enem apoio 1

8/15/2019 Enem Apoio 1

1/42Específca de Matemática 1

GeometriaPlana

Apoio


2/42Específca de Matemática2



Polígonos: ângulos e relações

1) Na gura abaixo têm-se as retas r se , paralelas entre si, e

os ângulos assinalados, em graus.

α

30°

β

70°

r

s

Nessas condições, α β + é igual a

a) 50°b) 70°c) 100°d) 110°e) 130°

2) Observe esta gura:

A

BC

DE

F

105º

57º

28º

Nessa gura, os pontos F, A e B estão em uma reta e as retasCB e ED são paralelas.

Assim sendo, o ângulo ABC mede:

a) 39ºb) 44ºc) 47ºd) 48º

3) (UnB) Considere dois polígonos regulares convexos P e P’com n ne +1 lados, respectivamente. Sabendo-se que a me-

dida do ângulo interno do polígono P’ é 48o maior que a do ân-gulo externo (suplemento do ângulo interno adjacente) dopolígono P e que a soma dos ângulos internos de um polígonoregular de n lados é n − ⋅( )2 180 º , calcule a soma dos números

de lados desses dois polígonos.

4) (Fuvest) Na gura abaixo, ABCDE é um pentágono regular.A medida, em graus, do ângulo a é:

A

E

DC

B

a) 32°b) 34°

c) 36°d) 38°e) 40°

5) (Fuvest) A, B, C e D são vértices consecutivos de umhexágono regular. A medida, em graus, de um dos ângulos or-

mados pelas diagonais AC e BD é

a) 90b) 100c) 110d) 120e) 150

6) (PUC) A A A1 2... n é um polígono regular convexo, de n lados, inscritos em um círculo. Se o vértice A

15é diametralmente

oposto ao vértice A46

, o valor de n é:

a) 62b) 60c) 58d) 56e) 54

7) (UFF) Um senhor aposentado, que possui um jardim cir-cular cercado de arame, deseja modicar-lhe a orma, aproveit-ando o arame existente. O novo jardim, em orma de estrela,

deverá ser obtido marcando-se 8 pontos no contorno original,de modo a ormar um octógono regular. A partir dele, será con-struída a estrela, com todos os 16 lados iguais, conorme a guraabaixo:

A1

A2 A3

A4

A5

A6

A7A8

A9

A10A11

A12

A13

A14

A15A16

Não dispondo de recursos para comprar mais arame, estesenhor quer saber se o arame originalmente usado é sucientepara cercar o novo jardim. Diga se isto é possível, justicando asua resposta.

8) Pentágonos regulares congruentes podem ser conecta-dos, lado a lado, ormando uma estrela de cinco pontas, con-orme destacado na gura. Nestas condições, o ângulo mede

a) 108o.b) 72o.

c) 54o

.d) 36o.e) 18o.



9) (ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização deladrilhos ou azulejos com a orma de polígonos para o revesti-mento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combi-nações de polígonos que se prestam a pavimentar uma super-ície plana, sem que haja alhas ou superposições de ladrilhos,como ilustram as guras.

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares,com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois ti-pos dierentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendoum deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a ormade um

(A) triângulo.(B) quadrado.(C) pentágono.(D) hexágono.(E) eneágono. 10) (UFPE) A gura abaixo é uma malha plana composta de

quadrados e triângulos equiláteros. Com relação às simetriasnela presentes, podemos armar que:

00. A malha admite simetria ternária e quaternária, uma vezque é constituída por triângulos e quadrados.

01. A malha possui duas direções de eixos de simetria binária.02. A simetria é observada entre os polígonos de mesma

natureza, quando estes têm em comum algum vértice ou lado.03. Esta malha admite um sistema de simetria poligonal, con-

stituída por segmentos de reta que passam pelos centros dos

polígonos.04. Por ter mais de um tipo de polígono e estes estarem em

posições distintas, não é possível ter eixo ou centro de simetria.

11) (ENEM)

Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010.

O polígono que dá orma a essa calçada é invariante por ro-tações, em torno de seu centro, de

a) 45°.b) 60°.c) 90º.d) 120°.e) 180°.



1) Considere 5 semi-retas, todas partindo do mesmo pontoP num certo plano, ormando 5 ângulos contíguos que cobremtodo o plano, cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3,4, 5 e 6. Determine a dierença entre o maior e o menor ângulo.

a) 22ºb) 34ºc) 56º

d) 72º

2) Na gura abaixo, as retas r e s são paralelas.

A medida do ângulo y, em graus é

a) 90°.b) 60°.c) 100°.d) 70°.e) 80°.

3) Na gura abaixo, tem-se r//s e t//u

s

r

v

ut

70

30

α

O

O

Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas emgraus, então a é igual a:

a) 100o

b) 80o

c) 70o

d) 50o e) 30o

4) Na gura, o triângulo ABC é equilátero e o segmento BD éperpendicular ao plano do triângulo. Se M é o ponto médio deAC e a medida de BD é a metade da medida do lado do triân-

gulo, então o ângulo MDB mede:

a) 45ºb) 30ºc) 60º

d) 22,5ºe) 15º

5) (Fuvest) Dois ângulos internos de um polígono convexomedem 130° cada um e os demais ângulos internos medem128° cada um. O número de lados do polígono é:

a) 6b) 7c) 13

d) 16e) 17

6) Na gura abaixo têm-se três pentágonos regulares.

α

A medida a do ângulo assinalado é

7) Na gura, ABCDE é um pentágono regular, EF é paralelo

a AB e BF é paralelo a AE . A medida do ângulo a é

A

E B

D C

F

α

a) 72°b) 54°c) 60°d) 76°e) 36°

8) (Fuvest) Dois ângulos internos de um polígono convexomedem 130° cada um e os demais ângulos internos medem128° cada um. O número de lados do polígono é:

a) 6

b) 7c) 13d) 16e) 17

9) (PUC) Um polígono regular de n lados tem 90 diagonais.

O valor de n é:

a) 10b) 12c) 15d) 20e) 21

10) (PUC) Dado um polígono regular de 11 lados, se unirmosseu centro a cada um de seus vértices, obteremos 11 triângulosisósceles iguais, cada um dos quais tendo dois ângulos internosiguais a:

a) p p2 22

-



b) p p-22

c) p p-11

d) p p-11

e) p p2 11

-

11) Prolongando-se os lados AB e CD de um polígono con-vexo regular ABCD..., obtém-se um ângulo de 132° conorme il-ustra a gura. De acordo com o número de lados, esse polígonoé um:

132°A B

C

D

a) octógono;b) decágono;c) undecágono;d) pentadecágono;e) icoságono;

12) (UFRRJ) Os arcos da orma 72°n , onde n Î , denem

sobre uma circunerência os vértices dea) um triângulo equilátero.b) um hexágono irregular.c) um pentágono regular.

d) um triângulo isósceles.e) um hexágono regular.

13) (UFRRJ) Maria determinou o número de triângulos quepode se ormar com os vértices de um polígono de 7 lados. Essenúmero encontrado por Maria é

a) 7.b) 21.c) 28.d) 35.e) 70.

14) Aumentando-se de 5 unidades o número de lados de um

polígono, o número de diagonais aumenta de 40. Esse polígonoé o:

a) heptágonob) pentágonoc) hexágonod) octógonoe) eneágono

15) Seja k Î* . Se o número de diagonais de um polígono

convexo é k vezes o seu número de lados, então é correto ar-

mar que o número de lados do polígono éa) 3 2k + .

b) 2 3k - .c) k .

d) 3 2k - .

e) 2 3k + .

16) A soma de n -1 ângulos internos de um polígono con-

vexo de n lados é 1900º. O ângulo remanescente mede

a) 120º.b) 105º.c) 95º.d) 80º.e) 60º.

17)Em uma circunerência, há 96 pontos, igualmente espaça-

dos, marcados pelos números ímpares. Um polígono regular de32 lados é inscrito nessa circunerência e um de seus vértices éo ponto de número 1. A soma dos números de todos os vérticesdesse polígono é:

a) 2884b) 3072c) 3008d) 2922

18) (UEPB) Sabendo que a gura abaixo nos mostra um mo-saico onde todos os pentágonos são regulares e iguais entre si,então x y+ é igual a:

a) 240ºb) 216ºc) 224ºd) 232ºe) 220º

19) Considere três polígonos regulares A, B e C tais que osnúmeros que expressam a quantidade de lados de cada um de-les constituam uma progressão aritmética. Considerando que asoma desses três números é igual a 24 e que a soma dos ângulosinternos do polígono A, que tem o maior número de lados, é1620º, assinale o que or correto.

01. Cada ângulo externo do polígono C mede 108º.02. Cada ângulo externo do polígono B mede 45º.04. O polígono A tem 20 diagonais.08. O polígono C é um pentágono.16. Cada ângulo interno do polígono A mede mais que 150º.

20) Um decágono tem vértices em uma circunerência. Senão existem três diagonais do decágono que se interceptam nomesmo ponto, quantos são os pontos de interseção das diago-nais deste decágono?

a) 205b) 210c) 215

d) 220e) 225

21) Um pentagrama é uma gura que pode ser construídapor uma linha echada única entrelaçada, sendo consideradosímbolo da pereição. O nome pentagrama se dá em virtude daormação de um pentágono regular no seu interior, conorme



ilustra a gura a seguir.

Com base nestas inormações pode-se armar que a medidado ângulo a é

a) 108º.b) 45º.c) 36º.d) 180º.e) 72º.

22) Três polígonos regulares A, B, e C, tem números de lados,respectivamente, a b c, , , onde a b c> > . Sabendo-se que

a b c, e estão em progressão aritmética de razão – 2 e que a

soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é 3.240º,

assinale o que or correto.01. O polígono A tem 35 diagonais.02. O número de diagonais do polígono C é maior que 10.04. A soma dos ângulos internos do polígono C é 720º.08. Cada ângulo externo do polígono A mede 36º.16. Cada ângulo interno do polígono B mede 135º.

23) Em um polígono convexo regular de n lados, chamamos

de corda qualquer segmento de reta entre dois vértices distin-tos. Um lado é, portanto, uma corda ligando vértices adjacentes.Se o polígono regular tem número par de vértices, chamamos

de diâmetro uma corda ligando o vértice m ao vérticem n+

2

onde consideramos que os vértices do polígono estão numera-dos no sentido anti-horário, a partir de um vértice qualquer, dezero (inclusive) a n -1 . Nessas condições, a probabilidade de

que uma corda NÃO seja nem um diâmetro nem um lado dopolígono é igual a

a)1

2

b)n

n

−

−

( )

( )

6

1

c)n

n

−

−

( )

( )

5

1

d)n

n

−

−

( )( )

4

1

e) 1



Triângulos e quadriláteros

relações métricas, congruência esemelhança

1) (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de alturamede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra pro-

jetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra doposte diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:

a) 30 cmb) 45 cmc) 50 cmd) 80 cme) 90 cm

2) (ENEM) Um marceneiro deseja construir uma escada trap-ezoidal com 5 degraus, de orma que o mais baixo e o mais altotenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, con-orme a gura:

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de

madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser:a) 144.b) 180.c) 210.d) 225.e) 240.

3) (ENEM)

Na gura acima, que representa o projeto de uma escadacom 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do cor-rimão é igual a

a) 1,8 m.

b) 1,9 m.c) 2,0 m.d) 2,1 m.e) 2,2 m.

4) (ENEM) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, Ce D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km delado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mes-mo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta)que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada

a) no centro do quadrado.b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu

ponto médio, a 15 km dessa estrada.c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu

ponto médio, a 25 km dessa estrada.

d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, opostoa essa base.

e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.

5) (ENEM) O gráco abaixo, obtido a partir de dados doMinistério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do númerode espécies da auna brasileira ameaçadas de extinção.

Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimen-to mostrada no gráco, o número de espécies ameaçadas deextinção em 2011 será igual a

a) 465.b) 493.c) 498.d) 538.e) 699.

8) (ENEM) Um balão atmosérico, lançado em Bauru (343quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último do-mingo, caiu nesta segunda-eira em Cuiabá Paulista, na regiãode Presidente Prudente, assustando agricultores da região. Oarteato az parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvidopor Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a mediçãodo comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu

após o cumprimento do tempo previsto de medição.Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso

em: 02 maio 2010.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Umaestava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob umângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do

balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conormese vê na gura, e o avistou sob um ângulo de 30º.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?a) 1,8 kmb) 1,9 kmc) 3,1 km



d) 3,7 kme) 5,5 km

8) (UERJ) Millôr Fernandes, em una bela homenagem àMatemática, escreveu um poema do qual extraímos o ragmen-to abaixo:

Às olhas tantos de um livro de Matemática, um Quocienteapaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base:uma gura ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo re-tangular seios eseróides. Fez da sua uma vida paralelo à dela,até que se encontraram no Innito. “Quem és tu?” — indagouele em ânsia radical “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Maspode me chamar de hipotenusa.”

(MiIIôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)

A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender aoTeorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:

a) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipot-enusa.”

b) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode mechamar de hipotenusa.”

c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode mechamar de quadrado da hipotenusa.”

d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode mechamar de quadrado da hipotenusa.”

9) (UERJ) Um holoote está situado no ponto A, a 30 metrosde altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão.Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, doponto C ao ponto D, alinhados à base B, conorme demonstra agura abaixo:

A

B C D

.

Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a me-dida do ângulo CÂD corresponde a:

a) 60ºb) 45ºc) 30ºd) 15º

10) (Fuvest) Um guindaste, instalado em um terreno plano,tem dois braços articulados que se movem em um plano verti-cal, perpendicular ao plano do chão.

Na gura, os pontos O, P e P1 2 representam, respectiva-

mente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação

dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braçoOP1

tem comprimento 6 e o braço P P1 2 tem comprimento 2. Num

dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor

do que P1 e a distância de O a P2 é 2 10 . Sendo Q o pé da per-

pendicular de P2 ao plano do chão, determine

a) o seno e o cosseno do ângulo P OQ2 entre a reta OP2

e o

plano do chão;

b) a medida do ângulo OP P1 2 entre os braços do guindaste;

c) o seno do ângulo P OQ1 entre o braço OP1 e o plano do

chão.

11) (Unicamp) Os lados do triângulo ABC da gura abaixo

têm as seguintes medidas: AB = 20 , BC =15 e AC =10 .

a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD = 3 etraça-se o segmento DE paralelo ao lado AC . Ache a razão entrea altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h dotriângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de he H.

b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC emrelação ao lado AC.

12) (Fuvest) Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentidoanti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do per-curso, prolonga-se o lado recém-percorrido construindo-se umsegmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremi-dades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de

modo que os novos segmentos sejam, então, AA , BB , CC eDD . Dado que AB = 4 e que a distância de D à reta determi-

nada por A e B é 3, calcule a área doa) paralelogramo ABCD;b) triângulo BB’C’;c) quadrilátero A’B’C’D’.

13) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de base e

1 3+ dm de altura. Se este livro or parcialmente aberto, de

tal orma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, a medida doângulo a, ormado pelas diagonais das páginas, será:

60°

α



a) 15°b) 30°c) 45°d) 60°e) 75°

14) (UERJ) Observe a gura:

Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveuazer uma brincadeira:

1º) esticou uma linha AB , cujo comprimento é metade da

altura dela;2º) ligou B ao seu pé no ponto C;

3º) ez uma rotação de BA com centro B, obtendo o ponto

D sobre BC ;

4º) ez uma rotação CD com centro C, determinando E sobre

AC .

Para surpresa da modelo, CE é a altura do seu umbigo.

Tomando AB como unidade de comprimento e consid-

erando 5 2 2= , , a medida CE da altura do umbigo da mod-

elo é:a) 1,3b) 1,2c) 1,1d) 1,0

15) (UERJ) Uma olha de papel (gura 1) de ormato retangu-lar é dobrada no segmento MN de modo que o vértice A coin-cida com C (gura 2). Em seguida, dobra-se a olha no segmentoAM, como mostra a gura 3.

A B

CD

M

N

Fig-1A=C

B

M

D

N

Fig-2

A=C

B

M

D

N

Fig-3

Para que os pontos B, M e N quem alinhados após a segundadobradura, determine:

a) A medida do ângulo AB.b) A razão entre o menor e o maior lado do retângulo ABCD.

16) (UnB) No triângulo A1EG as guras A

1B

1FA

2e A

2B

2B

3A

3são

paralelogramos.

A

B

E

F

G1

1

B2B3

A2 A3

CalculeA A

A G

A B

A E

A A

A G

A B

A F

1 2

1

1 1

1

2 3

2

2 2

2

+ + + .

17) (UnB) O triângulo tem uma rigidez que os demaispolígonos não tem. Devido a isso, os engenheiros e carpinteirosdão preerência a estruturas triangulares para a sustentação detelhados. A gura abaixo ilustra uma estrutura triangular conhe-cida como treliça ou tesoura.

4 m

5 m

. . . . .

.

.

.

.

A C

B

Considerando os comprimentos e ângulos indicados, calcule,em metros, a quantidade de madeira necessária à construção dotriângulo ABC. Despreze as casas decimais do resultado encon-trado, caso existam.

18) (UnB) Um triângulo ABC, retângulo em B, movimenta-seno plano de coordenadas xOy. Os vértices A e C deslizam sobreos eixos Oy e Ox, respectivamente, a partir da posição inicial emque C coincide com a origem, até a posição nal, em que A coin-cide co m a origem. As guras abaixo ilustram algumas posiçõesdurante o movimento desse triângulo, sendo R o ponto médiodo segmento AC.

x

y

O

AB

C

posição inicial

R

x

y

O

A B

C

posição intermediária

θ

R

x

y

O

A

B

C

posição final

R

Com base nessas inormações, julgue os item seguintes01. Durante o movimento, em algum momento, ocorrerá

congruência entre os triângulos AOC e ABC.02. A trajetória do ponto R está contida em uma circunerên-

cia.



03. A trajetória do ponto B está contida em uma reta quepassa pela origem.

19) (ENEM) Para determinar a distância de um barco até apraia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partirde um ponto A, mediu o ângulo visual a azendo mira em um

ponto xo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, eleseguiu até um ponto B de modo que osse possível ver o mesmoponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2a . A gura

ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo a = 30

e, ao chegar ao ponto B, vericou que o barco havia percorrido adistância AB= 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a

mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto xo Pserá

a) 1000 m.

b) 1 00 0 3 m.

c) 20003

3m.

d) 2000 m.

e) 2 00 0 3 m.

1) (UERJ) Um triângulo tem lados 3, 7 e 8. Um dos seus ân-gulos é igual a

a) 30º.b) 45º.c) 60º.d) 90º.

e) 120º.

2) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, entãotodos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que essaproposição é alsa, pode-se usar como exemplo a gura denomi-nada:

a) losangob) trapézioc) retângulod) quadrado

3) (UERJ) Entre duas torres d e13m e 37m de altura existe nabase uma distância de 70m. Qual a distância entre os extremos

sabendo–se que o terreno é plano?

4) (UERJ) A ilustração abaixo mostra um instrumento, emorma de V, usado para medir o diâmetro de os elétricos.

Para eetuar a medida, basta inserir um o na parte interna

do V e observar o ponto da escala que indica a tangência entreesse o e o instrumento. Nesse ponto, lê-se o diâmetro do o,em milímetros.

Considere, agora, a ilustração a seguir, que mostra a seçãoreta de um o de 4 mm de diâmetro inserido no instrumento.

Se o ângulo BAC

do instrumento mede 12º, a distância d,em milímetros, do ponto A ao ponto de tangência P é igual a:

a)2

12cos º

b)6

12 sen º

c)6

6cos º

d)2

6tg º

5) (UnB) Duas placas metálicas, com os comprimentos indi-cados, são soldadas ormando um ângulo reto, como mostra agura abaixo.



.

B

2 5 c m

25 cm

35cm

A

Uma ormiga, situada inicialmente no vértice A, move-se aolongo das placas, em direção ao vértice B, seguindo o caminhode menor comprimento. Calcule, em centrímetros, o compri-mento desse caminho, desconsiderando a parte racionária doresultado, caso exista.

6) (Fuvest) Um banco de altura regulável, cujo assento temorma retangular, de comprimento 40 cm, apoia-se sobre duasbarras iguais, de comprimento 60 cm (ver gura 1). Cada barratem três uros, e o ajuste da altura do banco é eito colocando-se o parauso aos primeiros, ou nos segundos, ou nos terceirosuros das barras (ver visão lateral do banco, na gura 2). A menor

altura que pode ser obtida é:40 cm

60 cm

figura 1

40 cm

25 cm

5 cm5 cm

25 cmfigura 2

a) 36 cmb) 38 cm

c) 40 cmd) 42 cme) 44 cm

7) (Fuvest) Na gura abaixo, os quadrados ABCD e EFGH têm,ambos, lado a e centro O. Se EP=1 , então a é:

A

E 1 GP O

D C

H

B

F

a) 22 1-

b) 23 1-

c) 22

d) 2

e) 22 1-

8) (UnB) Um observador, situado no ponto A, distante 30mdo ponto B, vê um ediício sob um ângulo de 30o, conorme agura abaixo. Baseado nos dados da gura, determine a altura

do ediício em metros e divida o resultado por 2 .

Dados: AB= 30m; ACD = 30 ; CÂB= 75 ; ABC = 60o ;

DCA = 90

60

75

30

o

o

o

B

A

C

D

30m

9) (UnB) Entre as innidades de ormas retangulares ex-istentes, há uma que, desde os tempos antigos, parece causarnas pessoas uma agradável sensação de visual estética debeleza. Essa orma, chamada de retângulo áureo, é o contornoimaginário do Partenon, contruído na Grécia, no século V a.C..Para se denir essa orma geométrica especial, tome um retân-gulo e divida-o em um quadrado e um retângulo menor, comona gura abaixo.

O retângulo ABCD é áureo se o retângulo CDEF que se obtémpelo processo descrito acima é semelhante ao retângulo maiorABCD.

00. Sabendo que o retângulo A’B’C’D’ da gura abaixo é áu-reo, conclui-se que o retângulo B’E’F’G’ é também áureo.

01. Um retângulo é áureo quando a medida do lado maior or

igual à medida do lado menor multiplicada por1 5

2

+.

02. A área do retângulo áureo menor CDEF é igual à área do

retângulo ABCD multiplicada pelo ator3 5

2

-.

03. Na gura abaixo, HIJK é um quadrado e KL é um arco de

circunerência com centro no ponto médio do segmento IJ .

Prolonga-se o segmento de reta HK e traça-se, pelo ponto L, a

perpendicular à reta determinada por I e J, obtendo-se, na in-terseção dessas retas, o ponto M. Então o retângulo HILM é áu-reo.

10) (UnB) Uma sala quadrada, de 6m de lado, tem seu piso emmadeira, eito de tábuas colocadas em aixas diagonais. A largu-ra da tábua utilizada oi calculada de modo a dividir cada lado dasala em 60 partes iguais, conorme mostra a gura abaixo. Para



o preenchimento do espaço de cada aixa diagonal, utilizou-seuma tábua retangular com comprimento suciente apenas parapreencher tal espaço, desprezando-se as sobras.

10 cm

10 cm

6 m

Usando, para 2 , o valor aproximado de7

5, calcule, em dec-

ametros lineares, a quantidade de madeira utilizada no piso, de-considerando a parte racionária de seu resultado, caso exista.

11) (UnB) O radar é um aparelho que usa o princípio da re-fexão de ondas para determinar a posição de um objeto quese encontra distante ou encoberto por nevoeiro ou nuvem. Aposição do objeto é indicada sob a orma de um ponto luminosoque aparece na tela do radar, que apresenta ângulos e círculosconcêntricos, cujo centro representa a posição do radar, con-orme ilustra a gura a seguir:

A

B

12630

2010

0

..

N

S

EW

330

oo

o

o

o

o

Considerando que os pontos A e B da gura sejam navios de-tectados pelo radar; o navio A está a 40 km do radar e o navio B,está a 30 km. Com base nessas inormações e desconsiderandoas dimensões dos navios, julgue os itens que se seguem:

01. A distância entre os navios A e B é maior que 69 km.02. Se, a partir das posições detectadas pelo radar, os navios

A e B começarem a se movimentar no mesmo instante, em linhareta, com velocidades constantes e iguais o navio A para o lestee o navio M para o norte, então eles se chocarão.

03. A partir da posição detectada pelo radar, caso B se movi-mente sobre um círculo de raio igual a 30 km, no sentido anti-horário, com velocidade constante de 40 km/h, então, em 10

min, o navio B percorrerá um arco correspondente a ( 40p

)º

12) (Unicamp) Um trapézio retangular é um quadriláteroconvexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudoa e um ângulo obtuso b. Suponha que, em um tal trapézio, amedida de b seja igual a cinco vezes a media de a.

a) Calcule a medida de a, em grausb) Mostre que o ângulo ormado pelas bissetrizes de a e b é

reto.

13) (UnB) Em uma região completamente plana, um barco,considerado aqui como um ponto material, envia sinais de so-

corro que são recebidos por duas estações de rádio, B e C dis-tantes entre si de 80km. A semirreta de origem B e que contémC orma, com a direção Sul-Norte, um ângulo de 45º do sentidoNoroeste. Os sinais chegam em linha reta à estação B, ormandoum ângulo de 45º com direção Sul-Norte no sentido Nordeste.A partir dessas inormações e com o auxílio da rosa-dos-ventos,

localize no plano abaixo asa posições do barco e das duas es-tações de rádio.

N

S

LO

NE NO

SESO

Sabendo que a estação mais próxima dista 310km do barco,calcule, em dezenas de quilômetros, a distância do barco à outraestação. Desconsidere a parte racionária de seu resultado, casoexista.

14) (Fuvest) Na gura abaixo, a reta r é paralela ao segmen-

to AC , sendo E o ponto de intersecção de r com a reta deter-

minada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 21, então aárea do triângulo BCE é:

A D

B

E

r

C

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

15) (Fuvest) Na gura abaixo, tem-se que AD AE= ,

CD CF= e BA BC= . Se o ângulo EDF mede 80º, então o ân-

gulo ABC mede:

A

E

D C

80º

F

B

a) 20ºb) 30ºc) 50ºd) 60ºe) 90º

16) (Fuvest) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4.O perímetro desse trapézio é:

a) 13

b) 14c) 15d) 16e) 17



17) (Fuvest) Na gura, ABC é um triângulo de catetos

AB= 4 e AC= 5 . O segmento DE é paralelo a AB , F é um

ponto de AB e o segmento CF intercepta DE no ponto G,

com CG= 4 e GF= 2 . Assim, a área do triângulo CDE é:

A

C

B

EGD

F

a)16

3

b)35

36

c)39

8

d)40

9

e)70

9

18) (Fuvest) Na gura seguinte, E é o ponto de intersecção das

diagonais do quadrilátero ABCD e q é o ângulo agudo BÊC . Se

EA=1 , EB= 4 e ED= 2 , então a área do quadrilátero ABCD

será:

θE

D C

B

A

a) 9 senq

b) 8 senq

c) 6 senq

d) 10cosq

e) 8cosq

19) (Fuvest) Num triângulo retângulo ABC, seja D um ponto

da hipotenusa AC tal que os ângulos DÂB e ABD tenham a

mesma medida. Então o valor deAD

DCé:

a) 2

b)1

2

c) 2

d)1

2

e) 1

20) (Fuvest) Na gura abaixo, as distâncias dos pontos A e Bà reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essareta são os pontos C e D. Se a medida CD é 9, a que distância de

C deverá estar o ponto E, do segmento CD , para que

CÊA DÊB= ?

. .r

A

B

DCE

2

4

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

21) (Fuvest) No triângulo ABC a base AB mede 4 cm e a alturarelativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulocujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao ladoBC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é

a) 4b) 8c) 12d) 14e) 16

22) (Fuvest) Na gura abaixo, AD= 2 cm, AB= 3 cm, a

medida do ângulo BÂC é 30º e BD DC= , onde D é ponto do

lado AC . A medida do lado BC , em cm, é

D CA

B

a) 3

b) 2

c) 5

d) 6

e) 7

23) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da gura abaixo, E é um

ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE mede 60º e os

ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se ainda que

AB CD= = 3 e BC =1 . Determine a medida de AD .

24) (Fuvest) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver gu-ra). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro daaltura. Nessas condições, a altura do retângulo, em unção de h eb, é dada pela órmula:



a)

bh

h b+

b)2bh

h b+

c)bh

h b+ 2

d)bh

h b2 +

e)bh

h b2( )+

25) (Fuvest) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos

AB= 5 , BC= 4 e AC= 2 . Sejam M e N os pontos de AB tais

que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura

relativa ao lado AB .

Determinar o comprimento de MN .

26) (Fuvest) Na gura, ABC e CDE são triângulos retângulos,

AB=1 , BC= 3 e BE DE= 2 . Logo, a medida de é:

a)3

2

b)5

2

c)7

2

d)11

2

e)13

2

27) (Fuvest) Na gura abaixo, tem-se AC= 3 , AB= 4 e

CB= 6 . O valor de CD é

a)17

12

b)19

12

c)23

12

d)25

12

e)29

12

28) (Fuvest) Os lados de um triângulo medem 5 , 10 e 5.

Qual o comprimento da altura relativa ao lado maior?

29) (UERJ) Observe o desenho abaixo:

5cm

8cm

8cm

4cm

fig-01

fig-02

Ele representa uma olha retangular com 8 cm x 13 cm, queoi recortada ormando duas guras I e II, que, apesar de distin-tas, possuem a mesma área.

A dierença entre o perímetro da gura I e da gura II, em cm,corresponde a:

a) 0b) 2c) 4d) 6


16/42



As sobras de material da produção diária das tampas grandes,médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente,a três entidades: I, II e III, para eetuarem reciclagem do material.A partir dessas inormações, pode-se concluir que

a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade

III.c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade

III.d) as entidades I e I I recebem, juntas, menos material do que

a entidade III.e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.

06) (Fuvest) O triângulo ABC está inscrito em um círculo de

raio R. Se sen Â3

5= , o comprimento do lado BC é:

a)2

5

R

b)3

5

R

c)4

5

R

d)6

5

R

e)8

5

R

07) (UERJ) Os preços das pizzas de um restaurante estão re-produzidos abaixo:

I. BROTINHO - CR$ 620,00II. GRANDE - CR$ 1.240,00 (2 x CR$ 620,00)

Interrogado sobre o critério que o restaurante teria utilizadopara xar estes valores, o maître inormou que os preços eramaqueles, pois, embora as espessuras das pizzas ossem iguais, oraio do disco que representava a grande era o dobro do raio dodisco que representava a brotinho.

Supondo que o preço da grande, economicamente, estejacorreto e, levando-se em conta apenas aspectos geométricos,isto é, os “tamanhos” das pizzas, a brotinho deveria custar, emcruzeiros reais, a quantia de:

a) CR$ 500,00b) CR$ 413,00c) CR$ 400,00d) CR$ 380,00e) CR$ 310,00

08) (UERJ) Um atleta az seu treinamento de corrida em umapista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa pista, háseis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C, D, E e F,que dividem a circunerência em seis arcos, cada um medindo60 graus.

Observe o esquema:

O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em di-reção a cada um dos outros cones, sempre correndo em linhareta e retornando ao cone A. Assim, seu percurso correspondeua ABACADAEAFA.

Considerando 3 1 7= , , o total de metros percorridos pelo

atleta nesse treino oi igual a:a) 1480b) 2960c) 3080

d) 3120

09) (UERJ) Uma pequena planta é colocada no centro P deum círculo, em um ambiente cuja única iluminação é eita poruma lâmpada L. A lâmpada é mantida sempre acesa e percorreo perímetro desse círculo, no sentido horário, em velocidadeconstante, retornando a um mesmo ponto a cada período de 12horas.

Observe o esquema:

No interior desse círculo, em um ponto O, há um obstáculoque projeta sua sombra sobre a planta nos momentos em que P,O e L estão alinhados, e o ponto O está entre P e L.

Nessas condições, mediu-se, continuamente, o quocienteentre as taxas de emissão de O2 e de CO2 da planta. Os resulta-dos do experimento estão mostrados no gráco, no qual a horazero corresponde ao momento em que a lâmpada passa por umponto A.

As medidas, em graus, dos ângulos ormados entre as retas

AP e PO são aproximadamente iguais a:

a) 20 e 160b) 30 e 150c) 60 e 120d) 90 e 90

10) (UnB) Um círculo de centro O e cujo diâmetro AB é umdos lados do triângulo eqüilátero ABC intercepta os outros doislados desse triângulo nos pontos D e E, conorme ilustra a guraabaixo. Sabendo que o diâmetro AB mede 16 cm, escolha apenasuma das opções a seguir e aça o que se pede, desconsiderando,


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correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão aser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiromês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e nosegundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos os

jovens que responderam, respectivamente,a) R$ 300,00 e R$ 500,00.b) R$ 550,00 e R$ 850,00.c) R$ 650,00 e R$ 1000,00.c) R$ 650,00 e R$ 1300,00.d) R$ 950,00 e R$ 1900,00.

16) (ENEM) Um pátio de grandes dimensões vai ser revestidopor pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão rep-resentado ao lado, que vai ser repetido em toda a extensão dopátio. As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quad-rado e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado dorevestimento será de

(A) R$ 8,20.(B) R$ 8,40.(C) R$ 8,60.(D) R$ 8,80.(E) R$ 9,00.

17) (ENEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma es-pécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângu-los retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essaspeças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo como esquema da gura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é pos-sível representar uma grande diversidade de ormas, como asexemplicadas nas guras 2 e 3.

Se o lado AB do hexágono mostrado na gura 2 mede 2 cm,então a área da gura 3, que representa uma “casinha”, é igual a

(A) 4 cm2.(B) 8 cm2.(C) 12 cm2.

(D) 14 cm2.(E) 16 cm2.

18) (UERJ) No triângulo ABC da gura abaixo, os pontos De E dividem o lado AB em três partes iguais e os pontos F, G e Hdividem o lado BC em quatro partes iguais.

A razão entre as áreas dos triângulos DEF e ABC vale:

a)1

3

b)1

4

c)1

7

d)1

12

e)1

15

19) (UERJ) O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e a suadiagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, respec-tivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}. A área do triângulo FBG éuma ração da área do paralelogramo (ABCD).

A E F B

CD

G

H

A sequência de operações que representa essa ração está in-dicada na seguinte alternativa:

a)1

2

1

3

1

3. .

b)1

2

1

3

1

3+ .

c)1

2

1

3

1

3. +

d)

1

2

1

3

1

3+ +

20) (UERJ) Um ertilizante de larga utilização é o nitrato deamônio, de órmula NH

4NO

3. Para uma determinada cultura, o

abricante recomenda a aplicação de 1 L de solução de nitratode amônio de concentração 0,5 mol.L-1 por m2 de plantação. Agura abaixo indica as dimensões do terreno que o agricultorutilizará para o plantio.

60m

90m

50m



A massa de nitrato de amônio, em quilogramas, que o agricul-tor deverá empregar para ertilizar sua cultura, de acordo com arecomendação do abricante, é igual a:

a) 120b) 150c) 180d) 200

21) (UERJ) Um tabuleiro retangular com pregos dispostos em

linhas e colunas igualmente espaçadas oi usado em uma aulasobre área de polígonos.A gura abaixo representa o tabuleiro com um elástico xado

em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D.

Considere u a unidade de área equivalente ao menor quad-rado que pode ser construído com vértices em quatro pregosdo tabuleiro.

Calcule, em u, a área do quadrilátero ABCD ormado pelo elás-tico.

22) (UnB) Sabendo-se que uma caixa de azulejos tem 1 met-ro quadrado de azulejo, quantas caixas completas de azulejosdevem ser compradas para revestir até o teto as quatro paredesde um cozinha, com as dimensões do esquema abaixo? Cadaporta tem 1,50 m2 de área e a janela área de 1 m2.

2,90 m

3, 5 0 m

4,50 m

23) (UnB) Na gura ao lado, ABCD é um quadrado de ladode comprimento igual a 1, e os arcos que limitam a região som-breada I são arcos de circunerência centradas nos vértices doquadrado. Representando por x a distância do ponto E ao ladoAD, julgue os itens a seguir.

I

H

A

D

F

G

B

C

I

E

x

01. x = −1 32

.

02. O comprimento do arco de círculo FB é igual ap

12.

03. O comprimento do segmento DE é igual a 2 3- .

04. A área da região I é igual ap

3+ −

5

43 .

24) (Fuvest) Na gura abaixo, os triângulos ABC e DCE sãoequiláteros de lado L , com B, C e E colineares. Seja F a inter-

secção de BD com AC . Então, a área do triângulo BCF é:

A D

B C E

F

a)3

8

2 L

b)3

6

2 L

c)3

3

2 L

d)5 3

6

2 L

e) 2 33

2 L

25) (Fuvest) Os quadrados da gura têm lados medindo 10cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o centro do quadrado demenor lado, o valor da área hachurada, em cm², é:

10cm

20cm

C

a) 25b) 27c) 30d) 35e) 40

26) (ENEM) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão debeleza para melhorar o conorto dos seus clientes no inverno.Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores:modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás pro-pano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h

de gás propano e cobre 45 m2 de área. O abricante indica que oaquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menordo que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade porambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área dosalão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte(ambientes representados por três retângulos e um trapézio).

Avaliando-se todas as inormações, serão necessários



a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.

27) (ENEM) Para decorar a achada de um ediício, um ar-quiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadradosde lado medindo 1 m, conorme a gura a seguir.

Nesta gura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos la-

dos do quadrado e os segmentos AP e QC medem1

4da medida

do lado do quadrado. Para coneccionar um vitral, são usadosdois tipos de materiais: um para a parte sombreada da gura,que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiõesABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.

De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usa-dos na abricação de um vitral?

a) R$ 22,50b) R$ 35,00c) R$ 40,00

d) R$ 42,50e) R$ 45,00

1) (UERJ) No toldo da barraca de seu Antônio, decorado compolígonos coloridos, destaca-se um dodecágono cujos vérticessão obtidos a partir de quadrados construídos em torno de umhexágono regular, conorme mostra o desenho abaixo.

a) Demonstre que o dodecágono ABCDEFGHIJKL é umpolígono regular.

b) Tomando o quadrado de lado AB como unidade de área,

calcule a área desse dodecágono.

2) (UERJ) Na análise dos problemas relativos aos trapézios,aprende-se que é muito útil traçar, por um dos vértices da basemenor, um segmento paralelo a um dos lados do trapézio. Dessaorma, os trapézios podem ser estudados como sendo a uniãode paralelogramos e triângulos, conorme ilustração abaixo.

R

ST

U

a

b

c

B

R

ST

U

c c a b

b (B-b)P

Assim, a análise do trapézio RSTU passa, basicamente, para otriângulo de lados a c B b, e - . A altura, a existência e os ângu-

los do trapézio RSTU podem ser calculados a partir dos corre-spondentes, no triângulo RSP.

Considere, então, um trapézio onde as bases medem 10cm e15cm e os outros dois lados, 5cm cada um.

Logo, o número inteiro de centímetros que mais se aproximada medida da altura desse trapézio é:

a) 3b) 4c) 5d) 6

e) 7

3) (UERJ) A gura abaixo representa o brinquedo Piramix.

Ele tem a orma de um tetraedro regular, com cada ace di-vidida em 9 triângulos equiláteros congruentes.

Se, a partir de cada vértice, or retirada uma pirâmide regularcuja aresta é 1/3 da aresta do brinquedo, restará um novo sólido.

A razão entre as superícies totais desse sólido e do Piramix


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.

A

B

C

D

E

F A’

B’

C’

D’

F’

M

E’

Figura 1

.60°60°60°60°

60°

60°60°

60°

Figura 2

11) (UnB) Uma circunerência de raio 14 cm circunscreve umtriângulo ABC. Calcule a medida do lado AB, sabendo-se que otriângulo ABC não é retângulo e que o ângulo AĈB mede 30°.

12) (UnB) Uma casa tem 3 salas retangulares A, B e C, demesma largura, sendo A quadrada. Os comprimentos de B e Csão, respectivamente, 5m e 4m. Se as 3 salas juntas ormam umasérie de 36m2, qual é a área da sala quadrada?

13) (Fuvest) No jogo de bocha, disputado num terreno plano,o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo

possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu azer com que as duas bolas cassem encos-tadas, conorme ilustra a gura abaixo. A distância entre os pon-tos A e B, em que as bolas tocam o chão, é:

A B

a) 8

b) 6 2

c) 8 2

d) 4 3

e) 6 3

14) (Fuvest) Numa circunerência, C1

é o comprimento do

arco de p6

radianos e C2

é o comprimento da secante determi-

nada por este arco, como ilustrado na gura abaixo. Então, a

razão C1/C2 é igual a p6

multiplicado por:

C2

C1

6π

a) 2

b) 1 2 3+

c) 2 3+

d) 2 2 3+

e) 3 3+

15) (Fuvest) Um agricultor irriga uma de suas plantações uti-lizando duas máquinas de irrigação. A primeira irriga uma regiãoretangular, de base 100m e altura 20m, e a segunda irriga umaregião compreendida entre duas circunerências de centro O,e de raios 10m e 30m. A posição relativa dessas duas regiões édada na gura onde A e B são os pontos médios das alturas doretângulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O estão alin-hados e que BO = 20m, determine:

A B O

a) a área da intersecção das regiões irrigadas pelas máquinas;b) a área total irrigada.

Utilize as seguintes aproximações: 2 1 41= , , p = 3 14, e

arc sen rad 1

30 340= , .

16) (Fuvest) Na gura seguinte, estão representadas um

quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircun-erência de raio 2. Então a área da região hachurada é:

a)p

2+ 2

b) p + 2

c) p + 3

d) p + 4

e) 2 1p +

17) (Fuvest) O perímetro de um setor circular de raio R eângulo central medindo a radianos é igual ao perímetro de umquadrado de lado R. Então a é igual a:

a)p

3

b) 2c) 1

d)2

3

p

e)p

2

18) (Fuvest) Dois irmãos herdaram um terreno com aseguinte orma e medidas:

.

.

.

A B C

ED

AD AB BC= = =20 60 16m m m; ; .

Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles us-

aram uma reta perpendicular a AB . Para que a divisão seja eita

corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros de-verá ser de:



a) 31b) 32c) 33d) 34e) 35

19) (Fuvest) Considere o triângulo representado na malhapontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm. A área dotriângulo, em cm², é:

•

•

•

•

•

•

•

•

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•

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•

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•

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•

•

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•

•

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•

•

•

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

20) (Fuvest) No papel quadriculado da gura ao lado, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado hachura-

do. DE é paralelo a BC . Para que a área do triângulo ADE seja

a metade da área do triângulo ABC, a medida de AD , na uni-

dade adotada, é

B

C

DA

E

a) 4 2

b) 4

c) 3 3

d) 8 33

e) 7 3

2

21) (Fuvest) A, B e C são pontos de uma circunerência de raio3 cm, AB BC= e o ângulo ABC mede 30°.

a) Calcule, em cm, o comprimento do segmento AC.b) Calcule, em cm2, a área do triângulo ABC.

22) (Fuvest) O triângulo ABC está inscrito numa circuner-ência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são extremidades de umdiâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triânguloABC, em cm2, vale

a) 24b) 12

c)5 3

2

d) 6e) 2

23) (Fuvest) Um setor circular, com ângulo central q

( 0 2<



a) o valor de r .

b) a área da região hachurada.

27) (Fuvest) Na gura abaixo, o triângulo ABC inscrito na cir-

cunerência tem AB AC= . O ângulo entre o lado AB e a altura

do triângulo ABC em relação a BC é a . Nestas condições, o

quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo dagura é dado, em unção de a, pela expressão:

a)

2 2

παcos

b)2

22

π

α sen

c)2

22

π

α α sen cos

d)2

2π

α α sen cos

e)2

22

π

α α sen cos

28) (Fuvest) A soma das distâncias de um ponto interior de

um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida dolado do triângulo é:

a) 5 3

b) 6 3

c) 7 3

d) 8 3

e) 9 3

29) (Fuvest) Na gura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB eCEA são arcos de circunerências de raio 1. Logo, a área da regiãohachurada é:

a) 16

3

4− +

p

b) 13

3

2− +

p

c) 16

3

4- -

p

d) 13

3

2+ −

p

e) 13

3

4- -

p

30) (Fuvest) Na gura abaixo, os segmentos AB e CD são

paralelos, o ângulo OÂB mede 120º, AO= 3 e AB= 2 . Saben-

do-se ainda que a área do triângulo OCD vale 600 3 ,

a) calcule a área do triângulo OAB.b) determine OC e CD.

31) (Fuvest) A gura representa um trapézio ABCD de bases

AB e CD , inscrito em uma circunerência cujo centro O está

no interior do trapézio.

Sabe-se que AB= 4 , CD= 2 e AC = 3 2 .

a) Determine a altura do trapézio.b) Calcule o raio da circunerência na qual ele está inscrito.c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada

pela circunerência.

32) (Fuvest) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado

AD ; N está sobre o lado BC e 2BN NC= . Sabe-se que as áre-

as dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC=10 .

Calcule AB.

33) (Fuvest) O círculo C, de raio R, está inscrito no triânguloequilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do triânguloDEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo,conorme a gura.



Assim, determinea) a razão entre R r e .

b) a área do triângulo DEF em unção de r .

34) (Fuvest) A gura representa sete hexágonos regulares delado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com oscentros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pen-tágono hachurado é igual a

a) 3 3

b) 2 3

c)3 3

2

d) 3

e)3

2

35) (Fuvest) Na gura, estão representadas a circunerênciaC, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:

1. O ponto O pertence ao segmento PQ .

2. OP = =1, OQ 2 .3. A e B são pontos da circunerência, AP PQ^ e BQ PQ^

.

Assim sendo, determine:

a) A área do triângulo APO.b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.c) A área da região hachurada.



GabaritoPolígonos: ângulos e relações

1) D2) E3) A

4) C5) B

6) 36°

7) A8) B

9) C10) E

11) D12) C13) D

14) A15) E

16) D17) C18) B

19) 10

20) B21) C22) 2923) D

Triângulos e quadriláteros: relações métricas, con-gruência e semelhança

1) C2) A

3) 74m4) D

5) 656) A7) E

8) 159) CCCC

10) 5111) EEC12) a)a = 30° b) g = 90°

13) 3214) B

15) A16) D17) D

18) A19) E

20) A21) B22) A

23) AD= 7

24) D

25) MN =11

30

26) C27) E

28) 129) D

Circunferências e Áreas1) a)

O triângulo FGP é equilátero, todos os lados do do-

decágono são congruentes ao lado do quadrado e o do-decágono é equilátero.

Cada ângulo interno do dodecágono mede 90o + 60o =

150o. O dodecágono é equiângulo; logo, esse polígono éregular.

b) ( )3 3 6+ unidades

2) B3) D

4) x m y m= =6 9e

5) 64 caixas

6) PS

PQ

x

x= =

2 5

2

5

5

7) A8) B9) 72

10) 0311) 14

12) 0913) C

14) C15) a) 188m2; b) 4638m2 16) B

17) B18) D19) A

20) A21) a) 3 cm

b)9( 3 2)

4

+cm2

22) A

23) a) r R= −

1 2

θ

π b)

R3

2

2

24 2 4π π θ θ π θ( ) ( )- -

24) a) CN CM = =2

3; b)

3

9

25) 6 3 6Àcm+

26) a) r = +2 2 2 ; b) 48 32 2 16 8 2+ − +( )p .

27) E28) B29) C

30) a)3 3

2; b) OC = 60 e CD = 40.

31) a) HC= 3 ; b) R = 5 ; c) 5 9p - .32) 20

33) a) R

r = 3 b) 27 3 2r

34) E

35) a)3

2; b)

5

6 6

p pe19

; c)3 3 6 5

6

+ + p



GeometriaEspacialApoio



Geometria Espacial

1) (ENEM) Maria quer inovar em sua loja de embalagens edecidiu vender caixas com dierentes ormatos. Nas imagensapresentadas estão as planicações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partirdessas planicações?

a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

e) Cilindro, prisma e tronco de cone.

2) (ENEM) Suponha que, na escultura do artista EmanoelAraújo, mostrada na gura a seguir, todos os prismas numera-dos em algarismos romanos são retos, com bases triangulares,e que as aces laterais do poliedro II são perpendiculares à suaprópria ace superior, que, por sua vez, é um triângulo congru-ente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere queos prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedroII.

Disponível em: ww w.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 2009.

Imagine um plano paralelo à ace a do prisma I, mas quepasse pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicadona gura. A interseção desse plano imaginário com a escultura

contéma) dois triângulos congruentes com lados correspondentes

paralelos.b) dois retângulos congruentes e com lados correspond-

entes paralelos.c) dois trapézios congruentes com lados correspondentes

perpendiculares.d) dois paralelogramos congruentes com lados correspond-

entes paralelos.e) dois quadriláteros congruentes com lados correspond-

entes perpendiculares.

3) (ENEM) Os hidrômetros são marcadores de consumo de

água em residências e estabelecimentos comerciais. Existemvários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que al-guns deles possuem uma combinação de um mostrador e doisrelógios de ponteiro. O número ormado pelos quatro primeirosalgarismos do mostrador ornece o consumo em m3, e os doisúltimos algarismos representam, respectivamente, as centenase dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de

ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em décimosde litros, conorme ilustrados na gura a seguir.

Considerando as inormações indicadas na gura, o consumototal de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a

a) 3 534,85.

b) 3 544,20.c) 3 534 850,00.d) 3 534 859,35.e) 3 534 850,39.

4) (ENEM) Alguns objetos, durante a sua abricação, neces-sitam passar por um processo de resriamento. Para que issoocorra, uma ábrica utiliza um tanque de resriamento, comomostrado na gura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos notanque um objeto cujo volume osse de 2 400 cm3?

a) O nível subiria 0,2 cm, azendo a água car com 20,2 cmde altura.

b) O nível subiria 1 cm, azendo a água car com 21 cm dealtura.

c) O nível subiria 2 cm, azendo a água car com 22 cm dealtura.

d) O nível subiria 8 cm, azendo a água transbordar.e) O nível subiria 20 cm, azendo a água transbordar.

5) (ENEM) A resistência mecânica S de uma viga de madeira,em orma de um paralelepípedo retângulo, é diretamenteproporcional à sua largura ( b ) e ao quadrado de sua altura ( d )

e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre ossuportes da viga, que coincide com o seu comprimento ( x ),

conorme ilustra a gura. A constante de proporcionalidade k

é chamada de resistência da viga.

BUSHAW, D. et al. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.



A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeiraé

a) S k b d

x

=

⋅ ⋅2

2.

b) S k b d

x

=

⋅ ⋅

2.

c) S k b d

x=

⋅ ⋅2

.

d) S k b d

x

=

⋅ ⋅2

2.

e) S k b d

x=

⋅ ⋅ 2

2.

6) (ENEM) Uma indústria abrica brindes promocionais emorma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortesem um sólido que tem a orma de um cubo. No esquema, estãoindicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partirdele.

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mes-mos. O ponto O é central na ace superior do cubo. Os quatro

cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB, CD nessa

ordem. Após os cortes são descartados quatro sólidos.Os ormatos dos sólidos descartados sãoa) todos iguais.

b) todos dierentes.c) três iguais e um dierente.d) apenas dois iguais.e) iguais dois a dois.

7) (ENEM) Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas su-perpostas iguais, tendo assim empregado:

a) 100 bolinhas.b) 300 bolinhas.c) 1000 bolinhas.d) 2000 bolinhas.e) 10000 bolinhas.

8) (ENEM) Uma segunda pessoa procurou encontrar outramaneira de arrumar as bolas na caixa achando que seria umaboa ideia organizá-las em camadas alternadas, onde cada bolin-ha de uma camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada ine-

rior, como mostra a gura. Deste modo, ela conseguiu azer 12camadas. Portanto, ela conseguiu colocar na caixa:

(A) 729 bolinhas.(B) 984 bolinhas.(C) 1000 bolinhas.(D) 1086 bolinhas.(E) 1200 bolinhas.

9) (ENEM) Assim como na relação entre o perl de um cortede um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultamda rotação de guras planas em torno de um eixo. Girando-se asguras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidosde revolução que estão na coluna da direita.

A correspondência correta entre as guras planas e os sóli-dos de revolução obtidos é:

a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.

e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.

Uma garraa cilíndrica está echada, contendo um líquidoque ocupa quase completamente seu corpo, conorme mostraa gura. Suponha que, para azer medições, você disponha ap-enas de uma régua milimetrada.

10) (ENEM) Para calcular o volume do líqui-do contido na garraa, o número mínimo demedições a serem realizadas é:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

11) (ENEM) Para calcular a capacidade totalda garraa, lembrando que você pode virá-la, o



número mínimo de medições a serem realizadas é:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

12) (ENEM) Uma empresa de transporte armazena seu com-bustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontal-

mente. Seu conteúdo é medido com uma vara graduada emvinte intervalos, de modo que a distância entre duas gradu-ações consecutivas representa sempre o mesmo volume.

A ilustração que melhor representa a distribuição das gradu-ações na vara é:

a)

b)

c)

d)

e)

13) (ENEM) João propôs um desao a Bruno, seu colegade classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide aseguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamen-to no plano da base da pirâmide.

O deslocamento descrito por João oi: mova-se pela pi-râmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguirdo ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Brunodeve azer é

a)

b)

c)



d)

e)

14) (ENEM) O globo da morte é uma atração muito usada emcircos. Ele consiste em uma espécie de jaula em orma de umasuperície esérica eita de aço, onde motoqueiros andam comsuas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma otode um globo da morte e, na Figura 2, uma esera que ilustra um

globo da morte.

Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colo-cado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro daesera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há umoco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e queum motoqueiro aça um trajeto dentro da esera, percorrendouma circunerência que passa pelos pontos A e B.

Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 ev. 2012.

A imagem do trajeto eito pelo motoqueiro no plano do chãoé melhor representada por

a)

b)

c)

d)

e)

15) (ENEM) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, ovolume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordocom uma prática dessas regiões:

I - Dá-se uma volta completa em torno do tronco com umbarbante.

II - O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em se-guida, seu comprimento é medido com ta métrica.

III - O valor obtido com essa medida é multiplicado por elemesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco.Esse é o volume estimado de madeira.

Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo ormal do vol-ume do tronco, considerando-o um cilindro pereito.

A dierença entre essas medidas é praticamente equivalenteàs perdas de madeira no processo de corte para comerciali-zação.

Pode-se armar que essas perdas são da ordem de(A) 30%.(B) 22%.

(C) 15%.(D) 12%.(E) 5%.

16) (ENEM) Um abricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos,colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A gurarepresenta a planicação da caixa, com as medidas dadas emcentímetros.



Os sólidos são abricados nas ormas deI. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm.II. um cubo de aresta 2 cm.III. uma esera de raio 1,5 cm.IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm,

3 cm e 4 cm.V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.O abricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela

abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos

(A) I, II e III.(B) I, II e V.(C) I, II, IV e V.(D) II, III, IV e V.(E) III, IV e V.

17) (ENEM) Uma editora pretende despachar um lote de liv-ros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. Atransportadora acondicionará esses pacotes em caixas com or-mato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quanti-dade mínima necessária de caixas para esse envio é:

a) 9b) 11

c) 13d) 15e) 17

18) (ENEM/2003) Na literatura de cordel, os textos são im-pressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de ormato 10,5cm x 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal ato estãorelacionadas à orma artesanal como são montadas as publi-cações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponív-el. Considere, abaixo, a conecção de um texto de cordel com 8páginas (4 olhas):

Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir umexemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x15,5 cm, com omenor gasto possível de material, utilizando uma única olha de

a) 84 cm x 62 cmb) 84 cm x 124 cmc) 42 cm x 31 cmd) 42 cm x 62 cme) 21 cm x 31 cm

19) (ENEM/2003) Prevenindo-se contra o período anual deseca, um agricultor pretende construir um reservatório echado,que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no tel-hado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso.

As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, aquantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, ea orma do reservatório a ser construído.

Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmu-lo de 100 litros de água em uma superície plana horizontal deum metro quadrado, a proundidade (p) do reservatório deverámedir

a) 4mb) 5mc) 6md) 7me) 8m

20) (ENEM/2005) Os três recipientes da gura têm ormasdierentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca.

Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, con-orme indicado nas guras.Representando por V , V e V1 2 3 o volume de líquido em

cada um dos recipientes, tem-se

a) V V V1 2 3= =

b)V V



d) a metade.e) a terça parte.

22) (ENEM) Eclusa é um canal que, construído em águas deum rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, sub-ida

ou descida de embarcações. No esquema abaixo, está repre-sentada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Pri-mavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante.

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água duranteo esvaziamento da câmara é de 4.200 m3 por minuto. Assim,para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma em-barcação leva cerca de

a) 2 minutos.b) 5 minutos.c) 11 minutos.d) 16 minutos.e) 21 minutos.

23) (ENEM) Representar objetos tridimensionais em uma ol-ha de papel nem sempre é tarea ácil. O artista holandês Escher

(1898-1972) explorou essa diculdade criando várias guras pla-nas impossíveis de serem construídas como objetos tridimen-sionais, a exemplo da litograa Belvedere, reproduzida ao lado.

Considere que um marceneiro tenha encontrado algumasguras supostamente desenhadas por Escher e deseje construiruma delas com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmotamanho. Qual dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir emum modelo tridimensional real?

a)

b)

c)

d)

e)

24) (ENEM) A diversidade de ormas geométricas espaciais

criadas pelo homem, ao mesmo tempo em que traz beneícios,causa diculdades em algumas situações. Suponha, por exem-plo, que um cozinheiro precise utilizar exatamente 100 mL deazeite de uma lata que contenha 1.200 mL e queira guardar orestante do azeite em duas garraas, com capacidade para 500mL e 800 mL cada, deixando cheia a garraa maior. Considere



que ele não disponha de instrumento de medida e decida re-solver o problema utilizando apenas a lata e as duas garraas. Asetapas do procedimento utilizado por ele estão ilustradas nasguras a seguir, tendo sido omitida a 5ª etapa.

Qual das situações ilustradas a seguir corresponde à 5ª etapado procedimento?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

1) (Unicamp) É comum encontrarmos mesas com 4 per-nas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nosobrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermosrme. Explique usando argumentos de geometria, por que issonão acontece com uma mesa de 3 pernas.

2) (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices con-correm 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. Onúmero de aces desse poliedro é igual a:

a) 16.b) 18.c) 24.d) 30.e) 44.

3) A soma dos ângulos das aces de um poliedro convexo vale720°. Sabendo-se que o número de aces vale 2/3 do número dearestas, pode-se dizer que o número de aces vale.

a) 6.b) 4.c) 5.d) 12.e) 9.

4) (Cesgranrio) Um poliedro convexo é ormado por 4 ac-es triangulares, 2 aces quadrangulares e 1 ace hexagonal. Onúmero de vértices desse poliedro é de:

a) 6.b) 7.c) 8.d) 9.

e) 10.

5) (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas ex-plorações, um cristal de rocha no ormato de um poliedro, quesatisaz a relação de Euler, de 60 aces triangulares. O número devértices deste cristal é igual a:

a) 35.b) 34.c) 33.d) 32.e) 31.

6) (Ufmg) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A me-

dida de sua diagonal, em centímetros, éa) 0,8 3 .

b) 6.c) 60.

d) 60 3 .

e) 900 3 .

7) (Ufmg) As dimensões de uma caixa retangular são 3cm,20mm e 0,07m. O volume dessa caixa, mililitros, é

a) 0,42.b) 4,2.c) 42.d) 420.e) 4200.

8) (Fuvest) Dois blocos de alumínio, em orma de cubo, comarestas medindo 10 cm e 6cm são levados juntos à usão e emseguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo



reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é:a) 16.b) 17.c) 18.d) 19.e) 20.

9) (Unicamp) Ao serem retirados 128 litros de água de umacaixa d’água de orma cúbica, o nível da água baixa 20 centímet-

ros.a) Calcule o comprimento das arestas da reerida caixa.b) Calcule sua capacidade em litros (1 litro equivale a 1

decímetro cúbico).

10) (Fuvest) Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo

reto-retângulo) de base quadrada de lado 4cm e altura 20 3

cm, com2

3de seu volume cheio de água, está inclinado sobre

uma das arestas da base, ormando um ângulo de 30° com osolo (ver seção lateral a seguir). Determine a altura h do nível daágua em relação ao solo.

11) (UNB) Considere um tetraedro regular com vértices A, B,C e D e arestas de comprimento igual a 17 cm, no qual M, N, Oe P são pontos médios das arestas AB, BC, CD, e DA, respecti-vamente. Calcule, em centímetros, o perímetro do quadriláterocom vértices M, N, O e P, desprezando a parte racionária de seuresultado, caso exista.

12) (UNB) Na gura abaixo, à esquerda, representa-se umreservatório de altura h e base retangular de 2 m de largura e 3m de comprimento e, à direita, representa-se uma das paredesrontais desse reservatório. As paredes laterais (BDEF e ACGH)são inclinadas em 45° com relação ao plano da base e as paredesrontais são perpendiculares à base do reservatório. Calcule, emdecímetros, o valor da altura h necessária para que a capacidadedo reservatório seja de 8.000 l. Despreze a parte racionária deseu resultado, caso exista.

13) (UnB) Para edicação de uma casa oi necessário nivelar oterreno, inicialmente plano e inclinando, azendo-se um aterro.Depois de aterrado e nivelado, obteve-se um terreno de ormaplana e quadrada, com 144m2 de área. As alturas do aterro emcada um dos vértices do terreno original estão apresentadas nagura a seguir. Calcule, em metros cúbicos, o volume de terrautilizada nesse aterro, desprezando a parte racionária de seuresultado, caso exista.

14) (UnB) Dois cubos claros e idênticos são encaixados em

um sólido escuro, ormando um cubo maior, como mostra aobra de Hércules Barsotti reproduzida abaixo, que se encontrano Museu de Arte Moderna de São Paulo. Considerando que olado do cubo maior seja o dobro do lado do cubo claro, julgueos itens subsequentes.

(1) Considerando as aces do cubo maior, a razão entre a área

clara total e a área escura total é igual a1

3.

(2) A razão entre a área total do sólido escuro e a área total do

cubo maior é igual a3

4.

(3) A razão entre o volume total dos dois cubos claros e o

volume do sólido escuro é igual a1

3.

15) (Fuvest) Deseja-se construir um cone circular reto com4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isso, recorta-se, emcartolina, um setor circular para a superície lateral e um círculopara a base. A medida do ângulo central do setor circular é:

a) 144°.b) 192°.c) 240°.d) 288°.e) 336°.

16) (Fuvest ) No sólido S representado na gura ao lado, abase ABCD é um retângulo de lados AB = 2l e AD = l ; as aces

ABEF e DCEF são trapézios; as aces ADF e BCE são triângulosequiláteros e o segmento EF tem comprimento l . Determinar,

em unção de l , o volume de S.

17) (Fuvest) No cubo de aresta ‘a’ mostrado na gura adi-

ante, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH respectiva-mente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadri-látero XCYE. Calcule, em unção de a,

a) o comprimento do segmento XY.b) a área da base da pirâmide.c) o volume da pirâmide.



18) (Unicamp) Cada aresta de um tetraedro regular mede 6cm. Para este tetraedro, calcule:

a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duasarestas que não têm ponto comum;

b) o raio da esera inscrita no tetraedro.

19) (Fuvest) Um telhado tem a orma da superície lateral deuma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhadosão vendidas em lotes que cobrem 1m2. Supondo que possahaver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), onúmero mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a) 90.

b) 100.c) 110.d) 120.e) 130.

20) (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice Erepresentada na gura tem volume 4. Se M é o ponto médio daaresta AB e V é o ponto médio da aresta EC, então o volume dapirâmide de base AMCD e vértice V é:

a) 1.b) 1,5.c) 2.d) 2,5.e) 3.

21) (Ufmg) Observe a gura.

Essa gura representa um prisma reto de base triangular. Oplano que contém os vértices B, D e F divide esse prisma em doissólidos: DACFB, de volume V1 , e DEFB, de volume V2 . Assim

sendo, a razãoV

V

1

2

‚ é

a) 1.b) 3/2.

c) 2.d) 5/2.

22) (Uerj) Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro igual a6 cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica, comtampa. As bolas tangenciam a superície interna da embalagem

nos pontos de contato, como ilustra a gura a seguir.

Calcule:a) a área total, em cm2, da superície da embalagem;b) a ração do volume da embalagem ocupado pelas bolas.

23) (FEPECS) Um cilindro circular reto, de chumbo, deve iso-lar completamente uma substância radioativa. As medidas ex-ternas do cilindro são: altura, 20 cm; diâmetro da base, 16 cm. Sea espessura das paredes do cilindro deve ser 1cm, a quantidadede chumbo suciente para construir o cilindro com um mínimode sobra, em centímetros cúbicos, dentre as listadas a seguir, é:

a) 1.194.b) 1.251.

c) 1.254.d) 1.408.e) 1.413.

24) (FEPECS) O braço de um paciente deve ser enrolado emuma atadura. Suponha que o braço tenha uma orma aproxi-madamente cilíndrica com cerca de 30 cm de comprimento e20 cm de circunerência. Se cada rolo de atadura mede 1 m por10 cm e se cada porção do braço deve receber quatro voltas deatadura, então será necessária a seguinte quantidade de rolosde atadura:

a) 1.b) 2.

c) 3.d) 4.e) 5.

25) (Ufmg) Num cilindro de 5 cm de altura, a área da base éigual à área de uma seção ormada por um plano que contém oeixo do cilindro, tal como a seção ABCD na gura a seguir.

O volume desse cilindro é de

a)250

cm3

p.

b)500

cm3

p.

c)625

cm3

p.

d)125

cm3

p.

26) (Ufrrj) Carlos é um rapaz viciado em beber rerigerantediet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou em rente a umacompanhia de gás, onde viu um enorme reservatório cilíndricode 3 metros de altura com uma base de 2 metros de diâmetro epensou... “Em quanto tempo eu beberia aquele reservatório in-



teiro, se ele estivesse cheio de rerigerante diet?” Considerandoπ = 3 14, e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de rerigerante

diet por dia, pode-se armar que ele consumirá todo o líquidodo reservatório em um período de

a) 86 dias.b) 86 meses.c) 86 anos.d) 8,6 anos.

27) (FEPECS) O cone e o cilindro da gura têm base comum,de raio 2. A altura do cilindro é 2 e a do cone é 4.

O volume do tronco de cone que corresponde à interseçãoentre os dois é igual a:

a) 143

p .

b)2

3

p.

c) 8p .

d)8

3

p.

e)16

3

p.

28) (Ufmg) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e áreada base igual a 1200 cm2, está com água até a metade de sua ca-

pacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modoque quem totalmente submersas, o nível da água sobe para16,5 cm. Então, o volume das pedras é

a) 1 200 cm3.b) 2 100 cm3.c) 1 500 cm3.d) 1 800 cm3.

29) (PAS) A gura acima ilustra um incinerador de lixo decorpo composto por uma câmara central cilíndrica e por duascâmaras laterais semieséricas, cujas dimensões estão indicadasna gura. Com base nessas inormações, aça o que se pede nositens de 1 a 3, que são do tipo B. Desconsidere, para a marcaçãona olha de respostas, a parte racionária do resultado nal ob-tido, após eetuar todos os cálculos solicitados.

(1) Calcule, em cm2, a soma das áreas externas das duas câ-maras laterais indicadas. Divida o valor encontrado por 100 p .

(2) Calcule, em cm2, a área externa total do corpo doincinerador. Divida o valor encontrado por 1.000 p .

(3) Calcule, em cm3, o volume total ocupado pelo corpo doincinerador. Divida o valor encontrado por 10.000 p .

30) (Fuvest) Um cálice com a orma de cone contém Vcm3 de uma bebida. Uma cereja de orma esérica com diâmetro de2 cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja re-pousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exata-mente a cereja a uma altura de 4cm a partir do vértice do cone,determinar o valor de V.

31) (Fuvest) Uma caixa d’ água tem a orma de um cone cir-cular reto como ilustrado na gura a seguir. 7329 litros de águaoram retirados da caixa ocasionando um abaixamento de ummetro no nível da água. Quantos litros de água existiam inicial-mente na caixa? Para os cálculos use π = 3 14, .

32) (Ufmg) Um reservatório de água tem orma de um conecircular reto, de eixo vertical e vértice para baixo. Quando o nív-el de água atinge a metade da altura do tanque, o volume ocu-pado é igual a p . A capacidade do tanque é

a) 2 p .

b) 8 p /3.

c) 4 p .

d) 6 p .

e) 8 p .

33) (Ufmg)

Nessa gura, a base da pirâmide VBCEF é um quadrado in-scrito no círculo da base do cone de vértice V. A razão entre ovolume do cone e o volume da pirâmide, nesta ordem, é

a)p

4.

b)p

2.

c) p .

d) 2p .

e)2

3

p.

34) (UnB) Uma ampulheta oi construída tendo-se eito umpequeno uro nos vértices de dois cones circulares retos iguais,que oram unidos por esses vértices. O raio da base — r — decada cone equivale a 20% da sua altura — h. A areia colocada na

ampulheta ocupa inicialmente todo o volume — V=1

3

2pr h —


40/42



42)

Antes de assistir a um lme, Maria comprou um copo de re-rigerante, no qual a atendente colocou 5 cubos de gelo, sendoque cada aresta de cada cubo de gelo media 2 cm. O copo uti-lizado por Maria tinha o ormato de um tronco de cone circularreto com altura igual a 10 cm, com undo e borda circulares deraios iguais a, respectivamente, 3 cm e 4 cm, conorme ilustradona gura. O copo com rerigerante e cubos de gelo recebidopor Maria estava cheio até a borda, sem haver transbordamen-to. Nessa situação, assumindo que as densidades do gelo e dorerigerante são, respectivamente, iguais a 0,92 g.cm-3 e 1,08g.cm-3 e tomando 3,14 como valor aproximado de B, aça o quese pede no item a seguir, que é do tipo B, desprezando, para amarcação na olha de respostas, a parte racionária do resultadonal obtido, após ter eetuado todos os cálculos solicitados.

Calcule, em cm3, o volume de refrigerante contido nessecopo antes de o gelo começar a derreter.

GABARITO

1) Três pontos não colineares determinam um únicoplano.

2) A3) B

4) C5) D

6) D

7) C8) D

9) a) a = 8 dm b) V = 512 litros.10) 21 cm

11) 34 cm12) 10 dm13) 72

14) CEC15) D

16)5 2

12

3l

17) a) a 2 b)a2

6

2

c)a3

6

18) a) 3 2 cm b)6

2cm

19) A20) B21) C

22) a) 126 p cm2. b) 2/3.

23) B

24) C25) D

26) D27) A

28) D29) (1) 400 (2) 120 (3) 73330) 4 p /3 cm3

31) 8376 litros32) E

33) B34) 30035) 46

36) 30 cm37) E

38) Círculo de Raio = 2, com centro na origem do plano.39) V F V F V40) Raio da esfera menor = 1/2 Raio da esfera maior = 1

41) a) 99/56 cm3 b) 9,9 g42) 353


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enem apoio 1

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