espaços metricos-notas do wagner

7/25/2019 espaos metricos-notas do wagner

1/315

Notas do Curso de SMA-343 - Espacos Metricos

Prof. Wagner Vieira Leite Nunes

Sao Carlos 2.o semestre de 2008


2/315

2


3/315

Sumario

1 Introducao 5

2 Espacos Metricos 7

2.1 Definicoes basicas e exemplos de espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espacos metricos . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Subconjuntos limitados de um espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Distancia de um ponto a um subconjunto em um espaco metrico . . . . . . . . . 412.5 Distancia entre dois subconjuntos de um espaco metrico . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Imersoes isometricas e isometrias entre espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Funcoes Contnuas Definidas em Espacos Metricos 53

3.1 Definicao de funcao contnua em espacos metricos e exemplos . . . . . . . . . . . 53

3.2 Propriedades elementares de funcoes contnuas entre espacos metricos . . . . . . 64

3.3 Homeomorfismos entre espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4 Metricas equivalentes em um espaco metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.5 Transformacoes lineares e multilineares definidas em espacos vetoriais normados . 100

4 Conjuntos Abertos, Fechados - Espacos Topologicos 1154.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2 Relacoes entre conjuntos abertos e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.3 Espacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.4 Conjuntos fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5 Conjuntos Conexos 165

5.1 Definicoes e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2 Propriedades gerais de conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.3 Conexao por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.4 Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6 Limites 213

6.1 Limites de sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.2 Sequencias de nu m e r o s r e a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6.3 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

6.4 Convergencia e topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6.5 Sequencias de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.6 Produtos cartesianos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.7 Limites de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3


4/315

4 SUMARIO

7 Continuidade Uniforme de Funcoes em Espacos Metricos 253

8 Espacos Metricos Completos 2638.1 Sequencias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638.2 Espacos metricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.3 Espacos de Banach e espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

8.4 Extensao de funcoes contnuas ou uniformemente contnuas . . . . . . . . . . . . 2818.5 Completamente de um espaco metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.6 Espaco metricos topologicamente completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2948.7 O teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.8 Metodo das aproximacoes sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9 Bibliografia 315


5/315

Captulo 1

Introducao

Este trabalho podera servir como notas de aula para cursos cujas ementas tratam de espacosmetricos.

Serao exibidos todos os conceitos relacionados com o conteudo acima, bem como propriedadese aplicacoes dos mesmos.

As referencias ao final das notas poderao servir como material importante para o conteudoaqui desenvolvido.

5


6/315

6 CAPITULO 1. INTRODUCAO


7/315

Captulo 2

Espacos Metricos

5.08.2008 - 1.a

7.08.2008 - 2.a

2.1 Definicoes basicas e exemplos de espacos metricos

Comecaremos com a:

Definicao 2.1.1 SejaMum conjunto nao vazio.

Diremos que uma aplicacao

d: M M R

e umametrica (ou distancia) em Mse as seguintes condicoes estao satisfeitas:

(d1) d(x, x) = 0;

(d2) sex, yM ex=y entao d(x, y)> 0;

(d3) d(x, y) =d(y, x) para todo x, yM;

(d4) d(x, z)d(x, y) + d(y, z), para todo x, y , zM.

Observacao 2.1.1

1. (d1) e (d2) implicam que d(x, y)0 para todo x, y M e que d(x, y) = 0 se, e somentese, x= y.

2. (d3) nos diz qued(x, y) e um funcao simetrica nas variaveisx ey.

3. (d4) e conhecida como desigualdade triangular.

Este nome se deve ao fato que, na geometria euclideana, o comprimento de um lado de umtriangulo e sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados do triangulo.

7


8/315

8 CAPITULO 2. ESPACOS METRICOS

x

y

zd(x, z)< d(x, y) + d(y, z)

Com isto temos a:

Definicao 2.1.2 Se d e uma metrica em M entao o par (M, d) sera denominado espacometrico.

Observacao 2.1.2 Quando nao houver possibilidade de confusao nos referiremos ao espacometrico M (ao inves de(M, d)) deixando subentendido a metricad a ser considerada.

Notacao 2.1.1 Se(M, d) e um espaco metrico, os elementos deM serao ditospontos deM.

A seguir daremos alguns exemplos de espacos metricos.

Exemplo 2.1.1 SejaMum conjunto nao vazio.

Consideremos a aplicacao d: M M R dada por

d(x, y) =

0, sex= y

1, sex=y .

Afirmamos qued e uma metrica emM.De fato, as condicoes (d1), (d2) e (d3) sao verificadas facilmente e serao deixadas como

exerccio para o leitor.Mostremos que (d4) ocorre.Sex= z entao temos que

d(x, z) = 0

d(x, y) + d(y, z)

independente deyM (poisd(x, y), d(y, z)0).Sex=z entao temos que

d(x, z) = 1d(x, y) + d(y, z) ()

independente de y M (pois se y = z teremos d(x, y) = 0 mas como y = x= z segue qued(y, z) = 1 assim (*) ocorrera; de modo semelhante sey= z).

Portanto vale (d4), ou seja, d e uma metrica emM.


9/315

2.1. DEFINICOES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPACOS METRICOS 9

Observacao 2.1.3 A metrica acima e denominada metrica zero-um.

Exemplo 2.1.2 Sejam(M, d) um espaco metrico eSM nao vazio.Entao tomando-se a restricao de d sobre S, isto e, d|S : S S R dada por d|S(x, y) .=

d(x, y) parax, ySentao segue qued|S e uma metrica emS.A veririficacao que (d1)-(d4) valem parad

|S sera deixada como exerccio para o leitor.

Observacao 2.1.4 No caso acima S sera dito subespaco (metrico) de Me a metrica d|Ssera ditametrica induzida pela metrica d deM.

Exemplo 2.1.3 SejaM= R ed: R R R

dada pord(x, y)

.=|x y|

parax, y R.Entao d e uma metrica emR pois (d1)-(d4) sao consequencias das propriedades elementares

da funcao valor absoluto (a verificacao disto sera deixado como exerccio para o leitor).

Observacao 2.1.5 No caso acima diremos que a metricad e ametrica usual de R.

Podemos generalizar o exemplo acima, a saber:

Exemplo 2.1.4 SejaM= Rn.Podemos considerar as seguintes aplicacoes

d, d, d : Rn Rn R, j = 1, 2, 3 :

1. d(x, y) .=

(x1 y1)2 + (xn yn)2 =

n

i=1(xi yi)2

12

.

2. d(x, y) .=|x1 y1| + |xn yn|=n

i=1

|xi yi|.

3. d(x, y) .= max{|x1 y1|, , |xn yn|}= max1in

|xi yi|.

As aplicacoesd, d, d sao metricas emRn.De fato, elas cumprem as condicoes (d1),(d2) e (d3) (isto sera deixado como exerccio para

o leitor).A condicao (d4) e facilmente verificada parad e d (isto sera deixado como exerccio para

o leitor).

A condicao (d4) parad sera verificada num exemplo a seguir.

Observacao 2.1.6

1. A metricad acima definida sera denominadametrica euclideana.

Ela provem da formula da distancia entre dois pontos (em coordenadas cartesianas) que euma consequencia do Teorema de Pitagoras (a verificacao disto sera deixado como exercciopara o leitor).

Devido a este fato a metricad sera ditametrica usual de Rn.


10/315


2. Se n = 2 a metrica d e a que da a distancia entre os pontos p e q do plano (ou seja, ocomprimento do segmento de reta que une os pontosp eq, vide figura abaixo).

p

q

d(p, q)

A metricad nos da a distancia entre dois pontos do plano utilizando-se dos catetos de umtriangulo retangulo determinado pelos pontosp eq (vide figura abaixo).

p

q

r

d(p, q)

A metrica d nos da a distancia entre dois pontos do plano utilizando-se o comprimentodo maior cateto de um triangulo retangulo determinado pelos pontos p e q (vide figuraabaixo).

p

q

r

d(p, q)

Geometricamente, temos a seguinte configuracao para as tres distancias acima:


11/315


p

q

d(p, q)

d(p, q)

d(p, q)

3. Sen= 2 temos o plano R2 cujos elementos serao representados por(x, y) ou(u, v), ondex,y,u,v R.

4. Em algumas situacoes identificamosR2 comC, o conjunto dos numeros complexos pormeio da correspondencia(x, y)

x + iy, onde i2

.=

1.

5. Sen= 3 temos o espacoR2 cujos elementos serao representados por(x , y , z)ou(u , v , w),ondex, y , z , u, v , w R.

Com isto temos a

Proposicao 2.1.1 Consideremosd, d, d as metricas definidas no exemplo (2.1.4).Entao, para todo x,y, Rn temos

d(x, y)d(x, y)d(x, y)n d(x, y).Demonstracao:

Observemos que para todo a, b

0 temos que:

a + ba +

b ().De fato, pois

[

a +

b]2 = [

a]2 + 2

a

b + [

b]2 =a + 2

a

b + ba + b.Portanto

a + ba + b como afirmamos.

Observemos que para todo x,y, Rn temos

d(x, y) = max1

i

n|xi yi| [|a|=

a2]

= max1

i

n

(xi yi)2

n

j=1(xj yj)2

12

=d(x, y),

d(x, y) =

nj=1

(xj yj)2 12 () n

j=1

(xj yj)2 [a2=|a|]

=n

j=1

|xj yj|= d(x, y) e

d(x, y) =n

j=1

|xj yj| n

j=1

max1jn

{|xj yj|}= max1jn

{|xj yj |}n

j=1

1

= max1jn

{|xj yj|}.n= n.d(x, y)


12/315


completando a demonstracao.

Para o proximo exemplo introduziremos a seguinte definicao:

Definicao 2.1.3 SejaXum conjunto nao vazio.Diremos que uma funcao f :X

R elimitada se existirk = kf >0 tal que

|f(x)| k, para todo xX.

Denotaremos porB(X;R) o conjunto formado por todas as funcoes, f : X R que saolimitadas, isto e,

B(X;R) .={f :X R :f e limitada}.

Com isto temos o:

Exemplo 2.1.5 Na situacao acima temos queB(X;R) tornar-se-a um espaco vetorial sobreRcom as operacoes usuais de adicao de funcoes e multiplicacao de numero real por funcao (istosera deixado como exerccio para o leitor).

Definimosd:B(X;R) B(X;R) R

pord(f, g)

.= sup

xX|f(x) g(x)|,

ondef, g B(X;R).Afirmamos qued e uma metrica emB(X;R).De fato:

1. Sef B(X;R) entaod(f, f) = sup

xX |f(x)

f(x)

|= 0,

mostrando que vale (d1);

2. Sef, g B(X;R) ef=g entao existex0X tal quef(x0)=g(x0).Assim

d(f, g) = supxX

|f(x) g(x)| |f(x0) g(x0)|> 0,


3. Sef, g B(X;R) entao

d(

f, g) = supxX|

f(

x)

g(

x)|= supxX | [

g(

x)

f(

x)]|= supxX|

g(

x)

f(

x)|=

d(

g, f)

,


4. Sef , g , h B(X;R) entao para cadaxX temos que

|f(x) g(x)|=|[f(x) h(x)] + [h(x) g(x)]|[|a+b||a|+|b|]

|f(x) h(x)| + |h(x) g(x)|.

Logo


13/315


d(f, g) = supxX

{|f(x) g(x)|} supxX

{|f(x) h(x)| + |h(x) g(x)|}. ()

Sabemos que seA eB sao limitados superiormente emR entao A + B e limitado superi-ormente emR e

sup[A + B]sup A + sup B.Aplicando isto ao lado direito de (*) obteremos

d(f, g) supxX

{|f(x) h(x)| + |h(x) g(x)|} supxX

{|f(x) h(x)|} + supxX

{|h(x) g(x)|}

=d(f, h) + d(h, g),

mostrande que (d4) e verdadeira.

Deste completamos a prova qued e uma metrica emB(X;R).

Observacao 2.1.7

1. A metrica definida no exemplo acima e denominadametrica da convergencia uniformeou metrica do sup.

2. Para ilustrar, seX .= [0, 1], f, g: [0, 1] Rsao dadas porf(x) =x eg(x) =x2, x[0, 1]

entao, geometricamente, d(f, g) sera o comprimento da maior corda vertical unindo ospontos dos graficos das funcoesf eg (vide figura abaixo).

1

1

fg

d(f, g) =|f( 12

) g( 12

)| = 12 1

22

= 14

x

y

12

3. Vale observar que seX={1, 2, , n} entao toda funcao f : X R sera limitada (pois|f(x)| kf .= max

1in|f(i)|, xX), ou seja, f B(X;R).

Logo podenos identificarfcom an-upla(x1, x2,

, xn) ondexi

.=f(i), 1

i

n.

PortantoB(X;R) pode ser identificado comRn.Neste caso a metricad emB(X;R) definida no exemplo acima, induzira a metricad emRn, pois

d(f, g) = supxX

|f(x) g(x)|= max1in

|f(i) g(i)|= max1in

|xi yi|= d(x, y),

ondexi= f(i), yi= g(i), i= 1, , n.Conclusao, temos a seguinte identificacao: (B(X;R), d) = (Rn, d).


14/315


12.08.2008 - 3.a

Para o proximo exemplo precisaremos da:

Definicao 2.1.4 SejaEum espaco vetorial sobreR.Diremos que uma funcao. : R e uma norma em E se as seguintes condicoes sao

verificadas:

(n1) SexE e tal quex= 0 entaox = 0;

(n2) SeR exE entao x=|| x;

(n3) Sex, yE entaox + y x + y.

Observacao 2.1.8 Suponhamos que. seja uma norma emE, espaco vetorial sobreR.

1. Observemos para todo xE temos que

0=0.x(n2)

= |0|x= 0 e x=(1).x(n2)

= | 1|x=x ().2. SexE temos

0 =x + (x)(n3)

x + x ()=x + x= 2x.

Logox 0, para todo xE.

3. Segue de (n1) e do item 2. acima segue que sexE, x= 0 entaox> 0.

Com isto temos a

Definicao 2.1.5 Umespaco vetorial normal e um par(E, .)ondeE e um espaco vetorialsobreR e. e uma norma definida emE.

A seguir exibiremos alguns exemplos de espacos vetoriais normados.

Exemplo 2.1.6 Consideremos emRn as seguintes funcoes.,.,. : Rn R dadas por

x .=

ni=1

x2i , x .=n

i=1

|xi|, x .= max1in

|xi|,

ondex= (x1, x2, , xn) Rn.Deixaremos como exerccio para o leitor mostrar que as funcoes.,. acima sao normas

emRn.Alem disso sera deixado para o leitor a verificacao que. satisfaz as condicoes (n1), (n2).Logo adiante mostraremos que. tambem satisfaz a condicao (n3) e portanto tambem sera

uma norma emRn.

Outro exemplo importante e


15/315


Exemplo 2.1.7 No exemplo (2.1.5) acima podemos considerar a funcao

.:B(X;R)R

dada por

f

.= sup

xX |f(x)

|, f

B(X;R).

Deixaremos como exerccio para o leitor mostrar que. e uma norma emB(X;R), ou seja,(B(X;R), .) e um espaco vetorial normado.

Tal norma sera denomiada de norma da convergencia uniforme (ou do sup) emB(X;R).

Podemos agora obter uma colecao de exemplos de espacos metricos, a saber:

Exemplo 2.1.8 Seja(E, .) um espaco vetorial normado.Consideremos a funcoesd: E E R dada por

d(x, y) .=x y, x, y, E .

Afirmamos qued e um metrica emE.

De fato:

1.

d(x, x) =x x=0 [Observacao (2.1.8) item 1.]= 0,ou seja, vale (d1);

2. Sex

=y temos quex

y

= 0, logo

d(x, y) =x y [observacao (2.1.8) item 3.]> 0,

ou seja, vale (d2);

3. Sex, yE temos que

d(x, y) =x y [observacao (2.1.8) item 1.]= (x y)=y x= d(y, x),

ou seja, vale (d3);

4. Sex, y, zE temos que

d(x, z) =x z=(x y) + (y z)|(n4)

x y + y z= d(x, y) + d(y, z),

ou seja, vale (d4).

Portanto d e um metrica emEe assim(E, d) e um espaco metrico.

Observacao 2.1.9


16/315


1. O exemplo acima nos mostra que todo espaco vetorial normado e um espaco metrico (ondea metrica ser a a metrica do exemplo acima).

Neste caso diremos que a metricad provemda norma..Por exemplo, as metricas d, d, d deRn provem das normas.,.,., respectiva-mente (sera deixado como exerccio para o leitor a verificacao destes fatos).

De modo semelhante temos que a metrica

d(f, g) =f gdefinida emB(X;R) (onde a norma. e a do exemplo (2.1.7)) e proveniente da normada convergencia uniforme.

2. Pergunta-se:

SejaE e um espaco vetorial sobreR ed e um metrica emE.

Existira uma norma emEde modo que a metrica dadad provem dessa norma? ou seja,uma metrica qualquer definidaE provem de alguma norma definida emE?

Infelizmente isto e falso, ou seja, existem espacos vetoriais que possuem metricas quenaoprovem de normas definidas no espaco vetorial em questao.

O exerccio 3 da 1.a lista de exerccios nos da uma condicao necessaria e suficiente paraque um metrica em um espaco vetorial seja proveniente de uma norma do espaco vetorialem questao.

Mais precisamente temos que:

SejaE um espaco vetorial sobreR.

Uma metrica, d, emEprovem de uma norma emE se, e somente se,

d(x + a, y+ a) =d(x, y) e d(x, y) =||d(x, y),para todo x, y, a E e R.No exerccio 4 da 1.a lista de exerccios o leitor e convidado a produzir um exemplo deespaco vetorial que possua uma metrica que nao provem de nenhuma norma definida noespaco vetorial em questao.

3. Observemos tambem que se(E, .) e um espaco vetorial normado entao para todo xEtemos

d(x, 0) =x 0=x,isto e, a norma do vetorxE e a dist ancia do ponto x E a origem0E.

Para considerar uma outra classe de exemplos precisaremos da

Definicao 2.1.6 SejaEum espaco vetorial sobreR.Diremos que a funcao

< ., . >:E E Re umproduto interno (ou escalar) em Ese satisfas as seguintes condicoes:

(p1) Parax, x, yE temos< x + x, y >=< x, y >+ < x, y >;


17/315


(p2) Parax, yE eR temos

< x, y >= < x, y >;

(p3) Parax, yE temos< x, y >=< y, x >;

(p4) ParaxE, x= 0 temos< x, x >>0.

Neste caso diremos que(E,< .,. >) e umespaco com produto interno (ou escalar).

Observacao 2.1.10

1. Se (E , < ., . >) e um espaco com produto interno entao para x, y, y E e R temosque

< x, y+ y >(p3)=< y+ y, x >

(p1)=< y, x >+ < y, x >

(p3)=< x, y >+ < x, y >

e

< x, y >(p3)=< y, x >

(p2)= < y, x >

(p3)= < x, y >, ()

ou seja, < ., . > e linear em cada uma das suas entradas (denominada bilinear).

2. De (p4) temos que sexE e< x, x >= 0 entao x= 0.Logo temos que

< x, x >0para todo xE e< x, x >= 0 se, e somente se, x= 0.No curso de Algebra Linear diramos que a funcao < .,. > e bilinear, simetrica e positivadefinida.

A seguir exibiremos alguns exemplos de espacos com produto interno:

Exemplo 2.1.9 SejaE= Rn e definamos

< ., . >: Rn Rn R

por

< x, y >.=x1y1+ + xnyn=

ni=1

xi yi,

ondex= (x1, x2, , xn), y= (y1, y2, , yn) Rn.Sera deixado como exerccio para o leitor mostrar que a funcao < ., . > definida acima

satisfaz as condicoes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, < .,. > e um porduto interno emRn.

Outro exemplo importante e:


18/315


Exemplo 2.1.10 SejaC([a, b];R) ={f : [a, b]R; f contnua em [a, b]}.Pode-se mostrar queC([a, b];R) munido das operacoes usuais de adicao de funcoes e multi-

plicacao de numero real por funcao e um espaco vetorial.Para isto basta mostrar queC([a, b];R) e um subsepaco vetorial deB([a, b];R) (a verificacao

deste fato sera deixado como exerccio para o leitor; lembremos que se f e contnua em [a, b]

entaof

sera limitada).Considere a seguinte funcao

< ., . >:C([a, b];R) C([a, b];R)R

dada por:

< f, g >.=

ba

f(x)g(x) dx,

sef, gC([a, b];R).Sera deixado como exerccio para o leitor mostrar que < . , . > definida acima satisfaz as

condicoes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, e um produto interno emC([a, b];R) .

Com isto temos uma colecao de espacos vetoriais normados (e portanto, de espacos metricos),a saber:

Exemplo 2.1.11 Seja(E,< .,. >) um espaco vetorial com produto interno.Considere a funcao

.: E Rdada por

x .=

< x, x >, ()paraxE.

Afirmamos que

.

e uma norma emE.De fato:

1. SexE ex= 0 entaox=

< x, x >

(p4), 0

= 0,isto e, vale (n1);

2. SexE e R entao

x=

< x, x >[ (p1) e a observacao (2.1.10) (*)]

=

2 < x, x >=

2

< x, x >=||x,

isto e, vale (n2);

3. Nesta situacao temos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, a saber: se(E,< .,. >) espacovetorial com produto interno entao para todo x, yE temos que

|< x, y >| x y.

De fato:

Sex= 0 valera a igualdade, logo sera verdadeira.


19/315


Sex= 0 podemos definir

.=

< x, y >

x2 e z .=y x.

Observemos que

< z, x >=< y x, x >=< y, x > < x, x >=< y, x >< x, y >< x, x >

< x, x >

=< x, y >< x, y >= 0,

(isto e, os vetores em questao sao ortogonais).

Logo

y2 =< y, y >=< z+ x, z+ x >=< z, z >+ < z, x >+ < x, z >+2 < x, x >[==0]

= z2 + 2x2.

Logo

2x2 y2,ou seja,

< x, y >

x22

x2 y2,

isto e,

< x, y >2 x2 y2

implicando a desigualdade acima, como queramos demonstrar.

4. Utilizando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que

x + y2 < x + y, x + y >=< x, x >+ < x, y >+ < y, x >+ < y, y >=x2 + 2 < x, y >+y2 x2 + 2x y + y2 = (x + y)2,

inplicando que

x + y x + y,ou seja , vale (n3).

Com isto temos que. e uma norma emE.

5. Segue do item acima que a aplicacao d

do exemplo (2.1.4) satisfaz a condicao (d4), ouseja, sera uma metrica emRn, como havamos afirmado.

Observacao 2.1.11

1. No caso acima diremos que a norma (*) definida acima e uma norma que provem doproduto interno deE.

2. O exemplo acima nos mostra que todo espaco vetorial com produto interno pode tornar-seum espaco vetorial normado (com a norma que provem do produto interno dado).


20/315


3. Pergunta-se:

SejaE um espaco vetorial normado.

Toda norma deEprovem de um produto interno?

A resposta e negativa, isto e, existem espacos vetoriais que possuem normas que nao

provem de nenhum produto interno no espaco vetorial em questao.No exerccio 5 da 1.a lista de exerccios o leitor e convidado a mostrar que emB(X;R) anorma da convergencia uniformenao provem de um produto interno.

Um outro exemplo pode ser obtido utilizando-se o item abaixo.

4. Deixaremos como exerccio para o leitor mostrar que: [Ex1.1 - +0.5]

Seja(E, .) um espaco vetorial normado.A norma. deEprovem de um produto interno se, e somente se, temos que

x + y2 + x y2 = 2[x2 + y2],

para tod x, yE, que e conhecida comolei do paralelogramo.

5. Logo a norma. emR2 nao provem de um produto interno pois tomando-sex = (1, 0)ey= (0, 1) temos que estes vetores nao satisfazem a lei do paralelogramo (verifique!).

6. Como consequencia do que vimos acima todo espaco vetorial com produto interno e umespaco metrico (basta tomar a metrica que provem da norma que e proveniente do produtointerno).

Para concluir a secao temos o:

Exemplo 2.1.12 Sejam(M, dM) e(N, dN) dois espacos metricos.

EmM Npodemos considerar as seguinte funcoes

d, d, d : [M N] [M N]R

dadas por:

d(z, z) .=

[dM(x, x)]2 + [dN(y, y)]2;d(z, z) .=dM(x, x) + dN(y, y);

d(z, z) .= max{dM(x, x), dN(y, y)},

ondez= (x, y), z = (x, y)M N.Sera deixado como exerccio para o leitor mostrar qued, d, d sao metricas emM N.

Observacao 2.1.12

1. Podemos generalizar o exemplo acima para um produto finito de espa cos metricos.

Mais precisamente, se(M1, d1), (M2, d2), , (Mn, dn)sao n-espacos metricos entao pode-mos definir as seguintes metricas no produto cartesianoM1 M2 Mn:


21/315

2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPACOS METRICOS 21

d(x, y) .=

[d1(x1, y1)]2 + + [dn(xn, yn)]2 = n

j=1

[dj(xi, yi)]2;

d(x, y) .=d1(x1, y1) + + dn(xn, yn) =

nj=1

dj(xi, yi);

d(x, y) .= max{d1(x1, y1), , dn(xn, yn)}= max1jn

{dj(xi, yi)},

ondex= (x1, x2, , xn), y= (y1, y2, , yn)M1 M2 Mn.A verificacao sera deixcada como exerccio para o leitor.

2. A metricad definida acima sera dita metrica produto em M .=M1 M2 Mn.

A metricad definida acima sera ditametrica da soma em M .=M1 M2 Mn.A metricad definida acima sera ditametrica do maximo em M .=M1M2 Mn.

3. De modo analogo ao feito na proposicao (2.1.1) pode-se mostrar (sera deixado como exer-ccio para o leitor) que para todo x,y, M1 M2 Mn temos

d(x, y)d(x, y)d(x, y)n d(x, y).

4. Quando M1 = M2 = = Mn = R reobteremos o espaco euclideano Rn como produtocartesiano den copias do espcao metrico R.

14.08.2008 - 4.a

2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espacos metricos

Comecaremos introduzindo a:

Definicao 2.2.1 Seja(M, d) um espaco metrico, aM er >0.Definimos a bola aberta de centro em a e raio r, denotada por B(a; r) como sendo o

seguinte subconjunto deM:

B(a; r) .={xM :d(x, a)< r}.

a

r

Definimos abola fechada de centro em a e raio r, denotada por B[a; r] como sendo oseguinte subconjunto deM:

B[a; r] .={xM :d(x, a)r}.


22/315


a

r

Definimos aesfera de centro em a e raio r, denotada porS(a; r) como sendo o seguintesubconjunto deM:

S(a; r) .={xM :d(x, a) =r}.

a

r

Observacao 2.2.1

1. A bola aberta de centro em a e raio r e o conjunto dos pontos deMcuja a distancia aoponto a e menor do quer.

A bola fechada de centro ema e raio r e o conjunto dos pontos deM cuja a distancia aoponto a e menor ou igual do quer.

A esfera aberta de centro ema e raio r e o conjunto dos pontos deMcuja a distancia aoponto a e igualr.

2. E facil ver que (sera deixado como exerccio para o leitor)

B[a; r] =B(a; r) S(a; r),

onde a reuniao e disjunta, isto e, B(a; r) S(a; r) =.

3. Se M = E e um espaco vetorial e a metrica d provem de uma norma. em E, entaosegue que

B(a; r) .={xE:x a< r},

B[a; r] .={xE:x a r},

S(a; r) .={xE:x a= r}.

Temos o seguinte resultado:


23/315


Proposicao 2.2.1 Sejam (M, d) um espaco metrico, X M um subsepaco (metrico) de M,aX er >0.

Denotemos porBX(a; r) a bola aberta de centro ema e raio r emX.Entao

BX(a; r) =B (a; r) X,

ondeB(a; r) e a bola aberta de centro ema e raio r emM.Reciprocamente, dada a bola aberta de centro ema e raio r emM entao B(a; r) X e a bola

aberta de centro ema e raio r emX, ou seja,

B(a; r) X=BX(a; r).

M

X

a

r

BX(a; r)

B(a; r)

Demonstracao:Observemos que

BX(a; r) ={xX :dX(x, a)< r}={yM :d(y, a)< r} X=B (a: r) X,

completando deste modo a demonstracao do resultado.

De modo semelhante podemos provar a:

Proposicao 2.2.2 Sejam (M, d) um espaco metrico, X M um subsepaco (metrico) de M,aX er >0.

Denotemos por BX[a; r] e SX(a; r) a bola fechada e esfera de centro em a e raio r em X,respectivamente.

EntaoBX[a; r] =B [a; r] X, SX[a; r] =S(a; r) X

ondeB [a; r],S(a; r)sao a bola fechada e a esfera de centro ema e raio r emM, respectivamente.

Reciprocamente, dada a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em M entaoB[a; r]X, ou S(a; r)X e a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em X,respectivamente ou seja,

B[a; r] X=BX[a; r], S(a; r) X=SX[a; r].Demonstracao:

A demonstracao sera deixada como exerccio para o leitor.

Para ilustrar temos os seguintes exemplos:


24/315


Exemplo 2.2.1 ConsideremosR2 com a metrica usual eX=S1 ={(x, y) R2 :x2 + y2 = 1}.SejaaS1 er >0.Da proposicao (2.2.1) segue queBS1 (a; r)sera um arco (sem os extremos) da circunferencia

S1 cujo ponto medio (no arco) sera o pontoa (vide figura abaixo).

x

y

S1a

r

B

R2(a : r )

BS1 (a; r)

De modo semelhante, da proposicao (2.2.2) segue queBS1 [a; r], SS1 (a; r)sao o arco (com osextremos) da circunferenciaS1 cujo ponto medio sera o pontoae os pontos extremos do mesmoarco, respectivamente (vide figura abaixo).

x

y

S1

a

r

B

R2[a : r ]

BS1

[a; r]

SS1 (a; r)

Exemplo 2.2.2 SejamM= munido da metrica zero-um, aM er >0.


25/315


Entao

Ser >1 temos que: B(a; r) ={xM :d(x, a)< r} [d(x,a)1


26/315


a = (a1, a2)

r

B(a; r) ={(x, y)R2 :d[(x, y), (a1, a2)]< r}={(x, y) R2 :|x a1| + |y a2|< r}isto e, a regi ao interior do quadrado de centro ema e cujas diagonais

sao paralelas aos eixos coordenados (veja figura abaixo).

Observemos que

|x a1| + |y a2|= r se, e somente se,

x a1+ y a2= r(x a1) + y a2= r

(x a1) (y a2) =rx a1 (y a2) =r

que sao as quatro retas que determinam o losango abaixo.

a = (a1, a2)

x a1 y+ a2 = r

x a1 + y a2 = rx+ a1 + y a2 = r

x+ a1 y + a2 = r

(a1, a2 r)

(a1 + r, a2)(a1 r, a2)

(a1, a2 + r)

B(a; r) ={(x, y) R2 : d[(x, y), (a1, a2)]< r}={(x, y) R2 : max{|x a1|, |y a2|}< r}={(x, y) R2 :|x a1|< r e|y a2|< r}= (a1 r, a1+ r) (a2 r, a2+ r)isto e, a regiao interior do quadrado [a1 r, a1+ r] [a2 r, a2+ r]) (veja figura abaixo).


27/315


a = (a1, a2)

a1 r a1 + ra1

a2 r

a2 + r

a2

Observacao 2.2.2 Geometricamente, o exemplo (2.2.4) ilustra que uma bola (aberta ou fechada)pode nao corresponder ao que pensamos (por exemplo, uma bola ser um quadrado!).

Exemplo 2.2.5 Seja(B([a, b];R)), d) onded e a metrica do sup (veja exemplo (2.1.5)).Sejamf B([a, b];R)) er >0.Observemos quegB (f; r) se, e somente se,

r > d(f, g) = supx[a,b]

|f(x) g(x)|

que implicara

|f(x) g(x)|< r, para todo x[a, b],

ou ainda,

f(x) r < g(x)< f(x) + r, para todo x[a, b].

Geometricamente podemos interpretar isso da seguinte forma: encontremos a representacaografica do grafico def, isto e,

G(f) .={(x, f(x)) :x[a, b]}.

Encontremos a faixa de amplitude2r em torno do grafico def, isto e, o conjunto

F2r(f) .={(x, y) :axb, f(x) r < y < f(x) + r}.

Geometricamente temos:


28/315


G(f)

f(x)

x

r

r

F2r(f)

Deste modo, segB (f; r) entao o grafico deg estara contido na faixa de amplitude2r emtorno do grafico def, isto e, G(g)F2r(f).

Geometricamente temos

G(f)

f(x)

x

r

r

G(g)

Observacao 2.2.3 No exemplo acima, pode ocorrer deG(g)F2r(f) ed(f, g) =r.

Para ver isto basta considerarf(x) = 0 para todo x[0, 1] eg(x) = x, 0x


29/315


G(f)

G(g)

F2r(f)

Exemplo 2.2.6 Seja M .={z = (x, y) R2 :z 1} subespaco (metrico) deR2 munido da

metrica usual.Logo ser >1 temos queBM(0; r) =BM[0; r] =M e assimSM(0; r) =.

Exemplo 2.2.7 Sejam(M1, d1), (Mn, dn) espacos metricos e M .= M1 Mn munido dametrica do m aximo (isto e, d da observacao (2.1.12) itens 1. e 2.).

Sejama= (a1, , an)M er >0.Entao

B(a; r) ={xM :d(x, a)< r}={(x1, , xn)M1 Mn : max1in

di(xi, ai)< r}={(x1, , xn)M1 Mn: di(xi, ai)< r, para todo i= i, , n}={x1M1: d1(x1, a1)< r} {xnMn: dn(xn, an)< r}=BM1 (a1; r) BMn (an; r)

De modo semelhante (sera deixado como exerccio para o leitor) temos

B[a; r] =BM1 [a1; r] BMn [an; r]Logo acabamos de mostrar que a bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano com a metrica

do maximo e o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores doproduto cartesiano.

Observacao 2.2.4

1. Se no exemplo acima mudarmos a metrica do maximo pela metrica produto ou pela metricada soma a afirmacao serafalsa, isto e, uma bola aberta (ou fechada) no produto cartesianopode nao ser o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatoresdo produto cartesiano.

Como exerccio para o leitor deixaremos que o mesmo encontre um contra-exemplo emR2.


30/315


2. Se considerarmos R3 como sendo o produto cartesiano de R2 R onde R2 e R estaomunidos das correspondentes metricas euclieanas e tormarmos emR3 = R2 R a metrica

d[(x, t), (x, t)] .= max{dR2 (x, x), dR(t, t)},

onde (x, t), (x, t)R2

R entao uma bola aberta, B(a; r) (ou fechadas) emR3 munido

da metricad acima serao cilindros retos com base circular (contida no plano z = a), comcentro ema e raio r)e altura2r.

De fato, pois se(A, a) R2 R er >0 entao, do exemplo (2.2.7), segue que

BR2R((A, a); r) =BR2 (A; r) BR(a; r) ={(x, y) :x2 + y2 < r2} {tR :|t a|< r},

ou seja, o produto cartesiano do interior de um crculo por um intervalo aberto que nosda, geometricamente, um cilindro reto com base circular.

B(0; r)

r

r

r

A verificacao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor.

Temos a

Definicao 2.2.2 Seja(M, d) um espaco metrico.Diremos que um ponto aM e umponto isolado de Mse existir uma bola aberta deM

que contenha somente o ponto a, isto e, exister >0 tal queB(a; r) ={a}.

Observacao 2.2.5

1. Um ponto aM e isolado emMse exister >0 tal quenaoexistem pontos diferentes doponto a a uma distancia menor quer do proprio ponto.

2. Um ponto a M nao e ponto isolado de M se toda bola aberta centrada em a contem,pelo menos, um ponto deM diferente do ponto a, isto e, para todo r >0 temos

[B(a; r) M] \ {a} =.

Consideremos os


31/315


Exemplo 2.2.8 Seja(M, d) um espaco metrico onded e a metrica zero-um.Entao todo ponto deM e ponto isolado deM.De fato, seaMe0 < r1 entao vimos no exemplo (2.2.2) queB (a; r) ={a}, mostrando

quea e ponto isolado deM.

Exemplo 2.2.9 Seja Z o conjunto formado por todos os numeros reais inteiros munido dametrica usual induzida deR.

Afirmamos que todo ponto deZ e ponto isolado deZ.De fato, se nZ e0 < r 1 entao B(n; r) Z ={n} (pois B(n; r) ={xZ :|x n| 0 existen0 N tal quen0 > 1

r.

Logo

d(

1

n0 , 0) =|1

n0 0|= 1

n0 < r,

isto e,1

n0[B(0; r) P] \ {0},

ou seja, 0 nao e ponto isolado deP.Por outro lado, qualquer outro ponto deP e ponto isolado deP.

De fato, se 1

n P entao o ponto mais proximo dele em P e o ponto 1

n + 1, cuja distancia

a 1

n e

1

n(n + 1) (poisd(

1

n,

1

n + 1=| 1

n 1

n + 1|= (n + 1) n

n(n + 1) =

1

n(n + 1)).

Logo se tomarmos

0< r < 1n(n + 1)

temos que sexP ed(x,

1

n)< r 0 mostremos que

[B(a; r) E] \ {a} =.

Para mostrar isso, consideremosyE, y= 0.Logo o vetor

z .=

r

2yy

e diferente do vetor0 e

z= r2yy=

r

2yy= r

2,

logo0


33/315


Exemplo 2.2.13 A observacao (2.2.6) mostra que P ={1,12

,1

3, , 1

n, } com a metrica

usual induzida deR e um espaco metrico discreto.

Exemplo 2.2.14 SejaMum conjunto nao vazio ed a metrica zero-um emM.Entao (M, d) e um espaco metrico discreto, pois seaM entao para0 < r1 temos, do

Exemplo (2.2.2), que B(a; r) ={a}, ou seja todo ponto de M e ponto isolado de M, portantoM e um espaco metrico discreto.

Definicao 2.2.4 Seja(M, d) um espaco metrico.Diremos que um subconjunto X M ediscreto seXcomo subsepaco (metrico) deM for

um espaco metrico discreto.

Observacao 2.2.7 Na situacao acima, X e um espaco metrico discreto se, e somente se, paracada x X existe r > 0 tal que B(x; r)X ={x} (pois, da proposicao (2.2.1) temos queB(x; r) X=BX(x; r)).

Exerccio 2.2.1 Seja(M, d) um espaco metrico eXum subconjunto finito deM.

Deixaremos como exerccio para o leitor mostrar queX e um subconjunto discreto deM.

Para finalizar a secao temos a:

Proposicao 2.2.3 Sejam(M, d) espaco metrico, a, bM coma=b.Consideremosr,s >0 tais que

r+ sd(a, b).Entao as bolas abertasB(a; r) eB(b; s) sao disjuntas (veja figura abaixo), isto e,

B(a; r) B(b; s) =.

ab

r

s

d(a, b) > r+ s

Demonstracao:

Suponhamos, por absurdo, que existe xB(a; r) B(b; s).Logo

d(a, x)< r e d(b, x)< s.

Portantod(a, b)d(a, x) + d(x, b)< r+ sd(a, b),

ou seja, d(a, b)< d(a, b), o que e um absurdo.Logo

B(a; r) B(b; s) =


34/315


como queramos mostrar.

De modo semelhante temos a:

Proposicao 2.2.4 Na situacao da proposicao acima, se

r+ s < d(a, b)

entao as bolas fechadasB[a; r] eB[b; s] sao disjuntas , isto e,

B[a; r] B[b; s] =.

Demonstracao:Suponhamos, por absurdo, que existe xB [a; r] B[b; s].Logo

d(a, x)r e d(b, x)s.Portanto

d(a, b)d(a, x) + d(x, b)r + s < d(a, b),ou seja, d(a, b)< d(a, b), o que e um absurdo.

LogoB[a; r] B[b; s] =


2.3 Subconjuntos limitados de um espacos metricos

Iniciaremos com a

Definicao 2.3.1 Seja(M, d) um espaco metrico.Diremos que um subconjunto XM, nao vazio, elimitado em Mse existirc >0 tal que

d(x, y)c para todo x, yX.

Observacao 2.3.1 SeXM e limitado emM entao podemos considerar o conjunto

D .={aR :d(x, y)a, para todo x, yX} R.

Como X e limitado emMsegue queD e n ao vazio e limitado superiormente (ou seja, existecR tal quecD).

Como todo subconjunto limitado superiormente emR

admite supremo, segue que existe0sup D


35/315

2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPACOS METRICOS 35

Observacao 2.3.2

1. SeXM nao for limitado emM escreveremosdiam(X)

.=.

Isto significa que para todo c >0 existemxc, ycX tal qued(xc, yc)> c.2. SeXM for limitado entao

d(x, y)diam(X), para todo x,y, X.

3. E facil mostrar que (sera deixado como exerccio para o leitor) que seXM for limitadoemM eYX entao YM e limitado emM e

diam(Y)diam(X).

Consideremos alguns exemplos

Exemplo 2.3.1 Sejam(M, d) um espaco metrico.Entao toda bola aberta (ou fechada; ou esfera) e subconjunto limitado deMe seu diametro

e menor ou igual ao dobro do seu raio.De fato, sejaaM er >0.Sex, yB (a; r) entao

d(x, y)d(x, a) + d(a, y)< r+ r= 2rmostrando queB(a; r) e um subconjunto limitado deM.

Alem disso segue que2r e um limitante superior do conjunto

{a R :d(x, y)a, para todo x, yB (a; r)}.Portanto

diam[B(a; r)]2r,como afirmamos acima.

Vale o analogo para a bola fechadaB [a; r]e para a esferaS(a; r)(sera deixado como exercciopara o leitor).

Observacao 2.3.3 Em geral, naopodemos garantir que o diametro da bola aberta (ou fechada,ou esfera) seja igual ao dobro do seu raio, como mostra o seguinte exemplo:

ConsideremosZ com a metrica usual induzida deR, r= 1 en Z.Como vimos no Exemplo (2.2.9) temos queB (n; 1) =

{n

}cujo diametro e zero (que e menor

que2).Quando vale a igualdade?O exemplo a seguir responde esta questao:

Exemplo 2.3.2 SejaEum espaco vetorial normado tal queE={0}.Afirmamos que toda bola aberta (ou fechada, ou esfera) tem diametro igual ao dobro do raio

da mesma, isto e,

diam(B(a; r)) = 2r (ou diam(B[a; r]) = 2r, diam(S(a; r)) = 2r).


36/315


De fato, sejamaE er >0.Sabemos queB(a; r) e um subconjunto limitado deEe quediam[B(a; r)]2r.Mostremos que se0< s s.ConsideremosyE tal quey= 0 e seja t R tal que

s s.

Logo todo s(0, 2r) nao podera ser o diametro da bola abertaB(a; r).Geometricamente temos

a

r

y

x1 = a+ t yy

y1 =a t yy

Sera deixado como exerccio para o leitor o

Exerccio 2.3.1 Mostrar que, na situacao acima, temos

diam[B[a; r]] = 2r e diam[S(a; r)] = 2r.


37/315


Observacao 2.3.4

1. Dado um espaco metrico qualquer (mesmo sendo nao limitado) podemos considerar subes-pacos (metricos) do mesmo que sejam limitados.

Basta considerarmos os subconjunto limitados do mesmo e colocar a metrica induzida do

espaco metrico dado neste subconjunto.

2. SejaE um espaco vetorial normado tal queE={0}.Entao E nao e limitado.

De fato, consideremosxE, x= 0 e definamos, para cadan N,

xn.

= 2n

xx.

Observemos que

xn=2n

xx= 2nx

x = 2n > n,logo

d(xn, 0) =xn 0=xn> n,mostrando queE nao e limitado.

3. Seja(M, d) um espaco metrico.

Vale observar que um subconjunto X M e limitado em M se, e somente se, X estacontido em alguma bola aberta deM, isto e, existeaM er >0 tal queXB (a; r).De fato, se existea

M er >0 tal queX

B (a; r) entao para todo x, y

X temos que

d(x, y)d(x, a) + d(a, y)< r+ r= 2r,

ou seja, X e limitado (e seu diamentro e menor ou igual a2r).

Reciprocamente, seX e limitado emM entao existec >0 tal que

d(x, y)c para todo x, yX.

Consideremosx0X.Temos que

d(x, x0)c para todo xX,assim seXB(x0; c), ou sejaXesta contido em uma bola aberta deM, como queramosmostrar.

Temos a

Proposicao 2.3.1 Sejam(M, d) espaco metrico eX, YM limitados emM.Entao X Y eX Y sao limitados emM.


38/315


Demonstracao:Observemos que X YX e como X e limitado em M segue, da Observacao (2.3.2) item

3., que X Y tambem sera limitado em M.Se X=ou Y =segue que X Y =Y ou X Y =X, respectivamente, implicando que

X Y e limitado.Logo podemos supor, sem perda de generalidade, que X, Y

=

.

Como X, Y sao limitados em M existem c,d >0 e a, bMtais que

d(x, a)c e d(y, b)d

para todo xX e yY .Considere

k .=c + d + d(a, b)> 0.

Logo se xX e yY temos que

d(x, y)d(x, a) + d(a, b) + d(b, y)c + d(a, b) + d= k.

Portanto se x, yX Y temos que:Se x, yXtemos que d(x, y)c < kSe x, yY temos que d(x, y)c < kSe xX e yY temos que d(x, y)k,

ou seja, d(x, y)k para todo x, yX Y, mostrando que X Y e limitado em M.

Como consequencia temos o:

Corolario 2.3.1 Sejam(M, d) espaco metrico eX1, X2, , XnM limitados emM.Entao X1 X2 Xn eX1 X2 Xn sao limitados emM.

Demonstracao:Utiliza-se inducao matematica e a proposicao acima (sera deixado como exerccio para o

leitor).

Como outra consequencia imediata temos que

Corolario 2.3.2 Seja(M, d) espaco metrico. Todo subconjunto finito deM e limitado.

Demonstracao:Basta observar que se X e um subconjunto finito de M ele sera uma reuniao finita dos

conjuntos formados por cada um dos seus pontos e como o conjunto formado por um ponto elimitado segue, do corolario acima, que Xsera limitado em M.

Notacao 2.3.1 Dada uma funcao f : X Y denotaremos seu conjunto imagem por f(X),isto e,

f(X) .={f(x) :xX} Y.

Podemos agora introduzir a


39/315


Definicao 2.3.3 Sejam(M, d) espaco metrico eX um subconjunto nao vazio.Diremos que uma funcao f :XM elimitada em Xse seu conjunto imagem, f(X), for

um subconjunto limitado deM.

Vejamos alguns exemplos

Exemplo 2.3.3 SejaR com a metrica usual ef : R R dada porf(x)

.=

1

1 + x2, x R.

Observemos que|f(x)| 1, para todo x R, logo f e uma funcao limitada (neste caso temosf(R) = (0, 1]).

A figura abaixo nos da o grafico def.

G(f)

1

Exemplo 2.3.4 Na situacao acima se considerarmosg : R Rdada porg(x) .=x2 parax Rtemos queg(R) = [0, ) logo naosera um subconjunto limitado deR, mostrando que a funcaog nao sera uma funcao limitada.

A figura abaixo nos da o grafico deg.

G(g)

Exemplo 2.3.5 Se a metricad emRn provem de uma norma deRn entao d naoe uma funcaolimitada.

De fato, da Observacao (2.3.4) item 2. temos queRn nao e limitado, logo

d(Rn,Rn) = [0, )Rnao podera ser um subconjunto limitado deR, logo a funcao d nao sera uma funcao limitada.


40/315


Podemos agora generalizar o exemplo (2.1.5) por meio do

Exemplo 2.3.6 SejamXum conjunto nao vazio e(M, dM) um espaco metrico.Indiquemos porB(X; M)o conjunto de todas as funcoes limitadas definidas emXe tomando

valores emM, isto e,

B(X; M) .={f :XM :f e limitada emX}.

Dadasf, g B(X; M) temos que o conjunto

{dM(f(x), g(x)) :xX}

e limitado emR.De fato, como f eg sao limitadas segue quef(X)eg(X)sao subconjuntos limitados emM.Logo da Proposicao (2.3.1) segue que f(X)g(X) e um subconjunto limitado em M, ou

seja,{dM(f(x), g(x)) :xX} e limitado emR, portanto admite supremo.Logo, dadasf, g B(X; M), podemos definir

d(f, g) .= supxX

{dM(f(x), g(x))}.

Pode-se mostrar (sera deixado como exerccio para o leitor) qued e uma metrica em B(X; M)que e denominadametrica da convergencia uniforme ou metrica do sup.

Observacao 2.3.5

1. Na situacao acima podemos considerar o conjuntoF(X; M)formado por todas as funcoesdefinidas emXcom valores emM.

Neste caso a metrica do sup nao tem sentido emF(X; M)pois existem funcoesf , g: XMtais que o conjunto{dM(f(x), g(x)) :xX}naoe limitado emR (logo nao poderemosconsiderar o supremo desse conjunto).

Nesta situacao podemos decomporF(X; M) como uma reuniao de espacos metricos nosquais podemos introduzir a metrica do sup.

Para mais detalhes ver [1] pag. 15.

2. Seja(E, .) um espaco vetorial normado.Pode-se mostrar (sera deixado como exerccio para o leitor) que sef , g B(X; E)eRentao(f+ g) B(X; E)ef B(X; E), ou seja,B(X; E)tornar-se-a um espaco vetorialsobreR.

Neste caso a metrica da convergencia uniforme emB(X; E)provem da seguinte norma deB(X; E):f .= sup

xXf(x)E, f B(X; E),

que e denominadanorma da convergencia uniforme ou dosup.

De fato, pois

d(f, g) = sup{dE(f(x), g(x)) :xX}= supxX

f(x) g(x)).


41/315

2.4. DISTANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPACO METRICO41

2.4 Distancia de um ponto a um subconjunto em um espaco

metrico

Observacao 2.4.1 Como motivacao consideremos o seguinte caso:Em um plano consideremosXuma reta ea um ponto que nao pertence a retaX.

Consideremos x0 X o pe da perpendicular a reta X que contem o ponto a (vide figuraabaixo).

x0

a

X

SejaxX tal quex=x0.Entao aplicando o Teorema de Pitagoras ao triangulo retangulo ax0x (veja figura abaixo)

obtemos

[d(a, x)]2 = [d(a, x0)]2 + [d(x0, x)]

2.

x0

a

X

x

Em particular temos que d(a, x) d(a, x0) para todo x X, ou seja, x0 e o ponto maisproximo do ponto a que pertence a retaX.

Deste modo podemos escrever

d(a, x0) = infxX

{d(a, x)}.

Podemos generalizar este fato, para isto observemos que se(M, dM)um espaco metrico, XMnao vazio e a M entao o conjunto{dM(x, a) : x X} R e limitado inferiormente por 0(poisdM(a, x)0).

Logo admite nfimo, assim temos a:

Definicao 2.4.1 Sejam(M, dM) um espaco metrico, XM, nao vazio eaM.Definimos adistancia do ponto a ao conjunto X, indicada pord(a, X), como sendo

d(a, X) = inf{dM(a, x) :xX}.


42/315


21.08.2008 - 6.a

Observacao 2.4.2

1. Das propriedades de nfimo temos:

(a) Para todo x

X temos qued(a, X)d(a, x)

(isto e, d(a, X) e um limitante inferior do conjunto{d(x, a) :xX} R);(b) Sed(a, X)< c entao existe xX tal qued(a, x)< c (isto e, d(a, X) e o maior dos

limitantes inferiores).

2. Para todo xX temos qued(a, x)0 logod(a, X)0.

3. Observemos que seaX entaod(a, X) = 0.

De fato, seaX entao 0 =d(a, a) {d(a, x) :xX}.4. Alem disso, seXY entao

d(a, Y)d(a, X).Lembremos que se A B entao infB infA (*) (sera deixado como exerccio para oleitor).

Logo, seXY entao{d(x, a) :xX} {d(y, a) :yY}, assim de (*) temos qued(a, Y) = inf{d(y, a) :yY} inf{d(x, a) :xX}= d(a, X),


5. Sed(a, X) = 0istonaoimplica, necessariamente, queaXcomo vereremos em exemplosa seguir.

O que podemos afirmar e que:

d(a, X) = 0 se, e somente se, dado >0 existexX tal qued(a, x)< .

6. Vale observar que, em geral, nao podemos substituir o nfimo na definicao acima pelomnimo, isto e, podenaoexistir um ponto emx0Xde tal modo que

d(a, X) =d(a, x0),

como veremos em exemplos a seguir.

A seguir consideraremos alguns exemplos.

Exemplo 2.4.1 Seja(M, d)um espaco metrico, aMeX={x1, x2, , xn}um subconjuntofinito deM.

Entao

d(a, X) = inf{d(a, x) :xX} [conjunto finito]= inf 1in

{d(a, xi)} [conjunto finito]= min1in

{d(a, xi)}.


43/315


Exemplo 2.4.2 SejaR2 como a metrica usual e S1 ={(x, y) R2 : x2 +y2 = 1} a circun-ferencia unitaria de centro na origem e raio 1.

Entao sez = (x, y)S1 e0 = (0, 0) temos que

d(0, z) =

(x 0)2 + (y 0)2 =

x2 + y2 = 1,

ou seja, d(0, S1) = 1 (veja figura abaixo).

x

y

z = (x, y)

0 = (0, 0)

d(0, z) = 1

S1

Exemplo 2.4.3 SejaR munido da metrica usual eX= (a, b) (=B(a + ba2 ; ba

2 )).Entao temos que

d(a, X) =d(b, X) = 0.

Podemos provar isto diretamente ou utilizar o seguinte resultado geral:

Proposicao 2.4.1 SejamE um espaco vetorial normado,aE er >0.Entao dadobE,

d(b, B(a; r)) = 0 se, e somente se, bB [a; r].

Demonstracao:(=)Suponhamos que bB [a; r], ou seja,b a r.Se tivermosb a< r seguira que bB (a; r), logo d(b, B(a; r)) = 0.Afirmacao: seb a = r > 0 entao dado > 0 afirmamos que existe x B(a; r) tal que

d(b, x)< .

De fato, definamosu

.=

1

r(b a)E .

Segue que

u=1r

(b a)= 1rb a= 1

rr = 1.

Escolhamos t(r , r), assim 0< r t < .Consideremos

x .= a + t.uE .


44/315


Temos que

d(x, a) =x a=(a + t.u) a=|t|u [u=1]= t < r,ou seja, xB (a; r).

Alem disso, temos

d(x,b) =

b x=

b (a + t.u)=(

b a) t.u

[ba=r.u]= r.u t.u=|r t|u [u=1]= r t < ,

logo concluimos a prova da afirmacao acima. (veja figura abaixo).

a

b

r

x = a+ tu

Logo dado >0 existe xB(a; r) tal que 0d(b, x)< , ou seja,0d(b, B(a; r))d(b, x)< ,

isto e,d(b, B(a; r)) = inf{d(b, x) :xB(a; r)}= 0.

(=)Reciprocamente, suponhamos que d(b, B(a; r)) = 0.Seja pEtal que pB [a; r].Afirmamos que d(p, B(a; r))> 0.De fato, como pB [a; r] temos que

p a> r, logo p a= r + cpara algum c >0.

Se xB (a; r) temos quex a< r e comop a p x + x a

segue que

d(p, x) =p x p a x a= (r+ c) x a> (r+ c) r= c,ou seja, c e um limitante inferior do subconjunto

{d(p, x) :xB(a; r)} R.Como d(p, B(a; r)) e o nfimo do conjunto acima segue que

d(p, B(a; r))c >0,concluindo a prova da afirmacao (veja figura abaixo).


45/315


a

p

r

c

Como d(b, B(a; r)) = 0, da afirmacao, segue que bB [a; r], como queramos demonstrar.

Observacao 2.4.3 Em particular a afirmacao acima nos diz que podemos ter b E comd(b, X) = 0 ebX (ondeX=B (a; r)), como afirmamos anteriormente.

Temos a:

Proposicao 2.4.2 Sejam(M, d) um espaco metrico, a, bM eXM nao vazio. Entao|d(a, X) d(b, X)| d(a, b).

A figura abaixo ilustra o resultado

X

d(a, X)

d(b, X)

d(a, b)

a

b

Demonstracao:A desigualdade acima e equivalente a

d(a, b)d(a, X) d(b, X)d(a, b).Observemos que para todo xXtemos que

d(a, X)d(a, x)d(a, b) + d(b, x),


46/315


ou seja,d(a, X) d(a, b)d(b, x),

ou ainda, o numero reald(a, X) d(a, b)

e um limitante inferior do subconjunto

{d(b, x) :x

X

} R.

Da definicao de nfimo segue

d(a, X) d(a, b)d(b, X), isto e, d(a, X) d(b, X)d(a, b). ()Observemos que para todo xXtemos que

d(b, X)d(b, x)d(b, a) + d(a, x),ou seja,

d(b, X) d(a, b)d(a, x)ou ainda, o numero real

d(b, X)

d(a, b)

e um limitante inferior do subconjunto{d(a, x) :xX} R.Da definicao de nfimo segue

d(b, X) d(a, b)d(a, X), isto e, d(a, X) d(b, X) d(a, b). ()De (*) e (**) segue a desiguladade e a conclusao da prova.

Como consequencia temos o

Corolario 2.4.1 Seja(M, d) um espaco metrico ea, b, xM. Entao

|d(a, x)

d(a, y)

| d(a, b).

Demonstracao:Basta considerar X

.={x}na proposicao acima e verificar que d(a, {x}) =d(a, x).

2.5 Distancia entre dois subconjuntos de um espaco metrico

Temos a

Definicao 2.5.1 Sejam(M, d) um espaco metrico eX, YM nao vazios.Definimos adistancia entre os conjuntos X e Y, indicada pord(X, Y), como sendo

d(X, Y) .= inf{d(x, y) :xX, yY}.Consideremos o

Exemplo 2.5.1 ConsideremosR com a metrica usua, X= (, 0) eY = (0, ).Entao dada >0 existemxX eyY tal que

d(x, y)< , ou seja, d(X, Y) = 0.

Observemos queX Y = e mesmo assimd(X, Y) = 0.


47/315

2.6. IMERS OES ISOMETRICAS E ISOMETRIAS ENTRE ESPACOS METRICOS 47

Observacao 2.5.1 Se(M, d) e um espaco metrico eX, YM nao vazios entao:1. SeX Y=entao d(X, Y) = 0;2. Observemos que

d(X, X) = 0 e d(X, Y) =d(Y, X).

3. Pode ocorrer ded(X, Y) = 0 eX Y =.Deixaremos para o leitor encontrar um exemplo onde isto ocorre.

2.6 Imersoes isometricas e isometrias entre espacos metricos

Comecaremos pela

Definicao 2.6.1 Sejam(M, dM) e(N, dN) espacos metricos.Diremos que uma funcao f :M N e um imersao isometrica de M em N se

dN(f(x), f(y)) =dM(x, y), x, yM .

No caso acima diremos que a funcaofpreserva as distancias deMeN, respectivamente.

Observacao 2.6.1 Na situacao acima sef :M N e uma imers ao isometrica temos quef einjetora.

De fato, sef(x) =f(y) entao

dM(x, y) =dN(f(x), f(y)) = 0,

logo x= y, mostrando quef e injetora.

Com isto temos a:

Definicao 2.6.2 Um imersao isometrica que e sobrejetora sera denomiada isometria de MemN.

Observacao 2.6.2

1. Na situacao acimaf :M N e ums isometria se, e somente se, fpreserva as distanciasdeM eN e for sobrejetora.

2. Em particular sef :M N e isometria entao f e bijetora.Logo admite funcao inversaf1 :NMe esta tambem e uma isometria.De fato, pois se w, zN temos que existex, yM tal que z =f(x) ew = f(y) (pois fe sobrejetora) assim

dM(f1(z), f1(w)) =dM(f1(f(x)), f1(f(y))) =dM(x, y)

[f e isometria]= dN(f(x), f(y)) =dN(z, w),

mostrando quef1 preserva as distancias deN eM.


48/315


3. Sejam (M, dM), (N, dN) e (P, dP) espacos metricos e f : M N, g : N P imersoesisometricas deM emN e deN emP, respectivamente.

Entao (g f) :M P e uma imers ao isometrica deM emP.De fato, sex, yM temos que

dP((g f)(x), (g f)(y)) =dP(g(f(x)), g(f(y)))[g preserva distancias]

= dN(f(x), f(y))[f preserva distancias]

= dM(x, y),

mostrando queg fpreserva as distancias deM eP.4. Como consequencia temos que composta de isometrias tambem sera uma isometria entre

os respectivos espacos metricos.

5. Toda imersao isometricaf :M Ndefine uma isometria deM sobre f(M) (pois nestecaso f :Mf(M) sera sobrejetora e continuara a preservar as distancias deM eN).

Com isto temos a:

Definicao 2.6.3 Sejam(M, dM) e(N, dN) espacos metricos.Diremos que M e N sao isometricos se existir uma isometria de M em N e neste caso

escreveremosMN.Observacao 2.6.3 1. Temos queM M (basta considerar a identidade deM emM);

2. SeM N entao N M(pois, como vimos na Observacao (2.6.2) item 2., a inversa deuma isometria e uma isometria);

3. Se M N e N P entao M P (pois, como vimos na Observacao (2.6.2) item 3., acomposta de isometrias e uma isometria).

4. Os tres itens acima nos dizem que e uma relacao de equivalencia no conjunto formadopor todos os espacos metricos (isto e, satisfaz as propriedades: reflexiva, simetrica etransitiva).

5. Se existir uma imerao isometricaf :M N entao temos queM f(M) (pois a funcaof :Mf(M) sera sobrejetora e preservara as distancias deM ef(M)).

26.08.2008 - 7.a

6. SejamXum subconjunto nao vazio,(M, dM)um espaco metrico ef :XMuma funcaoinjetora.

Nosso objetivo e introduzir uma metrica emXde tal modo que a funcao f torne-se uma

imersao isometrica deX

eM

.Para isto definamos

dX :X X Rpor

dX(x, y) .=dM(f(x), f(y)), x, yX.

E facil verificar (sera deixado como exerccio para o leitor) que dX e uma metrica emX(precisamos usar do fato que f e injetora!) e deste modo a funcao f tornar-se-a umaimersao isometrica de(X, dX) em(M, dM).


49/315


Podemos mostrar (sera deixado como exerccio para o leitor) que a metricadX emX e aunica metrica que tornafuma imersao isometrica deX emM.

Com isto temos a:

Definicao 2.6.4 Na situacao acima diremos que a metricadX e ametrica induzida por f

em X.

Observacao 2.6.4 Um caso particular da situacao acima e quando X M, nao vazio onde(M, dM) e um espaco metrico.

Neste caso se considerarmos aaplicacao inclusao

i: XM dada por i(x) .=x, para xX,

temos que a funcao i e injetora.Logo podemos considerar emXa metrica induzida pela funcaoi que coincidira com a metrica

induzida deM emX (poisdX(x, y) =dM(i(x), i(y)) =dM(x, y), para todo x, yX).

A seguir consideraremos alguns exemplos.

Exemplo 2.6.1 ConsideremosRn com a metrica induzida por alguma norma deRn.Sejama, u Rn tal queu= 1.Consideremos a funcao f : R Rn dada por

f(t) .= a + t u, t R.

Afirmamos quef e um imers ao isometrica deR emRn.De fato, set, s R temos que

dRn (f(t), f(s)) =

f(t)

f(s)

=

(a + t u)

(a + s u)

=

(t

s) u

=|t s|u [u=1]= |t s|= dR(t, s),

mostrando que a funcao fpreserva as distancias deR eRn.

Observacao 2.6.5

1. Observemos que o grafico def e a reta que passa pelo ponto a= aRn e tem a direcaodo vetor unitario uRn.Em particular, f nao e uma isometria deR emRn se n= 1 (pois, neste caso, nao esobrejetora).

2. Se n = 1 entao f sera isometria deR emR (isto sera deixado como exerccio para oleitor).

Exemplo 2.6.2 ConsideremosRn com a metrica induzida por alguma norma deRn ea Rn.Afirmamos que a funcao f : Rn Rn dada por

f(x) .=x + a, x Rn,

e uma isometria deRn emRn.


50/315


De fato, sex, y Rn entao

d(f(x), f(y)) =f(x) f(y)=(x + a) (y+ a)=x y= d(x, y),

mostrando quefpreserva a distancia emRn (ou seja, e uma imersao isometrica deRn emRn).Alem disso f(Rn) = Rn pois sey

Rn se tomarmos

x .=y a

segue que

f(x) =x + a= (y a) + a= y,ou seja, f e sobrejetora, ou seja, f e uma isometria deRn emRn.

Com isto temos a

Definicao 2.6.5 A funcao facima definida sera denominadatranslacao pelo vetor a.

Exemplo 2.6.3 ConsideremosRn com a metrica induzida por alguma norma deRn.Afirmamos que a funcao f : Rn Rn dada por

f(x) .=x, x Rn,

e uma isometria emRn.De fato, sex, y Rn entao

d(f(x), f(y)) =f(x) f(y)=(x) (y)= x + y=x y= d(x, y),

mostrando quefpreserva a distancia emRn (ou seja, e uma imersao isometrica deRn emRn).Alem disso f(Rn) = Rn pois sey

Rn se tomarmos

x .=y

segue que

f(x) =x=(y) =y,ou seja, f e sobrejetora, isto e, f e uma isometria deRn emRn.

Com isto temos a

Definicao 2.6.6 A funcao facima definida sera denominadareflexao em torno da origemde Rn.

Observacao 2.6.6

1. Observemos que na situacao acima, dadosa,b Rn existe uma isometriaf : Rn Rn talquef(b) = a (basta considerar a translacao f(x)

.=x + (a b)).

2. Podemos substituir oRn por um espaco vetorial normado qualquer que os exemplos acimacontinuarao validos neste novo contexto.

A verificacao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor.


51/315


Exemplo 2.6.4 ConsideremosC o conjunto formado pelo numeros complexos munido da metricainduzida pelo valor absoluto de um numero complexo (isto e, sez= a +bi entaoz=

x2 + y2

e assim a metrica serad(z1, z2) =z1 z2, z1, z2 C).Sejamu C tal queu= 1 e a funcao

f : C

C

dada porf(z)

.=u.z,

paraz C (onde . e a multiplicacao de numeros complexos).Afirmamos quef e uma isometria.De fato, f e imers ao isometrica emC, pois

d(f(z1), f(z2)) =f(z1) f(z2)=u.z1 u.z2=u.(z1 z2)=uz1 z2 [u=1]= z1 z2= d(z1, z2),

mostrando quefpreserva a distancia emC.Alem disso, se w C consideremos

z .=

w

u C.

Logo

f(z) =u.z= u.w

u =w,

mostrando quef e sobrejetora, portanto uma isometria deC emC.

Observacao 2.6.7 A aplicacao fdo exemplo acima e uma rotacao (no sentido horario) de um

angulo =

2 seu= i e= arctg(b

a ) seu= a + bi, sea= 0 (veja figura abaixo).

C

z

f(z) = u.z

Finalizaremos esta secao com a

Proposicao 2.6.1 Seja(M, dM) um espaco metrico limitado.Entao existe uma imersao isometrica: M B(M;R), onde emB(M;R) consideraremos

a metrica induzida pela norma da convergencia uniforme.


52/315


Demonstracao:Definamos : M B(M;R) por

(x) .=dx,

onde dx: M R e dada pordx(y)

.=dM(x, y)

(ou seja, a distancia ao ponto x).Como M e limitado segue que dx B(M;R), ou seja esta bem definida.Mostremos que preserva as ditancias de M eB(M;R).Observemos que se x, x, yM entao

|dx(y) dx(y)|=|d(x, y) d(x, y)|[corolario (2.4.1)]

dM(x, x),

assim

dB(M;R)((x), (x)) =(x) (x)=dx dx= supyM

|dx(y) dx(y)|dM(x, x).

Por outro lado, se tomarmos y = x temos que

|dx(y) dx(y)|=|dM(x, y) dM(x, y)| [y=x]

= |dM(x, x) dM(x, x)|= dM(x, x).

Logodx dx= sup

yM|dx(y) dx(y)|dM(x, x),

portantodB(M;R)(dx, dx) =dx dx= sup

yM|dx(y) dx(y)|= dM(x, x),

ou seja, preserva as distancias de M e de

B(M;R).

Observacao 2.6.8

1. Pode-se provar um resultado analogo ao exibido acima retirando-se a hipotese de M serlimitado.

Uma demonstracao para esse fato pode ser encontrada em [1] pag. 20.

2. O resultado acima garante que todo espaco metrico pode ser imerso, isometricamente, emum espaco vetorial normado.


53/315

Captulo 3

Funcoes Contnuas Definidas em

Espacos Metricos

3.1 Definicao de funcao contnua em espacos metricos e exem-

plos

Temos a:

Definicao 3.1.1 Sejam(M, dM), (N, dN) espacos metricos eaM.Diremos que uma funcao f : M N e contnua no ponto a se dado > 0 existir

= (, a)> 0 tal que

dM(x, a)< implicar dN(f(x), f(a))< .


f(a)

fa

f(B(a; ))

M

N

Diremos quef :M N econtnua em Mse ela for contnua em cada um dos pontos deM.

Observacao 3.1.1

1. Na situacao acima, f e contnua no ponto a se, e somente se, se dado > 0 existir= (, a)> 0 tal que

f(B(a; ))B(f(a); ),ou seja, dada uma bola aberta de centro emf(a)e raio >0 emN, existe uma bola abertade centro em a e raio > 0 em M, tal que a imagem pela funcao fdesta segunda bolaesta contida na primeira bola.

53


54/315

54 CAPITULO 3. FUNCOES CONTINUAS DEFINIDAS EM ESPACOS METRICOS

2. Se M R e N = R munidos da metrica usual deR entao f : M R sera contnua emaM se, e somente se, dado >0 existir= (, a)> 0 tal que sexM e

a < x < a + implicar

f(a) < f(x)< f(a) + ,ou seja,

f((a , a + ))(f(a) , f(a) + ),pois as bolas abertas emR (com a metrica usual) da definicao de contiuidade serao os,respectivos, intervalos abertos obtidos acima.


f

f(a)

a

a+

a

f(a) +

f(a)

A seguir exibiremos alguns exemplos.Antes porem temos a:

Definicao 3.1.2 Sejam(M, dM)e(N, dN)espacos metricos e uma funcao f :M Nque tema seguinte propriedade: existec >0 tal que

dN(f(x), f(y))c dM((x, y), x, yM .Neste caso diremos que a funcao f e lipschitziana em M.A constantec sera ditaconstante de Lipschitzda funcao f.

Exemplo 3.1.1 Sef :M N e lipschitiziana emM entao f e contnua emM.De fato, como f e lipschitiziana emM existec >0 tal que

dN(f(x), f(y))c dM((x, y), x, yM .

Logo, dado >0 seja .=

c >0.

Entao seaM edM(x, a)< temos que

dN(f(x), f(a))c dM(x, a)< cc c

=,

mostrando que a funcao f e contnua no ponto aM.Como aM e arbitr ario segue que a funcao f e contnua emM.


55/315

3.1. DEFINICAO DE FUNCAO CONTINUA EM ESPACOS METRICOS E EXEMPLOS55

Exemplo 3.1.2 Sejam(E, .E) um espaco vetorial normado eR.Afirmamos que a aplicacao

f : EEdada por

f(x) .=.x, x E ,

e lipschitiziana emE.De fato,

dE(f(x),f(y)) =f(x), f(y)E=.x .yE=(x y)E=||x yE=||dE(x, y),

ou seja,dE(f(x),f(y)) =||dE(x, y), x,yE ,

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao f : EE ser a contnua emEpara cadaR fixado.

Observacao 3.1.2

1. Se f1, , fn : E E, onde E e um espaco vetorial normado, sao lipschitzianas entaodadosa1, , an R temos que

f .=a1f1+ anfn

tambem ser a uma aplicacao lipschitziana emE.

A verificacao deste fato sera deixado como exerccio para o leitor.

Conclusao: combinacao linear de funcoes lipschitzianas e uma funcao lipschitziana.

Em particular, a aplicacao f :EE sera contnua emE.

2. SejaR munido da metrica usual.Entao f : R R e lipschitiziana emM se, e somente se, existec >0 tal que

|f(x) f(y)||x y| =

dR(f(x), f(y))

dR(x, y) c, x, y R, x=y.

3. Observemos se f :IR e diferenci avel emI, um intervalo deR e|f(x)| c para todoxI entao a funcao f e lipschitziana emI.De fato, dadosx, yIdo Teorema do Valor Intermediario segue que existex[x, y] ( ou[y, x]) tal que

f(x) f(y)x y

=f(x).

Logo|f(x) f(y)|

|x y| =|f(x)| c,

ou seja, a funcao f e lipschitziana emI, como afirmamos acima.

Conclusao: toda funcao real, de variavel real, diferenciavel em um intervalo da reta e talque sua derivada e limitada neste intervalo e uma funcao lipschitiziana no intervalo emquestao.


56/315


2.09.2008 - 8.aUma situacao mais geral e dada pela

Definicao 3.1.3 Sejam(M, dM) e(N, dN) espacos metricos ef :M N.Diremos que a funcao f e localmente lipschitziana em M se para cada a M existe

ra > 0 tal que a restricao da funcao f a bola aberta B(a; ra) (isto e, f

|B(a;ra)

) e uma funcao

lischitziana, ou seja, existec= c(B(a; ra))> 0 satisfazendo

dN(f(x), f(y))c dM((x, y), x, yB (a; ra).Geometricamente temos:

a

rafx

y

f(x)

f(y)

dN(f(x), f(y)) c dM(x, y)

Com isto temos o

Exemplo 3.1.3 Sef :M N e localmente lipschitziana emM entao f e contnua emM.De fato, dado a

M seja ra > 0 tal que restricao da funcao fa bola aberta B(a; ra) seja

uma funcao lipschitziana, isto e, existec= c(B(a; ra))> 0 tal que

dN(f(x), f(y))c dM((x, y), x, yB (a; ra).Dado >0 seja

.= min{

c, ra}> 0.

Logo se, dM(x, a)< temos que

dN(f(x), f(a))[dM(x,a)


57/315


Exemplo 3.1.4 Sejaf : R R dada porf(x) .=xn, x R en N.Afirmamos quef e localmente lispchitziana emR.De fato, sejamx, yB (0; a), isto e,|x|, |y| a.Entao temos que

dR(f(x), f(y)) =

|f(x)

f(y)

|=

|xn

yn

|=

|(x

y)(xn1 + xn2y+

xyn2 + yn1)

| |x y|[|x|n1 + |x|n2|y| + |x||y|n2 + |y|n1] |x y|[|a|n1 + |a|n2|a| + |a||a|n2 + |a|n1

nparcelas]

=nan1|x y|= nan1dR(x, y),

ou seja, f e localmente lischitziana emR (a constante de Lipschitz serac .=nan1).

Em particular, a aplicacao f : R R sera contnua emR.

Observacao 3.1.4 Do exemplo acima e da observacao (3.1.3) segue que toda funcao polinomialp: R R (isto e, sea1, , an R temos que

p(x) .=a0+ a1x + , anxn, x R

e uma funcao localmente lispchitziana emR e portanto sera uma aplicacao contnua emR.

Exemplo 3.1.5 Sejaf : R .= R \ {0} R dada por

r(x) .=

1

x, x R.

Para cadaa >0 temos quef e lipschitiziana emRa, ondeRa.

={x R :|x| a}.De fato, sex, y Ra entao|x|, |y| a logo,

dR(f(x), f(y)) =|f(x)f(y)|=| 1x1

y|=|y x

x.y |= 1|x|.|y| |xy|

[|x|,|y|a>0] 1a2

|xy|= 1a2

dR(x, y),

mostrando quef e lipschitziana emRa(basta tomar a constante de Lipschitz como sendo c .=

1

a2)

para cadaa >0.Em particular, a aplicacao f : R R e contnua emRa para todo a > 0, isto e, f e

contnua emR.

Exemplo 3.1.6 Sejam(E, .E)um espaco vetorial normado, R com a metrica usual e R.Afirmamos que a aplicacao

m: R EEdada por

m(, x) .=.x, R, x E ,

e localmente lipschitiziana emR Eonde no produto cartesianoR Econsiderarmos a normada soma (isto e,

(, x)RE=|| + xE,(, x) R E) e assim podemos tomar a metrica

dRE[(, x), (, y)] =| | + x yE,


58/315


se(, x), (, y) R E).De fato, dado (0, x0) R E, fixado r >0, se

(, x), (, y)B ((0, x0); r) R E

temos que

| 0|,| 0|< r e x x0E,y x0E< r.Logo

dE(m(, x), m(, y)) =m(, x) m(, y)E=.x .yE=.x .y+ y .yE=.(x y) + ( ).yE (x y)E+ ( )yE=||x yE+ | |yE[|||0|+|0|r+|0|] [r+ |0|]x yE+ | |yE[yEyx0E +x0Er+x0E ] [r+ |0|]x yE+ [r+ x0E]| |

max{r

+ |

0|, r

+ x

0E}[x

yE+ |

|]

[c.

=max{r+|0|,r+x0E}]= c[| | + x yE]

=c dRE[(, x), (, y)]

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao m : R E E sera contnua emR E (munido da metrica

acima).

Exerccio 3.1.1 Em particular, vale o mesmo para multiplicacao de numeros reais ou multi-plicacao de numeros reais por vetores deRn.

Uma outra classe de funcoes importantes e dada pela

Definicao 3.1.4 Sejam(M, dM) e(N, dN) espacos metricos ef :M N.Diremos que a funcao f euma contracao fraca se

dN(f(x), f(y))dM((x, y), x, yM .

e uma subclasse desta e dada pela

Definicao 3.1.5 Sejam(M, dM) e(N, dN) espacos metricos ef :M N.Diremos que a funcao f euma contracao (forte) se existirc[0, 1) tal que

dN(f(x), f(y))c dM((x, y), x, yM .Observacao 3.1.5

1. E facil de ver que toda contracao forte e uma contracao fraca.

2. Tambem e evidente que toda contracao fraca ou forte e uma aplicacao lipschitiziana eportanto contnua em todo o espaco metrico.

Seguir daremos alguns exemplos de contracoes fracas.


59/315


Exemplo 3.1.7 Sejam(M, dM) e(N, dN) espacos metricos ekN fixo.Sef :MN e dada por

f(x) .=k, para todo xM

entao f e uma contracao forte, pois

dN(f(x), f(y)) =dN(k, k) = 0 12

dM(x, y), x, yM ,

(no caso escolhemosc .=

1

2


60/315


Exemplo 3.1.11 Sejam(M, dM) espaco metrico eXM nao vazio.DefinamosdX :M R por

dX(y) .=d(y, X), yM .

Afirmamos quedX e uma contracao fraca.

De fato, sey1, y2M temos que

dR(dX(y1), dX(y2)) =|dX(y1) dX(y2)|=|d(y1, X) d(y2, X)|[proposicao (2.4.2)]

dM(y1, y2),

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao dx: M R e contnua emM.

Observacao 3.1.7 Do exemplo acima segue que para cadaxM temos que a aplicacao

dx: M R dada por dx(y) .=dM(x, y), yM ,

e uma contracao fraca.Para ver isto basta considerarX .={x} M.Em particular, a aplicacao dx: M R sera contnua emM.

Exemplo 3.1.12 Seja(E, .) um espaco vetorial normado.A aplicacao.: E R e uma contracao fraca.De fato, sex, yE temos que

dR(x, y) =|x y|=|dE(x, 0) dE(y, 0)| |dE(x, y)|=x y= dE(x, y),

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao

.

: E

R e uma funcao contnua emE.

Exemplo 3.1.13 Seja(M1, d1), (Mn, dn) espacos metricos.Pra cada i= 1, n a aplicacao

pi: M1 MnMi, dada por pi(x) .=xi,

ondex= (x1, , xn)M1 Mn (conhecida como i-esima projecao) e uma contracaofraca onde podemos considerar no produto cartesianoM

.=M1 Mn qualquer uma das tres

metricas da observacao (2.1.12).De fato, sexi, yiMi temos que

dM1 (pi(x), pi(y)) =dMi (xi, yi)

dM(x, y),

onde x = (x1, , xi1, xi, xi+1, , xn), y = (y1, , yi1, yi, yi+1, , yn) M, mostrandoque a afirmacao e verdadeira.

Em particular, a aplicacao pi: M1 MnMi e contnua emM1 Mn para cadai= 1, , n.

Exemplo 3.1.14 Seja(M, dM) espaco metrico.Entao a aplicacao

dM :M M R


61/315


e uma contracao fraca se emMMconsiderarmos a metrica da soma ou do maximo emMM(veja exemplo (2.1.12)).

De fato, se(x, y), (x, y)M M entao

dR(dM(x, y), dM(x, y)) =|dM(x, y) dM(x, y)|=|dM(x, y) dM(x, y) + dM(x, y) dM(x, y)|

|dM(x, y) dM(x, y)| + |dM(x, y) dM(x, y)| dM(x, x) + dM(y, y)dMM[(x, y), (x, y)],

mostrando que a afirmacao e verdadeira.

Em particular, a aplicacao dM :M M R sera contnua emM M.

4.09.2008 - 9.a

Exemplo 3.1.15 Seja(E, .E) um espaco vetorial normado e R.Afirmamos que a aplicacao

s: E EEdada por

s(x, y) .=x + y, x, yE ,

e uma contracao fraca onde emEEestamos considerando a norma da soma (isto e, (x, y)EE .=xE+ yEe sua respectiva metrica associada).

De fato,

dE(s(x, y), s(x, y)) =s(x, y) s(x, y)E=(x + y) (x+ y)E=(x x) + (y y)E

x x + y yE=(x, y) (x, y)EE=dEE((x, y), (x, y)).


Em particular, a aplicacao s: E EE sera contnua emE E.

Exerccio 3.1.2 Em particular, vale o mesmo para soma numeros reais ou soma de vetores emRn eB(X; M) munido da metrica do sup.

Exemplo 3.1.16 Sejam (M, dM) um espaco metrico, a M, X um conjunto nao vazio eB(X; M) munido da metrica do sup.

Definamos a aplicacao

va:B(X; M)M por va(f) .=f(a), f B(X; M).

Entao va e uma contracao emB(X; M).De fato, sef, g B(X; M) temos que

dM(va(f), va(g) =dM(f(a), g(a))sup{dM(f(x), g(x)) :xM}= dB(X;M)(f, g),


Em particular, a aplicacao va:B(X; M)M sera contnua emB(X; M).

Observacao 3.1.8


62/315


1. Sejam(M, dM), (N, dN) espacos metricos eaMum ponto isolado deM.Afirmamos quef :MN e contnua emaM.De fato, como aM e um ponto isolado deM, existe0 > 0 tal queB(a; 0) M={a}.Dado >0 seja0< 0.SedM(x, a)< 0 temos quex= a logo

dN(f(x), f(a)) =dN(f(a), f(a)) = 0 < ,


2. Como consequencia da observacao acima temos que se (M, dM) for um espaco discreto(isto e, todo ponto dele e ponto isolado) entao toda funcao f :MN e contnua emM.Em particular, a metrica deM e a metrica zero-um ent ao vale o mesmo.

3. Por outro lado se (N, dN) for um espaco discreto temos que: f : M N contnua emM se, e somente se, para cada a M a funcao f e constante em alguma bola aberta decentro ema.De fato, se aM entao dado 0 < 1 temos que B(f(a); ) ={f(a)} assim para todo >0 se xB(a; ) para que f(x)B(f(a), ) ={f(a)} deveremos ter f(x) = f(a) nabola abertaB(a; ), como afirmamos acima.

Em particular, a metrica deN e a metrica zero-um ent ao vale o mesmo.

Temos a

Definicao 3.1.6 Sejam(M, dM) e(N, dN) espacos metricos eaM.Diremos que uma funcao f : M

N e descontnua no ponto a se ela nao for contnua

no ponto a.

Observacao 3.1.9

1. Na situacao acimaf e descontnua no ponto aMse, e somente se, existe >0 tal quepara todo >0 existexM tal que

dM(x, a)< mas dN(f(x), f(a)).

2. Um formulacao equivalente seria: f e descontnua no ponto aMse, e somente se, existe >0 tal que para todo n

N existexn

M tal que

dM(xn, a)< 1

n mas dN(f(xn), f(a)).

Isto poderia ser dito da seguinte forma: existe uma sequencia (xn)nN em M que e con-vergente paraa emM tal que a sequencia(f(xn))nN emN nao e convergente emN.

Vale observar que ainda nao introduzimos a nocao de convergencia de sequencias.

Na verdade isto sera tratado num captulo mais adiante.


63/315


Exemplo 3.1.17 A funcao f : R R dada por f(x) =

1, sexQ0, sex I nao e contnua em

nenhum ponto deR.

De fato, sejamaQ e= 12

>0.

Dado >0 consideremosx

I tal que

|x

a

|< , isto e, d(x, a)< (veja figura abaixo).

a Q a+ a

x I

Como f(x) = 0 ef(a) = 1 segue que

dR(f(x), f(a)) =|f(x) f(a)|=|0 1|= 112

=,

mostrando quef nao e contnua em nenhumaQ.Por outro lado, sejama I e=

1

2 >0.Dado >0 consideremosx Q tal que|x a|< , isto e, d(x, a)< (veja figura abaixo).

a I a+ a

x Q

Como f(x) = 1 ef(a) = 0 segue que

dR(f(x), f(a)) =|f(x) f(a)|=|1 0|= 112

=,

mostrando quef nao e contnua em nenhuma I.Portanto f nao e contnua em nenhum ponto deR.

Observacao 3.1.10 Observemos que no exemplo acima temos que f|Q e f|I sao contnuas (naverdade a primeira e constante e igual a0 e a segunda e constante e igual a1).

Paraf :M N eXM nao vazio, o exemplo acima nos mostra a diferenca entre:1. f|X :XN contnua emX;2. f :M Ncontnua em todos os pontos deM.Podemos sempre afirmar que na situacao acima(b) implicara sempre em (a).

Mas, em geral, (a) pode nao implicar em (b), como mostra o exemplo acima.

Exemplo 3.1.18 Consideremosf : R R dada por

f(x) =

sen( 1

x), sex= 0

0, sex= 0.

Afirmamos quef e descontnua emx= 0.

De fato, seja=1

2 >0.


64/315


Dado >0 sejaN0 N tal queN0 1

.

Consideremosx R dado porx

.=

2

(2N0+ 1).

Como (2N0+ 1) >2N0 temos que

dR(x, 0) =x= 2(2N0+ 1)

< 2

2N0=

1

N0< .

Mas

dR(f(x), f(0)) =|sen( 12(2N0+1)

) 0|=|sen( (2N0+ 1)2

)| [sen((2N0+1)

2 )=1]

= 1 12

=,


Observacao 3.1.11 Seja f : M N e consideremos N1 .= f(M) ={f(x) : x M} vistocomo subsepaco metrico deN (ou seja, com a metrica induzida deN).

Definamosf1: MN1 porf1(x) .=f(x), xM.Afirmamos quef e contnua emM se, e somente se, f1 e contnua emM.A demonstracao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor.

3.2 Propriedades elementares de funcoes contnuas entre espacos

metricos

Comecaremos pela

Proposicao 3.2.1 Sejam(M, dM), (N, dN) e(P, dP) espacos metricos eaM.Se f : M N e contnua em a e g : N P e contnua em f(a) entao g f : M P econtnua ema.

Demonstracao:Dado >0, como g e contnua no ponto f(a), existe >0 tal que se yN e

dN(y, f(a))< entao dP(g(y), g(f(a)))< . ()Mas f e contnua em a, logo dado >0 (obtido acima), existe >0 tal que se xM e

dM(x, a)< entao dN(f(x), f(a))< .

Logo, se f(x)

N, de (*) temos

dP(g(f(x)), g(f(a)))< ,

mostrando que g f e contnua em a, como queramos mostrar.

Observacao 3.2.1

1. O resultado acima nos diz que a composta de duas funcoes contnuas e uma funcaocontnua.


65/315

3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNCOES CONTINUAS ENTRE ESPACOS METRICOS65

2. Temos a seguinte caracterizacao geometrica para a demonstracao do resultado acima:

g(f(a))

gf(a)

g(B(f(a); ))

f

f(B(a; ))

a

Como consequencia temos

Corolario 3.2.1 Sejam(M, dM) e(N, dN) espacos metricos.Sef :MN e contnua emaXM entao f|X :XN e contnua ema.

Demonstracao:

Sabemos que a aplicacao inclusao, i: XM e contnua em X (ver exemplo (3.1.8)).Observemos que f|X =f i.Como f e contnua em a segue, da proposicao acima, que f|X =f isera contnua no ponto

a, completando a demosntracao do corolario.

Observacao 3.2.2 O corolario acima nos diz que a restri cao de uma funcao contnua a umsubconjunto do seu domnio sera uma funcao contnua nesse subconjunto.

Antes de prosseguir temos a

Observacao 3.2.3 Sejam(M, dM),(N, dN),(P, dP)espacos metricos,f :M

N

Ponde em

M Nconsideramos uma das tres metricas usuais (da raiz quadrada, da soma ou do maximo).Logo f sera contnua em(a, b)M N se dado >0 existe >0 tal que

dMN((x, y), (a, b))< implicar dP(f(x, y), f(a, b))< .

Neste caso e comum dizermos quef econtnua (conjuntamente) no ponto(a, b).

Temos tambem a:

Definicao 3.2.1 Sejam(M, dM), (N, dN), (P, dP)espacos metricos, f :MNP e(a, b)M N.

Diremos quef econtnua em relacao a 1.a variavel no ponto(a, b) se a aplicacao

fb : M Pdada por

fb(x) .=f(x, b), xM ,

for contnua no pontoa.Diremos quef ec

espaços metricos-notas do wagner

Documents