução do problema é uma apro-ximação numérica, a solução dessas variáveis é calculada de forma discreta em alguns instantes dotempo. Para simplificar o processo, o cálculo da solução é feito em intervalos de tempo constantes,

76

chama-se de passo de tempo ao tamanho desses intervalos. Como a solução num instante de tempodepende do estado do sistema no instante anterior, deve ser escolhido um intervalo de tempo sufi-cientemente pequeno como para poder caracterizar de forma acurada o fenômeno de deposição degelo.

O objetivo do estudo da independência de malha temporal consiste em determinar qual é opasso de tempo ótimo. Isto é, o passo de tempo no qual o fato de reduzir o passo de tempo nãotenha uma variação significativa na solução.

Para essa determinação foi calculado o perfil de temperatura (figura 5.1), o perfil de veloci-dade horizontal (figura 5.2) e o perfil de velocidade vertical (figura 5.3) para x=130 mm depois decinco minutos de simulação para quatro passos de tempo diferentes: 0,5 s, 1 s, 5 s e 10 s.

-22

-17

-12

-7

-2

3

8

13

18

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

T (º

C)

y (m)

10 s

5 s

1 s

0.5 s

Figura 5.1: Perfil de temperatura na direção vertical para x=130mm.

77

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

u (

m/s

)

y (m)

10 s

5 s

1 s

0.5 s

Figura 5.2: Perfil de velocidade horizontal para x=130mm.

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

v (m

/s)

y (m)

10 s

5 s

1 s

0.5 s

Figura 5.3: Perfil de velocidade vertical para x=130mm.

Das figuras anteriores, principalmente da figura 5.3, pode-se observar como o comportamentodos perfis dos diferentes passos de tempo converge para o perfil correspondente ao passo de tempo

78

0,5 s. Devido a que a diferença entre os perfis de 0,5 s e 1,0 s é relativamente pequena, é escolhidoo passo de tempo de 1 s para a realização das simulações.

5.3 Validação com dados experimentais

Para a validação do modelo, são comparados os dados experimentais com os resultados dassimulações numéricas. Os dados experimentais escolhidos são os publicados em Lenic (2006),porque a informação reportada corresponde a dados locais num domínio bidimensional. Assim, aevolução temporal da temperatura é reportada em pontos específicos do domínio e o crescimentoda camada de gelo poroso é específica para uma coordenada x (x=130 mm). Por serem estes dadosreportados de forma local, em contraposição com os demais trabalhos que reportam informaçõesde crescimento e temperatura da camada de forma global, considera-se adequados para validar ummodelo bidimensional.

Na tabela 5.4 são resumidas as condições operacionais em que foram obtidos os dados expe-rimentais, assim cada experimento ou run é caracterizado com a velocidade de entrada do ar uin, atemperatura de entrada do ar Tin, a umidade de entrada do ar ωin e a temperatura da placa Ts. Nafigura 5.4 é mostrada a localização dos pontos de adquisição dos dados, a temperatura é medida emquatro pontos diferentes (T1, T2, T3 e T4) e o crescimento de gelo poroso é medido no plano x=130mm. As dimensões geométricas do domínio computacional são: Hx,1 = 20 mm, Hx,2 = 140 mm eHy = 10mm (cotas especificadas na figura 2.3).

Tabela 5.4: Condições operacionais dos dados experimentais.

uin [m/s] Tin [oC] ωin [gv/kga] Ts [oC]

Teste #1 0,6 21,4 6,2 -19,5Teste #2 0,6 19,8 8,2 -20,5Teste #3 1,7 21,5 9,6 -13,7

79

Subdomínio de ar

Subdomínio de frost

Entrada

de ar

y

x

Figura 5.4: Pontos de adquisição de dados.

Na figura 5.5 são comparados os dados experimentais de crescimento de gelo com os resul-tados do modelo proposto no presente trabalho. Observa-se uma boa concordância dos resultadosnuméricos com os dados experimentais, sendo que o maior desvio é observado no Teste #3 na pri-meira hora de simulação e corresponde a um erro relativo de 23,4 %. No caso do Teste #1 e doTeste #2, o maior erro relativo é também observado na primeira hora de simulação e corresponde a12,8 % e 9,3 %, respectivamente.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6

esp

ess

ura

(m

m)

tempo (h)

Model: Run#1 Data: Run#1



Figura 5.5: Comparação do crescimento do frost no modelo numérico com os dados experimentaisde Lenic (2006).

80

Na figura 5.6 são comparados os dados de temperatura dos pontos (T1, T2, T3 e T4) mostradosna figura 5.4 com os resultados numéricos obtidos, para as condições operacionais correspondentesao Teste #1. Observa-se que a tendência da curva dos resultados numéricos e a tendência nos pontosdos dados experimentais são similares. Nota-se que a mudança na inclinação da curva T2, que seencontra aproximadamente nas duas horas da simulação corresponde ao instante em que a camadade frost atinge os 3mm de espessura, que é onde está situado o ponto de adquisição da temperaturaT2. Embora os resultados numéricos não descrevam com precisão o campo de temperaturas, eles sãoconsiderados satisfatórios pois são coerentes com o fenômeno e respeitam as mesmas tendênciasque os dados experimentais.

-25

-15

-5

5

15

25

0 1 2 3 4 5 6

T (°C

)

tempo (h)

Experimental T1

T1 num

T2 exp

T2 num

T3 exp

T3 num

T4 exp

T4 num

Experimental T1

Numérico T1

Experimental T2

Numérico T2

Experimental T3

Numérico T3

Experimental T4

Numérico T4

Figura 5.6: Comparação da evolução das temperaturas do modelo numérico com os dados experi-mentais de Lenic (2006).

5.4 Estudo da influência da densidade inicial

Apesar de que o Teste #1 e o Teste #2 preverem a espessura da camada final com exatidão(com erro relativo menor que 4%), o Teste #3 superestima a espessura da camada de frost du-rante toda a simulação. Este erro pode não ser devido ao modelo matemático, mas à escolha dascondições iniciais. Como comentado no Capítulo 2, o modelo matemático descreve o segundo eo terceiro períodos de formação do frost. Mas como o problema é transiente, o segundo períododepende do resultado do primeiro período. A consideração feita no presente trabalho é assumir va-lores experimentais do final do primeiro período para começar as simulações. Porém, esses valoressão dependentes das condições ambientais a que é submetida a camada de frost.

81

No caso extremo do Teste # 3 em que é considerada uma alta velocidade de entrada (1,7 m/s)observa-se um erro relativo da espessura final da camada de 8,1 % que é considerado aceitável.De qualquer forma, com a finalidade de quantificar a influência da densidade inicial do frost nocrescimento da camada, são realizadass três simulações variando a densidade inicial e mantendoos demais parâmetros constantes. A figura 5.7 mostra a evolução da espessura da camada para trêsdensidades iniciais diferentes (30, 35 e 40 kg

m3 ), para condições operacionais do Teste # 3.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

esp

ess

ura

(m

m)

tempo (h)

40

35

30

Experimental Data

Dado experimental

Figura 5.7: Comparação do crescimento da camada com três densidades de frost inciais diferentes.

Da figura 5.7 pode ser observado que ao aumentar a densidade inicial do frost o crescimentoda camada é mais lento. Porém, o valor final de espessura da camada é muito próximo. Assim, parao valor de densidade inicial de 40 kg/m3 o erro relativo da espessura da camada na primeira horade simulação é de 5,9 % comparado com o valor experimental. Em contraposição, para a densidadeinicial de 30 kg/m3 o erro relativo observado é de 23,4 %. O fato de que um valor de densidadeinicial ajuste melhor a curva quando a velociade é alta, é coerente com as correlações publicadaspor Mao et al. (1993) e Kandula (2012).

Finalmente, nota-se que para a faixa de densidades estudada (30-40 kg/m3 ) o valor de den-sidade inicial praticamente não afeta o valor de espessura final, o que é consistente com os estudospublicados por Jones e Parker (1975).

82

5.5 Distribuição de variáveis e geometria do frost

5.5.1 Distribuição de temperatura

Para estudar a transferência de calor na placa plana é mostrado na figura 5.8 as distribuiçõesdas temperaturas tanto no subdomínio do ar como no subdomínio de frost, para seis instantes detempo diferentes. Além disso, na figura está marcada com uma linha preta a interface ar-frost.Assim, da figura também pode ser observada a evolução da geometria do frost.

Nota-se que a camada de frost cresce mais rápido na parte frontal da placa que na parteposterior, este padrão de crescimento é também reportado por Cui et al. (2011) e Kim et al. (2015).Como mostrado na figura 5.9, existe um gradiente de umidade maior na parte frontal, esse fato fazcom que a camada cresça mais rápido nessa região. Porém, em um certo valor de espessura, emtorno de duas horas de simulação, a temperatura da superfície da camada na parte frontal chegaperto da temperatura do ponto triplo da água. A partir disso, o crescimento da camada torna-semais lento, e a massa de vapor transferida na camada serve principalmente para densificá-la.

Durante o crescimento da camada, ocorrem basicamente dois fenômenos. O primeiro é adensificação da camada, o qual promove uma maior condutividade do frost. O segundo é o distan-ciamento da superfície da camada com a placa fria, o qual promove uma maior resistência térmicaentre a placa e superfície da camada. Como a superfície da camada de gelo tende a aumentar atemperatura com o passar do tempo, deduz-se que o incremento da resistência térmica por causa dodistanciamento é mais importante que o aumento da condutividade térmica por causa da densifica-ção.

Finalmente, nota-se que o frost cresce na parte frontal em valores de x inferiores a Hx,1,ou seja, que existe crescimento horizontal na parte frontal da placa. Essa observação é importanteporque no restante dos trabalhos da literatura o domínio escolhido era apenas a placa fria, e eassim não podia ser estudado o crescimento nesta região. No entanto, o crescimento desta regiãoafeta o crescimento do resto da placa, visto que a velocidade horizontal na direção positiva leva ainformação da parte frontal da placa para o resto do domínio.

83

t= 1h

t= 2h

t= 3h

t= 4h

t= 5h

t= 6h

y(m)

x(m)

[oC]

Figura 5.8: Distribuição de temperatura e geometria da camada de frost para diferentes instantestempos.

84

5.5.2 Distribuição da umidade

Na figura 5.9 pode-se observar a distribuição de umidade depois de 6 horas de simulação,com as condições operacionais do Teste # 1. Nota-se que o gradiente de concentração de vaporde água na parte frontal da placa é maior que na parte posterior. Como consequência desse fato,a transferência de massa de vapor de água é maior na parte frontal. Essa transferência de massana parte frontal da placa é usada para o maior crescimento da camada aproximadamente nas duasprimeiras horas de simulação, e para maior densificação da camada no resto da simulação. Poroutro lado, na parte posterior da placa, esta mudança não é tão acentuada e a camada cresce a umritmo mais constante durante todo o fenômeno.

y(m)

x(m)

Taxa de umidade

Figura 5.9: Distribuição da umidade depois de seis horas de simulação.

5.5.3 Distribuição da densidade

Na figura 5.10 é mostrada a distribuição da densidade na camada de frost depois de 6 horas desimulação, com as condições operacionais do Teste # 1. Nota-se que a densidade na parte frontal daplaca é maior que na parte posterior. Isso se deve à maior massa de vapor transferida na parte frontalquando comparado com a parte posterior. Este padrão de distribuição de densidades é tambémreportado por Lee et al. (2003).

85

y(m)

x(m)

densidade

Figura 5.10: Distribuição da densidade na camada de frost depois de seis horas de simulação.

5.6 Estudo da influência da velocidade no crescimento da camada de frost

Para conhecer como a variável velocidade de entrada do ar afeta o crescimento da camada defrost, são realizadas quatro simulações a diferentes velocidades (0.3; 0,6; 1,1 e 1,7 m/s) mantendoconstante as outras variáveis. Na figura 5.11 pode-se observar como velocidades menores geramum crescimento mais lento da camada de frost no começo, mas chegam a uma espessura maior nofinal do fenômeno. Isso pode ser a causa de que velocidades altas têm um aporte mássico de vaporde água maior que as velocidades baixas, o que promove um crescimento mais rápido no começo.Porém, velocidades altas fazem com que a temperatura da superfície da camada de frost aumente,por aumentar a convecção de calor nesse local. Assim, pode-se explicar porque num certo instantede tempo os casos com velocidade baixa superam em espessura os casos de velocidade alta.

86

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

esp

ess

or

(mm

)

tempo (h)

u=0.3 m/s

u=0.6 m/s

u=1.1 m/s

u=1.7 m/s

Figura 5.11: Crescimento da camada de frost para três velocidades de entrada de ar diferentes emx = 130 mm.

87

6 Conclusões e sugestões para próximos trabalhos

Neste trabalho é apresentado um modelo para a formação de gelo poroso entre placas planasparalelas, baseado em um novo tratamento bidimensional da taxa de crescimento.

De acordo com os resultados apresentados no capítulo anterior chega-se às seguintes conclu-sões:

◦ O modelo apresenta uma boa concordância dos resultados numéricos de crescimento de frost

com os dados experimentais. O maior desvio observado é de 23,4 % de erro relativo, sendoque nos outros dois casos o erro relativo máximo observado é 12,8 % e 9,3 %. Assim, conclui-se que a abordagem que prescinde das correlações experimentais dá um resultado satisfatório.

◦ O modelo, como esperado, têm uma dependência da densidade inicial do frost. Porém, se adensidade inicial é considerada entre a faixa de 30-40 kg/m3 a espessura final da camadanão apresenta uma variação significativa.

◦ A extensão do domínio na parte frontal da placa revela que o frost cresce nessa região. As-sim, conclui-se que é preciso a consideração deste domínio para se estudar o crescimentohorizontal nessa região.

◦ Diferentemente de outros trabalhos publicados de domínio bidimensional mas que conside-ram um crescimento do frost unidirecional a forma da camada obtida é mais uniforme. Issoé atribuído à consideração bidimensional da taxa de crescimento.

◦ Dos campos de umidade e densidade do frost, conclui-se que a região frontal da camada apre-senta uma maior transferência de massa o que causa uma maior densidade e um crescimentomais rápido no começo do fenômeno.

◦ Do estudo da influência da velocidade de entrada do ar úmido no domínio conclui-se quevelocidades menores geram um crescimento da camada de frost mais lento no começo, mascausam uma espessura maior no final do fenômeno.

Depois da realização deste trabalho e como experiência adquirida das problemáticas quesurgiram, podem ser sugeridas as seguintes melhorias para próximos trabalhos:

89

◦ A inclusão da simulação do primeiro período de crescimento de gelo poroso no código nu-mérico faria o modelo mais robusto para uma faixa maior de condições do ambiente.

◦ O modelo poderia ser aplicado em outras geometrias tais como crescimento de frost em tornode um cilindro vertical.

◦ O modelo poderia considerar a convecção natural devido ao gradiente de temperaturas no es-coamento de ar com a inclusão do termo de empuxo na equação de quantidade de movimentono eixo vertical.

90

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estudo numérico de crescimento de gelo poroso entre...

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