escritos lógicos e filosóficos de gottlob frege · fundamentais que foram aí encontrados....

IMBERT Claude ndash Introduccedilatildeo a Escritos loacutegicos e filosoacuteficos de Gottlob Frege ndash

ndash Alduisio M de Souza ndash Versatildeo Digressotildees e Comentaacuterios ndash

1

SEMINAacuteRIO DE LEITURAS CLIacuteNICAS 2009

LEITURAS DE FREGE

INTRODUCcedilAtildeO

Escritos loacutegicos e filosoacuteficos de Gottlob Frege Claude Imbert

TRADUCcedilAtildeO e COMENTAacuteRIOS

Alduisio M de Souza



2

―APRESENTACcedilAtildeO DE GOOTLOB FREGE NA FRANCcedilA (1)

Claude Imbert

I

Os dez textos de G Frege que fazemos a traduccedilatildeo foram publicados entre 1879 e

1925 Oito dentre eles apareceram em diversas revistas filosoacuteficas ou nas Atas da

Societeacute savante drsquoIena Esta sociedade foi o uacutenico auditoacuterio ao qual Frege teve a

ocasiatildeo de se apresentar com uacutenica exceccedilatildeo de uma conferecircncia feita em Luumlbeck

Funccedilatildeo e Conceito foi publicada [paga] pelo proacuteprio autor e o artigo O que eacute uma

funccedilatildeo que foi destinado a uma obra coletiva em homenagem agrave Ludwig Boltzamann

Natildeo devemos concluir que Frege tenha escolhido antes de se dirigir ao puacuteblico

cultivado e agraves pessoas das letras do que aos matemaacuteticos Eacute muito mais por causa das

recusas que recebera das revistas de matemaacutetica para artigos teacutecnicos que ele passou a

escrever texto sucintos desprovidos de detalhes para os matemaacuteticos que entatildeo se

dirigiu a revistas mais ecleacuteticas Os artigos em que Frege se dedica agrave defesa da

Begriffsschrift [Conceitografia] nos fornece um exemplo que fala por si mesmo os

ineacuteditos (2) contem uma minuciosa comparaccedilatildeo entre Caacutelculo loacutegico de Boole e

ideografia foi recusada sucessivamente pela Zeitschrift fuumlr Mathematik und Physik e

pelo Mathematische Annalen e tambeacutem o Zetschrift fuumlr Philosophie und philosophische

Kritik em 1881 Uma outra versatildeo muito reduzida intitulada A Liacutengua formular de

Boole e minha Ideografia foram recusados pela Vierteljahrshrift fuumlr wissenschaftliche

Philisophie mesmo que esta revista tenha publicado vaacuterios estudos consagrados escola

loacutegica inglesa (Boole Mac Coll) e a seus ramos alematildees (Lange Schroumlder Erdmann)

Somente foi publicado na revista de Iena a conferecircncia Sobre o objetivo da

Conceitografia (o segundo tiacutetulo de nosso estudo) que resume em grandes linhas a

argumentaccedilatildeo destes artigos ineacuteditos vemos aiacute como Frege mede os dois caacutelculos o de

Boole e o seu seus principais princiacutepios diretivos antes de julgar os resultados O

debate opotildee duas anaacutelises da proposiccedilatildeo Ilustrados por dois simbolismos Boole de

certa forma eacute sem duacutevida eacute mais fiel ao sentimento e ao recorte aristoteacutelico toma para

ele o senso comum da tradiccedilatildeo Ao contraacuterio Frege surpreende sempre na primeira

leitura e em toda sua vida sofreu incompreensotildees dos matemaacuteticos ndash philosophica non

leguntur ndash tambeacutem a indiferenccedila dos filoacutesofos ndash matemaacutetica non leguntur Sacamos agraves

vezes ndash ao escutaacute-lo ndash suas maacutegoas sem que a desaprovaccedilatildeo de seus contemporacircneos

tenha balanccedilado o curso de sua pesquisa

Estes textos entatildeo natildeo tiveram eco no tempo de sua primeira publicaccedilatildeo Os

mais importantes dentre eles (sem levar em conta as Investigaccedilotildees Loacutegicas posteriores

agrave Primeira Guerra mundial e interrompida com a morte de Frege) foram tirados do

esquecimento nos anos 1900 por Bertrand Russel que teve sua curiosidade despertada

por Peano No apecircndice A dos Principles of Mathematics o filoacutesofo inglecircs [BR] faz

uma magniacutefica homenagem a Frege e dois anos mais tarde em um artigo que foi

determinante para a filosofia analiacutetica ele submeteu a ideografia fregiana a um exame

severo Na mesma eacutepoca Husserl e Frege estabelecem correspondecircncia Husserl envia

alguns textos para Frege As doutrinas loacutegicas de Frege afetaram pouco a fenomenologia

nascente exceto talvez para o abandono do psicologismo empiacuterico da Philosophie der

Aritmetik de Husserl Natildeo deixa tambeacutem de ser destacaacutevel que as duas grandes escolas

filosoacuteficas do comeccedilo do seacuteculo a fenomenologia e a filosofia analiacutetica tenham definido

sua doutrina em diaacutelogo com Frege

(1) IMBERT Claude ndash Introduccedilatildeo da Traduccedilatildeo ―Eacutecrits logiques et philosophiques de Gottlob

Frege ndash Eacuteditions du Seuil ndash 1971

(2) Publicados em 1969 com o tiacutetulo Nachgelassene Schriften Hamburgo



3

Os textos originais por longo tempo dispersos em revistas de baixa tiragem satildeo

acessiacuteveis hoje em dois apanhados (1) Begriffsschrift und andere Aufsaumltze (1963) e

Kleine Schriften (1967) [Cf o Corpus Fregeanun de Paulo Alcoforado no texto do

Seminaacuterio de Leituras Cliacutenicas 2009] Estes apanhados se beneficiam da reproduccedilatildeo

fotograacutefica e contecircm uma nova ediccedilatildeo da Begriffsschrift [Conceitografia] O

simbolismo de Frege eacute tatildeo complexo em sua precisatildeo que fora excluiacutedo de traduzir a

Begriffsschrift Esta impossibilidade natildeo pesou no entanto sobre nossa escolha vaacuterias

ediccedilotildees desta obra estatildeo disponiacuteveis e os textos aqui publicados contecircm exemplos

suficientes da escritura ideograacutefica bidimensional

Nosso projeto era de reunir um conjunto de artigos que jogasse uma luz na lenta

gestaccedilatildeo da ideografia as modificaccedilotildees que Frege incluiacutea com o tempo e a anaacutelise da

liacutengua matemaacutetica que precede e justifica a definiccedilatildeo de nuacutemero cardinal Ou seja

tratava-se de esclarecer o nascimento da loacutegica extensional e estes textos devem ser

lidos em nosso sentido conjuntamente com os Fundamentos da Aritmeacutetica tanto

quanto ao Tractatus loacutegico-phosohicus Tanto que e pelas mesmas razotildees estes textos

foram eles que por intermeacutedio de Russel e Wittgenstein tiveram uma influecircncia

permanente sobre a histoacuteria da filosofia analiacutetica Eacute verdade que o interesse se deslocaraacute

do atomismo loacutegico do qual poderiacuteamos traccedilar a origem remontando ateacute Frege sobre os

estudos das significaccedilotildees e das suposiccedilotildees impliacutecitas da liacutengua comum mas as duas

escolas nascidas das liccedilotildees de Wittgenstein meditaram sobre a obra de Frege Se A

liacutengua formular do pensamento puro ou Ideografia impocircs uma reforma da loacutegica

claacutessica ela renovaraacute igualmente a anaacutelise espontacircnea das liacutenguas comuns

principalmente em seu emprego filosoacutefico

Estes dez textos portam intenccedilotildees duas diferentes A maioria tem um aspecto

polecircmico Frege teve de defender a Begriffsschrift e Os fundamentos da Aritmeacutetica

depois de algumas criacuteticas deselegantes e irresponsaacuteveis criacuteticas nas quais os erros

eram evidentes Em seu sentido positivo elas permitiram modificar e completar a

primeira ideografia por uma seacuterie de descobertas e autocriacuteticas que constituiacuteram o

interesse maior e ateacute insuficientemente destacados Classificaremos assim elas em trecircs

periacuteodos

Antes de seguir o percurso histoacuterico devemos justificar aqui a traduccedilatildeo que

adotamos dos termos os mais caracteriacutesticos de Frege e mencionar alguns problemas

fundamentais que foram aiacute encontrados Examinando adiante as razotildees loacutegicas das

grandes distinccedilotildees fregeanas daremos aqui um apanhado dos aspectos que dependem da

linguumliacutestica tomando a liberdade de natildeo mais abordaacute-las Pedimos ao leitor a gentileza

de reter no espiacuterito estas diversas precisotildees lendo as paacuteginas que seguem Gedanke e

Satz foram traduzidos respectivamente por pensamento e proposiccedilatildeo

O termo de proposiccedilatildeo deve ser tomado no sentido do Littreacute termo de loacutegica e

de gramaacutetica Eacute mais precisamente a proposiccedilatildeo independente dos gramaacuteticos a

sentenccedila doa Anglo-Saxotildees

O pensamento designa na liacutengua de Frege o sentido de uma proposiccedilatildeo ou de

uma foacutermula sentido que pode ser considerado verdadeiro ou falso A A Church

traduz Gedanke por proposiccedilatildeo (conteuacutedo abstrato da sentenccedila) uacutenica traduccedilatildeo que lhe

parece desprovida de subentendidos psicoloacutegicos Noacutes escolhemos pensamento porque

a liacutengua francesa natildeo tem nenhum par de termos equivalentes do inglecircs

sentenceproposition e por respeitar ao peacute da letra as intenccedilotildees de Frege citando (1) Este apanhado noacutes devemos a I Angelelli que retomou uma parte do projeto de H Scholz

Este uacuteltimo havia iniciado entre as duas guerras uma ediccedilatildeo dos principais textos ineacuteditos de

Frege ao mesmo tempo em que dava a conhecer a obra integral loacutegica e matemaacutetica do filoacutesofo

de Iena e consagraraacute suas uacuteltimas forccedilas na preparaccedilatildeo dos textos que esta publicaccedilatildeo integra

O tomo I relata (Na Sc p XXXIV aacute XLI) a histoacuteria atribulada desta ediccedilatildeo Os tomos seguintes

publicaratildeo a correspondecircncia cientiacutefica de Frege



4

Leibniz frege quer que a liacutengua ideograacutefica ―trata [cuida] dos pensamentos e natildeo das

palavras

Sinn e Bedeutung foram traduzidos respectivamente por sentido e denotaccedilatildeo

A traduccedilatildeo teria de levar em conta o fato de que os termos alematildees designam um

par de noccedilotildees solidaacuterias Para o primeiro [Sinn] traduzir por sentido era o mais

adequado Para o segundo [Bedeutung] certos tradutores propuseram significaccedilatildeo Mas

o par sentidosignificaccedilatildeo nos parece incapaz de ter o alcance em francecircs da distinccedilatildeo

SinnBedeutung Designaccedilatildeo era reservada para traduzir Bezeichnung e Frege emprega

o termo bezeichnen (1) como um duplo de bedeuten Poderiacuteamos ainda com orientaccedilatildeo

de E Benveniste (A forma e o Sentido na Linguagem 1966) e observando a escolha de

traduccedilotildees da liacutengua inglesa traduzir Bedeutung por referecircncia mas o regime indireto

do verbo se referir teria introduzido volteios bastante pesados Seguimos entatildeo A

Church (Introduction to mathematical Logic p 4) e utilizamos um termo que jaacute

pertence ao vocabulaacuterio da loacutegica este de denotaccedilatildeo

Resta que seu emprego difere do emprego claacutessico no qual diziacuteamos que um

conceito (e natildeo como eacute aqui o caso toda expressatildeo dotada de sentido) conota certas

propriedades e denota certos objetos Este emprego claacutessico eacute fruto de uma amalgama

entre a doutrina dos loacutegicos de Port-Royal e esta de J Stuart Mill Os primeiros

introduziram o par de noccedilotildees extensatildeocompreensatildeo associado ao conceito ele mesmo

ao passo que J Stuart Mill associa o par conotaccedilatildeodenotaccedilatildeo ao signo material do

conceito Esta uacuteltima distinccedilatildeo que seduz de imediato eacute na verdade uma falsa luz Ele

deixa confundidos dois sistemas de noccedilotildees que satildeo para Frege estranhos um ao outro

mas claramente distintos na ideografia

1 O primeiro sistema (sugerido pelo termo de conotaccedilatildeo) analisa o poder caracteriacutestico

ou representativo do conceito [Cf Fundamentos da Aritmeacutetica] os caracteres

(Merkmale) que constituem o conceito como tal representam as propriedades

(Eingenschaften) dos objetos que o conceito eacute dito em loacutegica claacutessica subsumir Frege

foi o primeiro a distinguir entre poder representativo do conceito e a subsunccedilatildeo do qual

eacute o fundamento Assim analisado o conceito atua como uma funccedilatildeo caracteriacutestica para

o conjunto dos objetos que constituem sua extensatildeo E a correspondecircncia entre os

caracteres do conceito e as propriedades dos objetos nos daacute conta da relaccedilatildeo da

compreensatildeo e agrave extensatildeo imperfeitamente descrita desde o seacuteculo XVII

2 O segundo sistema de noccedilotildees (trazidas pelo termo denotaccedilatildeo) analisa a relaccedilatildeo

propriamente linguumliacutestica entre o signo ou uma expressatildeo seu sentido ndash isto eacute precisa

Frege o que o permite se compor com outros signos para formar uma unidade de

sentido nova ndash e sua denotaccedilatildeo o objeto que lhe eacute eventualmente atribuiacutedo [assinado]

O primeiro grupo de noccedilotildees pertence especificamente aacute loacutegica e a teoria do

conhecimento Elas definem as condiccedilotildees miacutenimas que fazem de um sistema simboacutelico

uma caracteriacutestica e natildeo um simples coacutedigo mas independente do material sensiacutevel

escolhido para este sistema As noccedilotildees do segundo grupo satildeo propriamente linguumliacutesticas

e sua anaacutelise deve levar em conta o material sensiacutevel proacuteprio de cada linguagem

considerada No caso das liacutenguas examinadas por Frege ndash as liacutenguas usuais e formulares

ndash as regras do sentido (substituiccedilatildeo concatenaccedilatildeo) satildeo rigorosamente dependentes da

sintaxe linear comum agrave proposiccedilatildeo e a foacutermula

Como veremos nas paacuteginas seguintes desta introduccedilatildeo Frege tentou no curso de

uma reflexatildeo criacutetica feita agraves vezes contra si mesmo de liberar a loacutegica de qualquer

(1) Cf adiante em pede paacutegina que jamais designaccedilatildeo seraacute um duplo de denotaccedilatildeo A

designaccedilatildeo sendo um signo e a denotaccedilatildeo o que eacute designado



5

preconceito induzidos pela linearidade das liacutenguas usuais sem que no entanto o

problema jamais tenha sido posto em sua forma geral ele denunciaraacute principalmente na

eacutepoca [que escreveu] das Investigaccedilotildees Loacutegicas o abuso da subordinaccedilatildeo da conjunccedilatildeo

e da predicaccedilatildeo nas liacutenguas naturais Mas jaacute que seu objetivo era de fazer loacutegica da

liacutengua aritmeacutetica ele respeitaraacute a foacutermula linguumliacutestica Ora a foacutermula aritmeacutetica

(equaccedilatildeo) que serve de modelo para a ideografia tem uma foacutermula linear assim como a

proposiccedilatildeo Por este fato as consideraccedilotildees do artigo Sentido e denotaccedilatildeo [Sinn und

Bedeutung] se aplicam tanto a uma quanto agraves outras

Para se dar conta da composiccedilatildeo do sentido Frege recorreu agrave expressotildees que natildeo

satildeo natildeo de seu feitio a imagens as quais natildeo poderia dispensar tais como incompletude

ou insaturaccedilatildeo e unidade de sentido No mais confessa o liame constitutivo da unidade

de sentido lhe pareceu sempre enigmaacutetico Eacute entatildeo que deixa de tomar significaccedilotildees

marcadas de antematildeo a um tesouro de entidades mentais dirigindo sua inquietaccedilatildeo para

o uso platocircnico como disse agraves vezes Antes Frege hesitou natildeo ter tomado consciecircncia

exata das necessidades que um significante linear impotildee agrave sintaxe agrave composiccedilatildeo dos

elementos sucessivos da escrita em unidades integrantes ditas completas ou bem

formadas

Conveacutem aqui lembrar as definiccedilotildees propostas por E Benveniste [Problemas de

linguumliacutestica geral]

―A forma de uma unidade linguumliacutestica se define como sua capacidade

de se dissociar em constituintes de niacutevel inferior () ―O sentido de uma

unidade linguumliacutestica se define como capacidade de integrar uma unidade de

niacutevel superior () ―Forma e sentido aparecem assim como propriedades

conjugadas dadas necessariamente e simultaneamente inseparaacuteveis nas

funccedilotildees da linguagem

Na paacutegina precedente E Benveniste lembrava a anaacutelise dos loacutegicos ―O modelo

da relaccedilatildeo integral eacute este da funccedilatildeo proposicional de Russel e ele citava um texto

bem conhecido dos leitores de liacutengua francesa Introduccedilatildeo agrave filosofia matemaacutetica

(1919) p 188 Mas a observaccedilatildeo vale tambeacutem para a ideografia fregeana Frege foi o

primeiro a fazer o exame loacutegico (1) sobre a proposiccedilatildeo e distinguir na escritura

um signo de argumento ―2 e um signo de conceito A

escrita onde ξ eacute uma variaacutevel sintaacutexica eacute o que Russel chama uma funccedilatildeo

proposicional Para bem acentuar que esta funccedilatildeo proposicional eacute um ser linguumliacutestico e

natildeo uma entidade abstrata W W Quine prefere o termo de ―matriz [Whitehead 1941]

Pois no caso de uma forma linguumliacutestica proposicional soacute haacute um meio de compor entre

elas as unidades de sentido em uma unidade nova este meio eacute a articulaccedilatildeo predicativa (1) Desta necessidade sintaacutexica Frege tomou conhecimento sem saber explicaacute-la a natildeo ser por

imagens estas dos veacuteus sucessivos que revestem um indiviacuteduo Cada veacuteu se ajusta agrave

forma do corpo e completa a vestimenta precedente mas que por si mesmo natildeo tem

nenhuma vestimenta e entatildeo exige de certa forma algueacutem que pudesse vesti-lo Uma

outra imagem eacute esta dos aacutetomos que devem necessariamente ser integrados a

compostos estaacuteveis moleculares Frege constata que Wilhem Wundt utiliza esta imagem

em sua Logik Este texto mesmo dos ineacuteditos cita numa nota de chamada algumas

linhas acima os trabalhos de um linguumlista de liacutengua inglesa A H Sayce

(1) O que vai contra a tradiccedilatildeo aristoteacutelica na qual o primeiro imperativo eacute de dissolver a

aparecircncia da proposiccedilatildeo substituindo-lhe por uma relaccedilatildeo entre termos Eacute o sentido da

άναλὑειν ―λογαὑχώς χαι χενώς eacute oposto a άναλυτιχώς (Eacutetica a Eudeme 1217 b 21)



6

[Assirioacutelogo Archibald Henry Sayce ndash 1845-1933] que reduz a forma linguumliacutestica a uma

uacutenica palavra (Sentence word) para a unidade do discurso primitivo Esta tese ia de

encontro a uma opiniatildeo entatildeo em voga e ligada agraves Investigaccedilotildees sobre o indo-europeu

segundo a qual a liacutengua se constituiria em torno da raiz Ao inverso Sayce considera a

raiz uma abstraccedilatildeo face agrave realidade linguumliacutestica da proposiccedilatildeo Frege lecirc em Sayce como

uma justificativa de sua proacutepria pesquisa da qual ele afirma vaacuterias vezes a novidade e o

caraacuteter natildeo aristoteacutelico Partindo da escrita de uma proposiccedilatildeo ndash desta que ele chama de

pensamento ou conteuacutedo de julgamento ndash Frege descobre de imediato algo como uma

articulaccedilatildeo primeira e fundamental a articulaccedilatildeo predicativa

Ausdrucken Ausdruck foram traduzidos respectivamente por exprimir e

expressatildeo

Frege emprega estes termos no sentido objetivo aquele em virtude do qual

diremos que ―ax + b eacute uma expressatildeo algeacutebrica por uma escritura algeacutebrica

Unbestinmt andeuten foi traduzido por indicar de maneira indeterminada agrave

maneira de um signo de variaacutevel figurando numa foacutermula algeacutebrica ou ideograacutefica ―Na

expressatildeo Φ (x) a letra x indica de maneira indeterminada ao passo que cada

signo tem uma denotaccedilatildeo determinada (Leis Fundamentais sect 7) Na liacutengua comum os

pronomes pessoais e outros decirciticos (aqui hoje) satildeo ditos igualmente indicar de

maneira indeterminada

Pensamos que Frege foi o primeiro a recorrer agraves aspas pra distinguir entre

menccedilatildeo de uma expressatildeo e seu uso

―Surpreender-nos-emos talvez do emprego frequumlente das aspas Ela serve para

distinguir o caso onde falo do signo ele mesmo daquele em falo de sua denotaccedilatildeo (Leis

Fundamentais I 4 1892)

Frege viu primeiramente aiacute um remeacutedio proacuteprio para sanar uma confusatildeo pelo

uso autocircnomo dos signos aritmeacuteticos este da cifra e do nuacutemero de uma expressatildeo

analiacutetica e de uma funccedilatildeo e em geral do nome e do denominado Ele reconhece mais

tarde no uso das aspas um utensiacutelio indispensaacutevel para quem quer falar na metaliacutengua e

a liacutengua objeto

―As proposiccedilotildees de minha linguagem auxiliar [Hilfssprache] satildeo objetos que

foram falados na linguagem de exposiccedilatildeo [Darlegungsprache] Devo poder designaacute-los

em minha linguagem de exposiccedilatildeo como num tratado de astronomia planetas satildeo

designados por seus nomes proacuteprios ―Vecircnus ou ―Marte Eu obtenho os nomes

proacuteprios das proposiccedilotildees na liacutengua auxiliar colocando estes entre aspas

[Investigaccedilotildees loacutegicas 19231925]

Seguramente a controveacutersia com Kerry exposta em Conceito e Objeto (1892)

teria sido mais clara se Frege tivesse disposto da distinccedilatildeo entre Hilssfprache e

Darlegungssprache (liacutenguandashobjeto e metaliacutengua) que utilizaraacute trinta anos mais tarde

II

Os artigos do primeiro periacuteodo [1884] confrontam o simbolismo booleano e a

ideografia com a vantagem indiscutiacutevel para este uacuteltimo

Em seguida noacutes designaremos por Begriffsscrift o opuacutesculo de 1879 por

ideografia o simbolismo perfeito (vollkommene Zeichensparache) do qual Frege

trabalhou durante quarenta anos e por procedimentos ideograacuteficos agraves transformaccedilotildees e

deduccedilotildees que se autorizam no interior da ideografia que Frege enuncia sob a d duas

exposiccedilotildees das leis fundamentais da ideografia O primeiro na segunda secccedilatildeo da

enominaccedilatildeo de Leis Fundamentais (Grundgesetze) e regras de inferecircncia Ele faraacute (1) BENVENISTE E e JAKOBSON R ―O ato sintagmaacutetico fundamental que eacute ao mesmo tempo o ato

criador da frase eacute a predicaccedilatildeo Ciacuterculo de Praga ndash Teses de 1929



7

com que Begriffsschrift comporte nove leis O segundo no primeiro tomo das Leis

Fundamentais da Aritmeacutetica (Primeira parte Exposiccedilatildeo da ideografia) comporta seis

leis das quais somente duas pertencem agrave primeira exposiccedilatildeo Distinguiremos em

consequumlecircncia dois sistemas da ideografia este da Begriffsschrift e este das Leis

Fundamentais da Aritmeacutetica

Nas palavras de Frege a ideografia eacute mais que uma loacutegica no sentido de que a

loacutegica eacute dita classicamente formal Isto eacute vazia de qualquer conteuacutedo e reguladora de

todo discurso Sem duacutevida a ideografia eacute ela formal em outro sentido na medida exata

na qual pretende ser um caacutelculo ao mesmo tempo ser uma caracteriacutestica [uma liacutengua

formular anaacuteloga a esta da aritmeacutetica ou da quiacutemica] Pois as escritas das foacutermulas e

inferecircncia de uma foacutermula a partir de outra satildeo submetidas a regras pouco numerosas

sem nenhuma exceccedilatildeo de forma que a conclusatildeo de um raciociacutenio eacute estabelecida

unicamente em consideraccedilatildeo aos siacutembolos Mas natildeo esqueceremos que a decisatildeo eacute

confiada agraves regras de signos pois eles constituem uma caracteriacutestica adequada e

regular jaacute que natildeo satildeo nem vazios nem arbitraacuterios

Se levarmos em conta os siacutembolos primitivos da ideografia as leis e as regras de

inferecircncia que lhe satildeo associadas a ideografia enquanto caacutelculo autoriza construccedilotildees e

deduccedilotildees especiacuteficas Em particular a constante de igualdade figura em nuacutemero de

signos primitivos e desempenha um papel duplo Ela serve em primeiro lugar agraves

definiccedilotildees nominais que permitem introduzir um siacutembolo novo abreviando uma

foacutermula que conta vaacuterios siacutembolos legitimados precedentemente Ela permite em

segundo lugar identificar (Wiedererkennen) a soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo como no

exemplo elementar que segue

(1) x = 3 + 5

Frege utiliza o segundo sentido da identidade na lei V (da segunda ideografia) a qual

permite identificar a extensatildeo de dois conceitos se estes conceitos tecircm o mesmo valor

para os mesmos argumentos Ora no exemplo acima o que a identidade afirma eacute que

existe um procedimento de construccedilatildeo de entidade identificada A equaccedilatildeo eacute soluacutevel

porque lt Z + gt constitui um monoacuteide [conjunto munido de uma operaccedilatildeo associativa

com elemento neutro] Assim esta lei V da segunda ideografia foi concebida para

resumir um procedimento conhecido em geometria e em aritmeacutetica para quocientar

por uma relaccedilatildeo de equivalecircncia que Frege entende utilizar para definir os nuacutemeros

cardinais Assim procedendo Frege introduz na ideografia um procedimento singular

de aacutelgebra sem reconhecer a especificidade de sua construccedilatildeo Mas lhe pareceraacute natildeo

ter rompido explicitamente os limites da loacutegica jaacute que ele sabia definir a equivalecircncia

cardinal dos conceitos sem recorrer agrave intuiccedilatildeo mesmo fosse ela tomada no sentido de

Kant Ele sabia definir o nuacutemero sem recorrer agrave psicologia dos aritmeacuteticos mesmo

sendo ela reduzida ao poder de abstraccedilatildeo no sentido de Cantor ou de Dedekind

Sabemos que Frege advertido em 1902 da antinomia das classes por B Russel

chegou a suspeitar da validade universal da lei V Ele confessaraacute entatildeo ter sempre tido

alguma duacutevida sobre o caraacuteter evidente e puramente loacutegico desta lei [Frege no

posfaacutecio de As Leis fundamentais TII p 253 nos lembra que fez reservas ao uso

desta lei desde 1892]

Daiacute pode perceber que Frege mesmo nos momentos de seu auge de esperanccedila se

manteacutem ligado a sua feacute loacutegica que agraves vezes tinha termos ambiacuteguos ―Eu divido a

opiniatildeo daqueles que consideram impossiacutevel separar claramente [id est a loacutegica e a

matemaacutetica]

Tudo estaacute neste ―claramente Hoje e levando em conta as liccedilotildees da histoacuteria da

teoria dos conjuntos possuiacutemos um criteacuterio permitindo separar a loacutegica e a

matemaacutetica Constatamos pelo menos que as matemaacuteticas empregam duas constantes

primitivas extra-loacutegicas esta da igualdade e do pertencimento seu uso eacute definido por

uma lista de axiomas que caracterizam a teoria dos conjuntos como teoria particular



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mesmo que fundamental No resto a ideografia serva para expressatildeo destes axiomas e

Frege concebeu alguns anos antes de Peano e Russel a liacutengua extensional requerida

pela teoria matemaacutetica Esta liacutengua oferece a mais uma caracteriacutestica mais fina que

esta das palavras da liacutengua natural que carrega consigo o sentido do uso fornece

tambeacutem uma teoria da deduccedilatildeo enriquecida pelos axiomas e as regras da

quantificaccedilatildeo Aiacute estaacute a vantagem estupenda que a Begriffsschrift [Conceitografia] tem

sobre a loacutegica de Boole

O simbolismo escolhido por Boole representa as diversas relaccedilotildees podendo

existir entre a extensatildeo dos termos ou classes partindo da relaccedilatildeo fundamental que eacute a

identidade Aristoacuteteles tinha escolhido a inclusatildeo estrita ―A diferenccedila diz Frege se

limita ao que Aristoacuteteles coloca em primeiro plano o caso no qual a extensatildeo de um

conceito inclui totalmente esta do outro ao passo que Boole reduz este caso a este da

identidade das extensotildees Frege natildeo nega no entanto o progresso teacutecnico que a

exposiccedilatildeo booleana traacutes para o silogismo e que resulta no que a loacutegica de Boole eacute jaacute

uma linguagem formular (Formelsprache) um caacutelculo (calculus ratiocinator) no qual

cada equaccedilatildeo pode ser transformada segundo as leis algeacutebricas previamente

enunciadas (1) E eacute a invenccedilatildeo desta aacutelgebra que permanece sendo a mais bela gloacuteria

de Boole

Este caacutelculo tem entretanto na consideraccedilatildeo de Frege duas falhas

1 A primeira eacute que os princiacutepios da loacutegica aristoteacutelica natildeo foram alterados a loacutegica de

Boole tem os mesmos limites que esta do Estagirita Ela natildeo tem expressatildeo para os

julgamentos de existecircncia Ela natildeo tem tambeacutem os meios para construir novas

expressotildees conceituais e deve supor que os conceitos satildeo dados

Para o primeiro ponto Frege quer dizer que se o silogismo tem proposiccedilotildees

particulares do tipo

Alguns A satildeo B

ela ignora as proposiccedilotildees existenciais do tipo

Existe A

Ora isto eacute de uso quotidiano em aritmeacutetica atraveacutes do que dizemos e provamos

por exemplo que a equaccedilatildeo x + 2 = 6

tem uma raiz ou ainda que existe x para o qual x + 2 = 6

Quanto ao segundo ponto veremos sobre um exemplo o que Frege entende por

construccedilatildeo de conceitos (Bildung der Begriffe) Todo conteuacutedo proposicional onde

substituiacutemos n variaacuteveis por n argumentos define um conceito ou uma relaccedilatildeo n ndash

aacuteria Se submetermos a expressatildeo assim obtida a uma quantificaccedilatildeo podemos

construir novos conceitos E a mesma operaccedilatildeo pode ser efetuada sobre as

combinaccedilotildees das proposiccedilotildees elementares Consideremos um caso simples

obtemos sucessivamente utilizando os recursos da

(1) Frege daacute como exemplo a equaccedilatildeo (1) A=AB traduzindo ―Todos os mamiacuteferos (A) tem

uma respiraccedilatildeo aeroacutebica (B) A equaccedilatildeo pode ainda ser escrita (2) A (1 ndash B) = 0 1 representa

o universo do discurso 0 a classe vazia e (1 ndash B) o complemento de B em 1 Esta equaccedilatildeo eacute

soluacutevel sobre o conjunto 1 munido dos operadores A invenccedilatildeo que permitiu a

Boole tratar algebricamente a silogiacutestica eacute a introduccedilatildeo das classes complementares (no

exemplo acima (1 ndash B) representa a classe do que natildeo tem respiraccedilatildeo aeroacutebica) quando

Aristoacuteteles excluiacutea os termos negativos julgados indeterminados Da equaccedilatildeo acima a soluccedilatildeo

eacute A = B Em virtude da mesma potenciaccedilatildeo [idempotence] temos A = AA Verificamos sobre a

foacutermula (2) que nesta aacutelgebra um produto de fator pode ser nulo sem que ao menos um dos

fatores o seja Por princiacutepios elementares cf a Analise matemaacutetica da loacutegica (1847) e Na

Investigation of the laws of thought (1853) que eacute seu desenvolvimento



9

quantificaccedilatildeo construiacutemos as expressotildees de quatro novos conceitos

Trata-se mais de formaccedilatildeo que invenccedilatildeo de novos conceitos com sintaxe e

vocabulaacuterio da ideografia constantes predicativas requeridas para tal deduccedilatildeo que foi

entatildeo proposta (1)

Em resumo a limitaccedilatildeo assinalada por Frege se deve agrave ausecircncia de uma teoria

da quantificaccedilatildeo em Boole como em Aristoacuteteles Desde a Begriffsschrift Frege tinha

consciecircncia da novidade essencial de sua ideografia sem no entanto como veremos

ter esgotado as consequumlecircncias

2 A segunda falha do caacutelculo de Boole se deve ao que os siacutembolos servem para

representar em uma equaccedilatildeo as relaccedilotildees entre termos (o que Boole chama primary

proposition) servem igualmente para representar a relaccedilatildeo entre os enunciados

proposicionais (secondary propositions) Para isso Boole identifica um enunciado com

a classe de instantes durante os quais este enunciado eacute verdadeiro Mais que um

simbolismo que recebe no curso de um mesmo caacutelculo duas interpretaccedilotildees eacute ambiacuteguo

Frege objeta que natildeo podemos escrever simultaneamente o conteuacutedo das proposiccedilotildees e

o lime loacutegico entre proposiccedilotildees como se faz na continuidade do raciociacutenio

matemaacutetico A objeccedilatildeo significa que se podemos no rigor transcrever no simbolismo

booleano a liacutengua falada do matemaacutetico seria necessaacuterio fazecirc-lo em duas etapas

Escrevemos sucessivamente as equaccedilotildees correspondentes agrave relaccedilatildeo entre os termos

depois as que traduzem a relaccedilatildeo das proposiccedilotildees Assim fazendo deixaremos escapar

algumas sutilezas que Frege soube exprimir em uma foacutermula onde figuram vaacuterios

quantificadores de alcance diferente A loacutegica de Boole eacute em tudo e mesmo mais um

instrumento de controle natildeo eacute uma ideografia (2)

A ideografia ao contraacuterio se ajusta diretamente agraves foacutermulas matemaacuteticas ao

mesmo tempo em que adota os princiacutepios aqueles mesmos que Frege tinha

identificado em 1879 Em primeiro lugar ela utiliza como formulaacuterio aritmeacutetico um

duplo jogo de signos (constantes e variaacuteveis) E desta forma ela eacute uma caracteriacutestica

E alem como se faz na resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo ela tira partido das duas dimensotildees

da paacutegina por representar a conduta da prova o conteuacutedo de cada proposiccedilatildeo eacute

representado sobre uma linha de esquerda para a direita como se escreve uma

equaccedilatildeo ao passo que a relaccedilatildeo entre proposiccedilotildees se desenvolve verticalmente A

ideografia enfim exprime isto que interessa agrave prova e analisa cada conteuacutedo de

julgamento em funccedilatildeo do argumento como pode ser toda expressatildeo aritmeacutetica (2)

(1) Uma expressatildeo de conceito assim formada deve ser submetida ao criteacuterio da estrita

delimitaccedilatildeo (schaumlrfe Begrenzung Fondements sect 74 Leis Fundamentais) para todo objeto

devemos poder dizer se ele cai sob um conceito Frege aborda dois casos de respostas a esta

questatildeo a) ou o conceito eacute contraditoacuterio e sua extensatildeo eacute vazia Ele eacute entatildeo equinumeacuterico ao

conceito x ne x e ela lhe daacute um uso matemaacutetico ou seja ele permite de definir o conjunto

vazio b) ou entatildeo podemos para todo objeto tomado como argumento dizer se o objeto

tomou o valor V ou F A dificuldade eacute que Frege antes da carta de Russel natildeo percebeu que a

ideografia admitia de formar pelo menos um conceito para o qual natildeo poderiacuteamos dar nem

uma resposta do tipo a) ou do tipo b) (2) No prefaacutecio da Begriffschrift ateacute os uacuteltimos rascunhos ineacuteditos Frege sustenta esta tese de

que a ideografia deve permitir pensar diretamente nos siacutembolos que analisam e representam o

pensamento independente das palavras da liacutengua falada e diferente dela Mas a ideografia

pretende ter a mesma potecircncia que uma linguagem natural e representar simultaneamente todos

os dados do raciociacutenio ―A verdadeira diferenccedila [entre o caacutelculo de Boole e a ideografia] eacute que

eu soube evitar esta divisatildeo em duas partes na qual uma eacute consagrada agraves relaccedilotildees entre

conceitos (primary propositions) e a outra a relaccedilatildeo entre julgamento (secondary propositions)

Em Boole as duas partes fazem seguida de forma que uma eacute como uma imagem em espelho

[Spielgebild] da outra e por isso mesmo natildeo existe entre elas nenhum liame orgacircnico



10

Esta anaacutelise independente da articulaccedilatildeo natural em palavras que preservam a

loacutegica dos termos repousa sobre uma propriedade sintaacutexica geral dos textos nos quais

entram em composiccedilatildeo signos de constantes e signos de variaacuteveis Eacute o sentido da regra

proposta na Begriffsschrift no sect 9

―Noacutes exprimimos a coisa de maneira geral dizendo Se em uma expressatildeo

na qual natildeo eacute necessaacuterio que o conteuacutedo seja este de um julgamento um signo

simples ou composto tem uma ou vaacuterias ocorrecircncias e se pensamos que este signo

em todas ou algumas de suas ocorrecircncias pode ser substituiacutedo por outro desde

que o signo substituiacutedo seja sempre o mesmo entatildeo a parte estaacutevel da expressatildeo eacute

chamada funccedilatildeo e a parte submetida agrave substituiccedilatildeo eacute chamada argumento da

funccedilatildeo

O objetivo explicitamente buscado por Frege eacute de completar a caracteriacutestica da

aritmeacutetica de forma que uma exposiccedilatildeo matemaacutetica natildeo seja mais um ajuntamento de

um texto da liacutengua comum mal costurado a um sistema de equaccedilatildeo ou foacutermulas O

raciociacutenio seria um caacutelculo e este caacutelculo se regularia sobre a natureza mesma dos

conteuacutedos da uniatildeo orgacircnica entre a loacutegica abstrata e os conteuacutedos da qual Frege se

orgulha

Mas haacute aqui alguma hesitaccedilatildeo no vocabulaacuterio (1) Agraves vezes Frege identifica a

parte formal abstrata da loacutegica agraves relaccedilotildees entre proposiccedilotildees agraves vezes ele parece

suspeitar (como ele estabeleceraacute mais tarde) que as relaccedilotildees satildeo elas mesmas regidas

pelo conteuacutedo ou a mateacuteria das proposiccedilotildees pelo menos de certa maneira seu valor de

verdade Trata-se aqui da mateacuteria no sentido no qual falamos de implicaccedilatildeo material

entre proposiccedilotildees No mesmo movimento Frege afirma que o signo de implicaccedilatildeo

exprime o miacutenimo conteuacutedo pois ele exclui o uacutenico caso no qual o antecedente seria

verdadeiro e a consequumlecircncia falsa Este argumento pesou em favor do papel do

siacutembolo primitivo dado ao signo de implicaccedilatildeo material (coacutes outros motivos que

examinaremos adiante) Ele revela a incerteza de Frege se a loacutegica das proposiccedilotildees

(que Frege designa como conteuacutedo de julgamentos pensamentos) pode ser pelo

menos aproximativamente identificada com a loacutegica abstrata e formal eacute necessaacuterio

que estes siacutembolos primitivos tenham o miacutenimo conteuacutedo E se a ideografia deve ao

mesmo tempo ser uma caracteriacutestica seus signos primitivos devem no entanto se deve

conter algum conteuacutedo Daiacute decorre que Frege trataraacute o que pesado em

consequumlecircncias os signos do caacutelculo das proposiccedilotildees como siacutembolos proacuteprios da liacutengua

caracteriacutestica (2)

A Begriffsschrift e os artigos que satildeo a seguida imediata resumem pois a tentativa

de traduzir o raciociacutenio matemaacutetico o que chamamos de prova em liacutengua formular

Frege natildeo se inquietaraacute entatildeo de buscar sobre quais razotildees e em quais medidas as duas

linguagens a caracteriacutestica loacutegica e a caracteriacutestica aritmeacutetica podem ser assimiladas

nem em saber se a ideografia era verdadeiramente e sem nenhum limite um calculus ao

mesmo tiacutetulo que a aritmeacutetica A existecircncia dos tratados de aritmeacutetica no qual a equaccedilatildeo

avizinha com a deduccedilatildeo lhe parecia uma garantia suficiente de sua afinidade

(2) Em consequumlecircncia desta fidelidade aos princiacutepios da liacutengua aritmeacutetica e ao primado da

equaccedilatildeo Frege afirma ―Aiacute estaacute uma das diferenccedilas mais significativas entre minha concepccedilatildeo e

esta de Boole e acrescento esta de Aristoacuteteles que natildeo parto de conceitos mas de

julgamentos [Sobre o objetivo da ideografia p 74] (3) Particularmente sensiacutevel no ineacutedito O Caacutelculo loacutegico de Boole e a ideografia A hesitaccedilatildeo

sobre a verdadeira natureza do caacutelculo das proposiccedilotildees se perpetuaraacute ateacute as Investigaccedilotildees

loacutegicas [publicadas em 1967]



11

III

O segundo periacuteodo da obra de fregeana vai de 1883 com a publicaccedilatildeo dos dois

tomos das Leis Fundamentais da Aritmeacutetica (1893 e 1903) Os Fundamentos da

Aritmeacutetica (1883) havia exposto em liacutengua comum a definiccedilatildeo do nuacutemero cardinal e

dado o esboccedilo das leis da aritmeacutetica elementar Antes de se dedicar a redaccedilatildeo em liacutengua

simboacutelica do corpus mesmo da aritmeacutetica Frege teve de refazer a ideografia para pocirc-la

em acordo com os princiacutepios novos que surgiram nos Fundamentos Foi necessaacuterio em

particular dar uma escrita ideograacutefica agrave extensatildeo do conceito e ordenar as leis

regulando o uso deste siacutembolo Os artigos Sentido e Denotaccedilatildeo (ou Significaccedilatildeo)

Funccedilatildeo e conceito Conceito e Objeto O que eacute uma funccedilatildeo [TODOS TRADUZIDOS

PARA O SEMINAacuteRIO] assim como a resenha da Philosophie der Aritmetik de E

Husserl publicados entre 1891 e 1904 remetem uns aos outros e todos aos

Fundamentos de que foram a consequumlecircncia Tomados em conjunto eles constituem uma

exposiccedilatildeo natildeo formal da segunda ideografia na qual o cerne estaacute contido no artigo

Funccedilatildeo e Conceito

Em Os Fundamentos Frege tinha esmiuccedilado o conceito de seus usos filosoacuteficos

ambiacuteguos distinguindo-o da representaccedilatildeo (Vorstellung) assim como do termo nome

comum abstrato de indiviacuteduo dado por percepccedilotildees Analisando o julgamento de

existecircncia

Existem aacutervores

E o julgamento que atribui um nuacutemero

Existem quatro aacutervores

Frege observaraacute que eles dispensam um e outro uma informaccedilatildeo sobre a extensatildeo do

conceito ser uma aacutervore para o primeiro [a informaccedilatildeo] de que esta extensatildeo natildeo eacute

vazia e para o segundo onde ela coloca quatro indiviacuteduos Os sect 45 a 54 dos

Fundamentos elaboraram a doutrina loacutegica do conceito que impunha as constataccedilotildees e

o artigo Conceito e Objeto nos lembra os traccedilos essenciais Em primeiro lugar

distinguiremos entre os conceitos que nos oferece a linguagem comum aqueles

definidos sobre indiviacuteduos discretos e que Frege chama de conceitos-unidades

[Einheit in Os fundamentos] Eles se distinguem pelo uso fato que podemos entatildeo

lhes atribuir um nuacutemero Assim por exemplo partindo do conceito de ser um soldado

podemos formar a proposiccedilatildeo ―haacute soldados e ―haacute trinta soldados Ao passo que

natildeo saberiacuteamos partindo de ser vermelho formar no mesmo sentido as proposiccedilotildees

―haacute vermelhos ou ―haacute trinta vermelhos Somente os conceitos do primeiro tipo (2)

satildeo tomados pela ideografia Eles devem em seguida satisfazer ao princiacutepio de estrita

delimitaccedilatildeo (3) Estas propriedades que revela a liacutengua agraves vezes com alguma

ambiguumlidade correspondem ao tratamento loacutegico sem equiacutevoco ou seja a

quantificaccedilatildeo Enfim noacutes podemos definir uma correspondecircncia biuniacutevoca [Beiderseits

eindeutige Zuordrung] entre as extensotildees de dois ou mais conceitos deste gecircnero (Os

Fundamentos sect 71 e 72] Estes requisitos bastam para os Fundamentos para o fim que

se propotildee dar sem aparato simboacutelico o esquema da definiccedilatildeo do nuacutemero cardinal

Deveu-se no entanto a uma anaacutelise delicada para integrar esta doutrina agrave ideografia

Ela decorre dos artigos que examinamos no presente

Funccedilatildeo e Conceito toma em seu ponto de partida o caso muito simples das

funccedilotildees numeacutericas como

da qual a forma geral eacute

Segundo a acepccedilatildeo comum devida a Euler a funccedilatildeo era identificada a uma expressatildeo

analiacutetica Eacute confundir na equaccedilatildeo acima o signo e o significado Este primeiro erro



12

mascara um outro mais grave e se reportando agraves coisas nelas mesmas y natildeo eacute para

dizer a verdade a funccedilatildeo mas o valor desta funccedilatildeo f (ξ) para o argumento x Quanto agrave

funccedilatildeo f podemos nos ajudar com uma representaccedilatildeo geomeacutetrica para conceber sua

natureza ―O meacutetodo da geometria analiacutetica nos daacute o meio de representar

intuitivamente os valores de uma funccedilatildeo para diferentes argumentos Cada ponto da

curva corresponde a um argumento e o valor da funccedilatildeo que lhe eacute associado Decorre

desta anaacutelise que Frege entende a funccedilatildeo no sentido moderno deste termo como uma

lei de correspondecircncia entre um conjunto de argumentos e um conjunto de valores

A noccedilatildeo de funccedilatildeo assim apurada e reduzida a um princiacutepio simples admite

uma dupla generalizaccedilatildeo jaacute esboccedilada na histoacuteria das matemaacuteticas Por um lado agraves

operaccedilotildees aritmeacuteticas jaacute em uso na construccedilatildeo de expressotildees funcionais Frege

acrescenta as relaccedilotildees de igualdade e de ordem estrita e daiacute agraves funccedilotildees de verdade a

quantificaccedilatildeo e as funccedilotildees descritivas Por outro lado ele entende o campo dos

argumentos e valores possiacuteveis acrescentando aos nuacutemeros o valor de verdade as

extensotildees do conceito e finalmente todo objetos que a liacutengua loacutegica pode alcanccedilar

para uma funccedilatildeo descritiva A generalizaccedilatildeo deve entretanto ser verificada a cada uma

de suas etapas e nos perguntaremos para cada funccedilatildeo novamente [receacutem] introduzida

qual deve ser seu valor para os argumentos eles tambeacutem novamente [receacutem]

introduzidos Ora Frege empresta sua resposta do artigo Sentido e Denotaccedilatildeo

(Significaccedilatildeo) Assim toda invenccedilatildeo deste artigo repousa sobre a distinccedilatildeo

sentidodenotaccedilatildeo (Significaccedilatildeo) que haviacuteamos tornado preciso acima e do qual Frege

mediu a importacircncia e as dificuldades que oferecia ao senso comum (1)

Funccedilatildeo e Conceito passa em revista as diferentes funccedilotildees loacutegicas que requerem a

ideografia Esta revista segue uma ordem que satisfaz a dois princiacutepios Por um lado

Frege daacute a cada uma de suas inovaccedilotildees a autoridade de um bem anaacutelogo bem

conhecido em matemaacutetica (2) Mas aiacute se trata de um fio condutor puramente heuriacutestico

[descobrir] Por outro lado a ordem eacute esta de uma construccedilatildeo na qual as noccedilotildees

precedentemente introduzidas justificam a determinaccedilatildeo de noccedilotildees que seguem O

passo essencial eacute este que permite a primeira extensatildeo da noccedilatildeo de funccedilatildeo ele consiste

em receber como objetos os dois valores de verdade (3) Apoacutes dito isso seraacute simples

definir tais funccedilotildees pois elas seratildeo os valores dos argumentos Frege daacute este passo em

nome de um princiacutepio semacircntico geral que para estabelecimento do qual estaacute

consagrado Sentido e Denotaccedilatildeo

(1) As consideraccedilotildees de Funccedilatildeo e Conceito estatildeo na origem dos meacutetodos semacircnticos

desenvolvidos ulteriormente Em particular a extensatildeo do conceito eacute definida como o domiacutenio

dos argumentos de uma funccedilatildeo caracteriacutestica ―Podemos entatildeo conceber o percurso de valor

[domiacutenio dos argumentos] de uma funccedilatildeo cujo valor pra todo argumento eacute um valor de

verdade como sendo a extensatildeo de um conceito E ainda as funccedilotildees de verdade satildeo

explicitamente definidas sobre os valores de verdade falso e verdadeiro Mas para justificar

este duplo apelo aos valores de verdade Funccedilatildeo e Conceito remete a Sentido e Denotaccedilatildeo A

hierarquia das noccedilotildees e sua novidade eacute lembrada na introduccedilatildeo aos Grundgesetze Aiacute seraacute dito

que todo caacutelculo loacutegico repousa sobre a introduccedilatildeo de valores de verdade ―consequumlecircncia de

uma distinccedilatildeo entre o sentido a denotaccedilatildeo de um siacutembolo Frege acrescenta ―Posso numa

certa medida ser juiz da resistecircncia que estas ideacuteias novas natildeo deixaratildeo de despertar pois me

foi necessaacuterio vencer em mim mesmo tal sentimento antes de aiacute me dedicar

(2) Salvo para a introduccedilatildeo no fim do artigo as funccedilotildees de verdade aqui mesmo tratadas

adiante Noacutes constatamos a mesma prudecircncia para a definiccedilatildeo do nuacutemero cardinal

(Fundamentos sect 64) No caso presente a quantificaccedilatildeo eacute comparada a uma integral definida

(3) Enquanto nas exposiccedilotildees modernas verdadeiro e falso satildeo postos como auxiliares de

caacutelculo e o princiacutepio da bivalecircncia das proposiccedilotildees autoriza para o caacutelculo claacutessico o meacutetodo

da taacutebua de verdade Para a criacutetica do meacutetodo fregeano Cf Tractactus loacutegico-philosophicus

[Wittgeinstein]



13

Segue a foacutermula

Se interpretarmos segundo o uso das matemaacuteticas esta equaccedilatildeo diz que os

signos a e b tecircm mesmo como o sentido diferente uma mesma denotaccedilatildeo A

identidade a parte objetiva funda a equivalecircncia dos sentidos e a capacidade

substitutiva [substituabiliteacute] dos signos Esta concepccedilatildeo eacute um progresso em relaccedilatildeo agrave

Begrffsschrift na qual a identidade era definida como uma relaccedilatildeo entre os signos (e

natildeo entre os sentidos (1) Esta relaccedilatildeo traz uma feliz precisatildeo para a doutrina dos

Fundamentos da aritmeacutetica na qual Frege resumia as propriedades da identidade na

foacutermula de Leibniz apresentada como uma definiccedilatildeo eadem sunt quorum unum alteri

substitui potest veritate sem que soubeacutessemos se a substituiccedilatildeo autorizada era esta do

objeto do sentido ou dos signos

Desta interpretaccedilatildeo da proposiccedilatildeo de identidade Frege tira trecircs liccedilotildees que foram

colocadas em uso em Funccedilatildeo e Conceito

Em primeiro lugar Frege estende para toda unidade da liacutengua comum [Alematildeo

Ausdruk Inglecircs phrase] nome grupo de palavras proposiccedilatildeo o princiacutepio descoberto

sobre a igualdade aritmeacutetica Todo signo ou grupo de signos tem um sentido e uma

denotaccedilatildeo No caso das proposiccedilotildees Diremos que esta denotaccedilatildeo eacute um valor de

verdade o verdadeiro e o falso A uacuteltima e maior parte do artigo pretende verificar

sobre uma taacutebua de casos tomados da gramaacutetica o que Frege considera um postulado

taacutecito comum para todos os locutores Em segundo lugar Frege requer por toda

expressatildeo ideograacutefica desde o momento que ela eacute bem formulada que tenha um

sentido e uma denotaccedilatildeo Para este transporte [transfert] ele redobra a propoacutesito da

ideografia o postulado impliacutecito da liacutengua comum segundo o qual toda proposiccedilatildeo

tem por denotaccedilatildeo um valor de verdade

Em terceiro lugar ele aplica a toda equaccedilatildeo de ideografia a interpretaccedilatildeo

proposta por

na qual a e b seriam nomes proacuteprios de indiviacuteduos Em

particular se tomarmos por a e b os signos das proposiccedilotildees eles tecircm por sentido um

pensamento e por denotaccedilatildeo um valor de verdade Frege daacute como exemplo

na qual a equaccedilatildeo identifica [wiedererkennt] o valor de verdade das duas proposiccedilotildees

Dessas trecircs liccedilotildees a primeira autoriza a segunda Dando agrave ideografia os valores

de verdade ela legitima a primeira generalizaccedilatildeo de Funccedilatildeo e Conceito Diremos a

partir de entatildeo que as igualdades e as desigualdades satildeo funccedilotildees loacutegicas cujo valor eacute

um valor de verdade Mas esta segunda sustenta a terceira Sob reserva que existe

valores de verdade entatildeo e somente entatildeo podemos interpretar uma equaccedilatildeo tal qual

(1)

(1) Begriffsschrift sect 8 Frege tinha entatildeo adotado a definiccedilatildeo usual da sinoniacutemia dois signos

satildeo equivalentes se eles tecircm o mesmo sentido Esta concepccedilatildeo de sinoniacutemia eacute inclusive de uso

geral na liacutengua comum Eacute o princiacutepio do dicionaacuterio que eacute um utensiacutelio da conversaccedilatildeo e do

falar bem Mas a liacutengua comum permite agraves vezes distinguir entre o sentido e a denotaccedilatildeo

pelo menos em seus usos cognitivos este mesmo que Frege leva em consideraccedilatildeo Este uso eacute

este que E Benveniste caracteriza como uma semantizaccedilatildeo da liacutengua (A forma e o sentido na

linguagem artigo onde o linguumlista propotildee o par de termos significaccedilatildeoreferecircncia) Ele estaacute

igualmente no princiacutepio deste utensiacutelio da ciecircncia que eacute o herbaacuterio [herbier] no qual face a

uma flor seca figura duas escritas o nome vulgar e o nome saacutebio onde os sentidos satildeo

usualmente diferentes Frege faz aiacute alusatildeo aos nomes que no exemplo entre vulgar e saacutebio natildeo

diferem no sentido (violeta odorante e viola odorata)



14

A nova concepccedilatildeo de identidade toma todo seu sentido apoacutes esta uacuteltima etapa A

ideografia aiacute ganha conector [conectivo] proposicional o signo de igualdade que Frege

natildeo distingue da equivalecircncia Aleacutem disso as funccedilotildees definidas sobre os valores de

verdade (verdadeiro falso) satildeo assimilados agraves funccedilotildees definidas sobre um outro

conjunto de indiviacuteduos discretos Enfim os valores dos conceitos e as relaccedilotildees satildeo

argumentos das funccedilotildees de verdade Assim Frege acreditou ele ter alcanccedilado a esta

unidade orgacircnica da ideografia que havia oposto alguns anos antes agrave loacutegica de Boole

O apoio que Sentido e Denotaccedilatildeo trazem para teoria geral das funccedilotildees esboccedilada

em Funccedilatildeo e Conceito consiste em uacuteltima anaacutelise em um fraacutegil acreacutescimo Frege

atribui generosamente agrave ideografia uma semacircntica induzida por um uso particular da

liacutengua comum seu uso cognitivo (1) Este acreacutescimo [transfert] supotildee que as

construccedilotildees de expressotildees ideograacuteficas satildeo no essencial anaacutelogas aos torneios

recebidos da liacutengua comum Sabemos que esta hipoacutetese natildeo resistiu agrave experiecircncia

Todavia tatildeo fraacutegil ou limitada que ela possa parecer Frege natildeo negligenciou de dar

precisotildees as condiccedilotildees de seu exerciacutecio Assim sendo a semacircntica fina do sentido e da

denotaccedilatildeo que Frege retira de certo uso da liacutengua natural se aplica agraves foacutermulas jaacute que

―a forma linguumliacutestica de uma equaccedilatildeo eacute uma proposiccedilatildeo afirmativa (2) Ao passo que

a foacutermula ideograacutefica empresta sua sintaxe agrave proposiccedilatildeo a divisatildeo do texto em signo e

argumento e signo e funccedilatildeo e a divisatildeo irredutiacutevel do objeto e do conceito (3) Esta

transferecircncia em todo caso proveu as foacutermulas ideograacuteficas de um princiacutepio semacircntico

que lhe fosse diretamente aplicaacutevel Ao inverso a Begriffsschrift associava agraves

foacutermulas ideograacuteficas sua traduccedilatildeo em liacutengua comum como se este exerciacutecio hoje

pedagoacutegico fosse indispensaacutevel enquanto a ideografia natildeo houvesse criado princiacutepio

hermenecircutico proacuteprio O desejo formulado em 1879 que podemos pensar diretamente

com os signos matemaacuteticos ou loacutegicos se liberando da articulaccedilatildeo das palavras tem

entatildeo alguma aparecircncia de realidade

Aleacutem destas liccedilotildees diretamente uacuteteis agrave ideografia Sentido e Denotaccedilatildeo propotildee

duas teses todas duas com intenccedilotildees filosoacuteficas A primeira eacute corolaacuterio da

transferecircncia indicada acima e coloca que a anaacutelise das liacutenguas formulares vale para as

liacutenguas naturais Esta tese iraacute inspirar a primeira filosofia analiacutetica anglo-saxone A

segunda geraccedilatildeo dos analistas se distinguiraacute pela negaccedilatildeo deste mesmo princiacutepio A

segunda tese com intenccedilotildees epistemoloacutegicas resolve um paradoxo enunciado desde

as primeiras linhas do artigo podemos aumentar o conhecimento por um caacutelculo

constituiacutedo de uma seacuterie de equaccedilotildees por menos que distingamos o sentido e

denotaccedilatildeo

Por fidelidade ao princiacutepio mesmo da ideografia de que haacute uma afinidade

profunda entre o caacutelculo loacutegico e o caacutelculo aritmeacutetico Frege foi conduzido a assumir

uma olhar de esgueira sobre as duas liacutenguas aparentemente estranhas uma agrave outra que

lhe havia ensinado a filosofia e a matemaacutetica De uma ele aprendeu a aacutelgebra literal

herdada do XVII seacuteculo de Viegravete [1540-1603] e Leibniz [1646-1716] Da outra estes

tropos de inferecircncias vindos da filosofia grega e que satildeo verdadeiramente

(1) Um dos seis ou mais usos que identificam os linguumlistasCf R Jakobson Ensaios de

linguumliacutestica geral trad francesa p 220

(2) Cf Conceito e objeto no seu conjunto Eacute o terceiro princiacutepio daos Fundamentos da

Aritmeacutetica (p ex) Cf igualmente em Funccedilatildeo e Conceito ―Nas duas partes nas quais a

expressatildeo eacute analisada o signo do argumento e a expressatildeo da funccedilatildeo natildeo satildeo do mesmo

gecircnero Este princiacutepio se opotildee agrave anaacutelise aristoteacutelica em termos para ser do mesmo gecircnero

admitem a conversatildeo

(3) Deve ser notado que na mesma eacutepoca e sem nenhuma ligaccedilatildeo com Frege Pearce

recomenda que substituamos as palavras da liacutengua comum dos iacutecones ou dos diagramas cujo

modelo eacute dado pala liacutengua aritmeacutetica (Collected papers III sect 429)



15

um sedimento da liacutengua comum Ao refletir sobre os torneios habituais dos

matemaacuteticos ndash as proposiccedilotildees de existecircncia estas que atribuem um nuacutemero e as

equaccedilotildees ndash Frege se encarregou de reconstruir a loacutegica dos princiacutepios extensionais

Funccedilatildeo e Conceito cumpre parcialmente este programa teacutecnico sobre uma hipoacutetese

tirada de Sentido e Denotaccedilatildeo haacute dois valores de verdade o verdadeiro e o falso

Mesmo que a doutrina seja vulneraacutevel ela faz revirar [basculer] a preacute-histoacuteria da

ciecircncia das teorias loacutegicas claacutessicas (1)

A contenccedilatildeo de espiacuterito com a qual Frege se aplicava para refazer a ideografia

explica seu silecircncio doa anos 1883-1890 ―A razatildeo pela qual a execuccedilatildeo do projeto

(expor a aritmeacutetica em liacutengua ideograacutefica) acontece tatildeo tarde do que o anunciado (nos

Fundamentos) se deve em parte agraves transformaccedilotildees internas acrescidas agrave ideografia

Elas me obrigaram a jogar fora um manuscrito quase terminado E Frege conclui

assim o resumo destas modificaccedilotildees ―Como vemos os anos natildeo passaram em vatildeo

depois do nascimento da Begriffsschrift e dos Fundamentos

(1) Em particular o princiacutepio de que uma funccedilatildeo eacute determinada se soubermos qual valor ela

toma para cada um de seus argumentos o que eacute o caso da impredicabilidade Por outro lado a

analogia dos predicados e das funccedilotildees de verdade estabelecida por Funccedilatildeo e conceito tem

limites que Frege ignora durante este segundo periacuteodo Aiacute estaacute a fraqueza da segunda ideografia

que examinaremos

(2) Sobre o uso abusivo das constantes loacutegicas na ideografia (constantes de caacutelculo das

proposiccedilotildees) Cf Tractatus 4 0312 ―Minha ideacuteia fundamental eacute que as constantes loacutegicaslsquo

natildeo representam e 54 544 No periacuteodo aqui examinado ateacute as Investigaccedilotildees loacutegicas Frege

natildeo distinguiraacute jamais o aparato simboacutelico e as leis do caacutelculo das proposiccedilotildees do aparato

simboacutelico e das leis do caacutelculo dos predicados

(3) Fundamentos sect54 ― O conceito ao qual o nuacutemero eacute atribuiacutedo separa em geral ―letra da

palavra Zahl separa Z de a e a de h etc Mas todos os conceitos natildeo satildeo dessa natureza nos

podemos dividir de vaacuterias maneiras o que cai sob o conceito de vermelho sem que as partes

assim obtidas cessam de serem subsumidas pelo conceito Para um tal conceito somente

podemos atribuir um nuacutemero finito

(4) Fundamentos sect87 ―A loacutegica do rigor das provas exige simplesmente que um conceito tenha

limites perfeitamente definidos de forma que podemos dizer que para todo objeto podemos

dizer se ele cai sob o conceito ou natildeo (Eacute o que sublinhamos) Este princiacutepio de scharfe

Begrenzung foi enunciado de novo nas Leis Fundamentais da Aritmeacutetica sob o tiacutetulo de

Grandsatz der Vollstaumlndigkeit T II sect 56



16

IV

As trecircs Investigaccedilotildees Loacutegicas (1918-1923) [Traduzido por Paulo Alcoforado ndash

EDIPUCRS] ndash cuja originalidade foi desconhecida [no sentido de relativamente ignorada]

que nos perece merecer um maior exame ndash nos daacute o uacuteltimo estado das concepccedilotildees loacutegicas

de Frege Ele redigiraacute estas Investigaccedilotildees quinze anos apoacutes ter reconhecido que a segunda

ideografia continha falhas e tentou entatildeo remediaacute-las em um esboccedilo que nunca mais

retomou O seu objeto era de maneira aproximativa a loacutegica das proposiccedilotildees estudadas

com a intenccedilatildeo de estabelecer as regras de deduccedilatildeo Permaneceram ineacuteditas as primeiras

paacuteginas de uma quarta pesquisa intitulada A Generalidade Loacutegica Deveria entatildeo tratar

da quantificaccedilatildeo Pudemos ver nestas Investigaccedilotildees uma exposiccedilatildeo acompanhada dos

elementos da loacutegica fregeana projeto que foi adiado a cada ano Na verdade Frege

propotildee mais que expotildee Natildeo se trata mais de exibir os elementos de uma ideografia

constituiacuteda mas de examinar de novo e de maneira preliminar os princiacutepios sobre os

quais deve se regular a liacutengua formular

Observaremos certa desconfianccedila em relaccedilatildeo agrave liacutengua falada que confirmam os

ineacuteditos contemporacircneos A criacutetica natildeo visa mais agrave articulaccedilatildeo de palavras jaacute comeccedilada

ao mesmo tempo em que a loacutegica dos termos mas a articulaccedilatildeo natural em proposiccedilotildees

O caacutelculo loacutegico dos pensamentos toma sua independecircncia em relaccedilatildeo agrave sintaxe

proposicional dos gramaacuteticos e se regula sobre as uacutenicas exigecircncias da atribuiccedilatildeo dos

valores de verdade Se o princiacutepio aparece assim mais claramente o caacutelculo dos

pensamentos eacute tambeacutem tatildeo claramente distinto no presente da teoria geral das equaccedilotildees

e da quantificaccedilatildeo e situa como incrustado na segunda ideografia Ora aiacute tocamos num

caractere essencial dos procedimentos ideograacuteficos a homogeneidade do caacutelculo

associada agrave liacutengua caracteriacutestica esta unidade orgacircnica que Frege opunha agraves loacutegicas de

Boole e Schroumlder Lamentamos mais ainda que a quarta pesquisa jamais fora escrita

Vista por este acircngulo estas Investigaccedilotildees nas quais Frege trata do pensamento e da

verdade poderia bem ser a revisatildeo a mais grave e luacutecida agrave qual ele teria submetido o

princiacutepio mesmo da liacutengua ideograacutefica

Em Sentido e Denotaccedilatildeo Frege seguiu a liccedilatildeo dos gramaacuteticos para situar mesmo

de forma provisoacuteria os elementos da loacutegica esta que pode ser dita verdadeira ou falsa e

que ele chamaraacute de pensamentos Ele supotildee entatildeo jaacute que as proposiccedilotildees das liacutenguas

vernaculares admitem serem comparadas com as foacutermulas da aritmeacutetica que a

composiccedilatildeo dos pensamentos se acomodava por uma analogia com a subordinaccedilatildeo da

sintaxe comum O mesmo artigo afirmava que a proposiccedilatildeo como toda expressatildeo

completa da ideografia tem um sentido (um pensamento) e uma denotaccedilatildeo (o valor de

verdade deste pensamento) A proposiccedilatildeo era entatildeo qualificada de nome proacuteprio (do

verdadeiro e do falso) e tambeacutem as constantes de indiviacuteduos presentes no corpo das

foacutermulas Ao contraacuterio as Investigaccedilotildees Loacutegicas definem de imediato o pensamento

como um sentido completo do qual demandaremos se ele eacute verdadeiro ou falso

Nenhuma referecircncia eacute feita ao suporte material da expressatildeo os pensamentos satildeo

identificados com toda independecircncia e como uma sobreimpressatildeo [duplicaccedilatildeo

superposta] do recorte proposicional escolar

Como Frege conseguiu suspeitar esta parte da gramaacutetica que chamamos pela

tradiccedilatildeo estoacuteica anaacutelise loacutegica e porque o retoma com novos esforccedilos o exame do

verdadeiro

Em um texto ineacutedito que datamos de 1897 Frege distingue o conteuacutedo

proposicional abstrato o que eacute traduziacutevel de uma liacutengua para outra do cerne loacutegico que eacute

FREGE Gotlob ndash Investigaccedilotildees Loacutegicas ndash 1 O pensamento 2 A negaccedilatildeo 3 Pensamentos

Compostos 4 A generalidade Loacutegica Trad Paulo Alcoforado ndash EDIPUCRS 141



17

como que envolvido na forma linguumliacutestica da proposiccedilatildeo forma que resiste agrave prova da

traduccedilatildeo ―O estudo de linguagens diferentes facilita o aceso ao que eacute propriamente

loacutegico Mas natildeo devemos pensar que isto eacute suficiente para derrubar a dificuldade E os

livros de loacutegica se embaraccedilam sempre na consideraccedilatildeo (por exemplo entre sujeito e

predicado) que satildeo estranhos agrave loacutegica Eacute por isso que eacute necessaacuterio se familiarizar com um

procedimento de expressatildeo dos pensamentos de um gecircnero totalmente diferente Tais satildeo

por exemplo a liacutengua formular da aritmeacutetica ou minha ideografia O exemplo escolhido

por Frege eacute bem destacado pois a estrutura sujeito predicado incriminada ligada agraves

necessidades da emissatildeo e da recepccedilatildeo de uma mensagem num meacutedium linear natildeo

depende da loacutegica Frege suspeita aqui que a linearidade das liacutenguas naturais pesou muito

na anaacutelise loacutegica tradicional Na A Ideografia de Senhor Peano e a minha ele nota por

outro lado que a liacutengua comum carece de formas fixas para exprimir a deduccedilatildeo

Constataremos assim que a liacutengua confunde as relaccedilotildees de inferecircncia e aquelas de

coordenaccedilatildeo os mesmos termos acumulam agraves vezes as funccedilotildees diversas [em gramaacutetica

francesa pela tradiccedilatildeo a partiacutecula entatildeo eacute classificada entre as conjunccedilotildees de

coordenaccedilatildeo] Pena natildeo eliminou o equiacutevoco e designa implicaccedilatildeo meterial e deduccedilatildeo

pelo mesmo siacutembolo [―a c b se lecirc ab a deducitur b] A sintaxe dos gramaacuteticos eacute entatildeo

inapta para descrever a realidade das relaccedilotildees loacutegicas Ela confunde uma relaccedilatildeo entre

pensamento e uma relaccedilatildeo entre julgamento a coordenaccedilatildeo e a inferecircncia

As Investigaccedilotildees Loacutegicas trazem para o debate duas objeccedilotildees novas

Em primeiro lugar Frege demanda que o pensamento seja distinto da

representaccedilatildeo Visto de imediato o argumento retoma a propoacutesito do pensamento o

combate jaacute travado contra as teorias psicoloacutegicas do conceito e da abstraccedilatildeo nos

Fundamentos da Aritmeacutetica Na verdade ele busca outro objetivo o de excluir do

domiacutenio loacutegico todas as proposiccedilotildees que exprimem representaccedilotildees e que como tal

―necessitam de um portador Satildeo desse tipo as proposiccedilotildees que contecircm os pronomes

pessoais e decircicticos Natildeo saberiacuteamos lhes corresponder um pensamento jaacute que seu

sentido eacute indeterminado e natildeo pode de imediato ser submetido agrave questatildeo do verdadeiro e

do falso Por este criteacuterio seria estabelecido o caraacuteter objetivo do pensamento que deve

ser liberado das condiccedilotildees nas quais estaacute submetido o ato de palavra no diaacutelogo

cotidiano liberado entatildeo igualmente das elipses e da regra de economia das liacutenguas

naturais [eacute pelo princiacutepio de economia que as liacutenguas naturais sobredeterminam o sentido das

partiacuteculas (e porque jaacute que etc)] Certo a escolha do termo pensamento deixa entender

que Frege natildeo rompeu com a tradiccedilatildeo idealista alematilde que faz do pensamento uma

produccedilatildeo mal determinada [mal acabada] da alma individual E Frege cita Leibniz para

quem a liacutengua caracteriacutestica ―deve tocar os pensamentos e natildeo as palavras Mas ele se

descola do idealismo por diversos meios Daiacute deriva a expressatildeo em imagem de sacada

[ou tomada] [saisie] de sentido ela se opotildee agrave ideacuteia de que o sentido pudesse ser

produzido pelo sujeito loacutegico Ou mais exatamente que natildeo haacute sujeito loacutegico Frege

mostra que esta ideacuteia se destroacutei por si mesma A hipoacutetese de um sujeito loacutegico criador de

sentido eacute incompatiacutevel com as exigecircncias da liacutengua caracteriacutestica [liacutengua de caracteres]

O argumento embaraccedilado sobre a eficaacutecia dos pensamentos que fecha a primeira pesquisa

[O pensamento uma investigaccedilatildeo loacutegica] tem o mesmo objetivo

Mais interessante ainda eacute a interpretaccedilatildeo que Frege de um argumento de Dedekind

[1831-1916] No sect 66 de Was sind und was sollen die Zahlen (1887) ele estabelece que

existe um conjunto infinito isto eacute equumlipotente a uma de suas partes proacuteprias mostrando

que ―o universo de seus pensamentos ele mesmo tem as propriedades requeridas

Sabemos que o argumento natildeo satisfez aos algebristas Sem tomar partido sobre a

pertinecircncia do argumento numa teoria matemaacutetica Frege observaraacute que se ele pode ser

vaacutelido devemos admitir que Dedekind ele fala entatildeo de pensamentos independentes do

pensador e natildeo efetivamente de pensamentos no sentido que ele mesmo [Frege] emprega



18

este termo Se Dedekind quisesse considerar os pensamentos efetivamente pensados ou

entatildeo o argumento seria contestaacutevel pois poderiacuteamos duvidar que a expressatildeo

o pensamento do pensamento do pensamento s ou ainda

que φ [ φ [ φ (s) ]] tenha

sempre denotaccedilatildeo ou ainda que o argumento suporia o que se trata de demonstrar ou

seja que existe um conjunto infinito

Estes textos mostram que Frege tenta separar os pensamentos dos atos de palavra

e as determinaccedilotildees propriamente loacutegicas das regras devidas ao material sobre o qual a

loacutegica foi historicamente elaborada Cada uma destas criacuteticas revela de fato a

contaminaccedilatildeo entre as necessidades de informaccedilatildeo maacutexima da mensagem da produccedilatildeo

da palavra da linearidade da enunciaccedilatildeo e a natureza loacutegica dos pensamentos e de suas

relaccedilotildees Daiacute deriva a distinccedilatildeo figurada que Frege retoma sempre ―Pensar natildeo eacute

produzir pensamentos (hervorbringen) mas lhes sacar (erfassen) [agarrar ou no sentido

estoacuteico com-preender] Faltaraacute a Frege de conceber os pensamentos ou as foacutermulas de

sua ideografia como o conjunto definido por recorrecircncia das expressotildees bem formadas

de uma linguagem Apesar da clarividecircncia de suas criacuteticas Frege ficaraacute no meio das

duas hipoacuteteses Segundo a primeira a linguagem eacute expressatildeo (de minhas representaccedilotildees

sentimentos e conhecimentos) como manda a tradiccedilatildeo estoacuteica que criou o proacuteprio termo

de expressatildeo segundo a segunda hipoacutetese certa linguagem senatildeo toda linguagem poderia

ser de imediato um quadro de coisas Caberaacute a Wittgenstein a soluccedilatildeo [Tratactus]

Em segundo lugar a primeira Pesquisa vecirc um abuso no torneio da liacutengua que faz

do termo ―verdadeiro um predicado e a noccedilatildeo ser verdadeiro uma qualidade das

proposiccedilotildees Acusando a linguagem Frege acusa a si mesmo Na Begriffsschrift ele

havia tratado o verdadeiro como um predicado ndash mesmo se ele preferia um torneio de

sinocircnimo ― eacute um fato ndash que ele supunha ser atributo comum a todas as proposiccedilotildees

verdadeiras (1) No Sentido e Denotaccedilatildeo Frege deixou de tomar o verdadeiro por um

predicado trivial mas arguumlindo por uma razatildeo negativa ou seja que natildeo se tratava de

uma determinaccedilatildeo ―do mesmo niacutevel (Stufe) que as outras E admitiremos facilmente que

uma proposiccedilatildeo natildeo eacute verdadeira como a aacutegua do mar eacute salgada Frege se aproxima assim

de uma anaacutelise semacircntica do verdadeiro sem atingi-lo no entanto o termo niacutevel deixa ver

as razotildees

Nos anos que precederam a segunda ideografia Frege havia destacado a falsa

predicaccedilatildeo do julgamento existencial Agrave proposiccedilatildeo ndash Deus existe ndash nada diz de um

objeto Deus que ele tenha a propriedade de existir ela diz de um conceito ser Deus que

ele natildeo eacute vazio Para descrever este fato de ordem semacircntica Frege escreve que a

existecircncia eacute uma propriedade de segundo niacutevel no que ela qualifica os conceitos e natildeo os

indiviacuteduos Por analogia ele trata a verdade como a existecircncia fazendo desta uma

propriedade dos conceitos e a outra uma propriedade das proposiccedilotildees Em consequumlecircncia

entatildeo a verdade parece pertencer agraves proposiccedilotildees como o nuacutemero aos conceitos Aiacute estaacute a

origem da surpreendente doutrina caracteriacutestica da segunda ideografia que faz da

verdade um objeto (2) a origem do muito obscuro sect 10 das Leis Fundamentais onde

(1) ―Podemos conceber uma linguagem onde a proposiccedilatildeo ―Arquimedes morreu durante o saque

de Siracusa seria exprimido da seguinte maneira ―A morte violenta de Arquimedes durante o

saque de Siracusa eacute um fato Uma tal linguagem teria um uacutenico predicado comum a todos os

julgamentos Isto eacute ―eacute uma fato Nossa ideografia eacute precisamente uma linguagem deste gecircnero

e nosso signo [o signo que precede todo julgamento] eacute o predicado comum a todos os

julgamentos ndash Begriffsschrift sect4 p 4 Daiacute a criacutetica de Wittgenstein (Tratactus 4063 uacuteltima

aliacutenea) agrave qual as Investigaccedilotildees Loacutegicas natildeo datildeo acesso (2) Sob argumentos bastante fracos vimos que ―Os dois objetos [o verdadeiro e o falso] seratildeo

admitidos mesmo tacitamente por algueacutem que forme um julgamento e considere algo verdadeiro

mesmo sendo um ceacutetico (p 110)



19

Frege constroacutei o verdadeiro e o falso como as extensotildees de conceito agrave maneira dos

cardinais Seria entatildeo permitido de escrever os nomes dos valores de verdade de um lado

ao outro do sinal de igualdade e parece a Frege poder tratar o caacutelculo loacutegico das

proposiccedilotildees como uma parte da teoria geral dos conceitos de igualdade Em

consequumlecircncia uma igualdade aritmeacutetica tal que

2 + 3 = 5 e uma

equivalecircncia tal que p = q (que hoje escrevemos p equiv q) dependem da mesma anaacutelise Os

siacutembolos escritos de uma parte e de outra do sinal de igualdade teria nos dois casos um

sentido diferente e uma mesma denotaccedilatildeo Eacute sob a base desta doutrina que Frege pode

enunciar a lei V das Leis Fundamentais cuja sintaxe parece impecaacutevel

(1)

Das trecircs ocorrecircncias do sinal de igualdade o primeiro e o segundo figuram entre nomes

de valores de verdade o terceiro entre nomes de objetos e as extensotildees dos conceitos

Φ(ξ) e ψ(ξ) Daiacute o artigo Sentido e Denotaccedilatildeo no qual Frege como vimos tentaraacute

verificar caso por caso a hipoacutetese segundo a qual toda proposiccedilatildeo tem um sentido e uma

denotaccedilatildeo ndash seu valor de verdade ndash em relaccedilatildeo agrave qual ela tem o papel de um nome

proacuteprio Para o sentido a tese iraacute quase por si mesma para a denotaccedilatildeo a argumentaccedilatildeo

proposta eacute tortuosa Em primeiro lugar Frege elimina os aparentes contra exemplos por

uma perigosa anaacutelise de estilo indireto Em segundo lugar a hipoacutetese eacute confirmada por

uma argumento que nada prova tomada de empreacutestimo no criteacuterio leibniziano da

identidade [―Eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate] soacute diz

Frege o valor de verdade permanece inalterado quando operamos uma substituiccedilatildeo salva

veritate em uma proposiccedilatildeo ao passo que o sentido eacute sempre por meacuteis pouco que seja

alterado

No mesmo espiacuterito e bastante imprudentemente a funccedilatildeo mdash ξ (2) a negaccedilatildeo e

implicaccedilatildeo satildeo descritas na segunda ideografia como conceitos

Sem nenhuma duacutevida o sucesso com o qual a teoria extensional dos conceitos

(nossos predicados) foi aplicada na definiccedilatildeo do nuacutemero cardinal e que Frege quis aqui

renovar foi ruinosa para a anaacutelise da funccedilatildeo da verdade Lembremo-nos assim do sect 10

das Leis Fundamentais que a funccedilatildeo mdash ξ tem por valor a verdade quando seu

argumento eacute o verdadeiro e o falso para qualquer outro argumento Frege nao V~e

nenhum obstaacuteculo para definir por meio da funccedilatildeo com dois argumentos ξ = ξ (que eacute

um autentico predicado binaacuterio) pois para os mesmos argumentos as duas funccedilotildees mdash ξ

e (ξ = ξ ) = ξ tem um mesmo valor Ele natildeo atribui nenhum limite agrave analogia entre

conceitos e funccedilotildees de verdade e natildeo hesita a considerar a extensatildeo da funccedilatildeo mdash ξ seja

em escrita ideograacutefica ἐ (mdash ε) Esta extensatildeo nada mais eacute que no dizer de Frege o

verdadeiro e a funccedilatildeo mdash ξ admitem sua proacutepria extensatildeo como argumento Ora eacute o

(1) Que traduziremos livremente Se dois conceitos φ (ξ) e ψ (ξ) tecircm sempre o mesmo valor pelo

mesmo argumento entatildeo suas extensotildees satildeo idecircnticas Na escrita φ (ξ) e ξ eacute uma escrita sintaacutexica (2) Frege introduziu esta funccedilatildeo na Begriffsschrift sob o nome de iacutendice do conteuacutedo ela

indicando que a expressatildeo que lhe segue deve ser tomada como um todo Na segunda ideografia

ela a chama de horizontal e precisa em nota ―Chamei precedentemente de iacutendice do conteuacutedo

confundindo sob a expressatildeo conteuacutedo de julgamentolsquo o que aprendi a distinguir em pensamento

e valor de verdade Ver meu artigo Sentido e Denotaccedilatildeo () Esta funccedilatildeo tem pois por

argumento a denotaccedilatildeo do siacutembolo simples ou complexo que segue o sinal Na escrita mdash ξ ξ eacute

sintaacutexica () Eis entatildeo como Frege descreve esta funccedilatildeo nas Leis Fundamentais

― mdash ξ eacute uma funccedilatildeo para a qual o valor seraacute sempre valor de verdade isto eacute apoacutes nossas

estipulaccedilotildees precedentes um conceito (sect 5) () Podemos ler algumas linha adiante (sect 6) ― ξ eacute

uma funccedilatildeo cujo valor eacute sempre um valor de verdade isto eacute um conceito sob cai todo e qualquer

objeto com a exceccedilatildeo do verdadeiro [Sublinhado pelo autor Claude Imbert]



20

bem conhecido princiacutepio da antinomia e a falha aqui eacute perfeitamente identificada (1)

Assim procedendo mesmo que o verdadeiro seja tratado como um objeto (uma

extensatildeo de conceito) Frege natildeo pode impedir que os diferentes argumentos os diferentes

valores de verdade verdadeiro que constitui a extensatildeo mdash ξ natildeo se fundam entre si E

nada nos serve de dizer que o verdadeiro eacute um objeto ele continua a se portar como uma

qualidade homogenia em todas suas partes Dito de outra maneira um verdadeiro

particular (valor de verdade desta proposiccedilatildeo) natildeo eacute mais discerniacutevel do verdadeiro este

objeto da ideografia fregeana como um vermelho particular natildeo eacute discerniacutevel da

qualidade vermelha ndash a natildeo ser por jogo verbal Eacute notaacutevel que Frege abandona aqui a

prudecircncia que comandava a definiccedilatildeo de conceito unidade nos Fundamentos da

Aritmeacutetica Tal conceito unidade tem sabemos por traccedilo destacaacutevel de subsumir

indiviacuteduos discretos que natildeo podemos em nenhum caso confundir com sua classe e a

construccedilatildeo do nuacutemero cardinal que Frege entende aqui replicar na construccedilatildeo do

verdadeiro repousa sobre esta propriedade dos conceitos unidades que infelizmente faz

falta agrave funccedilatildeo mdash ξ

Assim Frege querendo nos anos 1890 dissipar a pseudo-predicaccedilatildeo das liacutenguas

naturais ― eacute verdadeiro aplicaraacute primeiramente um remeacutedio pior que a doenccedila e a

ideografia assim toda ela iria sucumbir

Nenhum texto permite dizer que Frege viu claramente que a fraqueza principal da

ideografia estava aqui nessa infeliz concepccedilatildeo de caacutelculo das proposiccedilotildees e da verdade

Observaremos no entanto que desde o artigo Sentido e Denotaccedilatildeo Frege introduz a

estranha expressatildeo ―parte do valor de verdade como se quisesse exorcizar em princiacutepio

a dificuldade em distinguir entre o verdadeiro objeto loacutegico requisitado pela ideografia e

as verdades particulares Quanto agraves Investigaccedilotildees Loacutegicas natildeo mais foi dito que o

verdadeiro eacute um objeto como natildeo mais falaraacute da funccedilatildeo mdash ξ

A primeira Pesquisa toma em todo caso um caminho novo A primeira enquecircte

o verdadeiro assinala o domiacutenio loacutegico como o belo assinala o domiacutenio esteacutetico Mas a

analogia se esgota raacutepido e Frege cessa logo de comparar o verdadeiro com os outros

valores com havia feito em textos anteriores ineacuteditos O verdadeiro assim sendo se

distingue do bom ndash pois natildeo haacute nenhuma funccedilatildeo normativa assim como se distingue do

belo ndash pois o verdadeiro natildeo admite graus De princiacutepio de avaliaccedilatildeo ele se torna

princiacutepio de classificaccedilatildeo E aleacutem disso o julgamento eacute descrito como passagem de um

pensamento ao seu valor de verdade seu papel eacute de atribuir o valor de verdade qualquer

que seja o verdadeiro e o falso

No texto ineacutedito verossiacutemil do primeiro periacuteodo da obra fregeana noacutes podemos

dizer ―Quem natildeo sabe o que quer dizer esta palavra [verdadeiro] em sua generalidade

natildeo pode tambeacutem se fazer uma ideacuteia justa da tarefa da loacutegica Ao teacutermino de uma longa

pesquisa Frege descobre que este termo eacute vazio (2) que ele nada diz que as palavras ―

eacute verdadeiro natildeo acrescenta nada agrave proposiccedilatildeo que eles pretendem qualificar Ao

(1) Lembremos a formulaccedilatildeo que daraacute Frege em liacutengua vulgar no apecircndice do tomo II das Leis

Fundamentais onde tenta em vatildeo liberar a ideografia ―Eu digo pois que alguma coisa pertence a

uma classe se ele cai sob um conceito cuja extensatildeo eacute precisamente esta classe Vejamos o

conceito classe que natildeo pertence a si mesmalsquo A extensatildeo deste conceito e se assim for para que

possamos falar eacute a classe das classes que natildeo pertencem a elas mesmas Chamemos esta classe de

C Esta classe C pertence a ela mesma Suponhamos primeiramente que a resposta seja

afirmativa Se alguma coisa pertence a uma classe ela cai sob o conceito cuja classe eacute a extensatildeo

Se entatildeo nossa classe pertence a ela mesma ela eacute uma classe que natildeo pertence a si mesma A

primeira hipoacutetese conteacutem contradiccedilatildeo Suponhamos em segundo lugar que a classe C natildeo

pertenccedila a ela mesma neste caso ela cai sob o conceito da qual eacute extensatildeo pertence entatildeo a si

mesma Mais uma vez temos a contradiccedilatildeo (Leis Fundamentais da Aritmeacutetica t II p 254)

(2) ―O que se trata verdadeiramente [em loacutegica] natildeo estaacute contido no termo ―verdadeiro mas

reside na forccedila afirmativa com a qual a proposiccedilatildeo eacute enunciada



21

inverso eles indicam que atribuiacutemos um valor de verdade ao pensamento que precede

que enuncia um julgamento que o discurso depende da ciecircncia e natildeo da poesia

(Dichtung) Na liacutengua falada estas palavras impotildeem devemos compreender um coacutedigo

de interpretaccedilatildeo a maneira pela qual devemos tomar o que entendemos como uma

histoacuteria ou como um fato mesmo sendo uma indicaccedilatildeo redundante pois a atribuiccedilatildeo

[assinaccedilatildeo] da verdade jaz aiacute na forma da proposiccedilatildeo afirmativa Na liacutengua ideograacutefica

estas palavras devem desaparecer Nas duas ideografias precedentes Frege lhes havia

substituiacutedo o sinal de julgamento que precederia cada tese (1) Ora este sinal soacute

aparece nas Investigaccedilotildees Loacutegicas e Frege precisa em nota que ―eacute verdadeiro natildeo

pertence agrave liacutengua objeto [Suponho que seja a liacutengua auxiliar Hilfssprache ndash [Alduisio]

O pseudo-predicado aparece agora como uma astuacutecia da liacutengua natural Ela exprime

pelos meios sintaacuteticos que ela dispotildee ndash a predicaccedilatildeo habitualmente reservada agrave

qualificaccedilatildeo dos objetos ndash uma determinaccedilatildeo de outra ordem Uma coisa foi tomar

consciecircncia uma outra a de desfazer a astuacutecia Frege levou para isso trinta anos

Os textos que acabamos de comparar reduziram algumas ilusotildees loacutegicas dadas agraves

exigecircncias da liacutengua natural No fundo desta criacutetica os traccedilos destacaacuteveis das trecircs

Investigaccedilotildees Loacutegicas tomam um relevo mais acentuado

Ao teacutermino da primeira pesquisa o pensamento eacute definido como um sentido

completo independente objetivo e que pode ser estampilhado como verdadeiro ou falso

Estes caracteres natildeo convecircm rigorosamente senatildeo agraves foacutermulas das ideografias imitadas

das foacutermulas de aacutelgebra

Em ruptura com a sintaxe natural que associa termos negativos diferentes com

diversas partes da proposiccedilatildeo ndash [Pronomes indefinidos negativos nenhum negaccedilatildeo

propriamente dita natildeo prefixos com sentidos negativos in- a-] ndash a segunda pesquisa

mostra que a negaccedilatildeo eacute de um uacutenico tipo e afeta agrave totalidade do pensamento Natildeo existe

tambeacutem dois julgamentos o negativo e o afirmativo Julgar eacute atribuir (assinar) o valor de

verdade verdadeiro seja ao pensamento A seja ao pensamento natildeo-A Pela primeira vez

a negaccedilatildeo eacute claramente tratada como um functor [funccedilatildeo que mapeia objetos em objetos

e morfismos nos correspondentes morfismos] do caacutelculo dos pensamentos e distinguido

tanto da atribuiccedilatildeo [assinaccedilatildeo] do valor falso quanto de um predicado negativo

A terceira investigaccedilatildeo fornece para a gramaacutetica as relaccedilotildees sintaacuteticas de

subordinaccedilatildeo utilizadas precedentemente como uma boa imagem do liame (Verbindung)

entre os pensamentos A composiccedilatildeo dos pensamentos (Gedankengefuumlge) eacute definida a

partir de entatildeo como uma relaccedilatildeo entre pensamentos independentes e a escolha mesma

do termo indica que Frege concebe uma operaccedilatildeo que unindo dois pensamentos produz

um outro Este resultado eacute bem diferente da coordenaccedilatildeo (verbinden) das liacutenguas naturais

na qual a cesura entre as proposiccedilotildees natildeo eacute jamais abolida A implicaccedilatildeo material eacute pela

primeira vez claramente distinta da implicaccedilatildeo formal Consideremos a proposiccedilatildeo

―Se algueacutem cometeu um assassinato eacute um delinquumlente

a gramaacutetica aiacute situa duas proposiccedilotildees ao passo que a loacutegica aiacute reconheccedila um soacute

pensamento Seu conteuacutedo eacute uma subordinaccedilatildeo de conceitos do qual afirmamos a

generalidade Frege reconhece aiacute a forma geral das leis cientiacuteficas e seu estudo seraacute

esboccedilado no fragmento conhecido como quarta pesquisa

(1) Wittgenstein mostrou que este sinal comum agraves ideografias de Frege e de Russel era inuacutetil

(Tratactus 4441) Ele permite a Frege de introduzir no curso de uma prova uma lei loacutegica uma

definiccedilatildeo uma hipoacutetese mas a numeraccedilatildeo das proposiccedilotildees faria tatildeo bem quanto a soluccedilatildeo Este

sinal claro natildeo tem o sentido que lhe eacute dado geralmente hoje em dia na teoria da demonstraccedilatildeo

(por exemplo Rosset e Kleene)



22

Consideremos uma proposiccedilatildeo

―Se 2 + 3 = 5 entatildeo 4 eacute um nuacutemero par

aiacute onde a gramaacutetica destaca duas proposiccedilotildees Frege distingue trecircs pensamentos o que eacute

exprimido pela primeira proposiccedilatildeo o que eacute exprimido pela segunda e a composiccedilatildeo de

dois pensamentos No caso da implicaccedilatildeo formal a liacutengua a dissimulava em uma falsa

relaccedilatildeo sintaacutetica de subordinaccedilatildeo de conceitos No segundo exemplo a liacutengua eacute por sua

linearidade incapaz de ter uma expressatildeo clara para manifestar a unidade da proposiccedilatildeo

composta [O simbolismo atual usa o sistema de parecircnteses ndash Claude Imbert]

Estas consideraccedilotildees explicam a escolha dos functores primitivos retidos pela

terceira pesquisa Nas duas ideografias Frege tinha escolhido o par (implicaccedilatildeo

negaccedilatildeo) e definido todos os outros functores cujo uso seria feito a partir deste par A

terceira pesquisa reteacutem o par (conjunccedilatildeo negaccedilatildeo) mostrando ao mesmo tempo que

outras escolhas satildeo possiacuteveis Frege natildeo daacute nenhuma razatildeo a favor deste novo texto

devemos buscar a origem no desmentido que sustentaram a escolha anterior No curso

dos anos 1880 Frege tinha preferido a implicaccedilatildeo (1) pelo seu conteuacutedo miacutenimo (Inhalt)

a implicaccedilatildeo exclui mesmo assim uma uacutenica possibilidade no caso onde o antecedente

seria afirmado e o consequumlente negado Ora esta razatildeo vale no uacutenico caso no qual o

aparato loacutegico das funccedilotildees de verdade eacute concebido como parte da liacutengua caracteriacutestica

ao mesmo tiacutetulo que o conteuacutedo dos pensamentos que ele compotildee no caso onde as

funccedilotildees de verdade natildeo satildeo distintas dos conceitos Hipoacutetese que era duplamente

contradita Primeiramente a distinccedilatildeo do sentido e da denotaccedilatildeo arruiacutena desde o interior

a noccedilatildeo de conteuacutedo e o caacutelculo dos pensamentos aparece para Frege nos anos 1890

como um conjunto de operaccedilotildees definidas sobre as denotaccedilotildees dos pensamentos os

valores de verdade verdadeiro ou falso Apesar de tudo Frege mantivera a escolha da

Begriffsschrift na segunda ideografia A razatildeo era aiacute que a passagem da implicaccedilatildeo

formal pelo meio da quantificaccedilatildeo mostrava de forma excelente a unidade orgacircnica das

duas partes da loacutegica que lhe parecia vertida na ideografia [A unidade esperada eacute vimos

esta do caacutelculo dos conceitos e do caacutelculo dos pensamentos Leis Fundamentais I sect

17 Nota de Claude Imbert] Mas esta unidade seraacute desfeita pelas consequumlecircncias da

antinomia Uma uacuteltima razatildeo era invocada em favor da implicaccedilatildeo a comodidade de

inferecircncias no modus ponens que pode lhe ser associada Ora na terceira pesquisa Frege

propotildee uma inferecircncia particular para cinco das composiccedilotildees examinadas Se nada mais

resta das razotildees antigas de privilegiar a implicaccedilatildeo em revanche a conjunccedilatildeo se impotildee

como sendo a combinaccedilatildeo na qual o valor da funccedilatildeo eacute verdadeiro se e somente se os

dois argumentos satildeo o verdadeiro Um princiacutepio extensional substituiu o ponto de vista

do conteuacutedo e a escolha de Frege eacute aqui exatamente inversa de sua escolha primitiva (2)

(1) Na Sc p 40 ―Mais que um conteuacutedo simples ele diz menos Por exemplo meu sinal de

implicaccedilatildeo que nega somente o terceiro dos quatro considerados diz menos que o signo de

identidade booleano o qual nega ao mesmo tempo o segundo caso O produto loacutegico diz mais

ainda () Este texto faz seacuterie com o quadro de casos

(1) A e B (2) A e natildeo B

(3) natildeo A e B

(4) natildeo A e natildeo B

(2) Em relaccedilatildeo ao conteuacutedo a conjunccedilatildeo tem a mais pesada exigecircncia jaacute que dois pensamentos

unidos por e devendo ser verdadeiros simultaneamente para que sua composiccedilatildeo seja tambeacutem



23

A comparaccedilatildeo das Investigaccedilotildees Loacutegicas e dos ineacuteditos dos anos 1920 nos daacute uma

imagem das uacuteltimas pesquisas de Frege Examinando as diversas fontes de conhecimento

das ciecircncias matemaacuteticas Frege inclui entatildeo uma fonte de conhecimento loacutegico Eacute que a

loacutegica tem um papel constitutivo mesmo agraves vezes despercebido no processo de

conhecimento Frege entatildeo sustenta que a conduccedilatildeo de uma prova eacute produtora de saber

segundo a tese epistemoloacutegica de Sentido e Denotaccedilatildeo

Enquanto que ciecircncia particular a loacutegica estuda a passagem do verdadeiro ao

verdadeiro mas considera o verdadeiro como indefiniacutevel (1) Devemos entender que natildeo

compete agrave loacutegica estabelecer a verdade das proposiccedilotildees particulares (foacutermulas ou

pensamentos) ―Um julgamento eacute verificado seja por reduccedilatildeo a outras verdades jaacute

conhecidas seja sem ajuda de outros julgamentos Somente o primeiro caso a inferecircncia

eacute objeto da loacutegica A verdade dos pensamentos em relaccedilatildeo a seus conteuacutedos compete agraves

ciecircncias particulares No caso das proposiccedilotildees aritmeacuteticas Frege atribui [assigne] a

geometria como sendo fonte de conhecimento obrigatoacuteria De forma alguma ele recusa a

teoria da construccedilatildeo do nuacutemero cardinal em se periacuteodo precedente simplesmente ele faz

duas restriccedilotildees Em primeiro lugar ele natildeo crecirc mais possiacutevel de construir os nuacutemeros

reais a partir dos inteiros e o contiacutenuo a partir do numeraacutevel Em segundo lugar a

construccedilatildeo do nuacutemero cardinal depende das propriedades da igualdade e das relaccedilotildees de

equivalecircncia as quais Frege natildeo daacute nenhum lugar em sua uacuteltima exposiccedilatildeo de loacutegica

Esta com todas as diferenccedilas assinaladas natildeo recobrem senatildeo uma parte do domiacutenio das

ideografias precedentes Se considerarmos de mais perto o papel da loacutegica definido aqui

ela trata das composiccedilotildees ditas matemaacuteticas e de inferecircncias associadas estas

proposiccedilotildees satildeo funccedilotildees de verdade definidas sobre pensamentos independentes Eacute o

princiacutepio da extensionalidade e todo o conteuacutedo da loacutegica dos pensamentos

As Investigaccedilotildees Loacutegicas natildeo tem o tom dogmaacutetico dos artigos precedentes Ela

reflete um uacuteltimo combate com a linguagem no qual Frege reconhece a tarefa

essencialmente filosoacutefica Sem duacutevida a teoria do caacutelculo dos pensamentos natildeo esta

acabada Frege natildeo teve a noccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de verdade sobre as letras da

proposiccedilatildeo E mais preocupado unicamente com o raciociacutenio sob a hipoacutetese que eacute um

tipo de raciociacutenio euclidiano ele nunca examinou a combinatoacuteria de todos os casos de

verdade entre trecircs proposiccedilotildees nas quais duas satildeo proposiccedilotildees elementares de um

conector binaacuterio e a terceira sua composiccedilatildeo Daiacute decorre a restriccedilatildeo das composiccedilotildees

de pensamentos a seis casos que lhe parece uacutetil e suficiente para os argumentos bi-

lemaacuteticos usuais na matemaacutetica Estas Investigaccedilotildees satildeo o esboccedilo de uma teoria da

deduccedilatildeo natural pelo caacutelculo das proposiccedilotildees mesmo sendo menos consumada que o

sistema axiomaacutetico da Begriffsschrift Mas por sua virtude criacutetica elas reduziram a

analogia a mais tenaz a ser a mais ilusoacuteria que parecia ligar as proposiccedilotildees da liacutengua

natural e as foacutermulas de uma liacutengua cientiacutefica Sabemos agora que tudo o que se situa

na liacutengua usual mesmo posto em proposiccedilotildees natildeo eacute susceptiacutevel de um tratamento

loacutegico isto eacute da loacutegica extensional Caem em particular para fora deste domiacutenio

loacutegico as proposiccedilotildees onde figurem os pronomes pessoais e outros decircicticos Tambeacutem

todos aqueles que satildeo ligados entre eles pelo tecido indecifraacutevel de sentido Ora eacute

bastante raro que a liacutengua comum fale por aforismos ou maacuteximas [apophtemes

apoftegmas]

A loacutegica fregeana foi em suma uma lenta descoberta dos princiacutepios extensionais

sobre os quais esta ciecircncia eacute hoje construiacuteda A extensionalidade dos conceitos foi (1) Em sua ediccedilatildeo de Investigaccedilotildees Loacutegicas (Goumlttingen 1966 p 20) G Patzig observa que A

Tarski (Der Wahreitsbegriff in den formalisierten Sprachen 1935) deu uma definiccedilatildeo do

verdadeiro o que contradiz ao menos para certas linguagens bem delimitadas a tese de Frege F

Kambartel responde que a definiccedilatildeo de Tarski (―S eacute verdadeiro se e somente se S) natildeo eacute e nem

mesmo jamais pretendeu ser uma definiccedilatildeo expliacutecita no sentido de Frege



24

conseguida primeiramente por uma anaacutelise da quantificaccedilatildeo e da igualdade entre 1883 e

1890 A extensionalidade que regula o caacutelculo dos pensamentos o que Frege chama de as

leis do ser verdadeiro foi conseguida mais tarde pois faziam obstaacuteculo o sentimento da

liacutengua falada e sua sintaxe Natildeo podemos saber se a conversaccedilatildeo [diaacutelogo] de Frege com

Wittgenstein tenha conquistado o primeiro para as ideacuteias do segundo mas isto tem pouca

importacircncia [O processo verbal de tal conversaccedilatildeo foi destruiacutedo quando Munique foi

bombardeada em 1943] O que parece mais eacute que a mateacuteria das dificuldades natildeo

resolvidas na segunda ideografia conduziu um e outro para as concepccedilotildees extensionais

em loacutegica do pensamento O Notebook revela que o enigma da loacutegica dos fatos (das

proposiccedilotildees) ocupou Wittgenstein durante vaacuterios anos

V

Apoacutes termos seguidos a reflexatildeo de Frege nos resta a precisar como ela

influenciou a histoacuteria da Loacutegica Os textos traduzidos aqui [dez textos] foram escolhidos

entre as obras publicadas em vida por Frege Neles ele se dirigia tanto aos filoacutesofos

quanto aos matemaacuteticos como vimos Daiacute decorre a aparente facilidade destes textos

que alguns entre eles inclusive foram lidos em puacuteblico Tomados em seu conjunto eles

devem ter como resultado de desfazer o ensino aristoteacutelico entendemos assim a tradiccedilatildeo

loacutegica que se ligaram unicamente agraves liacutenguas faladas Para aqueles que quiserem penetrar

nos detalhes destes artigos seraacute necessaacuterio de se reportarem aos dois estados sucessivos

da ideografia e agraves obras aritmeacuteticas de Frege

Noacutes natildeo traduzimos nenhum texto tocando a antinomia agrave qual Frege foi advertido

por Russel em 1902 (1) O apecircndice que Frege acrescenta no tomo II das Leis

Fundamentais eacute inteiramente teacutecnico e sua leitura deve ser acompanhada tanto pela

correspondecircncia de Frege com Russel em vias de publicaccedilatildeo [Franccedila 1971] que pelos

detalhes da segunda ideografia Somente entatildeo o leitor estaraacute em condiccedilotildees de sacar a

contradiccedilatildeo e de medir o sentido da correccedilatildeo vatilde proposta por Frege A antinomia eacute

muito ceacutelebre natildeo seraacute uacutetil de resumir mais uma vez E a prova de Babel agrave qual

traduzida em todas as liacutenguas Esta antinomia foi submetida alimenta a suspeiccedilatildeo de que

a ideografia foi contaminada por preconceitos e procedimentos inerentes agraves liacutenguas

naturais Tal eacute bem o caso da confissatildeo de Frege a razatildeo tambeacutem pela qual ele retoma ateacute

agraves uacuteltimas horas a criacutetica das liacutenguas faladas comparada agraves liacutenguas formulares

Por seus caracteres intriacutensecos tanto quanto seu simbolismo ideograacutefico a loacutegica

de Frege pareceu tatildeo original comparado agraves pesquisas contemporacircneas que ela foi viacutetima

de um preconceito Tentou-se erigi-la como doutrina monoliacutetica e sem histoacuteria e natildeo se

teve o escruacutepulo de esquematizaacute-la tomando elementos de periacuteodos diferentes os trecircs

periacuteodos resumidos acima

Eacute verdade que o simbolismo ideograacutefico recebeu sua forma definitiva desde 1879

Os dois caracteres essenciais estatildeo presentes ou seja a utilizaccedilatildeo simultacircnea de duas

dimensotildees da paacutegina o uso de letras goacuteticas para a quantificaccedilatildeo Mas curiosamente a

interpretaccedilatildeo associado a esta escrita modificou-se consideravelmente com o tempo

entendemos assim o recorte sintaacutetico do texto e as regras da interpretaccedilatildeo que lhe foram

associadas nos termos pelos quais este mesmo trabalho fora feito por Aristoacuteteles e sobre (1) A antinomia em questatildeo ficou conhecida como Paradoxo de Russel que grosso modo se

enuncia assim ―O conjunto de todos os conjuntos que natildeo conteacutem a si mesmo deve ou natildeo conter

a si mesmo Se ele natildeo se conteacutem estaraacute incompleto Se ao contraacuterio ele conteacutem a si mesmo

estaraacute em contradiccedilatildeo com sua proacutepria definiccedilatildeo Lacan faraacute referecircncia dentre outros em seu

Seminaacuterio ―De um outro ao Outro que seraacute tambeacutem retomado por Marc Darmon em Ensaios

sobre a topologia lacaniana com o conceito da teoria dos conjuntos de par ordenado pp 216 e

seguintes Ed ZAHAR e Artes Meacutedicas



25

o material da liacutengua comum no tratado Da Interpretaccedilatildeo Podemos nos surpreender que a

invenccedilatildeo da linguagem tenha para Frege precedido sua interpretaccedilatildeo extensional e que

a interpretaccedilatildeo do simbolismo tenha variado com o tempo E para isto temos pelo menos

duas razotildees

A primeira eacute de ordem geral e se deve ao que os homens sempre falaram uma

liacutengua antes de fixar a sua invenccedilatildeo por uma gramaacutetica Neste sentido e com o maacuteximo

cuidado os textos aqui reunidos tecircm para a liacutengua formular o mesmo papel que os dois

primeiros tratados do Organon tecircm para a liacutengua grega Esta estava a mais de um seacuteculo

como veiculo de saber quando Aristoacuteteles se deu ao trabalho de fixar os poderes [loacutegica]

De maneira anaacuteloga Frege interpreta em 1890 a quantificaccedilatildeo a qual ele jaacute havia feito

uso na Begriffsschrift para representar a induccedilatildeo de Bernoulli [1654-1705] e a igualdade

da qual a aritmeacutetica usa desde suas origens

A segunda razatildeo eacute particular e se deve ao estado da loacutegica no seacuteculo XIX Tendo

preservado sua heranccedila grega no essencial a loacutegica dita formal tinha um papel normativo

e regulava a liacutengua agrave maneira de um cacircnone [padratildeo que se quer absoluto] Mas o direito

de olhar da loacutegica sobre a liacutengua tinha um fundamento completamente empiacuterico como o

melhor eacute naturalmente o juiz do pior o direito do obliacutequo e o caldo da sopa Erigir em

cacircnone alguns torneios seja o silogismo aristoteacutelico ou os tropos estoacuteicos eacute dar agrave liacutengua

mesma certas formas particulares claras de doacuteceis para anaacutelise para julgar outras tal satildeo

bem o silogismo perfeito em Barbara (1) e os anapodiacutecticos estoacuteicos

Assim como os cacircnones de arquitetura satildeo formas esteacuteticas felizes assim sendo

retidas para apreciar outras formas Quando Frege concebe a Begriffsschrift ele natildeo tinha

ainda aposentado a tradiccedilatildeo loacutegica Sua intenccedilatildeo confessa era de fixar os sinais escritos

menos fraacutegeis que os sinais vocais da liacutengua de usual dos matemaacuteticos Escolhendo

simbolizar os torneios costumeiros da liacutengua matemaacutetica [sem consumar integralmente o

projeto] ateacute entatildeo correntes na liacutengua natural Frege mudava os cacircnones mas ele o fazia

com plena fidelidade com os meacutetodos tradicionais Mais uma vez foi o uso que se

refletia e se escolhia no proacuteprio uso A audaacutecia vem mais tarde quando Frege submete agrave

anaacutelise a liacutengua matemaacutetica ela mesma e se emprega em corrigi-la Assim o artigo

Funccedilatildeo e Conceito ele assinala algumas expressotildees viciosas no uso dos aritmeacuteticos a

mesma intenccedilatildeo comanda a criacutetica que Frege submete os formalistas Estes tratam a

liacutengua formular como a liacutengua natural [reconduzindo a distinccedilatildeo da forma e do conteuacutedo] e

natildeo quiseram reconhecer os princiacutepios extensionais regulando a liacutengua matemaacutetica nem

sua virtude de liacutengua caracteriacutestica Ou ainda a anaacutelise da identidade proposta em

Sentido e Denotaccedilatildeo consideremos ou natildeo como definitiva obriga os matemaacuteticos a

(1) Os silogismos era maneira de organizar e controlar as forma de pensamento e se faziam

atraveacutes de frases compostas que poderiam conter afirmaccedilotildees ou negaccedilotildees ao mesmo tempo Para

classificar memorizando as formas de silogismos foram criados nomes que pudessem indicar a

operaccedilatildeo silogiacutestica Foram catalogadas 256 formas dentre elas 19 eram as mais comumente

usadas organizados em quatro blocos 1) Baacuterbara Celerent Darii Festino Ferio Bocardo

Ferison 2) Cesare Camestres Disames Baroco Frisemorum 3) Darapti Felapton Dabits

Datisi 4) Baralipton Celantes Fapesano Mesmo as palavras que soassem familiares como do

silogismo barbara nada tinha a ver com um nome de mulher O que interessava era a ordem em

que as vogais se apresentavam As vogais era o elemento informativo e as consoantes aleatoacuterias

Um exemplo que usamos trabalhado por Affonso Romano de SantlsquoAnna in O BARROCO

[Rocco] o silogismo BAROCO com um uacutenico R mesmo tendo sido confundido com a origem

de ARROCO tem valor silogiacutestico pela ordem bArOcO dando o silogismo AOO como o citado

BARBARA seria AAA A marca a proposiccedilatildeo universal afirmativa os dois O o particular

negativo Criacutesipo o Estoacuteico foi quem melhor estudou o SILOGISMO aristoteacutelico Ex

Todos os ladrotildees temem a prisatildeo (proposiccedilatildeo universal afirmativa)

Alguns homens puacuteblicos natildeo temem a prisatildeo (particular negativa)

Logo alguns homens puacuteblicos natildeo satildeo ladrotildees (particular negativa)



26

tomar consciecircncia dos meios de expressatildeo de sua proacutepria liacutengua O ato liberador exige

saiacuteda da comodidade da liacutengua para julgar medir a relaccedilatildeo entre um sistema de sinais

[signos] e os objetos designados isto eacute tomar por objeto de ciecircncia o que natildeo era ateacute

entatildeo veiacuteculo de ciecircncia

A anaacutelise da foacutermula matemaacutetica foi bem manejada no periacuteodo que separa as duas

ideografias (entre 1882 e 1890) e eacute destacaacutevel que os princiacutepios desta anaacutelise natildeo

nasceram de uma reflexatildeo direta sobre a liacutengua matemaacutetica ou sua expressatildeo ideograacutefica

Frege como vimos subordina todas as modificaccedilotildees da ideografia agrave anaacutelise do conteuacutedo

do julgamento em sentido e denotaccedilatildeo Mas como foi revelado em seu diaacutelogo com os

teoacutelogo Punjer cujo processo verbal abreviado aparece em seus ineacuteditos (1) a anaacutelise do

julgamento de existecircncia precedeu esta do julgamento de identidade e induziu agraves

consideraccedilotildees extensionais Ora este diaacutelogo eacute inteiramente filosoacutefico ele trata da

existecircncia de Deus e de experiecircncia Frege foi entatildeo conduzido a deslocar a falsa

atribuiccedilatildeo de existecircncia por uma reflexatildeo aplicada agraves dificuldade kantianas muito mais

que aos torneios aplainado e cocircmodos da liacutengua matemaacutetica

Quando lemos o apecircndice acrescentado agraves Lei Fundamentais da Aritmeacutetica vemos

quanto Frege estava pouco convencido da soluccedilatildeo que ele propunha para a antinomia e

com razatildeo Ele natildeo daraacute em seguida nenhuma soluccedilatildeo exposta ou podendo ser exposta

no seio da ideografia Mas o caminho que tomou sua pesquisa mostra que ele buscava

uma reflexatildeo que chamava de filosoacutefica Uma doutrina loacutegica mais fundamental que a

ideografia que pudesse talvez guiar a uma complementaccedilatildeo [amendement] Natildeo houce

terceira ideografia as Investigaccedilotildees Loacutegicas e os escritos que lhe satildeo contemporacircneos

arruinou o postulado filosoacutefico das duas primeiras ideografias a identidade do caacutelculo

dos pensamentos e do caacutelculo dos conceitos Enganado sem duacutevida pelo exemplo

euclidiano que servia a liacutengua grega a um duplo ofiacutecio o enunciado das proposiccedilotildees e a

inferecircncia de uma proposiccedilatildeo agrave outra Frege esperava submeter agrave mesma abordagem na a

linguagem na qual se exprime o aparato demonstrativo da ciecircncia e este onde eacute exposta a

mateacuteria matemaacutetica ela mesma Sem duacutevida que substituiu a oposiccedilatildeo claacutessica da forma e

do conteuacutedo da liacutengua que aparece ainda em seus primeiros escritos por esta das funccedilotildees

da liacutengua o caacutelculo e a caracteriacutestica Mas faltava distinguir mesmo neste caacutelculo duas

estruturas heterogecircneas estas do Tractatus que oporaacute como espaccedilo das coisas e especo

dos fatos

APEcircNDICE

As Investigaccedilotildees Loacutegicas foram negligenciadas tanto pelos inteacuterpretes de Frege

quanto pelos historiadores da loacutegica Natildeo sem motivo pois eacute verdade que este texto

inacabado questionador natildeo tem nenhuma das qualidades brilhantes da Begriffsschrift

onde Frege daraacute em algumas paacuteginas magistrais e sem precedentes a primeira exposiccedilatildeo

de um sistema logiacutestico Isto foi um ganho definitivo que a histoacuteria reconheceu se

precisarmos que a primeira ideografia natildeo fazia ainda uso da noccedilatildeo de extensatildeo do

conceito e que natildeo daacute lugar tambeacutem agrave antinomia [paradoxos] Por outro lado o sistema

das Principia Mathematica (1910) que se tornou uma referecircncia para todos trabalhos

loacutegicos que viriam eacute inspirado no dizer de seus autores da primeira ideografia fregeana

tanto quanto de Peano

Frege natildeo somente abriu a via para os sistemas logiacutesticos mas ele pressentiu dais

outros meacutetodos que estatildeo hoje em uso

(1) Dialog mit Punjer uumlber Existenz p 60 a 75 Este texto foi datado pelos editores de antes de

1884 Verificamos que Os Fundamentos da Aritmeacutetica (1883) possui a anaacutelise da existecircncia

mas a anaacutelise da identidade ainda natildeo estava assegurada



27

Em primeiro lugar na primeira seccedilatildeo da Begriffsschrift e na terceira investigaccedilatildeo o

functor [functor funccedilatildeo que mapeia objetos em objetos e morfismos nos

correspondentes morfismos (Houaiss)] proposicional binaacuterio da implicaccedilatildeo a partir do

qual seratildeo definidos os outros eacute ele mesmo definido pela enumeraccedilatildeo de seus casos de

verdade Esta ideacuteia estaacute na origem das taacutebuas de verdade mas soacute foram plenamente

elaboradas por Wittgenstein (Notebook e Tratactus logico-philosophicus 1914-1919)

A taacutebua de verdade foi por outro lado empregada como um algoritmo ndash isto sem relaccedilatildeo

com o trabalho de Frege ndash por Peirce em 1885 e por Post [1897-1954] (Introduction to a

general theory of elementary propositions) em 1921

Em segundo lugar as Investigaccedilotildees antecipam a ideacuteia que define o uso dos

conectores por regras operatoacuterias mais que por axiomas Este meacutetodo foi desenvolvido

num contexto intelectual bastante diferente por Gentzen (Untersuchungen uumlber das

logische Schliessen 1934-1935)

Estas Investigaccedilotildees Loacutegicas tem pois um lugar na lenta histoacuteria do caacutelculo das

proposiccedilotildees o mais simples mas tambeacutem o que foi conhecido mais tarde As duas

primeiras Pesquisas [Investigaccedilotildees] tocam nos princiacutepios mesmo da loacutegica dos

pensamentos A terceira Pesquisa [Investigaccedilatildeo] nos daacute seis regras de deduccedilatildeo um

teorema de substituiccedilatildeo e enuncia a pretensatildeo de ter examinado exaustivamente o

conjunto das operaccedilotildees binaacuterias definidas sobre as proposiccedilotildees Ele tem entatildeo uma

rigidez e um grau de elaboraccedilatildeo suficiente para que possamos querer examinar de mais

perto a teoria da deduccedilatildeo que expotildee

Para as seis composiccedilotildees de pensamentos retidas Frege associa seis regras de

deduccedilatildeo (1)

Estas regras se aplicam unicamente aos argumentos bilemaacuteticos [dois lemas](2)

Quando a Begriffsschrift se felicitava por ter reduzido as regras de inferecircncia

bilemaacuteticas ao uacutenico modus ponens estas regras satildeo aqui multiplicadas afim de conter

de forma mais faacutecil os casos efetivos de deduccedilatildeo que se apresentam na praacutetica

matemaacutetica [Cf o ineacutedito Logik in der Mathematik p 219] As foacutermulas da coluna da

direita da (1) agrave (6b) satildeo esquemas de inferecircncia Frege escreve cada uma delas

verticalmente respeitando assim o princiacutepio da ideografia que atribui a dimensatildeo

vertical da paacutegina para a escrita da ordem da prova O alinhamento cuidadoso das letras

AB representam o lugar de proposiccedilotildees natildeo asseridas quando estatildeo em dependecircncia

(1) No quadro acima ―ampsimboliza a conjunccedilatildeo ― a negaccedilatildeo ―V a disjunccedilatildeo ― a

implicaccedilatildeo ―darr ou conector de Schefer a rejeiccedilatildeo e enfim ― a deduccedilatildeo (2) Eacute bem possiacutevel que Frege reservava para a quarta pesquisa [Investigaccedilatildeo] o exame das

inferecircncias monolemaacuteticas [uacutenico lema] para o qual o fundamento eacute a quantificaccedilatildeo PS Lema

proposiccedilatildeo preliminar cuja demonstraccedilatildeo preacutevia eacute necessaacuteria para demonstrar a tese principal que

se pretende estabelecer [Alduisio in Houaiss]



28

sob a dependecircncia de um functor Quando satildeo escritas separadamente sobre uma linha

elas representam as proposiccedilotildees asseridas (hipoacuteteses premissas e conclusatildeo de

silogismo) Frege o torna preciso acrescentando a menccedilatildeo eacute verdadeirolsquo Esta letras natildeo

satildeo entatildeo variaacuteveis com valor em V F elas servem unicamente para apresentaccedilatildeo dos

esquemas de inferecircncia Devemos substituiacute-las por tal proposiccedilatildeo da ciecircncia no benefiacutecio

da qual se opera a deduccedilatildeo

Se quisermos nos dar conta da ordem seguida por Frege devemos nos servir da

taacutebua aqui subentendida dada pela Begriffsschrift Frege utiliza esta taacutebua para definir os

operadores proposicionais Ela se distingue nisto de uma taacutebua de verdade hoje utilizada

como instrumento de caacutelculo A taacutebua fregeana (T) permite uma anaacutelise de caso Se A e B

satildeo pensamentos quatro eventualidades se apresentam

α) A eacute verdadeira e B e verdadeira

ou

β) A eacute verdadeira e B eacute falsa

(T) ou

γ) A eacute falsa e B eacute verdadeira

ou

δ) A eacute falsa e B eacute falsa

Em relaccedilatildeo agrave verdade ou a falsidade das proposiccedilotildees A B sua composiccedilatildeo de

forma geral C (A B) pode ser verdadeira para uma duas trecircs ou quatro eventualidades

α β γ δ Frege natildeo considera jamais o caso em que C (A B) seria verdadeira nas quatro

eventualidades Tal proposiccedilatildeo composta sempre verdadeira independente da verdade

ou falsidade das proposiccedilotildees A e B natildeo teria segundo Frege nenhum conteuacutedo ela natildeo

poderia ser premissa ou conclusatildeo de qualquer raciociacutenio matemaacutetico interessante Assim

como no caso no qual C (A B) natildeo fosse verdadeira em nenhuma das quatro

eventualidades

Na terceira Pesquisa [investigaccedilatildeo] Frege examina primeiramente o caso no qual

o composto C (A B) eacute verdadeiro em uma uacutenica eventualidade e precisamente na

eventualidade α Para definir este primeiro functor Frege faz a distinccedilatildeo entre a

conjunccedilatildeo da liacutengua loacutegica (ainda chamada de produto loacutegico) e o ―e da liacutengua comum

Este eacute uma conjunccedilatildeo entre julgamento e natildeo entre pensamentos (1) Noutros termos

Frege demanda que distingamos entre o ―e da taacutebua (que escrevemos em itaacutelico) e a

conjunccedilatildeo da proposiccedilatildeo composta que escrevemos segundo o uso de hoje ―amp O

primeiro serve para definir o segundo dando as condiccedilotildees de verdade da proposiccedilatildeo

composta Segundo os termos aos quais Frege recorre no fragmento da quarta Pesquisa

[Investigaccedilatildeo] o primeiro ―e este da taacutebua pertence agrave liacutengua de exposiccedilatildeo [expositiva]

(Darleugungssprache) o segundo ―amp pertence agrave liacutengua auxiliar (Hilfessprache) que

permite delinear os pensamentos Esta linguagem eacute a liacutengua caracteriacutestica primeiramente

introduzida pela liacutengua de exposiccedilatildeo [expositiva] o alematildeo comum Reconhecemos

inclusive facilmente na primeira inferecircncia

A B (A amp B)

a primeira regra de Gentzen na qual o sentido eacute de introduzir o siacutembolo loacutegico da

conjunccedilatildeo

(1) O que eacute um progresso em relaccedilatildeo agrave Begriffsschrift e agraves definiccedilotildees ateacute entatildeo admitidas do

produto loacutegico Lemos assim na Begriffsschrift ―o sinal [signo] ideograacutefico da conjunccedilatildeo pode

ser traduzido poacute A e Brsquo satildeo um e outro fatos (sect 7)



29

Se consideramos agora o conjunto dos functores binaacuterios definiacuteveis da maneira

precedente noacutes encontraremos

4 tais que a composiccedilatildeo C (A B) seja verdadeira em uma eventualidade

6 tais que C (A B) seja verdadeira em duas eventualidades

4 tais que C (A B) seja verdadeira em trecircs eventualidades

Ora Frege considera somente trecircs functores correspondendo a uma proposiccedilatildeo composta

verdadeira em uma eventualidade e trecircs functores duais dos precedentes

correspondendo a uma proposiccedilatildeo composta verdadeira em trecircs eventualidades Para

fazer aparecer as razotildees de suas exclusotildees compararemos a escolha de Frege com a taacutebua

das dezesseis operaccedilotildees binaacuterias definidas V F e ao valor V F

p q satildeo aqui variaacuteveis proposicionais que tomam seu valor em V F As colunas

correspondendo agraves seis composiccedilotildees examinadas por Frege estatildeo impressas em

sombreado

A escolha de Frege exclui

mdash os functores binaacuterios degenerados [estados diferentes] 1 e 16 que natildeo dependem

do valor de verdade das proposiccedilotildees A B

mdash os functores binaacuterios 4 6 11 e 13 nos quais o valor eacute idecircntico a este do um e de

seus argumentos (respectivamente p q p q)

mdash os functores 3 e 14 Frege os identifica 5 e 12 os esquemas associados aos dois

primeiros ou seja ( A amp B) A amp B natildeo diferem dos esquemas associados a 5 me

12 A B se levarmos em conta da comutatividade da conjunccedilatildeo do fato que A B tecircm

por uacutenico papel de marcar os lugares vazios de um esquema

mdash Os conectores 7 e 10 ndash que chamamos de equivalecircncia e incompatibilidade ndash por

duas razotildees que podemos adivinhar A primeira eacute que Frege sabia de forma verossiacutemil os

definir por meios dos functores jaacute definidos A segunda eacute que esta definiccedilatildeo permite de

distinguir a equivalecircncia enquanto que ela eacute um functor de identidade e assim banir o

sinal de igualdade dos quais vimos os perigos para a loacutegica dos pensamentos

A escolha de Frege elimina judiciosamente as possibilidades combinatoacuterias que

natildeo correspondem a nenhum tipo de premissa usual nas deduccedilotildees efetivas ou que

correspondem agraves premissas (equivalecircncia incompatibilidade) que podem ser construiacutedas

por meio dos seis maneiras da linguagemobjeto aqui propostas



30

A pretensatildeo que os ―seis gecircneros de composiccedilatildeo formam um todo fechado sobre

si mesmo significa que o alfabeto amp () [que seraacute acrescido o nuacutemero desejaacutevel de

letras A B eacute suficiente para descrever as seis foacutermulas propostas que por sua vez satildeo

suficientes para representar todos os casos resumidos na taacutebua de anaacutelise (T)

Quanto agrave teoria da deduccedilatildeo ela mesma Frege se contentou de dar grosso modo

algumas regras sem pretensatildeo de que elas fossem suficientes para a formalizaccedilatildeo de toda

deduccedilatildeo nem que elas constituiacutessem um sistema loacutegico natildeo contraditoacuterio Pelo menos

nos deu ele com grande convicccedilatildeo que as composiccedilotildees de pensamentos aqui descritas

representam de forma adequada as composiccedilotildees de pensamentos matemaacuteticos Se

quiseacutessemos julgar com mais rigor esta histoacuteria da deduccedilatildeo seria necessaacuterio

primeiramente fazer um apanhado das regras de deduccedilotildees propostas nas Investigaccedilotildees

Loacutegicas levando em consideraccedilatildeo das regras concernindo a negaccedilatildeo e implicitamente

dados da segunda pesquisa [Investigaccedilatildeo] Tais seriam por exemplo como a regra

(A) A

Deveria ainda aiacute acrescentar as regras concernindo a quantificaccedilatildeo (estas da quarta

pesquisa [Investigaccedilatildeo] teria podido fornecer tacitamente ou explicitamente) se

quisermos comparar o esboccedilo de Frege em memoacuteria de Gentzen

Estas pesquisas [aqui Investigaccedilotildees Loacutegicas] parecem ter definitivamente

renunciado ao caacutelculo loacutegico [sob sua forma axiomaacutetica Elas natildeo utilizam nem mesmo

a taacutebua de verdade como um algoritmo] Frege associa agrave liacutenguaobjeto as regras de

deduccedilatildeo nas qual a nitidez eacute pelo menos a garantia moral que elas satildeo corretas Esta

desconfianccedila em relaccedilatildeo ao caacutelculo e em geral o tratamento algeacutebrico isto eacute cego da

loacutegica eacute sem duacutevida uma das razotildees pelas quais Frege natildeo concebeu verdadeiramente

uma taacutebua de verdade Wittgenstein utilizando o princiacutepio da bivalecircncia ndash que uma

proposiccedilatildeo eacute verdadeira ou falsa ndash reconhece no caacutelculo da implicaccedilatildeo loacutegica um caso

particular de implicaccedilatildeo probabiliacutestica Post [jaacute citado] por sua parte declara ter-se

inspirado na aacutelgebra loacutegica de Boole na sua inquietaccedilatildeo para encontrar um fundamento

para o caacutelculo proposicional axiomaacutetico dos Principia Mathematica Eacute com este esforccedilo

que a taacutebua de verdade em outros autores eacute uma representaccedilatildeo adequada dos functores

loacutegicos ao mesmo tempo em que um instrumento de caacutelculo Frege natildeo teria visto em

todo caso senatildeo o primeiro aspecto

Encontraremos nos Fundamentos da Aritmeacutetica (Ediccedilotildees de Seuil 1969) [Abril

Pensadores 1972] a lista dos principais escritos de Frege Para os trabalhos consagrados a

Frege podemos nos reportar agraves obras de J Largeault Logique e Philosophie chez Frege

(Paris Louvain 1970) que analisa os aspectos teacutecnicos da loacutegica de Frege e de C Thiel

Sinn und Bedeutung in der Logik der Gottlob Frege (Meisenhein am Glan 1965 ndash

Traduccedilatildeo inglesa Dordrecht 1968) que daacute algumas indicaccedilotildees bibliograacuteficas mais

recentes

Agradecimentos de praxe a G G Granger J Vuillemin e J van Heijecort J

Largeault A Sinaceur R Martin

Claude Imbert

Introduction a Gottlob Frege Eacutecrits logiques et philosophiques



31

Curiosidades histoacutericas

Carta de Bertrand Russel dirigida a Frege em 16 de junho de 1902

Traduccedilatildeo de Seacutergio Farias S Filho [Google]

Fridaylsquos Hill Haslemere 16 de junho de 1902

Caro colega

Haacute ano e meio tomei conhecimento do seu Grundgesetze der

Arithmetik mas apenas agora encontrei tempo para fazer um estudo

rigoroso como era minha intenccedilatildeo sobre seu trabalho Estou em

completo acordo consigo no essencial particularmente quando rejeita

qualquer elemento psicoloacutegico na loacutegica e quando atribui grande valor a

uma ideografia [Begriffsschrift] para os fundamentos da matemaacutetica e da

loacutegica formal as quais em boa verdade dificilmente se podem distinguir

Relativamente a muitas questotildees particulares haacute no seu trabalho

discussotildees distinccedilotildees e definiccedilotildees que dificilmente se encontraratildeo no

trabalho de outros loacutegicos Especialmente no que diz respeito agrave funccedilatildeo eu

proacuteprio fui conduzido a observaccedilotildees que satildeo as mesmas mesmo nos

detalhes O colega diz que uma funccedilatildeo tambeacutem pode actuar como

elemento indeterminado Eu acreditava nisto mas agora esta perspectiva

parece-me duvidosa pela seguinte contradiccedilatildeo Seja W o predicado para

ser predicado natildeo pode ser predicado de si proacuteprio Pode W ser predicado

de si proacuterio A cada resposta seu oposto segue-se Portanto podemos

concluir que W natildeo eacute predicado Da mesma maneira natildeo existe nenhuma

classe (como uma totalidade) de classes que sendo cada uma tomada

como uma totalidade natildeo pertenccedila a si proacutepria Disto concluo que sob

certas circunstacircncias uma coleccedilatildeo definiacutevel [Menge] natildeo forma uma

totalidade

Estou a acabar um livro sobre os princiacutepios da matemaacutetica no qual gostaria de

discutir o seu trabalho muito aprofundadamente Jaacute tenho seus livros ou vou compraacute-

los brevemente mas ficar-lhe-ia muito grato se me pudesse mandar separatas dos seus

artigos de revistas No caso de ser impossiacutevel obtecirc-los-ei numa biblioteca

O tratamento exacto da loacutegica em questotildees fundamentais onde os siacutembolos

falham tem ficado muito para traacutes Nos seus trabalhos encontro aquilo que de melhor

haacute no nosso tempo razatildeo pela qual me permito exprimir o meu profundo respeito por

si Eacute lamentaacutevel natildeo ter sido publicado a segunda ediccedilatildeo do seu Grundgesetze Espero

que isto venha a ser feito Muito respeitosamente este seu

Bertrand Russel



32

FIM



2

―APRESENTACcedilAtildeO DE GOOTLOB FREGE NA FRANCcedilA (1)

Claude Imbert

I

Os dez textos de G Frege que fazemos a traduccedilatildeo foram publicados entre 1879 e

1925 Oito dentre eles apareceram em diversas revistas filosoacuteficas ou nas Atas da

Societeacute savante drsquoIena Esta sociedade foi o uacutenico auditoacuterio ao qual Frege teve a

ocasiatildeo de se apresentar com uacutenica exceccedilatildeo de uma conferecircncia feita em Luumlbeck

Funccedilatildeo e Conceito foi publicada [paga] pelo proacuteprio autor e o artigo O que eacute uma

funccedilatildeo que foi destinado a uma obra coletiva em homenagem agrave Ludwig Boltzamann

Natildeo devemos concluir que Frege tenha escolhido antes de se dirigir ao puacuteblico

cultivado e agraves pessoas das letras do que aos matemaacuteticos Eacute muito mais por causa das

recusas que recebera das revistas de matemaacutetica para artigos teacutecnicos que ele passou a

escrever texto sucintos desprovidos de detalhes para os matemaacuteticos que entatildeo se

dirigiu a revistas mais ecleacuteticas Os artigos em que Frege se dedica agrave defesa da

Begriffsschrift [Conceitografia] nos fornece um exemplo que fala por si mesmo os

ineacuteditos (2) contem uma minuciosa comparaccedilatildeo entre Caacutelculo loacutegico de Boole e

ideografia foi recusada sucessivamente pela Zeitschrift fuumlr Mathematik und Physik e

pelo Mathematische Annalen e tambeacutem o Zetschrift fuumlr Philosophie und philosophische

Kritik em 1881 Uma outra versatildeo muito reduzida intitulada A Liacutengua formular de

Boole e minha Ideografia foram recusados pela Vierteljahrshrift fuumlr wissenschaftliche

Philisophie mesmo que esta revista tenha publicado vaacuterios estudos consagrados escola

loacutegica inglesa (Boole Mac Coll) e a seus ramos alematildees (Lange Schroumlder Erdmann)

Somente foi publicado na revista de Iena a conferecircncia Sobre o objetivo da

Conceitografia (o segundo tiacutetulo de nosso estudo) que resume em grandes linhas a

argumentaccedilatildeo destes artigos ineacuteditos vemos aiacute como Frege mede os dois caacutelculos o de

Boole e o seu seus principais princiacutepios diretivos antes de julgar os resultados O

debate opotildee duas anaacutelises da proposiccedilatildeo Ilustrados por dois simbolismos Boole de

certa forma eacute sem duacutevida eacute mais fiel ao sentimento e ao recorte aristoteacutelico toma para

ele o senso comum da tradiccedilatildeo Ao contraacuterio Frege surpreende sempre na primeira

leitura e em toda sua vida sofreu incompreensotildees dos matemaacuteticos ndash philosophica non

leguntur ndash tambeacutem a indiferenccedila dos filoacutesofos ndash matemaacutetica non leguntur Sacamos agraves

vezes ndash ao escutaacute-lo ndash suas maacutegoas sem que a desaprovaccedilatildeo de seus contemporacircneos

tenha balanccedilado o curso de sua pesquisa

Estes textos entatildeo natildeo tiveram eco no tempo de sua primeira publicaccedilatildeo Os

mais importantes dentre eles (sem levar em conta as Investigaccedilotildees Loacutegicas posteriores

agrave Primeira Guerra mundial e interrompida com a morte de Frege) foram tirados do

esquecimento nos anos 1900 por Bertrand Russel que teve sua curiosidade despertada

por Peano No apecircndice A dos Principles of Mathematics o filoacutesofo inglecircs [BR] faz

uma magniacutefica homenagem a Frege e dois anos mais tarde em um artigo que foi

determinante para a filosofia analiacutetica ele submeteu a ideografia fregiana a um exame

severo Na mesma eacutepoca Husserl e Frege estabelecem correspondecircncia Husserl envia

alguns textos para Frege As doutrinas loacutegicas de Frege afetaram pouco a fenomenologia

nascente exceto talvez para o abandono do psicologismo empiacuterico da Philosophie der

Aritmetik de Husserl Natildeo deixa tambeacutem de ser destacaacutevel que as duas grandes escolas

filosoacuteficas do comeccedilo do seacuteculo a fenomenologia e a filosofia analiacutetica tenham definido

sua doutrina em diaacutelogo com Frege

(1) IMBERT Claude ndash Introduccedilatildeo da Traduccedilatildeo ―Eacutecrits logiques et philosophiques de Gottlob

Frege ndash Eacuteditions du Seuil ndash 1971

(2) Publicados em 1969 com o tiacutetulo Nachgelassene Schriften Hamburgo



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(T) ou


ou









eventualidades















A B (A amp B)


conjunccedilatildeo






29













sombreado





















30














(A) A
























recentes



Claude Imbert




31





Caro colega





















totalidade










Bertrand Russel



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FIM



20























































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(3) natildeo A e B






23












































apoftegmas]









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V








































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duas razotildees



















































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dos fatos

APEcircNDICE


















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ou


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A B (A amp B)


conjunccedilatildeo






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sombreado





















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(A) A
























recentes



Claude Imbert




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Caro colega





















totalidade










Bertrand Russel



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FIM



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(3) natildeo A e B






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V








































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duas razotildees



















































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A B (A amp B)


conjunccedilatildeo






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Claude Imbert




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Caro colega





















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Bertrand Russel



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FIM



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(3) natildeo A e B






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Claude Imbert




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Caro colega





















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Bertrand Russel



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FIM



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Claude Imbert




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Caro colega





















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Bertrand Russel



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Caro colega





















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Bertrand Russel



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Claude Imbert




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Caro colega





















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A B (A amp B)


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Claude Imbert




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Caro colega





















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Bertrand Russel



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Claude Imbert




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Caro colega





















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Bertrand Russel



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A B (A amp B)


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Claude Imbert




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Caro colega





















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Bertrand Russel



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Claude Imbert




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Caro colega





















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Bertrand Russel



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Claude Imbert




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Caro colega





















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Bertrand Russel



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Caro colega





















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escritos lógicos e filosóficos de gottlob frege · fundamentais que foram aí encontrados....

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