estática 1

1Prof. MSc. Valtency F. Guimares

Esttica

Instituto Tecnolgico, de Cincias Sociais Aplicadas e da Sade

Curso de Engenharia Mecnica

2

Esttica

Bibliografia Recomendada

Bibliografia BBibliografia Bsica:sica:HIBBELER, R.C. Esttica - Mecnica para Engenharia. So Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.MERIAM, J. L. Mecnica Esttica. 2 Edio. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonalves e Jos Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 1989. BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecnica Vetorial para Engenheiros: Esttica. So Paulo: McGrawHill, 2006.SHAMES, I. Esttica Mecnica para Engenharia. So Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002.

Bibliografia Complementar:Bibliografia Complementar:ARFKEN, G. B. Fsica Matemtica: Mtodos Matemticos para Engenharia e Fsica. Traduzido por Arlete Simille Marques. 1 Edio. Rio de Janeiro: Campus, 2007. GIUDICE N,; Luciano D. Fsica 1 Mecnica: Cinemtica, Dinmica, Esttica, Hidrosttica, Hidrodinmica. Rio De Janeiro: FTD, 1985.CALADA, C. S.; SAMPAIO, J. L. Fsica Clssica Dinmica, Esttica e Hidrosttica. So Paulo: Atual, 1985.

Prof. MSc. Valtency F. Guimares

3Princpios da Dinmica

1. Definio de Mecnica2. Conceitos Fundamentais3. Unidades de Medida

Unidades de Base do SIDefinio das Unidades de BaseUnidades derivadas do SIMltiplos e Submltiplos

Esttica

Introduo - Dinmica

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1. Definio de Mecnica

Introduo

A mecnica pode ser definida como o ramo das cincias fsicas que estuda o estado de repouso ou de movimento de corpos sujeitos ao de foras. Normalmente o estudo da mecnica dividido em trs partes: a mecnica dos corpos rgidos, a mecnica dos corpos deformveis e a mecnica dos fluidos.

A mecnica dos corpos rgidos divide-se em duas reas: esttica e dinmica.

A esttica tem por finalidade o estudo do equilbrio de um corpo em repouso ou em movimento com velocidade constante.A dinmica preocupa-se com o estudo do movimento de corpos sob a ao de foras, ou seja, movimento acelerado dos corpos.

5Observaes

Introduo

A Mecnica uma cincia fsica, pois trata de fenmenos fsicos. Entretanto, alguns associam a Mecnica com a Matemtica, enquanto muitos a consideram assunto de Engenharia. Ambos os pontos de vista so justificveis em parte. A Mecnica o fundamento da maioria das cincias de Engenharia e um pr-requisito indispensvel a seus estudo.

Apesar de a esttica poder ser considerada um caso especial da dinmica, no qual a acelerao nula, ela merece tratamento separado no estudo da engenharia, uma vez que muitos objetos so desenvolvidos com o intuito de que se mantenham em equilbrio.

6

Antes de iniciar o estudo da mecnica, importante compreender o significado de alguns conceitos e princpios fundamentais.

Quantidades bsicas

ComprimentoComprimento. grandeza essencial que localiza a posio de um ponto no espao. A partir do comprimento possvel descrever com exatido a dimenso de um sistema fsico.

TempoTempo. a medida da sucesso de eventos e considerado uma quantidade absoluta. Apesar de os princpios da esttica serem independentes do tempo, essa quantidade desempenha importante papel no estudo da dinmica.

Introduo

2. Conceitos Fundamentais

7MassaMassa. uma propriedade da matria pela qual se pode comparar a ao de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta como uma atrao da gravidade entre dois corpos e fornece a medida quantitativa da resistncia da matria mudana de velocidade.

ForForaa. Pode ser definida como a ao de um corpo sobre outro corpo. Essa interao pode ocorrer quando h contato direto entre os dois corpos ou pode ocorrer distncia, quando os corpos esto fisicamente separados. A fora caracterizada por seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e sentido; uma fora representada por um vetor.

Introduo

Conceitos Fundamentais

8

Introduo


Idealizaes

Ponto MaterialPonto Material (partcula). um corpo cujas dimenses so desprezveis. pois um corpo que em uma situao especfica pode ser considerado como um ponto geomtrico, no que diz respeito s suas dimenses, o que simplifica o estudo, uma vez que a geometria docorpo no ser envolvida na anlise do problema.

Corpo RCorpo Rgidogido. um sistema constitudo de partculas agregadas de um modo tal que a distncia entre as vrias partes que constituem o corpo (ou o sistema) no varia com o tempo (no mudam), ou seja, as distncias entre as vrias partes que compem o corpo so rigorosamente constantes. No apresenta nenhuma deformao relativa entre suas partes.

9Introduo


ForFora Concentradaa Concentrada. Representa o efeito de uma carga admitida como atuando em um ponto do corpo. Um exemplo seria a fora de contato entre uma roda e o terreno.

As trs Leis do Movimento de NewtonPrimeira lei de Newton ou Primeira lei de Newton ou PrincPrincpio dapio da InInrcia rcia -- na ausncia de foras externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objetoem movimento permanece em movimento.

Segunda lei de Newton ou Segunda lei de Newton ou PrincPrincpio Fundamentalpio Fundamental da Dinmicada Dinmica-- a fora aplicada a um objeto igual massa do objeto multiplicado por sua acelerao.

10

Introduo


Terceira lei de Newton ou erceira lei de Newton ou PrincPrincpio da apio da ao e reao e reaoo -- sse um objeto exerce uma fora sobre outro objeto, este outro exerce uma fora de mesma intensidade, de mesma direo e em sentido oposto.

A segunda lei de Newton bsica para a maioria das anlises em Mecnica. Quando aplicada a uma partcula de massa m pode ser fixada como: F = ma (ou de outra forma )onde F a fora resultante que atua sobre a partcula e a a acelerao resultante. A primeira lei de Newton uma consequncia da segunda, desde que no haja nenhuma acelerao quando a fora zero, e a partcula esteja em repouso ou move-se a velocidade constante. A terceira lei bsica para a compreenso de fora. Ela estabelece que as foras sempre ocorrem em pares de igualdade e so opostas, sem observar-se a sua origem, e permanece vlida para todo instante do tempo durante o qual as foras atuam.

amF rr =

11

Lei de Newton de Atrao da Gravidadediz que dois objetos quaisquer se atraem gravitacionalmente por meio de uma fora que depende das massas desses objetos e da distncia que h entre eles. Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distncia d entre si, esses dois corpos se atraem mutuamente com uma fora que proporcional massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distncia que separa esses corpos. Matematicamente:onde:

F a fora mtua de atrao entre os dois corpos;G constante gravitacional universal;m1 e m2 so as massas dos corpos que se atraem entre si; er a distncia entre os dois corpos.

Introduo

221

rmmGF =


12

PesoPeso a fora gravitacional de atrao exercida sobre um corpo pela Terrae depende da posio do corpo em relao Terra. Esta fora existe estando o corpo em repouso ou em movimento:

Todo objeto que deixado cair no vcuo numa dada posio, na superfcie terrestre, ter a mesma acelerao g:

onde: MT a massa da Terra e r o seu raio.

A acelerao devida gravidade, quando determinada pela lei gravitacional, a acelerao de um grupo de eixos de referncia com origem no centro da Terra, porm no girando com a mesma. g = 9,824 m/s2

Introduo

2rGMg T=


2rGmMW T=

13

A variao de g com a altitude pode ser determinada pela lei gravitacional. Se g0 apresenta a acelerao absoluta devido gravidade ao nvel do mar, o valor absoluto numa altitude h :

onde r o raio da Terra.

A massa m de um corpo pode ser calculada pelo resultado de uma experincia gravitacional. Se a fora gravitacional de atrao ou peso verdadeiro de um corpo for W, para uma acelerao absoluta g, tem-se:

W = m.g

Introduo

2

2

0 )( hrrgg +=

Observao

14

Nos ltimos anos, todos os pases do mundo vm adotando o Sistema Sistema Internacional de UnidadeInternacional de Unidade - SI - para todos os trabalhos de Engenharia e cientficos.

Unidades de Base do SI So sete unidades bem definidas que, por conveno so tidas como dimensionalmente independentes:

Introduo

3. Unidades de Medida

15

metrometro (m): (m): o caminho percorrido pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.quilogramaquilograma (Kg):(Kg): igual massa do prottipo internacional, feito com uma liga platina-irdio, dentro dos padres de preciso e confiabilidade que a cincia permite.segundosegundo (s):(s): a durao de 9.192.631.770 perodos da radiao correspondente transio entre os dois nveis hiperfinos do tomo de csio-133, no estado fundamental.ampamprere (A): (A): uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilneos e paralelo, de comprimento infinito e seo transversal desprezvel, colocados a um metro um do outro no vcuo, produziria entre estes dois condutores uma fora igual a 2x10-7 N, por metro de comprimento.

Introduo

Definio das Unidades de Base

16

kelvinkelvin (K): (K): a frao 1/273,16 da temperatura termodinmica do ponto triplo da gua.molmol (mol):(mol): a quantidade de matria de um sistema que contm tantas entidades elementares quantos forem os tomos contidos em 0,012 Kg de carbono-12.candelacandela (cd(cd): a intensidade luminosa, em uma determinada direo, de uma fonte que emite radiao monocromtica de frequncia 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naquela direo de 1/683 W/sr.

Unidades derivadas do SISo formadas pela combinao de unidades de base e outras unidades derivadas, de acordo com as relaes algbricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os smbolos para as unidades derivadas so obtidos por meio dos sinais matemticos de multiplicao e diviso e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadas tm nomes e smbolos especiais.

Introduo

17

Introduo

Unidades derivadas do SI

18

Introduo


19

Introduo


20

Introduo

Mltiplos e Submltiplos

21

Vetores Fora

1. Escalares e Vetores Representao de uma Grandeza Vetorial

2. Operaes VetoriaisMultiplicao e Diviso de um Vetor por um EscalarAdio VetorialSubtrao VetorialDecomposio de Vetores

3. Adio de Foras VetoriaisExercciosAtividades

Esttica

Vetores - Fora

22

1. Escalares e Vetores

Vetores - Fora

EscalarEscalar. uma quantidade caracterizada por um nmero positivo ou negativo.Exemplos: tempo, volume, massa, densidade...

VetorVetor. uma quantidade que tem intensidade e direo. Exemplos: posio, momento, fora...

O vetor O vetor representado geralmente por uma letra com uma flecha sobre ela,representado geralmente por uma letra com uma flecha sobre ela,como em ; empregacomo em ; emprega--se tambse tambm a letra em negrito (m a letra em negrito (FF); sua intensidade, que ); sua intensidade, que sempre uma quantidade positiva, sersempre uma quantidade positiva, ser representada em itrepresentada em itlico lico FF..AssimAssim V = V1 + V2 representa o vetor soma de dois vetores, enquanto representa o vetor soma de dois vetores, enquanto S = S1 + S2 representa a soma de dois escalares. representa a soma de dois escalares.

Fr

23

Representao de uma Grandeza VetorialVetores - Fora

Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por umaseta, que utilizada para definir seu mdulo, sua direo e seu sentido. Graficamente o mdulo de um vetor representado pelo comprimento da seta, a direo definida atravs do ngulo formado entre um eixo de referncia e a linha de ao da seta e o sentido indicado pela extremidade da seta.

A figura mostra a representao grfica de dois vetores fora atuando ao longo dos cabos de fixao de um poste. O ponto O chamado de origem do vetor e o ponto P representa sua extremidade ou ponta.

24

Multiplicao e Diviso de um Vetor por um EscalarO produto do vetor A pelo escalar a, dando aA, definido como o vetor de intensidade intensidade |aA|. O sentidosentido de aA o mesmo de A, desde que a sejapositivo, e oposto a A, se a for negativo.

A diviso de um vetor definida usando-se as leis da multiplicao, visto que A/a = (1/a)A, com a 0.

2. Operaes Vetoriais

Vetores - Fora

25

Adio VetorialDois vetores A e B, tais como uma fora ou posio podem ser somados para formar um vetor resultante resultante R = A + B usando-se a lei do paralelogramo. Para isso, A e B so unidos em suas origens. Retas paralelas desenhadas a partir da extremidade de cada vetor interceptam-se em um ponto comum, formando os lados adjacentes de um paralelogramo. A resultante R a diagonal do paralelogramo que vai das origens de A e B interseco das retas desenhadas.

Operaes Vetoriais

Vetores - Fora

26

Operaes Vetoriais

Vetores - Fora

Dois vetores A e B, tais como uma fora ou posio podem ser somados para formar um vetor resultante resultante R = A + B usando-se a lei do paralelogramo. Para isso, A e B so unidos em suas origens. Retas paralelas desenhadas a partir da extremidade de cada vetor interceptam-se em um ponto comum, formando os lados adjacentes de um paralelogramo. A resultante R a diagonal do paralelogramo que vai das origens de A e B interseco das retas desenhadas.

27

Operaes Vetoriais

Vetores - Fora

Subtrao VetorialA resultante diferena entre dois vetores A e B do mesmo tipo pode ser expressa como:

R = A B = A + (-B)

A subtrao definida, portanto, como um caso especial de adio, de modo que as regras da adio vetorial tambm se aplicam subtrao vetorial.

28

Decomposio de VetoresUm vetor pode ser decomposto em dois componentescomponentes que tm linhas de ao conhecidas usando-se a lei do paralelogramo.Se R for decomposto nos componentes que atuam ao longo das retas a e b, um comea na origem de R e estende-se em uma reta paralela a a at interceptar b. Do mesmo modo, desenha-se uma reta paralela a b a partir da origem de Rat o ponto de interseco com a. Os dois componentes A e B so ento traados de modo que se estendam da origem de R at os pontos de interseco.

Operaes Vetoriais

Vetores - Fora

29

Como uma fora uma quantidade vetorial, uma vez que tem intensidade, direo e sentido especificados, sua soma feita de acordo com a lei do paralelogramo.

3. Adio de Foras Vetoriais

Vetores - Fora

30

Vetores - Fora

Dois problemas comuns em esttica so a determinao da fora resultante, conhecendo-se seus componentes, e a decomposio de uma fora conhecida em dois componentes. Ambos os problemas requerem a aplicao da lei do paralelogramo.

Se a soma envolve mais de duas foras, preciso realizar aplicaes sucessivas da lei do paralelogramo a fim de obter a fora resultante. Por exemplo, se trs foras F1, F2, F3 atuam sobre o ponto O, determina-se a resultante de duas foras quaisquer e depois se adiciona essa resultante terceira fora, obtendo-se a resultante das trs foras.

31

Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma e e subtrasubtrao vetorial, bem como a determinao vetorial, bem como a determinao das componentes de um o das componentes de um vetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senos e dos cosvetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senos e dos cossenos, senos, que representam propriedades fundamentais da trigonometria:que representam propriedades fundamentais da trigonometria:

Dado um tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos senos definida da seguinte forma: Em todo tringulo, as medidas dos seus lados so proporcionais aos senos dos ngulos dos lados opostos.

Vetores - Fora

A partir do mesmo tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos cossenos definida do seguinte modo: Num tringulo, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado.

32

O vetor fora resultante de um sistema de vrias foras concorrentes pode ser determinado como uma extenso da regra do tringulo, combinando-se os vetores fora originais na sequncia ponta-a-cauda e, em seguida, unindo-se a cauda do primeiro desenhado ponta do ltimo desenhado.

Vetores - Fora

A ordem da combinaA ordem da combinao dos vetores originais no altera a foro dos vetores originais no altera a fora resultante a resultante (a soma de vetores (a soma de vetores comutativa). comutativa).

Este mtodo conhecido como regra do polregra do polgonogono

Observao

33

1. O parafuso mostrado na figura est sujeito a duas foras F1 e F2. Determine o mdulo e a direo da fora resultante.

Exerccios

Vetores - Fora

34

ResoluoConstruir um esquema aplicando a regra do paralelogramo de forma a identificar quais so as incgnitas do problema.

Vetores - Fora

A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o tringulo de vetores.

Aplicando-se a lei dos cossenos determina-se o mdulo da fora resultante FR.

O ngulo determinado a partir da lei dos senos, utilizando-se o valor calculado para FR.

Com relao ao eixo x positivo, o ngulo dado por:

35

2. Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a fora resultante igual a 30 kN, encontre sua componentes nas direes AC e BC.

Exerccios

Vetores - Fora

36

ResoluoA partir da regra do paralelogramo, deve-se construir um tringulo envolvendo as foras atuantes nos cabos CA e CB e a fora resultante, de forma a identificar as incgnitas do problema.

Vetores - Fora

Resolvendo para FCA tem-se:

A partir da aplicao da lei dos senos, pode-se determinar os mdulos das foras atuantes em cada um dos cabos CA ou CB:

Resolvendo para FCB tem-se:

37

3. O parafuso tipo gancho mostrado na figura est sujeito a duas foras F1 e F2. Determine a intensidade (mdulo) e a direo da fora resultante.

Exerccios

Vetores - Fora

38

ResoluoPela regra do paralelogramo identifica-se as incgnitas FR e o ngulo .

Vetores - Fora

Aplicando-se a lei dos cossenos determina-se o mdulo da fora resultante FR.

O tringulo devetores pode ser

construdo:

O ngulo determinado aplicando-se a lei dos senos, usando-se o valor calculado de FR.

A direo de FR medida a partir da horizontal :

39

1. Determine a intensidade da fora resultante FR = F1 + F2 e indique sua direo medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixo xpositivo.

R: 867 N; 108

Atividades

Vetores - Fora

40

2. Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo, medida no sentido horrio, em relao ao eixo u positivo.

R: 605 N; 85,4

Vetores - Fora

41

3. A chapa est submetida a duas foras FA e FB como mostra a figura. Se = 60 , determine a intensidade da fora resultante e sua direo em relao ao eixo horizontal.

R: 10,8 kN; 3,16

Vetores - Fora

42

4. A caminhonete mostrada rebocada por duas cordas. Determine os valores de FA e FB de modo a produzir uma fora resultante de 950 N orientada no eixo x positivo, considere = 50 .

R: 774N; 346 N

Vetores - Fora

43

5. Duas foras so aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca mostrada. Determine o ngulo e o valor da fora F de modo que a fora resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750 N.

R: 18,6; 319 N

Vetores - Fora

44

Vetores - Fora

6. A tora de madeira rebocada pelos dois tratores como mostrado na figura. Sabendo-se que a fora resultante igual a 10 kN e estorientada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade das foras FA e FB.Considere = 15

R: 3,66 kN; 7,07 kN

45

7. Utilizando a trigonometria, determine o mdulo e a direo da resultante das duas foras aplicadas no gancho da figura abaixo.

R: 414N; 72

Vetores - Fora

46

Adio de Foras Coplanares

1. Introduo 2. Adio de um Sistema de Foras Coplanares3. Mdulo e Direo da Fora Resultante

ExercciosAtividades

Esttica

Sistemas de Foras

47

1. Introduo

Como discutido, quando os problemas envolvem a adio de mais de duas foras, pode-se aplicar de modo sucessivo a regra do paralelogramo ou o tringulo de vetores de modo a se obter a fora resultante. Um exemplo desse tipo de situao mostrado na figura:

Sistemas de Foras

Assim, nota-se que quanto maior o nmero de foras envolvidas no sistema, maior o tempo dispensado para encontrar a fora resultante, pois se necessita da aplicao da regra do paralelogramo sucessivas vezes gerando um cansativo trabalho de geometria e trigonometria.

48

Porm, este exaustivo processo pode ser suprimido de forma rpida atravs da aplicao do mtodo que utiliza a soma algbrica dos componentes de cada um dos vetores fora que formam o sistema.

Este mtodo denominado mtodo dos componentes retangulares e consiste em trabalhar apenas com os componentes dos vetores, formando desse modo um sistema de foras colineares projetados nos eixos de coordenadas do sistema de referncia.

Quando necessrio obter a resultante de mais de duas foras, mais fcil determinar os componentes de eixos especificados, adicionar algebricamente esses componentes e depois gerar a resultante, em vez de determinar a resultante das foras pela aplicao sucessiva da lei do paralelogramo.

Sistemas de Foras

49

Para um sistema de foras aplicadas a um corpo basta, ento, decompor cada uma das foras em seus componentes retangulares Fx e Fy, que se localizam ao longo dos eixos x e y, respectivamente.Apesar de um eixo ser horizontal e o outro vertical, podem ser orientados com qualquer inclinao, desde que permaneam perpendiculares um ao outro.

Sistemas de Foras

2. Adio de um Sistema de Foras Coplanares

99 ConvenConveno de sinais: o de sinais: xx positivo para a direita, negativo para a esquerda, e positivo para a direita, negativo para a esquerda, e yy positivo para cima, negativo para baixo.positivo para cima, negativo para baixo.99 no plano, utilizamno plano, utilizam--se os se os versoresversores ou ou ii e ou e ou jj..i j

50

Ento, para decompor as foras nos eixos x e y, deve-se utilizar a trigonometria, decomposio em seno e cosseno, para expressar a fora F como um vetor cartesiano:

F = Fxi + Fyj ou

Sistemas de Foras

jFiFF yx +=r

Em suas dimenses, os vetores cartesianos unitvetores cartesianos unitrios rios i e j so usados para designar as direes dos eixos x e y, respectivamente. Esses vetores tm intensidade unitria e seu sentido (ou ponta da flecha) ser descrito analiticamente por um sinal de mais ou de menos, dependendo se apontam ao longo do sentido positivo ou negativo dos eixos x ou y.

51

Sistemas de Foras

Para se determinar a resultante de forresultante de foras coplanaresas coplanares deve-se decompor cada fora em seus componentes x e y e em seguida somar os respectivos componentes usando a lgebra escalar.

Vetores cartesianos:

Fora Resultante:

Soma Vetorial

52

Uma vez que os componentes da resultante estejam determinados, podem ser traados esquematicamente ao longo dos eixos x e y, e a fora resultante pode ser determinada por adio vetorial.

Sistemas de Foras

3. Mdulo e Direo da Fora Resultante

O mdulo (intensidade) de FR determinado pelo teorema de Pitgoras:

O ngulo de direo , que especifica a orientao da fora, determinado trigonometricamente:

53

1. Sabendo que a trao na haste AC vale 638 N, determine a resultante das trs foras exercidas no ponto A da viga AB.

Exerccios

Sistemas de Foras

54

ResoluoUsa-se a lei do paralelogramo, entretanto, nesse caso, decompem-se cada fora em seus componentes x e y e soma-se esses componentes algebricamente.

Rx = 638.cos 43,6 + 702.cos 202,6 + 450.cos 307Rx = 84,7 NRy = 638.sen 43,6 + 702.sen 202,6 + 450.sen 307Ry = -189,2 N

Sistemas de Foras

Pela adio vetorial, o ngulo de direo :

NFFFF RyRxRR 3,20722 =+=

9,65arctan =

=

xR

yR

FF

55

2. O elo da figura est submetido s foras F1 e F2, determine a intensidade e a orientao da fora resultante.

Exerccios

Sistemas de Foras

56

ResoluoDecomposio das foras dadas:

Sistemas de Foras

NjseniF

jsenFiFF

)30.60030cos.600(

)30.30cos.(

1

111

+=+=

rr

NjseniF

jsenFiFF

)45.40045cos.400(

)45.45cos.(

2

222

+=+=

rr

Fora Resultante:

NjiF

jsenseniF

jsenijseniF

R

R

R

)8,5828,236(

)4530.600()45cos40030cos.600(

)45.40045cos.400()30.60030cos.600(

+=++=

+++=

rrr

57

Sistemas de Foras

Fora Resultante:

NjiF

jsenseniF

jsenijseniF

R

R

R

)8,5828,236(

)4530.600()45cos40030cos.600(

)45.40045cos.400()30.60030cos.600(

+=++=

+++=

rrr

Direo da Fora Resultante: 9,678,2368,528arctanarctan =

=

=

x

y

FF

Mdulo da Fora Resultante: NFF RR 629)8,582()8,236(22 =+=

58

1. A extremidade da barra est submetida a trs foras concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a orientao da fora resultante.

R: 485 N; 37,8

Atividades

Sistemas de Foras

59

2. Determine a intensidade da fora resultante e sua direo, medida no sentido horrio a partir do eixo x positivo.

R: 97,8 N; 46,5

Sistemas de Foras

60

3. Trs foras atuam sobre o suporte mostrado na figura. Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modo que a resultante das foras seja orientada ao longo do eixo x positivo e tenha intensidade de 1 kN.

R: 37,0; 889 N

Sistemas de Foras

61

4. Se no exerccio anterior F1 = 300 N e = 20, determine a intensidade e a direo, medida no sentido anti-horrio, a partir do eixo x, da fora resultante das trs foras que atuam sobre o suporte.

R: 717 N; 37,1

Sistemas de Foras

62

5. Quatro foras atuam no parafuso A da figura. Determine a resultante das foras que agem no parafuso.

R: 199,6 N; 4,11

Sistemas de Foras

63

6. Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modo que a resultante das foras seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800 N.

R: 29,1; 275 N

Sistemas de Foras

64

7. O gancho da figura est submetido s foras F1 e F2, determine a intensidade e a orientao da fora resultante.

R: 25,1 kN; 185

Sistemas de Foras

65

8. Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modo que a resultante das foras seja orientada ao longo do eixo x positivo e tenha intensidade de 600 N.

R: 67; 434 N

Sistemas de Foras

66

Vetores Cartesianos

1. Introduo 2. Representao de um Vetor Cartesiano3. Sistemas de Foras Concorrentes

ExercciosAtividades

Esttica

Vetores Cartesianos

67

1. IntroduoVetores Cartesianos

As operaes da lgebra vetorial so simplificadas se os vetores so representados primeiro na forma vetorial cartesiana, principalmente quando aplicadas na soluo de problemas tridimensionais. Alguns pontos devem ser considerados:

Um vetor Um vetor AA pode ter um, dois ou trs pode ter um, dois ou trs componentes ao longo dos eixos de coordenadas componentes ao longo dos eixos de coordenadas xx, , yy e e zz.. A quantidade de componentes depende de A quantidade de componentes depende de como o vetor estcomo o vetor est orientado em relaorientado em relao a esses o a esses eixos.eixos.O vetor A representado pela soma vetorial de seus trs componentes retangulares:

A = A = AAxx + + AAyy + A+ Azz

68

Vetores Cartesianos

Um sistema de coordenadas utilizando a Um sistema de coordenadas utilizando a regra da regra da mo direitamo direita deve ser usado para desenvolver a teoria deve ser usado para desenvolver a teoria da da lgebra vetorial.lgebra vetorial.Diz-se que um sistema de coordenadas retangulares ou cartesiana da mo direita desde que o polegar dessa mo direita aponte na direo positiva do eixo z, quando os dedos dessa mo so dobrados em torno desse eixo e orientados a partir do eixo x positivo para o eixo ypositivo. Se o problema bidimensional, o eixo z estapontado para fora, perpendicularmente pgina.

A direA direo do vetor o do vetor A A especificada usandoespecificada usando--se um se um vetor vetor unitunitriorio, que possui esse nome por ter intensidade , que possui esse nome por ter intensidade igual a 1.igual a 1.Em trs dimenses, o conjunto de vetores unitEm trs dimenses, o conjunto de vetores unitrios rios ii, , jj, , kk usado para designar as direusado para designar as direes dos eixos es dos eixos xx, , yy e e zz, , respectivamente.respectivamente.

69

2. Representao de um Vetor CartesianoVetores Cartesianos

Um vetor cartesiano escrito sob a forma de suas componentes retangulares. As componentes representam a projeo do vetor em relao aos eixos de referncia.Quando se escreve um vetor na forma cartesiana suas componentes ficam separadas em cada um dos eixos e facilita a soluo da lgebra vetorial:

70

Vetores Cartesianos

A intensidade intensidade ou mmdulodulo de um Vetor Cartesiano A determinado pela raiz quadrada positiva da soma dos quadrados de seus componentes:

A orientao de um vetor A no espao definida pelos ngulos diretores coordenados ngulos diretores coordenados , , e medidos entre a origem do vetor A e os eixos positivos x, y e z.

71

3. Sistemas de Foras ConcorrentesVetores Cartesianos

Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de vrias foras concorrentes, a fora resultante ser a soma de todas as foras do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:

72

1. Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura.

Exerccios

Vetores Cartesianos

73

ResoluoFora resultante representada na forma vetorial cartesiana:

)1804050(

)8060()10010050(21

kjiF

kjkjiF

FFFF

R

R

R

+=+++=

+== rr

rrrr

Mdulo da Fora Resultante:

NFF

R

R

1911804050 222

=++=

Vetores Cartesianos

ngulos diretores coordenados da Fora Resultante:

6,19;942,0cos191180coscos

102;209,0cos191

40coscos

8,74;261,0cos19150coscos

====

====

====

R

R

R

R

R

R

FFFFFF

z

y

x

74

2. Duas foras atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ngulos diretores coordenados de F2, de modo que a fora resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800 N.

Exerccios

Vetores Cartesianos

75

ResoluoFora resultante:

Determinao de F1:

Vetores Cartesianos

)(1501502,212

120cos.30060cos.30045cos.300

cos.cos.cos.

1

1

1111111

NkjiF

kjiF

kFjFiFF

+=++=

++=

rrr

NFF

7001506502,212

2

2222

=++=

)(800 NjFR =r

)(1506502,212

1501502,212800

2

2

21

NkjiF

Fkjij

FFFR

++=++=

+=

rr

rrrDeterminao de F2:

Mdulo de F2:

76

ngulos Diretores de F2:

Vetores Cartesianos

6,77700150arccosarccos

8,21700650arccosarccos

108700

2,212arccosarccos

222

22

222

22

222

22

=

=

=

=

=

=

=

=

=

FF

FF

FF

z

y

x

77

1. Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados de F1 = [60i 50j + 40k] N e F2 = [ 40i 85j + 30k] N. Esquematize cada fora em um sistema de referncia x, y, z.

Atividades

Vetores Cartesianos

78

2. Expresse a fora F como um vetor cartesiano.

Vetores Cartesianos

79

3. Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora F que atua sobre a estaca.

R: 50 N; 74,1, 41,3, 53,1

Vetores Cartesianos

80

4. A pea montada no torno est sujeita a uma fora de 60 N. Determine o ngulo de direo e expresse a fora como um vetor cartesiano.

R: 90; -30i -51,96k

Vetores Cartesianos

81

5. O mastro est sujeito s trs foras mostradas na figura. Determine os ngulos diretores 1, 1 e 1 de F1 de modo que a fora resultante que atua sobre o mastro seja F = (350i) N.

R: 45,6, 53,1, 66,4

Vetores Cartesianos

82

6. O poste mostrado na figura est submetido fora F, que tem componentes Fx = 1,5 kN e Fz = 1,25 kN. Se = 75, determine as intensidades de F e Fy.

R: 2,03 kN, 0,53 kN

Vetores Cartesianos

83

7. Os cabos presos ao olhal esto submetidos s trs foras como mostrado na figura. Expresse cada fora na forma vetorial cartesiana e determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante.

R: 407 N; 61,3, 76, 32,5

Vetores Cartesianos

84

8. O suporte est sujeito s duas foras mostradas. Expresse cada fora como um vetor cartesiano e depois determine a fora resultante, a intensidade e os ngulos coordenados diretores dessa fora.

R: 485 N; 104, 15,1, 83,3

Vetores Cartesianos

85

Vetores Posio

1. Introduo 2. Representao de um Vetor Cartesiano3. Sistemas de Foras Concorrentes

ExercciosAtividades

Esttica

Vetor Posio

86

1. Introduo

Ao longo dos estudos ser empregado o sistema de coordenadas, usando-se a regra da mo direita para indicar a localizao de pontos no espao. Os pontos no espao so localizados em relao origem das coordenadas, por meio de medidas sucessivas ao longo dos eixos x, y, z.

Vetor Posio

87

2. Vetores Posio

O Vetor Posio r definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espao em relao a outro.

O vetor posio pode ser escrito na forma cartesiana:

Vetor Posio

88

O Vetor Posio r (ou rAB) calculado a partir da subtrao das coordenadas x, y e z das extremidades dos vetores em anlise. Ele indica o comprimento real ou a distncia entre dois pontos no espao.

Vetor Posio

89

Pode-se definir uma fora como um vetor cartesiano pressupondo que ele tenha a mesma direo e sentido que o vetor posio orientado do ponto A para o ponto B. Essa direEssa direo comum o comum especificada pelo especificada pelo vetorvetorunitunitrio rio uu = = rr//rr::

Vetor Posio

3. Vetor Fora Orientado ao Longo de uma Reta

90

1. A corda mostrada na figura est presa aos pontos A e B, determine seu comprimento e sua direo, medidos de A para B.

Exerccios

Vetor Posio

91

ResoluoVetor Posio AB:A (1,0,-3) mB (-2,2,3) m

Vetor Posio

Mdulo do Vetor Posio:

Vetor Unitrio AB:

mkjir

kjir

kzzjyyixxr

AB

AB

ABABABAB

)623(

))3(3()02()12(

)()()(

++=++=

++=

rrr

mrr

AB

AB

7623 222

=++=

kjiukjiu

rru

ABAB

AB

ABAB

857,0285,0428,07

623 ++=++=

=

rr

rr

92

Vetor Posio

ngulos Diretores:

11573arccos

arccos

=

=

=

AB

ABx

rrr

4,7372arccos

arccos

=

=

=

AB

ABy

rrr

3176arccos

arccos

=

=

=

AB

ABz

rrr

93

2. A placa circular parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabendo que a fora no cabo em A igual a 500 N, expresse essa fora como um vetor cartesiano.

Exerccios

Vetor Posio

94

ResoluoVetor Posio AB:A (0,0,2) mB (1,707;0,707;0) m

Vetor Posio

mkjir

kjir

kzzjyyixxr

AB

AB

ABABABAB

)2707,0707,1(

)20()0707,0()0707,1(

)()()(

+=++=

++=

rrr

mrr

AB

AB

723,22707,0707,1 222

=++=

Mdulo do Vetor Posio:

kjiu

kjiu

rru

AB

AB

AB

ABAB

734,0259,0626,0

723,2

2707,0707,1

+=

+=

=

r

r

rrVetor Unitrio AB: Vetor Fora:

NkjiF

kjiF

uFF AB

)3671303,31(

)734,0259,0626,0.(500

.

+=+=

=

rr

rr

95

Em determinados problemas de esttica necessrio se determinar o ngulo formado entre duas retas ou ento os componentes paralelo e perpendicular de uma fora em relao a um eixo. Em problemas tridimensionais, a soluo por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma maneira rpida de se obter o resultado desejado a partir da lgebra vetorial.

O mtodo que pode ser utilizado o produto escalarproduto escalar entre dois vetores.

Vetor Posio

4. Produto Escalar

96

O produto dos vetores A e B, escrito A . B lido como A escalar B, definido como o produto das intensidades de A e de B e do cosseno do ngulo entre suas origens:

onde 0 180. O produto escalar com frequncia chamado produto escalar de vetores, visto que o resultado um escalar e no um vetor.

Vetor Posio

Para se calcular o produto escalar de dois vetores cartesiano, mPara se calcular o produto escalar de dois vetores cartesiano, multiplicamultiplicam--se seus componentes se seus componentes xx, , yy, , z z e somame somam--se os produtos algebricamente. se os produtos algebricamente.

97

O produto escalar tem duas aplicaes importantes em mecnica:

O ngulo formado entre dois vetores ou retas que se interceptam. O ngulo entre as origens dos vetores A e B pode ser determinado pela expresso:

Se A . B = 0, ento = cos-1 0 = 90, de modo que A ser perpendiculara B.

Vetor Posio

98

Os componentes paralelo e perpendicular de uma reta a um vetor. Os componentes do vetor A paralelo ou colinear reta aa e perpendicular reta aa, mostrados na figura, so definidos por:

Vetor Posio

99

1. A estrutura mostrada na figura est submetida a uma fora horizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa fora paralela e perpendicular ao elemento AB.

Exerccios

Vetor Posio

100

ResoluoVetor Posio

kjiu

kjiurru

AB

ABAB

ABAB

429,0857,0286,0

7

362

++=

++==r

rrr

Vetor Posio AB:

Mdulo do Vetor Posio AB:

)(362 mkjirAB ++=r

mrr ABAB 7362222 =++=

Clculo do Vetor Unitrio AB:

Fora paralela a Barra AB:

NFF

kjijF

uFFF

AB

AB

AB

ABAB

1,257)429,0.0()857,0.300()286,0.0()429,0857,0286,0()300(

cos.

//

//

//

//

=++=++=

== rr

101

Vetor Posio

Vetor Fora paralela a Barra AB:

NkjiF

kjiF

uFF

AB

AB

ABABAB

)1102205,73(

)429,0857,0286,0.(1,257

//

//

////

++=++=

=

rr

rrr

Fora perpendicular a Barra AB:

NkjiF

kjijF

FFF

AB

AB

ABAB

)110805,73(

)1102205,73()300(//

+=++=

=

rr

rrr

Em mdulo:

NFF

FFF

AB

AB

ABAB

1551,257300 22

2//

2

=+=

=

102

1. Determine o comprimento do elemento AB da trelia estabelecendo primeiro um vetor posio cartesiano de A para B e depois determinando sua intensidade.

R: 2,11 m

Vetor Posio

Atividades

103

2. Determine o comprimento AB da biela definindo antes um vetor posio cartesiano de A para B e depois determinando sua intensidade.

R: 467 mm

Vetor Posio

104

Vetor Posio

3. Determine os comprimentos dos arames AD, BD e CD. O anel D estno centro entre A e B.

R: 1,50 m; 1,50 m; 1,73 m

105

4. A cobertura suportada por cabos como mostrado na figura. Determine a intensidade da fora resultante que atua em A.

R: 217 N

Vetor Posio

106

5. Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante que atua sobre o ponto A.

R: 316 N; 60,1, 74,6, 146

Vetor Posio

107

6. A porta mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tenso em AB e CD for FAB = 300 N e FCD = 250 N, expresse cada uma dessas foras como um vetor cartesiano.

R: (285j 93k) N; (159i + 183j 59,7k) N

Vetor Posio

108

7. A Os cabos de trao so usados para suportar o poste de telefone. Represente a fora em cada cabo como um vetor cartesiano.

R: (-43i + 174j 174k) N; (53,2i 79,8j 146k) N

Vetor Posio

109

8. A torre mantida reta pelos trs cabos. Se a fora em cada cabo que atua sobre a torre for aquela mostrada na figura, determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante.Considere x = 20 m e y = 15 m

R: 1,50 kN; 77,6, 90,6, 168

Vetor Posio

110

Equilbrio de um Ponto Material

1. Condio de Equilbrio do Ponto Material2. Diagrama de Corpo Livre

MolasCabos e Polias

3. Equaes de EquilbrioExerccios

4. Produto EscalarExercciosAtividades

Esttica

Equilbrio do Ponto Material

111

1. Condio de Equilbrio do Ponto Material

Um ponto material encontra-se em equilbrio esttico desde que esteja em repouso ou ento possua velocidade constante. Para que essa condio ocorra, a soma de todas as foras que atuam sobre o ponto material deve ser nula, portanto:


Mais frequentemente, o termo Mais frequentemente, o termo equilequilbriobrio ou ou equilequilbrio estbrio estticotico usado para usado para descrever um objeto em repouso.descrever um objeto em repouso.

112

2. Diagrama de Corpo Livre

O diagrama de corpo livre representa um esboo do ponto material livre de seu entorno e mostra todas as foras que atuam sobre ele.


113

Exemplos de Diagrama de Corpo LivreExemplos de Diagrama de Corpo LivreEquilbrio do Ponto Material

114

MolasEquilbrio do Ponto Material

Quando se utilizar uma mola elstica, o comprimento da mola variarem proporo direta com a fora que atua sobre ela. A equao da fora na mola apresentada a seguir:

K a constante elstica da molaS a deformao da mola

115

Cabos e PoliasUm cabo suporta apenas uma tenso ou fora de trao que atua sempre na direo do cabo.


Obs.: Ser sempre considerado que todos os cabos (ou cordas) tm peso desprezvel e so indeformveis.

116

3. Equaes de EquilbrioSe um ponto material estiver submetido a um sistema de foras coplanares localizado no plano x-y, cada fora poder ser decomposta em componentes x e y e para a condio de equilbrio necessrio que as seguintes condies sejam atendidas:


117

Observao


Para resolver problemas de equilbrio de um ponto material deve-se, aps fazer o diagrama de corpo livre que mostre todas as foras que atuam sobre esse ponto, definir os eixos x e y com orientao adequada, identificar todas as intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos das foras no diagrama, e aplicar as equaes de equilbrio Fx = 0 e Fy = 0.

118

1. Determine a tenso nos cabos AB e AD para o equilbrio do motor de 250 Kg mostrado na figura.

Exerccios


119

Resoluo

====030.0

030cos.0

PsenTF

TTF

By

DBx

Peso do motor:P = m.g P = 250.9,81 = 2452 N

Equaes de equilbrio:


Nsen

TsenT BB 49043024520245230. ===

Resolvendo o sistema:

NTT DD 4247030cos.4904 ==

Diagrama de Corpo Livre:

120

2. Determine o comprimento da corda AC da figura, de modo que a luminria de 8 Kg seja suspensa na posio mostrada. O comprimento no deformado da mola lAB = 0,4 m e a mola tem rigidez kAB = 300 N/m.

Exerccios


121


Diagrama de Corpo Livre:Resoluo

Equaes de equilbrio:

====030.0

030cos.0

PsenTF

TTF

ACy

ACABx

Peso da luminria:P = m.g P = 8.9,81 =78,5 N

Nsen

T

senT

AC

AC

15730

5,7805,7830.

===

Resolvendo:

NTT

AB

AB

136030cos.157

==

122


Alongamento da mola: Comprimento deformado da mola:

ms

sskT

AB

AB

ABABAB

453,0300136

.300136.

====

Comprimento do cabo AC:

mll

sll

AB

AB

ABABAB

853,0453,04,0

'

=+=+=

ml

l

lll

AC

AC

AC

ABAC

32,130cos

853,02853,030cos.2

30cos.2

=

=+=+=

123

1. Determine o ngulo e a intensidade de F de modo que o ponto material esteja em equilbrio esttico.

R: 31,8; 4,94 kN

Atividades


124

2. Um caixote de 75 Kg, ilustrado no diagrama, est entre dois prdios e deve ser colocado sobre um caminho que o remover. O caixote suportado por um cabo vertical, unido em A a duas cordas que passam por roldanas fixadas nos prdios, em B e C. Determine a trao em cada uma das cordas AB e AC.

R: 647 N e 478 N


125

3. Determine a fora necessria nos cabos AB e AC para suportar o semforo de 12 Kg.

R: 239 N e 243 N


126

4. A mola ABC da figura tem rigidez de 500 N/m e comprimento sem deformao igual a 6 m. Determine a fora horizontal F aplicada corda que est presa ao anel B de modo que o deslocamento do anel em relao parede seja d = 1,5 m.

R: 158 N


127

5. Determine as foras necessrias nos cabos AB e AC da figura para manter a esfera D de 20 Kg em equilbrio. Dados F = 300 N e d = 1 m.

R: 98,6 N e 267 N


128

6. Considerando a esfera do exerccio anterior, se uma fora F = 100 N for aplicada horizontalmente ao anel em A, determine a maior dimenso d de modo que a fora no cabo seja nula.

R: 2,42 m


129

Equilbrio do Ponto Material de Sistemas Tridimensionais

1. Formulao Matemtica para o Equilbrio em Trs Dimenses ExercciosAtividades

2. Exerccios para Fixao Equilbrio de Trs Dimenses

Esttica

Equilbrio do Ponto Material em Trs Dimenses

130

1. Formulao Matemtica para o Equilbrio em Trs Dimenses


Para o equilbrio de um ponto material necessrio que:

131


Se as foras estiverem decompostas em seus respectivos componentes i, j, k, tem-se:

Para se garantir o equilbrio, necessrio que as trs equaes escalares dos componentes que se seguem sejam satisfeitas:

Essas equaEssas equaes representam a es representam a soma algsoma algbricabrica dos componentes dos componentes xx, , yy e e zz da da forfora que atuam sobre o ponto materiala que atuam sobre o ponto material

132

1. Determine a intensidade e os ngulos diretores da fora F necessrios para o equilbrio do ponto O.

Exerccios


133

ResoluoDeterminao das foras:

kjiu

kjiu

mr

mkjir

rru

OB

OB

OB

OB

OB

OBOB

857,0429,0286,07

632

7632

)(632222

+=

+==++=

+=

=

r

r

r

rrVetor unitrio e Vetor posio:


OB

zyx

uFF

NkF

NjF

NkFjFiFF

rrrr

rrrr

.

)800(

)400(

)(

33

2

1

==

=++=

NkjiF

kjiF

uFF OB

)600300200(

)857,0429,0286,0.(700

.

3

3

33

+=+=

=

rr

rr

134

Condio de equilbrio:

Sistema de equaes:


0600300200800400

0

0

321

=++++=+++

=kFjFiFkjikj

FFFF

F

zyx

rrrrrrr

r

==++===+=

==+=

NFFF

NFFF

NFFF

zzz

yyy

xxx

20006008000

10003004000

20002000

Vetor fora F: )(200100200( NkjiF +=r

Mdulo de F:

NFF

300200100200 222

=++=

135

ngulos diretores de F:


kjiu

kjiu

FFu

F

F

F

300200

300100

300200

300

200100200

+

=

+=

=

r

r

rr

2,48300200arccos

109300100arccos

2,48300200arccos

=

=

=

=

=

=

136

2. A caixa de 100 Kg mostrada na figura suportada por trs cordas, uma delas acoplada na mola mostrada. Determine a fora nas cordas AC e AD e a deformao da mola.

Exerccios


137

ResoluoDeterminao das foras:

kjiu

kjiu

mr

mkjir

rru

AD

AD

AD

AD

AD

ADAD

667,0667,0333,03

221

3221

)(221222

++=

++==++=

++=

=

r

r

rr

rrVetor unitrio e Vetor posio:


ADDD

CCCC

CCCC

BB

uFF

NkW

NkFjFiFF

kFjFiFF

NiFF

rrrrrr

.

)981(

).5,0.707,0.5,0(

)60cos.135cos.120cos.(

)(

==

+=++=

=

NkFjFiFF

kjiFF

uFF

DDDD

DD

ADDD

).667,0.667,0.333,0(

)667,0667,0333,0.(

.

++=++=

=

rr

rr

138


Sistema de equaes:


0981.667,0.667,0

.333,0.5,0.707,0.5,00

0

=+++

=+++=

kkFjF

iFkFjFiFiF

WFFF

F

DD

DCCCB

DCB

rrrrr

=+==+===

0981.667,0.5,00

0.667,0.707,00

0.333,0.5,00

DCz

DCy

DCBx

FFF

FFF

FFFF

139

Soluo das equaes:


NFF

FFF

FF

FFFF

CC

C

CC

CC

CDC

D

813207,1981

0981.207,10981.706,0.5,0

0981)).059,1.(667,0(.5,0

.059,1667,0

.707,0

===

=+=+

==

NFFF

NFF

BB

B

D

D

7,69304,2875,4060862.333,0813.5,0

862813.059,1

=+==

==

Deformao da mola:

ms

s

sskFB

462,01500

7,693.15007,693

.

==

==

140


1. Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio de equilbrio do ponto material ilustrado na figura.

R: 800 N; 147 N; 564 N

Atividades

141


2. Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio de equilbrio do ponto material.

R: 5,60 kN; 8,55 kN; 9,44 kN

142


3. Os trs cabos so usados para suportar a luminria de 800 N. Determine a fora desenvolvida em cada cabo para a condio de equilbrio.

R: 1,20 kN; 0,40 kN; 0,80 kN

143


4. Determine a intensidade e o sentido de F1 necessrios para manter o sistema de foras concorrentes em equilbrio.

R: 608 N;79,2, 16,4, 77,8

144


5. Um cilindro de 200 Kg pendurado por meio de dois cabos, AB e AC, amarrados ao topo de uma parede vertical. Uma fora H, horizontal e perpendicular parede, mantm o peso na posio ilustrada. Determine a intensidade de H e a trao em cada cabo.

R: 235 N; 1401 N e 1236 N

145


6. Determine a intensidade e o sentido de P necessrios para manter o sistema de foras concorrentes em equilbrio.

R: 1,61 kN; 136, 128, 72

146

1. Considere que o cabo AB esteja submetido a uma fora de 700 N. Determine as foras de trao nos cabos AC e AD e a intensidade da fora vertical F.

Exerccios para Fixao EquilEquilbrio de Trs Dimensesbrio de Trs Dimenses


147

ResoluoDeterminao da fora em cada cabo:A (0,0,6)B (2,3,0)C (-1,5;2;0)D (-3,-6,0)


)( kFF =rFora F:

mr

mkjir

AB

AB

7632

)(632222 =++=

+=r

Cabo AB:Vetor posio:

NkjiF

kjiF

uFF

AB

AB

ABABAB

)600300200(

)857,0429,0286,0.(700

.

+=+=

=

rr

rr

kjiu

kjiu

AB

AB

857,0429,0286,07

632

+=

+=r

rVetor unitrio:

Vetor fora AB:

148


mr

mkjir

AC

AC

5,6625,1

)(6215222 =++=

+=rCabo AC:Vetor posio:

NkFjFiFF

kjiFF

uFF

ACACACAC

ACAC

ACACAC

).923,0.307,0.230,0(

)923,0307,0230,0.(

.

+=+=

=

rr

rr

kjiu

kjiu

AC

AC

923,0307,0230,0

5,6

625,1

+=

+=r

rVetor unitrio:

Vetor fora AC:

149


mr

mkjir

AD

AD

9663

)(663222 =++=

=rCabo AD:Vetor posio:

NkFjFiFF

kjiFF

uFF

ADADADAD

ADAD

ADADAD

).666,0.666,0.333,0(

)666,0666,0333,0.(

.

==

=

rr

rr

kjiu

kjiu

AD

AD

666,0666,0333,09

663

=

=r

rVetor unitrio:

Vetor fora AD:

150


Sistema de equaes:


0.666,0.666,0.333,0.923,0

.307,0.230,0600300200

0

0

=++++

=+++=

kFkFjFiFkF

jFiFkji

FFFF

F

ADADADAC

ACAC

ADACAB

rrrrr

=+=====

0.666,0.923,06000

0.666,0.307,03000

0.333,0.230,02000

FFFF

FFF

FFF

ADACz

ADACy

ADACx

151

Soluo das equaes:


NFF

FFF

FF

FFFF

ACAC

AC

ACAC

ACAC

ACADAC

AD

57,131766,0

1000.766,0100

0.459,0400.307,03000)).690,0600.(666,0(.307,0300

.690,0600333,0

.230,0200

===+

=++=+

==

NFF

FF

AD

AD

ACAD

21,50957,131.690,0600

.690,0600

===

NFF

FFFF ADAC

57,106021,509.666,057,131.923,0600

021,509.666,057,131.923,06000.666,0.923,0600

=++=

=+=+

152


1. Determine a deformao necessria em cada mola para manter a caixa de 20 Kg na posio de equilbrio. Considere que cada mola tem comprimento de 2 m sem deformao e rigidez k = 300 N/m.

R: 0,217 m; 0,326 m

Atividades de Reviso - EquilEquilbrio de Trs Dimensesbrio de Trs Dimenses

153


2. A luminria mostrada na figura tem massa de 15 Kg e suportada por um poste AO e pelos cabos AB e AC. Se a fora no poste atua ao longo de seu eixo, determine as foras em AO, AB e AC para a condio de equilbrio.

R: 319 N; 110 N; 85,8 N

154


3. Determine a fora necessria que atua ao longo do eixo de cada uma das trs escoras para suportar o bloco de 500 Kg.

R: 19,2 kN; 10,4 kN; 6,32 kN

155


4. Determine a fora necessria em cada um dos trs cabos para levantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas.

R: 16,6 kN; 16,6 kN; 55,2 kN

156


5. O vaso suportado pelos cabos AB, AC e AD. Determine a fora que atua em cada cabo para a condio de equilbrio. Considere d = 2,5 m.

R: 312 N; 312 N; 580N

157


6. A unio da estrutura espacial est sujeita s foras dos quatro elementos. O elemento AO localiza-se no plano x-y e o elemento OB, no plano y-z. Determine as foras que atuam em cada um dos elementos necessrias para o equilbrio da unio.

R: 0 N; 311,14 N; 238,35 N

NN

estática 1

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