nbr 10538 - 1988 - interpretação estatística de dados - test

C6pia impressa pelo Sistema CENWIN

lNTERPRETA$dO ESTATI-STICA DE DAWS TESTES DE NORMALIDADE

SUMhO

1 Objetivo 2 Norma complenwmar 3 DefiniCLtes 4 Genenlidedes

5 Comentlrios robm os tastes 6 Verifiwb da hwtem k normaliiade atraMs de grlfin, 7 Testes dimcionis 8 Tom conjunto urrndo 60 bl ~multidirecionalj: (20 < n < 1000) 9 Taesapsi~ir ANEXO A - Figure

ANEXO 6 - T&&r

1 OBJETIVO

1.1 Esta Norm fixa as condi&s tknicas para testar a normalidade de varii - veis aleatorias sob estudo.

1.2 Qualquer dos testes descritos nesta Norma pode ser utilizado para decidir

se a hipotese de normalidade G aceitavel ou Go, admitindo-se que as observacoes

sejam independentes.

2 NORMACOMPLEMENTAR

Na apl icasio desta Norma, 6 necesGri0 consul tar:

NER 10536 - Estatistica - Terminologia.

3 DEFlNlCdES

OS termos ticnicos utilizados nesta Norma estao definidos na NBR 10536.

Cwigm: ABNT - 3: 56.02-013/%8 INB-11261 CB-3 - Cornit B&biro de Elatricidd CE.3: 56.02 - CominiD da Esordo da Contmb e Cercific&o da Gualidade NBR 10538 - Statistfcal Inwrpmtation of Datr - Tern for Dqxwtum from Nonnalitv Foi bateda nm BS 2846: Pan 7/1984

SISTEMA NACIONAL DE ABNT - ASSOCIACAO BRASILEIRA

METROLOGIA, NORMALIZACAO DE NORMAS TECNICAS

E QUALIDADE INDUSTRIAL 0

I

P~INra-chavs: estathtica. controle da qualidada. I

NBR 3 NORMA BRASILEIRA REGISTRADA

CDU: 621.3: 519.214.4 Tads oa dinltm ramvakm 26 p&has


2 NBR lOB3B/lBBB

4 GENEAALIDADES

4.1 Esta Norma foi elaborada porque muitos dos metodos estatisticos recomenda - dos em normas sao baseados na premissa de que as varisveis 5s quais estes met0

dos se aplicam sao independentemente distribuidos de acordo corn a distribuigao

norma I . Entretantu, estes testes nao devem ser usados em cada amostra de dados

antes que esta seja analisada por mGtodos baseados na distribuiCSo normal; na

real idade, este us.0 rotineiro de testes de normalidade, quando a hipotese for

verdadeira, falsificara as consequincias exatas desta hipotese, uma vez que nso

se referirs mais a todas as possiveis amostras, e sim apenas as que passem “OS

testes. Em alguns cases, pode ser que esta hipotese nao deva ser questionada, se

ja por que ha razzes te6ricas (par exemplo, razoes fisicas) que a justifiquem,

seja porque ela foi assumida tome aceitavel corn base em informas6es previamente

acumuladas. Al&m disto, no case de m6todos robustos (isto i, onde OS ‘resul tados

Go alterados apenas ligeiramente quando a distribuiCao de probabilidade ,150 6

normal) urn teste de normalidade 60 s muito iitil. Este i o case, por exemplo, em

que a &dia de uma iinica amostra aleatoria de observasoes dew ser comparada a

urn valor teorico dada, usando-se urn teste de Student. Entretanto, quando o m;to -

do 60 for robust0 e houver dljvida quanta a normalidade da distribuisao das ob -

servagzes, o use de urn teste de normalidade pode ser itil, ou memo necess5rio.

4.2 OS testes de normalidade sao tambern urn meio de verificar a hip6tese de no’

malidade para outros propositos estatisticos; por exemplo, para verificar a capa

bilidade quando urn process0 gerador deva produzir elementos que estejam ou wa

rentem estar distribuidos aleatoriamente de acordo corn a distribuiGao normal.

4.3 Finalmente, deve-se enfatizar que a pot&cia destes testes (isto ~5, para

uma dada situasao, a probabilidade de que a hipotese de normalidade seja rejei -

tada quando ela estiver errada) aumenta corn o nimero de observa@Ses. Por exem

plo, urn desvio da distribuisso normal, que ficaria aparente se fosse usado um

teste de normalidade em uma amostra grande, poderia 60 ser detectado pelo mesmo

teste se houvesse menos observa&es. Consequentemente, a natureza relativa das

conc~us~es dos testes deve ser sempre considerada, embora deva-se lembrar clue

estas conclus&s podem ser questionadas por qualquer outra informa&k obtida pos

teriormente.

4.4 Ao efetuar urn teste de normalidade, deve-se sempre garantir que a indepen

dencia das observasoes nao possa ser questionada. De fate, 6 apenas sob esta con

diGso que uma conclus~o pode ser extraida para rejeitar a hipctese de normalida -

de quando houver urn resultado de teste significante.


NBR 10538/1988 3

5 COMENTARIOS SOBRE OSTESTES

5.1 0 modo mais simples de testar a normalidade da distribuiCBo de uma serie de

observa&es i atravcs da construgao de urn gr;ifico, a partir dessas observagks,

em urn sistema de eixos coordenados onde a funC%o distribuiFBo da curva norma I

6 representada por uma linha reta. Este mstodo, que 6 descrito no capitulo 6,

rostra que 6 possivel ver imediatamente se a distribuiGao observada esta p&i

ma, ou “20, da distribuiC:o normal. Alem disto, embora uma representagao coma

essa Go possa ser considerada urn mGtodo rigoroso, a informagao sund~ia que ela

proporciona 6 urn complemento essential a quaisquer testes de normalidade, atra -

6s do qua1 6 frequentemente possivel, no case de rejeisao da hipctese nula, mos

trar o tipo de alternativa que poderia ser disponivel.

5.2 Urn teste de normalidade i urn tipo especial de teste de hipot,eses. Consiste

no c~lculo da funsso T das observasoes, que i chamada de “estatistica do teste”.

A hipctese nula de uma distribuisao normal i entso aceita ou rejeitada conforme

o valor de T, caia ou nao dentro de urn conjunto de valores pr&imos ao valor

ideal que corresponde a distribuiGo normal.

5.3 0 conjunto de valores de T que leva 5 rejeicao da hipotese nula G a regiao

critica do teste. Quando a hipotese for verdadeira, a probabilidade de obter urn

valor de T dentro desta regiso critica 6 o nivel de significkcia do teste. As

sim este nivel indica a probabilidade de rejeitar erroneamente a hipotese nula

(erro da primeira espkie). 0 limite, ou nao, no case de urn teste bilateral, os

1 imites da regiao critica, sao OS valores criticos da estatistica do teste.

5.4 A potkia do teste 6 a probabilidade de se rejeitar a hipotese nula w=c

do esta for incorreta. Uma potincia alta garante uma probabilidade baixa de acei -

tar erroneamente a hip6tese nula (erro da segunda espkie). A potkcia de urn tes

te varia de acordo corn qua1 hipotese alternativa seja verdadeira quando a hip6te

se nula for falsa.

5.5 Para OS testes de normalidade, faz-se distinGo entre duas categorias de

testes. Quando a hip6tese alternativa for especificada, isto 6, quando a distri -

buigao analisada tiver UM assimetria ou curtosis difet’ente da distribiisao nor -

Ml, o teste sera urn teste direcional. Entretanto, quando a forma de.desvio da

distribuiC:o normal nao for especificada na hip6tese alternativa, o teste sera

urn teste especial. Em urn teste direcional, a regiao critica 6 escolhida de forma

que a potkcia do teste seja maxima. Em urn teste especial, a limitaszo 6 dividir

a regiao critica de forma que a probabilidade de urn erro da primeira espkie se -

ja igualmente distribuida entre OS valores da estatistica que estejam mais dis

tantes do valor ideal.


d NBR 10538/1988

5.6 Note-se que urn teste direcional e essencialmente unilateral. No case de as

simetria, por exemplo, ele se concentra na assimetria positiva ou na negativa.

Entretanto, quando varias alternativas forem consideradas em conjunto, o teste

sera multidirecional. Este e o case, particularmente, quando uma assimetria

nao-nula e uma curtosis diferente da correspondente a distribuicao normal forem

consideradas em conjunto.

5.7 As Tabelas estatisticas 6 a 11 do Anexo B permitem executar os testes des -

critos corn 05 niveis mais usuais, isto e, il - 0,05, e o = 0,Ol. Note-se que urn

teste pode resultar na rejeisao da hipotese nula ao nivel ~1 = 0.05 e na acei ta -

sao da mesma hipotese ao nivel a = 0,Ol. Uma compara& destas duas concl usoes

pode algumas vezes ser util para enfatizar a forga ou fraqueza da conclusao e as -

sim justificar qualquer necessidade de mais informa&3es.

6 vERIFICACAO DA HIP6TESE DE NDRMALIDAOE ATRAVES DE GRAFICO

6.1 Se &J for o fractil de ordem P da varisvel normal padronizada U, en& U se P P -

ra uma funG:o de P, por exemplo, (P), s:

P = P (U c up) = 0 (up) =

1 F(P) =-

2

/

exp (-t2/2) dt (1)

-w

6.1.1 0 grafico e plotado usando-se o papel de probabilidade normal. Neste pa -

pel , urn dos eixos 6 usado coma escala linear para U e marcado corn OS P

valores

correspondentes a P. 0 outro fixo f? usado coma escala linear para OS valores de

X. A distribuiC:o da varisvel X e entao representada pela linha reta da equasao

(2) em 6.4. A Figura 1 doAnexoAmostra urn exemplo de papel de probabilidade nor -

maI. No eixo vertical, OS valores de P = O(u! Go dados COM porcentagens, en -

quanta que no eixo horizontal e usada uma escala linear arbltraria.

6.2 0 teste grafico consiste em arranjdr as observaGoes (x;, x2,...,xn) em or

dem crescente e entao pTOtar Xk contra:

Pk = 100 (k-0,5)/n, no papel de probabilidade normal

6.2.1 Se OS pontos assim obtidos formarem uma linha aproximadamcnte retilinea,

pode-se assumir uma distribuisso normal. Entretanto, se houver urn desvio sistema - tico da linha reta, 0 grifico frequentemente proporcionars uma sugcst.Zo quan to

ao tipo de hipotese alternativa a ser considerada. Em particular, se a curva das

observasoes for tal que OS valores grandes tendam a estar bem acima da Iinha re -


NBR 10638/19BE 5

ta definida pelos outros ~alores, uma transformaCS0 coma y = log x ou y = Gle - varS geralmente a urn grsfico que se adapte melhor a distribuicao normal. Deve-se

ter sempre em mente que urn grafico assim nao i de forma alguma urn teste de norma - lidade no sentido estrito. No case de pequenas amostras, curvas acentuadas podem

ocorrer para distribuisoes normais enquanto que, para amostras grandes, curvas

ligeiras podem indicar distibuiCoes nao normais.

6.3 Urn exemplo de use do papel de probabilidade normal t? o seguinte.

6.3.1 A Tabela I do Anexo 6 mustra OS valor-es ordenados, xk, em ordem. crescen -

te, dos resultados de uma serie de 15 testes independentes de desgaste em equ i -

pamento rotativo. Associando-se o k-Gsimo valor x corn a probabilidade P = k/lb,

foi obtida a serie de pontos brancos mostrados na Figura 2 do Anexo A. G-se

imediatarwnte, nesse grafico, que OS pontos nao formam uma )inha reta. Entretan -

to, se substituirm-os xk por log,0 (10 x,), o nova grafico levars 5 sirie de qUd

drados qua, desta vez, mostram-se aceitavelmente pr&imos a uma I inha reta. A hi -

potese de uma distribui&o normal para o logaritmo das observaC;es parece, POT

tanto, adequada.

6.4 Se X for uma variivel aleatGria normal, corn m;dia m e desvio padrao, entao:

xP - m P = $ [ 5 (P) ] = P (X < xp) = 3

( ) (2)

III

6.4.1 Assim, 6 necesssria apenas uma transformasso linear simples da escala

I inear up:

xP = m + uP (3)

para que xp possa ser plotado coma uma linha reta contra 5 (P) em papel de esca

la linear e contra P em papel especial para a distribuicso normal padronizada.

6.4.2 Se x,, x2, . . . . x n for uma amostra simples aleatoria de qualquer distri

buigao de probabilidade continua, entao pode-se mostrar que:

E CP [(X < xk )] = Pk / 100 (4)

Pk = 100 (k-3,5)/n (5)

6.4.3 Comparando-se a equa&o (4) corn a equagao (2) pode-se ver que, se xk for

plotado contra Pk (para k = 1, 2, . . . . n) em papel de probabilidade normal, en

tao OS pontos devem cair aproximadamente em uma linha reta. 0 metodo acima usa

i(Pk/lOO) como urn valor tipico de xk; isto pode ser encarado coma a aprox ima -

cSo da estatistica de ordem esperada para uma distribuisao normal padronizada.

Note-se que existem apronimaGoes mais rigorosas da estatistica de ordem espera -

da; em particular, quando n 2 20, deve-se usar a Tabela 2 do Anexo B.


P NBR 1063WlSSS

7 TESTES DIRECIONAIS

7.1.1 OS testes direcionais aqui considerados concernem as caracteristicas de

assimetria e curtosis da distribuick das observacoes. Eles sao baseados no fato

de que no case de uma variavel normal X corn midia m = E(X), o numento cent rado

de terceira ordem:

u 3 = E (X - m)3 = 0

a o moment0 centrado padronizado de quarta ordem,

32 _;J4/lJ; =3

(coeficiente de curtosis : fi2 - 3 = 0 )

onde :

u 2=E (X-m)‘e”4= E (X - m)4

7.1.2 Em urn teste de assimetria, a hipotese alternativa 6:

a) assimetria positiva (II, :’ 0); ou

b) assimetria negativa (II 3

c 0).

7.1.2.1 Geralmente, uma distribuicao corn assimetria positiva tern uma dispersao

maior entre OS valores altos da varikel do que entre OS valores mais baixos; o

case contrsrio 6 o da assimetria negativa.

7.1.3 Em urn teste de curtosis. a hipotese alternativa 6:

a) urn excess0 de curtosis (B2 > 3); ou

b) uma falta de curtosis (B2 < 3).

7.1.3.1 Comparada 2 distribui@o normal, a distribuiC5o de probabilidade corn ex

cesso de curtosis tende a ter uma prepondersncia de valores da varisvel pr&imos

i midia e a ambas extremidades. 0 case contrario i o da falta de curtosis.

7.1.4 0 use de urn teste direcional so se justifica quando houver informacoes es -

pecificas sobre a forma pela qual a distribuicao real diverge da distribuisao

normal. Esta informa5ao pode originar-se da natureza fisica dos dados ou do tip0

de perturbaGo que possa afetar o processo gerador. Par exemplo, o fato de clue

uma vari&el seja nao-negativa pode ser uma razao fisica para a assimetria‘ posi

tiva da distribuicao real. Da mesma forma, qualquer perturbagao de urn process0

gerador que produza uma mistura de populacoes normais de mesma media e diferen

tes varia^ncias resultara em UM distribuicao Go-normal corn $2 > 3.

7.1.5 Em qualquer case, a escolha de urn teste direcional deve ser baseado em

considera@es gerais sobre a natureza das observacoes ou o processo que as pro

duz e Go na forma particular da distribuisao dos valores observados. Neste ca -

so, apenas o resultado de urn teste especial pode ser considerado conw sendo obje -


NBR 1053Bl19BB 7

tivo.

7.1.6 se x1, x2, . ..I x,, designam uma serie de observa&s, e :

x= ; -i xi / n

; (x - X) mj=-i i

j/n (6)

j = 2, 3, 4

entao, as estatisticas dos testes de assimetria e curtosis Go, respectivamen

te:

(7)

b2 = m4 / rni

7.2.1 Se a hipkese alternativa consistir em assimetria positiva, o teste 60

deve ser efetuado se m3 L 0. Por outro lado, se consistir em assimetria negati -

“3, o teste nao deve ser efetuado se m 3

>O.Em ambos estes cases, a conclus~o 6 a

favor da hipotese nula de normal idade. Sob a hip6tese nula de normalidade, a es -

peranga mate&tica de *b, r 6 zero e a Tabela 7 do Anexo B mostra para esta esta - tistica OS fractis de ordem P = 1 - a , onde a= 0.05 e a= 0.01. Nos dois cases

de assimetria, a conclus~o i a favor da rejeicao da hipotese de normalidade ao

nivel a se a estatistica 4q exceder o f racti I de ordem P = 1 - a.

7.2.2 Urn exemplo de use do teste direcional de assimetria usando Jbl 6 o sequin -

te.

7.2.2.1 A Tabela 3 do Anexo B fornece 50 medicoes independentes da profundidade

do alburno em troncos de madeira que s.50 usados coma pastes telegraficos. co”0

os valores Go nao-negatives e tendentes a zero, pode-se suspei tar de assime - tria positiva. E portanto necessirio executar o teste airecional apropriado. As -

sim, da Tabela 3:

i = (1,25 + 1,35.+ . . . + 5,10)/50 = 2,87

m2 = [Cl,25 - 2,87j2 + Cl,35 - 2,87j2 + . . . +

+ (S,lO - 2,8712,,5!, = 0,938

m3 = [(I,25 - 2,8713 + (1,35 - 2,87)3 + . . . +

+ (5,lO - 2,87j3]/50 = 0,255


e NBR 1053S/lSBS

Log0 :

G &&$ = 0,281

7.2.2.2 Para o nivel n= 0,05, o valor critic0 da estatistica G o fractil de or

dem P = 1 - 0,05 = 0.95. Para n = 50, este valor 6 0,53 (ver Tabela 7, do Anexo

B), isto 6, urn valor maior que o valor encontrado para a estatistica 47, assim,

“$0 k recomend&el rejeitar a hipotese de normalidade para o nivel escolhido.

7.3.1 De acordo corn a hipotese nula de normalidade, a media da estatlstica b2

6 igual a 3(n-1) / (n+l) e a Tabela 8, do Anexo B, mostra para esta estatistica

os fractis de ordem P = O,Ol, O,O5, 0,95 e 0,99. Em urn teste de excesso de curto -

sis, a conclusk sera a favor da rejei& da hipotese de normalidade ao nivel

3 = 0,05(0,01) se o valor da estatistica b2 exceder o fractil de ordem

P = 0,95 (0,99). Em urn teste de falta de curtosis, a conclus~o sera a favor da

rejeis8;o da hipGtese de normalidade ao nivel 81 = 0,05 (0.01) se o valor da esta

tistica b2 for menor que o fractil de ordem P = 0,05(0,01).

7.3.2 Urn enemplo de use do teste direcional de curtosis usando b2 6 o seguinte.

7.3.2.1 A Tabela 4 do Anexo B mostra uma serie de 35 mediG;es independentes,

algumas das quais suspeita-se terem sido afetadas por urn defeito no dispositivo

de medig&, defeito este que resultaria em “ma varia& na dispersao destas medi -

Goes. Devido ao defeito mencionado, pode-se suspeitar que P2 seja maior que 3,

para a distribuisk real das observatoes, devendo-se entao apl icar o teste dire -

cional correspondente. Assim, da Tabela 4:

i = (g,6 + 9.8 + . . . + 8,g)/35 = IO,I

m2= [(9,6 - 10,1)2 + (g,8 - 10,1)2 + . . . +

+ (8,9 - 10,1)21/35 = 2,574

m4= [(9,6 - 10,1)4 + (9.8 - 10,1)4 + . . . +

+ (8,9 - 10,1)41/35 = 36,90

Logo :

b2 = 36,90/(2,57)* = 5,59

7.3.2.2 Para o nivel a = 0,05, o valor cr’itico da estatistica 6 o fractil de or -

dem P = 0,95, isto 6, para n = 35 (ver Tabela 8 do Anew B) o valor critic0 -6

4,10. Como o valor encontrado para b2 6 maior que este, a hipotese de normalida -

de pode ser rejeitada em favor a hipotese de uma distribuicao nk-normal.


NBR 10538/1988 9

7.3.2.3 Al<” disto, corn0 0 valor critic0 ao nivel 0,Ol 6 5,13, a rejeicao da

hipotese de normalidade 6 confirmada a esse nivel. Devido a isto, a existGvzi.3

de uma perturbaC& real parece ainda mais prov~vel.

8 TE~E CONJUNTO USANDO CO b, ~WLTIDIRECIONAL): (20 G n G wool

8.1.1 A hipotese alternativa e de que uma distribuigk cuja assimetria nao se

ja zero e/au cuja curtosis difira da equivalente a distribui& normal, sem que

a diresao de qualquer dos desvios seja especificada. 0 teste 6 multidirecional

uma vez que objetiva apresentar a combinack de assimetria nao-nula e curtosis

onde ti 2 * 3.

8.1.2 Note-se que, devido 5 escolha das estatisticas, este teste’ conjunto nao

pode ser considerado coma sendo urn tcste especial no sentido estrito. Quanta aos

testes direcionais, seu use so pode ser justificado por considerasoes quanta 2

natureza das observacoes ou quanta ao processo que as produz.

8.2 i”este conjunto usando& 1 e b2

8.2.1 A estatistica deste teste i formada pelo par de estatisticas I&-,/ e b2

definidas em 7.1.6. Sob a hipotese nula de distribuisao normal, em urn sistema de

eixos coordenados em 1;6;1 e b2, o ponto representado pelo par (IT!, b2) tern

uma probabilidade P = 0,95 ou P = 0,99 em uma regik em torno do ponto (0.3) e

delineado por uma curva representada na Figura 3(a) do Anexo A (P = 0,95) ou FL

gura 3(b) do Anexo A (P = 0,99). Ao nivel u = 1 - P, a regik critica do teste 6

formada pelos pontos que ficam do lado de fora da curva correspondente ao valor

de n.

8.2.2 Urn exemplo do use do teste conjunto usando IqI e b2 6 o seguinte.

8.2.2.1 A Tabela 5, do Anexo B, mostra a distribuisao de frequEncias dos resul -

tados de IO00 ensaios independentes da resistkcia de urn fio de tecido. A nature -

za do ensaio faz corn que se suspeite de uma distribuisk real corn assimetria

Go-nula e curtosis onde O2 f 3. Estendendo-se OS soma;Grios a todas as observa -

sses da Tabela 5, do Anexo B, acha-se que:

n=2+4+4+ . . . + IO + 1 = 1000

x = +l = (400 x 2 + 405 x 4 + . . . + 495 x 1)/1000

= 454

m2= i(Xi - X)2 /n = [(400 - 454)2 x2+

+ (405 - 45412 x 4 + .*. + (495 - 454j2 x 1]/1000=

= 303


10 NBR 10539/1999

e, atravEs de calculos similares aos de m2,

m3 E j(Xi - ,)3 /n E -2202

m4 = E(Xi - X)4 /n = 253239

Portanto:

151 = Im31 / (m2)3’2 = 2202/(303)3’2

= 0,417

b2 = 253239/ (303j2 = 2,76

8.2.2.2 Plotando-se o ponto (151 = 0,417, b2 = 2,76) no grafico da Figura3(a)

do Anexo A v&se que o ponto fica bem fora da curva correspondente ao valor

n = 1000. A hipotese de normalidade 6 portanto rejeitada ao nivel a = 0,05. NO - te-se que a mesma operaC:o feita no grafico da Figura 3(b) do Anexo A para o ni

vel 0,Ol tambcm leva 5 rejeisao da hipotese de normalidade.

9 TESTES ESPECIAL3

9.1 v”eneraii&des

9.1.1 Quando nao existir qualquer informaczo “a priori” em relaCao ao tipo de

desvio da normalidade da distribuigao que se possa suspeitar, recomenda-se o “so

de urn teste especial para solucionar a questso.

9.1.2 OS dois testes mostrados sao baseados em estatisticas de ordem. Se, coma

em 6.1, a sirie de n observacoes independentes arranjadas em ordem crescente for

designada por x,, x2, . . . . xn, entao, em cada caso, calcula-se o valor:

S = jak [ x”+,-~ - xkl (8)

onde o indice k tern valores de 1 a n/2 ou de 1 a (n - 1)/2 conforme n seja par

ou impar e onde OS coeficientes a k tern valores especiais para 05 testes conside - rados e para o valor de n. Se alguns valores forem iguais, a’serie ordenada 6

numerada repetindo-se OS valores iguais tantas vezes quantarocorram na s&rie

original.

9.2 l’eeate de ,[email protected]: (3 ‘: n c 5~7) - -

9.2.1 OS valores de ak sso OS coeficientes ak da Tabela 9 do Anexo B, e a esta - tistica do teste 6 o valor:

W = S’/(nm,)

onde: nm - (x, - x j2 2-


NBR lE38/19l38 11

9.2.1.1 De acordo corn a hipotese nula de normalidade, esta estatistica 6 igual

a 1 se as estatisticas de ordem forem todas idznticas 5s suas esperancas ma terns

ticas; de outra forma,G?enor que i.Ao nivel a= P, a regiao critica do teste 6

formada por valores menores que o fractil de ordem P. A Tabela 10 mcstra OS

fractis de ordem P = 0,Ol e P = 0,05 da estatistica do teste. Corn amostras peque

nas, n<8, OS testes nao 520 muito eficazes para a detecgso de desvios da hipote

se nula de normalidade, amostras pequenas. Por outro lado, sao comumente usados

em aplicaGoes de controle da qualidade e sao frequentemente OS unicos dados quan -

titativos disponiveis quanta 2 forma da distribuiqao. A evidencia de uma sequen

cia de amostras pequenas pode ser rotineiramente plotada em urn grafico de contra -

le para a estatistica de normalidade W usando-se o fractil 0,05 dado na Tabela

10 do Anexo B coma limite de prevencao e o fractil 0,Ol dadp na Tabela 10 corn0

Iimite de controle.

9.2.2 Urn exemplo do use do teste de Shapiro-Wilk 6 o seguinte.

9.2.2.1 A Tabela 6 do Anexo B mostra uma s;rie ordenada de 44 quantidades

anuais de chuva, independentes, coletadas em uma estaG:o meteorolGgica. Por ra

zoes estatisticas e antes de adaptar a distribuisao normal a esta sgrie de obser

vacoes, 6 necessario assegurar-se da adequaGao desta distribuigao. Para facil i -

tar 0 calculo, 0s vJl0reS xk, xn+,-k e xn+l-k - xk foram mostrados na mesma Ii

nha.

x = +k/” = 34545/44 = 705

nm2 = i[x, - ;I2 = 630872

9.2.2.2 OS coeficientes ak tomados da Tabela 9 do Anexo B para n = 44 e repro -

duzidos na Tabela 6 do Anexo B, portanto, fazem corn quo:

S = zak [x~+,-~ - xkl = 0,3872 x 554 +

+ 0,2667 x 500 + . . . + 0,0042 x 9 = 787

E assim:

W = (787)2/630872 = 0,982

9.2.2.3 Quando n = 44, a Tabela 10 do Anexo 6 mostra que o fractil de ordem

P = D,O5 6 igual a 0,944. Corn0 este valor ; menor que o valor encontrado, nao se

pode rejeitar a hipotese de normalidade ao nivel 0,05.


12 NBR 10638/1988

9.3.1 Para 0 valor n, 0 coeficiente ak, na equasao (8) em 9.1.2 6 dado par:

n+l-k ak = -

2

(10)

definindo-se,

D = S/ (n2 m2) (11)

A estatistica do teste 6 o valor:

Y = vr(D - 0,28209479) / 0,02998598 (1.7)

9.3.1 Sob a hipGtese nula de normalidade, esta estatistica nao deve diferir mui - to de zero. Ao nivel a, a regiao critica do teste e portanto formada pelos vale -

res de Y menores que o fractil de ordem P =u/2 e pelos valores de Y maiores

que o fractil de ordem P = 1 - #x/2. A Tabela 11 do Anexo B fornece OS fractis pa -

ra a = 0.05 e u = O,Ol, para n = 50 (lo), 100(50), 1000.

9.3.2 Urn exemplo de use do teste de D’Agostino i o seguinte.

9.3.2.1 DOS valores de (n+1)/2 - k dados na Tabela 6. do Anexo B, segue-se que:

-.~ SC; n+l -k

,,I ‘,+1-k -’ k]= 64742

Portanto, quando q= %3:872/

i

= 120,

D = 64742/ (442 x 120) = 0,279

E assim, o valor da estatistica do teste G:

Y = ./J?? (0,279 - 0,28209479) / 0,029985g8 =

- 0.66

9.3.2.2 0 teste de D’Agostino 6 recomendado para tamanhos de amostra ma iores

que 50; assim a Tabela 11, do Anexo 8, nao fornece n = 44. Uma extrapolaG:o sim

pies, entretanto, mostra bastante claramente que, para o nivel u = 0,05, o valor

de Y esta entre OS valores criticos da estatistica. Assim, nao se pode rejeitar

a hipotese de normalidade ao nivel escolhi.do.

IANExO A


NBR lOWB/lBBB 13

ANEXO A - FIGURAS

m-U In m+O FIGURA 1 - Pap1 da pmbabilidada normal

m+2u

IFIGURAZ


%I NBR 1053Bl19BB

a0

70

a0

so

40

30

20

10

5

3

2

I

FIGURA 2 - Grlitico de uma dria de obmnwhs em papal de pmbabilidade normal (dador na

Tab& 1 do Anexo BJ

/FlOURA 3


NBR 10!53B119BB 16

0 0.2 0.4 0.6 0.B 1.0

,,I,! ,,,,,,,,,, 1.2 1.4

FIGURA 3 -a) - Teste conjunto & e b2 (multidimcional - curves delineendo a regiQ crltica XI nlirel

a = 0.06 ‘A)

(A) Extraidas de:

BOWNANN, K.O., and SHENTON, L.R.: ‘Omnibus’ test contours for departures from

normality based on q, b2, Biometrika, 62, 1975, pp. 243250. /FlGURA 3 -bl


16 NBR 10636/1966

“2

(6) Extraidas de:

BOWMANN, K.O., and SHENTON, L.R.: 'Omnibus' teste contours for departures

from normality based on ~'5, b2, Biometrika, 62. 1975, pp. 243-250.

IANEXO B


NBR 10939/1999 17

ANEXO B - TABELAS

TABELA 1 - Rwultador + de uma drie de testes independentes do delparte em equipmnento rotacivo

e valores corrapondanm de bog ,O (10 x,J

k ‘k

lcl10 (10 Xk) ‘k

1

2

3 4

5

6 7

8

9 IO

0,200 0,301 393 0,330 0,519 10

0,445 0,648 16,7 0,490 0,690 23.3 0,780 0,892 30,o

0,920 0,964 36,7 0,950 0.978 43.3 0,970 0,987 so,0 1,040 1,017 56,7 1,710 1,233 63.3

11 2,220 1,346 70.7 12 2,275 1,357 76,7 13 3,650 1,562 83,3 14 7,000 1,845 90,o

15 8,800 1,944 96,7

lTABELA 2

TABELA 2 - Enatlstics de ordam esperadar (P kl psra 6 20

~TABELM 3,4 E 5

Target Target


NER 1053E/1966 ‘IQ

TABELA 3 - Profundidzda do arms de tr~ncos de maleim; drie ananjala de axwdo corn M valores cmscentes

de 50 obaewa@e~ independenta

1.25 1,35 1,40 I,50 I,55

1,60 I,75 1,75 1,85 1,95

2,05 2.60 2,lO 2.60

2,15 2,70 2,15 2,75 2,15 2,75

2,20 2,80 2,25 2,95 2,35 2,95 2,40 3,00 2,55 3.05

1

TABELA 4 - Sdrie de 35 observaqh indspendentes tug&as de terem sido afetadas par urns

variz@o na dispank das medifla

9.6 8,2 15,6 11,2 10,4 9,8 9,7 10,3 11.6 11,l

832 9'*1

lO,O 9,l IO,3 IO,7

12:1 12,6 11,9 10,8

9,2 lo,3 8,7 10.1

10,5 lo,9 9,8 10,7 10,o lo,9 6,4 8,8

TABELA 5 - Dimibu@lb dos resultados independentes de 1000 testm de mist&is

400 405 410 4 415 17 420 27

Centro Niimero de de

classe cases

425 430 :;

435 440 2 445 76

475 480

485 490 495

/TABELA 6


20 NBRlOSW1999

n+l Valores para n = 44 quantidades de ak e - -k

2

k

I

'k

I 520 2 556 z 616 561

5 635

6 669

87 606 692 9 704

10 707

11 711 12 713 13 i 714 14 719 15 727

16 17 ::i 18 744 19 745 20 750

21 776 22 777

%+l -k x -x n+l-k k ak

n+l-k

1074 554 1056 500 963 402 952 336 926 291

0,387 2 0.266 7 0;232 j 0,207 2 0,186 8

21,5 20,s 19,5 18,5 17,5

922 253 0,169 5 16,5 904 218 0,154 2 15,5 900 208 0,140 5 14,5 889 185 0,127 8 13,5 879 172 0,116 0 12,5

873 162 0,104 g 862 149 0,094 3 851 137 0,084 2 837 118 0,074 5 834 lo7 0,065 I

11,5 IO,5

25' 715

826 822 821 794 791

0,056 0 0,947 1 0,038 3 0,029 6 0,021 1

625

45:: 3;5 295

786 786

z:

I; 41

10 9

0,012 6 0,004 2

195 095


NBR lOBBB/lBBB 01

TABELA 7 -Tam de auimetri& 6 fractis de ordem P = 0.95 e o,BB(A)

7 ” P 0.95 0.99 *

400 450 500 550 600 650

0.95 0.99

a 0.99 1.42

9 0,97 I,41 10 0.95 ,,39 12 0,91 1.34 15 0,85 1,26 20 0.77 ,,,5

0.20 0,28 0,19 0,27 0,18 0.26 0,,7 0,24 0,16 0,23 0,16 0,22

25 30

3405 45 50

0,7, 1,06 700 0,,5 0,22 0,66 0,98 750 0.15 0,21 0,62 0,92 800 0.14 0,20 OS59 0,87 850 0,14 0,20 0,56 0,82 900 0.13 0,lV 0,53 0,79 950 0,,3 0,18

60

87: 90

100

125

0,49 0,72 1000 0.13 0,18 o,46 0,67 1200 0,12 0,16 0,43 0,63 1400 0,ll 0,,5 0,41 0,60 1600 0.10 0,14 0,39 0,57 1800 0,lO 0,,3 OS35 0,5, 2000 o,ov 0,13

150 On32 o,46 2500 0,08 0,ll

175 0,30 0,43 3000 0.07 0,lO 200 0,28 0,40 3500 0.07 0,lO 250 0925 0,36 4000 0,06 0,09 300 0,23 0,33 4500 0,06 0,0&l

350 0,21 0,30 5000 0,06 0,08

(A) Extraido de:

O’AGOSTINO, R.B. Transformation to normality

of the null distribution of g,, Biometrika.57,

1970, pp. 679-681.

PEARSON, E.S., and HARTLEY. H.O.

Biometrika Tables, Vol. 1, CambridgeUniversity

Press.

~ABELA 8


22 NBR 1063BllBBB

TABELA 8 - Tsste de curtofis. b I fractir de a&m P = 0.01.0,05,0,9!5 I) 0.99 I”

" P

8 1.21 1.46 9 1.35 1.53

10 1.39 1.56 12 1.46 1.64

3.70 3.86

z::; 4.52 4.80 5.00 5.20

15 20

:;

35

1.55 1.72 4.13 5.30 1.65 1.82 4.17 5.36 1.72 1 .Yl 4.16 5.30 1.79 1.98 4.11 5.21 1.84 2.03 4.10 5.13

:;

50 75

100

1.89 2.07 4.06 1.93 2,ll 4.00 1.95 2.15 3.99 2.08 2.27 3.87 2.18 2.35 3.77

5.04

44% 4:59 4.39

125 2.24 2.40 3.71 4.24 150 2.29 2.45 3.65 4.13 200 2.37 2.51 3.57 3.98 250 2.42 2.55 3.52 3.87 300 2.46 2.59 3.47 3.79

350 2.50 2.62 3.44 400 2.52 2.64 3.41 450 2.55 2.66 3.39 500 2.57 2.67 3.37 550 2.58 2.69 3.35

3.72

:*:: 3:60 3.57

600 2.60 2.70 3.34 3.54 650 2.61 2.71 3.33 3.52 700 2.62 2.72 3.31 3.50 750 2.64 2.73 3.30 3.48 800 2.65 2.74 3.29 3.46

850 2.66 2.74 3.28 3.45 900 2.66 2.75 3.28 3.43 950 2.67 !.76 3.27 3.42

1000 2.68 2.76 3.26 3.41

0,Ol 0.05 0.95 0,YY

(B) Extraidos de:

D'AGOSTINO, R.B., and TIETJEN,

G.L. Simulation probability

points of b2 for small samples,

Biometrika, 58, 1971, pp.66Y-672.

Biometrika Tables (lx. cit.). ITABELA 9


NBR lOB?aWlBBB 9-a

1 2

l

5

7 k r

1

6

Ii 9

10

6

a7

9 10

TABELA 9 - Taede Skapiro-Wilk, codicienter ak IW) nec.es%rios pars calradar I ntnlrtica Wtc)

1 2 3 4 5 I 6

0,560 1

0,331 5 0,226 0 0,142 9 0,069 5

21

0,464 3 0,318 5 0,257 8 0,211 9 0,173 6

D,139 9 0,103 2 D.080 4 0,053 0 0,026 3

31

1,422 0 1,292 1

1,247 5 1,214 5 1,187 4

I I

I I I

I

I

I I I I

I I ( I I

I

0,707 1 0,687 2 0,664 6 0,643 I 0,167 7 0,241 3 0,280 6

0,087 5

12 13 14 15 16

3,547 5 0,535 9 0,525 1 0,515 0 0,505 6 3,332 5 0,332 5 0,331 8 0,330 6 0,329 0 3,234 7 0,241 2 0,246 0 0,249 5 0,252 1 3,158 6 0,170 7 0,180 2 0,187 8 0,193 y 3,092 2 0,109 9 0,124 0 0,135 3 0,144 7

3, 030 3 0,053 9 0,072 7'0,088 0 0,100 5 0,024 0 0,043 3 0,059 3

0,019 6

- I -

22 23 24 25 26

1,459 0 0,454 2 0,449 3 0,445 0 0,440 7 1,315 6 0,312 6 0,309 8 0,306 9 0,304 3

1,257 1 0,256 3 0,255 4 0,254 4 0,253 3 1,213 1 0,213 9 0,214 5 0,214 8 0,215 1 1,176 4 0,178 7 0,180 7 0,182 2 0,183 6

1,144 3 0,148 0 0,151 2 0,153 9 0,156 3 1,115 1 0,120 1 0,124 5 0,128 3 0,131 6 1,087 8 0,094 1 0,099 7 0,104 6 0,108 y 1,001 8 0,069 6 0,076 4 0,082 3 0,087 6 1,036 8 0,045 9 0,053 Y 0,061 o 0,067 2

1,012 2 0,022 8 0,032 1 0,040 0,010 7 0,020

047 028 009

32 33 34 35 36

1,418 8 0,415 6 0,412 7 0,409 6 0,406 8 1,289 8 0,287 6 0,285 4 0,283 4 0,281 3 1,246 3 0,245 1 0,243 9 0,242 7 0,241 5 1,214 1 0,213 7 0,213 2 0,212 7 0,212 1 1,187 8 0,188 0 0,188 2 0,188 3 0,188 3

7 8

0,623 3 0,605 2 0,203 1 0,316 1 0,140 1 0,174 3

0.056 1

9 10

0,588 8 0,573 Y 0,324 4 0,329 1 0,197 6 0,214 1 0,094 7 0.122 4

0,039 9

17 18 19 20

0,496 8 0,488 t 0,480 8 0,473 4 0,327 3 0,325 ? 0,323 2 0,321 1 0,254 0 0,255 ! 0,198 8:0,202 i

0,256 1 0,256 5 0,205 9 0,208 5

0,152 4 0,158 j 0,164 1 0,168 6

0,110 9 0,119 j

0,072 5 0,083 i 0,035 9 f-y:; t

2

0,127 1 0,133 4 0,093 2 0,101 3 0,061 2 0,071 I 0,030 3 0,042 2

0,014 0~

27 28 29 30

0,436 6 0,432 8 0,429 1 0,425 4 0,301 8 0,299 2 0,296 8 0,294 4 0,252 2 0,251 C 0,249 9 0,248 7 0,215 2 0,215 1 0,215 0 0,214 8 0,184 8 0,185 j 0,186 4 0,187 o

0,158 4 0,160 I 0,161 6 0,163 o 0,134 6 0,137 2 0,139 5 0,141 5 0,112 8 0,116 2 0,119 2 0,121 y 0,092 3 0,096 5 0,100 2 0,103 6 0,072 8 0,077 8 0,082 2 0,086 2

,059 8 042 4 025 3

0,065 0 0,069 7 0,048 3 0,053 7 D,032 0 0,038 1 0,015 9 0,022 7

0,007 6

39 40

3,398 9 0,396 4 3;275 5 0,273 7 1,238 0 0,236 8 1,210 4 0,209 8 1,188 0 0,187 8

/continua


24 NBR 1063MS88

TABELA 9 - Teste da Shapiro-Wilk. codicienta ak (WI nscssshiir pan calcular a estathtica W (C)

la

6

; 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18

19 20

6

i 9 IO

11 12

13 14 15

16

17 18

19 20

21 22 23 24

25

,nt 7-

CC

inua@o I

,164 1 0,165 1 0,166 0 0,166 7

,143 3 0,144 9 0,146 3 0,147 5 ,124 3 0,126 5 0,128 4 0,130 1 ,106 6 0.109 3 0,111 8 0,114 0

,089 9 0,093 1 0,096 1 0,098 8

,073 9 0,077 7 ,058 5 0,062 9 ,043 5 0,048 5 ,028 9 0.034 4 ,014 4 0,020 6

0,006 8

0,081 2 0,084 4 0,066 9 0,070 6 0,053 0 0,057 2 0,039 5 0,044 1 0,026 2 0,031 4

0,013 1 0,018 7 0,006 2

41 42 43 44

,394 0 0,391 7 0,389 4 0,387 2 ,271 9 0,270 1 0,268 4 0,266 7

,235 7 0,234 5 0,233 4 0,232 3 8,209 1 0,208 5 0,207 8 0,207 2 ',I87 6 0,187 4 0,187 1 0,186 5

8,169 3 0,169 4 0,169 5 0,169 5 ,153 1 0,153 5 0,153 9 0,154 2

1,138 4 0,139 2 0,139 8 0,140 5 8,124 9 0,125 9 0,126 9 0,127 8 1,112 3 0,113 6 0,114 9 0,116 o

,100 4 0,102 0 0,103 5 0,104 9 ,089 1 0,090 9 0,092 7 0,094 3 ,078 2 0,080 4 0,082 4 0,084 2

8,067 7 0,070 1 0,072 4 0,074 5

,057 5 0,060 2 0,062 8 0,065 1

1,047 6 0,050 6 0,053 4 0,056 0

,037 9 0,041 1 0,044 2 0,047 1 1,028 3 0,031 8 0,035 2 0,038 3 1,018 8 0,022 7 0,026 3 0,029 6 1,009 4 0,013 6 0,017 5 0,021 I

0,004 5 0,008 7 0,012 6 0,004 2

l-

0,167 3 0,167 8 0,168 3 0,148 7 0,149 6 0,150 5 0,131 7 0,133 I 0,134 4 0,116 0 0,117 9 0.119 6 0,101 3 0,103 6 0,105 6

0,087 3 0,090 0 0,092 4 0,073 9 0,077 0 0,079 a 0,061 0 0,064 5 0,067 7 0,048 4 0,052 3 0,055 9 0,036 1 0,040 4 0,044 4

0,023 9 0,028 7 0,033 1 0,011 9 0,017 2 0,022 0

0,005 7 0,011 0

45 46 47

0,385 0 0,383 0 0,380 8 0,265 1 0,263 5 0,262 0 0,231 3 0,230 2 0,229 I 0,206 5 0.205 a 0,205 2 0,186 5 0,185 2 0,185 9

0,169 5 0,169 5 0,169 5 0,154 5 0,154 8 0,155 o 0,141 0 0,141 5 0,142 0 0,128 6 0,129 3 0,130 0 0,117 0 0,118 0 0,118 9

0,106 2 0,107 3 0,108 5 0,095 Y 0,097 2 0,098 6 0.086 0 0,087 6 0,089 2 0,076 5 0,078 3 0,080 I 0,067 3 0,069 4 0,071 3

0,058 4 0,060 7 0,062 8 0,049 7 0.052 2 0,054 6 0,041 2 0,043 9 0,046 5 0,032 8 0,035 7 0,038 5 0,024 5 0,027 7 0,030 7

0,016 3 0,019 7 0,022 y 0,008 1 0,011 8 0,019 3

0,003 9 0,007 6

0,168 6 0,168 g 0,169 I

0,151 3 0,152 0 0,152 6

0,135 6 0,136 6 0,137 6 0,121 1 0,122 5 0,123 7 0,107 5 0,109 2 0,110 a

0,094 7 0,096 7 0,038 6 0,082 4 0,081 8 0,087 0 0,070 6 0,073 3 0,075 9 0,059 2 0,062 2 0,065 1 0,048 1 0;05'1 5 0,054 6

0,037 2 0,040 9 0,026 4 0,030 5 0,015 8 0,020 3 q,oos 3 0,010 1

0,044 4 0,034 3 0,024 4 0,014 6 0,004 g

48 49 50

0,378 9 0,260 4 0,228 1 0,204 5

0,185 5

“,*::i ; 01227 1 0.203 8 0,185 1

0,375 1 0,257 4 0,226 0 0,203 2 0,184 7

0,169 3 0,169 2 0,169 I 0,155 1 0,155 3 0,155 4 0,142 3 0,142 7 0,143 0 0,130 6 0,131 2 0,131 7 0,119 7 0,120 5 0,121 2

0,109 5 0,110 5 0,111 3 0,033 8 0,101 0 0,102 0 0,090 6 0,091 3 0,093 2 0,081 7 0,083 2 0,084 6 0,073 1 0,074 8 0,076 4

0,064 8 0,066 7 0,068 5 0,056 8 0,058 8 0,060 8 0,048 9 0,051 1 0,053 2 0,041 1 0,043 6 0,045 9 0,033 5 0,036 I 0,038 6

0,025 9 0,428 8 0,018 5 0,021 5 0,011 1 0,014 3 0,003 5 0,007 1

0,031 4 0,024 4 0,017 4 0,010 4 0,003 5

Extraidos de:

SHAPIRO, S.S., and WILK, M.B. An analysis of variance test for normality (complete samples), Biometrika,'52, 19655, pp. 591-611.


NBR 10539/1999 25

TABELA 10 - Tsrte da Shapiro-Wilk. Fractis da estatistica W de ordcm P = 0,Dl e 0,05 ‘D’

Isi ” 0,Ol 0,05

0,753 0,767 0.687 0,748 0,686 0,762

6

87 9 10

0,713 0,788 0,730 0,803 0,749 0,818 0,764 0,829 0,781 0,842

11 0,792 0,850 12 0,805 0,859 13 0,814 0,866 14 0,825 0,874 15 0,835 0,881

16 0,844 0,887 17 0,851 0,892 18 0,858 0,897 19 0,863 0,901 20 0,868 0,905

21 0,873 0,908 22 0,878 0,911 23 0,881 0,914 24 0,884 0,916 25 0,888 0,918

*

26 27 28

:z

41

:: 44 45

:; 48 49 50

0,Ol 0,05

0,891 0,920 0,894 0,923 0,896 0,924 0,898 0,926 0,900 0,927

0,902 0,929 0,904 0,930 0,906 0,931 0.908 0,933 0,910 0,934

0,912 0,935 0,914 0,936 0,916 0,938 0,917 0,939 0,919 0,940

0,920 0,941 0,922 0,942 0,923 0,943 0,924 0,944 0,926 0,945

0,927 0.945 0,928 0,946 0,929 0,947 0,929 0,947 0,930 0,947

(D) Extraidos de:

SHAPIRO, S.S., and WILK, M.B. (loc.cit.).

~TABELA ii


26 NBR 10538/1988

TABELA 11 - Teste de D’Agostino Fractis da e%aUstica Y de ordam P = 0,005,0,025,0.975 e

o,wdE

-3,91 -2,74 1,06 1.24

-3,81 -2,68 I,13 1.34 -3.73 -2,64 I,19 1.42

-3,67 -2,60 1,24 1,48

90 100

150 200 250

-3,61

:;‘;: -3130 -3,23

-2,57 1,28 I,54 -2,54 1,31 I,59 -2,45 1,42 I,75 -2,39 I,50 1 ,85 -2.35 I,54 1,93

300 -3,lJ -2,32 I,58 I,98 350 -3,13 -2,29 1,61 2.03 400 -3,09 -2,27 I,63 2.06 450 -3,06 -2,25 1,65 2,09 500 -3,04 -2,24 1967 2,ll

550 -3,02 -2,23 1,68 2,14 600 -3,00 -2,22 I,@ 2915 650 -2,98 -2,21 I,70 2,lJ 700 -2,97 -2,20 I,71 2,18

750 -2,96 -2,19 I,72 2.20

800 -2,94 -2,18 1,73 2,21

850 -2,93 -2,18 I,74 2.22 900 -2,92 -2,lJ I,74 2,23 950 -2,91 -2,16 I,75 2,24 1000 -2,91 -2.16 1.75 2925

0,005 0,025 0,975 0,995

(E) Extraidos de:

O'AGOSTINO, R.B. An omnibus test for normality for moderate and large size samples, Biometrika,

58, 1971, pp. 341-348.

O'AGOSTINO, R.B. Small sample probability points

for the D-Test of normality, Biometrika. 59,1972, pp.219.221.

nbr 10538 - 1988 - interpretação estatística de dados - test

Documents