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Caro(a) aluno(a),

Você está recebendo o último volume do Caderno de Matemática. Ao longo deste ano, você encontrou desafios que exigiram os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos durante o curso. Parabéns pelo esforço!

Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, o foco de aprendizagem será a Geometria. Você estudará, em princípio, o cálculo da área de figuras planas. Esse estudo foi construído em séries/anos anteriores e agora o objetivo será explorar e ampliar as ideias e os processos aprendidos para esses cálculos.

Nas Situações de Aprendizagem propostas, você terá contato com diferentes ma-neiras de calcular a área, tanto de figuras regulares quanto irregulares, representadas em uma malha quadriculada.

Você vivenciará também a aplicação de dois teoremas que têm diversas aplica-ções práticas e são muito conhecidos na Matemática: o teorema de Tales e o teo-rema de Pitágoras. Mas afinal quem foi Tales? E Pitágoras? A partir desses teoremas, você irá conhecer um pouco mais da história e reconhecer que a Matemática é uma ciência construída pelo homem e que não está pronta e acabada.

Por fim, ainda no estudo da Geometria, serão tratados temas como o reconheci-mento, a planificação, a representação plana e as relações métricas dos prismas, em particular dos prismas retos. Você irá reconhecer o prisma como um formato presente em diversas situações do cotidiano, nas embalagens de produtos, por exemplo.

O objetivo deste Caderno é contribuir para que o estudo da Matemática seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!

Equipe Técnica de MatemáticaÁrea de Matemática

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CenpSecretaria da Educação do Estado de São Paulo

9a ProvaMatemática 7ª Série 4º BIM 2010

MAT_CAA_7a_vol4_AFFilipe Altemar

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 4

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Atividade 1

Considere o hexágono regular ABCDEF. Com apenas um corte retilíneo, construa um paralelogramo que seja equivalente a ele. Se desejar, com o auxílio de régua e compasso, construa um hexágono regular de papel e encontre um corte que o transforme em um para-lelogramo. Depois, desenhe essa formação no espaço a seguir.

VOCÊ APRENDEU?

C

A B

DE

F

Leitura e Análise de Texto

Equivalência de figuras planas

Dois polígonos iguais têm, evidentemente, a mesma área. Dois polígonos diferentes, entretanto, podem ter a mesma área. Quando dois polígonos têm a mesma área dizemos que eles são equivalentes. Naturalmente, se dois polígonos são formados pelas mesmas partes, ou seja, se são equicompostos, então, são equivalentes.

Embora menos evidente, a recíproca des-se teorema, isto é, que dois polígonos com a mesma área são equidecomponíveis, foi de-monstrada por dois matemáticos – o húngaro F. Bolyai e o alemão P. Gerwien – e recebeu o nome de teorema de Bolyai-Gerwien.

Um quadrado, por exemplo, pode ser decomposto formando um retângulo a par-tir de um corte retilíneo feito pela metade de seus lados. O quadrado e o retângulo têm áreas equivalentes.

4 m

4 m 8 m

2 m


4

Atividade 2

Dois retângulos são equivalentes. No primeiro, a base mede 125 cm e a altura mede 80 cm. No segundo, a base mede 50 cm e a altura não é conhecida.

a) Descreva uma forma para encontrar a altura do segundo retângulo e determine seu valor.

b) Compare o perímetro dos dois retângulos. O que você observa?

Atividade 3

Um retângulo tem base de 16 cm e altura de 4 cm. Encontre as medidas de um retângulo equi-valente a este que possua o menor perímetro possível.

4 cm

16 cm


5


Fórmula de Pick: calculando áreas por contagem

Às vezes, a beleza de um teorema não é associada à sua aplicação, mas à sua simplicidade. Em 1899, o matemático tcheco Georg Alexander Pick publicou um artigo que apresentava uma fórmula para cálculo de áreas de polígonos cujos vértices eram pontos de uma malha quadriculada. Observando a composição e a decomposição de figuras planas na malha, Pick percebeu um padrão que associava a área de um polígono à quantidade de pontos da malha que se situavam no seu interior e sobre seu perímetro.

A fórmula de Pick, para um polígono cujos vértices são pontos de uma malha quadricu-lada, é: A = B __ 2 + I – 1, em que A é a área do polígono, B é a quantidade de pontos da malha situados sobre a fronteira do polígono e I é o número de pontos da malha existentes no interior do polígono.

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 4A seguir apresentamos três figuras – um quadrado, um paralelogramo e um triângulo retân-

gulo. Preencha a tabela abaixo e aplique a fórmula de Pick para encontrar a área das três figuras. Em seguida, conclua se há equivalência entre esses polígonos.

Figura Valor de B Valor de I Cálculo Área

Quadrado

Paralelogramo

Triângulo retângulo


6

Atividade 5

Em uma tábua foram fixados, à mesma distância, alguns pregos, formando um geoplano. Com um elástico, o professor formou a figura a seguir. Aplique a fórmula de Pick para encontrar a área do polígono ABCD.

A

D

B

C


Calculando áreas de figuras irregulares

Aerofotogrametria é um conjunto de técnicas que permite a elaboração de mapea-mentos com base em fotografias tiradas por câmeras instaladas em aviões ou satélites. Fotogrametristas são os profissionais que analisam as formas e as dimensões dos objetos a partir dessas fotografias métricas. Esses profissionais têm recursos para determinar áreas de regiões como cidades, países ou parques ambientais. A seguir, propomos um método para determinar, de forma aproximada, áreas de regiões irregulares em um mapa. Neste caso, consideramos que os mapas foram construídos por meio de um sistema de projeção que preserva a proporcionalidade entre as áreas representadas e as áreas reais (existem mapas que são construídos tendo em vista outras finalidades, como as relacionadas à navegação, e que não preservam tais proporções).


7

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 6

Para calcular o valor aproximado da área de uma região irregular, podemos desenhá-la sobre uma malha quadrangular, em que cada quadradinho da malha indica uma unidade de área (1 u), e utilizar os seguintes processos:

1. Conta-se o número de unidades da malha totalmente contidas na região, indicada por A1.

2. Conta-se o menor número de unidades da malha que envolve totalmente a região, indicada por A2.

3. Calcula-se a média aritmética entre as duas quantidades de unidades da malha contadas nos processos 1 e 2.

A = A 1 + A 2 _______ 2 = 12 + 33 _______ 2 = 22,5 u

A A1 = 12 u

A2 = 33 u


8

4. Se a figura estiver em escala, devemos conhecer a área da unidade da malha para multiplicá-la pelo valor encontrado anteriormente.

Utilize o procedimento que acabamos de descrever para calcular a área aproximada do Estado de Minas Gerais, destacado no mapa a seguir.

PARÁ

MATO GROSSO

MATO GROSSODO SUL

TOCANTINS

MINAS GERAIS

SÃO PAULO

PARANÁ

RIO DE JANEIRO

53 000 km2

ESPÍRITO SANTO

RIO GRANDEDO SUL

SANTACATARINA

GOIÁSDF

BAHIA

PERNAMBUCOPARAÍBA

ALAGOASSERGIPE

RIO GRANDEDO NORTE

PIAUÍ

CEARÁMARANHÃOAMAZONAS

ACRE

RORAIMA AMAPÁ

RONDÔNIA

© W

agne

r Bat

ella

ada

ptad

o po

r Con

exão

Edi

toria

l


9

PESQUISA INDIVIDUAL

Faça uma pesquisa em livros de Geografia, em atlas ou na internet sobre a “área real” que o Estado de Minas Gerais ocupa. Compare o valor real com o valor encontrado na Atividade 6 apresentada na seção Você aprendeu?.


As fórmulas das áreas de figuras planas

Vamos acompanhar o desenvolvimento das expressões que permitem o cálculo da área de alguns polígonos importantes!

Área do paralelogramo

A área do paralelogramo é obtida pela equivalência com a área de um retângulo de base e altura com medidas respectiva-mente iguais à base e à altura do paralelogramo considerado. Vamos mostrar isso a partir do paralelogramo ABCD ao lado.

Do vértice A, baixamos um segmento AE, perpendicular às paralelas AB e CD. Nesse caso, AE será a altura relativa às bases AB e CD.

A

h

ED

B

C

h

A

ED

B

C

h

A

E’E C b

B

A

D

B

C

Observando a composição, percebemos que ambos os quadriláteros possuem a mesma altura AE e a mesma base AB. Logo, o mesmo produto da medida AE . AB, que determina a área do retângulo, determina também a área do paralelogramo. Denotando cada dimensão por h (altura) e b (base), temos que a área do paralelogramo é: A = b . h.


10

Área do losango

Chamamos losango um paralelogramo equilátero, isto é, com lados congruentes. Como o losango é um paralelogramo, sua área pode ser obtida pelo produto da base (lado do losan-go) pela altura (distância entre a base e o lado paralelo a essa base).

B

b

h

DA

C

A C

B

D

A = b . h

Outra possibilidade é mostrar que o losango ABCD equivale a um retângulo ACFE, em que um lado é igual a uma das diagonais do losango e o outro é metade da outra diagonal.

A = D . d _____ 2

Área do triângulo

A área do triângulo pode ser deduzida a partir da área do paralelogramo. Dado um triân-gulo qualquer ABC, acrescentamos a ele o triângulo AB’C, idêntico a ele, formando um paralelogramo.

A

B C

A

h

bB

B’

C

A área do triângulo é, portanto, igual à metade da área do paralelogramo, que é de-terminada pelo produto da medida da base b pela altura h. Logo, a área A do triângulo é determinada por:

A = 1 __ 2 b . h ou A = b . h ____ 2

B

AM

FE D

C

D

d2


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Desafio!

Área do trapézio

Trapézio é todo quadrilátero convexo que tem apenas dois lados paralelos. No tra-pézio GALO, dado a seguir, B é a medida da base GA (base maior) e b é a medida da base LO (base menor). A altura do trapézio é indicada por h e representa a distância

entre as bases. A área do trapézio é representada pela expressão: A = (B + b) . h _________ 2 .

A

LOb

base menor

base maior

h altura

BG

Encontre uma maneira de demonstrá-la, tomando a gravura acima como referência.

LIÇÃO DE CASA

Atividade 1

A figura a seguir indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça (as me-didas estão em metros).

x + 10

x x

x x

2x +

4 2x + 4


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a) Se calcularmos a área da superfície da folha de latão necessária à construção da peça, ela será uma expressão que depende do valor de x. Escreva essa expressão.

b) Encontre o valor da área dessa superfície quando x = 4 metros.

Atividade 2

Separe duas folhas de papel sulfite. Disponha uma sobre a outra como mostra a figura a seguir. Discuta com seu colega se a folha que está por cima cobriu a metade, mais da metade ou menos da metade da folha que está por baixo.


13


14

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 TEOREMA DE TALES: A PROPORCIONALIDADE NA GEOMETRIA

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 1

Sílvio é um jardineiro que está trabalhando no projeto de um canteiro triangular, em uma esquina da praça de seu bairro.

Inicialmente, ele propõe que o canteiro seja composto por dois tipos diferentes de folhagens rasteiras, e que a divisão entre elas seja feita por uma faixa paralela à base BC, indicada na figura pelo segmento DE. Desse modo, Sílvio fez as seguintes medições no canteiro: AD = 4 m, DB = 4 m e AE = 3 m. Qual deve ser a medida de EC?

A

B C

A

D

4 m 3 m

4 m

E

B C


15

Atividade 2

Para fazer um ajuste em seu projeto, Sílvio posicionou o ponto D a 2 m do ponto A, conforme indicado na figura a seguir. Encontre a nova medida de EC.

A

D

2 m 1,5 m

6 m

E

B C

Atenção!Vamos aproveitar o mesmo enunciado para explorar outras proporções possíveis no

projeto do canteiro.

Atividade 3A partir dos ajustes e dimensões do projeto (Atividade 2), Sílvio percebeu que poderia

explorar melhor o canteiro, dividindo-o mais uma vez por outra faixa paralela à base BC, indi-cada na figura pelo segmento FG. Isso permitiria plantar outro tipo de folhagem, deixando o canteiro ainda mais bonito.

A

D

F

2 m 1,5 m

5 m

1 m

E

G

B C

Com base nessas dimensões, encontre as medidas de EG e GC e utilize o espaço a seguir para realizar os cálculos.


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Atividade 4

Lucas queria estimar a medida mais extensa do pequeno lago que havia perto de sua casa. Pensando sobre o problema, ele inicialmente fez um esquema da situação, indicando essa extensão por AB e imaginando dois triângulos ABD e BCE, sendo as bases AD e EC paralelas (Figura 1). Depois, foi ao local e fincou 5 estacas, cada uma correspondente a um vértice dos triângulos de seu esquema. Contou com passos as medidas correspondentes aos lados AE, BD e DC e comple-tou seu esquema como na Figura 2.

C

BEA

D

Figura 1C

BE4 passos

9 passos

3 passos

A

D

Figura 2

O procedimento criado por Lucas permite a resolução do problema? Se sua resposta foi afirmativa, expresse os cálculos efetuados e o valor, em passos, encontrado por ele para a ex-tensão AB.


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Atividade 5

De uma praça em formato retangular saem 4 avenidas, α, β, ϕ e θ, uma de cada vértice do retângulo. Ligando cada par de avenidas, há três ruas, 1, 2 e 3, sempre paralelas em cada caso. Os pontos de encontro entre as ruas de mesmo número são nomeados pelas letras do alfabeto, A, B, C, D, etc. Observe na figura os pontos M e P. O ponto M está na rua “2 Leste”, enquanto o ponto P está na rua “3 Norte”.

Praça

NORTE

Avenida θ

Avenida α

M

P

Avenida β

Avenida ϕ

OESTE

LESTE3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

SUL

LK

J

A

E

I

C

G

B

F

D

H

a) Considere apenas a parte Sul e as distâncias entre os pontos apresentadas a seguir, e verifique

se é válida a proporção GH ____ HI = DE ____ EF .

GH = 50 m HI = 40 m DE = 60 m EF = 48 m


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b) A proporção verificada no item anterior é a expressão matemática do teorema de Tales, segun-do o qual: se uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados. Considere agora o lado Leste da praça da figura e escreva a expressão matemática do teorema de Tales.

c) A partir da distância AB = 36 m, calcule a medida BC.

d) Na figura, a distância entre os pontos J e K é igual a 32 m. Sendo assim, calcule as medidas de KL a partir da proporcionalidade entre os segmentos do lado Norte e de KL com base na proporcionalidade entre os segmentos do lado Oeste.

Atividade 6

Se a praça da figura da atividade anterior for retirada do mapa, observa-se que as avenidas θ e ϕ encontram-se no ponto X, enquanto as avenidas α e β encontram-se no ponto Y, como mostra a figura a seguir.


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NORTE

Avenida θ

Avenida α

M

P

Avenida β

Avenida ϕ

OESTE

LESTE3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

SUL

LK

J

A

E

I

C

G

B

F

D

H

Y

X

Adotando as medidas fornecidas ou calculadas na atividade anterior, e dados JX = 10 m e AY = 8 m, calcule:

a) GX

OESTE

X

I

G

K

J

H

L

3 2

32 m

50 m

10 m

1


20

b) DY

MLESTE

A

Y

E

C

B

F

D

32

36 m

8 m

60 m

1

PESQUISA INDIVIDUAL

Pesquise em livros de História, Filosofia ou Matemática e também em alguns sites fatos relativos à vida do matemático e filósofo grego Tales de Mileto. Nessa pesquisa você deve buscar características que permitam diferenciar a matemática egípcia da grega. Anote em uma folha avulsa os principais dados encontrados.


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Tales

A forma empírica, do “ensaio e erro”, que caracteriza a matemática dos egípcios e dos babilônios, tornou-se o fundamento da forma dedutiva empregada pelos gregos. É impossível omitir uma ou outra na construção do conhecimento geométrico. Tales é o personagem que circula entre as riquezas culturais de ambas as civilizações e que, criando seus próprios nexos, forma a base do que seria a tradição grega de fazer Matemática. Com Tales, a Geometria transformou-se, de conhecimento empírico, cujos resultados são deduzidos diretamente da prática, em conhecimento dedutivo, baseado na aplicação das leis da lógica. Contudo, os trabalhos de Tales e Pitágoras ainda careciam de uma organização, e essa tarefa coube a outro geômetra grego, Euclides, em meados do século III a.C.

Tales viveu por volta de 585 a.C. e aprendeu muito com a matemática egípcia. À sua vida estão associadas grandes façanhas, como prever um eclipse e medir a altura da pirâmide de Quéops observando sua sombra. Pelo que se sabe, é o primeiro personagem da história a quem se atribuem descobertas na Matemática independentes da Geometria do mundo real.

A noção de teorema

A atividade prática dos povos egípcios e babilônios levou à descoberta de um grande número de fatos geométricos. Esses eram apreendidos indutivamente por meio de processos experimentais. No contato com essa produção, os geômetras gregos perceberam que alguns desses fatos podiam ser obtidos a partir de outros, por deduções lógicas. Isso lhes sugeriu que algumas verdades geométricas, tomadas como mais simples e gerais, serviriam de base para a dedução de outras propriedades geométricas.

Tendo por base um pequeno número de afirmações tomadas como verdadeiras, deno-minadas axiomas ou postulados (do grego digno de confiança), demonstrava-se um con-junto de proposições geométricas, ao qual se deu o nome de teorema. Essa foi uma das maiores contribuições gregas ao conhecimento matemático e científico: o método dedutivo. Tales é considerado um dos fundadores da geometria dedutiva.

Em um processo de demonstração, o destaque fica por conta das argumentações que devem ter por base conhecimentos já adquiridos.

A demonstração do teorema de Tales

Acompanhe, atentamente, as argumentações que o professor de Matemática vai cons-truir para demonstrar o teorema de Tales, que afirma que: se uma reta paralela a um lado de um triângulo (considerado por base) intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados. Como você verá, este teorema também garante que: se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais.


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VOCÊ APRENDEU?

Determinação da distância entre dois pontos inacessíveis

Atividade 7

Como alternativa à crise energética, uma cidade resolveu construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio situado nas suas proximidades. A figura a seguir representa parte do projeto da construção da barragem da hidrelétrica. Considerando DE paralelo a BC, qual deve ser o comprimento da barragem a ser construída?

24 m

B

x

D18 m

C

60 mE

A


23

Atividade 8

Informações sobre temperaturas são muito úteis e frequentes no nosso cotidiano. Nas pre-visões do tempo são comuns as informações das temperaturas máxima e mínima no decorrer de um período. Quando nos sentimos doentes, uma das primeiras providências a serem tomadas é medir a temperatura do corpo com o auxílio de um termômetro. A escala térmica mais utiliza-da no Brasil é a Celsius (ºC). Seu nome é uma homenagem ao astrônomo sueco Anders Celsius (1701-1744), que a propôs em 1742. A escala térmica considera, como referências, o ponto de congelamento e o ponto de ebulição da água. Na escala Celsius, o ponto de congelamento é 0 ºC e o de ebulição, 100 ºC. Contudo, existem diversas escalas térmicas. Nos Estados Unidos e na Inglaterra, por exemplo, a escala utili zada é a Fahrenheit (ºF), que considera 32 ºF o ponto de fusão (congelamento) e 212 ºF o ponto de ebulição.

Para pensar sobre a conversão de ºC para ºF, construímos o diagrama abaixo, colocando em correspondência as temperaturas da fusão do gelo e da ebulição da água:

100

Tc

0

ºC

212 ebulição da água

fusão do gelo

Tf

32

ºF

a) Encontre a expressão que determina a conversão da temperatura na escala Celsius para a escala Fahrenheit.


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b) O noticiário informa que em Londres a temperatura é de 46 ºF. Converta essa temperatura em grau Celsius e responda: Está frio em Londres?

c) Em contato com um cidadão norte-americano que deseja passar as férias de janeiro no Brasil, uma agente informa que, nesse período, a temperatura média em certa cidade no Nordeste brasileiro é de 32 ºC. Sem saber julgar a temperatura pela escala Celsius, o turista pede que a agente informe a temperatura na escala Fahrenheit. Qual é a medida encontrada pela agente nessa escala?

LIÇÃO DE CASA

Atividade 1

Para apoiar uma planta trepadeira, um jardineiro constrói, com algumas varas de bambu, uma treliça. Tomando duas varas transversais, ele fi xou, com corda, outras três varas, a fi m de que elas fi cassem paralelas umas às outras. Terminada a construção, ele efetuou algumas medidas que estão expressas na fi gura ao lado. Com base nas medidas apresentadas, é possível afi rmar que ele conseguiu o paralelismo desejado? Em caso negativo, o que ele deverá fazer para consegui-lo?

20 cm

26 cm

30 cm

36 cm


25


26

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 O TEOREMA DE PITÁGORAS: PADRõES NUMÉRICOS E GEOMÉTRICOS


Uma perspectiva histórica

Pitágoras de Samos (Samos é uma ilha do mar Egeu) foi um filósofo que exerceu forte influência na civilização grega, no século VI a.C. Em seus trabalhos, identificamos a originalidade de construção de um sistema formal de reconhecimento, a classificação e a exploração de padrões numéricos e geométricos. O centro da motivação das pesquisas de Pitágoras e de seus discípulos encontra-se na ideia de conceber uma ordenação matemática do cosmos. Os pitagóricos acreditavam que os segredos espirituais do Universo poderiam ser desvendados por relações numéricas e, para eles, os números deixaram de ser utilizados somente para contagem e revelaram outras propriedades. Embora a motivação possa ser alvo de críticas, deve-se admitir, contudo, que ela gerou uma contribuição fantástica ao conhecimento matemático.

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 1

É muito difícil estudar Geometria sem o apoio de desenhos. Os gregos, em muitas de suas demonstrações geométricas, apoiavam-se na observação de figuras. A figura é um importante veí culo para a imaginação matemática. Para ilustrar o valor da figura no processo demonstra- tivo pode-se recorrer à história da morte de Arquimedes. Uma das várias versões narra que Arqui-medes encontrava-se diante de uma figura, quando sua cidade, Siracusa, foi invadida pelo exército romano. Um soldado, inclinando-se sobre uma figura desenhada na areia, ordenou a Arquimedes que o acompanhasse, ao que este teria respondido: “Não perturbe meus círculos”. Sentindo-se desa-fiado, o soldado desembainhou a espada e o matou.

Um dos problemas clássicos da Antiguidade grega era o da duplicação da área do quadrado. Imagina-se que Tales tenha sido o primeiro a demonstrá-lo. No entanto, esse problema não escapou também das anotações de Pitágoras. O problema consiste em, dado um quadrado, encontrar outro que tenha o dobro de sua área.


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Na malha a seguir construiu-se um quadrado. Encontre outro quadrado cuja área seja o dobro da dele.

Atividade 2

Na investigação de padrões em sequências numéricas, Pitágoras apoiava-se na representação figurativa destes padrões. Números figurados são aqueles representados por determinada configura-ção geométrica. A forma figurada permite observar a “anatomia” da sequência. A seguir, cada termo da sequência está representado por certa disposição de quadradinhos.


28

a) Faça a representação figurativa dos próximos dois números da sequência na malha abaixo.

b) Associando cada figura ao número de quadradinhos que a compõem, escreva a sequência numérica que corresponde à sequência figurativa. Você reconhece os termos dessa sequência?


29

c) Observando a sequência figurativa, percebemos que o primeiro elemento é um quadrado de uma unidade de lado. Quando encaixamos o segundo termo no primeiro, completa-mos um quadrado cujo lado tem uma unidade a mais que o primeiro termo. Numerica-mente encontramos a seguinte relação: 1 + 3 = 4.

1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Quando encaixamos o terceiro termo nesse quadrado, completamos um novo quadrado que tem por lado, novamente, uma unidade a mais que o anterior. Numericamente temos: 1 + 3 + 5 = 9. Em cada encaixe em um quadrado de lado x obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Repita essa operação com os outros termos da sequência. Organize suas anotações e, refletindo um pouco mais sobre as condições oferecidas no problema, expresse, em palavras, uma conclusão que relacione o qua-drado dos números naturais com os números ímpares.


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Atividade 3

A propriedade encontrada na atividade anterior foi uma das que mais fascinaram Pitágoras.

a) Aplique-a para encontrar o quadrado do número 13.

b) Como podemos aplicar esse método para determinar a raiz quadrada de um número? Aplique-o para o número 64.

c) Verifique que a raiz quadrada de 72 não é um número inteiro.

PESQUISA DE CAMPO

A civilização egípcia é notável quando o assunto é construção. Apoiada em uma matemática experimental, essa civilização construiu um conjunto arquitetônico cujo destaque são as enormes pirâmides. Grande parte do processo de construção civil se apoia na formação de ângulos retos. Para se ter uma ideia, a base da pirâmide de Quéops, construída há mais de 4 500 anos, é com-posta de pedras esquadrejadas e tem por base um quadrilátero muito próximo de um quadrado. O problema de traçar ângulos retos foi resolvido pelos egípcios de modo tão engenhoso quanto simples. Como descobriram que todo triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento era


31

necessariamente um triângulo retângulo, os arquitetos e construtores egípcios usavam uma corda com 13 nós distribuídos em intervalos iguais. Dobrando a corda de modo que formasse um triân-gulo de lados 3, 4 e 5, e emendando-a pelas extremidades (1o e 13o nós) obtinham um ângulo reto, oposto ao lado 5.

© C

onex

ão E

dito

rial

4

5

3

Vamos fazer como os agrimensores egípcios e criar um esquadro de barbante. Tomando um pedaço de barbante, distribua 13 nós de modo que suas distâncias sejam iguais.

Atenção: use do bom senso para defi nir essa distância. Essa etapa deve ser feita com muito capricho!

Uma vez construído o esquadro de barbante, verifi que se as paredes da casa em que você mora estão no esquadro.

Relate suas conclusões no espaço a seguir.


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VOCÊ APRENDEU?

Atividade 4

Pitágoras, em sua viagem pelo Egito, tomou conhecimento da propriedade do triângulo 3, 4 e 5. Seu espírito crítico logo o levaria a estabelecer outra relação entre esses números. Vamos acompa-nhar, nesta atividade, um suposto caminho percorrido por Pitágoras. Vamos chamar de quadrado geométrico de um segmento a construção de um quadrado que tenha esse segmento por lado.

Com o segmento

construímos seu quadrado geométrico

E vamos chamar de quadrado aritmético o cálculo em potência de expoente quadrado (2) do número que representa a medida daquele lado. Com o número 3, encontramos o quadrado aritmé-tico 32 = 9

a) Em uma folha avulsa, construa os quadrados geométricos dos segmentos de medidas: 3, 4 e 5. Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles. Calcule os quadrados aritméticos dos números 3, 4 e 5 e escreva seus resultados sobre os quadrados geométricos.

b) Analisando os valores dos quadrados aritméticos, podemos concluir uma relação entre eles. Tente descobri-la, relatando-a no espaço a seguir.


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c) Recorte os quadrados geométricos dos segmentos 3, 4 e 5. Construa na malha quadriculada abaixo um triângulo de lados 3, 4 e 5. Acomode, sem sobrepor as figuras, sobre cada lado do triângulo, o quadrado geométrico do segmento que corresponde à sua medida. O lado maior do triângulo retângulo chama-se hipotenusa (do grego hypoteinousa – “esticado abaixo”, no lado dos catetos) e os outros lados são denominados catetos (do grego kathetos – “coisa perpendicular”). Formule uma sentença que combine esses termos com as desco-bertas feitas sobre os quadrados geométricos e aritméticos associados ao triângulo 3, 4 e 5.

Atividade 5

Com base nos conhecimentos adquiridos até agora, vamos nos tornar discípulos de Pitágoras e buscar outros triângulos que possuam a mesma propriedade do triângulo 3, 4 e 5, isto é, que formem um triângulo retângulo com lados de medidas inteiras e cuja área do quadrado sobre a hipotenusa seja igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.


34

a) Desenhe um retângulo qualquer. Corte o retângulo pela diagonal. Qual foi a figura criada? Meça seus lados com o auxílio de uma régua. Esta medida resultou em um número inteiro?

b) Vamos construir o esquadro dos egípcios no plano cartesiano. O vértice do triângulo 3, 4 e 5, que corresponde ao ângulo de 90º, será posto na origem do sistema. Portanto, as coor-denadas dos vértices serão A(0,0), B(0,3) e C(4,0). Para ampliar as dimensões do triângulo ABC em duas vezes, multiplicamos suas coordenadas por 2, obtendo o triângulo A’B’C’, de coordenadas (2x,2y), isto é, A’(0,0), B’(0,6) e C’(8,0). Se quisermos triplicar suas di-mensões, multiplicamos suas coordenadas por 3, obtendo o triângulo de vértices A’’(0,0), B’’(0,9) e C’’(12,0).

I. Localize esses pontos em um plano cartesiano construído na malha quadriculada a seguir. Construa os triângulos ABC, A’B’C’ e A’’B’’C’’.


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II. Verifique se, para esses triângulos, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

III. Escreva a medida de três lados de um triângulo de modo que este seja um triângulo retângulo.

LIÇÃO DE CASA

Atividade 1

Em Matemática, como em muitas outras atividades humanas, depois que se toma gosto é difícil parar. Embora satisfeitos por nossas façanhas matemáticas no encontro de outros ternos pitagóricos, reconhecemos sua limitação por todos serem relacionados a um único triângulo, o de lados 3, 4 e 5. Como Pitágoras, lancemo-nos em mais um desafio: Como encontrar outros ternos de números inteiros que sejam lados de um triângulo retângulo, sem que estejam diretamente relacio-nados a ampliações do triângulo 3, 4 e 5?

Para dar continuidade a este estudo, vamos fazer como os pitagóricos e aplicar alguns conceitos aprendidos nas atividades anteriores. Retomando as ideias da Atividade 2, apresentada na seção Você aprendeu?, identificaremos os números figurados no formato de um L por gnômon, termo antigo que os gregos usavam para se referir ao esquadro de carpinteiro.

Naquela atividade, chegamos à conclusão de que em cada encaixe de um gnômon em um quadrado de lado x obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Essa constatação relaciona, portanto, a área de dois quadrados. Nas atividades anteriores, observamos que, em um terno pitagórico, a soma de dois quadrados resulta em um terceiro. Combinando essas ideias, podemos criar outra fonte de ternos pi-tagóricos. Para compreender isso, vamos analisar mais uma vez o triângulo 3, 4 e 5.

Partindo de um quadrado de 4 unidades de lado, precisa-mos, para que haja encaixe, que o gnômon seja composto por 9 quadradinhos, isto é, uma unidade a mais que a soma de dois lados do quadrado dado (quadradinho que fica no cotovelo do gnômon).

Encaixando o gnômon no quadrado, produzimos um novo quadrado, cujo lado mede 5 uni-dades (uma unidade a mais que o lado do quadrado dado) e cuja área é a soma das áreas do quadrado de lado 4 com a área do gnômon.


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Geometricamente, construímos um quadrado de lado 5.

Como, neste caso, a quantidade de quadradinhos no gnômon é igual a 9, que é o quadrado de um número inteiro, conseguimos a relação esperada: a área de um quadrado foi gerada pela soma da área de dois quadrados, o que aritmeticamente é assim representado: 42 + 32 = 52.

Aplicando o método do encaixe de um gnômon, encontre o terno primitivo tomando por base um quadrado de lado 12. Construa uma figura que represente essa situação.


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Atividade 2

Encontre o terno pitagórico formado pelo gnômon composto por 49 quadradinhos.

Atividade 3

O terno (7, 20, 21) é pitagórico? Justifique sua resposta aritmeticamente.


Embora o método do encaixe represente uma sofisticação por permitir encontrar ter-nos pitagóricos para além dos gerados pelo terno primitivo 3, 4 e 5, ele ainda é muito em-pírico e só vale para triângulos retângulos em que os dois lados maiores diferem em apenas uma unidade. Uma pergunta que Pitágoras se colocou, e que provamos agora, é: Em todo triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos?

VOCÊ APRENDEU?

Brincando de Pitágoras

Atividade 6

Embora ainda seja um caso particular, Pitágoras provou que seu teorema também era válido para triângulos retângulos isósceles. Construa 9 triângulos retângulos isósceles congruentes de papel.


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Tomando por base a ideia da duplicação de área de um quadrado por meio da construção de um quadrado sobre a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles, disponha os 9 triângulos, sem os sobrepor, a fim de constatar que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Depois, lembrando que se trata de uma demonstração, você deve elaborar argumentos que justifiquem sua hipótese. Escreva sua argumen-tação no espaço a seguir e, se quiser, cole a figura em seu caderno.

Atividade 7

Para esta atividade, você precisará de 8 peças de papel, nos seguintes formatos:

• 2 retângulos congruentes quaisquer. Recorte esses retângulos por uma diagonal e obtenha 4 triângulos retângulos congruentes.

1

2

3

4

• 3 quadrados. Um deles deve ter lado igual à hipotenusa do triângulo retângulo anteriormente formado; os outros dois devem ter como lados cada um dos catetos do triângulo já referido.

7

6

5


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• 1 quadrado de lado igual à soma das medidas dos catetos.

8

De posse dessas peças, sobreponha sobre o quadrado maior (o que tem lado igual à soma dos catetos, indicado pelo número 8) cada uma das configurações representadas na figura a seguir. Construa uma argumentação que prove que a área do quadrado da hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados dos catetos. Escreva-a no espaço a seguir.

12

3

4

1 2

3 4

O limite da demonstração por figuração

Atividade 8

Para esta atividade você precisará de papel quadriculado e tesoura.

Inicialmente, vamos construir um quadrado de 64 casas no papel quadriculado (Figura 1). Depois, vamos decompor o quadrado em 4 fi-guras: dois triângulos retângulos (ACE e CEF) e dois trapézios retângulos (BEGH e DFGH), conforme a Figura 2.

A B A

C D C F D

E B

Figura 1 Figura 2

A1

A2 A3

A4

G

H


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Vamos recortar as peças e tentar montar um retângulo.

Você conseguiu? Agora, conte a quantidade de quadradinhos que compõem este retângulo. A qual número você chegou? Ele corresponde à quantidade de quadradinhos iniciais? O que será que aconteceu?

Ternos pitagóricos com diferença de uma unidade

Atividade 9

No volume 2 da 7a série/8o ano, aprendemos o produto notável: a2 – b2 = (a + b).(a – b). Tomando-se o terno pitagórico (a,b,c), c será a medida da hipotenusa. Logo, c é o maior lado e, portanto: c > a e c > b. Podemos concluir, pela aplicação do teorema de Pitágoras, que a2 = c2 – b2 = (c + b).(c – b). Logo, se c – b = 1, teremos a2 = c + b. Este fato pode ser percebido em vários ternos encontrados pelo método descrito na Atividade 1, apresentada na seção Lição de casa.

Terno (3, 4, 5) 32 = 4 + 5

Terno (5, 12, 13) 52 = 12 + 13

Terno (7, 24, 25) 72 = 24 + 25

Mantendo-se o padrão geométrico-numérico, percebemos o seguinte diagrama:

3

5

7

9

11

+2

+2

+2

+2

4(+1)

12(+1)

24(+1)

5

13

25

...

40(+1) 41

Complete o terno pitagórico em que um dos elementos é 11.


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Uma demonstração algébrica do teorema de Pitágoras

Atividade 10

Retome a demonstração do teorema de Pitágoras com base na figura a seguir. Com o auxílio da álgebra, prove que: a2 = b2 + c2.

c

a b

c – b

LIÇÃO DE CASA

Atividade 4

Thiago quer descobrir a medida aproximada da parte mais extensa de uma lagoa (BC). Como não sabe nadar, viu uma forma de resolver seu pro blema com o uso de seus conhecimentos em Geo me- tria. Lembrando dos egípcios, fixou três estacas na margem da lagoa e esticou cordas de A até B e de A até C. Como lhe interessa uma medida aproximada, fez o máximo para formar, no encon-tro das cordas em A, um ângulo reto. Medindo o comprimento dessas cordas obteve AB = 7 m e

C

24 m 7 m

B

A


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AC = 24 m. Construiu, então, em seu caderno, um esboço da situação e a resolveu. Qual é o valor encontrado por Thiago?

Atividade 5

Aqui, temos o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura. Um marceneiro foi con-tratado para construir o corrimão dessa escada. Quantos metros lineares de madeira serão utilizados no corrimão?

24 cm24 cm

24 cm24 cm

24 cm

90 cm

90 cm

30 cm

30 cm

corrimão

Atividade 6

Esta figura representa a “pipa” construída por Cadu. Ele possui 1 metro de linha para reforçar a pipa, contornando sua estrutura. Encontre o com-primento da linha que contorna a estrutura da pipa e verifique se a quantidade de fio é suficiente.

(Observação: utilize o espaço a seguir para efetuar os cálculos.)

33 cm

24 cm

12 cm

12 cm16 cm


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Atividade 7

A figura representa a planta de um terreno que tem a forma de um trapézio retângulo ABCD. No momento de colocá-lo à venda, o proprietário resolveu dividi-lo em duas partes, de modo que ambas tivessem a mesma área. A divisão entre os dois terrenos foi feita com uma cerca, indicada na figura por PQ, paralela ao lado AB. Encontre o perímetro do terreno ABPQ.

15 m

29 m

20 m

A

B

Q

P

D

C


44


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PRISMAS


Prismas: identificação e elementos

O prisma é um formato presente em muitas situações do cotidiano dos estudantes. A palavra prisma deriva do grego pris, que significa “serrar” e do sufixo -ma, que indica “resul-tado”. Os antigos gregos utilizavam esse termo para se referir aos pedaços de madeira que eram cortados. Nos dias de hoje, a maioria das embalagens e dos objetos com que temos contato tem essa forma.

PESQUISA DE CAMPO

Recolha, em casa ou na rua, algumas embalagens que possam ser levadas para sala de aula. Identifique se suas faces são polígonos e quantos lados elas têm. Conte o número de faces, vértices e arestas de cada embalagem. Faça, no espaço a seguir, um desenho de 3 embalagens que você observou.


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VOCÊ APRENDEU?

Diagonais de um prisma

Atividade 1

Uma caixa tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo com 4 cm de comprimento, 3 cm de profundidade e 12 cm de altura, conforme a figura ao lado. Encontre a medida do segmento AB, também chamado diagonal do prisma.

Volume de um prisma

Atividade 2

Dizemos que dois prismas são equivalentes quando têm o mesmo volume. A seguir, são dados dois prismas com diferentes formatos que compõem o projeto de uma caixa.

8 cm

8 cm

8 cm

4 cm

8 cm

(x + 10) cm

Sabendo que eles são equivalentes, determine:

a) o volume das caixas;

4

12

3

A

B


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b) a caixa cuja superfície tem a menor área.

Atividade 3

O uso de urnas eletrônicas nas eleições no Brasil é considerado um dos processos eleitorais mais modernos do mundo. Na figura a seguir, temos representada uma dessas urnas. Vamos to- má-la como um prisma cujas bases são trapézios retângulos. Na figura estão dadas as medidas de AB, AC, CD e DE. Considere, também, a diferença entre o perímetro do retângulo BDEF e o perímetro do trapézio ABDC igual a 34 cm.

A

CD

E

17 cm

21 cm

37 cm

40 cm

B

F

a) Desejando-se produzir uma capa de material plástico para cobrir a urna, necessita-se calcular a área da urna a ser coberta. Determine esta área.

(Dica: no caso, ignore a área da face apoiada sobre a mesa.)


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b) Calcule o volume ocupado por uma urna.

equipe técnica de matemática Área de matemática ... · neiras de calcular a área, tanto de...

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