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Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Projecto, Seminário ou Trabalho de Final de Curso (PSTFC)

Ano Lectivo de 2004/2005

–ESTRED –

Estudo da Estabilidade de uma Rede

de Transporte

Trabalho Realizado por:

Nuno André Magalhães da Cunha Mesquita ([email protected])

Reinaldo Manuel da Silva Araújo ([email protected])

Orientador:

Professor Dr. Fernando Maciel Barbosa

– Lic Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Índice 1 Sumário Executivo .................................................................................................... 1 2 Introdução .................................................................................................................. 2 3 Objectivos................................................................................................................... 4 4 Equação de Oscilação de uma Máquina Síncrona.............................................. 5 5 Modelo das Máquinas Síncronas para Estudos de Estabilidade...................... 9 6 Solução Numérica de Equações Diferenciais ................................................... 13

6.1 Método de Euler .............................................................................................. 13 6.2 Método de Runge-Kutta ................................................................................. 16

7 Determinação da Estabilidade Transitória num Sistema Eléctrico de Energia .......................................................................................................................... 22 8 Estudo da Estabilidade Transitória de um Sistema Eléctrico de Energia.. 27 9 Programa Desenvolvido ......................................................................................... 29

9.1 Determinação das condições iniciais ......................................................... 29 9.1.1 Matriz das Admitâncias Nodais............................................................. 29 9.1.2 Jacobiano .................................................................................................. 32 9.1.3 Newton-Rapshon...................................................................................... 34

9.2 Estabilidade ...................................................................................................... 35 9.2.1 Cálculos iniciais ....................................................................................... 35 9.2.2 Cálculo das matrizes Pré, Durante e Pós defeito............................ 36 9.2.3 Evolução temporal do δ dos geradores.............................................. 38 9.2.4 Amortecimento ........................................................................................ 38

10 Utilização da Interface Gráfica do Programa Desenvolvido....................... 40 11 Exemplos de Funcionamento............................................................................. 45 12 Conclusões.............................................................................................................. 51 13 Bibliografia ............................................................................................................. 52 Anexos........................................................................................................................... 53

Anexo1 ...................................................................................................................... 54

PSTFC 2004/2005 ESTRED – Estudo da Estabilidade de uma rede de Transporte I


1 Sumário Executivo

O objectivo deste trabalho foi o de estudar a estabilidade de um

Sistema Eléctrico de Energia.

Foi elaborado um programa informático onde é possível analisar o

comportamento do Sistema quando ocorrem determinadas situações de

defeito.

Pretendeu-se, do ponto de vista do utilizador, um programa de simples

utilização que simule a ocorrência de perturbações permitindo, de certa

forma, prever as diferentes situações de funcionamento do sistema.

PSTFC 2004/2005 ESTRED – Estudo da Estabilidade de uma rede de Transporte 1


2 Introdução

Actualmente os Sistemas Eléctricos de Energia são muito complexos de

modo a que os consumos possam ser satisfeitos com uma elevada qualidade de

serviço, alimentando as cargas de forma contínua, com tensão constante e

frequência dentro de valores muito apertados de tolerância. Define-se

estabilidade de um Sistema Eléctrico de Energia como a capacidade deste

desenvolver forças iguais ou maiores que as forças perturbadoras de forma a

manter o estado de equilíbrio, ou seja, ser capaz voltar a uma forma estável

de funcionamento depois de ter sofrido uma perturbação.

O problema de estabilidade prende-se essencialmente com o

comportamento das máquinas síncronas após perturbações. Se uma máquina

tende a afastar-se ligeiramente da velocidade de sincronismo, há forças de

sincronismo que a forçam a manter-se à velocidade de sincronismo. Procura-

se conhecer exactamente o comportamento das máquinas síncronas depois de

o sistema ter sido perturbado. Se a perturbação for pequena e de curta

duração o sistema tende a voltar ao mesmo ponto de funcionamento, o

mesmo não sucederá se for de longa duração. Ou se, por exemplo, surgir um

desequilíbrio entre a carga do sistema e a carga que estava a ser fornecida ao

sistema. Os sistemas poderão ser estáveis até determinadas amplitudes de

perturbações e instáveis para perturbações de maior amplitude.

Para uma análise conveniente, os estudos de estabilidade são divididos

em três tipos:

- Estabilidade estacionária

- Estabilidade transitória

- Estabilidade de longo termo

A estabilidade estacionária prende-se com o comportamento do

sistema ao nível da capacidade deste se manter em sincronismo após a

ocorrência de pequenas perturbações, tais como alterações graduais de carga.



A estabilidade transitória comporta as perturbações mais graves

analisando-se o comportamento do sistema nos primeiros segundos, por

exemplo, para a ocorrência de uma curto-circuito trifásico simétrico, uma

súbita retirada de uma linha de serviço ou de uma carga.

Em estabilidade de longo termo analisa-se o comportamento dinâmico

do sistema para períodos mais longos.

Todos estes estudos são necessários para assegurar que um

determinado sistema se possa comportar da melhor forma perante

perturbações mais ou menos graves e de maior ou menor duração.



3 Objectivos

O objectivo deste trabalho foi o de elaborar um programa informático

para estudar e analisar a estabilidade de um Sistema Eléctrico de Energia

utilizando o software MATLAB.

O programa desenvolvido tem como principal objectivo a análise de um

determinado Sistema Eléctrico de Energia após a ocorrência de determinadas

perturbações, ou seja, situações de defeito.



4 Equação de Oscilação de uma Máquina Síncrona

Em condições normais de operação, a posição relativa do eixo do rotor

e o eixo do campo magnético resultante é fixa. O ângulo entre os dois é

conhecido como ângulo de carga. Durante uma perturbação, o rotor acelerará

ou desacelerará relativamente ao eixo de referência síncrono. A equação que

descreve este movimento relativo é a chamada equação de oscilação. Se

depois de um período oscilatório, o rotor voltar à velocidade de sincronismo a

máquina manterá a sua estabilidade.

Considere-se então que um gerador síncrono desenvolve um binário

electromagnético Te e a mover-se com velocidade de sincronismo ωs. Se Tm

for o binário mecânico e desprezando as perdas, em estado estacionário, tem-

se:

em TT = (4.1)

A mudança do estado estacionário resulta num binário Ta, de

aceleração ( ) ou desaceleração (em TT > em TT < ) no rotor.

ema TTT −= (4.2)

Se considerarmos J o momento de inércia da máquina primária,

gerador, desprezando os binários de atrito e amortecimento, a partir das leis

da dinâmica para corpos animados de movimento de rotação tem-se:

emam TTT

dtd

J −==2

2

.θ

(4.3)

Onde θm é o ângulo descrito no movimento de rotação medido em

relação a um eixo de referência estacionário no estator. Como o interesse é

relacionar a velocidade do rotor com a velocidade de sincronismo, é escolhido

um eixo de referência síncrono com velocidade angular constante ωsm:

msmm t δωθ += (4.4)



δm é a posição do rotor antes da perturbação (para t=0) medido a

partir do eixo referência síncrono. Derivando (4.4) em ordem ao tempo, t,

obtem-se a velocidade angular do rotor:

dtmd

dtd

msm

mδω

θω +== (4.5)

Derivando novamente, obtem-se a respectiva aceleração:

2

2

2

2

dtd

dtd mm δθ

= (4.6)

Substituindo (4.6) em (4.3), tem-se:

emm TT

dtd

J −=2

2

.δ

(4.7)

Multiplicando (4.7) por ωm, resulta em:

emmmm

m TTdt

dJ .... 2

2

ωωδ

ω −= (4.8)

Como a velocidade angular multiplicada pelo momento de inércia é

igual à potência, a equação 4.8 pode escrever-se em termos de potência:

emm

m PPdt

dJ −=2

2

..δ

ω (4.9)

O produto J×ωm, M é o momento angular de um corpo animado de

movimento de rotação. Está relacionado com a energia cinética de massas em

rotação, Wk:

mmk MJW ωω ..21..

21 2 == (4.10) ou

m

kWM

ω2

= (4.11)

Se ωm não variar em grande medida antes da perda de sincronismo, M

vem em função da velocidade síncrona e considera-se constante, isto é:

sm

kWM

ω2

= (4.12)

A equação de oscilação vem:



emm PP

dtd

M −=2

2

.δ

(4.13)

É conveniente escrever a equação de oscilação em função do ângulo eléctrico,

de potência ou de carga da máquina síncrona, δ. Se p for o número de pares

de pólos da máquina, o ângulo δ está relacionado com o ângulo mecânico de

potência δm por:

mp δδ2

= (4.14)

da mesma forma, mpωω2

= (4.15)

A equação de oscilação em função do ângulo eléctrico, de potência

vem:

em PPdtdM

p−=2

22 δ (4.16)

Como a análise do trânsito de potências é feita no sistema p.u., a

equação de oscilação é normalmente expressa em p.u.. Dividindo (4.16) pela

potência de base, SB, e substituindo M por (4.12) resulta:

b

e

B

m

Bsm

k

SP

SP

dtd

SW

p−=2

222 δω

(4.17)

Pode agora definir-se a constante de inércia da máquina síncrona, H,

da seguinte forma:

B

k

SW

MVAAparentePotênciaMJCinéticaEnergiaH ==

)()(

(4.18)

A constante de inércia vem em segundos, s. O seu valor varia

normalmente entre 1 a 10 segundos, dependendo do tamanho e do tipo da

máquina. Substituindo em (4.17), obtém-se:

.).(.).(2

222upeupm

sm

PPdtdH

p−=

δω

(4.19)



Em que Pm(p.u.) e Pe(p.u.) são respectivamente a potência mecânica e

potência eléctrica no sistema por unidade. Analogamente a expressão (4.15)

pode escrever-se ssm pωω 2

= e substituindo em (4.19) vem:

.).(.).(2

22upeupm

s

PPdtdH

−=δ

ω (4.20)

A equação (4.20) pode exprimir-se em função da frequência fo, e para

simplificar a expressão omite-se a notação (p.u.):

em PPdtd

fH

−=2

2

0

δπ

(4.21)



5 Modelo das Máquinas Síncronas para Estudos de

Estabilidade

O modelo mais simples aplicado a estudos de estabilidade é o modelo

clássico, onde a variação da relutância é ignorada, e a máquina é

representada por uma força electromotriz constante (E’) e uma reactância do

eixo directo ou longitudinal (X’d).

Considere-se então um gerador ligado a um barramento de potência

infinita mostra na figura 5.1.

Figura 5.1 Esquema de uma máquina síncrona ligada a um barramento de potência infinita

Assume-se que a frequência e a tensão no barramento da subestação

permanece constante. Normalmente assume-se como barramento de potência

infinita, desde que as suas características não se alterem face à potência

gerada ou consumida por qualquer dispositivo conectado ao mesmo. O gerador

é representado por uma tensão constante seguido da respectiva reactância

longitudinal X’d. O nó que representa a tensão aos terminais do gerador Vg

pode ser eliminada convertendo as impedâncias em ligação estrela (Y) para

ligação triângulo (∆) obtendo-se as seguintes expressões:

sLLdsd

s

sLLdsd

d

sLLdsd

L

ZZZjXZjXZ

Y

ZZZjXZjXjX

Y

ZZZjXZjXZ

Y

++=

++=

++=

''

'''''

12

20

10

(5.1)



O circuito equivalente com a tensão interna representada por um nó 1

e o barramento de potência infinita com o nó 2 como se mostra na figura 5.2.

Figura 5.2 Circuito equivalente de uma máquina síncrona ligada a um barramento de

potência infinita

Escrevendo as equações dos nós tem-se:

VyyEyIVyEyyI

).(..').(

1220122

1212101

++−=−+=

(5.2)

Estas equações podem ainda ser escritas na forma matricial, em função

da matriz das admitâncias nodais:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡VE

YYYY

II '

.2221

1211

2

1 (5.3)

Os elementos da diagonal da matriz das admitâncias são Y11=y10+y12, e

Y22=y20+y12. Os elementos fora da diagonal são Y12=Y21=-y12. Exprimindo as

tensões e as admitâncias na sua forma polar, a parte real da potência no nó 1

é dada por:

[ ] [ ])0||.|||'|.|.(||'|' 12121111*11 ∠−∠+−∠−∠∠ℜ=ℜ= VYEYEIEPe θδθδ (5.4)

ou

)cos(|||||'|cos|||'| 121211112 θδθ −+= YVEYEPe (5.5)

Aplicando a equação do trânsito de potência, , aos dois

barramentos descritos em cima o sistema resulta na mesma expressão de

(5.5). Em muitos sistemas, Z

*1IVjQP iii =+

L e Zs são predominantemente indutivas. Se as



resistências forem desprezadas, θ11= θ12=90º, Y12=B12=1/X12, obtém-se uma

expressão simplificada para a potência:

)º90cos(|||||'| 12 −= δBVEPe ou δsin|||'|

12XVEPe = (5.6)

Esta é a forma mais simples da equação do trânsito de potência e é

essencial para compreender todos os problemas de estabilidade. A relação

mostra que a potência transmitida depende da reactância e do ângulo entre

as duas tensões. A curva de Pe em função do δ está representada na figura

5.3.

Figura 5.3 Curva Potência-Ângulo

O acréscimo gradual da potência de saída do gerador é possível até um

limite máximo de potência eléctrica transferida. Esse máximo chamado limite

de estabilidade estática, é atingido para um ângulo de carga igual a 90º,

então vem:

12max

|||'|X

VEP = (5.7)

Quando δ maior do que 90º, devido a uma tentativa para se obter uma

potência superior a Pmax ocorrerá na realidade uma diminuição da potência

fornecida pelo gerador. A máquina acelerará, provocando a perda do



sincronismo com o barramento de potência infinita. A potência eléctrica em

função da Pmax vem:

δsin.maxPPe = (5.8)

Quando um gerador for subitamente curto circuitado, a corrente

durante o período transitório é limitada pela reactância longitudinal X’d. Por

isso, para problemas de estabilidade transitória, desprezando as relutâncias, a

máquina é representada pela tensão E’ seguida da reactância X’d. Se Vg for a

tensão aos terminais do gerador e Ia a corrente pré-defeito do gerador, E’ é

descrito como:

adg IjXVE '' += (5.9)

Devido aos enrolamentos do indutor possuírem baixa resistência, os

fluxos de ligação permanecem constantes durante o início da perturbação, e a

tensão E’ assume-se constante. A curva potência-ângulo em regime transitório

terá a mesma forma geral que em regime estacionário, no entanto terá um

pico maior comparado com o valor em regime estacionário.



6 Solução Numérica de Equações Diferenciais

Em problemas de estabilidade é necessário recorer a métodos

numéricos, nomeadamente à solução da equação de oscilação. As técnicas de

integração numérica podem ser aplicadas para obter soluções aproximadas de

equações diferenciais não lineares. Existem vários algoritmos para integração

numérica. O método de Euler é o mais simples e com menos precisão de todos

os métodos. É no entanto apresentado devido à sua simplicidade, pois torna-

se muito útil para uma boa compreensão das ideias envolvidas em soluções

numéricas levando a um melhor entendimento de outros métodos mais

complexos como o método de Runge-Kutta.

6.1 Método de Euler

Considere-se uma equação diferencial de primeira ordem do tipo:

),( xyfdxdy

= (6.1.1)

Onde x é a variável independente e y é a variável dependente. A solução

desta equação é da forma:

),( ctgy = (6.1.2)

Em que c é uma constante determinada pelas condições iniciais especificadas.

A curva correspondente a esta equação é representada na figura 6.1.1.



Figura 6.1.1 representação gráfica de uma função solução de uma equação diferencial

Pode considerar-se que:

xdxdyy

x

∆≈∆ .0

(6.1.3)

Em que 0xdx

dy é o declive da curva no ponto . Dado um ponto inicial xo

e yo pode-se calcular um novo valor para y para um valor especificado de ∆x.

Considerando h= ∆x, tem-se:

),( 00 yx

yyy ∆+= 01 ou hdxdyyy

x

.0

01 += (6.1.4)

Em que ∆y representa o incremento de y correspondente ao incremento de x.

Por outro lado, um segundo valor para y pode então ser calculado:

hdxdyyy

x

.1

12 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= onde ),( 11 yxf

dxdy

=

Os subsequentes valores de y, de forma a construir-se uma tabela de valores x

e y, podem-se obter de forma similar. Chegando a um algoritmo do tipo:

hdxdyyy

xiii .1 +=+ (6.1.5)

O método pode ser representado graficamente para a resolução de uma

equação diferencial de primeira ordem como se mostra na figura 6.1.2.



Figura 6.1.2 Representação gráfica de uma solução aproximada de uma equação pelo

método de Euler

Pode finalmente construir-se um fluxograma que represente (Figura

6.1.3) o algoritmo para resolução de equações diferenciais pelo método de

Euler.



Figura 6.1.3 Fluxograma para resolução de uma equação diferencial pelo método de Euler

6.2 Método de Runge-Kutta Neste método os incrementos dos valores das variáveis dependentes são

calculados a partir de um conjunto de fórmulas expressas em termos das

derivadas calculadas num conjunto de pontos pré-fixados. Uma vez que cada

valor de y é determinado pelas fórmulas de uma maneira unívoca, este

método não requer repetidas aproximações como o método de Euler.



O seu principal inconveniente é o tempo que demora a calcular várias

vezes a primeira derivada, sobretudo se a sua expressão for complexa. Outro

inconveniente é não se saber os valores dos erros. A vantagem reside em que

basta conhecer o valor da função num único ponto, o inicial, para se poder

determinar os seus valores nos pontos seguintes.

As fórmulas são derivadas usando uma dada aproximação para o

desenvolvimento em série de Taylor da função. Suponhamos dada a equação

diferencial

),( yxfdxdy

= (6.2.1)

Com valores iniciais xo e yo. Desenvolvendo em série de Taylor em torno do

ponto inicial tem-se:

...!2

..2

2

2

001 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

hxdydh

dxdyyy (6.2.2)

Supondo que não é um ponto singular, que o desenvolvimento é possível e que

h é suficientemente pequeno para a série ser convergente. Como

),( 000

yxfdxdy

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (6.2.3)

e

),(. 00000

2

2

yxfyf

xf

xdyd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

δδ

(6.2.4)

vem

2

).,(..).,(2

002

0001hyxf

yfh

xfhyxfyy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++=

δδ

δδ

(6.2.5)

a forma

221101 kakayy ++= (6.2.6)

onde

hkbyhbxfkhyxfk

).,().,(

120102

001

++==

e os coeficientes a1, a2, b1 e b2 devem ser calculados. Para o cálculo dos

coeficientes faz-se o desenvolvimento em série de Taylor de

),( 12010 kbyhbxf ++



Em torno do ponto (xo,yo). Assim tem-se

hyfbh

xfbyxfk .....),(

02

01002 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

δδ

δδ

(6.2.7)

Considerando apenas dois termos do desenvolvimento para o valor de k2 e

substituindo em (6.2.6), tem-se

2

00022

2

012002101 .),(.).,().( h

yfyxfbah

xfbahyxfaayy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+++=

δδ

δδ

(6.2.8)

O desenvolvimento em série de Taylor de y em torno de (xo,yo) é

...2

..2

02

2

001 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

hxdydh

dxdyyy (6.2.9)

e substituindo

),( 000

yxfdxdy

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (6.2.3)

),(. 00000

2

2

yxfyf

xf

xdyd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

δδ

(6.2.4)

fica

...2

).,(.2

).,(2

000

2

00001 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++=

hyxfyfh

xfhyxfyy

δδ

δδ

Igualando os coeficientes das equações (6.2.8) e (6.2.9)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=+

2121

1

22

12

21

ba

ba

aa

Como temos um sistema de três equações e quatro incógnitas,

exprimimos a solução em função de uma das incógnitas. Escolhendo um valor

arbitrário para a1, a1=1/2 tem-se:

a2=1/2; b1=1; b2=1.

Substituindo estes valores na equação (6.2.6) a fórmula da aproximação

de 2ª ordem do método Runge-Kutta é

2101 21

21 kkyy ++=



onde

hkbyhxfkhyxfk

).,().,(

12002

001

++==

logo

( )2121 kky +=∆

A aplicação do método de Runge-Kutta, com a aproximação de 2ª ordem

requer o cálculo de k1 e k2. O erro nesta aproximação é da ordem h3 porque a

série foi truncada depois dos termos de 2ª ordem.

Sob esta forma e com valores indicados para os coeficientes o método

coincide com o de Euler modificado relativamente ao valor corrigido y1(1).

A aproximação da quarta ordem do método Runge-Kutta é

4433221101 kakakakayy ++++= (6.2.10)

onde

hkbyhbxfkhkbyhbxfkhkbyhbxfk

hyxfk

).,().,().,(

).,(

360504

240303

120102

001

++=++=++=

=

Os coeficientes da equação (6.2.10) podem ser determinados pelo

mesmo método de cálculo que foi usado para a determinação dos coeficientes

da aproximação de segunda ordem e são respectivamente

a1=1/6; a2=2/6; a3=2/6; a4=1/6

e

b1=1/2; b2=1/2; b3=1/2; b4=1/2; b5=1; b6=1.

Substituindo estes valores na equação (6.2.10) a aproximação de 4ª

ordem de Runge-Kutta será

( )432101 2261 kkkkyy ++++=

em que



hkyhxfk

hkyhxfk

hkyhxfk

hyxfk

)..1,.1(

.21,

21

.21,

21).,(

3004

2003

1002

001

++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=

Assim, o cálculo de ∆y com esta fórmula requer o cálculo prévio de

k1,k2,k3, e k4 e obtém-se

∆y=1/6(k1+2k2+2k3+k4)

O erro desta aproximação é da ordem de h5.

A aproximação de quarta ordem do método Runge-Kutta para a

resolução de um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem da

forma

),,(

),,(

zyxgdxdz

zyxfdxdy

=

=

é

( )432101 2261 kkkkyy ++++=

( )432101 2261 llllzz ++++=

onde

hlzkyhxfk

hlzkyhxfk

hlzkyhxfk

hzyxfk

).,.1,.1(

.21,

21,

21

.21,

21,

21

).,,(

303004

202003

101002

0001

+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

=

e

hlzkyhxfk

hlzkyhxfk

hlzkyhxfk

hzyxfk

).,.1,.1(

.21,

21,

21

.21,

21,

21

).,,(

303004

202003

101002

0001

+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

=



hlzkyhxgl

hlzkyhxgl

hlzkyhxgl

hzyxgl

).,.1,.1(

.21,

21,

21

.21,

21,

21

).,,(

303004

202003

101002

0001

+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

=



7 Determinação da Estabilidade Transitória num Sistema

Eléctrico de Energia

As equações para várias máquinas podem ser escritas de forma similar

às de apenas uma máquina ligada a um barramento de potência infinita. De

forma a reduzir a complexidade da análise da estabilidade transitória,

assumem-se as simplificações seguintes:

1.Cada máquina síncrona é representada por uma fonte de alimentação

constante e uma reactância longitudinal (Xd). Esta representação negligencia

o efeito da variação da relutância e assumem-se constantes os fluxos de

ligação.

2.A acção dos reguladores são negligenciadas e assume-se que as potências

injectadas são consideradas constantes durante todo o período de simulação.

3.Usando as tensões pré-defeito nos barramentos, todas as cargas são

convertidas em admitâncias equivalentes ligadas à terra e assumem-se

constantes.

4.Amortecimento ou potências assíncronas são ignoradas.

5.O ângulo mecânico do rotor de cada máquina coincide com o ângulo da

força electromotriz de cada máquina.

6.As máquinas pertencentes ao mesmo grupo oscilam juntamente e são ditas

coerentes. Um grupo de máquinas coerentes é representado por uma máquina

equivalente.

O primeiro passo na análise transitória de estabilidade é resolver o

trânsito de potências inicial e determinar os módulos e ângulos das tensões



em cada barramento. As correntes pré-defeito da máquina são calculadas a

partir de:

***

i

ii

i

ii V

jQPVS

I−

== i=0,1,2...,m (7.1)

onde m é o numero de geradores. Vi é a tensão aos terminais do i-ésimo

gerador, Pi e Qi são as potências activas e reactivas. Todos os valores

desconhecidos são calculados através da resolução do trânsito de potências

inicial. As resistências das armaduras dos geradores são normalmente

desprezadas e as forças electromotrizes são obtidas depois.

IiXjVE dii .'.' += (7.2)

Seguidamente, todas as cargas são convertidas em admitâncias equivalentes

usando a relação:

220 ||||*

i

ii

i

ii V

QPVS

y−

== (7.3)

Para incluir as forças electromotrizes, são adicionados m-barramentos

aos n-barramentos da rede eléctrica. A rede eléctrica equivalente com todas

as cargas convertidas em admitâncias é mostrada na figura 7.1.

Figura 7.1 Representação de um sistema eléctrico de energia para estudos de estabilidade



Os nós n+1, n+2,…,n+m são barramentos internos das máquinas, isto é,

barramentos atrás das reactâncias longitudinais. A equação das tensões nos

nós, com o nó 0 como referência, para esta rede é dado por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

++++++

+++++

++

++

++

+

+

mn

n

n

mnnnmnnmnmn

nnnnnnn

nnnnnnn

nnnn

nnnn

mn

n

n

E

EV

VV

YYYY

YYYYYYYY

YYYYYYYY

I

II

II

'...'

....

........................

......

........................

......

......

...

...

1

2

1

))(1()1)(()(1)(

)1()1)(1()1(1)1(

)1()1(1

)1()1(2221

)1()1(1111

1

2

1

(7.4)

ou

busbusbus VYI .= (7.5)

Onde Ibus é o vector das correntes injectadas nos barramentos e Vbus é

o vector das tensões medidas a partir do nó de referência. Os elementos da

diagonal da matriz das admitâncias são a soma de todas as admitâncias

ligadas ao barramento, e os elementos fora da diagonal da matriz são iguais à

impedância que interliga cada barramento mas com sinal negativo. Esta

matriz é similar à usada na análise do trânsito de potências. A diferença está

nos nós adicionados para incluir as forças electromotrizes. Os elementos da

diagonal também são modificados para incluir as admitâncias das cargas.

Para simplificar a análise, todos os nós excluindo os internos dos

geradores são eliminados usando a fórmula de redução de Kron. Para eliminar

os barramentos de carga a matriz das admitâncias é partida de forma a que os

n barramentos a ser removidos são representados nas n linhas de cima. Já que

não entram ou saem correntes do barramento de carga, as correntes nas n

linhas são nulas. As correntes no gerador são denotadas pelo vector Im e o

gerador e a tensão nas cargas são representadas pelo vector E’m e Vn

respectivamente. Então a equação 7.4, em termos de submatrizes torna-se:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

m

n

mmnmt

nmnn

m EV

YYYY

I '.

0 (7.6)



O vector Vn de tensão pode ser eliminado substituindo da seguinte forma:

mnmnnn EYVY '..0 += (7.7)

mmmnt

nmm EYVYI '.. += (7.8)

De (7.7)

mnnnnn EYYV '..1−−= (7.9)

Substituindo em (7.8):

[ ] mred

busmnmnnt

nmmmm EYEYYYYI '.'... 1 =−= − (7.10)

A matriz de admitâncias reduzida é:

nmnnt

nmmmred

bus YYYYY .. 1−−= (7.11)

A matriz das admitâncias reduzida tem as dimensões (m×m), onde m é o

número de geradores. A potência eléctrica de saída de cada máquina pode ser

expressa em função da tensão interna da máquina.

iiei IES .'** = ou [ ]iiei IEP .'*ℜ= (7.12) onde (7.13) ij

m

jji YEI .'

1∑=

=

Exprimindo as tensões e as admitâncias na forma polar temos:

iii EE δ∠= |'|' e ijijij YY θ∠= || , e substituindo por Ii em (7.12), resulta:

∑=

+−=m

jjiijijjiei YEEP

1

)cos(..'.' δδθ (7.14)

A equação (7.14) é a mesma que é dada para o trânsito de potências dada por

∑=

+−=m

jjiijijjii YVVP

1

)cos(... δδθ .



Antes do defeito, existe um equilíbrio entre a potência mecânica de

entrada e a potência eléctrica de saída, então temos:

∑=

+−=m

jjiijijjimi YEEP

1

)cos(..'.' δδθ (7.15)



8 Estudo da Estabilidade Transitória de um Sistema

Eléctrico de Energia

O estudo clássico da estabilidade transitória é baseado na aplicação de

um defeito trifásico. Um defeito trifásico franco no barramento k da rede

resulta Vk=0. Esta situação é simulada retirando a k-ésima linha e coluna da

matriz de admitâncias pré-defeito. A nova matriz de admitâncias dos

barramentos é reduzida eliminando todo os nós, excepto os internos dos

geradores. As tensões de excitação do gerador durante e após o defeito

assumem-se permanecer constantes. A potência eléctrica do i-ésimo gerador

em função das novas matrizes das admitâncias reduzidas são obtidas de

(7.14). A equação de oscilação, desprezando os amortecimentos, é dada por

(7.15), para a máquina i vem:

∑=

+−−=m

jjiijijjimi

ii YEEPdtd

fH

12

2

0

)cos(..'.' δδθδπ

(8.1)

Onde Yij são os elementos da matriz das admitâncias reduzida do

defeito, e Hi é a constante de inércia da máquina i expressa em MVA e

potência base SB. Se HGi for a constante de inércia da máquina i expressa em

MVA então Hi é dada por:

GiB

Gii H

SSH .= (8.2)

Sendo a potência eléctrica do i-ésimo gerador Pef e transformando (8.1)

num modelo de variável de estado produzem

ii

dtd ωδ

∆= i=1,…m

)(0 fem

i

i PPHf

dtd

−=∆ πω

(8.3)

Temos agora duas equações de estado para cada gerador, com ângulos

de potência iniciais δoi e ∆ωoi=0. A função do Matlab, ode23, é aplicada para

resolver as 2m equações diferenciais de primeira ordem acima decritas.

Quando o defeito é eliminado, o que pode acontecer removendo a linha em



defeito, a matriz das admitâncias é reconfigurada para reflectir a mudança na

configuração da rede. Depois, a matriz das admitâncias reduzida pós-defeito é

avaliada e a potência eléctrica pós-defeito do i-ésmo gerador, descrita como

Pipf é imediatamente determinada a partir de (1.14). Usando a potência pós-

defeito, Pipf, a simulação continua para determinar a estabilidade do sistema,

até que o gráfico do ângulo de carga em função do tempo revele a tendência

para a estabilidade ou instabilidade. Normalmente o gerador do barramento

referência é usado também para referência dos ângulos, sendo os ângulos das

outras máquinas medidos em relação à de referência. Normalmente a solução

é apresentada com duas oscilações para mostrar se a segunda oscilação não é

maior que a primeira. Se alguma das diferenças dos ângulos se incrementar

“indefinidamente”, o sistema é instável.

O nosso programa foi baseado neste procedimento para se analisar a

estabilidade transitória de um dado Sistema Eléctrico de Energia.



9 Programa Desenvolvido

9.1 Determinação das condições iniciais

Como foi indicado anteriormente é necessário conhecer as condições

iniciais do sistema em análise, nomeadamente, a tensão (módulo e fase). Para

tal recorre-se ao método de Newton-Rapshon.

Os dados necessários ao estudo de trânsito de potências são o esquema

unifilar da rede, a sua topologia, e as cargas. Devem conhecer-se os valores

dos parâmetros equivalentes, pré-despacho e os limites das variáveis do

sistema. De seguida é necessário definir os tipos de barramentos. Um

barramento i, onde especificamos a potência activa gerada (PiG) pode ser PQ

ou PV, onde especificamos a potência reactiva gerada (QiG) é PQ e finalmente

onde especificamos a tensão ViSP pode ser barramento PV ou de referência.

Os resultados pretendidos são o módulo da tensão Vi nos barramentos

PQ, a fase Өi nos barramentos PQ e PV. Pretende-se obter a potência activa

gerada (PiG) no barramento de referência, e a potência reactiva gerada (Qig)

nos barramentos PV e referência. Obtém-se assim o trânsito de potência e as

perdas.

Definem-se as fórmulas a aplicar para os desvios de potência:

e , e as coordenadas polares na forma Cali

SPii PPP −=∆ Cal

iSP

ii QQQ −=∆

iii VE θ∠= .

9.1.1 Matriz das Admitâncias Nodais

Pegando nos dados R, X e Ysh das linhas calcula-se:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅+==

⋅+=

22

22

1ijijijij

ijijijij

ijijij

ij

ijijij

XRXb

XRRgBjGZY

XjRZ



A matriz das admitâncias ( BjGY ⋅+= ) pode então ser calculada

elemento a elemento através das relações:

⎪⎧

+=

=

≠=

∑

∑

=

=

ijsh

n

jijii

ijjiij

n

jijii

ybB

gGG

jigG

0

0,

A partir das relações expostas desenvolve-se a função

matriz_admitancias(busdata,linedata), tendo como parâmetros de entrada

duas matrizes segundo o formato IEEE, contendo a matriz busdata com os

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨ ==

= ijjiij

bBB

dados relativos aos barramentos e linedata com os dados relativos às linhas. A

rede utilizada está representada na figura 10.1.

Tabela 9.1.1.1 Dados dos barramentos da rede em estudo

Injectada

MW Mvar MW Mvar Q min Q max Mvar

1 1 1.06 0 0 0 0 0 0 0 02 2 1.04 0 0 0 150 0 0 140 03 2 1.03 0 0 0 100 0 0 90 04 0 1 0 100 70 0 0 0 0 05 0 1 0 90 30 0 0 0 0 06 0 1 0 160 110 0 0 0 0 0

a G eraçãoBarramento nº

T ipo de barramento

Modulo da Tensão (pu)

Fase da Tensão

Carg

Tabela 9.1.1.2 Dados das linhas da rede em estudo

Barramento de

Barramento para

R pu X pu 1/B pu 1 para linha ou valor de regulação

1 4 0.035 0.225 0.0065 11 5 0.025 0.105 0.0045 11 6 0.040 0.215 0.0055 12 4 0 0.035 0 13 5 0 0.042 0 14 6 0.028 0.125 0.0035 15 6 0.026 0.175 0.0300 1



A saída da função retorna duas matrizes, G e B, cuja soma complexa

fornece a matriz das admitâncias nodais ( BjGY ⋅+= ).

Na linha de comandos do Matlab é executado da seguinte forma:

[G,B]=matriz_admitancias(busdata,linedata)

Obtiveram-se os resultados das tabelas 9.1.1.3 e 9.1.1.4.

abela 9.1.1.3 Matriz G condutância

2.3814 -1.7064

0 2 6 -0.83064

T

3.6573 0 0 -0.67502 -2.1459 -0.83638

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

-0.67502 0 0 0

-2.1459 0 0 .976

-0.83638 0 0 -1.7064 -0.83064 3.3734

Tabela 9.1.1.4 Matriz B susceptância

-17.831 0 0 4.3394 9.0129 4.4956

0 -28.571 0 28.571 0 0

0 0 -23.81 0 23.81 0

4.3394 28.571 0 -40.519 0 7.6178

9.0129 0 23.81 0 -38.379 5.5909

4.4956 0 0 7.6178 5.5909 -17.665

Para verificar a validade da função simulou-se no software de cálculo

owerworld a rede em estudo e obter a matriz das admitâncias nodais

bela 9.1.1.5).

Tabela 9.1.1.5 Matriz das admitâncias obtida pelo Powerworld

-0,68 + j4,34 0,00 + j28,57 2,38 - j40,52 -1,71 + j7,62

-2,15 + j9,01 0,00 + j23,81 2,98 - j38,38 -0,83 + j5,59

P

referentes a essa mesma rede (Ta

3,66 - j17,83 -0,68 + j4,34 -2,15 + j9,01 -0,84 + j4,50

0,00 - j28,57 0,00 + j28,57

0,00 - j23,81 0,00 + j23,81

-0,84 + j4,50 -1,71 + j7,62 -0,83 + j5,59 3,37 - j17,67

Como é possível de verificar o grau de aproximação para este caso é

excelente.



9.1.2 Jacobiano

No início toma-se para o valor do módulo e fase das tensões contidos na

matriz busdata os valores de V=1p.u e θ=0.

De seguida procede-se ao cálcul das potências injectadas, sendo estas

para tal as equações seguintes:

s1

ikk

ikikikkiSP

ii QQ θ

o

subtraídas às potências especificadas, para se obter o respectivo erro,

utilizando-se

).cos..(1

1ik

n

kikikikki

SPii senBGVVPP θθ∑

+

=

+−=∆

)co...(1n

BsenGVV θ∑+

=

−=∆

, em que os parâmetros G e B são

uma optimização do tempo de

processamento. Esta função retorna dois vectores contendo a potência activa

e reactiva especificada. A função é então introduzida da seguinte forma na

linha de comandos do Matlab:

[Pi,Qi]=matriz_admitancias(busdata,linedata,G,B)

Para a construção do Jacobiano decidiu-se segmentar o mesmo da

N(n*m)

M

−

Para o cálculo das potências especificadas utiliza-se a função

potencias_injectadas(busdata,linedata,G,B)

opcionais. Caso G e B já tenham sido calculados anteriormente, podem ser

especificados como parâmetros de entrada, para evitar que sejam novamente

calculados, por esta função o que leva a

seguinte forma:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

)()()(

pp

ppp

LMNH

J

Definindo n como o número de barramentos PV e PQ, ou seja todos,

menos o de referência e m como o número de barramentos PQ, assim temos

as dimensões das sub matrizes:

H(n*n)

(m*n)



L(m*m)

Para os cálculos do Jacobiano utilizam-se as seguintes expressões:

( ) ( )( ) kiBsenGVVLH ikikikikkiikik ≠⋅−⋅⋅⋅== ,cos θθ

( ) ( )( ) kisenBGVVMN ikikikikkiikik ≠⋅+⋅⋅⋅=−= ,cos θθ

iiiiii QVBH −⋅−= 2

iiiiii QVBL +⋅−= 2

ii VG ⋅ iiii PN += 2

M += 2

A função Jacobiano(busdat inedata,G,B), em que G e B são

parâmetros opcionais, para evitar que, caso a matriz das admitâncias nodais

m o

consequente desperdício de tempo, fornece o Jacobiano. Na última iteração

com um erro máximo de 0.0001 obteve-se a sub matriz da tabela 9.1.2.1.

Tabela 9.1.2.1 Matriz Jacobiano

iiiiii PVG ⋅−

a,l

já tenha sido calculada anteriormente, seja calculada internamento co

29.905 0 -29.943 0 0 0.026191 0 0

0 24.903 0 -24.923 0 0 0.017458 0

-29.943 0 41.844 0 -7.2257 1.4182 0 -1.6088

0 -24.923 0 39.938 -5.3478 0 2.1743 -0.78769

0 0 -7.2216 -5.3458 16.743 -1.6274 -0.80107 1.3873

0.026191 0 -3.4182 0 1.6088 40.444 0 -7.2257

0 0.017458 0 -3.9742 0.78769 0 39.338 -5.3478

0 0 1.6274 0.80107 -4.5873 -7.2216 -5.3458 14.543

A matriz do Jacobiano obtida pelo Powerworld é a da tabela 9.1.2.2.

obtida no Powerworld Tabela 9.1.2. 2 Matriz Jacobiano

29,9 -29,9 1,49

24,9 -24,9 0,98

-29,9 41,84 -7,32 1,41 -1,15

-24,9 39,94 -5,39 2,14 -0,44

-7,09 -5,28 16,74 -2,13 -1,16 1,47

1,5 -3,42 1,08 40,13 -7,78

1 -3,97 0,41 38,71 -5,73

2,14 1,18 -4,59 -7,03 -5,19 15,45



Comparando a matriz calculada (Tabela 9.1.2.1) com a obtida no

u de aproximação continua a

r muito razoável.

Pode-se então inverter o Jacobiano para se obterem os desvios das

variáveis de estado:

Powerworld (Tabela 9.1.2.2) verifica-se que o gra

se

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆

∆=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆

∆−

)(

)(1)()(

)(

.p

ppp

p

QP

J

VV

θ

Por fim actualizam-se as variáveis de estado na matriz busdata:

Reinicia-se o processo até que:

u que se atinja o numero máximo de iterações.

9.1.3 Newton-Rapshon

Com o auxílio das funções anteriores, e de outras funções secundárias

que não foram mencionadas anteriormente é possível a construção de um

Newton-raphson.

goritmo criado basta introduzir na linha

de comandos do Ma

[resultados,n_de_ite]=newton_raphson(busdata,linedata,precisao,n_max_iter,basemva)

Em que os dados de entrada são busdata que contém a informação

ferente aos barramentos, linedata às linhas, precisão ao erro máximo (

)()()1( ppp θθθ ∆+=+ )()()1( ppp VVV ∆+=+

⎩⎨⎧

≤∆≤∆εε

i

i

QP

o

algoritmo baseado no método de

Para observar o resultado do al

tlab o seguinte comando:

εre ),

n_max_iter ao numero má potencia base em

W.

ximo de iterações e basemva à

M



Obtiveram-se os seguintes resultados na tabela 9.1.3.1.

Tabela 9.1.3. 1 Resultado do Newton Raphson

Barramento Tipo |V| θº Pc(p.u) Qc(p.u) Pf(MW ) Qf(MW ) Qinj(Mvar)1 1 1.06 0 0 0 105.33 107.36 0

2 2 1.04 1.468 0 0 150 99.786 0

3 2 1.03 0.79946 0 0 100 35.674 0

4 0 1.0077 -1.4033 1 0.7 0 0 0

5 0 1.0163 -1.5 0.9 0.3 0 0 0

No Powerworld obtiveram-se os resultados da tabela 9.1.3.2.

Tabela 9.1.3. 2 Resultados Newton Raphson pelo Powerworld

Barramento |V| θº Pc(MW ) Qc(Mvar) Pf(MW ) Qf(MW ) Qinj(Mvar)1 1,06 0 105,29 107,33 0

2 1,04 1,47 150 99,77 0

3 1,03 0,8 100 35,67 0

4 1,00769 -1,4 100 70 0

5 1,01627 -1,5 90 30 0

Comparando verifica-se que o algoritmo criado consegue um grau de

Tem-se então condições de prosseguir a análise em termos de

stabilidade do sistema.

9.2 Estabilidade

9.2.1 Cálculos iniciais

Para o estudo da estabilidade de um sistema são feitas determinadas

simplificações, como foi indicado anteriormente.

aproximação com a solução do PowerWorld, que para este caso se assume

como a que representa a realidade, muito satisfatória.

e



Como se pode ver na figura 7.1 é necessário adicionar m barramentos

(correspondentes ao número de geradores) à matriz busdata, e m linhas à

atriz linedata.

Foi criada a função reconfigura_rede(busdata,linedata,gendata) que

cria os respectivos barramentos e linhas. O valor da reactância das linhas, que

corresponde à reactância longitudinal dos geradores, é obtido a partir da

informação contida na mat

e seguida são calculadas as correntes dos geradores (equação 7.1)

o 7.2) utilizando para tal a

e assume constante em todo o intervalo. Introduzindo na

linha d

Obtem-se à saída os valores indicados na tabela 9.2.1.1.

nica dos geradores

m

riz gendata.

D

através da função correntes_geradores(busdata). É então possível obter as

f.e.m. (módulo e ângulo) dos geradores (equaçã

função femepmec(busdata,linedata,gendata). Esta função para além do valor

da f.e.m. também calcula a potência mecânica (equação 7.15) fornecida aos

geradores, que s

e comandos do Matlab:

Matriz=femepmec(busdata,linedata,gendata)

Tabela 9.2.1. 1 Valores da f.e.m. e potência mecâ

Gerador (i) E(i) δ(i) Pm(i)

1 1.2781 8.9451 1.0532

2 1.2035 11.824 1.4999

3 1.1427 13.063 0.99997

De seguida todas as cargas do sistema são convertidas em admitâncias

(equação 7.3), utilizando a função carga2admitancia(busdata).

9.2.2 Cálculo das matrizes Pré, Durante e Pós defeito

A partir das equações 7.4, 7.6 e 7.11 e dos dados referidos no ponto

anterior desenvolveu-se uma função que pode ser chamada directamente na

linha de comandos do Matlab da seguinte forma:

[Ypre,Ydur,Ypos]=matriz_admit_mod(busdata,linedata,gendata,barr_def,linha_def)



Simulando o defeito no barramento 6 e supondo que é eliminado

abrindo a linha 5-6, as matrizes pré, durante e pós defeito apresentam-se nas

belas 9.2.2.1, 9.2.2.2 e 9.2.2.3.

0.1847 + 0.69039i

ta

Tabela 9.2.2.1 Matriz das admitâncias nodais pré-defeito

0.25421 + 1.1491i 0.54346 - 2.8639i

0.35167 - 2.8876i 0.25421 + 1.1491i 0.19248 + 0.98563i

0.19248 + 0.98563i 0.1847 + 0.69039i 0.26172 - 2.2835i

Tabela 9.2.2.2 Matriz das admitâncias nodais durante o defeito

0.19135 - 3.5849i 0.060506 + 0.36441i 0.052315 + 0.48215i

0.060506 + 0.36441i 0.31048 - 3.7467i 0.017285 + 0.12426i

0.052315 + 0.48215i 0.017285 + 0.12426i 0.14272 - 2.6463i

Tabela 9.2.2.3 Matriz das admitâncias nodais pós-defeito

0.33916 - 2.8879i 0.26218 + 1.1127i 0.16367 + 1.0251i

0.26218 + 1.1127i 0.60201 - 2.7813i 0.12675 + 0.54008i

0.16367 + 1.0251i 0.12675 + 0.54008i 0.28594 - 2.0544i

Estes valores foram confirmados após o cálculo da matriz pré-defeito

com os dados da matriz das admitâncias nodais (equação 7.5) pré-defeito

obtida no Powerworld apresentada na tabela 9.2.2.4.

obtida no Powerworld

0,00 + j23,81 2,98 - j38,38 -0,83 + j5,59

-0,84 +

0,00 +

Tabela 9.2.2. 4 Matriz das admitâncias nodais pré-defeito

3,66 - j22,83 -0,68 + j4,34 -2,15 + j9,01 -0,84 + j4,50 0,00 + j5,00

0,00 - j35,24 0,00 + j28,57 0,00 + j6,67

0,00 - j27,81 0,00 + j23,81 0,00 + j4,00

-0,68 + j4,34 0,00 + j28,57 2,38 - j40,52 -1,71 + j7,62

-2,15 + j9,01

j4,50 -1,71 + j7,62 -0,83 + j5,59 3,37 - j17,67

j5,00 0,00 - j5,00

0,00 + j6,67 0,00 - j6,67

0,00 + j4,00 0,00 - j4,00



Para confirmar os dados das matrizes durante e pós defeito procedeu-

da mesma forma chegando-se a resultados esperados.

9.2.3 Evolução temporal do δ dos geradores

Na última parte de um trabalho de estabilidade é necessário resolver o

sistema de equações diferenciais (equações 8.3) para cada gerador. Para tal

recorreu-se a função ode23 do Matlab ue é uma implementação directa do

métod

do em análise.

δδ = .)()( // (9.2.4.1)

No programa é p to através de uma

constante (Kt) que representa o valor de t para o qual a exponencial toma o

valor de ½, sendo possível calcular o valor de α:

se

q

o de Runge-Kutta. O conjunto de equações a resolver encontram-se nos

ficheiros eq_osc_1, eq_osc_2 e eq_osc_3 conforme o perío

9.2.4 Amortecimento

Para o amortecimento adoptou-se um modelo algo rudimentar

introduzindo uma exponencial do tipo e-α t. Essa exponencial multiplicada pelo

valor do ângulo de carga sem amortecimento fornece o valor do ângulo de

carga com amortecimento: tα−

amortcsamortcc ett

ossível regular o amortecimen

tK⎠⎞

⎝⎛

−= 21ln

α (9.2.4.2) ⎟⎜



Figura 9.2.4. 1 Gráfico do amortecimento e do ângulo de carga



10 Utilização da Interface Gráfica do Programa

Desenvolvido

O programa desevolvido recorre a um exemplo representativo para o

estudo da estabilidade de um Sistema Eléctrico de Energia. Este exemplo tem

o seu esquema unifilar representado na janela inicial do programa que está

representada na figura 10.1.

Figura 10.1 Janela do menu principal do programa desenvolvido

Nesta janela para além do esquema unifilar podem observar-se quatro

botões. O primeiro, denominado Dados da Rede permite a abertura de uma

nova janela representada na figura 10.2 onde se podem alterar vários dados.

Os dados referentes à geração:

*Tensão (V∠θ)– inicial em módulo no barramento em p.u;

*Potência Activa (PaG) – gerada em cada barramento, excepto a

referência em MW;

*Limites Potência Reactiva – gerada em cada barramento,

excepto no de referência em Mvar;



*Referência – para os cálculos do trânsito de potência e

estabilidade.

Os dados referentes às cargas:

*Potência Consumida (PaC,QaC) – activa em MW e reactiva em

Mvar.

Os dados referentes às linhas:

*Resistência (R) – expressa em p.u

*Reactância (X) – expressa em p.u

*Susceptância (½B) - expressa em p.u

E finalmente os dados referentes às máquinas:

Resistência interna (Ri) – Ri expressa em p.u

Reactância interna (Xi) – Xi expressa em p.u

Constante de inércia (H) – H expressa em MJ/MVA

Figura 10.2 Janela que permite alterar os dados da rede em estudo



O segundo botão da janela principal, denominado Dados de Análise

permite a abertura de uma nova janela representada na figura 10.3 onde se

podem alterar dados da análise seguintes:

*Potência de Base(Sbase) – para o sistema em MVA

*Frequência (f) – de funcionamento da rede em Hz

*Localização do defeito – escolha de um dos barramentos para a

localização do defeito

*Tempo de eliminação (Tel) – do defeito em segundos

*Tempo de reengate(Trg) – do sistema em segundos

*Tempo de análise(Tan) – da equação em segundos

*Passo – de integração

*Linha a retirar – de serviço para que o sistema possa ficar a

funcionar

*Amortecimento – tempo ao fim do qual o valor do coeficiente

de amortecimento atinge 1/2.

Figura 10.3 Janela que permite alterar os dados de análise



Após a inserção de todos os dados necessários à simulação, premindo no

botão denominado Executar obtêm-se os resultados numa janela com a forma

apresentada na figura 10.4.

Figura 10.4 Janela correspondente aos resultados obtidos na simulação



Note-se que a janela que apresenta os resultados ainda nos oferece a

possibilidade de ver alguns resultados auxiliares referentes ao trânsito de

potências, tal como se pode verificar na figura 10.5.

Figura 10.5 Janela que permite observar |Vi| e <Viº do trânsito de potências



11 Exemplos de Funcionamento

Optou-se por simular defeitos associados aos barramentos de geração,

pois são estes que apresentam uma maior problemática em termos de

estabilidade. Simularam-se defeitos com tempos típicos nomeadamente

tempo de eliminação do defeito Tel=125ms, tempo de reengate do sistema

Trg=200ms, tempo de análise da equação Tan=8s e passo de integração de

10ms.

Figura11.1 Evolução dos ângulos de carga simulando defeito no barramento 1, eliminado por abertura da linha 1-6



Figura11.2 Evolução dos ângulos de carga simulando defeito no barramento 2, eliminado por abertura da linha 2-4

Figura11.3 Evolução dos ângulos de carga simulando defeito no barramento 3, eliminado

por abertura da linha 3-5



Para os valores de simulação definidos como sendo os usuais constata-

se que a rede em causa mantém sempre a estabilidade.

Neste tipo de simulações é de vital importância o tempo de actuação

das protecções pois tal leva a que se possa entrar em situações de

instabilidade. Por exemplo considerando que no barramento 2 não existe

reengate automático e o tempo de eleminação do defeito se mantém nos

125ms, o comportamento dos geradores passa a ser o representado na figura

11.4.


por abertura da linha 2-4 sem reengate automático

No gráfico da figura 11.5 reduziu-se o tempo de simulação para 1s

observando-se melhor que o ângulo δ31 se mantém estável.




por abertura da linha 2-4 sem reengate automático

Aumentando o tempo de eliminação do defeito para 0,3s e o tempo de

reengate para 0,4s obtiveram-se os resultados da figura 11.6.


por abertura da linha 2-4 com Tel=0,3s e Trg=0,4s.



No gráfico da figura 11.7 reduziu-se o tempo de simulação para 1s

observando-se melhor que o ângulo δ31 se mantém estável.


por abertura da linha 2-4 com Tel=0,3s, Trg=0,4s e Tan=1s.

Pode concluir-se que o desempenho das protecções tem um papel

fulcral na estabilidade do Sistema Eléctrico de Energia.

De seguida procedeu-se à análise do comportamento da rede para

vários valores de amortecimento.



Figura 11.8 Evolução dos ângulos de carga nas condições da figura 11.1 mas com

amortecimento (Kt) igual a 10.

Figura 11.9 Evolução dos ângulos de carga nas condições da figura 11.1 mas com

amortecimento (Kt) igual a 1.



12 Conclusões

Ao longo deste trabalho foi possivel constatar a importância que os

estudos de estabilidade desempenham na exploração de um Sistema Eléctrico

de Energia. Tal importância surge do facto que numa situação em que um

curto circuito não seja convenientemente eleminado pela actuação das

protecções os alternadores tenham de ser retirados de serviço com as

consequencias inerentes em termos de qualidade prestada aos consumidores e

demora na reposição de serviço.

Verificou-se que as condições que podem agravar ou não a severidade

de um curto-circuito são o local onde ocorre o defeito, o tempo de actuação

das protecções, a existencia de reengate automatico e a rapidez do mesmo.

Optou-se por introduzir no modelo clássico dos geradores um factor de

amortecimento para que seja visivel o decaimento progressivo da oscilação

dos ângulos de carga, algo que acontece na realidade.



13 Bibliografia

1 - Stagg, C.W. and A.H.El – Abiad, “Computer methods in Power System

Analysis”, McGraw-Hill, Nova Yorque, 1968

2 - Elgerd, O., “Electric Energy Systems theory: An introduction”, McGraw-

Hill, Nova Yorque, 1982 (2ª edição)

3 - Weedy B.M., “Eletric Power Systems”, John Wilwy and Sons, 1979 (3ª

edição)

4 - F. Maciel Barbosa, J. A. Peças Lopes, “Métodos directos para a análise

da estabilidade de um Sistema Eléctrico de Energia”, FEUP, 1984

5 - Anderson e Fouad, “Power System Control and Stability”, Iowa State

University Press

6 - J. Peças Lopes, “Análise da Estabilidade de Sistemas Eléctricos de

Energia”, Trabalho de síntese para as provas de Aptidão Pedagógica e

Capacidade Científica, FEUP, 1983

7 - Prabha Kundur, “Power System Stability and Control”, Electric Power

Research Institute, Power System Engineering Series, McGraw-Hill Inc.,

1994

8 - John Machowski, Jamusy W. Bialek, James R. Bumby, “Power System

Dynamics and Stability”, John Wiley&Sons, 1997

9 - K.R. Padiyar, “Power Systems Dynamics – Stability and Control”, John

Wiley&Sons, 1996

10 - A.Gomez Exposito Editor, “Análisis y Operatión de Sistemas de Energiía

Eléctrica”, McGraw-Hill, 2002

11 - Hadi Saadat, “Power System Analysis”, McGraw-Hill, 1999

12 - F. Maciel Barbosa, “Estabilidade de Sistemas Eléctricos”, FEUP, 1984

13 - http://www.mathworks.com

14 - http://www.ee.technion.ac.il/courses/MATLAB/#MATLAB%20PDF's



Anexos



Anexo1

O esquema da rede em Powerworld para a rede em estudo neste

trabalho está representado na figura A1.1.

Figura A1.1 Rede em estudo no Powerworld


–estred – estudo da estabilidade de uma rede de transporteee96118/relatorioestred.pdf ·...

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