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Introdução Medidas descritivas Distribuições de probabilidade circulares Testes de hipótese

Estatística para dados direccionais

Susana Barbosa

Mestrado em Ciências Geofísicas 2012-2013

Susana Barbosa: Análise de dados em Geociências Mestrado em Ciências Geofísicas 2012-2013


Dados direccionais

observações de direcções no plano ou no espaço

2-D (plano): dados circulares

3-D (espaço): dados esféricos



Estatística circular

Estatística circular

métodos estatísticos para análise de dados circulares

“A curious byway of statistics. . . somewhere between theanalysis of linear and the analysis of spherical data”

(Fisher 1993)



Dados circulares

I direcção representada por um ângulo medido em relaçãoa uma direcção “zero” arbitrária

I não há uma ordenação natural das observações

I 0 = 2π (o início e o fim coincidem)



Dados circulares em geofísica

Medidas

I ventoI ondulaçãoI ...

Aplicações

I produção de energia renovávelI riscos, protecção costeiraI ...



Exemplo

Direcção tomada por 76 tartarugas após serem libertadas(Stephens, 1969)



Exemplo

Direcção do eixo maior de 164 formas de feldspato em basalto(Fisher, 1993)



Representação de dados circulares

(x = r cos α, y = r sinα)⇐⇒ (r , α)

r = 1 (na estatística circular o interesse é apenas na direcção)



Direcção média

A direcção média (direcção preferencial) não deve sercalculada a partir da média dos ângulos!

Exemplo:

(45 + 90 + 135)/3 = 90

(0 + 45 + 315)/3 = 120



Direcção média

O valor da média angular depende

I origem (arbitrária)I sentido (horario, anti-horario)

=⇒ é necessária uma medida alternativa da média para dadosdireccionais

=⇒ como a variância depende da média, é também necessáriauma medida alternativa de dispersão para dados direccionais



Direcção média

n observações (xi , yi)⇔ (cos αi , sinαi), i = 1, ...,n

Vector resultante: R = (∑n

i=1 cos αi ,∑n

i=1 sinαi) ≡ (C,S)

A média circular α0 é definida como

α0 = arctg(S/C))

Nota: quando R = 0 não existe uma direcção média (observações distribuídasuniformemente sobre o círculo, não há uma direcção preferencial)



Exemplo



Dispersão circular

A variância circular é definida como

S = 1− 1n∑n

i=1 cos(αi − α0) = 1− ||R||/n

onde R é o vector resultante R = (∑n

i=1 cos αi ,∑n

i=1 sinαi)

N: 0 < S < 1

S ∼ 0 observações com a mesma direcção

S ∼ 1 observações dispersas pela circunferência unitária



Exemplo



Distribuição de probabilidade circular

Distribuição circular: distribuição de probabilidade paravariáveis angulares em que toda a probabilidade estáconcentrada na circunferência do ciclo unitário

A função densidade de probabilidade circular f (θ) verifica

f (θ) ≥ 0

´ 2π0 f (θ)dθ = 1

f (θ) = f (θ + k2π)∀k



Distribuição uniforme

A função densidade de probabilidade da distribuição circularuniforme é

f (θ) = 12π , θ ∈ [0,2π)

(todas as direcções têm igual probabilidade)



Exemplo



Distribuição de von Mises

A fdp da distribuição de von Mises é

f (θ) = 12πI0(k)

exp[kcos(θ − µ)], θ ∈ [0,2π), k > 0

onde

I0(k) é uma função de Bessel modificada de ordem 0,

I0(k) = 12π

´ 2π0 exp[k cosθdθ]

(“distribuição normal circular” - distribuição mais comum para dadoscirculares simétricos e unimodais)



Distribuição de von Mises

µ- direcção média

a distribuição de von Mises tem o valor máximo para θ = µ

a distribuição é simétrica em torno de µ

k - parâmetro de dispersão

k → 0 distribuição von Mises→ distribuição uniforme

k →∞ distribuição concentrada na direcção de µ



Exemplo



Testes de hipótese para dados circulares

I Testes de Uniformidade

I Testes de Homogeneidade



Testes de uniformidade

Distribuição uniforme

f (θ) = 12π , θ ∈ [0,2π)

(todas as direcções têm igual probabilidade)



Teste de Rayleigh

Assumindo que a distribuição dos dados é de Von Mises comparâmetro de dispersão k

H0 : k = 0

H1 : k > 0

(distribuição unimodal com direcção média desconhecida)

H1 : k > 0 & µ = µ0

(distribuição unimodal com direcção média µ0)



Exemplo

H0 : k = 0H1 : k > 0

P-value: 0.15

H0 : k = 0H1 : k > 0 & µ = π

P-value: 0.96



Exemplo

H0 : k = 0H1 : k > 0

P-value: 0

H0 : k = 0H1 : k > 0 & µ = π

P-value: 0



Teste de KuiperTeste não-paramétrico de uniformidade

H0 : a distribuição dos dados é uniforme (todas as direcções têmigual probabilidade)

P-value > 0.15 P-value:< 0.01



Outros testes de uniformidade não-paramétricos

I Teste de Watson

I Teste de espaçamento de Rao

I Teste de Ajne

I ...

Vantagens dos testes não-paramétricos

- amostras pequenas

- dados não-unimodais



Testes de homogeneidade

Para duas amostras de dados circulares

I a direcção média (direcção preferencial) das duaspopulações é a mesma?

I a variância circular (dispersão) é igual?

Em ambos os casos assume-se que os dados são amostras depopulações com distribuição de von Mises



Teste de Watson

H0 : µ1 = µ2

P-value < 0.05



Teste de Rao

H0 : k1 = k2

P-value > 0.1



Teste de Rao

H0 : k1 = k2

P-value < 0.01



Intervalos de confiança - exemplo




mle.vonmises(x)

mu: 2.974( 0.1080 )

kappa: 2.308( 0.3966 )




Bootstrap ConfidenceIntervals

Confidence Level:95 %

Mean Direction:Low = 2.7 High = 3.2

ConcentrationParameter:Low = 1.8 High = 3.1



Correlação circular

O coeficiente de correlação circular para dois conjuntos de dadoscirculares (αi , βi ), i = 1, ...,n com direcção média µ e ν (em relação àmesma direcção inicial e com o mesmo sentido de rotação) é dado por

ρc =E [cos(α− β − µ+ ν)− cos(α + β − µ− ν)]

2√

E [sin2(α− µ)]E [sin2(β − ν)]




Propriedades do coeficiente de correlação circular

I ρc(α, β) = ρc(β, α)

I |ρc(α, β)| ≤ 1

I ρc = 0 se α e β são independentes (o inverso não éverdadeiro)




O coeficiente de correlação circular amostral para duas amostras(αi , βi ), i = 1, ...,n com direcção média α e β é dado por

rc =

∑ni=1 sin(αi − α)sin(βi − β)√∑ni=1 sin2(αi − α)sin2(βi − β)



Exemplo

rc = 0.90P-value < 0.01



Exemplo

rc = 0.21P-value = 0.07



Referências

Batschelet, E. (1981). Circular Statistics in Biology, AcademicPress

Jammalamadaka, S.R. & Sengupta, A. (2001). Topics inCircular Statistics. World Scientific, River Edge, N.J.


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