Equações de movimento com aceleração constante

s = s0 + v0t + ½ a t2

v= v0 + a t

a= cte

até agora, a partir de x(t) calculamos a velocidade média, e a velocidade

instantanea

e o problema inverso: sabemos a velocidade v(t), podemos descobrir a distância

percorrida? Imagine alguém anotando de minuto em minuto a velocidade dada

pelo velocimetro

caso simples: v=constante x=x0 + v t

o problema inverso

a distância percorrida podea distância percorrida pode

ser representada pela área

em baixo da curva!

o veículo anda com velocidade v1 entre t1 e t2

e com velocidade v2 entre t2 e t3

distancia percorrida= v1 (t2-t1) + v2 (t3-t2)

=soma das áreas em baixo ada curva

v(t)

V

v1

v2

t1 t2 t3

e quando a velocidade varia de forma contínua? v1 Δt + v2 Δt + v3 Δt.......

Σ v(t)Δt =área embaixo da curva

∫ dttv )(

i

t1

t2o simbolo Σ se transformou em ∫

∫ dttv )(t1

t2V é o integrando ( a funçãoque está sendo

integrada

t é a variável de integração

t1 e t2 são os limites de integração

Caso simples de integração: v=constante

um motorista se desloca com velocidade constante entre

t1 e t2, qual a distância percorrida?

i

∫ ∫=

2

1

2

1

t

t

t

t

dtvvdt

t1 e t2, qual a distância percorrida?

se v=cte, posso colocá-lo do lado de fora da integral

da mesma forma que numa somatória, se aparece

uma constante que multiplica cada termo, posso por

em evidência

Σ v Δt = vΣ Δt = v (t2-t1)

∫1

2

t

t

dtsignifica: somatória de todos os pequenos elementos dt

no intervalo entre t1 e t2, o que á a mesma coisa que o

próprio intervalo t2-t1

= t2 –t1

][2

1t

t

t

escreve-se também assim: o valor

da integral definida é igual à diferença

do valor da função integral

(t, neste exemplo) entre os dois limites

=

(t, neste exemplo) entre os dois limites

de integração (t2 e t1, neste exemplo)

Porque costuma-se dizer que derivar e integrar são operações

contrárias? Vamos calcular a integral da derivada da função x(t),

usando a moda antiga, com intervalos grandes

a derivada de x(t) pode ser aproximada por =V

t

x

∆

∆

t

f(t)

t0

A(t)

A(t) é uma função de t, vamos por curiosidade calcular a derivadaA(t) é uma função de t, vamos por curiosidade calcular a derivada

derivada = [A(t+∆t) –A(t)] / ∆t

O incremento de área é a área do pequeno trapézio,

altura f(t) , largura ∆t , área f(t) × ∆t

derivada = (f(t) × ∆t) / ∆t = f(t)

para calcular a distância percorrida, faço a somatória dos pequenos

espaços percorridos, cada um com uma velocidade vi

x(t) = estamos integrando a função v(t)∑ ∆

i

itv

t

xv

i

i

∆

∆=mas v é uma derivada: t

t

xi∆

∆

∆

∑∆

i

ixentão x(t) = =x voltamos à função original

não seria difícil ver que fazendo a derivada da função integral,

também voltamos à função original

conclusão: se eu sei que a derivada de uma função x(t) é uma

função x´ (t), a integral de x´ (t) volta para x(t)

problema: vamos examinar o caso de uma velocidade que cresce linearmente

com o tempo (se a velocidade varia, o movimento é acelerado)

v(t)= at +b

esta é a equação de uma reta

como apresentada na figura ao lado

v1= a t1 +b

v2 = a t2 + b b=valor de v para t=0

descubra qual o erro na figura

área do trapézio:área do trapézio:

½ (v1 + v2) (t2-t1) certo?

Vmédio = ½ (v1 + v2) = ½(a t1 +b + a t2 + b) = 1/2a(t1 +t2) + b

x(t2) – x(t1) = distância percorrida= Vmédia x (t2-t1)=

½ a (t2-t1)2 + b (t2-t1)

chamando t1=0, t2=t, c= posição no instante zero, conseguimos a equação horária

x(t) = ½ at2 + bt +c

dt

dx?

Aceleração

t

v

tt

tvtv

∆

∆=

−

−

12

)1()2(aceleração média=

um carro é capaz de acelerar de 0 a 120 km/hora em 10 sum carro é capaz de acelerar de 0 a 120 km/hora em 10 s

v(final)= 120000/3600= 33.3 m/s

aceleração média= 33.3 m/s / 10s =3.33 m/s2

essa é a unidade de aceleração

aceleração é positiva quando v cresce, negativa quando decresce.

quando ∆t tende a zero

2

2

dt

xd

dt

dt

dxd

dt

dv==

dt

dv

t

v⇒

∆

∆

nova

notação

observe ponto

por ponto a relação

entre variação de

posição e velocidade

!!freando

Integração da aceleraçãoIntegração da aceleração