histÓria da matÉria - gradadm.ifsc.usp.br - modelos atomicos.pdf · Átomo ⇒ massa...
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HISTRIA DA MATRIA
Leucipo e Demcretes (V a.C.)
Tudo que existe composto de elementos indivisveis
tomo a = negao; tomo = divisvel
Entidades discretas, infinitamente duras, no modificveis, eternas e indivsveis
Aristteles (III a.C.)
Contra o atomicismo
Senso comum: slidos so slidos, lquidos so lquidos, e no um monte de pequenas partculas que ningum v!
Influncia dura mais de 2000 anos: conceito de tomo esquecido
John Dalton (1808)
Reintroduz o tomo
Elementos so constitudos de tomos idnticos e indivisveis
tomos de um mesmo elemento possuem mesmo tamanho e massa
tomos de diferentes elementos se distinguem apenas por sua massa
tomos no podem ser criados ou destrudos por processos qumicos (indestrutveis)
Reaes qumicas tomos dos materiais iniciais so reorganizados em propores definidas
tomos podem se combinar (sntese) e se separar (anlise)
Teoria explica perfeitamente os teoremas introduzidos (resultados experimentais)
Unidade de massa atmica massa do tomo de hidrognio
1 u (uma, amu) = 1 Da = 1,66 .10-27 kg
Nova pergunta comum: de que feito o tomo?
Michael Faraday (1832)
Eletrlise dividir atravs da eletricidade
4H2O (l) + 4e- 2H2 (g) + 4OH
- (aq)
e-
e-
+
gs H2
gs O2
bateria ou fonte DC
bolhas de H2 bolhas de O2
H2O
nodo ctodo
V
2.V
2H2O (l) O2 (g) + 4H
+ (aq) + 4e-
Lei de Faraday: em uma eletrlise,
o nmero de moles liberado em um
eletrodo proporcional carga que
flui pela soluo eletroltica
nmero moles = relao entre
massa e massa molar (mol)
George Johnstone Stoney (1874)
Existncia de transportadores de cargas eltricas ligados ao tomo eltrons
William Crookes (1879)
Raios catdicos so constitudos de corpsculos
Philipp Lenard (1890)
Experimentos sistemticos para analisar os raios catdicos
Jean Baptiste Perrin (1895)
Raios catdicos so constitudos de corpsculos com carga eltrica negativa
Novo desafio: determinar a massa m e a carga q do corpsculo
Joseph John Thomson (1897)
Descobre o eltron
Supe que os eltrons (raios catdicos) j esto presentes nos tomos do ctodo
Encontra a relao q/m para o eltron
q/m = 1,76 .1011 C/kg
Joseph John Thomson (1904)
1o modelo atmico
Modelo do pudim de ameixas (Plumpudding)
tomo massa uniformemente distribuda, de carga positiva, dentro da qual esto incrustados os pequenos eltrons de carga negativa
tomo excitado: eltrons vibram, emitindo radiao
Robert Andrews Millikan (1910)
Encontra a carga q do eltron
q = 1,6 .10-19 C m = 9,11 .10-31 kg
Ernest Rutherford (1911)
Mostra que o modelo de J. J. Thomson incorreto; substitui por novo modelo
2o modelo atmico
Modelo planetrio
tomo pequeno ncleo positivamente carregado rodeado por uma nvem de eltrons negativos
Ncleo possui praticamente toda a massa do tomo
Nvem de eltrons ocupa praticamente todo o volume do tomo
Eltrons orbitam ao redor do ncleo acelerados (MCU)
Modelo tem uma falha sria:
os eltrons continuamente acelerados deveriam emitir energia (radiao)
devido perda de energia sua trajetria se tornaria espiral
os eltrons deveriam colapsar contra o ncleo
Outra falha:
no explica os espectros de linhas (discretos) obtidos experimentalmente
Niels Bohr (1915)
Novo modelo atmico
Modelo planetrio
Idntico ao modelo de Rutherford, porm postulando determinadas propriedades
Argumento: modelo explica bem os resultados experimentais!!
Postulados de Bohr:
as rbitas dos eltrons no podem ser quaiquer
somente certas rbitas so permitidas
o eltron em sua rbita no emite energia
somente ao passar de uma rbita a outra o eltron ir emitir (ou absorver) energia
rbitas eletrnicas so discretas e estveis
Arnold Sommerfeld (1916)
Extende o modelo de Bohr
Modelo de Bohr-Sommerfeld
rbitas elpticas
Ernest Rutherford (1919)
Descobre o prton como constituinte do ncleo atmico
Identifica o prton como sendo o ncleo do tomo de hidrognio
Prton = o primeiro pois o 1H o menor e mais simples tomo
James Chadwick (1932)
Descobre o neutron
Espectros atmicos
Slidos em altas T
Espectro contnuo
Gs monoatmico (rarefeito)
Espectro discreto
Experimento (emisso)
Eltrons so acelerados pela ddp V em uma ampola de gs rarefeito
Eletrons colidem com tomos do gs, cedendo-lhes energia e levando-os a estados excitados
tomos retornam ao estado normal, emitindo radiao
Radiao passa pela fenda colimadora e decomposta, no prisma, em seus diversos comprimentos de onda
fenda
lmpada
de hidrognio
prisma
detector
Cada tipo de tomo tem
seu espectro caracterstico
Espectro da lmpada de hidrognio
Espectro regular incentiva a busca de uma equao
Balmer (1885)
Srie de Balmer
Rydberg (1890)
cte. de Rydberg
Sries para o hidrognio
Srie de Lyman ultravioleta
Srie de Balmer ultravioleta prximo e visvel
Srie de Paschen infravermelho
Srie de Bracket infravermelho
Srie de Pfund infravermelho
= 36462
2 4
1
=
1
12
1
2 = 2, 3,
1
=
1
22
1
2 = 3, 4,
1
=
1
32
1
2 = 4, 5,
1
=
1
42
1
2 = 5, 6,
1
=
1
52
1
2 = 6, 7,
= 10,972 . 106 m1
1
(1) =
1
3646 2 4
2 =
4
3646
1
22
1
2 =
1
22
1
2
tomos dos elementos alcalinos
Li, Na, K,
Frmulas das sries tem mesmo formato geral
onde R = constante de Rydberg para o elemento considerado
a e b = ctes. para a srie observada
m = inteiro fixo para a srie observada
n = inteiro varivel
1
=
1
2
1
2
Espectros de emisso
Eltrons colidem contra as molculas de um gs
Gs aquecido (excitado) emite luz em seus comprimentos de onda caractersticos
Espectros de absoro
Luz incide sobre o gs frio (normal)
Gs absorve em comprimentos de onda caractersticos, deixando o restante passar
Espectros de emisso versus de absoro
Observa-se experimentalmente que todas as linhas (faltantes) do espectro de absoro aparecem no espectro de emisso, porm o contrrio no ocorre: faltam linhas!!
Modelo do tomo de Thomson
Modelo do pudim de ameixas (1904)
Eltrons imersos na carga positiva
tomo no estado fundamental eltrons fixos em suas posies de equilbrio
tomo no estado excitado eltrons vibram em torno de suas posies de equilbrio
Teoria do eletromagnetismo corpo carregado acelerado emite radiao
modelo com eltron vibrando explica qualitativamente a emisso de radiao por tomos excitados
falta concordncia quantitativa
Ex: tomo de hidrognio
oscilador harmnico
=1
4
+
2
+ = = 4
33
=
=
2 = =
=
3
=
3 = . =
Eltron ir oscilar com frequncia
Valor de e/m (Thomson); valor de e (Millikan)
Valor de NA (no de Avogadro) atravs de experimentos de eletrlise (Dalton)
Valor de rA (raio atmico) a partir da densidade de um slido, seu peso atmico e NA
tomo neutro
Do eletromagnetismo
Substituindo, obtemos a frequncia e o comprimento de onda da radiao emitida pelo tomo de hidrognio
tomo de hidrognio irradia apenas em uma frequncia, no ultravioleta longnquo
1
4= 9 . 109
Nm2
C2
= 2,5 . 1015 s-1 = 1180
+ = + =
=
3
43 =
1
2
1
4
3
=1
2
3
Experimento de Rutherford
Fonte de partculas : feixe paralelo e estreito (colimado por um diafragma)
Alvo: folha muito fina de um metal (ouro)
Feixe de partculas atravessa o alvo apenas diminui um pouco sua velocidade
Partcula sofre deflexes ao atravessar a folha (fora Coulombiana)
Deflexo da partcula depende dos detalhes da trajetria diferente para diferentes partculas do feixe
Feixe emergente divergente
Medida da divergncia medir o nmero de partculas espalhadas em cada regio angular de a + d
Detector camada de composto cristalino ZnS (produz pequena cintilao quando atingido por uma partcula ) microscpio (contagem das partculas)
fonte de
partculas
tela fluorescente circular
folha fina
de ouro
grande parte das
partculas
no defletida partculas espalhadas
feixe de
partculas
Partculas : tomo de hlio duplamente ionizado ; ; = 4 = 2 = 1836
Queremos calcular:
N()d nmero de partculas espalhadas em um ngulo entre e + d
Modelo de Thomson: eltrons em uma esfera de carga positiva
eltrons de um tomo causam mltiplas delexes da partcula
deflexo quadrtica mdia por um nico tomo
N tomos do alvo causam mltiplas deflexes da partcula
deflexo quadrtica mdia total (espalhamento quadrtico mdio total)
deflexo aleatria
teoria estatstica: (distribuio
(random walk) Gaussiana)
2 1 2
2 1 2
2 1 2
= 2 1 2
= 0
2
2
=2
2
2
2
Deflexo mxima no modelo de Thomson
Momento da partcula antes e depois da deflexo
Deflexo mxima max sofrida pela partcula ao interagir com o tomo ser
Precisamos, portanto, calcular a frao de momento perdida durante a interao da partcula com o tomo:
contribuio dos eltrons
contribuio da carga positiva (uniformemente distribuda)
= sin
sin = ,
Contribuio dos eltrons em um tomo
supondo coliso frontal
antes da coliso depois da coliso
conservao de energia e momento:
momento (velocidade) adquirido pelo corpo inicialmente em repouso sempre mximo em uma coliso frontal
perda mxima de momento da partcula por contribuio dos eltrons
=
2
2
=
=
2
2+
2
2
= +
2
2=
2
2+
2
2
2
2 = 2
= +
=
2
=
2 2
= +
= = + =
+ 0 2
, = 2 , = 2
, = 2
Contribuio da carga positiva uniformemente distribuda em um tomo
fora que atua sobre a partcula devido ao elemento de carga dq
fora total sobre a partcula devido carga positiva
fora mxima que atua sobre a partcula devido carga positiva de um tomo
perda de momento da partcula depender do tempo de interao t
tempo de interao mximo tempo mximo em que a partcula permanece dentro do tomo
( )
perda mxima de momento da partcula por contribuio da carga positiva
=1
4
2=
1
4
2
2
max =2
=
= =2
4
2
2
4
2 =
2
4
2
=1
4
22
2
, = max =1
4
22
2
Calculando as duas contribuies
perda mxima de momento da partcula por contribuio da carga positiva
perda mxima de momento da partcula por contribuio dos eltrons
ngulo de deflexo mximo de uma partcula ao passar por um tomo
, = max =1
4
22
2
sin = ,
=1
4
22
2
2 =
1
4
22
1
= 6 . 104 = 6 . 10
4 rad
, = 2
sin = ,
=2
= 2
= 3 . 104 = 3 . 104 rad
1
4= 9 . 109
Nm2
C2
= 1010 m
= 5 MeV = 5 . 1061,6 . 1019 J (tpico)
100 metal tpico
= 1,6 . 1019 C
=1
4
=1
4
1
1860
~104 rad
Calculando a deflexo mxima devido a vrios tomos
Supondo folha de expessura 10-4 cm (dimetro do tomo 2.rA = 2 .10-8 cm)
ngulo mdio do espalhamento
para 0 equao reproduz bem os resultados experimentais
para = (90) equao
observado experimentalmente
Modelo de Thomson no explica o espalhamento !!!
2 1 2
= 2 1 2
104
2 . 108= 0,5 . 104 tomos
102 tomos
2 1 2
104 rad
2 1 2
102 rad 1
2 1 2
1
=
= 2 . 104
2 .104 103500
=
104
=
2
2
2
2
= 2 . 1042 .104
Modelo do tomo de Rutherford
Modelo planetrio (1911)
Todas as cargas positivas esto concentradas em uma pequena regio (ncleo)
Contribuio dos eltrons ao espalhamento pode ser desprezada ( )
Alvo de folha metlica (tomos pesados) massa do ncleo muito maior doque das partculas ncleo permanece fixo durante o espalhamento
Partculas no penetram na regio nuclear partculas e ncleo so cargas puntuais repulso Coulombiana
Velocidade das partculas : v c /20 mecnica no relativstica
~104 rad
Espalhamento da partcula pelo ncleo puntual pesado
Energia nos extremos (- e +)
Momento angular nos extremos (- e +)
Conservao de energia
Conservao do momento angular
= 0 = 0
02
2=0
2
2 0 = 0
=0
2
2 + =
02
2
L = r p
r = +
p = 0
= 0 + = 0
Queremos calcular:
N()d nmero de partculas que defletem com um ngulo entre e + d
Estratgia
Analisar o espalhamento de uma partcula com parmetro de impacto entre b e b + db Essa partcula ser espalhada entre e + d
Usando a Lei de Coulomb, a equao para o momento angular e a Lei de Newton, encontrar uma relao entre b e
Observar que, pela simetria, teremos um anel de impacto de rea da = 2bdb
Supor que a folha metlica seja fina o suficiente, de forma que uma partcula seja defletida apenas por um tomo ao atravess-la em uma folha de rea a e expessura t o nmero de tomos em um volume V = at da folha ser igual ao nmero de anis de rea da na rea a da folha
Calcular o nmero de anis de rea da, e a probabilidade P(b)db de ocorrer um impacto entre uma partcula e um ncleo
Obter a probabilidade P()d de ocorrer um impacto entre uma partcula e ncleo
Para um feixe de I partculas , obter o nmero de partculas defletidas com um ngulo entre e + d
Fora de repulso Coulombiana entre partcula e ncleo em qualquer instante de tempo t
(precisamos encontrar r2)
Momento linear da partcula em qualquer instante de tempo t
Momento angular da partcula em qualquer instante de tempo t
Substituindo na fora
F =1
40
2
2 =
1
40
2
2 cos + sin
=1
40
2
2sin
p = v = + =
+
L = r p = r
+
=
2
1
2=
=
1
0
=1
40
2
0
sin
Usando a 2 Lei de Newton
Integrando sobre todo o espao
limites
=
1
40
2
0
sin =
=
1
40
2
0sin
= 0
= 0
+ = 0 sin
+ = 180
0 sin
0
=1
40
2
0 sin
180
0
0 sin =1
40
2
0 cos 180 + cos 0
0 =1
40
2
0
1 + cos
sin
1 + cos
sin= 40
02
2
Usando as relaes trigonomtricas
Substituindo
Lembrando que a energia cintica do feixe de partculas dada por
Substituindo, encontramos a relao entre b e
cos = cos2 2 sin2 2
sin = 2sin 2 cos
2 1 + cos
sin=
cos 2
sin 2 = cot 2
cot 2 = 400
2
2
= =0
2
2
cot 2 = 80
2
Considerando o caso da coliso frontal, sendo D a distncia de maior aproximao ao ncleo
Conservao de energia
Reescrevendo a relao entre b e em funo de D
= =0
2
2
= =1
40
2
=0
2
2=
1
40
2
=
1
40
2
=
1
40
22
02
cot 2 = 2
onde =
1
40
2
Uma partcula que incide com um parmetro de impacto entre b e b + db ser espalhada entre e + d
Por simetria, teremos um anel de impacto, levando a um anel de espalhamento
Folha metlica (alvo)
expessura t
rea A = mn
volume V = At
densidade atmica
Considerando que a folha muito fina
uma partcula defletida apenas por um tomo
rea do anel de impacto
Nmero de anis de rea da = Nmero de tomos na
Probabilidade de ocorrer o impacto de uma partcula
= =
= 2
= nmero de anis rea do anel
rea da folha =
= 2
Substituindo a equao de b encontrada anteriormente
Reescrevendo a equao, usando a relao trigonomtrica
=
2cot 2 =
2
cos 2
sin 2
=
4
1
sin2 2
cos = cos2 2 sin2 2
sin = 2sin 2 cos
2 cos
2 sin
2 = cos
2 sin
2cos 2 =
sin
2
cos 2
sin3 2 =
cos 2 sin
2
sin4 2 =
sin
2 sin4 2
= 2
8
sin
sin4 2
= 2
2
cos 2
sin 2
4
1
sin2 2 =
2
4
cos 2
sin3 2
Conforme b aumenta, diminui
Essa a probabilidade de que uma partcula seja defletida entre e + d
Mas a radiao possui I partculas
Portanto, o nmero de partculas que sofrem uma deflexo entre e + d ser
Comparando Thomson e Rutherford
Rutherford
Thomson
Espalhamento com o ngulo decresce muito mais rapidamente no modelo de Thomson!!!
=
sin
sin4 2
2 .104
= 5
= 1 ~103
= 5
= 1 ~1031
=2
8
sin
sin4 2
=
=2
8
sin
sin4 2
Geiger e Marsden (1911): testam a equao obtida por Rutherford em uma srie de experimentos dependncia com , t e Kfeixe so plenamente satisfeitas
Modelo de Rutherford: fornece um limite para o tamanho do ncleo, desde que no ocorra penetrao na regio nuclear da partcula Z grande
Para tomos com Z pequeno, divergncias experimentais mostram que ocorre penetrao nuclear da partcula Modelo de Rutherford deixa de funcionar
Falhas do Modelo de Rutherford
Partculas carregadas e aceleradas emitem radiao e perdem energia
eltron deveria espiralar e colapsar com o ncleo
A energia irradiada nesse processo deve ser um contnuo
no explica os espectros atmicos (linhas - discreto)
nucleo =1
40
2
Principal diferena entre os Modelos de Thomson e de Rutherford
Modelo de Thomson
eltrons em uma esfera de carga positiva
maioria das partculas no defletida
algumas partculas so levemente defletida pelos eltrons
Modelo de Rutherford
eltrons em torno de uma carga positiva central e puntual, de grande massa
maioria das partculas no defletida
algumas partculas so levemente defletida pelos eltrons e pelo ncleo
algumas partculas sero fortemente defletida pelo ncleo
Modelo do tomo de Bohr
Postulados (1915) explicam os resultados experimentais!
i. Eltrons se movem ao redor do ncleo em rbitas circulares (atrao Coulombiana) segundo as leis clssicas do movimento
implica na existncia do ncleo atmico
ii. Eltron s pode se mover em uma rbita na qual seu momento angular L um mltiplo inteiro de ( = h/2)
quantiza o momento angular
iii. Apesar de constantemente acelerado, o eltron que se move em uma dessas rbitas estveis no emite radiao eletromagntica energia E permanece constante
elimina o problema da instabilidade
iv. Eltron emite radiao ao mudar, de forma descontnua, de uma rbita estvel (Ei) para outra rbita estvel (Ef) a radiao emitida ter frequncia
se baseia no postulado de Einstein ( )
= =
2 = 1, 2, 3,
=
=
Analisando os postulados com mais detalhes
i.
ii.
=
1
40
2=2
2 = 2 =1
402
=40
2
22 = 1, 2, 3,
rbita estvel
2 = =1
402
=1
402
=1
40
2
1
= 1, 2, 3,
define o raio das rbitas estveis (estados estacionrios)
define a velocidade do eltron nas rbitas estveis
= = 1, 2, 3,
2 = 2 =1
402
iii.
iv.
definindo a constante:
define a energia das rbitas estveis
= +
= 1
40
2
=2
2=
1
40
2
2
= 1
40
2
2
= 1
40
2
2
2
1
2 = 1, 2, 3,
=4
43
1
40
2
define a frequncia da radiao emitida
define o nmero de onda da radiao emitida
=
=
2
= 1
2
1
40
2
2
2
1
2
1
2
= 2
1
2
1
2 = 1, 2, 3,
=
=
2 1
2
1
2 = 1, 2, 3,
Para o tomo de Hidrognio (Z = 1) em seu estado fundamental (n = 1)
Raio atmico
Velocidade do eltron
Energia
Transies no tomo de Hidrognio (Z = 1) para nf = 2
=40
2
2= 0,53
=1
40
2
= 2,18 . 106 m/s
= 1
40
2
2
2= 2,17 . 1018 J = 13,6 eV
Srie de Balmer, caso R = RH
clculos conferem o resultado! =
1
=
1
22
1
2 = 3, 4, 5,
Espectros de absoro tomo de Hidrognio
tomo est inicialmente no estado fundamental
Ao incidir radiao, os ftons contendo energia sero absorvidos
Ocorrero transies eletrnicas, porm sempre com ni = 1
Somente as linhas da Srie de Lyman sero observadas
Espectros de emisso tomo de Hidrognio
tomo irradiado, passando a estados excitados
Ao retornar ao estado fundamental, podero ocorrer transies eletrnicas para as rbitas intermedirias permitidas
Ocorrero transies, com ni > 1 e nf 1
Todas as Sries (Lyman, Balmer, Paschen, Bracket, Pfund, ...) podem ser observadas
=
Modelo de Bohr explica as diferenas observadas entre espectros de absoro e de emisso!
Espectros de absoro para um gs de Hidrognio em alta temperatura
Devido a colises internas, alguns tomos podem passar ao estado excitado ni = 2
Srie de Balmer, alm da Srie de Lyman, poder ser observada
Estimando a populao de tomos no 1o estado excitado distribuio de Boltzmann
onde K = 1,38 .10-23 J/K = cte. de Boltzmann
Energia do estado fundamental
Energia do 1o estado excitado
Supondo gs a T = 105 K 31% dos tomos estaro no 1o estado excitado
Linhas da Srie de Balmer sero observadas
Aplicao: estimar a temperatura na superfcie de estrelas (atmosferas estrelares)
12
=1
2
=
12
1 = 1
40
2
2
2
1
12= 2,17 . 1018 J
2 = 1
40
2
2
2
1
22= 0,544 . 1018 J
1 2
= 1,18 . 105 K
12
= 0,31
Interpretao das regras de quantizao
Modelo de Bohr concordncia experimental
Postulados de Bohr natureza misteriosa
Quantizao grande mistrio!!
Bohr: quantizao do momento angular do eltron se movendo em trajetria circular ao redor do ncleo
Planck: quantizao para a energia total de um ente (por ex. eltron realizando MHS)
Regras de Quantizao de Wilson e Sommerfeld (1916)
Conjunto de regras para a quantizao de qualquer sistema fsico para o qual as coordenadas so funes peridicas no tempo
Incluem quantizao de Bohr e Planck como casos especiais
Interpretao de de Broglie (1924)
(Bohr)
(de Broglie)
As rbitas possveis so aquelas nas quais a circunferncia da rbita pode conter exatamente um nmero inteiro de comprimentos de onda de de Broglie
= =
2
= = =
2 = = 1, 2, 3,
Crtica antiga teoria quntica
Bem sucedida explica
Efeito fotoeltrico
Radiao de corpo negro
Efeito Compton
Calor especfico em slidos a baixas temperaturas
Espectros do tomo de hidrognio (inclusive estrutura fina)
Espectros de tomos dos elementos alcalinos (similares ao 1H: tomos de 1 eltron)
Falhas
NO pode ser aplicada a tomos com mais de 1 eltron nem mesmo para o segundo tomo mais simples: o hlio
NO fornece infos sobre a intensidade das linhas nos espectros
SOMENTE pode ser aplicada a sistemas peridicos, e existem MUITOS sistemas fsicos interessantes que NO SO peridicos