Estudo de Casos de

Probabilidade

Ana Paula Honorata Pinto 201210063111

Camila Cremonez da Silva 201220439011

Felippe da Rocha Passos Albuquerque 201220441211

Mariana Alcântara Rezende 201220440811

Pedro Fortuna Izidoro 201220438011

Prof. Dr. Nilo Sampaio

Introdução

Nos estudos de casos seguintes, abordaremos

tópicos sobre:

Probabilidade Binomial

Interseção

Distribuição de Poisson

Probabilidade: Casos Clássicos

Jogo Roda a Roda Jequiti

Regras do sorteio para a entrada no jogo:

Na compra de R$30,00 ganha-se um cupom.

Aos domingos há um sorteio para escolher 5 candidatospara o próximo programa.

Os cupons são substituídos semanalmente.

Como funciona o jogo:

Durante o jogo, o sorteado terá que ganhar dos outros 4

concorrentes para chegar à roleta de R$1.000.000,00.

Ao chegar à roleta, terão 25 envelopes e apenas um terá o

prêmio máximo.

Supondo que uma pessoa tenha comprado R$90,00 em produtos

Jequiti, ou seja, ela ganhou 3 cupons, qual a probabilidade dela

participar do programa e a probabilidade dela ganhar

R$1.000.000,00? Sabe-se que nessa semana foram recolhidos 8560

cupons para o sorteio.

Distribuição Binomial:𝑃 = 𝑁𝑥𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑁−𝑥

N: Tentativas = 5

p: Sucessos

x: Sucesso = 1

1 – p: Fracasso

Probabilidade para participar do programa:

𝐶5,1 =5!

1! (4!)=

5

1∙4!

4!= 5

𝑝 =3

8560

1 − 𝑝 = 1 −3

8560=8557

8560

𝑃 = 5 ∙3

8560

1

∙8557

8560

4

= 0,00174988 ≅ 0,18%

Probabilidade para ganhar dos outros 4 concorrentes:

1

5= 0,2 = 20%

Probabilidade para rodar a roleta e conseguir o prêmio máximo:

1

25= 0,04 = 4%

Chance de participar, vencer os concorrentes e ganhar R$1.000.000,00:

0,00174988 · 0,2 · 0,04 = 0,0000139 = 0,00139%

É cerca de 700 vezes mais provável ganhar o prêmio máximo no Roda a RodaJequiti do que o prêmio máximo na Mega-Sena com o jogo mínimo, em que achance é de aproximadamente 0,000002%

No pôquer convencional, em que recebem-se cinco cartas no começo da rodada, aprobabilidade de conseguir um Royal Straight Flush (Ás, Rei, Dama, Valete, 10,todos do mesmo naipe) é de 0,0001539%, aproximadamente 10 vezes menor doque ganhar o prêmio máximo no Roda a Roda.

Fabricação de Carros na PSA Peugeot

Citroën

Os dados abaixo são a relação do modelo do Citroën C3 de cor por mês no ano

de 2013.

Cor/mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro

Azul 535 243 328 2

Branco 539 300 252 363 349 327 326 41 222

Cinza 536 458 481 727 630 805 514 57 411

Vermelho 291 190 244 723 657 825 686 79 493

Prata 698 487 397 639 655 689 582 75 412

Preto 717 401 410 707 483 623 664 52 424

Outros 104 43 37 67 48 63 66 10 38

Total 3420 2122 2149 3228 2822 3332 2838 314 2000

Para descobrirmos a média de carros brancos fabricados por

dia, realizamos o seguinte cálculo:

1 𝑚ê𝑠 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 =30𝑑

𝑚ê𝑠∙24ℎ

𝑑=

720ℎ

𝑚ê𝑠

Em 720h são produzidos 222 carros brancos, portanto em 24h são

produzidos 7,4 carros brancos.

Qual a probabilidade de ser fabricado um

carro branco no mês de Setembro em 30

minutos?

Utilizando Poisson, uma vez que a fábrica produz em intervalos

contínuos, temos:

𝑓(𝑥) =𝑒−𝜇 · 𝜇𝑥

𝑥!

t = 0,5h

𝜆(𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠) =7,4

24≅ 0,31

µ = 0,5 · 0,31 = 0,155

𝑓 𝑥 =𝑒−0,155 · 0,1551

1!= 0,132744352 ≅ 13,27%

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Azul

Branco

Cinza

Vermelho

Prata

Preto

Outros

O gráfico representa uma análise de tendência das cores por mês:

Média de Atropelamentos no RJ

Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=uETnK6YC_cE

A previsão da Organização Mundial da

Saúde para o ano de 2020 revela que os eventos

de tráfego ocuparão o 3° lugar no ranking das

principais causas de óbito no mundo.

Uma pesquisa revelada pelo

Instituto Pereira Passos indica que há 16

atropelamentos na cidade do Rio de

Janeiro por dia, entre eles um termina

em óbito.

Distribuição das pessoas envolvidas em

acidentes com vítimas por sexo

Município do Rio de Janeiro - 2007

Distribuição dos óbitos por sexo

Município do Rio de Janeiro - 2007

Qual a probabilidade de um atropelado

ser mulher e morrer em um dia no RJ?

Por dia: 16 atropelamentos e 1 morte

Atropelamentos: 29% mulheres e 71% homens

Óbito: 47% mulheres e 53% homens

29

100∙ 16 = 4,64 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎

47

100∙ 1 = 0,47 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒çã𝑜: 𝑝 𝐴 ∩ 𝑀 = 𝑝(𝐴) ∙ 𝑝(𝑀)

4,64

16∙0,47

1= 13,63%

E se fosse na Via Dutra?

Qual a maior probabilidade de acidentes entre os trechos

da NovaDutra S/A se tomarmos como referência um

viajante saindo de São Paulo e indo em direção ao Rio de

Janeiro?

Utilizamos como base para os cálculos o volume de

veículos que foram contabilizados pelos 6 pedágios

contidos na NovaDutra em 2012:

Para a realização dos cálculos, dividimos a rodovia em 5

segmentos.

Para a determinação desses segmentos, foram utilizados

os intervalos entre as praças de pedágio e usamos o

volume de veículos pedagiados em cada trecho, o que foi

relacionado com o número de acidentes nos respectivos

segmentos para a obtenção da probabilidade final.

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 =𝑁º 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑜

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑜

Trecho Volume de Veículos Número de Acidentados Probabilidade de acidentes

Guarulhos – Jacareí 22.481.549 2.747 0,012%

Jacareí - S.J. Campos 13.131.090 543 0,004%

S.J. Campos - Guaratinguetá 20.139.927 287 0,0014%

Guaratinguetá – Itatiaia 13.002.239 2.675 0,0205%

Itatiaia – Nova Iguaçu 9.439.705 2.695 0,0285%

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

Itatiaia - Nova Iguaçu

Guaratinguetá - Iatiaia

S. J. Campos - Guaratinguetá

Jacareí - S. J. Campos

Guarulhos - Jacareí

Probabilidade de acidentes em %

Com a análise do histograma apresentado, os índices de acidentes em

cada trecho presente na rodovia NovaDutra S/A, nota-se que há uma

probabilidade considerável de acidentes no trecho entre Itatiaia e

Nova Iguaçu. Uma das possíveis explicações para essa diferença seria

a Serra das Araras, que é um grande fator de risco na região.

Bibliografia

http://www.sbt.com.br/rodaaroda/comoparticipar/

http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp

http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%B4quer

http://www.antt.gov.br/index.php/content/view/4983.html

http://g1.globo.com/bom-dia-brasil/videos/t/edicoes/v/pelo-menos-uma-

pessoa-morre-atropelada-no-rio-de-janeiro-todos-os-dias/2893858/

http://www.armazemdedados.rio.rj.gov.br/arquivos/3227_nt2_an%C3%A1lise

%20da%20morbimortalidade.PDF