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Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________

NOVA School of Business and Economics (a) 1

Estatística para Economia e Gestão Licenciatura em Economia e Licenciatura em Gestão

NOVA School of Business and Economics

Prof. Luís Catela Nunes

Exame Final – 2ª Época

28 de Junho de 2011

Duração: 2 horas

INSTRUÇÕES

Material autorizado: Caneta e este enunciado.

Escreva o seu nome e número de aluno na primeira página deste enunciado.

Este enunciado deve permanecer sempre agrafado.

As respostas às questões devem ser escritas neste enunciado nos locais indicados.

Pode utilizar o verso de cada folha como rascunho.

Qualquer situação de plágio (como sejam a utilização de material não autorizado,

comunicação com colegas, etc.) terá como consequência imediata a reprovação à disciplina

neste semestre.

Não é permitido tirar dúvidas durante o exame.

Antes de iniciar o exame confirme que este enunciado tem 15 folhas numeradas de 1 a 15.

Na folha 12 aparece um formulário com algumas fórmulas estatísticas.

Nas folhas 13 e 14 são incluídas tabelas estatísticas que podem ser necessárias para responder

a algumas das questões deste exame.

Deve permanecer sentado no seu lugar até ao final do exame.

A recolha final do enunciado será feita pelos vigilantes.

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Grupo I (4 Valores)

Para cada questão indique uma só resposta na tabela que aparece na página 15

Cada resposta certa vale 1,0 valores.

Cada resposta errada vale 0,3 valores negativos (-0,3).

Cada resposta em branco ou mal assinalada vale 0 valores.

Suponha que é responsável pela gestão do departamento comercial de uma empresa de

informática com duas lojas em Lisboa. Estas duas lojas vão colocar à venda no próximo mês

de Julho o novo tablet uni-pad. É necessário decidir hoje quantas unidades deverão ser

adquiridas ao fabricante para se poder satisfazer em conjunto a procura nas duas lojas de

Lisboa no mês de Julho. As procuras dos tablet uni-pad nas duas lojas em Julho é incerta

podendo ser consideradas como variáveis aleatórias. A procura na primeira loja pode ser

descrita por uma distribuição normal de média 40 e desvio-padrão 4. A procura na segunda

loja pode ser descrita por uma distribuição normal de média 60 e desvio-padrão 3.

1. Qual a probabilidade da procura de tablets uni-pad na primeira loja exceder 46 unidades

em Julho?

a) 3%

b) 7%

c) 93%

d) 97%

2. Se a correlação entre as procuras nas duas lojas em Julho for igual a 0,5, qual a variância

da procura total do tablet uni-pad nas duas lojas (a soma das procuras na primeira e na

segunda loja) em Julho?

a) 26

b) 31

c) 37

d) 49

3. Se a procura total das duas lojas em Julho for inferior ao número de unidades que a

empresa adquirir ao fabricante, terá algum prejuízo. Pelo contrário, se a procura total

exceder o número de unidades compradas ao fabricante, então não conseguirá satisfazer

toda a sua procura deixando alguns dos seus clientes insatisfeitos. Responda às duas

questões seguintes.

i. Suponha que é possível assumir que em Julho as procuras dos tablet uni-pad nas duas

lojas são independentes entre si. Quantas unidades do tablet uni-pad deverá adquirir

ao fabricante para que se consiga satisfazer toda a procura em Julho (a soma das

procuras na primeira e na segunda loja) com uma probabilidade de 85%?

a) 105

b) 110

c) 115

d) 120

X1~N(40,42)

P(X1>46)=P(Z>(46-40)/4)=P(Z>1,5)

=1-0,9332 (ver pág.13)

=7%

V(X1+ X2)=V(X1)+V(X2)+2Cov(X1,X2)

=42 + 3

2 + 2 × 0,5 × 4 × 3

=37

P(X1 +X2 < k)=0,85

P(Z<(k-100)/5)=0,85

(k-100)/5=1,04 (ver pág. 13)

k = 105

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ii. Se em Julho as procuras de uni-pad nas duas lojas forem correlacionadas entre si,

qual o valor da correlação que requer uma aquisição máxima junto do fabricante para

garantir que conseguirá satisfazer toda a procura em Julho (a soma das procuras na

primeira e na segunda loja) com uma probabilidade de 85%?

a) -1

b) 0

c) 0,5

d) 1,0

Grupo II (3 Valores)

Responda no espaço em branco após cada uma das questões

Uma empresa de fabrico de telemóveis pretende estimar a duração média da bateria do seu

novo modelo. Para esse efeito, a empresa testou 16 desses novos telemóveis escolhidos ao

acaso. De seguida apresentam-se algumas estatísticas descritivas relativas às durações (em

horas) das baterias desses 16 telemóveis:

Mínimo = 20

Máximo = 30

Média = 25

Mediana = 25

Desvio-Padrão = 2

Supondo que se pode assumir que a duração da bateria de um telemóvel escolhido ao acaso

pode ser descrita como uma variável aleatória com distribuição normal, responda às

seguintes questões justificando todos os cálculos necessários.

1. Apresente um intervalo de confiança a 95% para a duração média da bateria do novo

modelo de telemóvel. (2 Valores)

I.C. a 95% para µ :

n

stx n

%5,2

1

4

225 %5,2

15t

4

2131,225 (ver pág. 14)

[24 ; 26]

V(X1+ X2) = 42 + 3

2 + 2 × × 4 × 3 = 25+24

P(X1 +X2 < k)=0,85 P[Z<(k-100)/( 25+24 )]=0,85

k=100+1,04 ×( 25+24 )

k é máximo quando = 1

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2. Se para a amostra inicial de 16 telemóveis fosse apresentado como intervalo de

confiança para a duração média da bateria do novo modelo de telemóvel o seguinte:

[23,7 ; 26,3], qual o grau de confiança utilizado na sua construção? (1 Valor)

Margem de erro =1,3

3,14

22/

15 t

6,22/,

15 t

01,02/ (ver pág. 14)

%2

Grau de confiança = 98%

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Grupo III (4 Valores)

Responda no espaço em branco após cada uma das questões

Vai ser realizado um estudo de opinião acerca das atitudes dos condutores portugueses. Para

tal foi escolhida uma amostra aleatória de 100 condutores. Uma das questões que irá ser

incluída no questionário é a seguinte: “Pensa que guia melhor que um condutor mediano?” a

que cada entrevistado responderá “Sim” ou “Não”. Responda às seguintes questões

justificando todos os cálculos intermédios necessários.

1. Se exactamente metade da população de condutores portugueses achar que guia melhor

que um condutor mediano, qual a probabilidade de na amostra aleatória de 100

condutores mais de 55 deles acharem que guiam melhor que um condutor mediano? (2

Valores)

n = 100

p = 0,5

n

pppNp

)1(,~ˆ

100

5,0,5,0~ˆ

2

Np

P( p̂ > 55/100 )

= P[Z > 0,05/(0,5/10) ]

= P(Z > 1)

= 1-0,8413 (ver pág. 13)

= 16%

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2. Certa pessoa está convencida que a proporção da população de condutores que acha que

guia melhor que um condutor mediano é de 50%. Da amostra aleatória de 100

condutores, 70 afirmaram que guiavam melhor que um condutor mediano. O que pode

concluir sobre a convicção da tal pessoa através de um teste de hipótese que tenha uma

probabilidade de 95% de não se enganar se essa pessoa estiver correcta? Seja claro

quanto a: (i) hipóteses nula e alternativa, (ii) estatística de teste e sua distribuição, (iii)

nível de significância a utilizar, (iv) valor crítico, (v) regra de decisão e (vi) conclusão

final. (2 Valores)

7,0100/70ˆ p

(i) H0: p = 0,5 H1: p ≠ 0,5

(ii) Utiliza-se a estatística de teste: 100/5,0

5,0ˆ

2

pZ

Dado que a dimensão amostral n=100 é suficientemente grande, pode-se aplicar

o teorema do limite central, e a estatística Z tem uma distribuição

aproximadamente normal com média 0 e variância 1 sob a hipótese nula.

(iii) Escolho o habitual nível de significância de 5%.

(iv) valor crítico = z2,5%

= 1,96

(v) A regra de decisão consiste em rejeitar H0 se Z < -1,96 ou Z > 1,96

(vi)

A estatística de teste vem: Z=4

Como Z = 4 > 1,96, rejeita-se a hipótese nula.

Logo, para um nível de significância de 5%, existe evidência estatística

suficiente para se concluir que a convicção daquela pessoa não se verifica.

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Grupo IV (7 Valores)

Para cada questão indique uma só resposta na tabela que aparece na página 15

Cada resposta certa vale 1,0 valores.

Cada resposta errada vale 0,3 valores negativos (-0,3).

Cada resposta em branco ou mal assinalada vale 0 valores.

Vários economistas têm estudado o impacto da instabilidade política e da corrupção na

qualidade das políticas governamentais. Em particular, Fredriksson e Svensson (Journal of

Public Economics, 2003) estudaram o impacto destas duas variáveis na determinação do grau

de exigência das leis ambientais promulgadas pelos governos. Para testar as conclusões

obtidas nesse estudo, analisaram-se as seguintes variáveis para uma amostra aleatória de 30

países:

AMBIENTE = índice de exigência das leis ambientais de cada país numa

escala de 0 a 100, em que 100 representa o grau de

exigência máximo;

REND_PC = rendimento per capita de cada país em milhares de euros;

OCDE = 1 se o país pertence à Organização para a Cooperação e

Desenvolvimento Económico (OCDE), = 0 se não;

CORRUP = índice de corrupção de cada país numa escala de 0 a 6, em que

6 representa corrupção máxima;

INSTAB = número de crises governamentais por ano em cada país;

CORRUP*INSTAB = produto das variáveis CORRUP e INSTAB.

De seguida, apresenta-se o resultado obtido através do Excel da estimação de um modelo de

regressão linear em que AMBIENTE é a variável dependente.

Regression Statistics

Multiple R 0.795144

R Square 0.632254

Adjusted R Square 0.55564

Standard Error 23.1703

Observations 30

ANOVA

df SS MS F

Significance

F

Regression 5 22152.24 4430.449 8.252482 0.000119

Residual 24 12884.7 536.8626

Total 29 35036.95

Coefficients

Standard

Error t Stat P-value

Intercept 285.2705 247.8098 1.151167 0.261004

REND_PC 11.41992 3.0004 3.806134 0.000859

OCDE 5.74888 10.14666 0.566579 0.576261

CORRUP -19.7392 5.053204 -3.90627 0.000668

INSTAB -110.85 37.18412 -2.98112 0.00649

CORRUP*INSTAB -29.08025 9.877075 -2.94422 0.007082

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1. Se a regressão fosse reestimada mas excluindo a variável OCDE, como se alteraria o R2?:

a) O R2 da nova regressão estimada não seria inferior ao acima apresentado nos

resultados para o modelo estimado.

b) O R2 da nova regressão estimada não seria superior ao acima apresentado nos

resultados para o modelo estimado.

c) O R2 da nova regressão estimada seria igual ao acima apresentado nos resultados para

o modelo estimado porque o p-value da variável OCDE é superior a 5%.

d) O R2 da nova regressão estimada seria superior ao acima apresentado nos resultados

para o modelo estimado porque a estatística t da variável OCDE é inferior a 1.

2. Quanto é que se estima que varie em média o índice de exigência das leis ambientais face

a um aumento de 1000 euros no rendimento per capita, ceteris paribus?

a) 11,4

b) 11420

c) 0,0114

d) 11,4%

3. Qual das seguintes afirmações é mais adequada tendo em conta os resultados obtidos?

a) Um aumento da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambientais menos exigentes,

mas esse efeito é menos pronunciado em países com maior instabilidade política.

b) Um aumento da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambientais menos

exigentes, e esse efeito é mais pronunciado em países com maior instabilidade

política.

c) Um aumento da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambientais mais exigentes, mas

esse efeito é menos pronunciado em países com maior instabilidade política.

d) Um aumento da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambientais mais exigentes, e

esse efeito é mais pronunciado em países com maior instabilidade política.

4. Considere a seguinte afirmação: “Em média, ceteris paribus, o grau de exigência das leis

ambientais nos países da OCDE é superior relativamente aos restantes países do mundo”.

Qual dos seguintes comentários a essa afirmação é mais adequado tendo em conta os

resultados obtidos?

a) Discordo, uma vez que o p-value da variável OCDE é inferior a 5%.

b) Concordo, uma vez que o p-value da variável OCDE é superior a 5%.

c) Discordo, uma vez que o p-value da variável OCDE é superior a 5%.

d) Concordo, uma vez que a estimativa do coeficiente da variável OCDE é positiva.

5. Quais os factores que parecem explicar o índice AMBIENTE considerando um nível de

significância de 5%?

a) Todos os factores: REND_PC, OCDE, CORRUP, INSTAB, CORRUP*INSTAB

b) Apenas OCDE

c) Apenas REND_PC, CORRUP, INSTAB, CORRUP*INSTAB

d) Apenas CORRUP

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6. Nos resultados acima apresentados foram omitidos os intervalos de confiança calculados

pelo Excel. Qual o intervalo de confiança a 95% para o coeficiente da variável OCDE que

o Excel obteve?

a) [-15 ; 27]

b) [-4 ; 16]

c) [-96 ; 107]

d) [0 ; 11,5]

7. Ceteris paribus, o grau de exigência das leis ambientais é certamente menor quanto maior

for o nível de recursos naturais e ambientais existentes em cada país. No entanto o nível

de recursos naturais e ambientais de cada país não foi incluído como uma variável

explicativa na regressão estimada acima apresentada. Se o nível destes recursos estiver

positivamente correlacionado com o rendimento per capita de cada país então:

a) O impacto estimado do rendimento per capita no índice AMBIENTE, ceteris paribus,

muito provavelmente será superior ao real.

b) O impacto estimado do rendimento per capita no índice AMBIENTE, ceteris paribus,

muito provavelmente será igual ao real.

c) O impacto estimado do rendimento per capita no índice AMBIENTE, ceteris

paribus, muito provavelmente será inferior ao real.

d) O real impacto do rendimento per capita no índice AMBIENTE, ceteris paribus,

deverá estar contido no intervalo [8,4 ; 14,4] com um grau de confiança de 95%.

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GRUPO V (2 Valores)

Responda no espaço em branco após cada questão

A fórmula habitualmente utilizada para calcular um intervalo de confiança para a média de

uma população com uma distribuição normal e com variância conhecida, nzx 2/ , é

válida desde que a amostra seja aleatória com as observações independentemente e

identicamente distribuídas com uma distribuição normal. Responda às seguintes questões

apresentando todos os cálculos necessários.

1. Suponha que na realidade as observações não eram independentes entre si. Em

concreto suponha que essa correlação era positiva. Caso se utilize a habitual fórmula

do intervalo de confiança a 95% para a média de uma população com uma

distribuição normal com variância conhecida, o real grau de confiança desse intervalo

será superior, inferior ou igual a 95%? (1 Valor)

0),( ji XXCov

)(XVar

= )1

(1

n

i

iXn

Var

= )(1

12

n

i

iXVarn

=

1

1 112

),(2)(1 n

i

n

ij

ji

n

i

i XXCovXVarn

=

1

1 1

2

2),(2

1 n

i

n

ij

ji XXCovnn

=

1

1 12´

2

),(2 n

i

n

ij

ji XXCovnn

Logo o intervalo de confiança a 95% para µ deve ser dado por:

1

1 12

2

),(2

96,1n

i

n

ij

ji XXCovnn

x

Portanto, se for utilizado o I.C. habitual, a sua amplitude virá inferior à

amplitude deste intervalo pelo que o grau de confiança do I.C. habitual será

inferior a 95%.

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2. Suponha que se pretendia calcular um intervalo de confiança a 95% para a média de

uma população com uma distribuição normal. No entanto a amostra não é aleatória

porque a correlação entre as observações é diferente de zero. Em particular, sabe-se

que essa correlação é igual a 0,5 para qualquer par de observações. Proponha uma

nova fórmula para o intervalo de confiança que garanta um real grau de confiança de

95%. (1 Valor)

1

1 1

),(n

i

n

ij

ji XXCov

=

1

1 1

n

i

n

ij

=

1

1 1

2n

i

n

ij

= 2

2 nC

= 2

2

)1(

nn

em que número de covariâncias entre os Xs = nC2 = número de combinações de

n elementos 2 a 2 =2

)1( nn

)(XVar =

1

1 12

2

),(2 n

i

n

ij

ji XXCovnn

= 2

2

2

2

)1(2

nn

nn

= 22 )1(

n

n

n

Como 5,0 vem que )(XVar = 22

5,0)1(

n

n

n

= 21

2

1

n

n

Logo o intervalo de confiança a 95% para µ é dado por:

21

2

196,1

n

nx

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SOME USEFUL FORMULAS

Difference Between Population Means or Proportions (Independent Samples)

Parameter Assumption Confidence Interval Endpoints

X Y 2( , )X XN

2( , )Y YN

2 2, knownX Y

2 2

/ 2X Y

x y

x y zn n

X Y 2( , )X XN

2( , )Y YN

2 2 unknownX Y

2 2

2, / 2x y

p p

n n

x y

s sx y t

n n

2 2

2( 1) ( 1)

2

x x y y

p

x y

n s n ss

n n

X Y 2( , )X XN

2( , )Y YN

2 2, unknownX Y

22

, / 2

yxv

x y

ssx y t

n n

2 222 22 2

/( 1) /( 1)y yx x

x y

x y x y

s ss sv n n

n n n n

X Y Large samples 2 2, unknownX Y

22

/ 2

yx

x y

ssx y z

n n

X Yp p

Large samples

Bernoulli Xp

Bernoulli Yp

/ 2

ˆ ˆ(1 )ˆ ˆ(1 )ˆ ˆ y yx x

x y

x y

p pp pp p z

n n

Note: The first two intervals in the table are exact. The other three intervals are approximations.

Multiple Linear Regression: i 0 1 1i 2 2i k ki iy β β x β x β x ε

Total S.Sq.=SST= 2

i(y y) , Regression S.Sq.=SSR= 2

iˆ(y y) , Error S.Sq.=SSE=

2

i iˆ(y y )

2R SSR/SST and 2 SSE / (n K 1)R 1

SST / (n 1)

Var( iε ) = 2 is estimated as

n2 2

e ii=1s e /(n k 1)

Confidence interval for jβ : jj n k 1,α/2 bb t s

Test for H0: 1 2 kβ β β 0 is SSR/k

F = SSE/(n-k-1)

~ Fk,n-k-1 under H0

Simple Linear Regression: i 0 1 1i iy β β x ε

0 1b y b x and n n 2

1 i 1 i 1b (x x)(y y) / (x x)i i i

n2 2

1 ii 1Var(b ) σ / (x x)

is estimated as

1

n2 2 2

b e ii 1s s / (x x)

Prediction interval for2

n+1n+1 0 1 n+1 n-2, /2 e 2

i

(x x)1y : b b x t s 1

n (x x)

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Respostas às Questões dos Grupos I, II e IV

Assinale as suas respostas com um X

Resposta

Questão a b c d

I.1

I.2

I.3.i

I.3.ii

IV.1

IV.2

IV.3

IV.4

IV.5

IV.6

IV.7

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