2 Equações de Movimento - Fase Contínua

Ao contrário do escoamento monofásico, a fase contínua de um escoamento multifásico disperso

contém partículas, gotas ou bolhas numa configuração geométrica dispersa. Sob o aspecto ideal,

seria desejável resolver as equações de movimento (continuidade, quantidade de movimento e

energia) da fase contínua levando-se em consideração as condições de contorno impostas por

cada uma das partículas (gotas ou bolhas) no campo de solução. Isso permitiria uma descrição

completa da fase transportadora. Com o advento de sistemas computacionais extremamente

rápidos, soluções têm sido obtidas para algumas configurações simples e números de Reynolds

baixos, na faixa de regime de Stokes.

Na prática, estamos muito distantes ainda de soluções tão completas. Para contornar

essa dificuldade, escoamento multifásicos dependem de análises que utilizam o cálculo de

valores médios espaciais e temporais. Sob diversos aspectos, a metodologia guarda semelhança

com o procedimento adotado nos estudos de turbulência.

Neste capítulo serão obtidas as três equações diferenciais fundamentais de conservação

para a fase contínua do escoamento multifásico. Detalhes da utilização de médias não serão

mostrados, enquanto as equações são válidas para um número arbitrário de componentes

presentes no escoamento.

Escoamento Unidimensional

O escoamento unidimensional é definido quando este ocorre numa única direção e variações das

variáveis na seção transversal são ignoradas. Em geral o escoamento pode ser aplicado para um

duto com paredes paralelas ou levemente convergentes. A Fig. 2.1 mostra um volume de controle

para esta situação para o caso particular da fase contínua com dois componentes N1 e N2 e um

componente disperso (poderiam ser mais). A superfície de controle pode ser subdividida em duas

partes: superfícies nas seções 1 e 2, e ao longo da parede e das superfícies das partículas (gotas

ou bolhas) localizadas no interior do volume de controle. A velocidade da fase contínua N é

definida como uN; portanto, na forma mais geral, cada componente pode ter velocidade distinta

dos outros componentes. A velocidade da fase dispersa é v e a transferência de massa dessa para

a fase transportadora é mD, enquanto as pressões nas seções 1 e 2 são representadas por p1 e p2.

Partículas podem estar nos contornos 1 e 2 e o número total de partículas no volume de controle

2.1

Figura 2.1 Volume de controle para escoamento unidimensional com dois componentes contínuos e um

disperso.

é np. Neste mesmo volume, o número de partículas ocupadas no componente N é npN onde temos

npN = npáN /áC. Lembre-se que para dois componentes.

2.1 Equação de Continuidade

Para a continuidade vamos obter inicialmente a equação para um escoamento disperso

tridimensional, como utilizado no modelo de dois fluidos, por exemplo. Para tanto, admitiremos

que um volume elementar seja escolhido como um cubo unitário com eixos paralelos às direções

x1, x2, x3, Fig. 2.2.

Figura 2.2 Elemento de fluido mostrando fluxo de massa para o componente N para a direção x2.

Duas outras expressões para as direções x1 e x3 também existem, embora não indicadas.

2.2

O fluxo de massa de um componente N da fase contínua por uma das faces perpendicular à

direção-xi (i= 1,2,3) é dado por ñN jNi e a equação de conservação de massa para o componente

N requer que

onde ÃN é taxa de transferência de massa das partículas (fase dispersa) para o componente N, por

unidade de volume. Essa transferência resulta em geral de um processo de mudança de fase ou

de reação química, podendo ainda representar um ponto de alimentação (fonte) no campo do

escoamento. ÃN negativo significa que massa é absorvida pelo componente N, como no processo

de evaporação da fase dispersa. Claramente ÃN refere-se ao termo de acoplamento de massa entre

as fases contínua e dispersa que tratamos no capítulo anterior.

Evidentemente existe uma equação de continuidade para cada fase ou componente

presente no escoamento. Elas devem ser identificadas como equações de continuidade

individuais. Assim (2.1.1) representa a equação para cada um dos componentes presentes na fase

contínua, aqui identificados genericamente por N. Por outro lado, o fluxo de massa de cada

partícula-k é representado por e assim o fluxo para todas as partículas np ocupando um volume

V é dado por . Logo a transferência de massa para a fase contínua é

onde é a fração da transferência de massa das partículas para o componente N, enquanto

ÃN representa a taxa de transferência de massa para o componente N, por unidade de volume.

A soma das equações de continuidade de todos os componentes torna-se então

ou, utilizando as Eqs. (1.1.11) e (1.1.22)

(2.1.1)

(2.1.2)

(2.1.3)

(2.1.4)

2.3

(2.2.1)

Observe que para velocidades relativas nulas onde uNi = ui esta equação reduz-se à forma da

equação de continuidade de mistura homogênea, análoga à equação de continuidade para

escoamento monofásico

Para o caso particular de escoamento unidimensional no interior de um duto, a equação

de continuidade individual para cada componente torna-se

onde x é a coordenada ao longo da linha de centro do duto, A(x) é a área da seção transversal,

áN e uN a fração volumétrica e a velocidade, médias na seção transversal e ÃN a taxa de

transferência de massa para a fase N por unidade de volume do duto.

Por último, devemos destacar a situação em que dois componentes estão intimamente

misturados, como no caso de mistura de gases difusos um no outro. Neste caso os dois gases

ocupam todo o volume, as frações volumétricas tornam-se unitárias, e a equação de continuidade

reduz-se a

2.2 Equação de Quantidade de Movimento

A aplicação do teorema de transporte de Reynolds, Anexo-B, para um volume de controle

conforme Fig. 2.1, expressa o balanço de forças e de variação de quantidade de movimento na

forma

(2.1.5)

(2.1.6)

(2.1.7)

2.4

(2.2.2)

(2.2.3)

(2.2.4)

(2.2.5)

onde as velocidades são relativas a um referencial fixo, como a parede do duto, caso este

permaneça imóvel (não oscilando ou vibrando, por exemplo). Admitindo fluxo de massa

uniforme na superfície das partículas a equação na forma discreta torna-se

onde V é o volume do volume de controle e vk a velocidade e o fluxo de massa de cada

partícula. Note que se a partícula evapora ( ), então a massa flui para a fase contínua e o

sinal do último termo é negativo. Se todas as partículas deslocam-se na mesma velocidade uD e

evaporam (condensam) à mesma taxa, , então tem-se

onde é a fração da transferência de massa das partículas para o componente N da fase

contínua; ou seja, .

As forças atuando sobre o sistema são devido à pressão no contorno, à tensão cisalhante

na parede, ao arraste devido à fase dispersa, e de corpo, como a da gravidade. Analisemos cada

uma dessas separadamente.

Forças de pressão

Considerando uma seção variável como mostrado na Fig. 2.1, a resultante das forças

devido à pressão atuando sobre o contorno externo é

onde = 0.5(p1+p2) é a pressão média atuando sobre a parede, ÄAx= A2 - A1 e Äxp= p2 - p1.

Forças de tensão cisalhante e gravidade

As forças devido à tensão cisalhante atuando sobre a parede e à gravidade são,

respectivamente

2.5

(2.2.6)

(2.2.7)

(2.2.8)

(2.2.9)

(2.2.10)

onde áN é a fração volumétrica do componente N e è o ângulo que o duto faz com a horizontal.

Forças de arraste

Admitindo que todas as partículas deslocam-se à mesma velocidade uD , a força devido

ao arraste atuante sobre o componente N é

onde o último termo é a resultante da força sobre a partícula devido ao gradiente de pressão (ver

Apêndice-A.2). Ou seja, a força total devido ao gradiente de pressão sobre as partículas é

onde np,N e áD,N representam, respectivamente, o número de partículas e a fração volumétrica

ocupada pelas partículas (fase dispersa) no volume ocupado pelo componente N. Ou seja

Forças sobre a superfície de controle

Portanto, a integral das forças ao longo da superfície de controle (incluindo aquela

definida por cada uma das partículas) é a soma de (2.2.4) e (2.2.7) ou

O primeiro termo da Eq. (2.2.6) pode ser ainda reescrito como

com âd,N e ôm (cf. também Apêndice A)

2.6

(2.2.11)

(2.2.12)

(2.2.13)

Levando as equações de força em (2.2.3), dividindo pelo volume V e tomado o limite äx 6 äx’

(äx’ uma distância pequena), obtemos a equação diferencial para a quantidade de movimento

para o componente N

onde Dh,N= 4A/PN é o diâmetro hidráulico do duto (A é a área da seção transversal do duto e PN

o perímetro molhado pelo componente N) e é taxa de transferência de massa para

o componente N, por unidade de volume. Lembrando que ÃN negativo significa que massa é

absorvida pelo componente N, como no processo de evaporação da fase dispersa e ÃN > 0 para

condensação da fase dispersa. Os termos fonte de quantidade de movimento devidos à fase

dispersa são representados pela fonte de massa [ÃN uD] (fluxo de quantidade de movimento para

a fase contínua na superfície de controle em torno de cada partícula) e o arraste hidrodinâmico

[âd,N (uN-uD)] (variação de quantidade de movimento devido à resistência ao arraste de cada

partícula).

2.2.1 Equação de Quantidade de Movimento para a Fase Contínua (Combinada)

Se a equação de quantidade de movimento (2.2.12) para cada componente for somada, a equação

combinada para a fase contínua, admitindo velocidades iguais dos componentes N, i.e., uC= uN,

tem-se

2.7

(2.3.1)

(2.3.2)

(2.3.3)

(2.3.4)

onde o subscrito C refere-se à fase Contínua. Por definição, para um parâmetro genérico ö temos,

öC= 3öN (v.g., ÃC= 3ÃN) e âd é dado pela Eq. (2.2.11), substituindo áD,N por áD = 1-áC. Logo,

2.3 Equação de Energia

Do teorema de transporte de Reynolds, Anexo-B, para um volume de controle conforme Fig. 2.1,

a equação de energia (primeira lei da Termodinâmica) pode ser escrita como

onde Q é o calor transferido para o sistema, enquanto W é o trabalho executado pelo sistema. A

energia por unidade de massa pode ser de vários tipos

Desconsiderando qualquer outra forma de energia que não as três primeiras, tem-se

Onde iN é a energia interna específica do componente N e z a elevação da linha de

centro do duto. Energia é transportada pelas seções 1 e 2, assim como pelas superfícies de

controle ao redor das partículas. Trabalho é realizado pelas superfícies em escoamento, tanto nas

seções 1 e 2 quanto naquelas circundando as partículas. Trabalho é também realizado pelas forças

de arraste atuantes sobre as partículas, assim como pelas forças de corpo, como a gravidade. Não

há trabalho associado às tensões cisalhantes na parede devido à condição de não-deslizamento

(V= 0). Calor é transferido pelas superfícies de controle, pela parede e partículas com a fase

contínua. Analisemos cada um desses termos separadamente.

De novo, a forma discreta da equação de energia assume a forma

2.8

(2.3.5)

(2.3.6)

2.3.1 Trabalho

Trabalho de fluxo (pressão)

O trabalho realizado pelas forças de pressão ocorre somente na superfície. Todo

trabalho nas partes internas do sistema (dentro do volume de controle) cancelam-se mutuamente,

resultando num valar nulo. Ele é obtido pela integral das forças de pressão atuando sobre uma

pequena área vezes a componente da velocidade na superfície de controle, isto é

Vejamos como esta expressão aparece. Consideremos o escoamento entrando num

volume de controle conforme sugerido na Fig. 2.3. Enquanto o fluido se desloca existe uma

pressão atuando sobre a superfície de entrada do volume de controle que, por sua vez, empurra

o fluido à sua frente. O resultado é que enquanto a massa de fluido entra no volume de controle

esta realiza trabalho devido ao deslocamento. De forma análoga, o fluido saindo do volume de

controle empurra o exterior à sua frente produzindo trabalho sobre ele; i.e. trabalho produzido

pelo volume de controle sobre o exterior. A velocidade e a área correspondente a um certo

volume, entrando no volume de controle, permite relacionar o fluxo de massa com o volume

específico, í. Ou seja, a taxa de trabalho realizado sobre o volume de controle (entrando, portanto

negativo) é então

(a) (b)

Figura 2.3 (a) Trabalho realizado sobre o sistema na entrada e saída do volume de controle; (b) Tensões

devidas à viscosidade na superfície da saída do volume de controle, realizam trabalho dissipativo.

2.9

(2.3.7)

(2.3.8)

(2.3.9)

(2.3.10)

O trabalho total realizado pela pressão é então a integral sobre a superfície de controle

Além das forças de pressão, existe o trabalho devido às forças viscosas, que também

atuam sobre a superfície, consistindo da integral do produto de cada uma das componentes da

tensão (uma normal e duas cisalhantes, Fig. 2.3b) e a respectiva componente da velocidade. Note

que o trabalho é dissipativo, portanto, tem sinal contrário daquele realizado pela pressão. Por

exemplo, na Fig. 2.3a a energia é adicionada ao sistema, portanto tem sinal negativo. Para toda

superfície de controle tem-se então para as tensões devidas à viscosidade (não inclui a pressão,

um componente das tensões normais)

onde ô é o tensor atuando na superfície dA, Fig. 2.3b. Este termo pode ser nulo ou não,

dependendo do tipo particular de superfície. Assim tem-se

P Superfície sólida. Para todas as partes de uma superfície sólida que definem uma

parede, a velocidade é nula (V= 0), portanto, o trabalho é nulo.

P Superfícies de entrada ou saída. Em geral, nas superfícies de entrada e saída o

escoamento tende a ser aproximadamente normal ao elemento dA; logo, o único trabalho provém

da tensão normal. Uma vez que tensões viscosas normais são extremamente pequenas, costuma-

se desprezar o trabalho viscoso nas entradas e saídas do volume de controle.

Assim, o termo trabalho na Eq. (2.3.1) resume-se a

Portanto, a expressão para o trabalho de pressão na forma discreta assume a forma

2.10

(2.3.11)

(2.3.12)

Evidentemente o primeiro termo é devido ao escoamento da fase contínua, enquanto o segundo

ao movimento das partículas, que se deslocam à uma velocidade diferente.

Trabalho de fluxo de massa nas superfícies das partículas

O trabalho devido ao fluxo de massa pelas superfícies das partículas é

onde o subscrito sp significa condições na superfície da partícula. Se a partícula estiver

evaporando, trabalho estará sendo realizado sobre a fase contínua (componente N) e o sinal de

(2.3.11) é negativo, que está aqui representado corretamente, uma vez que mD é negativo.

Conseqüentemente, este trabalho, sobre a fase contínua, será negativo para um processo de

evaporação da fase discreta, positivo para o caso de condensação.

Trabalho de variação de volume das partículas

A variação de volume das partículas também realiza trabalho sobre a fase contínua

Note que, para uma variação de volume positivo com o tempo, dVp/dt > 0, o trabalho sobre a fase

contínua será negativo (o produto escalar da velocidade (de expansão da fase dispersa) com a

força de pressão na área da superfície de interface entre a partícula e a fase contínua será

negativo). Para dVp/dt < 0, o trabalho realizado pela fase contínua sobre a fase discreta será

positivo (trabalho realizado pelo sistema para o exterior é positivo, de acordo com a 1a. lei da

Termodinâmica).

A Fig. 2.4 mostra em detalhe os processos da evolução do fluxo de massa da partícula

para a fase dispersa numa evaporação e do fluxo volumétrico da partícula para fase dispersa.

Observe que a os elementos de área nas integrais das equações (2.3.5) e (2.3.12) apontam para

dentro da partícula, as áreas na superfícies de contorno da fase contínua são assim positivas e o

produto escalar com o vetor velocidade é negativo.

2.11

(2.3.13)

(2.3.14)

(2.3.15)

Figura 2.4 (a) Elemento de fluido mostrando fluxo de massa da partícula para a fase contínua; (b) fluxo

volumétrico (variação de volume) da fase dispersa. Vetores de áreas e velocidades em sentidos opostos;

portanto, trabalhos sobre a fase contínua é negativo nos dois casos.

Trabalho das forças de arraste das partículas

O trabalho associado à força de arraste é simplesmente o produto desta, Eq. (2.2.6), e

a velocidade da partícula, i.e.

Combinação das equações

Podemos combinar diversas dessas equações procurando relações mais adequadas, num

procedimento similar àquele realizado na equação de quantidade de movimento. Iniciemos pela

equação (2.3.9). A partir das relações (2.2.7) e (2.2.10) obtém-se

portanto, de (2.3.9)

2.12

(2.3.16)

(2.3.17)

(2.3.18)

(2.3.19)

Levando essas expressões em (2.3.1) e (2.3.4)

Combinando o segundo termo do LE com o segundo do LD, o terceiro do LD com o sétimo do

LD e o terceiro do LE como quarto do LD, a equação de energia total torna-se

onde hN= iN+p/ñN é a entalpia do componente N, hsD a entalpia na superfície de controle

circundando a partícula, âd,N é definido em (1.2.60) e a energia potencial gravitacional aparece

no lado direito da equação após combinação de (2.3.16) com a equação de continuidade (2.1.6)

e (2.3.3).

2.3.2 Transferência de Calor

Calor é transferido no volume de controle pelas seções 1 e 2, das partículas para o fluido e pela

parede. Ou seja

ou, na forma discreta,

onde, da lei de Fourier para transferência de calor por difusão molecular

2.13

(2.3.20)

(2.3.21)

(2.3.22)

(2.3.23)

(2.3.24)

km é a condutividade térmica da mistura entre as fases contínua e discreta. Por outro lado, a

transferência de calor pela parede pode ser calculada pela equação

finalmente, a troca de calor por convecção entre partícula e fluido é obtida conforme sugerido

em (1.2.8)

onde

Na totalidade das aplicações a transferência de calor por condução pelas seções 1 e 2 (2.3.19)

é muito pequeno quando comparado com a troca de calor na parede, podendo ser ignorado. Note

que ôt e ft estão também definidos em (1.2.10) e (1.2.11).

Levando as equações de transferência de calor em (2.3.13), dividindo pelo volume V

e tomado o limite äx 6 äx’ (äx’ uma distância pequena), obtém-se a equação diferencial para a

energia total

onde nN = np,N /V é o número de partículas por unidade de volume, ou densidade de partículas.

2.14

(2.3.25)

(2.3.26)

2.3.3 Equação de Energia Térmica

A equação de energia térmica é obtida subtraindo a energia mecânica da energia total. Por sua

vez, a energia mecânica é obtida multiplicando a equação de quantidade de movimento (2.2.12)

pela velocidade; no caso presente, por uN. Após esta operação, e utilizando ainda a equação de

continuidade (2.1.6), a equação de energia térmica para o componente N assume a forma

Como já mencionado, alguns desses termos podem ser desprezados para aplicações específicas.

Os termos fonte (todos por unidade de volume), devidos à presença da fase dispersa podem ser

facilmente identificados, ou seja, (a) acréscimo de energia devido à força de arraste [âd,N(uN-uD)2]

(sempre positivo, representando um termo irreversível, de transformação de energia mecânica

em calor); (b) perda de energia devido ao trabalho realizado sobre a fase dispersa [nN pspdVp/dt].

O termo associado ao atrito viscoso no escoamento, PN uNôw, é sempre positivo, representando

o trabalho realizado no fluido pelas forças viscosas; (c) e o termo [âT,N (TN-TD)], que reflete a

transferência de calor entre as fases dispersa e contínua. Os outros termos estão presentes em

escoamentos monofásicos. O termo associado ao atrito viscoso pode ser escrito em função da

equação de Darcy-Weisbach (um termo irreversível)

Observe-se que o segundo termo do lado direito da equação [-pL•(áDuD)] pode ser positivo ou

negativo, dependendo se a fase dispersa está expandindo ou contraindo; representa então um

modo reversível de troca de energia. Uma expansão tenderá a resfriar o fluido, enquanto uma

contração provocará efeito contrário, um aquecimento.

2.3.4 Equação de Energia Térmica para a Fase Contínua (Combinada)

Como nas situações anteriores para a continuidade e quantidade de movimento, a soma das

equações de energia térmica (2.3.25) para cada componente produz a equação combinada para

2.15

(2.3.27)

a fase contínua. Admitindo que as velocidades e as temperaturas dos diversos componentes sejam

iguais, ou seja: uC= uN e TC= TN para todos N. A equação de energia combinada torna-se então

tendo sido utilizado a igualdade .

Conforme definido na análise da equação combinada para a quantidade de movimento, para um

parâmetro genérico ö utilizamos a notação, öC= 3öN (v.g., ÃC= 3ÃN). O parâmetro ât é dado por

Eq. (2.3.23), tendo áD,N sido substituído por áD = 1-áC, uma vez que para o sistema

combinado

2.16

Exercícios

Exercício-2.1 Obter as equações do Texto: 2.2.4, 2.2.10, 2.2.12.

2.17