Aplicações do Produto Escalar

1) DETERMINAÇÃO DE LUGARES GEOMÉTRICOS

1.1) No plano

- Equação da mediatriz de um segmento de recta -

A mediatriz m de um segmento de recta AB é o conjunto

de pontos y,xP , tais que:

0ABMP ,em que M é o ponto médio do segmento.

- Equação da circunferência conhecido o diâmetro -

A circunferência de diâmetro AB é o conjunto de pontos

y,xP , tais que:

0BPAP .

- Equação da recta tangente a uma circunferência num ponto desta -

A recta tangente a uma circunferência, de centro O , no ponto T (ponto de tangência) é o conjunto de pontos y,xP , tais que:

0OTTP .

1.2) No espaço

- Equação do plano mediador de um segmento de recta -

O plano mediador de um segmento de recta AB é o

conjunto de pontos z,y,xP , tais que:

0ABMP ,em que M é o ponto médio do segmento.

Escola Secundária Gabriel Pereira

FICHA DE TRABALHO N.º 6 – MATEMÁTICA A

Nome: ______________ N.º: __ 11º Ano – Turma F

- Equação de superfície esférica conhecido o diâmetro -

A superfície esférica de diâmetro AB é o conjunto de

pontos z,y,xP , tais que:

0BPAP .

- Equação do plano tangente a uma superfície esférica num ponto desta -

O plano tangente a uma superfície esférica, de centro C , no ponto T (ponto de tangência) é o conjunto de pontos z,y,xP , tais que:

0TPCT .

2) DEDUÇÃO DA FÓRMULA DO DESENVOLVIMENTO DE cos

Considerando os vectores sen,cosu

e sen,cosv

, o seu produto escalar pode ser expresso de duas formas:

- a partir da definição:

;cosvu

cos11vu

v^ucosvuvu

- a partir das coordenadas dos vectores:

.sensencoscosvu

sen,cossen,cosvu

Das duas expressões acima resulta:

sensencoscoscos .

3) TEOREMA DOS CO-SENOS

Num triângulo qualquer ABC , calculando

ACAB , BCBA e CBCA é possível concluir que:

Bcosac2cab 222 .

Conjuntos de Pontos Definidos por Condições

1) Defina, por meio de uma condição, a região colorida, sendo M o ponto médio do segmento OB .

2) Escreva uma equação da circunferência circunscrita ao quadrado ABCD , recorrendo ao

produto escalar, em que 1,1A , 4,4C e 4,1D .

3) Atendendo ao produto escalar entre dois vectores, defina, por meio de uma condição, a região colorida:

3.1) AC é perpendicular à recta r ; 3.2)

r

4) No referencial o. n. da figura, os pontos A e B têm de coordenadas respectivamente, 2,1 e 0,1 .

Sabe-se que:- a circunferência tem centro A e passa pela origem do referencial;- a recta s é paralela à recta AB ;- a recta r é a mediatriz de AB .

4.1) Escreva a equação reduzida da recta r .

4.2) Escreva a equação reduzida da recta s .

4.3) Escreva uma equação da circunferência.

4.4) Define por uma condição a parte colorida da figura.

Fim

Sílvia Batista