estatística i aula 4 -...

Estatística I

Aula 4

Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

PROBABILIDADE

Antes...

• ... de estudarmos probabilidades é preciso saber

quais são as possibilidades de um determinado

fenômeno/experimento

• Precisamos estudar Técnicas de Contagem!!!

• O estudo de “o que é possível”

• Obs.: esse conteúdo está no final da Unidade 5 da sua apostila!!

Diagrama de árvore• Marcos e Érico disputam um torneio de tênis. O primeiro que

ganhar dois jogos seguidos, ou que ganhar um total de três jogos, vence o torneio. O diagrama dos resultados possíveis do torneio é:

M

E

M

E

M

E

M

E

M

E

M

E

M

E

M

E

M

E

Resultados Possíveis:

MM

MEMM

MEE

MEMEM

MEMEE

EE

EMM

EMEE

EMEMM

EMEME

10 resultados possíveis

Multiplicação de Escolhas

• Os pacientes de um estudo médico são classificados pelo

grupo sanguíneo A, B, AB ou O, e pela pressão sanguínea

alta, baixa ou normal. De quantas maneiras pode um paciente

ser classificado?baixa

normal

alta

baixa

normal

alta

baixa

normal

alta

baixa

normal

alta

A

B

AB

O

R: Haverá 4 x 3 = 12 classificações

possíveis.

Se uma escolha consiste

em dois passos, o

primeiro dos quais pode

ser realizado de m

maneiras, e para cada

uma dessas o segundo

passo pode ser realizado

de n maneiras, então a

escolha total pode ser

feita de m . n maneiras

Multiplicação de Escolhas (Generalizada)

Se uma escolha consiste em k passos, o primeiro

dos quais pode ser realizado de n1 maneiras, para

cada uma dessas o segundo passo pode ser

realizado de n2 maneiras, para cada combinação de

escolhas feitas nos dois primeiros passos o terceiro

passo pode ser realizado de n3 maneiras, ..., e para

cada uma dessas combinações de escolhas nos

primeiros k-1 passos o k-ésimo passo pode ser

realizado de nk maneiras, então a escolha total pode

ser feita de n1.n2.n3.....nk maneiras.

Exemplo 1

• Um vendedor de automóveis novos oferece um

carro em quatro estilos, dez acabamentos e três

potências. De quantas maneiras diferentes pode ser

encomendado um desses carros?

– Solução:

– Como n1 = 4, n2 = 10 e n3 = 3, há 4 x 10 x 3 = 120 maneiras

diferentes de encomendar um desses carros.

Exemplo 2

• Continuando com o exemplo anterior, quantas

escolhas existem se o comprador também precisar

escolher o carro com transmissão automática ou

manual e com ou sem ar-condicionado?

– Solução:

– Como n1 = 4, n2 = 10, n3 = 3, n4 = 2 e n5 = 2, há 4 x 10 x 3 x 2 x

2 = 480 escolhas diferentes.

Notação Fatorial

• É o produto de todos os inteiros positivos menores

do que ou iguais ao inteiro positivo n é denominado

“fatorial de n” e denotado por n!. Assim

– 1! = 1

– 2! = 2 x 1

– 3! = 3 x 2 x 1

– 4! = 4 x 3 x 2 x 1

– .

– .

– .

– n! = n x (n-1) x (n-2) x .... x 3 x 2 x 1

Arranjos

• Permite contar de quantas formas diferentes,

levando em consideração a ordem, posso escolher r

objetos dentre n objetos distintos.

– De quantas formas posso escolher duas das cinco vogais a, e, i,

o, u?

• ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue, ui, uo

• Equivale a multiplicar 5 x 4, pois tenho cinco opções na primeira

escolha e quatro opções para a segunda escolha

– Dentre 20 candidatas a Miss de quantas formas podem ser

escolhidas o primeiro e segundo lugar?

• Há 20 opções para o primeiro lugar e depois 19 para o segundo

lugar, logo, há 20 x 19 = 380 possíveis resultados.

– De quantas maneiras os 48 membros de um sindicato podem

escolher um presidente, um vice-presidente, um secretário e um

tesoureiro?

• 48 x 47 x 46 x 45 = 4.669.920 maneiras

Arranjos

• Generalizando e encontrando uma expressão para o cálculo:

)!(

!),(

)!(

)!()1)...(2)(1()1)...(2)(1(

)!(

!)1)...(2)(1(),(

rn

nrnA

rn

rnrnnnnrnnnn

quedefatodovemfórmuladapartesegundaa

rn

nrnnnnrnA

Permutações

• São um caso especial dos arranjos em que os n

objetos distintos são tomados todos de uma só vez,

ou seja, r = n.

!),(

1

!

!0

!

)!(

!),(

)!(

!),(

nnnP

nn

nn

nnnP

rn

nrnP

Exemplo 3

• Quantas permutações de três objetos, a, b e c

existem?

– 3! = 3x2x1=6

– abc acb bac bca cab cba

Exemplo 4

• De quantas maneiras oito professores substitutos

podem ser distribuídos para lecionar oito turmas de

um curso de Economia?

– Solução:

– Tomando n = 8 na fórmula P (n,n) = n! = 8! = 40.320 maneiras.

Amostras Ordenadas

• Muitos exemplos de probabilidade estão ligados à escolha de

uma bola de uma urna contendo n bolas (ou cartas de baralho,

ou pessoas de uma população). Quando escolhemos uma bola

após outra da urna, digamos r vezes, chamamos a escolha da

amostra ordenada de tamanho r. Consideramos dois casos:

– (i) Amostragem com reposição: aqui a bola é recolocada na urna, antes

da escolha da próxima. Ora, já que há n diferentes maneiras de

escolher cada bola, existem, pelo princípio fundamental da contagem:

n.n.n.n...n = nr amostras ordenadas diferentes, com reposição, de

tamanho r.

– (ii) Amostragem sem reposição: aqui a bola não é recolocada na urna

antes da escolha da próxima. Assim, não há repetição na amostra

ordenada. Em outras palavras, uma amostra ordenada, sem reposição,

de tamanho r é simplesmente uma r-permutação dos objetos da urna.

Ou seja, há

amostras ordenadas diferentes, sem reposição, de tamanho r de uma

população de n objetos.

)!(

!)1)...(2)(1(),(

rn

nrnnnnrnA

Exercícios

1. Se não são permitidas repetições

1. Quantos números de 3 dígitos podem ser formados dos seis

dígitos 2, 3, 5, 6, 7 e 9?

2. Quantos destes são menores que 400?

3. Quantos são pares?

4. Quantos são ímpares?

5. Quantos são múltiplos de 5?

Dica: em cada caso desenhe três caixas para

representar um número arbitrário, e então escreva, em cada

caixa, o número de dígitos que podem ser colocados nela.

Exercícios - Solução

• Se não são permitidas repetições

1 - A caixa à esquerda pode ser preenchida de 6 maneiras; a seguir, a do meio pode ser preenchida de 5 maneiras; e, finalmente, a da direita pode ser preenchida de 4 maneiras:

Assim, existem 6 x 5 x 4 = 120 números

2 – A caixa da esquerda pode ser preenchida somente de 2 maneiras, por 2 ou 3, já que cada número deve ser menor que 400; a caixa do meio pode ser preenchida de 5 maneiras; e, finalmente, a da direita pode ser preenchida de 4 maneiras:


3 - A caixa da direita pode ser preenchida somente de 2 maneiras, por 2 ou 3, já que os números devem ser pares; a da esquerda pode ser preenchida de 5 maneiras; e, finalmente a do meio pode ser preenchida de 4 maneiras:


6 5 4

2 5 4

5 4 2


• Se não são permitidas repetições

4 – A caixa da direita pode ser preenchida somente de 4 maneiras,

por 3, 5, 7 ou 9, já que os números devem ser ímpares; a da

esquerda pode ser preenchida de 5 maneiras; e, finalmente, a

do meio pode ser preenchida de 4 maneiras:


5 – A caixa da direita pode ser preenchida somente de 1 maneira,

por 5, já que os números devem ser múltiplos de 5; a da

esquerda pode ser preenchida de 5 maneiras; e, finalmente, a

do meio pode ser preenchida de 4 maneiras:


5 4 4

5 4 1


2 - De quantas maneiras um grupo de 7 pessoas pode

se dispor em uma fila?

Solução:

As sete pessoas podem se dispor em uma fila de

7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = maneiras


3 - (i) De quantas maneiras 3 rapazes e 2 moças podem se sentar

em uma fila? (ii) De quantas maneiras eles podem se sentar

em uma fila se os rapazes devem ficar juntos e as meninas

também? (iii) De quantas maneiras eles podem se sentar em

uma fila, se somente as meninas devem sentar juntas?

Solução:

(i) As cinco pessoas podem se sentar em uma fila de 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5!

= 120 maneiras

(ii) Existem duas maneiras de distribuí-los segundo o sexo: RRRMM ou

MMRRR. Em cada caso, os rapazes podem se sentar de 3 x 2 x 1 = 3! = 6

maneiras e as moças de 2 x 1 = 2! = 2 maneiras. Então existem, ao todo,

2 x 3! x 2! = 2 x 6 x 2 = 24 maneiras

(iii) Existem 4 maneiras para distribuí-los segundo o sexo: MMRRR,

RMMRR, RRMMR, RRRMM. Note que cada maneira corresponde ao

número 0, 1, 2 ou 3, de rapazes sentados à esquerda das moças. Em

cada caso, os rapazes podem se sentar de 3! maneiras e as moças de 2!

maneiras. Portanto existem, ao todo, 4 x 3! x 2! = 4 x 6 x 2 = 48 maneiras


4 - Seja uma urna contendo 8 bolas. Ache o número de

amostras ordenadas de tamanho 3. (i) com

reposição (ii) sem reposição.

Solução:

(i) Cada bola pode ser escolhida de 8 maneiras na amostra ordenada,

então, existem 8 x 8 x 8 = 83 = 512 amostras com reposição

(ii) A primeira bola, na amostra ordenada, pode ser escolhida de 8

maneiras, a seguinte de 7 e a última, de 6 maneiras. Assim, existem 8 x 7

x 6 = 336 amostras sem reposição.

Combinações

• Quando a ordem na qual os elementos são escolhidos não

importa

• Para entender a fórmula que se aplica a esses casos vamos

analisar os arranjos de 3 letras escolhidas entre a, b, c e d.

• Formamos A(4,3) = 4!/1! = 4x3x2 = 24 possíveis escolhas

abc acb bac bca cab cba

abd adb bad bda dab dba

acd adc cad cda dac dca

bcd bdc cbd cdb dbc dcb

São permutações das mesmas 3 letras da primeira

coluna. 3! = 6 permutações em cada linha.

Essas são as combinações. O número de

combinações multiplicado por 3! é igual ao

número de arranjos de 4 letras 3 a 3.

Combinações

)!(!

!),(

)!(!

!

!

),(),(

),(!),(

4!3

)3,4()3,4()3,4(!3)3,4(

rnr

nrnC

rnr

n

r

rnArnC

rnCrrnA

ACouAC

Exemplo 5

• De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode escolher três

livros de uma lista de dez best-sellers, supondo que é

inconsequente a ordem de escolha dos três livros?

Solução:

Substituindo n = 10 e r = 3 na expressão de C(n,r)

120835!723

!78910

!7!3

!10)3,10(

)!(!

!),(

C

rnr

nrnC

maneiras

Exemplo 6

• De quantas maneiras diferentes o diretor de um laboratório de

pesquisa pode escolher dois químicos dentre sete candidatos e

três físicos dentre nove candidatos?

Solução:

Os dois químicos podem ser escolhidos de C(7,2) maneiras e os três físicos

podem ser escolhidos de C(9,3) maneiras, de modo que pela multiplicação de

escolhas, todos os cinco juntos podem ser escolhidos de

17648421!623

!6789

!52

!567

!6!3

!9

!5!2

!7)3,9()2,7(

CC

maneiras

Exercícios

1. De quantas maneiras uma comissão formada de 3

homens e 2 mulheres pode ser escolhida dentre 7

homens e 5 mulheres?

2. Um aluno precisa responder a 8 das 10 questões

em um exame.

1. Quantas alternativas ele tem?

2. Quantas alternativas, se ele deve responder às 3 primeiras

questões?

3. Quantas, se deve responder ao menos 4 das 5 primeiras

questões?


1. De quantas maneiras uma comissão formada de 3

homens e 2 mulheres pode ser escolhida dentre 7

homens e 5 mulheres?

Solução:

Os três homens podem ser escolhidos dentre os 7 de C(7,3)

maneiras e as 2 mulheres, dentre as 5, de C(5,2) maneiras. Logo,

a comissão pode ser escolhida de

3501035!32

!345

!423

!4567

!3!2

!5

!4!3

!7)2,5()3,7(

CC

maneiras


2 - Um aluno precisa responder a 8 das 10 questões em um

exame.

1 - Quantas alternativas ele tem?

Solução: as questões podem ser selecionadas de C(10,8) maneiras, ou

seja, 45 maneiras

2 - Quantas alternativas, se ele deve responder às 3 primeiras questões?

Solução: Se ele responde às 3 primeiras questões, então pode escolher

as outras 5 questões, dentre as 7 últimas, de C(7,5), ou seja de 21

maneiras.

4595!82

!8910

!2!8

!10)8,10(

C

2137!52

!567

!2!5

!7)5,7(

C


2 - Um aluno precisa responder a 8 das 10 questões em um

exame.

3 - Quantas, se deve responder ao menos 4 das 5 primeiras questões?

Solução: Se responder a todas as 5 primeiras questões, então pode

escolher as outras 3, dentre as cinco últimas de C(5,3) = 10 maneiras.

Por outro lado, se responder somente a 4 das 5 primeiras questões, então

ele pode escolher estas 4 de C(5,4) = 5 maneiras e as outras 4

questões, dentre as 5 últimas, de C(5,4) = 5 maneiras; logo, ele pode

escolher as 8 questões de 5 x 5 = 25 maneiras. Assim, tem um total de

35 escolhas.

1025!32

!345

!2!3

!5)3,5(

C

2555!41

!45

!41

!45

!4!1

!5

!4!1

!5)4,5()4,5(

CC

No total 25 + 10 = 35 maneiras de escolher

Probabilidade – Definições Prévias

• Experimento Aleatório: é um experimento cujo

resultado final é desconhecido “a priori”, e que se

repetido um grande número de vezes, apresenta

uma certa estabilidade quanto ao conjunto final dos

resultados obtidos

Lei dos Grandes Números

Se determinada situação, experimento ou tentativa é

repetida um grande número de vezes, a proporção de

sucessos tenderá para a probabilidade de que um dado

resultado qualquer seja um sucesso.


• Espaço Amostral (Ω): é o conjunto que contém

todos os possíveis resultados de um experimento

aleatório.

– O experimento aleatório lançamento de um dado tem como

espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

– O experimento aleatório retirada de uma carta do baralho para

observação do naipe tem como espaço amostral Ω = {copas,

ouros, paus, espadas}

• Evento: é todo e qualquer subconjunto do espaço

amostral Ω

– O evento pode ser, na jogada do dado:

• Obter no. par, o que dá o subconjunto Epar = {2, 4, 6}

• Obter no. ímpar, o que dá o subconjunto Eimpar = {1, 3, 5}

– Na retirada da carta do baralho obter um paus E = {paus}


• Evento Complementar E: são os demais elementos do espaço amostral que não fazem parte do evento E.– O evento complementar de Epar é {1, 3, 5}

– Usando os diagramas de conjuntos visualizamos

• Evento União: quando o evento envolve duas ou mais características simultâneas– A união dos eventos “menor que cinco” e “ser número par”:

• Epar = {2, 4, 6} U Emenor que cinco = {1, 2, 3, 4} resulta no evento

Epar U Emenor que cinco = {1, 2, 3, 4, 6}

O conjunto tem todos os elementos que pertencem a um ou outro evento

E

Ω

E


• Evento Intersecção: quando os eventos ocorrem

simultaneamente.

– A a intersecção dos eventos “menor que cinco” e “ser número

par”:

• Epar = {2, 4, 6} U Emenor que cinco = {1, 2, 3, 4} resulta no evento

Epar ∩ Emenor que cinco = {2, 4}

O conjunto tem os elementos que têm as duas características

simultaneamente

• Eventos Mutuamente Exclusivos: quando os eventos

não podem ocorrer simultaneamente, ou seja, sua

intersecção é o conjunto vazio

– Os eventos na jogada do dado “é par” e “é impar” são

mutuamente exclusivos pois não há elementos em comum nos

dois conjuntos. A intersecção é o conjunto vazio.

Probabilidade

• O conceito clássico de Probabilidade

Se há n possibilidades igualmente prováveis, das quais

uma deve ocorrer, e s são consideradas como favoráveis,

ou então um “sucesso”, a probabilidade de um “sucesso”

é de s/n.

Exemplos

• Qual a probabilidade de se tirar um ás de um baralho bem

misturado de 52 cartas?

– Solução: por “bem misturado” queremos dizer que cada carta têm a

mesma chance de ser tirada, podendo, portanto, aplicar-se o conceito de

probabilidade clássica. Como há s = 4 ases entre as n = 52 cartas, a

probabilidade de tirar um ás é:

• Qual a probabilidade de obter um 3, um 4, um 5 ou um 6 numa

jogada de um dado equilibrado?

– Solução: por “equilibrado” queremos dizer que cada face do dado tem a

mesma chance de aparecer, podendo, portanto, aplicar-se o conceito de

probabilidade clássica. Como s = 4 e n = 6, vemos que a probabilidade

procurada é:

13

1

52

4

n

s

3

2

6

4

n

s

Exemplos

• Se K representa “cara” e C representa “coroa”, os oito

resultados possíveis de três jogadas de uma moeda equilibrada

são KKK, KKC, KCK, CKK, CCK, CKC, KCC e CCC. Quais são as

probabilidades de obter duas caras ou três caras?

– Solução: novamente, moeda “equilibrada” significa que cada face da

moeda tem a mesma chance de aparecer, podendo, portanto, aplicar-se

o conceito de probabilidade clássica. Contando as possibilidades,

vemos que para duas caras temos s = 3 e n = 8 e que para três caras

temos s = 1 e n = 8. Assim, a probabilidade de obter duas caras

é e a de obter três caras é .

8

1

n

s8

3

n

s

Exemplos

• Se três de um grupo de vinte levantadores de peso têm usado

esteróides anabolizantes e quatro quaisquer deles são testados

para o uso de esteóides, qual é a probabilidade de que

exatamente um dos três levantadores de peso do grupo seja

incluído no teste?

– Solução: Há maneiras de

escolher os quatro levantadores de peso a serem testados e essas

possibilidades podem ser consideradas igualmente prováveis em virtude

da aleatoriedade da escolha. O número de resultados “favoráveis” é o

número de maneiras pelas quais podemos escolher um dos três

levantadores de peso que tem usado esteóides e três dos 17

levantadores de peso que não têm usado esteóides, a saber,

Segue que a probabilidade de pegar exatamente um dos levantadores

de peso que tem usado esteróides é:

845.4234

17181920

!16!4

!20)4,20(

C

040.26803)3,17()1,3( CCs

19

8

845.4

040.2

n

s

A desvantagem da probabilidade clássica...

• ... é a sua aplicabilidade limitada, porque em poucas

situações da vida prática as possibilidade podem ser

consideradas como igualmente prováveis. Isso

ocorre, por exemplo, se quisermos saber se uma

experiência irá corroborar ou refutar uma nova

teoria; se uma expedição será capaz de localizar um

caso de um navio afundado; se o desempenho de

uma pessoa justificará um aumento salarial; se o

índice da bolsa de valores terá alta ou queda.

• Dentre os diversos conceitos de probabilidade, o de

maior uso é a....

Interpretação Frequencial da Probabilidade

• Ou interpretação experimental

• Se dissermos que há uma probabilidade de 0,78 de

um avião da linha São Paulo – Salvador chegar no

horário, queremos dizer que esses vôos chegam no

horário em 78% das vezes.

A probabilidade de um evento (acontecimento ou

resultado) é a proporção do número de vezes em que

eventos do mesmo tipo ocorrem a longo prazo.

Exemplos

• Uma pesquisa conduzida há poucos anos mostrou que dentre

8.319 mulheres de faixa etária dos 20 aos 30 anos que casaram

novamente depois do divórcio, 1.358 voltaram a se divorciar.

Qual é a probabilidade de uma mulher divorciada da faixa etária

dos 20 aos 30 anos divorciar-se novamente?

– Solução: no passado isso ocorreu 1.358/8.319 x 100 = 16,3% das

vezes, de modo que podemos usar 0,163 como uma estimativa da

probabilidade solicitada.

• Os registros indicam que 34 de 956 pessoas recentemente

visitaram a África Central contraíram malária. Qual é a

probabilidade de que uma pessoa que recentemente visitou a

África Central não tenha contraído malária?

– Solução: como 956 – 34 = 922 das 956 pessoas não contraíram

malária, estimamos que a probabilidade solicitada é de

aproximadamente 922/956 = 0,96.Mas será que

probabilidade

s estimadas

dessa maneira

são

confiáveis???

Lei dos Grande Números

• Mais a frente veremos técnicas para medir a

confiabilidade da estimativa, por ora...

• ... o teorema denominado Lei dos Grandes Números

nos diz que

• entretanto, o teorema também conhecido como “lei

das médias” refere-se a proporções de sucessos no

longo prazo, e quase nada tem a dizer sobre

qualquer experimento isolado.

A probabilidade de um evento (acontecimento ou

resultado) é a proporção do número de vezes em que

eventos do mesmo tipo ocorrem a longo prazo.

Como seria possível

testar a veracidade

desta lei ???

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