equação de estado dos gases perfeitos

Estudo da Equação de Estado dos Gases Perfeitos

1

Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL

Resumo

Este trabalho experimental tem como objectivo estudar o comportamento de um

gás ideal aquando da variação das suas propriedades termodinâmicas, nomeadamente a

pressão e a temperatura, propriedades intensivas, e o volume, propriedade extensiva.

Para uma determinada quantidade, constante, de gás (ar), pretende-se estudar a

relação entre Pressão e Volume sem se fazer variar a Temperatura, determinando esta

relação para diferentes temperaturas é possível verificar experimentalmente a equação

de estado dos gases perfeitos. Assim como verificar a lei de Boyle-Mariotte.

Introdução

O estado de um gás é determinado a partir das suas variáveis de estado:

temperatura T, pressão P, volume V e a quantidade de substância n. Em caso extremo,

pode-se recorrer ao modelo de um gás ideal, um modelo teórico, no qual o gás obedece

com grande exactidão à seguinte equação:

𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻

nas quais, P a pressão expressa-se em pascal (Pa), V o volume em metros cúbicos (m

3),

T temperatura em Kelvin (K), n o número de moles do gás em mol e R a constante

universal dos gases perfeitos em JK-1

mol-1

.

A partir da equação dos gases ideais, podem-se obter várias leis, das quais

destacamos a lei de Boyle-Mariotte, quando se consideram mudanças de estado

particulares.

No século XVII o inglês Robert Boyle observou que um volume de um gás é

inversamente proporcional à pressão a que está submetido, quando a temperatura

permanece constante, sendo formulada assim a Lei de Boyle-Mariotte:

𝑷. 𝑽 = 𝑪te


2


Implementação Experimental

1. Registou-se os valores de pressão atmosférica e de temperatura no interior do

laboratório, utilizando um barómetro e um termómetro, respectivamente;

2. Verificou-se que todos os aparelhos e objectos intervenientes no procedimento

experimental estavam nos conformes;

3. Ligou-se o termóstato a uma temperatura de 24°C e aguardou-se a sua

estabilização e procedeu-se ao seu registo;

4. Foi escolhido um valor para o comprimento da coluna de ar, l, de 227 mm e

procedeu-se à leitura dos valores do desnível no tubo manométrico, Δh;

5. Reduziu-se o valor de l de 10 em 10 mm até atingir 97 mm, repetindo o

procedimento anterior;

6. Fez-se variar a temperatura do termóstato, até obter os valores de temperatura:

24,31, 38, 44, 51, 58 °C, repetindo as etapas 4 e 5.

NOTA: Para todas as medidas que foram efectuadas registou-se os erros associados aos

respectivos aparelhos de medida.

Legenda

1. Tripé

2. Suporte alumínio

2.1. Régua graduada

3. Recipiente de medida

3.1. Tubo de medida

3.1.1. Tubuladura

3.2. Tubo envolvente

3.2.1. Tubuladura

3.2.2. Tubuladura

3.2.3. Orifício para termómetro

4. Reservatório de mercúrio

4.1. Patim

4.2. Tampa de borracha

4.3. Suporte

5. Mangueira

5.1. Suporte

5.2. Suporte


3


Cálculos e Resultados

Cálculo do Volume

Em primeiro lugar procedeu-se ao cálculo do volume da coluna de ar, para cada

valor de l. Para tal utilizou-se a expressão a seguir indicada:

𝑉 = 𝑉l + 𝑉R = 𝜋 𝑑

2

2

∗ 𝑙 + 𝑉R

𝑑 = 11,4 𝑚𝑚

𝑉R = 1,01 ∗ 10−3 𝑑𝑚3

𝑉(𝑐𝑚3) = 𝜋 1,14

2

2

∗ 𝑙 × 0,1 + 1,01

onde VR corresponde ao volume do topo do tubo que contém ar e que apresenta cor

acastanhada e d é o diâmetro do tubo.

Cálculo da Pressão

Em seguida procedeu-se ao cálculo da pressão P do ar existente no interior do

tubo. Para tal recorreu-se à seguinte expressão:

𝑃 (𝑚𝑚𝐻𝑔) = 𝑃atm + 𝛥ℎ

𝑃 𝑃𝑎 = 𝑃 𝑚𝑚𝐻𝑔 ∗ 𝜌𝐻𝑔𝑔

𝜌Hg = 13,590 𝑘𝑔. 𝑑𝑚−3

𝑔 = 9,807 𝑚𝑠−2

𝑃atm = 758,1 ± 0,05 𝑚𝑚𝐻𝑔

𝑃 𝑃𝑎 = 𝑃 𝑚𝑚𝐻𝑔 × 10−3 ∗ 13590 𝑘𝑔. 𝑚−3 ∗ 9,807 𝑚𝑠−2

Cálculo do PV

PV traduz o produto entre a pressão P em Pa e o volume V em m3.

Cálculo de PV − PV

PV − PV traduz -se no desvio em relação à média de PV, PV .


4


Tratamento de Resultados

θ = 24°C

l (mm) Δh mmHg V (cm3) P (mmHg) P (Pa) PV (Pa.m3) 𝑷𝑽 − 𝑷𝑽 (Pa.m3)

227 -360 24,180 398,100 53057,625 1,283 0,377

217 -290 23,159 468,100 62387,025 1,445 0,215

207 -263 22,139 495,100 65985,507 1,461 0,199

197 -238 21,118 520,100 69317,435 1,464 0,196

187 -208 20,097 550,100 73315,749 1,473 0,187

177 -180 19,076 578,100 77047,509 1,470 0,190

167 -106 18,056 652,100 86910,016 1,569 0,091

157 -67 17,035 691,100 92107,825 1,569 0,091

147 -16 16,014 742,100 98904,958 1,584 0,076

137 33 14,994 791,100 105435,538 1,581 0,079

𝑃𝑉 = Valor médio de PV = 1,4899 Pa. m3

∆ 𝑃𝑉 = Valor médio PV − PV = 0,1702447 Pa. m3

𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,5 ± 0,17 Pa. m3

θ = 31°C


227 -295 24,180 463,100 61720,639 1,492 0,168

217 -270 23,159 488,100 65052,567 1,507 0,154

207 -243 22,139 515,100 68651,050 1,520 0,140

197 -216 21,118 542,100 72249,532 1,526 0,134

187 -187 20,097 571,100 76114,569 1,530 0,130

177 -160 19,076 598,100 79713,051 1,521 0,139

167 -132 18,056 626,100 83444,811 1,507 0,153

157 -90 17,035 668,100 89042,451 1,517 0,143

147 -51 16,014 707,100 94240,259 1,509 0,151

137 5 14,994 763,100 101703,778 1,525 0,135



𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,5 ± 0,14 Pa. m3


5


θ = 38°C


227 -278 24,180 480,100 63986,350 1,547 0,113

217 -258 23,159 500,100 66651,893 1,544 0,117 207 -237 22,139 521,100 69450,712 1,538 0,123

197 -207 21,118 551,100 73449,026 1,551 0,109

187 -175 20,097 583,100 77713,895 1,562 0,098 177 -152 19,076 606,100 80779,268 1,541 0,119

167 -110 18,056 648,100 86376,908 1,560 0,101

157 -72 17,035 686,100 91441,439 1,558 0,102 147 -30 16,014 728,100 97039,078 1,554 0,106

137 23 14,994 781,100 104102,766 1,561 0,099



𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,6 ± 0,11 Pa. m3

θ = 44°C


227 -270 24,180 488,100 65052,567 1,573 0,087

217 -250 23,159 508,100 67718,110 1,568 0,092

207 -226 22,139 532,100 70916,761 1,570 0,090

197 -200 21,118 558,100 74381,966 1,571 0,089

187 -167 20,097 591,100 78780,112 1,583 0,077

177 -140 19,076 618,100 82378,594 1,571 0,089

167 -104 18,056 654,100 87176,571 1,574 0,086

157 -62 17,035 696,100 92774,210 1,580 0,080

147 -18 16,014 740,100 98638,404 1,580 0,080

137 37 14,994 795,100 105968,646 1,589 0,071



𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,6 ± 0,08 Pa. m3


6


θ = 51°C


227

217 -240 23,159 518,1 69050,881 1,599 0,061

207 -212 22,139 546,1 72782,641 1,611 0,049

197 -185 21,118 573,1 76381,123 1,613 0,047

187 -155 20,097 603,1 80379,437 1,615 0,045

177 -127 19,076 631,1 84111,197 1,605 0,056

167 -90 18,056 668,1 89042,451 1,608 0,052

157 -47 17,035 711,1 94773,367 1,614 0,046

147 0 16,014 758,1 101037,392 1,618 0,042

137 58 14,994 816,1 108767,466 1,631 0,029



𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,6 ± 0,05 Pa. m3

θ = 59°C

l (mm) Δh mmHg V (cm3) P (mmHg) P (Pa) PV (Pa.m3) |PV - PV| (Pa.m3)

227 -260 24,180 498,100 66385,338 1,605 0,055

217 -225 23,159 533,100 71050,038 1,645 0,015

207 -200 22,139 558,100 74381,966 1,647 0,013

197 -170 21,118 588,100 78380,280 1,655 0,005

187 -140 20,097 618,100 82378,594 1,656 0,005

177 -105 19,076 653,100 87043,294 1,660 0,000

167 -65 18,056 693,100 92374,379 1,668 0,008

157 -20 17,035 738,100 98371,850 1,676 0,016

147 28 16,014 786,100 104769,152 1,678 0,018

137 82 14,994 840,100 111966,117 1,679 0,019



𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,7 ± 0,02 Pa. m3


7


Cálculo do Erro de PV através da Regra de Propagação dos Erros

Quando a determinação de uma grandeza física é feita através de uma relação

entre outras grandezas directamente medidas, as quais estão afectadas de um

determinado erro de leitura, é necessário estimar a incerteza associada ao valor obtido,

propagação dos erros parciais.

Para calcular o erro associado à grandeza PV, 𝛥𝑃𝑉, é necessário para o seu

cálculo tomar em conta os erros associados às grandezas que a esta estão associadas,

para tal recorreu-se à regra de propagação dos erros da seguinte formas:

𝑃𝑉 = 𝜋 . 𝑑2

4 . 𝑙 + VR ∗ 𝑃atm + ℎ ∗ 𝜌𝑔

𝛥𝑃𝑉 = 𝜕𝑃𝑉

𝜕𝑙 𝛥𝑙 +

𝜕𝑃𝑉

𝜕(𝛥ℎ) 𝛥(𝛥ℎ) +

𝜕𝑃𝑉

𝜕𝑃atm 𝛥𝑃atm

𝛥𝑃𝑉 = 𝜋𝑑2

4∗ 𝑃atm ∗ 𝜌𝑔 +

𝜋𝑑2

4∗ |ℎ| ∗ 𝜌𝑔 𝛥𝑙 +

𝑙𝜋𝑑2

4∗ 𝜌𝑔 + 𝑉R ∗ 𝜌𝑔 𝛥(𝛥ℎ) +

𝑙𝜋𝑑2

4∗ 𝜌𝑔 + 𝑉R ∗ 𝜌𝑔 𝛥𝑃atm

Propagação dos Erros (𝐏𝐚. 𝐦3)

θ = 38°C

𝝏𝑷𝑽

𝝏𝒍 𝜟𝒍

𝜕𝑃𝑉

𝜕𝑃atm 𝛥𝑃atm

𝜕𝑃𝑉

𝜕(𝛥ℎ) 𝛥(𝛥ℎ) ΔPV PV

0,01409 0,00032 0,00645 0,02086 1,686

0,01382 0,00031 0,00617 0,02030 1,688

0,01354 0,00030 0,00590 0,01973 1,688

0,01313 0,00028 0,00563 0,01904 1,710

0,01269 0,00027 0,00536 0,01832 1,730

0,01238 0,00025 0,00508 0,01772 1,716

0,01181 0,00024 0,00481 0,01686 1,746

0,01129 0,00023 0,00454 0,01606 1,755

0,01072 0,00021 0,00427 0,01520 1,764

0,01063 0,00020 0,00400 0,01482 1,786

ΔPV ≈ 0,018 Pa.m3

Depois dos cálculos efectuados e construída a tabela acima, podemos concluir

que obtivemos PV = Cte, dentro dos limites dos erros das medidas:

𝑃𝑉máx − 𝛥𝑃𝑉 < 𝑃𝑉 < 𝑃𝑉min + 𝛥𝑃𝑉, ∀ 𝑃𝑉

𝛥𝑙 = 0,001 𝑚

𝛥(𝛥ℎ) = 0,002 𝑚

𝛥𝑃atm = 0.0001 𝑚𝐻𝑔

Erros de Medida


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Diagrama P-V para θ = 38°C

θ °C = 38 e 𝑃𝑉 = 1,5514

V (cm3) P (Pa)-Exp. P(Pa)-Teórico

24,180 63986,350 64162,351

23,159 66651,893 66990,193

22,139 69450,712 70078,791

21,118 73449,026 73465,956

20,097 77713,895 77197,178

19,076 80779,268 81327,686

18,056 86376,908 85925,194

17,035 91441,439 91073,648

16,014 97039,078 96878,395

14,994 104102,766 103473,466

Cálculo do valor teórico da pressão

𝑃. 𝑉 = 𝑃𝑉 ⇔ 𝑃 =𝑃𝑉

𝑉

Calculado o valor teórico da pressão

segundo a forma transcrita, e registados

os seus valores na tabela ao lado,

procedeu-se à construção do Diagrama

P-V onde se sobrepôs as curvas teórica

e experimental.

Como podemos constatar a curva PV - experimental sobrepõem-se quase na sua

totalidade à curva PV - teórico. Estes pequenos desvios devem-se a erros associados às

medições e ao facto de o sistema termodinâmico não estar idealmente isolado.

60

70

80

90

100

110

14 16 18 20 22 24

P (

kP

a)

V (cm3)

Diagrama P-V (θ = 38°C)

PV - Experimental

PV - Teórico


9


Equação de Estado dos Gases Perfeitos

Organizando os valores anteriormente calculados na seguinte tabela, é possível

construir o Diagrama PV-θ, com as suas barras de erro.

θ °C 24 31 38 44 51 58

𝑷𝑽 (Pa.m3) 1,4899 1,5153 1,5514 1,5760 1,6127 1,6569

Δ PV 0,1702447 1,448655 0,1086717 0,0841417 0,0473952 0,0152552

𝑷𝑽 − 𝜟(𝑷𝑽) 1,320 1,370 1,443 1,492 1,565 1,642

𝑷𝑽 + 𝜟(𝑷𝑽) 1,660 1,660 1,660 1,660 1,660 1,672

Como é possível comprovar o valor do produto P.V aumenta com a temperatura,

tal como seria de esperar através da equação de estado dos gases perfeitos:

𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻

como n e R são valores constantes para um determinado sistema, o aumento da

temperatura irá provocar um aumento do produto P.V, o contrário também se verifica.

1,40

1,45

1,50

1,55

1,60

1,65

1,70

20 25 30 35 40 45 50 55 60

PV

(P

a.m

3)

θ (°C)

Diagrama PV - θ


10


Prolongando a recta do Diagrama PV-θ obteremos um diagrama semelhante

onde poderemos visualizar que quando PV=0, θ toma um valor próximo do zero

absoluto (-273,15°C ou 0K)

Determinação da recta através do Método dos Mínimos Quadrados

Através do método dos mínimos quadrados é possível determinar a equação

característica da recta, calculando o seu declive, m, e a sua ordenada na origem, b,

através das seguintes expressões:

𝑚 =𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑛 𝑥𝑖2 − ( 𝑥𝑖)

2 𝑏 = 𝑥𝑖

2 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑛 𝑥𝑖2 − ( 𝑥𝑖)

2

𝑚 = 0,00488391 𝑏 = 1,36678417

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 ⇔ 𝑦 = 0,00488𝑥 + 1,36678

Através do gráfico obtêm-se:

𝑦 = 0,0049𝑥 + 1,3668

Intercepção da recta com o eixo dos θθ:

𝑃𝑉 = 0,0049𝜃 + 1,3668

𝑃𝑉 = 0 ⇔ 𝜃 = −278,94℃ ≈ −273,15℃

y = 0,0049x + 1,3668

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-300 -275 -250 -225 -200 -175 -150 -125 -100 -75 -50 -25 0 25 50

PV

(P

a.m

3)

θ (°C)

Diagrama PV - θ


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Cálculo do número de moles de ar dentro do tubo

Escolhendo um ponto das tabelas construídas anteriormente, é possível calcular

o número de moles de ar existentes dentro do tubo, recorrendo à equação de estado dos

gases perfeitos, onde T é a temperatura em kelvin e R é a constante universal dos gases

perfeitos:

𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇

𝜃 = 38 ℃

𝑇 = 𝜃 + 273,15 = 311,15 𝐾

𝑅 = 8,314 𝐽𝐾−1𝑚𝑜𝑙−1

𝑃𝑉 = 1,7269 𝑃𝑎. 𝑚−3

𝑛 =1,7269

8,314 ∗ 311,15= 6,68 ∗ 10−4 𝑚𝑜𝑙


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Discussão

Depois de realizado este procedimento experimental e de analisarmos os

resultados que dele advêm podemos comprovar que a pressão e o volume têm uma

variação inversamente proporcional tomando o produto entre eles um valor constante,

posto isto é possível comprovar a veracidade da lei de Boyle-Mariotte.

Relativamente à equação de estado dos gases perfeitos conseguimos provar

através do nosso trabalho laboratorial que com o aumento da temperatura, o produto de

PV também irá aumentar, como seria de esperar.

Iremos agora justificar a razão de não termos respeitado com rigor os erros dos

instrumentos de medida:

𝛥𝑙 = 0,001 𝑚 → a razão pela qual atribuímos este valor ao erro associado à esta

medição e não a metade da menor medida, 0.0005 m, deve-se do mercúrio

contido no tubo de medida formar uma bolha que dificulta a leitura;

𝛥ℎ = 0,002 𝑚 → a razão pela qual atribuímos este valor ao erro associado à

esta medição e não a metade da menor medida, 0.0005 m, deve-se ao

afastamento da escala relativamente ao recipiente que contém mercúrio e

também ao devido ao facto de este último formar uma bolha que dificulta a

leitura;

𝛥𝑃atm = 0.0001 𝑚𝐻𝑔 → a razão pela qual atribuímos este valor ao erro

associado à esta medição e não a metade da menor medida, 0.00005 m, deve-se

ao facto de ser difícil o encostamento do vértice da vareta do barómetro com o

topo da bolha de mercúrio que se forma no seu interior.

Devido aos erros acima referidos, e como todos os cálculos foram efectuados a

partir dos valores obtidos com estes instrumentos de medida, todos os nossos resultados

(tabelas, diagramas, etc.) poderão ter um certo erro associado. Outras possíveis causas

de erros nos resultados obtidos serão erros de leitura por parte das pessoas envolvidas

ou a defeitos que os equipamentos terão.

Fora das causas possíveis para a explicação dos erros associados aos resultados

obtidos estão os arredondamentos visto que todos os cálculos foram efectuados numa

folha de cálculo do Excel®, que elimina qualquer perda de casas decimais em passo

intermédios de cálculo.


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Bibliografia e Referências

G. Silveira, N. Dias e S. Marreiros, Trabalho 2: A Equação de Estado dos Gases

Perfeitos, ACF-DEM-ISEL;

ACF-DEM-ISEL, Elementos de Apoio aos Procedimentos Experimentais;

ACF-DEM-ISEL, Apontamentos Teóricos de Termodinâmica (slides das aulas);

ACF-DEM-ISEL, Termodinâmica (adaptação do livro "Termodinâmica", Y.A.

Çengel e M.A. Boles)


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Anexos

equação de estado dos gases perfeitos

Documents