ESPELHOS E LENTES

ESPELHOS PLANOS

Fig 1. Uma fonte luminosa pontual O, chamada objeto, está a uma distância p de um espelho plano. Raios luminosos provenientes de O são refletidos pelo espelho. Se o olho de um observador intercepta alguns dos raios refletidos, ele tem a impressão de que existe uma fonte luminosa pontual I atrás do espelho, a uma distância i. A fonte fictícia I é uma imagem virtual do objeto O.

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Embora para os povos primitivos os espelhos tivessem propriedades mágicas, origem de lendas e crendices que estão presentes até hoje, para a física são apenas superfícies polidas que produzem reflexões regular. A forma geométrica da superfície determina as propriedades do espelho.

Fig 2. A figura ao lado mostra dois raios. O raio Ob é perpendicular ao espelho e o raio Oa fazendo um ângulo arbitrário θ com a normal à superfície do espelho.

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Os triângulos aOba e aIba têm um lado comum e três ângulos iguais e são portanto congruentes (têm a mesma forma e tamanho), de modo que os lados horizontais têm o mesmo comprimento. Logo,

Ib Ob=onde Ib e Ob são as distâncias entre o espelho e a imagem e entre o espelho e o objeto, respectivamente. Por convenção, as distâncias dos objetos são consideradas positivas e as distâncias de imagens virtuais são consideradas negativas. Assim, as distâncias p e i são relacionadas por:

(espelho plano)i p= −

Fig. 3 – Um feixe estreito de raios provenientes de O penetra no olho depois de ser refletido pelo espelho. Apenas uma pequena região do espelho, nas vizinhanças do ponto a, está envolvida nesta reflexão. A luz parece se originar em um ponto I atrás do espelho.

Formação da Imagem de um Objeto – Espelho Plano3

Na figura acima (fig.4) representamos um objeto vertical de altura h0 (valor que se considera positivo) e à distância p (que também se considera positivo). Para encontrar a imagem do objeto basta encontrar a imagem do ponto O. Fazendo sair desse ponto dois raios luminosos. O raio 1 incide normalmente no espelho. O raio 2 incide segundo um ângulo α e emerge, portanto, fazendo um ângulo α com a normal, de acordo com as leis da reflexão. Os dois raios emergentes não se encontram. Mas o seu prolongamento encontra-se atrás do espelho, no ponto I, que é a imagem virtual de O. Da semelhança dos triângulos OMN e IMN resulta que o tamanho da imagem é igual à do objeto, ou seja, hi = h0.

A razão entre a altura da imagem e a altura do objeto, em qualquer situação de formação de imagem, denomina-se ampliação, m; ou seja;

ou (ampliação)i

o

h im mh p

= = −

Para um espelho plano m = 1.

4IMAGENS – ESPELHOS PLANOSA imagem de qualquer figura ou objeto em um espelho plano é formada pela imagem de cada um de seus pontos.

Podemos concluir que as imagem das figuras acima são:

• Direta (não é invertida) e igual (de mesma altura) em relação aoobjeto• Virtual, isto é, formada pelos prolongamentos dos raios refletidos pelo espelho.

Figura 5

Fig. 6

Associação de Espelhos – os espelhos planos podem ser associados, isto é, colocados lada a lado em ângulos ou dispostos paralelamente entre si. Essas associações podem deslocar ou multiplicas o número de imagens de um objeto.

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Atividades – Montagens com espelhos planos

1) Associação de espelhos – dois espelhos iguais (dispostos com um livro);

2) Caleidoscópio – três tiras retangulares iguais de espelhos dispostos na forma de prisma triangular.3) Imagem aprisionada – três espelhos, retangulares ou quadrados, dispostos perpendicularmente entre si.4) Periscópio – dois espelhos planos retangulares iguais, dispostos em ângulo de 45o .

Fig. 7

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Espelhos Esféricos – é qualquer superfície ou calota esférica espelhada. Se a parte espelhada for interna, o espelho é côncavo; se for externa, o espelho é convexo. O espelho côncavo pode ser obtido encurvando um espelho plano para dentro e o convexo para fora (ver figuras abaixo).

Fig.9 Espelho côncavo Fig.10 Espelho convexo

No espelho côncavo temos imagem mais afastada e maior do que no espelho plano.

No espelho convexo temos imagem mais próxima e menor do que no espelho plano.

Alguns elementos dos espelhos esféricos

C, centro de curvatura: centro de curvatura da esfera que contém a calota;V, vértice: centro geométrico da calota;r, raio de curvatura: raio da calota esférica (distância entre C e V);S, eixo principal: reta que contém C e V;S’, eixo secundário: reta qualquer que contém C, mas não passa por V.

Fig.8

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Figuras acima: (a) Em um espelho côncavo, a luz paralela incidente é trazida para o foco real em F, no lado R do espelho. (b) Em um espelho convexo, a luz paralela incidente parece divergir de um foco virtual em F, no lado V do espelho.O ponto F é chamado de foco do espelho ( ou ponto focal), e sua distância até o centro do espelho é a distância focal f do espelho.

Para o espelho côncavo dizemos que o foco é real (situado do lado R) e para o espelho convexo dizemos que o foco é virtual (situado do lado V). A distância focal f do espelho côncavo é considerada uma grandeza positiva, enquanto a do espelho convexo é considerada uma grandeza negativa.

Para ambos os espelhos, a distância focal f está relacionada ao raio de curvatura r (positivo para o espelho côncavo e negativo para o espelho convexo) por:

12 (espelho esférico)f r=

Fig.11 Fig.11

8Relação entre a distância p do objeto ao espelho, a distância i da imagem ao espelho e a distância focal f, que é

1 1 1 (espelho esférico)p i f+ =

Prova: Da figura (teorema: um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos opostos) temos ;

Fig. 12 - Um objeto puntiforme O forma uma imagem puntiforme real I, por reflexão em um espelho esférico côncavo.

e 2 2 β α θ γ α θ α γ β= + = + ⇒ + =

12 ac ac ac f r

p r iα β γ= = = =

(*)

(**)

De (*) e (**), ficamos com1 1 1 (espelho esférico)p i f+ =

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1 1 2 Das equações

1 1 1

r i pp i r

p i fp i f

+ = ⇒ →∞ ∴ = − + = ⇒ →∞ ∴ =

O tamanho do objeto, ou da imagem, medidos perpendicular ao eixocentral do espelho é chamado de altura. Na figura 5, os comprimentos das setas O e I representa a altura ho do objeto e a altura hi da imagem. A razão entre estas alturas é a amplitude lateral m produzida pelo espelho. Por convenção, a amplitude lateral sempre inclui um sinal (+), se a imagem tem a mesma orientação do objeto; e um sinal (-) se a orientação é contrária. Logo,

(amplitude lateral) ou i

o

h im mh p

= = −

Fig. 13 – (a) Um objeto O, na margem interna ao ponto focal de um espelho côncavo, e sua imagem virtual I. (b) o objeto no ponto focal F. (c) O objeto além do ponto focal, e sua imagem real I.

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Fig. 14 – Em (a) e (b) Quatro raios podem ser desenhados para determinar a imagem de um objeto num espelho côncavo. Para a posição mostrada no objeto, a imagem é real, invertida, e menor do que o objeto. Em (c) e (d) Quatro raios podem ser desenhados para determinar a imagem de um objeto num espelho convexo. A imagem é sempre virtual, com a mesma orientação do objeto, e menos do que o objeto.

Como traçar os Raios – Espelho Côncavo e Convexos

Podemos localizar graficamente a imagem de qualquer ponto fora do eixo, traçando quaisquer dois dos quatros raios especiais (veja os raios 1, 2, 3, 4 na figura abaixo): I - Um raio paralelo ao eixo central se reflete passando pelo ponto focal (raio 1 em (a)).II - Uma raio que passa pelo ponto focal se reflete paralelo ao eixo central (raio 2 em (a)).III – Um raio que passa pelo centro de curvatura C se reflete retornando pelo mesmo caminho (raio 3 em (b).IV – Um raio que tem seu ponto de reflexão na interseção do espelho com o eixo central, centro do espelho, se reflete simetricamente, em relação ao eixo central (raio 4 em (b).

11Superfícies Refratoras EsféricasVamos examinar imagens formadas pela refração dos raios luminosos em interfaces esféricas. A luz será emitida por um objeto pontual O em um meio de índice de refração n1 e incidirá em uma interfase esférica com um meio de índice de refração n2. Nosso principal interesse é determinar se o raio luminoso, depois de refratado na interface, formarão uma imagem real ou virtual, e isto depende dos valores relativos dos índices de refração e da geometria da situação em questão.

Na próxima página será apresentada figuras mostrando a formação de seis modos pelos os quais uma imagem pode se formar por refração em uma superfície esférica.

Espelhos Esféricos Interfases Esféricas

As imagens reais se formam do mesmo lado do espelho em que se encontra o objeto, enquanto as imagens virtuais se formam do lado oposto.

As imagens formadas por refração em uma interfase são virtuais quando se encontram do mesmo lado (meio) do objeto e reais quando se encontram do lado oposto.

1 1 1 2p i f r+ = = 1 2 2 1n n n n

p i r−

+ =

i

o

h imh p

= = −

m positivo – imagem diretam negativo – imagem invertida

Obs: espelho plano m = 1.

1

0 2

ih n imh n p

= = −

Obs: para superfície refletora plana

1 2 0n np i+ =

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Fig. 15 – Seis modos pelos os quais uma imagem pode ser formar por refração em uma superfície esférica de raio r e centro de curvatura C. A superfície separa um meio de índice de refração n1 de um meio de índice de refração n2. O objeto pontual O está sempre no meio de índice de n1, à esquerda da superfície. A superfície “amarela” é q que possui maior índice de refração. Imagem reais são formadas nos casos (a) e (b), em (c), (d), (e) e (f) são formadas imagens virtuais.

13Lentes DelgadasUma lente é um corpo transparente limitado por duas superfícies refratoras cujos eixos centrais coincidem. Vamos nos limitar ao caso de lentes delgadas, isto é, de lentes nas quais a distância objeto p, a distância da imagem i e os raios de curvatura r1 e r2 das duas superfícies da lente são muito maiores que a espessura da lente.

Propriedades das lentes

A propriedade característica de uma lente do tipo mostrado na figura abaixo é que todo raio paralelo ao eixo da lente que passa para o outro lado da lente converge para o ponto F2 e forma uma imagem real nesse ponto. Tal lente é chamada de lente convergente. O ponto F1 é chamado de primeiro foco, o ponto F2 é o segundo foco (foco real) e a distância f é chamada distância focal.

Fig.16

Fig.17

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A figura abaixo mostra uma lente divergente; dois raios paralelos que incidem sobre a lente divergente depois da refração. Os focos de uma lente divergente (ou negativa) estão em posições invertidas em relação aos focos de uma lente convergente.

Relação entre p, i e f – lentes delgadas

Fig.18

Na fig.18, os dois ângulos α são iguais, os dois ângulos β também são iguais. Os dois triângulos retângulos OQE e IQ’E são semelhantes, os triângulos EAF2 e IQ’F2 também são semelhantes. As razões entre os lados correspondentes dos triângulos semelhantes são iguais. Logo,

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(*) (**)

ou ou eo i i o i i

o o

h h h h h hi i fp i h p f i f h f

−= − = − = − = −

−

Igualando (*) e (**), temos (***)1 i i f ip f f

−= = −

Dividindo (***) por i, ficamos com

(relação objeto-imagem - lente delgada)1 1 1 p i f+ =

(ampliação - lente delgada) imp

= −De acordo com (*), temos

Pelo exposto acima, vimos que as equações fundamentais para as lentes delgadas são correspondente as obtidas para espelhos esféricos.

A equação do fabricante de lentes é dada por

1 2

1 1 1( 1)nf r r

= − −

As regras de sinais apresentados abaixo podem ser usadas para assuperfícies refletoras e refratoras planas e esféricas:1. A distância do objeto p é positiva quando o objeto está do lado dos raios incidentes sobre a superfície (objeto real) e negativa no caso contrario;2. A distância da imagem i é positiva quando a imagem está do lado dos raios que emergem da superfície (imagem real) e negativa caso contrário;3. O raio de curvatura r é positivo quando o centro de curvatura está do lado dos raios que emergem da superfície e negativo no caso contrário;4. A ampliação m é positiva quando a imagem é direta e negativa quando ela é invertida.