estatÍstica - aniciobechara.files.wordpress.com · 1 estatÍstica introduÇÃo: durante nosso...
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ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO:
Durante nosso cotidiano, quando falamos em estatística, lembramos de
números representados em tabelas ou gráficos. Contudo, a estatística
representa uma parte da matemática aplicada que visa observação,
classificação e análise de acontecimentos grupais.
Os métodos estatísticos são aplicados no cotidiano e em todas as ciências.
Pode-se dividir a estatística em três áreas: estatística descritiva, probabilidade
e inferência (estimar valores para todos os indivíduos, pesquisando apenas
alguns) estatística.
DEFINIÇÃO DA ESTATÍSTICA
Segundo Crespo (2000), A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada
que fornece métodos para coleta, organização, análise e interpretação de
dados e para serem utilizados na tomada de decisões.
MÉTODOS ESTATÍSTICOS:
1) Método experimental: devemos manter constantes todos os fatores, menos
um.
2) Método estatístico: todas as causas envolvidas no processo são
consideradas como variável. Quando uma empresa lança um determinado
produto no mercado, ela verifica, inicialmente, a viabilidade, ou não do
lançamento.
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
Para empregar o método estatístico, devemos utilizar cinco fases na seguinte
ordem:
1a) Coleta de dados.
2ª) Críticas dos dados.
3ª) Apuração dos dados.
4ª) Apresentação dos dados.
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5ª) Análise dos dados.
1a) Coleta de Dados: definido o problema, passamos a coletar os dados
através de informações já coletadas por outro indivíduo (dados secundários),
ou dados coletados pelo próprio individuo (dados primários).
Os dados diretos podem ser classificados em relação ao fator tempo como:
contínuo (nascimento); periódico (censo demográfico) e ocasional
(pesquisas eleitorais).
2a) Crítica dos Dados: os dados obtidos devem ser cuidadosamente
criticados, para evitar falhas que venham influenciar nos resultados. Essas
críticas podem ser externa (erros por parte do informante) ou interna
(observar os elementos originais).
3a) Apuração dos Dados: É a condensação e tabulação dos dados.
4a) Apresentação dos dados: pode ser através de tabelas dos dados ou
apresentação gráfica.
5a) Análise dos resultados: considerada a fase mais importante, pois está
ligada ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade é descrever o
fenômeno (estatística descritiva). A interpretação dos dados que se
fundamenta na teoria da probabilidade, denominamos de estatística indutiva
ou inferencial.
VARIÁVEIS
Denominamos variável ao conjunto de resultados possíveis de um fenômeno,
após sucessivas medidas.
Imagine um estudo sobre evasão familiar na agricultura realizado por um
pesquisador. As variáveis serão: idade, número de membros da família,
idade, cor dos cabelos, altura dos indivíduos, sexo etc. É importante observar
a escolha das variáveis, pois, pra essa pesquisa, a cor dos cabelos não tem
relevância nenhuma.
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TIPOS DE VARIÁVEIS
1a) Variável Qualitativa
Os dados qualitativos apresentam valores expressos por predicados como:
sexo, cor da pele etc.
A variável qualitativa apresenta dois tipos;
a) Variável Qualitativa Nominal: os valores são distribuídos em categorias
sem qualquer ordem. Por exemplo: sexo (masculino, feminino),cor dos
cabelos etc.
b) Variável Qualitativa Ordinal: os valores são distribuídos em categorias
que têm uma ordem. Por exemplo: escolaridade (Analfabeto, Educação
Infantil, Ensino Fundamental, Ensino Médio, Universitário).
20) VARIÁVEL QUANTITATIVA
Os dados resultam de uma contagem ou de uma mensuração.
As variáveis quantitativas quando são identificadas por números se dividem
em Contínua e Discreta.
As variáveis quantitativas Contínuas são aquelas que assumem qualquer
valor (inteiro, fracionário etc.), Por exemplo: peso de uma pessoa.
As variáveis quantitativas Discretas resultam de contagem (números
naturais). Por exemplo: número de alunos de uma turma (1, 2, 3, ...)
QUADRO 1- COMPARAÇÕES ENTRE TIPOS DE VARIÁVEIS
População Variável quantitativa
contínua
Variável quantitativa
discreta
Variável qualitativa nominal
Variável qualitativa
ordinal
Estudantes Idades, pesos N0 de paraense sexo Grau de
escolaridade
Automóveis Velocidade N0 de defeitos cores Grau de
luxuosidade
Eletrodoméstico Valor em R$ n0 de ofertas Caro ou barato Qualidade do
produto
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ESCALAS ESTATÍSTICAS
Definição: são séries de unidades que representam o grau de variação da
dimensão que esta sendo medida. Por exemplo: medição dos pesos dos
atletas de um clube de futebol profissional (kg). Quando há comercialização
de bovinos, utiliza-se como escala a arroba (15 kg) etc.
TIPOS DE ESCALAS
10) ESCALA NOMINAL
As variáveis são divididas em classes segundo uma ou mais características.
São usadas em variáveis qualitativas, como: tipos sanguíneos, credo religioso
etc.
NOTAS:
1) fi representa a freqüência (ocorrência) de cada clube.
2) porcentagem (%) = divide o número de gremistas pelo total de
entrevistados multiplicando o resultado por 100.
20) ESCALA ORDINAL
As escalas ordinais podem ser construídas através de Númerais (0, 1, 2, 3, ...)
ou de Ranking, como da FIFA em relação as seleções de futebol profissional.
30) ESCALA INTERVALAR
Essas escalas são usadas quando se deseja comparar intervalos e medir o
quanto uma preferência encontra distante da outra.
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40) ESCALA DE RAZÃO
Das escalas numéricas é a mais importante, como exemplos temos: peso,
altura etc.
PROPORÇÕES E PORCENTAGENS
Servem para fazer comparações entre vários grupos. Observe a tabela
abaixo:
Obs.: calculadas as razões, verifica-se que na turma A, proporcionalmente, tem mais
Paysandu que na turma B. Já, na turma A, proporcionalmente, tem menos botafogo que na
turma B
AMOSTRAGEM - POPULAÇÃO:
Na Estatística, define-se população, ou universo, como o conjunto dos
elementos que têm características comuns, que podem ser contadas,
pesadas, medidas, ordenadas de alguma forma e que sirvam de base para as
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propriedades que se quer investigar. São todos os componentes (ou objetos)
do grupo em estudo.
Ex.:
a) Todos os eleitores do Estado do Pará.
b) Todos os alunos matriculados na Universidade da Amazônia, no ano de 2016.
AMOSTRA: é um conjunto de elementos extraídos da população.
Apresentando as mesmas características da população da qual foi extraída.
Obs.: Quando se consideram todos os elementos de uma população na
pesquisa, realiza-se um censo. Quando se analisa uma parte desta população
(amostra), realiza-se uma pesquisa por amostragem.
- Razões que levam os pesquisadores a trabalhar com amostragens:
1ª) Economia 2ª) Tempo 3ª) Confiabilidade dos dados 4ª) operacionalidade
- Razões que levam os pesquisadores a não trabalhar com amostragens:
1ª) População pequena 2ª) Característica de fácil mensuração
3ª) Necessidade de alta precisão.
- TIPOS DE AMOSRAGEM: probabilística e a não probabilística.
TAMANHO DE UMA AMOSTRA
- O tamanho mínimo de uma amostra aleatória estratificada proporcional para
ter confiabilidade em seus resultados, deve seguir os seguintes passos:
a) Cálculo da Amostra Ideal:
tolerávelamostralerroE
idealamostradatamanhon
EEn
0
0
2
0
2
00
1
b) Cálculo da Amostra Mínima:
amostradatamanhon
populaçãodatamanhoN
nN
nNn
0
0.
7
c) Cálculo do Estimador da Amostra: N
nx
d) Aplicação do Estimador aos Estratos: estrato . x
Obs.: o erro amostral tolerável ( 0E ) deve ser utilizado na forma de coeficiente.
Por exemplo: 3% = 0,03, 15% = 0,15, 22% = 0,22
Exemplo:
Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas
características da população da cidade A. Estes parâmetros são: idade
média, renda per capita, local de origem etc. Utilizando a tabela a seguir com
dados referentes a 2016, qual o tamanho mínimo de uma amostra aleatória
simples, por clube (estratos), tal que possamos admitir que o risco de
estarmos errados não ultrapasse 4% (erro amostral)?
10 PASSO: Cálculo da Amostra Ideal:
teshabiE
En tan6250016,0
1
04,0
1122
0
2
00
20 PASSO: Cálculo da Amostra Mínima:
teshabinN
nNn tan585
9665
5650000
6259040
6259040.
0
0
30 PASSO: Cálculo do Estimador da Amostra:
0647,09040
585
N
nx
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40 PASSO: Aplicação do Estimador aos Estratos: estrato . x
Multiplica-se a quantidade de habitantes de cada clube pelo valor do
estimador.
Para garantir erro mínimo, a quantidade de cada habitante foi arredondada pra cima, não importando as regras de aproximação. Amostra Total = 587 Habitantes.
SÉRIES ESTATÍSTICAS
TABELAS E SEUS ELEMENTOS: Observe a tabela abaixo.
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- TÍTULO: é uma recomendação que antecede a tabela, contém a designação
do fenômeno, o local e a época em que ocorrem. Fica no topo da tabela, não
ultrapassando a largura da mesma e todas as letras maiúsculas.
- Um título tem que responder as seguintes perguntas:
1- O QUE? Relativo ao caso
2- ONDE? Relativo ao lugar
3- QUANDO? Relativo ao tempo
- CORPO: conjunto de linhas e colunas que contêm informações sobre a
variável que está sendo estudada.
- CASA OU CÉLULA: o dado que fica no cruzamento da coluna com a linha.
Nota: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) – Resolução 886:
nas casas ou células devemos colocar:
* Um traço horizontal (-) quando o valor é zero.
* três pontos (...) quando não temos os dados.
* um ponto de interrogação (?) quando temos dúvidas quanto à exatidão de
determinado dado.
* zero (0) quando o valor é pequeno para ser usado na unidade utilizada.
- CABEÇALHO: identificação do que está sendo apresentado em cada uma
das colunas da tabela.
- COLUNA INDICADORA: parte da tabela que objetiva especificar o conteúdo
das linhas. Fica localizada na primeira coluna.
- LINHAS: retas no sentido horizontal para facilitar a leitura.
- CASA OU CÉLULA: espaço ocupado por um só número.
Obs.: quando a tabela for preparada pelo pesquisador, a fonte será ¨o pesquisador¨ e quando
a tabela for organizada com dados sem nenhuma fonte, esta será hipotética.
SÉRIES ESTATÍSTICAS
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Definição: série estatística é toda tabela que apresenta a distribuição de um
conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie.
CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES ESTATÍSTICAS:
1- SÉRIES HISTÓRICAS, CRONOLÓGICAS OU TEMPORAIS: o tempo
modifica enquanto o local e o fato permanecem inalterados.
Elemento fixo: aprovação (%)
Elemento fixo: Local - Paraíso
Elemento variável: época (2013/2016)
2- SÉRIES GEOGRÁFICAS, ESPACIAIS OU DE TERRITORIAS: nesta série,
o tempo e o fenômeno permanecem fixos, enquanto o local varia.
Elemento fixo: aprovação (%)
Elemento variável: Local – Regiões
Elemento fixo: tempo (2016)
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3- SÉRIES ESPECÍFICAS: nesta série, o fenômeno varia, enquanto o tempo
e o local permanecem fixos.
Elemento fixo: colégio A
Elemento variável: conceito
Elemento fixo: tempo (2016)
4- SÉRIES CONJUGADAS OU MISTAS: consistem em uma união de duas
séries (temporal, geográfica ou específica).
- Série Específica/ Histórica: Nesta série, o fenômeno e o tempo variam,
enquanto o local permanece fixo.
Elemento fixo: colégio A
Elemento variável: conceito
Elemento variável: tempo (2016)
Série Geográfica/Histórica: Nesta série, o local e o tempo variam, enquanto
o fenômeno permanece fixo.
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Elemento fixo - fenômeno: colégio B
Elemento variável: Região Geográfica
Elemento variável - Histórica: tempo (2014/2016)
SÉRIE DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS: durante a aplicação das
séries estatística, foram utilizados dados qualitativos. Já, na série de
Distribuição de Freqüências, utilizaremos dados quantitativos (numéricos).
Nesta série, época, local e fenômeno permanecem fixos, variando apenas a
intensidade do fenômeno pesquisado (freqüência).
Exemplo:
Após um levantamento no colégio Pedro I, no final de 2016, coletou-
se os seguintes dados (altura em cm) de uma turma alfabetização:
Notas:
1ª) Os dados obtidos são quantitativos.
2ª) A época permanece fixa.
3ª) O local permanece fixo.
4ª) O fenômeno permanece inalterado.
5ª) A variação ocorre na intensidade (freqüência).
Agrupamento dos dados em tabela:
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Em estatística, a distribuição de freqüência é um arranjo de valores que
uma ou mais variáveis tomam em uma amostra. Cada entrada na tabela
contém a freqüência ou a contagem de ocorrências de valores dentro de um
grupo ou intervalo específico, e deste modo, a tabela resume a distribuição
dos valores da amostra.
Pesquisa entre 21 casais em relação à quantidade de alimento consumido
(kg) durante o dia:
4) Número de intervalos de classes (k):
K = √n (n= número de dados coletados). Se for preciso arredonda-se.
K = √20 ~ 4,47 = 5 intervalos
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O número de classes de uma distribuição de frequência pode ser calculado
pela fórmula de Sturges:
K = 1 + 3,32log n
Onde n é o número de elementos do rol ou amostra.
K deve ser sempre arredondado para o inteiro superior.
Obs. Na construção da distribuição devem ser evitadas classes com
freqüência (zero); se isso ocorre nada impede de diminuir o número de
classes para K = 7.
5) Cálculo dos intervalos de classes (Amplitude de classe): É obtida dividindo-
se a amplitude do rol (At) pelo número de classes (K).
h = At/k = 1,14/5 ~ 0,23
Obs. h deve ser sempre arredondado para o inteiro superior
6) Distribuição de freqüências (tabela):
TIPOS DE GRÁFICOS: diagramas (mais utilizados em apresentações
científicas), cartogramas e pictogramas.
DIAGRAMAS: são gráficos numéricos, geralmente com duas dimensões, onde fazemos uso do sistema cartesiano.
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1- Gráfico de linha: é utilizado para apresentar uma série estatística histórica e/ ou cronológica.
Exemplo:
Gráfico de Colunas ou Barras: para dados grandes ou nomes das variáveis
extensos, deve-se dar preferência aos gráficos de barras, principalmente em
séries geográficas e específicas.
Exemplo:
- Seja a tabela abaixo:
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O eixo – x tem que apresentar 5 colunas de 1 cm cada e 0,5 cm de espaço entre elas. O eixo – y terá uma altura de 4 cm, que equivale a 2/3 do comprimento do eixo – x: (2/3x6) = 4. Em seguida, graduamos o ixo – y, onde meio centímetro representará 2 unidades, com isso o gráfico chegará a uma altura de 16 cm. Por fim, construímos as colunas.
Velocidade dos planetas do sistema solar em milhas por segundo - 998
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Gráficos de Setores: quando se pretende apresentar dados relativos, em percentuais, ou em séries geográficas. Ex.: QUANTIDADE DE EXAMES REALIZADOS NO LABORATÓRIO A EM 2016
- Hematologia = (9824/51100)X100 = 19% ....... - O tamanho do ângulo da fatia = 3,6 x percentagem - 1 milha terrestre = 1.609,344 metros = 1,609344 km CARTOGRAMA: é a representação sobre uma carta geográfica. Apresenta dados absolutos, quando são representados por pontos e dados relativos por hachuras ou cores.
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Revendo conceitos: 1. População. Conjunto de pessoas ou objetos com uma característica comum. A = {Eleitores do Estado de M Gerais} 2. Amostra. Qualquer subconjunto de uma população. B = {Eleitores da Cidade de Formiga} 3. Variável Aleatória. É quando uma variável pode ter resultados ou valores que tendem a mudar de uma observação para outra devido a fatores de chance de ocorrer. Ex. Lançamento de uma moeda: só pode sair K ou C (coroa ou cara – podem ser associados a 0 para coroa e 1 para cara). 4. Variável Discreta. Uma variável Xi é denominada discreta, quando entre dois de seus valores inteiros não admitir valores intermediários. Exemplos: a) Xi = Número de filhos de um casal. Xi = 1, 2, 3, 4, 5,... b) Xi = Número de livros de uma biblioteca. Xi = 2, 3, 4,... 100,... 1000,... 5. Variável Contínua. Uma variável Xi é denominada continua, quando entre dois de seus valores inteiros admitirem valores intermediários. Exemplos. a) Xi = Temperaturas da Cidade WYZ Xi = 18o; 18,3o; 18.7o;....... b) Xi = Capacidade em litros de uma máquina. Xi = 6 l; 6,4 l; 6,8 l; 6,9 I; 7 I; 7,4 l; ... 6. Dados Brutos. São os dados após a crítica de seus valores. Na crítica de valores são
desprezados os dados que destoam da maioria.
Ex.: Em uma determinada região encontramos salários que variam de
8.000,00 a 17.000,00. Se aparecer um salário de R$ 43.000,00, o
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mesmo deverá ser desprezado para não interferir na média ou em outros
cálculos necessários.
Exemplo. Alturas em cm de 50 estudantes.
165 165 170 162 175 185 188 164 179
172 166 163 167 178 171 195 179 188
187 169 167 160 188 160 190 169 171
172 166 167 174 175 176 183 181 190
191 193 192 188 187 188 182 189 167
7. Rol. É a ordenação dos dados brutos. Pode ser ordem crescente ou decrescente de seus valores. Ex. Forme o rol dos dados do exemplo anterior.
160 160 162 163 164 165 165 166 166
167 167 167 167 169 169 170 171 171
172 172 174 175 175 176 178 179 179
181 182 183 185 187 187 188 188 188
188 188 189 190 190 191 192 193 195
8. Amplitude Total ou Amplitude da Amostra. É dada pela diferença entre o maior e o menor valor do rol. A = Xmax - Xmin No exemplo anterior temos: (complete) A =195 - 160 A = 35
9. Frequência Absoluta. Indica quantas vezes cada elemento aparece no rol. Ex. f(160) = 2 f(161) = 0 f(162) = 1 f(163) = 1 etc....
10.Tabela de Variável Discreta.
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É a representação da variável discreta através de uma distribuição de frequência. Cada variável com sua respectiva frequência simples ou absoluta.
NÚMERO DE FILHOS DE UM
CASAL
fi
0 189
1 175
2 156
3 132
4 105
5 80
6 60
7 30
8 20
11. Gráfico da Distribuição de Variável Discreta Cada Xi é representado de acordo com a sua frequência (fi)
12. Tabela de Variável Contínua. Os valores são representados em classes.
Idades Número de Empregados.
15 I– 23 45
23 I– 31 55
31 I– 39 35
39 I– 47 27
47 I–55 18
∑ 180
Obs.: A tabela acima apresenta 5 classes. 15 I– 23, onde 15 é o limite inferior e 23 o superior; 23 I– 31, onde 23 é o limite inferior e 31 o superior; ....... .
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A frequência da 1a classe é 45. A frequência da 2a classe é 55. ...... 13. Intervalos de classe. Pode ser escrito da seguinte maneira: 15 I– 23 inclui o 15 e exclui o 23; 14. Ponto Médio de uma classe. É dado pela média aritmética dos limites de classe. (Lim inf + Lim sup)/2 No exemplo acima, temos: (15+23)/2 = 19 ...
Idades Número de Empregados. fi
Xi
15 I– 23 45 19
23 I– 31 55 27
31 I– 39 35 35
39 I– 47 27 43
47 I–55 18 51
∑ 180 ---
15. Frequência Acumulada (fac). Obtemos somando a frequência de cada classe com todas frequências anteriores.
16. Frequência Relativa (Fr).
É obtida dividindo-se a frequência da classe pelo somatório da frequência total. (fi)
Idades Número de Empregados. fi
Xi fac
15 I– 23 45 19 (0+45) = 45
23 I– 31 55 27 (45+55)= 100
31 I– 39 35 35 (45+55+35)=135
39 I– 47 27 43 (135+27)=162
47 I–55 18 51 (162+18)= 180
∑ 180 --- ---
Idades Número de Empregados.
Xi Fr Fr%
15 I– 23 45 19 0,25 25
23 I– 31 55 27 0,31 31
31 I– 39 35 35 0,19 19
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Temos então que 25% dos elementos estão na primeira classe; 31% estão na segunda classe; 19% na terceira; etc...
Obs. A soma deve sempre dar 1,00 ou 100%; caso não ocorra por conta de arredondamentos deve-se subtrair ou aumentar na classe de maior frequência. Exercício Histograma. É a representação gráfica da distribuição de frequência em classes, através de um gráfico de colunas justapostas. Gráfico abaixo.
Polígono de frequência simples. Fica determinado unindo-se no histograma o ponto médio de cada coluna. (fecham-se as laterais nos pontos do eixo dos x a uma distância igual à metade da coluna – ver gráfico anexo).
39 I– 47 27 43 0,15 15
47 I–55 18 51 0,10 10
∑ 180 --- 1,00 100
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Polígonos de frequência acumulada. É a representação da frequência acumulada através de uma linha poligonal – podem ser crescentes ou decrescentes. Também denominadas de OGIVAS.
MEDIDAS DE POSIÇÃO – TENDÊNCIA CENTRAL
Objetivos específicos:
1- Conceituar as principais medidas de posição central: média, moda e
mediana.
2- Realizar cálculos para determinar as medidas de posição central.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
- Localizar a maior concentração de valores de uma distribuição.
- Sintetizar o comportamento do conjunto do qual ele é originário.
- Possibilitar comparações entre séries de dados.
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Medida Definição Vantagem Desvantagem
Média Centro de distribuição
Reflete todos os valores
É afetada por valores extremos
Mediana Divide a distribuição ao
meio
Menos sensível a valores extremos
Difícil determinar para grande
quantidade de dados
Moda Valor mais freqüente
Valor típico (simbólico)
Não é utilizada em análises
matemáticas
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES: considerada a mais importante de todas as
medidas de tendência central.
sobservaçõedenúmeron
observadovalorx
n
x
xi
n
i
i
1
Exemplos:
1- Os dados abaixo representam a vida útil de 10 máquinas (em anos de
utilização). Encontre a média de vida útil dessas máquinas.
10 25 15 23 17 25 20 10 29 26
anosn
x
x
n
i
i
2010
200
10
262910202517231525101
(média de
vida útil)
2- Um empresário, que deseja estudar a movimentação de pessoas em seu
estabelecimento, constata que entraram nos últimos 6 dias 680, 1200, 490,
2340, 1560 e 800 pessoas. Encontre o número médio de pessoas que
entraram nesse estabelecimento nos últimos 6 dias.
pessoasn
x
x
n
i
i
11796
7074
6
800 1560 2340 490 1200 6841
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: cada valor da série é atribuído um
peso.
25
i
n
i
n
i
ii
p
p
px
xi
1
1 (pi = pesos)
Exemplo:
Uma panificadora apresenta, na tabela abaixo, o balanço semanal dos
volumes de vendas e lucro por cada produto: panifícios, lanches e frios. Qual
o lucro médio da panificadora?
Vendas Lucros
panifícios 2.500 30%
Lanches 1.500 50%
Frios 750 40%
%9,37750500.1500.2
4075050500.1302500
1
1
i
n
i
n
i
ii
p
p
px
xi
Média Aritmética de Dados Agrupados-Sem intervalo de classe:
totalsobservaçõedenúmeron
classeporobservçõesdenúmeron
observadovalorx
n
nx
x i
in
i
ii
1
Exemplo-1:
Pesquisa feita em uma comunidade encontrou-se os seguintes dados:
Número de Salários Número de Famílias
3 192
4 328
5 321
6 180
7 43
Determine o número médio de salários.
26
6,443180321328192
43718063215328419231
n
nx
x
n
i
ii
R) Número médio de salários: 4,6 por família.
Exemplo- 2
- Observe a distribuição:
Distribuição de frequência
Classe (i) Dados (variáveis) Frequência (fi)
1 1 2
2 3 4
3 9 2
4 15 3
5 27 1
K=5 Total 12
FONTE: Os autores
67,812
104
13242
1273152943211
n
nx
x
n
i
ii
Moda (Mo): Num grupo de dados agrupados-Sem intervalo de classe, a moda
é o valor que possui a maior freqüência. No nosso exemplo-1 = 4 salários.
Média Aritmética de Dados Agrupados-Com intervalo de classe:
totalsobservaçõedenúmerof
classeporobservçõesdenúmerof
classedamédiopontox
f
fx
x i
in
i
ii
1
Exemplo – 1
- Encontre a média aritmética do seguinte conjunto de dados:
Completar e resolver.
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CONJUNTO DE DADOS ALEATÓRIOS
Classe (i) Dados(variáveis) Frequência (fi) Ponto médio ( ix ) ix fi
1 1I– 3 2 ... ...
2 3 I– 5 4 ... ...
3 5 I– 7 8 ... ...
4 7 I– 9 4 ... ...
5 9 I– 11 2 ... ...
K=5 Total 20 ... ...
FONTE: Os autores
Exemplo 2:
Calcule a média aritmética simples no problema abaixo:
- Notas de alunos numa prova.
- Total de pontos possíveis: 100
- 50 alunos realizaram a prova,
22 46 9 40 57 22 22 13 50 42
35 2 15 41 34 52 32 75 69 44
26 42 60 56 30 3 17 79 45 37
1 12 62 50 35 41 59 11 66 39
43 33 70 50 47 20 36 40 67 29
Média Aritmética Simples
56,3850
19281
n
x
x
n
i
i
Exemplos- 3:
- Encontre a média aritmética dos dados abaixo
Frequência Absoluta
Ponto Médio
5 5,5
8 17,5
7 29,5
15 41,5
7 53,5
5 65,5
28
2 77,5
50
5,3750
5,7725,6555,5375,41155,2975,1785,551
f
fx
x
n
i
ii
Exemplo 4:
- Na distribuição de freqüência abaixo, encontre a média aritmética:
Distribuição de frequência
Classe (i) Dados (variáveis) Frequência (fi)
1 4 6
2 5 4
3 7 1
4 12 1
5 22 1
K=5 Total 13
FONTE: Os autores
54,613
85
13
1221121745641
f
fx
x
n
i
ii
Desvantagem da Média Aritmética: observe os dois problemas abaixo:
1- As idades de alguns municípios são representadas por: 96, 54, 80, 122 e
78 anos, calcular a média dessas idades.
anosx 865
430
5
78122805496
Agora, suponha que o valor 122 tenha sido anotado erradamente como 82.
Calculemos a nova média.
anosx 785
390
5
7882805496
Observa que uma alteração num dado extremo acarreta uma falha de
aproximadamente 10%.
Observe esse outro problema:
29
- As idades de 5 jogadores de basquete são 18, 24, 32, 28 e 18 anos. A idade
do treinador é de 66 anos. Determine a média das idades.
anosx 316
186
6
661828322418
Note que o resultado de 31 anos não fecha com a realidade. Portanto, essa é
uma falha da média aritmética, pois está sujeita aos valores extremos. Então,
nessas situações, o mais correto é utilizar o cálculo da moda ou da mediana,
como veremos a seguir.
Moda (Mo): valor que ocorre com maior frequência num conjunto de dados.
- Multimodal: conjunto de dados com mais de uma moda.
- Unimodal: uma moda.
- Bimodal: duas modas.
- Trimodal: três modas.
- Amodal: não apresenta um valor predominante, ou seja, não tem moda.
1- Moda em Dados não agrupados:
- Cloca-se os valores no Rol e depois verifica-se qual o valor que ocorre com
maior frequência. Por exemplo:
- Encontre a moda do problema realizado acima: Notas de alunos numa
prova.
Dados brutos:
22 46 9 40 57 22 22 13 50 42
35 2 15 41 34 52 32 75 69 44
26 42 60 56 30 3 17 79 45 37
1 12 62 50 35 41 59 11 66 39
43 33 70 50 47 20 36 40 67 29
Rol:
1 12 22 30 36 41 44 50 57 69
2 13 22 32 37 41 45 50 59 67
3 15 22 33 39 42 45 50 60 70
9 17 26 34 40 42 46 52 62 75
11 20 29 35 40 43 47 56 66 79
Moda: 22 e 50
30
2- Moda em dados agrupados em frequência simples: a moda é o valor com
maior freqüência.
Exemplo:
Classe (i) Dados(variáveis) Frequência (fi)
1 4 6
2 5 4
3 7 1
4 12 1
5 22 1
K=5 Total 13
A moda desta distribuição é o valor 4 gerado pela freqüência 6.
3- Moda em grupo de dados agrupados-Com intervalo de classe, temos:
.
;intmod
;mod
);(modinf
,
2
1
1
21
11
classesdasamplitudeh
eseguteimediatamnclassedaaealclasseaentrediferençad
anteriorteimediatamnclassedaaealclasseaentrediferençad
frequênciamaiordeclassealclassedaeriorLimiteL
Onde
hdd
dLMo
Exemplo 1: Calcule a moda do grupo dos dados agrupados-Com intervalo de
classe abaixo:
Classes Frequência absoluta
00,0 Ӏ– 11,5 5
11,5 Ӏ– 23,5 8
23,5 Ӏ– 35,5 7
35,5 Ӏ– 47,5 15
47,5 Ӏ– 59,5 7
59,5 Ӏ– 71,5 5
71,5 Ӏ– 83,5 2
50
Classe modal: classe de maior freqüência (35,5 Ӏ– 47,5).
Li= Limite inferior da classe modal: 35,5.
d1 = maior freqüência menos a freqüência imediatamente inferior: 15 – 7 = 8.
d2 = maior freqüência menos a freqüência imediatamente seguinte:15 – 7 = 8.
h = amplitude das classes: diferença entre o limite superior e o limite inferior
de uma classe: 47,5 – 35,5 = 12.
5,411288
85,35
21
11
h
dd
dLMo
31
Exemplo – 2: calcule a moda da distribuição de freqüência abaixo:
Classe (i) Dados(variáveis) Frequência (fi)
1 1I– 3 2
2 3 I– 5 4
3 5 I– 7 8
4 7 I– 9 4
5 9 I– 11 2
K=5 Total 20
Mediana (Md):
- Divide o conjunto em duas partes iguais, com o mesmo número de
elementos. É centro da série estatística organizada.
1- Mediana de dados não tabelados.
1.1- número ímpar de itens:
Exemplo.: qual a mediana dos dados a seguir?
8 4 6 2 9
1ª maneira: a mediana é o termo que se encontra no centro de distribuição: 6
2ª maneira: Calcula-se a posição da mediana usando a fórmula abaixo:
Emd = (n+1)/2 = (5 + 1)/2 = 3. Isso quer dizer que a mediana é o dado da 3ª
posição, logo Md = 6
Outro exemplo:
Dado o conjunto de itens (24, 27, 35, 47, 50, 45, 52).
1ª maneira: a mediana é o termo que se encontra no centro de distribuição:
47
2ª maneira: Emd = (n+1)2 = (7+1)/2 = 4. Logo, a mediana é o quarto
elemento (47).
1.2- Número par de itens:
Nesse caso calcula-se a média aritmética dos termos centrais.
x1, x2, x3, x4, x5, x6 → Med = (x3 + x4)/2
Exemplo:
- Dado o conjunto com de itens: (10,14, 14, 16, 18, 20), encontre a mediana.
Me = (14 + 16)/2 = 15
32
Outro exemplo:
Encontre a mediana no seguinte ROL:
45 55 68 80 47 57 72 84 50 60 74 86 54 64 78 90
Elemento onde se encontra a mediana: Emd = (n+1)/2 = (16+1)/2 = 8,5
Como a posição 8,5 não existe, utilizamos os valores da posição 8 e da
posição 9, em seguida fazemos a média.
Posição 8: x8 = 64 Posição 9: x9 = 68
Med = (64+68)/2 = 66
2- Mediana em dados agrupados em frequência simples:
Exemplo-1: Observe a tabela abaixo.
NÚMERO DE FILHOS DAS FAMÍLIAS DA CIDADE A - 2016
Classe (i) Ponto médio(xi) Frequência (fi) F. Acumulada (Faci)
1 0 2 2
2 1 7 9
3 2 21 30
4 3 18 48
5 4 9 57
6 5 4 61
Total Total n=61
FONTE: Os autores
- Cálculo da posição: (n+1)/2 = (61+1)/2 = 31
Queremos o valor da posição 31 = x31, então, procura-se olhar a coluna da
freqüência acumulada (Faci) para encontrar a linha do primeiro valor maior que
a 31, no caso é a 48 que está na linha 4. Portanto, o valor da mediana é 3,
pois é o xi da linha 4.
Exemplo-2:
Pesquisa feita em uma comunidade encontrou-se os seguintes dados:
Número de Salários Número de Famílias Fai
3 192 192
4 328 520
5 321 841
6 180 1021
7 43 1064
Total 1064
Determine a mediana.
Emd = 1064/2 = 532
33
Me = 5
3 - Mediana em grupo de dados agrupados-Com intervalo de classe:
Dados tabelados com intervalos de classes
.
.
.
.
.inflim
)2/(1
medianaacontémqueclassedaamplitudeh
medianaacontémqueclassesdasfrequênciaf
medianaacontémqueàanterioresclassesdassfrequênciadassomaF
dadosdeconjuntodoelementosdenúmeron
medianaacontémqueclassedaerioriteL
hf
FnLMd
md
md
a
i
md
md
a
Observe a seguinte tabela:
PONTUAÇÃO AFERIDA PELAS EQUIPES NO CAMPEONATO DE VOLEIBOL - 2016
i fi Faci
1 2 3 4 5
1 Ӏ– 3 3 Ӏ– 5 5 Ӏ– 7 7 Ӏ– 9
9 Ӏ– 11
2 4 8 4 2
2 6
14 18 20
Total 20
10 Passo: cálculo da posição em que se encontra o elemento que representa
a mediana
Emd = (n+1)/2 = (∑fi +1)/2 = (20+1)/2 = 10,5
20 Passo:
Cálculo da classe da mediana: é a linha (classe) onde se encontra a posição
calculada (10,5). Neste caso, a linha (classe) pertence à coluna da freqüência
acumulada, onde encontra-se o maior valor dessa coluna depois da posição
encontrada.
No nosso caso, o primeiro valor maior que 10,5 é 14, logo, a classe da
mediana é 5 Ӏ– 7.
30 Passo: cálculo da mediana.
34
)2(.
)8(.
)6(.
)20(.
)5(.inflim
)2/(1
medianaacontémqueclassedaamplitudeh
medianaacontémqueclassesdasfrequênciaf
medianaacontémqueàanterioresclassesdassfrequênciadassomaF
dadosdeconjuntodoelementosdenúmeron
medianaacontémqueclassedaerioriteL
hf
FnLMd
md
md
a
i
md
md
a
6
28
6)2/20(5
)2/(1
Md
Md
hf
FnLMd md
md
a
SEPARATRIZES: Separatriz, é a medida que separa a distribuição em grupos de qualquer
tamanho, portanto, concluímos que a mediana é uma separatriz.
Na mediana dividimos em dois grupos iguais: 50% acima e 50% abaixo. A
partir desse momento podemos definir qualquer porcentagem abaixo e acima,
desde que somem 100%. Por exemplo: 25% abaixo e 75% acima de um
determinado valor.
Cálculo da Separatriz com Dados Agrupados-Com intervalo de classe:
)(
.)(100
1
ãodistribuiçdadivisãonafazerspretendemoquempercentagek
f
hanteriorffk
LCi
iai
i
k
Para dividir a distribuição 18% abaixo e 82% acima, devemos utilizar a
separatriz C18, ou seja, k = 18. Para dividir a distribuição 44% abaixo e 56%
acima, devemos utilizar a separatriz C44, ou seja, k = 44.
35
Procedimento: inicialmente, determina-se a classe em que a separatriz
estará e, em seguida, aplica-se a fórmula 100
ifk. Após encontrar o resultado,
olha-se a coluna Fai onde o primeiro maior valor que 100
ifkserá a classe da
separatriz.
Definido a classe, aplica-se a fórmula i
iai
i
kf
hanteriorffk
LC
.)(100
1
.
Observe a seguinte tabela:
TABELA: PONTUAÇÃO AFERIDA PELAS EQUIPES NO CAMPEONATO DE VOLEIBOL - 2016
i Pontos fi Faci
1 2 3 4 5
1 Ӏ– 3 3 Ӏ– 5 5 Ӏ– 7 7 Ӏ– 9
9 Ӏ– 11
2 4 8 4 2
2 6
14 18 20
Total 20 FONTE: OS AUTORES
a) Qual o valor que separa a distribuição 15% abaixo e 85% acima?
Observe que deseja-se encontrar a separtriz C15, logo K = 15.
Cálculo de 3100
2015
100
ifk. Note que na coluna Fai o número primeiro
maior que 3 é 6, logo, nessa linha está a classe da separatriz (3 Ӏ– 5).
- Aplicando a fórmula, temos:
5,34
2.2100
2015
3
.)(100
151
Cf
hanteriorffk
LCi
iai
i
k
Esse resultado significa que 15% dos dados são menores ou iguais que 3,5 e
85% dos dados são maiores que 3,5.
EXERCÍCIOS
1- Se a média aritmética entre n, n – 1, 2n + 1 e 4 é 10, determine o valor de n. (R = 9)
2- No segundo bimestre, João alcançou as seguintes médias: Matemática: 8,5 Português: 7,3 História: 7,0
36
Geografia: 7,5 Inglês: 9,2 Espanhol: 8,4 Física: 9,0 Química: 7,2 Biologia: 8,0 Educação Física: 9,5
Determine a média aritmética bimestral de João. (R = 8,2) 3- (UFC) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: a) 6,5 b) 7,2 X
c) 7,4 d) 7,8 e) 8,0
2,718025:tan,1803210210
:,3066
,210730
xxtopormeninasxyx
entãomennosyy
comoyxyx
4) (Mackenzie – SP) A média aritmética de n números positivos é 7. Retirando-se do conjunto desses números o número 5, a média aritmética dos números que restam passa a ser 8. O valor de n é: a) 2 b) 3 X
c) 5 d) 6 e) 9
38857)1.(85781
578
1
5
7
81
5
7
nnnnnn
n
n
S
nS
n
S
n
S
5) O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso, o seu valor diário possui variações. Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma semana, foram verificadas estas variações:
Determine o valor médio do preço do dólar nessa semana. (R = 2,24) 6) Em uma empresa existem cinco faixas salariais divididas de acordo com a tabela a seguir:
37
Determine a média de salários da empresa. (R = 1000)
7) Um grupo de pessoas apresenta as idades de 10, 13, 15 e 17 anos. Se uma pessoa de 12 anos se juntar ao grupo, o que acontecerá com a média de idade do grupo? (R=diminui de ....)
8) A tabela abaixo representa a distribuição de frequências dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. Determine o salário médio dos empregados nesse mês. (R=2.400,00)
totalsobservaçõedenúmerof
classeporobservçõesdenúmerof
classedamédiopontox
médiax
f
fx
médiax
i
i
n
i
ii
1
)(
)(
Nesse problema, determine a moda e a mediana.
.
;intmod
;mod
);(modinf
,
2
1
1
21
11
classesdasamplitudeh
eseguteimediatamnclassedaaealclasseaentrediferençad
anteriorteimediatamnclassedaaealclasseaentrediferençad
frequênciamaiordeclassealclassedaeriorLimiteL
Onde
hdd
dLMo
Mediana - Cálculo da posição: (n+1)/2
Queremos o valor da posição (n+1)/2, então, procura-se olhar a coluna da freqüência acumulada (Faci) para encontrar a linha do primeiro valor maior que a (n+1)/2. Nessa linha encontra-se a mediana.
38
.
.
.
.)(
.inflim
)2/(1
medianaacontémqueclassedaamplitudeh
medianaacontémqueclassedafrequênciaf
medianaacontémqueàanterioresclassesdassfrequênciadassomaF
fdadosdeconjuntodoelementosdenúmeron
medianaacontémqueclassedaerioriteL
hf
FnLMd
md
md
a
i
i
md
md
a
9) Uma avaliação com seis testes foi realizada com os empregados de uma pequena indústria. Os resultados foram tabulados e apresentados em uma tabela. Observe:
(R ~ 3,32)
Nesse problema, determine a moda e a mediana.
Moda: a linha onde se encontra a maior freqüência.
Mediana: como o número de freqüência é ímpar, a mediana é o termo central.
10) Observe os valores das frequências das faixas salariais numa pequena empresa, dispostos na tabela a seguir:
Determine a média desses salários. (R = 928,57)
- Nesse problema, determine a moda e a mediana.
Moda: a linha onde se encontra a maior freqüência.
Mediana: como o número de freqüência é ímpar, a mediana é o termo central.
11) Calcule a média aritmética dos números: 2/3, 5/6, 0,6 e 0,33...
12) A média aritmética de dois números é 50. Um dos números é 35. Qual é o outro número? (R: 65)
39
13) A média aritmética de cinco números é 13. Quatro desses números são 7,8,11,e 14. Qual é o quinto número? (R: 25)
14) Num campeonato, um time de basquete faz a seguinte campanha:
Partidas--------------------Número de pontos 1--------------------------------74 2-------------------------------101 3--------------------------------68 4--------------------------------97 5--------------------------------86 6-------------------------------120
Qual a média aritmética de pontos por partida? (R ~ 96) - Nesse problema, determine a moda e a mediana. 15) Em um concurso, determinado candidato alcançou as seguintes notas: Matemática – 8,5; Português – 5,0; Inglês – 7,0 e Conhecimentos Gerais – 9,0. Sabendo que as disciplinas apresentam os seguintes pesos: Matemática – 4; Português – 3, Inglês – 2 e Conhecimentos Gerais – 1. De posse dessas informações, encontre a média final do referido candidato. 16) Um copo de suco de laranja custa R$ 5,50 e um copo de suco de beterraba custa R$ 3,50 misturando-se 20 copos de suco de laranja e 30 de suco de beterraba, qual o preço do copo dessa mistura? (R = 4,30) 17) Um quilograma de café tipo A custa R$ 12,00 e um quilograma de café tipo B custa R$ 15,00 misturando-se 4 kg de café tipo A com 8 kg de café tipo B obtemos um terceiro tipo de café. Quanto vale o quilograma de café dessa mistura? (R: R$ 14,00) 18) Numa feira, a cebola estava sendo vendida assim: 6 quilos : R$ 5,00 cada quilograma. 10 quilos : R$ 4,00 cada quilograma 24 quilos : R$ 3,00 cada quilograma Qual o preço médio do quilo da cebola? (R: 3,55) 19) Complete a tabela abaixo e, em seguida, calcule a média, a moda e mediana.
i Classes fi(f.absoluta) xi(ponto médio) xi.fi Fai
1 2 3 4 5
3 I– 7 7 I–11 11 I– 15 15 I– 19 19 I– 23
4 10 13 23 25
Total
20) Calcule a média, a moda e a mediana do seguinte agrupamento em classe:
USUÁRIOS CADASTRADOS NA UNIMED POR FAIXA ETÁRIA - 2016
i Classes fi(f.absoluta) xi(ponto médio) xi.fi Fai
39 I– 50 50 I– 61 61 I– 72 72 I– 83 83 I– 94
400 500 550 625 200
Total FONTE:Os autores
40
21) Complete a tabela abaixo e, em seguida, calcule: a) O valor que separa a distribuição 25% abaixo e 75% acima. b) Calcule a separatriz C60. c) Interprete os resultados.
i
iai
i
ki
i
f
hanteriorffk
LCvalorFafk
classedaCálculo
.)(100
)1(100
1
0
i Classes fi(f.absoluta) Fai
1 2 3 4 5
3 I– 7 7 I–11
11 I– 15 15 I– 19 19 I– 23
4 10 13 23 25
Total
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Introdução
Para interpretar dados estatísticos, além das medidas de tendência central
(média e mediana) temos que utilizar outras medidas, como Medidas de
Dispersão. Estas medidas indicam se os valores estão próximos uns dos
outros. Em outras palavras, é a maior ou a menor distância dos valores de
uma variável em torno de um valor de tendência central (média ou mediana)
tomada como ponto de comparação.
A média, apesar de ser um número que representa uma série de valores, não
consegue, por si só, identificar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade
que existe entre os valores existentes no conjunto.
Por exemplo: encontre a média dos elementos que compõem cada conjunto
abaixo:
A = {30, 30, 30, 30, 30}
B = { 22, 28, 30, 32, 38}
C = {5, 12, 18, 28, 32, 55}
Observamos que as médias dos conjuntos A, B e C são iguais (30), logo,
verifica-se que o conjunto A é mais homogêneo que o B que, por sua vez, é
mais homogêneo que o C. Isso acontece em decorrência da menor
diversificação (distância) entre cada um dos seus valores e média encontrada.
O objetivo dessa unidade é encontrar as dispersões existentes num
fenômeno, a fim de que possa melhor interpretá-lo.
41
Amplitude Total
É a única medida de dispersão que não apresenta, como ponto de referência,
a média.
Como vimos anteriormente, é a diferença entre o limite superior da última
classe e o limite inferior primeira classe. Essa medida só utiliza os valores
extremos, logo, usa-se quando se que encontrar a temperatura máxima em
um dia ou no controle de qualidade.
Desvio Padrão
Baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula pode
ser traduzida como: a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos
desvios sendo representada por S (se for amostra) e ᵟ (se for população).
Quando menor for o desvio padrão em relação à média, mais agrupados os
dados estarão em torno da média.
O que é Desvio Padrão?
Segundo Andréa Wolffenbüttel, é um parâmetro muito usado em estatística que indica o grau de variação de um conjunto de elementos. Exemplificando. Se medirmos a temperatura máxima durante três dias em uma cidade e obtivermos os seguintes valores, 28º, 29º e 30º, podemos dizer que a média desses três dias foi 29º. Em outra cidade, as temperaturas máximas nesses mesmos dias podem ter sido 22º, 29º e 35º. No segundo caso, a média dos três dias também foi 29º. As médias têm o mesmo valor, mas os moradores da primeira cidade viveram três dias de calor, enquanto os da segunda tiveram dois dias de calor e um de frio. Para diferenciar uma média da outra, foi criada a noção de desvio padrão, que serve para dizer o quanto os valores dos quais se extraiu a média são próximos ou distantes da própria média. No exemplo acima, o desvio padrão da segunda cidade é muito maior que o da primeira. Uma das aplicações mais comuns do desvio padrão é para cálculo da classificação no vestibular. Se dois candidatos ao mesmo curso tiram nota 7 em provas diferentes, o peso desse resultado vai depender do desvio padrão de cada exame. Digamos que a média das notas nas duas provas tenha sido 5. Aquele que obteve 7 na prova cujo desvio padrão foi menor, será mais considerado porque significa que ele conseguiu um 7 em um exame em que quase todo mundo ficou próximo a 5. Enquanto o outro conquistou um 7 em uma prova onde muitos outros também tiraram notas altas
42
Cálculo do Desvio Padrão
- Desvio Padrão de Dados não Agrupados:
Observe o seguinte exemplo -1:
- Calcular o desvio padrão da seguinte distribuição:
10 12 15 17 23 25 28 30
- Para calcular essa medida de dispersão utilizando dados não agrupados,
devemos empregar os seguintes passos:
10) Passo: cálculo da média dos dados.
208
160
8
31272523181412101
n
x
x
n
i
i
20) Passo: cálculo da Variância.
2.1- Subtrair a média de cada um dos dados.
10-20=-10 12-20=-8 14-20=-6 18-20=-2 23-20=3 25-20=5 27-20=7 31-20=11
2.2- Elevar ao quadrado todas as respostas encontradas acima.
100 64 36 4 9 25 49 121
2.3- Somar os resultados.
100+64+25+4+9+25+49+121 = 408
2.4- Calcular a variância:
2.4.1- Variância de uma amostra: dividir o resultado por (n-1 = 8 – 1 = 7)
408/7 = 58,29
- Variância de uma amostra S2 = 58,29 unidade2
2.4.2) Variância de uma população: dividir o resultado por (n = 8)
408/8 = 51
Variância de uma população ᵟ2 = 408/8 = 51 unidade2
30- Passo: cálculo do Desvio Padrão: observe que a variância apresenta
unidade não compatível com as unidades de medidas (quadrado), portanto,
ao determinar a raiz quadrada da variância, encontramos o desvio padrão.
- Desvio Padrão da amostra S = unidade67,729,58
- Desvio Padrão da população ᵟ = unidade14,751
43
Notas:
1ª) Para encontrar o desvio padrão mínimo, temos que subtrair da média o
valor do desvio padrão encontrado: 20 – 7,67 = 12,23.
2ª) Para encontrar o desvio padrão máximo, temos que somar o valor da
média com o valor do desvio padrão encontrado: 20 + 7,67 = 27,67.
Exemplo – 2:
- Em relação a distribuição abaixo, calcule a variância e o desvio padrão.
4 5 7 8 9 12 13 15 18 20
- Desvio Padrão de Dados de Freqüência Simples: devemos seguir o
mesmo caminho utilizado quando do cálculo do desvio padrão de dados não a
grupados.
Exemplo 1-
- Encontre o Desvio Padrão amostral e populacional da tabela de freqüência
simples abaixo:
xi fi 3 4 5 6
2 2 3 3
Total 10
a) Cálculo da média: 7,410
47
i
ii
if
xfx
.
b) Subtrai a média dos dados xi, em seguida eleve o resultado ao quadrado:
2)( ii xx
.
c) Cálculo de ..)( 2
iii fxx
xi fi ii xf )( ii xx
2)( ii xx
iii fxx .)( 2
3 4 5 6
2 2 3 3
6 8
15 18
-1,7 -0,7 0,3 1,3
2,89 0,49 0,09 1,69
5,78 0,98 0,27 5,07
Total 10 47 12,1
d) Cálculo da variância:
n
fxx iii .)( 2
se for populacional e por n-1 se for
amostral:
44
ᵟ2 = 221,110
1,12unidade (pop.) e S2 = 2344,1
9
1,12unidade (amost.)
e) Cálculo do desvio padrão: calcule a raiz quadrada da variância.
n
fxx iii
.)( 2
ou
1
.)( 2
n
fxxS
iii
ᵟ = unidade1,121,1 unidadeS 159,1344,1
Desvio Padrão de dados agrupados-Com intervalo de classe.
- Utiliza-se as seguintes fórmulas:
1- Dados amostrais:
1
.2
i
ii
f
fxxS
2- Dados populacionais:
i
ii
f
fxx .2
Exemplo:
- A tabela abaixo apresenta as notas de Matemática da turma A de 2016,
encontre o desvio padrão.
NOTAS DE MATEMÁTICA DA TURMA
A DO COLÉGIO X –BELÉM/PA- 2016
i Notas Alunos (fi)
1 2 3 4 5 6
1 I– 2 2 I– 3 3 I– 4 4 I– 5 5 I– 6 6 I– 7
1 1 2 7 5 4
Total 20
10 passo: Cálculo da média.
Para isso, determinamos o ponto médio de cada classe (xi) e, em seguida,
multiplicamos por cada freqüência. Para calcular a média utilizamos a
fórmula:
i
ii
f
fxX
.
45
NOTAS DE MATEMÁTICA DA TURMA A DO COLÉGIO X –BELÉM/PA- 2016
i Notas Alunos (fi) PM: ix
fxi .
1 2 3 4 5 6
1 I– 2 2 I– 3 3 I– 4 4 I– 5 5 I– 6 6 I– 7
1 1 2 7 5 4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,5 2,5 7,0 31,5 27,5 26,0
Total 20 96,0
8,420
96.
i
ii
f
fxX
20 Passo: subtrair a média dos pontos médios ( ix
- X
), elevar ao quadrado
( ix
- X
)2 e multiplicar pela freqüência ( ix
- X
)2.fi.
NOTAS DE MATEMÁTICA DA TURMA
A DO COLÉGIO X –BELÉM/PA- 2016
i Notas Alunos (fi) PM: ix
fxi .
( ix
- X
) ( ix
- X
)2 ( ix
- X
)2.fi
1 2 3 4 5 6
1 I– 2 2 I– 3 3 I– 4 4 I– 5 5 I– 6 6 I– 7
1 1 2 7 5 4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,5 2,5 7,0
31,5 27,5 26,0
-3,3 -2,3 -1,3 -0,3 0,7 1,7
10,89 5,29 1,69 0,09 0,49 2,89
10,89 5,29 3,38 0,63 2,45 11,56
Total 20 96,0 34,2
30 Passo: cálculo da variância.
1- Amostra:
8,119
2,34
1
.)( 2
2
i
iii
f
fxxS
2- População:
71,120
2,34.)( 2
2
i
iii
f
fxx
40 Passo: cálculo do Desvio Padrão: extrair a raiz quadrada da variância.
1- Dados amostrais:
34,18,11
.2
i
ii
f
fxxS
2- Dados populacionais:
71,1
.2
i
ii
f
fxx
1,31
46
PROBABILIDADE EXPERIMENTO ALEATÓRIO OU CASUAL
- É todo experimento que, repetido em condições consideradas idênticas,
pode apresentar resultados diferentes. Por exemplo:
1- Lançar um dado e observar o número de pontos obtidos.
2- Lançar uma moeda e observar a face de cima.
3- De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta e observar o seu naipe.
ESPAÇO AMOSTRAL
- Chamamos de Espaço Amostral (S), ao conjunto formado por todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório.
Espaço Equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer. Por
exemplo:
1- Lançar uma moeda e observar a face de cima.
S = { k, c }, onde k é cara e c é coroa (Espaço Amostral finito)
2- Lançar um dado e observar o número de pontos obtidos.
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } (Espaço Amostral finito)
3- Uma moeda é lançada até que o resultado cara (K) ocorra pela primeira vez.
Observa-se em qual lançamento esse fato ocorre.
S = {1, 2, 3, 4, ... } (Espaço Amostral infinito)
EVENTO
É todo subconjunto do Espaço Amostral (S). Em geral indicamos um evento por
uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, X, Z, etc. Por exemplo:
1- Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima S = { 1, 2, 3, 4,
5, 6}.
A: Ocorrência de número ímpar. A = {1, 3, 5 }
B: Ocorrência de número primo. B = { 2, 3, 5 }
C: Ocorrência de número menor que 4. C = { 1, 2, 3 }
D: Ocorrência de número menor que 7. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E: Ocorrência de número maior ou igual a sete. E=
47
2) Uma moeda é lançada 3 vezes, e observa-se a sequência de caras e
coroas:
S = {(k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), (k,c,c), (c,k,k), (c,k,c), (c,c,k), (c,c,c)}
A: A ocorrência de cara(K) no primeiro lançamento.
A = {(k,k,k), (k,k,c),(k,c,k), (k,c,c)}
B: A ocorrência de exatamente, uma coroa (c).
B = {(k,k,c), (k,c,k), (c,k,k)}
No exemplo do lançamento do dado, os eventos simples são:
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.
CLASSIFICAÇÃO DE UM VENTO
Seja A um evento e S o espaço amostral:
Evento Certo: A = S;
Evento Elementar: A ⊂ S;
Evento Impossível: A = .
PROBABILIDADE DE UM EVENTO EQUIPROVÁVEL:
Seja S um espaço amostral equiprovável, finito e não-vazio e A um
evento (subconjunto) de S. A probabilidade de ocorrer algum elemento de A é
indicado por P(A) é definida por:
P(A) = Nº de casos favoráveis à A n(A)
Nº de resultados possíveis do experimento n(S)
EXEMPLOS:
1) No lançamento de uma moeda, qual é a probabilidade de obter a face
cara?
Solução:
Indicado por K e C as faces cara e coroa, respectivamente, temos o espaço
amostral:
S = { K , C }, n(S) = 2
O evento que queremos é A = {K}, n(A)= 1. Logo,
48
Logo, P(A)=
2) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter, na face
voltada para cima, um número de pontos menor que 3?
Solução:
O espaço amostral é S={1,2, 3, 4, 5, 6 }, n(S)= 6
O evento que queremos é B = { 1, 2}, n(B) = 2
Logo,P(B)= n(B)/n(S) = 1/3
EVENTOS COMPLEMENTARES
Seja S um espaço Amostral e A um evento de S, dizemos que o complemento
do evento A é denotado por ou Ac, é representado pelo conjunto dos
elementos de S que não pertencem ao evento A.
Exemplo: Seja o espaço amostral do experimento jogar um dado e observar a
face superior, então S ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sendo A o evento nº par: A ={2, 4,
6}, podemos dizer que seu complementar será: = {1, 3, 5}.
Notemos que = e = S, portanto podemos dizer que: a
probabilidade de um evento somado a probabilidade de seu complemento é
igual a 1.
P( ) + P( ) = 1
Observações:
1) O conjunto vazio é chamado evento impossível, não há possibilidade de
que venha a ocorrer o evento, portanto P( )= 0.
2) O próprio espaço amostral S é chamado de evento certo, tem-se a certeza
de que o evento vai ocorrer, portanto P(S)= 1.
3) Observando 1 e 2 podemos perceber que 0 P(A) 1.
Exemplos:
1) Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se uma bola dessa urna, a
probabilidade de se obter uma bola vermelha é de 0,64. Qual é a
probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha?
49
Solução:
Indicado por A o evento formado pelas bolas vermelhas
O complementar de A é o evento formado pelas bolas não-vermelhas.
Logo:P(A) + P( ) = 1⇒ P( ) = 1 – P(A)
Ou seja: P( ) = 1 –0,64 P( ) = 0,36
Portanto a probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha é de
0,36.
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
A probabilidade de ocorrer um elemento de A ou B, indicada por P(A B), é:
P(A B) = = + - ,
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B),
Para eventos mutuamente exclusivos (A B = ), a equação obtida fica:
P(A U B) = P(A) + P(B)
Exemplos:
1) De um baralho de 52 cartas retira-se ao acaso uma carta, qual é a
probabilidade de a carta escolhida ser uma dama ou uma carta de paus?
Solução:
Observe que entre as 52 cartas do baralho há 13 cartas de paus e 4 de
damas. Uma dessas é de paus. Assim, a probabilidade de a carta escolhida
ser dama ou carta de paus será dada por:
P(A B)= P(A) + P(B) – P(A B), onde P(A B) é a probabilidade de ocorrer
dama ou paus, P(A) é a probabilidade de ocorrer dama, P(B) é a
probabilidade de ocorrer paus e P(A B) é a interseção dos elementos de A
com B. Assim temos:
P(A B)= P(A) + P(B) – P(A B)
P(A B)=
, logo:
50
P(A B) = =
2) Uma urna contém, exatamente, vinte bolas numeradas de 1 a 20. Retira-
se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de se obter uma bola
com um número múltiplo de 2 ou de 3?
Solução:
O espaço amostral do experimento é:
S= { 1, 2, 3, 4,..., 20} n(S)= 20
A= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}= n(A)= 10
B= {3, 6, 9, 12, 15, 18} = n(B) = 6
Queremos a probabilidade de ocorrer algum elemento de A ou de B, ou seja,
P(A B). Para isso, precisamos de A B: {6,12, 18}→ n(A B) = 3
Logo temos: P(A B)=P(A) + P(B) - P(A B) → P(A B)=
1) Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 4 bolas brancas.
Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de sair uma
bola vermelha ou uma bola azul? Resp: 2/3
2) Dois eventos A e B, de um espaço amostral E são mutuamente exclusivos.
Sabendo que:P(A B) = e que P(A) = , calcule P(B). Resp: 8/15
3) Seja o espaço amostral S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6} do lançamento de um dado.
Determine a probabilidade de ocorrer os eventos:
a) A: Ocorrência de número par.
b) B: Ocorrência do número 7.
c)C:Ocorrência de 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.
4) Ao atirar num alvo, a probabilidade de uma pessoa acertá-lo é . Qual é a
probabilidade de ela errar? Resp: 2/5
51
ROBABILIDADE CONDICIONAL
A probabilidade de ocorrer o evento A, dado que ocorreu o Evento B é indicada por
P(A/B) e é calculado por: P(A/B)=
e generalizando P(A/B) =
Neste caso, adotamos que o evento B traz uma importante informação para a
ocorrência do evento A, podendo ou não alterar a sua probabilidade. Neste caso,
podemos classificar os eventos como dependentes ou independentes.
A probabilidade de ocorrer o evento B, dado que ocorreu o Evento A é
indicada por P(B/A) e é calculado por:P(B/A)= e generalizando P(B/A)=
Se os eventos A e B forem independentes, teremos P(A/B)= P(A),
caso contrário a fórmula não sofrerá nenhuma alteração e necessitará dos
valores mencionados.
Exemplo:
1) No lançamento de dois dados, observando as faces de cima, para calcular
a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que o outro a
soma dos 2 números é maior que 7, já sabendo que os eventos são
independentes, fazemos:
Solução:
S={(1, 1),(1, 2),(1, 3),1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4) ,( 5, 5), (5,6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(S) = 36
Evento A: número 5 no primeiro dado:
A = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)} = n(A) = 6
Evento B: a soma dos dois números é maior que 7:
B={(2, 6),(3, 5),(3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6,
3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = n(B) = 15
P(A B)={(5, 3),(5, 4),(5, 5),(5, 6)}=n(A B)= 4
52
logo= P(A B)= P(B)=
LOGO: P(A/B)=
→ P(A/B)
=
= ou ou P(A/B)=
=
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
A probabilidade de ocorrer P(A B) é igual ao produto da probabilidade de um deles
pela probabilidade do outro em relação ao primeiro.
Teorema da multiplicação das probabilidades
P(A B)=P(B).P ou P(A B)=P(A) . P
Exemplo:
1) Suponha o experimento aleatório, sorteio de dois números, SEM
REPOSIÇÃO, (só na primeira bola) na retirada de bolas enumeradas de 1 a 10 de
dentro de uma urna.
Obs:O fato do sorteio ser sem reposição, nos informa que o espaço amostral será
modificado após a 1ª bola, logo, concluímos que os eventos A e B são
dependentes.
Espaço Amostral S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(S) = 10
Seja os eventos:
a) A: retirar os números 3 e 5: A = { 3, 5} → n(A)= 2
b) B: retirar um número par. B = { 2, 4, 6, 8, 10} → n(B) = 5
P(A) = e P(B) =
P(A B)= P(A).P(B) ⇒ P(A B)= = = 0,11111111 ou 11,11 %
EXERCÍCIOS
1) Escolhendo ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30, determinar a
probabilidade que ele seja primo. Resp. 37,5%
2) Dois eventos A e B de um espaço amostral equiprovável S, finito, tais que P(A
B)= 3/5 e P(A) =2/3. Calcule P(B/A) ? Resp: 90%
53
3)No lançamento de dois dados, sabe-se que foi obtida nas faces voltadas para
cima, soma dos pontos igual a 6.Qual a probabilidade de que essas faces
apresentem o mesmo número de pontos? Resp: 20%
4) No lançamento sucessivo de duas moedas. Qual é a probabilidade de ocorrerem
duas coroas? Resp:25%
5) Uma vacina contra meningite foi testada entre 1000 crianças, sendo imunizadas
cerca de 800 crianças. Qual o índice de eficácia da vacina? Resp. 80%
6) Seja o evento A: a retirada de uma carta de paus de um baralho de 52 cartas.
Calcule P(Ā)?Resp: 75%
7) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter a
soma dos pontos igual a 8 ou dois números iguais? Resp.27,28%
BIBLIOGRAFIA
- MORETTIN, P.A. & BUSSAB, W.O. Métodos Quantitativos. 4a Ed., São Paulo, Atual Editora Ltda., 1991. 321 p. (Métodos Quantitativos, Vol. 4).
- COSTA NETO, P.L.O. Estatística. 7a Ed., São Paulo, Editora Blucher Ltda., 1987. 264 p.
-TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. LTC. 10a edição 2008. 722p. ISBN 85-216-1586-8 HOEL, P.G. Estatística Elementar. Rio de Janeiro, Editora Atlas, 1989.
- www.portalaction.com.br › Probabilidades
- www.portalaction.com.br › Estatística Básica › Estatísticas descritivas