Equações do 2º Grau

Ana Fraga Mota

Carmen Salvado

Elisa Mosquito

M.ª Teresa Santos

Didáctica da Álgebra

2004 / 2005

Elementos de Álgebra Augusto José da Cunha 1887 Escola Politécnica (4º e 5º

anos de liceu) actual 10º ano 52 páginas

Álgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo 1938 4º, 5º e 6º anos do liceu actual 10º ano 21 páginas

Apresentação dos Manuais Compêndio de Álgebra

Eduardo Ismael dos Santos Andrea

1924 6ª e 7ª classes actual 11º ano 26 páginas

Matemática 9 Maria Augusta F. Neves, Luís Guerreiro e Armando Neves 2004 9º Ano de escolaridade 22 páginas

Compêndio de Matemática António de Almeida Costa, Alfredo Osório dos Anjos e António Augusto Lopes

1970 9º Ano de escolaridade 17 páginas

Apresentação dos Manuais

A resolução de equações de 2º grau conduz à extracção da raiz quadrada de expressões literaes, ou numéricas, por isso, antes de expor o processo de resolução de equações, trataremos da teoria de radicaes do 2º grau.

O tema está dividido em três capítulos:

Capítulo I – Radicais do 2º grau (14 pág.) Capítulo II – Equação do 2º grau a uma incógnita ( 24

pág.) Capítulo III – Equações que se reduzem ao 2º grau ou ao

1º grau (14 pág.).

Elementos de Álgebra Augusto José da Cunha (1887)

I. Duplo valor da raiz quadrada (quantidades imaginárias)visa esclarecer o que é a raiz quadrada

I. Quadrado e raiz quadrada de monómiosoperações com monómios

II. Quadrado e raiz quadrada de polinómiosoperações com polinómios

I. Calculo dos radicaes do 2º grau simplificação de radicais operações com radicais

No final são apresentados 10 exercícios: Acha a raiz quadrada do polinómio; Simplifica a expressão; Valor de…; Demonstra as seguintes igualdades;A resposta é apresentada junto ao exercício.

Capítulo I – Radicais do 2.º Grau

Capítulo II – Equação do 2.º grau a uma incógnitaI. Resolução da equação

- definição da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, com a , b e c quantidades conhecidas;- Equações incompletas ax2 + c = 0, ax2 + bx = 0;- Resolução e discussão das soluções das equações incompletas;- Resolução da equação do 2º grau completa, quando a=1;- Resolução da equação ax2 + bx + c = 0, com a , b e c quantidades conhecidas;

- Dedução da fómula - a primeira equação resolvida com a fórmula anterior é

II. Discussão da equação- discussão das soluções em função dos valores de a, b e c.

III. Composição da equação- divisão de polinómios

IV. Propriedades do trinómio do 2º grau- trinómio do 2º grau é a expressão algébrica ax2+bx+c, com a, b e c quantidades

conhecidas;- decomposição do trinómio- aplicação às desigualdades do 2º grau.

No final são apresentados 26 exercícios: Resolve as seguintes equações; Decompor o trinómio em dois factores do 1º grau;

a

acbbx

2

42

)4)(53(122 xxxx

Capítulo III – Equações que se reduzem ao 2º ou ao 1º grauI. Equações irracionaes

- definição de equação irracional;

II. Equações biquadradas- define equação biquadrada

III. Transformações das expressões da forma

No final são apresentados 12 exercícios: Resolve as seguintes equações; Transforma a expressão.

BA

024 cbxax

O tema está dividido em dois capítulos:

- o capítulo VIII

- Equações do 2º grau a uma incógnita (6 pág.)

- Propriedades do Trinómio do 2º grau (13 pág.)

- capítulo IX

- Problemas do 2º Grau. Discussão (3pag.)

O capítulo termina com exercícios e as respectivas soluções (quatro páginas).

Compêndio de Álgebra Eduardo Ismael dos Santos Andrea (1924)

define a equação do 2º grau como sendo o trinómio ax2 + bx + c = 0, com a , b e c finitos;

Indica:

- as raízes possíveis são reais ou complexas;

- procede à dedução das raízes da equação admitindo a≠0,

A 1ª equação a ser resolvida com pela fórmula anterior é 3x2 – 5x + 2 = 0; Discute o número de raízes da equação em função do sinal de b2 – 4ac ; Enuncia as propriedades do trinómio

- sob a forma de teoremas seguidos da respectiva demonstração;

- indica a regra para se obter a expressão da equação do 2º grau quando são conhecidas as duas raízes;

- apresenta teoremas relativos à factorização do trinómio no produto de dois polinómios do 1º grau, quando as raízes são reais ou complexas ;

Capítulo VIII – Equações do 2ºgrau a uma incógnita

a

acbbx

2

4'

2

a

acbbx

2

4''

2

Estuda os valores de x que tornam positivo ou negativo o trinómio; “Discutir as raízes da equação (3γ – 1)2x2 – (2γ + 1) x + γ=0

quando varia de - a + ” A representação gráfica de uma função do 2º grau chama-se

parábola.

Exemplos de problemas cuja resolução envolvem a discussão das raízes da equação do 2º grau.

O capítulo termina com:- 36 exercícios

- aplicação da fórmula;- “Formar equações cujas as raízes são”- discutir, a priori, as equações;- estudar as raízes em função de um parametro;

- indicação das soluções;

Capítulo VIII- Equações do 2.º grau a uma incógnita

Capítulo IX- Problemas do 2.º grau. Discussão

O capítulo I “Equações e Problemas do 2º grau”

Divide-se em 2 secções:

- Equações (16 pág.)

A.Nota histórica

B.Resolução gráfica (2 pág.)

C.Resolução algébrica (14 pág.)

- Problemas do 2º grau (4 pág.)

Termina com um quadro que resume os principais tópicos a fixar na resolução de uma equação do 2º grau;

Listagem de exercícios de aplicação.

Álgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo (1938)

Capítulo I- Resolução algébrica

A transformação geométrica do polinómio (a+b)2=a2+2ab+b2 numa expressão com incógnitas;

Define equação do 2º grau a uma incógnita, completa e incompleta. Inicia a resolução das equações do 2º grau com a questão: “Por que

razão é, necessariamente, a ≠0?” Dedução da fórmula resolvente Indica “os passos” da resolução das equações do 2º grau A 1º equação que é resolvida segundo a fórmula resolvente é

Simplificação da fórmula resolvente em função dos diferentes coeficientes

Discussão do número de raízes da equação

3

2

5

1

1

3

xx

x

Define raízes imaginárias usando a resolução da equação x2 + 1 = 0; define

- números complexos;

- a representação dos números complexos no “plano de eixos”.

Capítulo I – Resolução algébrica

Apresenta 4 exemplos de exercícios de aplicação da fórmula resolvente.

“Busquemos um número cujo quadrado de metade e do seu terço,

e do seu quarto, todos juntos façam tanta soma como é o mesmo número” (Extraído do livro de Álgebra de Pedro Nunes)

Tópicos essenciais, na resolução de uma equação do 2º grau e de problemas que envolve as equações do 2º grau;

Listagem de 31 exercícios de aplicação da fórmula resolvente.

Capítulo I – Problemas do 2º Grau

O capítulo 5 “Problemas e Equações do 2º grau”

Divide-se em 2 secções:

- Equações (12pág.)

Resolução algébrica

- Problemas do 2º grau (3 pág.)

Termina com uma listagem de exercícios de revisão.

Compêndio de Matemática A. A. Costa, Afredo Osório dos A., António A.

Lopes (1970)

Inicia com a resolução de problemas e exemplos de equações do 2.º grau incompletas.

Reduz o polinómio do 1.º membro a um quadrado perfeito, aplica os casos notáveis, na resolução de equações do 2.º grau completas.

Aplica a Lei do Anulamento do Produto, colocando o 1.º membro sob a forma de um produto de dois ou mais factores.

Define equação do 2.º grau e foca os casos de c=0 e b= 0, dizendo que nestes casos são equações incompletas e mostra como proceder. Apresenta regras práticas para resolver as equações do tipo:

A primeira equação que é resolvida segundo a fórmula resolvente é

Caso “O coeficiente b=2k”.

Capítulo 5- Resolução algébrica

01526 xx

02 cx 02 bxax

apresenta 4 exemplos de problemas (2 ligados ao quotidiano e um envolvendo a Geometria), de aplicação da fórmula resolvente, no caso de serem equações do 2.º grau completas.

Finaliza esta parte com a proposta de resolução de 5 problemas:

- 2 numéricos; - 2 geométricos; - 1 quotidiano. Termina o Capítulo com uma listagem de exercícios e problemas a que denomina por ”Exercícios de revisão”. Este dividem-se em:

- inequações; - sistemas de inequações com parêntesis e denominadores; - decomposição de polinómios em factores; - resolução de equações; - resolução de problemas; - um exercício de simplificação de radicais.

Capítulo 5 – Problemas do 2º Grau

Capítulo IV: “Equações do 2º grau”

Divide-se em 4 sub-títulos:

- “Operações com polinómios. Casos notáveis da multiplicação de

polinómios. Decomposição em factores (Revisão)” (4 pág.);

- “Resolução de equações de 2.º grau incompletas.

Lei do Anulamento do Produto. (Revisão)” (4 pág.);

- “Resolução de equações do 2.º grau completas.

Fórmula Resolvente” (4 pág.);

- “Resolução de problemas do 2.º grau” (4 pág.);

Matemática 9 M.ª A. F. Neves,Luís Guerreiro e Armando

Neves (2004)

Refere os conteúdos a serem estudados;

Apresenta uma breve “Nota Histórica;

Aponta o que os alunos já devem saber:

Operar com polinómios;

Aplicar os casos notáveis da multiplicação de polinómios;

Decompor em factores um polinómio;

Resolver equações do 2.º grau incompletas. Apresenta exemplos, exercícios e problemas de revisão;

Desenvolve o conceito através da resolução de um problema, apresentando dois processos de resolução;

Refere que: “existe uma fórmula resolvente de equações do 2.º grau que permite determinar as soluções de qualquer equação do 2.º grau”.

Capítulo V- Equações do 2.º grau

Apresenta a dedução da fórmula , sob a forma de nota;

A primeira equação a ser resolvida é

Refere que: na “resolução de um problema, [deve-se] fazer um desenho ou um esquema que pode ajudar a formar uma equação que relacione os dados e a incógnita. Em seguida resolve-se a equação e interpreta-se as suas soluções”;

Apresenta a resolução de três problemas seguindo os passos sugeridos;

Sugere a resolução de problemas; “Palavras-chave/Conhecimentos e Capacidades Específicos” “Avaliação”: Propõe exercícios de avaliação de dois tipos:

“Questões de escolha múltipla” e “Questões de desenvolvimento”;

Apresenta as soluções de todos os exercícios de todos os capítulos.

Capítulo IV- Equações do 2.º grau

0372 2 xx

Os conteúdos a serem aprendidos pelos alunos e a abordagem dos

mesmos sofreu grandes alterações com a evolução do currículo da

Matemática;

Livros analisados desde 1887 até 2004;

Evolução na abordagem das equações do 2º grau:

formalismo e abstracção excessivo abordagens simples e concretas

A fórmula resolvente só aparece após uma primeira parte em que se

trabalham equações do mesmo grau mas incompletas ou completas;

Actualmente as equações do 2º grau incompletas são estudadas num ano

lectivo (8º ano), no ano seguinte introduzem-se as equações do 2º grau

completas (com o estudo da fórmula resolvente) e apenas no 10º ano é

introduzida a discussão das soluções da equação completa (binómio

discriminante), bem como o estudo dos radicais (Curriculo em espiral).

Conclusões

A relação entre as equações do 2.º grau e a função quadrática só é

abordada no livro de Ismael Andrea;

As tarefas propostas aos alunos deixaram de ter um cunho

estritamente matemático dando espaço a problemas

contextualizados em situações do quotidiano;

O grau de dificuldade dos exercícios diminui gradualmente;

A natureza do texto muda com a época em que é escrito;

Evolução gradual do aumento da letra e dos espaços utilizados

entre parágrafos; deixam de existir parágrafos numerados e

utilizam esquemas, desenhos e cores.

Conclusões

Agudo, F. D. (1938). Álgebra e Trigonometria. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco.

Andrea, E. I. S. (1924). Compêndio de Álgebra. Lisboa: Imprensa Nacional de Lisboa.

Calado, J. J. G. (1960). Compêndio de Álgebra. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco.

Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1970). Compêndio de Matemática. Porto: Porto Editora.

Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1987). Matemática Jovem. Porto: Porto Editora.

Cunha, A. J. (1887). Elementos de Álgebra. (5ª edição). Lisboa: Livraria de António Maria Pereira.

Neves, M. A. F., Guerreiro, L. & Neves, A. (2004). Matemática 9.(1ª edição). Porto: Porto Editora.

Ponte, J. P. (2004). As equações nos manuais escolares. Revista Brasileira de História da Matemática, 4(8), 149-170.

Referências Bibliográficas