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Equações Diferenciais

de 1ª ordem

ALGUMAS APLICAÇÕES

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APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL

MODELO DE MALTHUS

Problemas populacionais nos levam às perguntas:

1. Qual será a população de certo local ou ambiente em alguns anos?

2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou de ambiente para quenão ocorra a extinção de uma ou de várias espécies?

Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionadas com esteproblema, consideramos o modelo de Malthus que é um modelo de crescimentoexponencial, em que baseia-se na premissa de que uma população cresce a umataxa proporcional ao tamanho da população.

É razoável presumir isso para uma população de bactérias ou animais emcondições ideais (meio ambiente ilimitado, nutrição adequada, ausência depredadores, imunidade a doenças).

𝒕 = 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝑷 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗í𝒅𝒖𝒐𝒔 𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂çã𝒐 (𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆)

A taxa de crescimento da população é a derivada𝒅𝑷

𝒅𝒕.

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MODELO DE MALTHUS

Assim a equação que descreve a taxa de crescimento da população, que éproporcional ao tamanho da população, é dada por:

𝒅𝑷

𝒅𝒕= 𝒌𝑷

onde 𝒌 é a constante de proporcionalidade.

Esta é uma EDO linear cuja solução é dada por:

𝑷 𝒕 = 𝑷𝒐𝒆𝒌𝒕

onde 𝑷𝟎 é a população inicial, 𝑷 𝟎 = 𝑷𝟎. Portanto,

1. Se 𝒌 > 𝟎, a população cresce e continua a expandir para +∞.

2. Se 𝒌 < 𝟎, a população se reduzirá e tenderá a 𝟎. Em outras palavras seráextinta.

Observação: A longo prazo, 𝒌 > 𝟎 pode não ser adequado: o ambiente temlimitações, e o crescimento populacional é eventualmente inibido pela falta derecursos essenciais.

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ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

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Problemas de Diluição

Exemplo:

Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 20 gramas de sal. Noinstante 𝑡 = 0, começa-se a deitar (derramar) no tanque água pura à taxa de 5litros por minuto, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesmataxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante 𝑡.




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Circuitos Elétricos

A equação básica que rege a quantidade de corrente I(em ampères) em umcircuito simples do tipo RL (Fig. I), consistindo de uma resistência R (emohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (emvolts) é

𝒅𝑰

𝒅𝒕+𝑹

𝑳𝑰 =

𝑬

𝑳




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Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência R, um capacitor C (emfarads), uma força eletromotriz E, e sem indutância (Fig. II), ligados emsérie. A equação que rege a quantidade de carga elétrica 𝑞 (em coulombs) nocapacitor é

𝒅𝒒

𝒅𝒕+

𝟏

𝑹𝑪𝒒 =

𝑬

𝑹




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Exemplo:

Um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1henry. A corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t.



Exercícios de Aplicações

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1. Um corpo à temperatura de 50°F é colocado ao ar livre, onde atemperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 min. a temperatura do corpo é de60°F, determine:

a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75°F; R: 15,4 min.

b) a temperatura do corpo após 20 min. R: 79,5°F.

2. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quartomantido à temperatura constante de 30°F. Se, após 10 min, a temperatura docorpo é 0°F e após 20 min é 15°F, determine a temperatura inicial. R: −30°F.

3. Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 1 grama desal. No instante t=0 , adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de salpor litro, à razão de 3 litros por min, enquanto a mistura resultante se escoaà mesma taxa.

Determine:

a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t;𝑹:𝑸 𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟗𝟗𝒆−𝟎,𝟎𝟑𝒕

a) o instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal.R:0,338 min

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