UNIVERSIDADE INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSESURI-SO LUIZ GONZAGACURSO DE ENGENHARIA ELTRICA

Pesquisa acadmica sobre a Equao da continuidade eEquao de Bernoulli

FELIX JUNIOR PROENA DUARTEAcadmico de engenharia eltricaSO LUIZ GONZAGA RS2014UNIVERSIDADE INTEGRA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSES URI-SO LUIZ GONZAGA CURSO DE ENGENHARIA ELTRICA

Pesquisa acadmica sobre a Equao da continuidade eEquao de Bernoulli

Pesquisa tem como objetivo exemplificar de forma sucinta a equao da continuidade e a Equao de Bernoulli. Tendo o trabalho como forma de avalio complementar de nota da disciplina de Fenmenos de Transporte do curso de Engenharia Eltrica .

Superviso: Prof. Raul Michel Junior Aluno: Felix Junior Proena Duarte

FELIX JUNIOR PROENA DUARTEAcadmico de engenharia eltricaSO LUIZ GONZAGA RS2014SUMRIO1.Introduo...................................................................................................pag: 42.Equao da Continuidade......................................................................pag: 52.1. Exemplo: Equao Continuidade:......................................................pag: 72.2. Resoluo do exemplo: Equao da Continuidade.......................pag: 73. Equao de Bernoulli.............................................................................pag: 83.1 Exemplo: Equao de Bernoulli:......................................................pag: 113.2.Resoluo do exemplo: Equao de Bernoulli .............................pag: 114.concluso..................................................................................................pag: 125. Bibliografias ..........................................................................................pag : 13

1.IntroduoO estudo de Mecnica dos Fluidos essencial para analisar qualquer sistema no qual o fluido produz trabalho. No projeto de veculos para transporte terrestre, martimo e espacial; no projeto de turbo mquinas, na lubrificao na Engenharia Biomdica, no estudo da aerodinmica das aves, insetos, animais e at no esporte so utilizadas as lei bsicas de Mecnica dos Fluidos. O movimento dos fluidos pode ser estudado da mesma forma que o movimento de corpos slidos utilizando-se as leis fundamentais da fsica juntamente com as propriedades fsicas dos fluidos. Conforme a natureza do escoamento ser a complexidade de sua anlise.Neste trabalho iremos desenvolver um estudo referente ao tema Fluidos em Movimento, voltado mais especificamente para a Equao da continuidade e sobre a equao de Bernoulli . Sero apresentados seus principais conceitos aplicados a mecnica dos fluido exerccios para melhor entendimento.

2.Equao da continuidade:

A equao da continuidade em mecnica dos fluidos relaciona a vazo em massa na entrada e na sada de um sistema onde afirma que, em qualquer ponto do escoamento de um fluido ideal, o produto da velocidade de escoamento pela rea do tubo constante; consequentemente, nas partes mais estreitas do tubo, ou seja, na menor rea, a velocidade de escoamento maior e ainda nos mostram que as velocidades so inversamente proporcionais as reas, ou seja, uma reduo de rea corresponde a um aumento de velocidade e vice-versa. Um fato bastante corriqueiro mostra que possvel aumentar a velocidade da gua que sai de uma mangueira de jardim fechando parcialmente o bico da mangueira com o dedo. Esta alterao na velocidade est diretamente relacionada ao fato de alterarmos a seco da rea de sada de gua da mangueira. Observe na figura: Fonte: http://www.if.ufrgs.br/cref/werlang/aula22.htmO fato simples de compreender para fluidos incompreensveis que a quantidade de gua que entra na mangueira com velocidade 1 deve ser a mesma que sai com velocidade 2, j que no h, no transcurso, nenhuma fonte nem sumidouro de fluido. Em outras palavras, o fluxo de lquido deve ser constante.

Sendo assim, pode-se escrever matematicamente:

Efetivamente, como o fluxo constante:t1 = t2Logo, a equao fica reduzida :A1 . v1 =A2. v2A equao da continuidade que acabamos de obter vale apenas para fluidos incompressveis, sendo a forma mais simples dessa equao. preciso salientar, no entanto, que sempre haver uma equao da continuidade para qualquer tipo de fluido escoando de forma arbitrria e descrita por qualquer modelo, uma vez que a conservao de massa ocorre em todas as situaes. A equao da continuidade para outros tipos de fluido, que no sejam os incompressveis, mais complexa e exige uma caracterstica prpria de cada fluido no ideal .De uma outra forma, a equao anterior pode ser escrita como:A . v = Q constante Onde produto desta nova equao anterior chamado de Vazo (volume de fluido que passa por uma seco na unidade de tempo). No Sistema Internacional de Unidades, medido em m/s (metro cbico por segundo).

2.1.Exemplo: Equao Continuidade: Para a tubulao mostrada na figura, calcule a vazo em volume e determine a velocidade na seo (2) sabendo-se que A1 = 10cm e A2 = 5cm. Dados: = 1000kg/m e v1 = 1m/s.

2.2 Resoluo do exemplo: Equao da Continuidade .Com a aplicao da Equao da Continuidade entre os pontos (1) e (2).Q1 = Q2V1 x A1 = V2 x A21m/s x 10cm = V2 x 5cmV2= (1m/s x 10cm) 5cmV2= 2m/s Temos a velocidade na seo 2 com V2= 2m/s.E a vazo em volume obtida :

Q1 = Q2 Q = A x V Q = V1 x A1 ou Q = V2 x A2Q = V1 x A1= 1m/s x 0,001mQ = 0,001m/sQ= 1L/s.3.Equao de Bernoulli:O princpio de Bernoulli, tambm denominado equao de Bernoulli ou Trinmio de Bernoulli, ou ainda Teorema de Bernoulli, descreve o comportamento de um fluido movendo-se ao longo de um tubo ou conduto e traduz para os fluidos o princpio da conservao da energia. Daniel Bernoulli (1700-1782), foi um matemtico holands que mediante consideraes de energia aplicada ao escoamento de fluidos, conseguiu estabelecer a equao fundamental da Hidrodinmica, onde havia uma relao entre a presso, a velocidade e a altura em pontos de uma linha de corrente afirmando que para um fluxo sem viscosidade, um aumento na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuio na presso ou uma diminuio na energia potencial do fluido. Quando a equao de Bernoulli combinada com a equao da continuidade podem ser utilizadas para determinar as velocidades e presses em pontos no fluxo conectados por uma linha de corrente.A Equao de Bernoulli traduz o princpio de conservao de energia numa mesma linha de corrente num escoamento suposto estacionrio, com massa volmica constante, invscido, sujeito adicionalmente a foras volmicas de origem gravtica.A equao de Bernoulli fundamental para a anlise de escoamento de fluidos em canalizaes. Considere o escoamento atravs de um duto entre os pontos 1 e 2.

Fonte: http://www.fisicaevestibular.com.br/hidrodinamica1.Figura: Ilustrao do escoamento de um fluido dentro de uma canalizao

Em geral, consideramos que no h variaes de densidade do fluido durante o escoamento, nesse caso ele chamado de escoamento incompressvel e pode ser descrito pela equao a seguir.

Onde p a presso absoluta (Pa), a densidade (kg/m3), z a elevao do fluido (m) em relao a uma referncia e V a velocidade (m/s). Observe que a unidade (m/s)2 uma forma diferente de se escrever a unidade de energia Joule. Essa equao foi escrita considerando-se que as soma das energias de presso, cintica e potencial no ponto 1 igual a soma das energias no ponto 2.Podemos aplicar a equao de Bernoulli para uma linha de corrente que liga o ponto 1 e 2 de um escoamento. Uma aplicao simples dessa equao para descobrirmos qual a velocidade da gua que escoa atravs de um furo na base de um tanque. Para tanto, a equao simplificada e desta forma obtemos:

Figura: Aplicao do escoamento de fluido por um orifcioFonte: www.fisicaevestibular.com.br/hidrodinamica2

Observamos que nesse caso colocamos nossa referncia de cota no nvel do ponto 2. Dessa forma z1=H. A presso de 1 a da atmosfera. Como em 2 o fluido est escoando na forma de um jato livre, sua presso tambm a da atmosfera. Estes dois termos se anulam na equao de Bernoulli. A cota de 2, ou seja, z2=0. A velocidade do fluido no ponto 1 que fica na superfcie livre do tanque praticamente zero. Logo, a equao ficou simplificada e dessa forma V2 calculada da seguinte forma:

O teorema de Bernoulli tambm pode ser deduzido a partir do teorema da energia cintica escoamento de lquido por um tubo de dimetros diferentes: "O trabalho da resultante das foras agentes em um corpo entre dois instantes igual variao da energia cintica experimentada pelo corpo naquele intervalo de tempo."A figura a seguir mostra um fluido escoando no interior de uma tubulao que se eleva gradualmente desde uma altura h1 at uma altura h2, medidas em relao a um plano horizontal de referncia. Na regio mais baixa, o tubo tem rea de seco transversal S1, e na mais alta, rea S2. A presso do fluido na regio inferior do tubo p1 e na superior, p2. Consideremos, ento, o deslocamento da poro sombreada de fluido desde a regio mais baixa do tubo at a regio mais alta. Nesse deslocamento, a poro de fluido assinalada com hachuras tracejadas permanece invarivel.

Fonte: http://www.fontedosaber.com/matematica/equacao-de-bernoulli.htmlO teorema da energia cintica estabelece que o trabalho resultante realizado sobre o sistema deve ser igual variao de sua energia cintica. Temos, ento:(p1p2).m/- m.g.(h2h1) =[m.(v2)2/2] - [m.(v1)2/2]Multiplicando-se todos os termos da expresso por/m e rearranjando-se as parcelas teremos, finalmente:p1+[.(v1)2/2] +.g.h1=p2+[.(v2)2/2]+.g.h2Como se referimos a duas posies quaisquer do fluido no tubo pode suprimi-los e escrever, para qualquer ponto do fluido, que:

p+(.v2/2)+.g.h=constante Essa relao nos mostra principalmente que, em uma canalizao horizontal, um estrangulamento implica pela equao da continuidade em um aumento na velocidade do fluxo e, consequentemente, em uma diminuio de presso. Nessa relao, a somap+.g.h denominadapresso enquanto o termo.v2/2 apresso dinmica, exercida pelo fluido em movimento.3.1.Exemplo: Equao de Bernoulli:gua quente circula pela tubulao de um sistema de aquecimento em uma casa. Se a gua bombeada, no trreo, com velocidade de 0,50 m/s atravs de um cano com 4,0 cm de dimetro sob presso de 3,0 atm. Determine a velocidade de escoamento e a presso da gua em um cano com 2,6 cm de dimetro, localizado no andar superior, 5 m acima do trreo. Considere: g = 10 m/s2,= 1,0.103kg/m3e 1 atm = 1,0.105N/m2.3.2.Resoluo do exemplo: Equao de Bernoulli .Inicialmente, calculamos a velocidade do fluxo de gua no segundo pavimento usando a equao da continuidade. Teremos, ento:S1.v1=S2.v2=>.(0,020)2.0,50 =.(0,013)2.v2=>v21,2 m/sA presso na gua, no pavimento superior, obtida pelo teorema de Bernoulli. Tomando como nvel de referncia (h = 0) o pavimento inferior, teremos: p1+[.(v1)2/2] +.g.h1=p2+[.(v2)2/2] +.g.h2p2=p1+ {.[(v1)2-(v2)2]/2} +.g.(h1-h2)p2=(3,0.105)+ {[(1,0.103).(0,50)2-(1,2)2]/2} +(1,0.103).10.(0-- 5)p2=(2,44.105) N/m2= 2,44 atm

4. Concluso:Fluidos compreendem lquidos e gases. Na Mecnica dos Fluidos estudamos o movimento do conjunto de partculas e suas propriedades. Os lquidos escoam sob a ao da gravidade at preencherem as regies mais baixas possveis dos vasos que os contm. Os gases se expandem at ocuparem todo o volume do vaso, qualquer que seja a sua forma. Os aspectos tericos e prticos da mecnica dos fluidos so de fundamental importncia para a soluo de diversos problemas encontrados habitualmente na engenharia, sendo suas principais aplicaes destinadas ao estudo de escoamentos de lquidos e gases, sistemas de ventilao e ar condicionados por exemplo, e no dimensionamento de bombas de aguas para um determinado fluxo ou em clculos de quedas de aguas em barragens de usinas geradoras, entre outras.As aplicaes ilustradas mostram a enorme utilidade destas equaes na mecnica de fluidos nos aspectos relacionados com a previso e quantificao de fenmenos da hidrulica e nas tcnicas experimentais de medio de velocidades de escoamento.

5. Bibliografia

http://ltodi.est.ips.pt/mmoreira/PUBLICACOES_P/bernoulli_2003.pdfFluidos/APOSTILA%20MECANICA%20DOS%20FLUIDOS%202011.pdf.http://www.fontedosaber.com/matematica/equacao-de-bernoulli.htmlhttp://www.feiradeciencias.com.br/sala07/07_RHD.asphttp://www.fisicaevestibular.com.br/hidrodinamica1.htmhttp://coral.ufsm.br/gef/Fluidos/fluidos09.pdf http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Bernoullihttp://www.infoescola.com/mecanica-de-fluidos AL, Jorge A. Villar, mecnica dos fluidos - Curso Bsico. Disponvel em:http://www.feng.pucrs.br/lsfm/MecFlu/Mecanica-Dos /equacao-da-continuidade/

3