PUCRSPONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

CONCRETO ARMADO II FLEXO SIMPLES

Prof. Almir Schffer

PORTO ALEGRE MARO DE 2006

1

FLEXO SIMPLES

1- Generalidades Na seo transversal de uma pea existe uma solicitao de flexo pura quando na mesma atua apenas um momento fletor (M). Neste caso as tenses normais de trao e de compresso produzidas pelo momento se reduzem a um par de foras (Rs e Rc), que equivalente a um momento (Fig. 1). Quando junto com o momento fletor atua uma fora cortante (V), a solicitao passa a ser chamada de flexo simples. Na solicitao de flexo simples as tenses tangenciais produzidas pela fora cortante no influem nas tenses normais produzidas pelo momento fletor. Assim, o que for estabelecido para a tenses normais na flexo pura vale tambm na flexo simples. A solicitao de flexo pode ser classificada de acordo com a direo do trao do plano de solicitao sobre a seo transversal da pea, em: a) reta (ou normal), quando o trao coincide com um dos dois eixos principais de inrcia da seo; e b) desviada (ou oblqua), quando o trao no coincide com nenhum dos dois eixos. 2- Hipteses bsicas No clculo de vigas de concreto armado, no estado limite ltimo (ELU), solicitadas por flexo, so feitas as seguintes hipteses bsicas (NBR 6118, item 17.2.2): a) as sees transversais permanecem planas aps a deformao da pea; b) as deformaes das barras de ao (alongamentos e encurtamentos) so iguais s do concreto no entorno das mesmas; c) ... (referente concreto protendido);

2

d) as tenses de trao no concreto so desprezadas; e) as tenses de compresso no concreto se distribuem na seo de acordo com o diagrama parbola-retngulo (de clculo) do concreto (NBR 6118, item 8.2.10), ou, como simplificao, de acordo com um diagrama retangular de alturay = 0,8. x (onde x a distncia da linha neutra at a borda mais comprimida da seo) e tenso c = 0,80. fcd ou c = 0,85. fcd (conforme a largura da seo

diminua ou no, da linha neutra para a borda mais comprimida); f) as tenses no ao se distribuem na seo de acordo com o diagrama tensodeformao (de clculo) do ao (NBR 6118, item 8.3.6); e g) o estado limite ltimo (de esgotamento da capacidade resistente da seo) atingido quando o encurtamento do concreto atinge o encurtamento de ruptura do concreto, R = 3,5 , ou quando o alongamento do ao atinge o alongamento plstico limite do ao, L = 10 .

3- Distribuio das tenses na seoSeja uma fatia de viga, compreendida entre duas sees transversais S1 e S2, solicitada apenas por um esforo de flexo (Fig. 1).

S1 M

S'2

R

c S2 M LN d x y

c Rc

z

1

yd

s

L

Rs s

FIGURA 1

3

Devido ao esforo de flexo as sees S1 e S2 giram, uma em relao outra. Imaginando fixa a seo S1, ento a seo S2 gira, em torno da linha neutra, para a nova posio S'2. A regio da seo acima da linha neutra ser comprimida. Se o encurtamento c da fibra mais comprimida de concreto atingir o valor do encurtamento de ruptura do concreto R (Fig. 1), o que ocorre sempre por ocasio da ruptura da viga, ento pode-se admitir que as tenses de compresso no concreto se distribuam na seo segundo o diagrama retangular de tenses sugerido na norma (NBR 6118, item 17.2.2, e). A regio da seo abaixo da linha neutra ser tracionada. O concreto tracionado fissura, no sendo permitido contar com qualquer resistncia trao deste material. Para resistir aos esforos de trao que se desenvolvem abaixo da linha neutra usada ento uma armadura de ao. Se o alongamento s do ao for superior yd (Fig. 1), ento a tenso no ao atinge o valor f yd .

4- Momento resistente de clculo em funo da resistncia do concretoAs tenses normais que atuam na seo de uma viga solicitada por flexo se reduzem a um par de foras (Rs e Rc). O momento desse par independe do ponto em relao ao qual se calcula o momento. O momento resistente de uma viga de seo retangular, em funo da resistncia do concreto, pode ser obtido calculando-se o momento do par de foras em relao ao ponto de aplicao da fora Rs, como segue: Distncia x, da linha neutra at a borda mais comprimida da seo (arbitrada como uma frao k x da altura til da seo): x = k x.d Altura y da zona comprimida de concreto (NBR 6118, item 17.2.2): y = 0,8. x (2) (1)

4

S'2

R

c S2 x y

c Rc M z

h

d As

LN

bw

yd

s

L

Rs s

FIGURA 2

Substituindo x da equao (1) na (2), e fazendo k y = 0,8. k x resulta: (3)

y = k y .dBrao de alavanca z, das foras internas (Fig. 2): z = d y 2 ky 2

(4)

(5)

Substituindo y dado pela equao (4) na (5) e fazendo k z = 1 resulta: (6)

z = k z.drea da zona comprimida da seo de concreto (Fig. 2): Ac = bw. y Substituindo y da equao (4) na (8), resulta: A c = k y .b w . d Tenso de compresso no concreto (NBR 6118, item 17.2.2):

(7)

(8) (9)

c = 0,85. fcdResultante das tenses de compresso no concreto (Fig. 2): R c = A c . c

(10) (11)

5

Substituindo A c e c dados pelas equaes (9) e (10) na (11), resulta:

R c = 0,85. k y . b w . d . fcd(Fig. 2): Mc = R c .z

(12)

Momento do par de foras, em relao ao ponto de aplicao da fora Rs (13)

Substituindo R c e z dados pelas equaes (12) e (7) na (13) e fazendo k m = 0,85. k y . k z resulta: (14)

Mc = k m .b w .d 2 .fcd funo da resistncia do concreto.

(15)

Esta equao fornece o momento resistente de clculo da seo da viga, em

5- Momento resistente de clculo em funo da resistncia do aoO momento resistente da seo, em funo da resistncia do ao, pode ser obtido calculando-se o momento do par de foras em relao ao ponto de aplicao da fora Rc, como segue: Tenso de trao no ao (NBR 6118, item 17.2.2):

s = f ydResultante das tenses de trao no ao (Fig. 2): R s = A s . s Substituindo s dado pela equao (16) na (17), resulta: R s = A s . f yd (Fig. 2): Ms = R s .z Substituindo R s dado pela equao (18) na (19), resulta: Ms = A s .f yd .z da resistncia do ao.

(16)

(17)

(18)

Momento do par de foras em relao ao ponto de aplicao da fora Rs (19)

(20)

Esta equao fornece o momento resistente de clculo da seo, em funo

6

6- Alongamento do aoDa semelhana dos tringulos do diagrama de deformaes unitrias (Fig. 2) obtm-se: R s = x (d x) Substituindo x dado pela equao (1) na (21) e isolando s , resulta (21)

s =

1 k x . R kx

(22)

onde o encurtamento de ruptura do concreto, R , vale: R = 3,5 s yd onde o alongamento yd do ao, para a tenso de clculo, vale yd = sendo f yd Es (25)

(23) (24)

Para que o ao entre em escoamento (vigas subarmadas), necessrio que

Es = 210 000 MPaR R + yd R R + yd

(26)

Substituindo s dado pela equao (22) na (24) e isolando k x , resulta: kx Logo: k x, max = (28) (27)

Com as equaes (25) e (28) foram calculados os valores de yd e k x, max da tabela 1 do anexo A. Para que o alongamento do ao no ultrapasse o alongamento plstico limite do ao, L , necessrio que s L onde L = 10 (30) (29)

7

Substituindo s dado pela equao (22) na (29) e isolando k x , resulta: kx Logo: k x, min = R R + L (32) R R + L (31)

Substituindo R e L dados pelas equaes (23) e (30) na (32) resulta: k x, min = 0,259 7- Tabela adimensional para a flexo Usando k x como varivel independente e as equaes (3), (6) e (14) para calcular k y , k z e k m , foi construda a tabela 2 do anexo A. Esta tabela til no clculo de vigas de seo retangular solicitadas por flexo. A tabela 2 pode ser usada com qualquer concreto, qualquer ao e qualquer sistema de unidades. (33)

8- Clculo da armadura com o uso de uma tabelaPara calcular a armadura de flexo de uma viga de seo retangular, com o auxlio da tabela 2, procede-se como segue: a) Calcular k m (fazer Mc = Md na equao (15) e isolar k m ). km = b w . d2 . fcd Md (34)

b) Entrar com k m na tabela 2 e obter k z . c) Calcular z (usar a equao (7)).

z = k z.dd) Calcular A s (fazer Ms = Md na equao (20) e isolar A s ).As = Md z. f yd (35)

8

9- Clculo da armadura com o uso de um programa de computadorCom as equaes anteriores pode-se facilmente desenvolver um programa de computador para o clculo de vigas de seo retangular solicitadas por flexo.

10- Taxas de armaduraA taxa geomtrica de armadura ( ) a relao entre a rea da seo da armadura e a rea da seo do concreto que a envolve.=

As Ac

(36)

A taxa mecnica de armadura ( ) a relao entre a resistncia de clculo da armadura e a resistncia de clculo do concreto que a envolve. Nsd A s . f yd = Ncd A c . fcd

=

(37)

Dividindo membro a membro a equao (36) pela (37) e isolando , obtmse

= .

fcd f yd

(38)

que a relao existente entre as duas taxas de armadura.

11- Armadura de trao mnimaA taxa geomtrica da armadura de trao de uma viga no pode ser menor que a mnima dada pela expresso (NBR 6118, item 17.3.5.2.1):

min = Maior (0,0015; min .

fcd ) f yd

(39)

Para vigas de seo retangular (NBR 6118, tabela 17.3),

min = 0,035A rea mnima de seo de armadura dada por:

(40)

A s, min = min .A c

(41)

9

11- Fora na armadura de traoFazendo Ms = Md e R s = R sd na equao (19) e isolando R sd , resulta R sd = Md z (42)

equao que fornece a fora de trao de clculo na armadura da viga. Como o brao de alavanca z varia pouco com o momento de clculo Md (ver k z na tabela 2), pode-se admitir z = cons tan te e, neste caso, de acordo com a equao (42), a fora na armadura de trao, R sd , em cada seo, resulta diretamente proporcional ao momento Md que atua nessa seo. Assim, admitindo

z = cons tan te , o diagrama das foras R sd resulta afim ao diagrama dos momentosMd . O mtodo de cobertura do diagrama de momentos usado no exemplo seguinte baseado nesta afinidade.

12- Exemplo de clculoCalcular e detalhar a armadura de flexo da viga da figura.

Esquema P = 115 kN

Seo

A 3,00 5,00 m

C 2,00

B

0,50

0,20

FIGURA 3

10

Dados: Concreto C30: fck = 30 MPa Ao CA-50: f yk = 500 MPa Comprimento de ancoragem bsico: Translao: a = d Cobrimento: c = 30 mm Soluo: Resistncias de clculo: fcd = fck 30 , = = 214 MPa , c 14b

= 33,4.

f yd =

f yks

=

500 = 435 MPa 115 ,

Reaes de apoio: VA = 46,0 kN VB = 69,0 kN Diagramas V e M:

A

C

B

V M

FIGURA 4

11

Momento mximo na viga: M = 46,0.3,00 = 69,0.2,00 = 138,0 kN. m Momento de clculo:

Md = f .M = 14.138,0 = 193,2 kN. m ,Altura til da seo: a = c + t + 20 = 30 + 10 + = 50 mm = 0,05 m 2 2

d = h a = 0,50 0,05 = 0,45 m Coeficiente km:

km =

Md b w .d .fcd2

=

193,2 0,20.0,45 2.(21,4E3)

= 0,223 Tabela 2 k z = 0,840

Brao de alavanca z:

z = k z . d = 0,840.0,45 = 0,378 mArmadura necessria (na seo mais solicitada): As = Md 193,2 = = 0,001180 m 2 z.f yd 0,378 .( 435E3) Verificao da armadura de trao mnima: Taxa mnima de armadura:

min = Maior (0,0015; min . min = 0,00173

fcd 21,4 ) = Maior (0,0015; 0,035. ) = Maior (0,0015; 0,00173 ) f yd 435

Armadura mnima:

A s, min = min .A c = 0,00173 .0,20.0,50 = 0,000173 m 2 Concluso. Como A s > A s, min , usa-se A s . Portanto:

12

A s = 0,001180 m 2 = 11,80 cm 2 4 20 mm Detalhamento da armadura: A armadura calculada deve ser colocada, evidentemente, no lado tracionado da viga. Portanto, neste problema, no lado de baixo da viga. Esta armadura ( A s de 4 20 mm) necessria apenas na seo mais solicitada da viga (onde o momento fletor mximo). Nas outras sees, onde o momento fletor menor, esta armadura pode ser diminuda, de modo a reduzir o consumo de ao na construo da viga. Os comprimentos mnimos das barras da armadura devem ser determinados de tal modo que o diagrama de momentos fletores (afim ao diagrama de foras na armadura) seja coberto, isto , em cada seo da viga deve existir armadura suficiente para resistir o momento que nela atua. Para cobrir o diagrama de momentos fletores procede-se em etapas, como segue (Fig. 5): a) Numa primeira etapa, todos os pontos do diagrama de momentos fletores (A D B) so deslocados, paralelamente ao eixo da viga, para o lado desfavorvel, de uma distncia igual translao ( a ), obtendo-se um novo diagrama(A1 D1 D2 B2). este novo diagrama o diagrama que deve ser coberto pela armadura. b) Numa segunda etapa, o diagrama de momentos fletores dividido em faixas de igual altura M . Tantas faixas quanto o nmero de barras escolhido para a armadura. Cada uma destas faixas deve ser coberta por uma das barras da armadura. c) Numa terceira etapa, marca-se, em cada faixa, para ambos os lados (ver faixa 2 na figura seguinte): 1) a partir dos pontos em que os momentos na faixa comeam a diminuir (E1 e E2), o comprimento de ancoragem da barra ( pontos G1 e G2; eb ),

determinando os

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2) a partir dos pontos em que os momentos na faixa se anulam (F1 e F2), o comprimento de 10. , determinando os pontos H1 e H2. A barra que deve cobrir esta faixa deve se estender entre os pontos G e H mais afastados do centro desta faixa.

M

A1

A H1 G1 F1 10. b D1 a

C

B F2 H2 10. E2 G2 b

B2 Faixa 4 Faixa 3 Faixa 2 Faixa 1

E1 D a

D2

Barra da posio 2

FIGURA 5

Os comprimentos das barras das posies 1 e 2 foram determinados com o procedimento anterior (Fig. 6). Foram usados: Translao: a = d = 0,45 m Comprimento de ancoragem das barras:b

= 33,4. = 33,4.0,02 = 0,67 m Prolongamento das barras:

10. = 10.0,02 = 0,20 m As duas barras da posio 3, necessrias para ancorar foras que se desenvolvem junto aos apoios (o que ser visto posteriormente), devem ser

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estendidas at os apoios. Estas barras tambm so necessrias para ancorar os cantos dos estribos. Ainda com a finalidade de ancorar os cantos dos estribos so usadas mais duas barras, com dimetro no mnimo igual ao dimetro dos estribos, na posio 4.

4

4

M1 323 10 Translao a Compr. ancoragem b

Pos 1 - 1 Pos 2 - 1 Pos 3 - 2

20 mm 20 mm 20 mm

FIGURA 6

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ANEXO A

Tabela 1 Valores de yd e k x, maxAo

yd ()

k x, max

( s = 115) ,CA-25 CA-50 CA-60 1,035 2,070 2,484 0,772 0,628 0,585

16

Tabela 2 Flexo simples reta - Seo retangular (Tabela adimensional)

S'2

R

cS2 x y

0,85.fcd Rcd Md z

h

d As

LN

bw

yd

s

L

Rsd fyd

kx 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58

ky

kz

km 0.158 0.169 0.180 0.190 0.200 0.210 0.219 0.228 0.238 0.247 0.255 0.264 0.272 0.280 0.288 0.296 0.303 0.310 0.317 0.324 0.330 0.337 0.343 0.349 0.354 0.360 0.365 Mar/2006

0.208 0.896 0.224 0.888 0.240 0.880 0.256 0.872 0.272 0.864 0.288 0.856 0.304 0.848 0.320 0.840 0.336 0.832 0.352 0.824 0.368 0.816 0.384 0.808 0.400 0.800 0.416 0.792 0.432 0.784 0.448 0.776 0.464 0.768 Maximo para o aco CA-60 0.60 0.480 0.760 0.62 0.496 0.752 Maximo para o aco CA-50 0.64 0.512 0.744 0.66 0.528 0.736 0.68 0.544 0.728 0.70 0.560 0.720 0.72 0.576 0.712 0.74 0.592 0.704 0.76 0.608 0.696 Maximo para o aco CA-25 0.78 0.624 0.688

x = k x.dy = k y .d

z = k z. dMd

km =

b w . d2 . fcdMd z. fyd

As =