equaçoes do primeiro e segundo grau

5/8/2018 equaçoes do primeiro e segundo grau - slidepdf.com

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Equações de primeiro grau(com uma variável)

IntroduçãoEquação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim qu

dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0Não são equações:4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.



Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax =b,sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Equações de 2º grauDefinições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x , toda equação da forma:

ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplo:• x 2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

• 6x 2

- x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.• 7x 2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.• x 2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax ² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de umaequação do 2º grau na incógnita x ) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x

²; b é sempre o coeficiente de x

, c é

o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e IncompletasUma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x ² - 9 x + 20 = 0 e - x ² + 10 x - 16 = 0 são equações completas.Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos

são iguais a zero. Exemplos:• x ² - 36 = 0

(b = 0)• x ² - 10 x = 0

(c = 0)• 4x ² = 0

(b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ouconjuntosolução. Exemplos:

•

Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação x ² - x - 2 = 0 ?

Solução Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto everificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1(-1)² - (-1) - 2 = 0

1 + 1 - 2 = 00 = 0

(V)

Para x = 0 0² - 0 - 2 = 0 (F)



0 - 0 -2 = 0-2 = 0

Para x = 11² - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0

-2 = 0(F)

Para x = 2

2² - 2 - 2 = 0

4 - 2 - 2 = 00 = 0 (V)

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2 p - 1) x ² - 2 px - 2 = 0.

SoluçãoSubstituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.

• Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletasResolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas

importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade:

2ª Propriedade:

1º Caso: Equação do tipo .Exemplo:

• Determine as raízes da equação , sendo .

SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .



2º Caso: Equação do tipoExemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR. Solução

De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número

positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

Resolução de equações completasPara solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo apasso a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:



Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:

• resolução a equação:

Temos

Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:• Para quais valores de k a equação x ² - 2 x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?



Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

Exemplo:• Determine o valor de p, para que a equação x ² - ( p - 1 ) x + p-2 = 0 possua raízes iguais.

Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equaçãosão número complexos.

Exemplo:• Para quais valores de m a equação 3 x ² + 6 x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?

Solução



Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

Para , a equação não tem raízes reais.

EQUAÇÕES LITERAISAs equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termosindependentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadasparâmetros.Exemplos:

ax2+ bx + c = 0 incógnita: xparâmetro: a, b, c

ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: xparâmetro: a

Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações

numéricas.Observe os exemplos:• Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

Solução3x2 - 12m2 = 0

3x2 = 12m2

x2 = 4m2

x=

Logo, temos:• Resolva a equação literal incompleta my 2 - 2aby=0,com m 0 , sendo y a variável.

Solução my 2 - 2aby = 0 y(my - 2ab)=0 Temos, portanto, duas soluções: y=0 ou

my - 2ab = 0 my = 2ab y=



Assim:

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido: my

2 - 2aby= 0

my 2 = 2aby my = 2ab

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira adivisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:Exemplo:Resolva a equação: x 2 - 2abx - 3a2 b2 , sendo x a variável.

SoluçãoTemos a=1, b = -2ab e c=-3a2 b2

Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZESConsidere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:

Observe as seguintes relações:• Soma das raízes (S )



• Produto das raízes (P )

Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicaçãodessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.SoluçãoNesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

Assim: Assim:

• Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas

raízes seja igual a 7.SoluçãoNesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

• Determine o valor de m na equação 4x 2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes sejaigual a -2.

SoluçãoNesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.

P= x 1. x 2 = -2

Logo, o valor de m é .• Determine o valor de k na equação 15x2 + k x + 1 = 0, para que a soma dos inversos de

suas raízes seja igual a 8.

Solução



Considere x1 e x2 as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a .Assim:

Logo, o valor de k é -8.

• Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0admita:

a) raízes simétricas;b) raízes inversas.

SoluçãoSe as raízes são simétricas, então S=0.

Se as raízes são inversas, então P=1.

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZESConsidere a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.Solução



A soma das raízes corresponde a:S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5

O produto das raízes corresponde a:P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14

A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes

é .Solução

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raíz

será .

Assim:

Logo, x 2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

FORMA FATORADAConsidere a equação ax2 + bx + c = 0.Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax 2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:• Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

SoluçãoCalculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:



(x-2).(x-3) = 0• Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

SoluçãoCalculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)

2

=0

• Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

EQUAÇÕES BIQUADRADASObserve as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 09x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo emx4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.Denominamos essas equações de equações biquadradas.Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 03x4 - 27 = 0

Cuidado!x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possuiexpoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADANa resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável,

transformando-a numa equação do 2º grau.Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

Seqüência prática• Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.• Resolva a equação ay2 + by + c = 0

• Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2

+ by + c = 0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dáorigem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raizreal para a mesma.Exemplos:

• Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.SoluçãoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:



y2 - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=4 e y''=9Como x2= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

• Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.SoluçãoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 + 4y - 60 = 0Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=6 e y''= -10Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade: .

• etermine a soma das raízes da equação .SoluçãoUtilizamos o seguinte artifício:

Assim: y2 - 3y = -2y2 - 3y + 2 = 0

y'=1 e y''=2Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:



Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:• resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.

SoluçãoFazendo x3=y, temos:

y2 + 117y - 1.000 = 0Resolvendo a equação, obtemos:

y'= 8 e y''= - 125Então:

Logo, V= {-5, 2 }. Composição da equação biquadradaToda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:• Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

Soluçãoa) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.

De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada.Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades: 1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a - .



3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equaçõessãoirracionais.Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-lainicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a umapotência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se asraízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracionaldada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a umapotência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

•

Solução

Logo, V= {58}.

•



Solução

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

•

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

•

Solução



Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAUObserve o seguinte problema:

Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2

. Determineas medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:2x + y = 16 1x2 +xy = 48 2



Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2xSubstituindo y em 2 , temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.x2 - 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:y'=16 - 2 . 4 = 8y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24mLargura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1

y - 3x = -1 y = 3x - 1Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3x2 - 6x2 + 2x = -3

-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAUPara resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para alinguagem matemática.

• Resolva a equação ou o sistema de equações.



• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados doproblema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .

SoluçãoRepresentamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão

representados por .

Temos estão a equação: .Resolvendo-a:

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos,obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-seque o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

SoluçãoRepresentamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y+ x.Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:



Isolando y em 1 :-x + y = 3 y= x + 3

Substituindo y em 2:xy = 18x ( x + 3) = 18x2 + 3x = 18x2 + 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'= 3 + 3 = 6y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema onúmero36 ( x=3 e y=6).Resposta: O número procurado é 36.

• uas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais quea outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

SoluçãoConsideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ªtorneira encher o tanque.Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equaçãocorrespondente:

Resolvendo-a, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )6x + 30 + 6x = x2 + 5xx2 - 7x - 30 = 0x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeuum acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse

jantar?



SoluçãoPodemos representar por:

Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15pessoas estavam presentes no jantar.

Pares ordenadosMuitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem. Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:

Indicamos por ( x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

• Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: .Exemplos

2. Dois pares ordenados ( x , y ) e (r , s) são iguais somente se x = r e y = s.

Representação gráfica de um Par OrdenadoPodemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.



Coordenadas CartesianasOs números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par.Assim:

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado em um

plano cartesiano.

Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.

A reta horizontal é o eixo das abscissas

(eixo x).

A reta vertical é o eixo das ordenadas(eixo y).

O ponto comum dessas duas retas é

denominadoorigem, que corresponde ao par ordenado

(0, 0).

Localização de um Ponto

Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

• O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.

• O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.

• No encontro das perpendiculares aos eixos x e y , por esses pontos, determinamos o pontoprocurado. Exemplo:

• Localize o ponto (4, 3).



Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3,4}.Com auxílio do diagrama de flechas ao lado

formaremos o conjunto de todos os pares

ordenados em que o 1º elemento pertença aoconjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

Logo:

Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto

de todos os pares ordenados ( x , y ) onde

Veja também:Equações de primeiro grau com duas variáveis

Gráfico de uma equação do 1º grau com duas variáveis<< Voltar para Ensino Fundamental

http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2v.php

http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2v2.php

http://www.somatematica.com.br/efund.php

http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2v.php

http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2v2.php

http://www.somatematica.com.br/efund.php

equaçoes do primeiro e segundo grau

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