ElektromagnetismeElektromagnetismeDoel:

– “Tour d`horizon” elektromagnetisme: Elektrische krachten, velden, (statisch) Magnetische krachten, velden, (statisch) Unificatie elektriciteit & magnetisme + Golven

⇒ Maxwell vergelijkingen ⇒ LichtVorm:

– Interactief Hoorcollege, demonstraties, werkcollege & practicum

Docenten:– “Interactief Hoorcollege”: Auke-Pieter Colijn & Marcel Vreeswijk– “Werkcollege”: Gordon Lim & Martijn Gosselink– Digitale Opgaves in BlackBoard: Wolter Kaper & Geri Losekoot– Experimenten: Paul Vlaanderen

Blackboard:– Let op: Inschrijven bij onderwijsburo verplicht.– Meer informatie op blackboard: www.science.uva.nl of webpage

www.nikhef.nl/user/h73/knem.html

4.5 EC

Electrodynamica& Licht 3.0 EC

ElektromagnetismeElektromagnetismeOpgaves:

– Papieren opgaves maken tijdens werkcollege.– Question Marks= digitale huiswerk-opgaves. Verplicht + tellen mee voor eindcijfer.

Wekelijks inleveren, zie blackboard.– Oefen-Tentamen opgaves. Deze tellen ook mee voor eindcijfer. Worden nog uitgedeeld

en inleverdata worden nog afgesproken. 2 voor Electrostatica, 2 voor Magnetostatica.– (college “Electrodynamica & Licht” heeft zelfde opzet)

Tentamens (zie rooster, denk eraan om je in te schrijven voor tentamens):– Tentamen Electromagnetisme (electrostatica+magnetostatica)– Tentamen Electrodynamica– 1 herkansing geroosterd, 2de herkansing op afspraak en alleen indien je huiswerk hebt

ingeleverd en college hebt gevolgd.

Beoordeling:– Prakticum (gewicht 20%): 1 verslag (Millikan) en mondeling tijdens experimenteren +

verkort labjournaal.– Theorie (gewicht 80%): Cijfer = 0.6 T+0.1 (Q) + 0.1 (O_elec) + 0.1 (O_mag)

“Q”: Question Mark opgaves (wekelijks)“O_elec”: Oefen-Tentamen opgave 2 x electrostatica“O_mag”: Oefen-Tentamen opgave 2 x magnetostatica“T”: Tentamen – cijfer minstens 5.00, anders sowieso onvoldoende.

Literatuur/InformatieLiteratuur/Informatie

http://www.colorado.edu/physics/2000/waves_particles/wavpart2.htmlLeuke animaties:

http://academic.mu.edu/phys/matthysd/web004/lectures.htmGoede cursussen:

Hoe dingen werken (bliksem, microwave):http://www.howstuffworks.com

http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/07elecst/

http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/08magnet/default.htm

College Info:http://www.nikhef.nl/user/h73

““Introduction to ElectrodynamicsIntroduction to Electrodynamics””David J. GriffithsDavid J. Griffiths

Aanbevolen boek:Syllabus (engels)

HetHet BoekBoek: :

““Introduction to ElectrodynamicsIntroduction to Electrodynamics””David J. GriffithsDavid J. Griffiths

Te gebruiken bij (“good value for money!”):• 1e jaars college “Klassieke Natuurkunde IC” (dit college)• 3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 1”• 3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 2”

Hoofdstukken uit Griffith voor deze inleidende & oriënterende cursus:# 1 Vector Analysis: vektor, gradiënt, divergentie, rotatie & integralen# 2 Electrostatics: grotendeels# 4 Electric Fields in Matter: grotendeels# 5 Magnetostatics: grotendeels m.u.v. de vektor potentiaal# 6 Magnetic Fields in Matter: grotendeels# 7 Electrodynamics: grotendeels# 9 Electromagnetic Waves: alleen het bestaan van e.m. golven

Uiteraard gaat Griffiths iets dieper in de materie dan wij van jullie verwachten in heteerste jaar. De moeilijkere voorbeelden en opgaven in Griffiths moet je gewoon overslaan.Als je de werkcollege opgaven beheerst dan zit je riant voor het tentamen.

MagnetostaticaMagnetostatica

Elektromagnetisme Elektromagnetisme ⇒⇒ LichtLicht

Elektrostatica

InhoudInhoudElektrostatica

1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren

0=⋅∫ ldErr

Griffiths:

Ø Vektor: §1.1 m.u.v. §1.1.3 en §1.1.5Ø Wet van Coulomb: §2.1

ερ 0/=⋅∇ Err

Wet van CoulombWet van Coulomb

De elektrische ladingDe elektrische kracht

De elektrische veldsterkteVoorbeelden

DEMO: fenomeen elektriciteit DEMO: fenomeen elektriciteit

ElektrostaticaElektrostatica: experiment: experiment+/- lading

glas eboniet

++ +−

nieuwe kracht: Felektrisch

positief: + & negatief: -+ + & - -: afstotend

+ - & - +: aantrekkendquantisatie: qelektron

ladingsbehoud: Σ q = constantr

rqQ

F q ˆ2∝r

krachtwet

1777: C. de Coulomb

qQ Fq

rr

superpositie

Eq

rr

Qr

r

Qq

rr

Qqr

r

QqF q

r

r

≡

++=

++∝

...ˆˆ

...ˆˆ

222

212

1

1

222

212

1

1

Q1

Q3

Q2

Q4

Fq

q

r1

Wet van Coulomb Wet van Coulomb ⇒⇒ kracht & veld kracht & veld

Kracht:

rrqQ

Fq ˆ4

12

0επ=

r

q

Qr

mNC

c 2

212

270 1085.81041 −

− ∗≈∗

≡π

ε

Constanten:– eenheidslading:

– permittiviteit:

Cq 1060.1 19−∗−≈elektron

Eenheden:– Lengte [l]: meter m– Tijd [t]: seconde s– Massa [m]: kilogram kg– Lading [q]: Coulomb C

Veld:

q

FE q

rr

≡

Q

rrqQ

rrqQ

rrqQ

crrqQ

KF eqrr

30

20

227

2 41

ˆ4

1ˆ10ˆ

επεπ=≡≡≡ −

DEMO: elektrische veldlijnenDEMO: elektrische veldlijnenPuntladingPuntlading

FElektrisch ↔ FGravitatie

10-10 m

elektronm=9.1∗10-31 kgq=-1.6∗10-19 C

protonm=1.7∗10-27 kgq=+1.6∗10-19 C

N

re

F E

103.2

41

8

2

2

0

−∗≈

=επ

r

( )skg

mG

peG

N

r

mmGF

2

31110673.6

47

2

100.1

−∗=

−∗≈

=r

Waarom is in het dagelijks leven toch de zwaartekracht juist zo voelbaar?

Ladingsverdeling Ladingsverdeling ⇒⇒ EE--veld veld

Continu:

∑≡=

N

ii

i

iP r

r

qE

1 20

ˆ4

1επ

rqiri

[q]=C

P

Diskreet:

rr

dlElijn

P ˆ4

12

0

λεπ ∫≡

rP

rλ dl [λ]=C/m

rr

dvEvolume

P ˆ4

12

0

ρεπ ∫≡

rr

ρ dv

[ρ]=C/m3

P

rr

doEoppervlak

P ˆ4

12

0

σεπ

∫≡r

rσ do

[σ]=C/m2

P

WelkWelk veldlijnenpatroonveldlijnenpatroon hoorthoort bijbij tweetwee gelijkegelijkepositievepositieve ladingenladingen??

A B

C

Discussievraag 1

DEMO: elektrische veldlijnenDEMO: elektrische veldlijnenTweeTwee PuntladingenPuntladingen

V.b. EV.b. E--veld puntladingenveld puntladingen

rrQ

rE 20

ˆ4

)(επ

=rr

Q

rq

Lading Q in oorsprong Drie ladingen: Q1, Q2 en Q3

−

−+

−

−+

−

−= Q

rr

rrQ

rr

rrQ

rr

rrep

rE 33

33

22

32

11

31

041

)( rrrr

rrrr

rrrrrr

Q3

Q1

Q2

q

rr1

r2

r3

http://www.colorado.edu/physics /2000/waves_particles/wavpart2.html

V.b. EV.b. E--veld veld dipooldipool

( ) ( )

repp

repp

repqd

drdrepq

rE oP

30

30

30

220

242

44

114

)0,(

rr

r

=≡≈

+−

−≡=ϑ

Veld langs lijn ϑ=0o

Ladingen +q en -q op afstand 2d:

-q +q2d

ϑ

rr P

d

- + ϑ=0o

ϑ=90o

E

r>>d

Taylor

( )

repp

repqd

rd

d

rd

ddrep

qrE o

P

30

30

2222220

442

4)90,(

r

r

≡≈

+−−

++

+≡=ϑ

Veld langs lijn ϑ=90o

Dipoolmoment:(Ideale of Mathematische dipool heeft geen afmetingen: dà 0 en qà en p eindig)

dqprr

2=

∞

ƒ(x)

x

y= ƒ(x)

dx

dƒdxdf

axafy )()( −+=

Taylor Taylor expansieexpansie

a

ƒ(a)

a+ε

ƒ(a+ε) dxdf

eafeaf +≈+ )()(

( ) ( ) rd

rd

rrdrrd

rd

rrdr

rrf

3232232322

2

21)(

21121)(

211

:1

)(

+=−−≈−

−=+−≈+

=⇒

en

voor

DEMO: elektrische veldlijnenDEMO: elektrische veldlijnenDipoolDipool

[ ]

rr

zrr

z

zr

rzr

dz

EdElijn

rP

επλ

επλ

επλ

επλ

00

220

22220

242

|4

4

==

+=

∫+

=

∫=

∞+

∞−

∞+

∞− +

rrdq=λdz

V.b. EV.b. E--veld veld ∞ lange draadlange draadLijnlading:

– homogeen geladen draad– ladingsdichtheid dq=λdz– [λ]=C/m

Er

αcos

Berekening E-veld:

dE

dEr

α

zrr+

=22

cosα

- rekenen:

z

rO

z

yx

P

- nadenken:cilinder symmetrie: (rϕz)

( ) ( ) ( )zr

r

zr

zzrrzr

zz

zrrzr

zrdz

d22 2/322 2/3

222

22 2/32222

1

2

2111

+=

+

−+=

+×−

+=

+

EtotaalP

GetallenGetallen ↔↔ vectorenvectoren

rr

dlElijn

P ˆ4

12

0

λεπ ∫≡

rØLet op: ØIntegrand is een vector, d.w.z.ØOf: je berekent Ex, Ey en Ez (werk: 3 integralen i.p.v. 1)ØOf: je beredeneert welke component je nodig hebt en vervolgens bereken je die!

ØNooit:Øde r weglaten d.w.z. i.p.v. r zelf |r|=1 lezen!

Etotaal

DEMO: elektrische veldlijnenDEMO: elektrische veldlijnenLijnladingLijnlading

DEMO: DEMO: TweeTwee LijnladingenLijnladingen

I: Wat heb ik geleerd?I: Wat heb ik geleerd?

∫=volume

dvrr

rE 204

1 ˆ)(

rrρ

επVeld uit ρ(r)

rrQE

rrqQF

20

20 44 επεπ

ˆˆ==

rrenKracht en E-Veld

(Coulomb)

∑ =×−≈ − constanten qCqelektron 1061 19.Lading + of -

Configuraties:v puntladingenv dipoolv lijnlading

EXTRA: Vectoren in formulesEXTRA: Vectoren in formules

Definities

Voorbeeld1rr

rr

1rrrr

− 1q

gebruiken!moet jevector welke nadenken goedeerst :Dus

:Wel

ˆ:Niet

oorsprong) t.o.v. rdgedefiniee zijn als (zowel

? positie op puntlading een van gevolge ten positie op veld het isWat

1

12

1

1

21

1

11

rrrr

rr

qE

rr

qE

rr

rqrE

rrrr

rrr

rr

rrrrr

−−

−∝

∝

1) lengtemet (vector ˆ

)vector van lengte of grootte (de

richting) zy,x, in ctoreneenheidsve zijn ˆˆˆ( ˆˆˆ

++

++

++

=

++==

++=⋅==

++=

=

222

222

222

222

222

1

zyxz

zyxy

zyxx

zyx

zyxrr

r

rzyxrrrr

k,j,i kzjyixzyx

r

rr

rrrr

r

EXTRA DEMO: EXTRA DEMO: VerklaringVerklaring correct?correct?

InhoudInhoud

Griffiths:

Ø Coordinaten definitie en volume elementje BOL §1.4.1 en Cilinder §1.4.2Ø Integreren:§1.3.1 (inleiding)Ø Wet van Gauss: §2.2 m.u.v. §2.2.2 (komt pas in college # 4)

Elektrostatica1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren

0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E

rr

Volume integralenVolume integralen

Coördinaat systemenCilinder coördinaten

Bol coördinaten

CoCoöördinaat systemenrdinaat systemen

eϕ

zr

r

eθ

Z

eϕϕ

Z

Y

X

ez

eyex

ez

er

Z

eϕϕ

θ

er

(x,y,z) (r,ϕ,z) (r,θ,ϕ)

ez

er

eϕ

ez

eyex

er

er

cartetisch cilinder bol

Volume integraal: Volume integraal: cilinder cocilinder coöördinaten rdinaten

r

Z

dϕ

ϕ

dz

dv=(dz) (rdϕ) dr=r dzdrd ϕ

drz Integreren functie in cilindercoördinaten:

dzdomein

rdrdzrfvolume

dvzrf ϕϕϕ ∫=∫ ),,(),,(

rdϕ

VoorbeeldVoorbeeld: : cilindercilinder inhoudinhoud

y

z

x

Om de cilinder inhoud te bepalen integreer jede functie “1” over het cilinder volume:

hRdzdR

dzdr

dzdrdrdV

h

h

h

h

R

h

h

R

cilinder

22/

2/

2

0

221

2/

2/

2

0 02

21

2/

2/

2

0 0

|

1

πϕ

ϕ

ϕ

π

π

π

==

=

→∫

∫+

−∫

∫+

−∫

∫+

−∫ ∫

Integraal:

Integratie domein:

z: [−h/2,+h/2]r: [0,R]ϕ: [0,2π]

z=+h/2

z=−h/2

r=0 r=R

z

ϕ r

Volume integraal: Volume integraal: bol cobol coöördinaten rdinaten

r

Z

dϕ

ϕ

θ

dθ

Volume: dv=(rdθ) (rsinθdϕ) (dr)

=r2sin θ d θd ϕdr

rsinθ

dr

rsinθdϕ

Voorbeelden Integreren in BolcoVoorbeelden Integreren in Bolcoöördinatenrdinaten

Oppervlak r=RIntegratie domein: θ:[0,π] ϕ:[0,2π]r=R

θ

ϕ

y

z

x

Om het boloppervlak te bepalen integreerje de functie “1” over het bol oppervlak:

( )Rpp?Rp

pd?| p?R

pd?

p?dR

oppervlakdo

24022

0

20

2

0

2

0

21

=

−=

∫=

∫ ∫→∫

)cos(

sin

sin

ϕ

ϕ

Bepaal zelf bolvolume: RdVbol

3

341 π→∫

Volume integraal bolsymmetrische functie:

∫=∫∫∫∫ = drrrfddrrfdvrf 242 πϕθθϕθϕθ )()sin(),,(),,(

Wet van Wet van GaussGauss

De elektrische fluxDe wet van Gauss

Voorbeelden

Flux Flux ΦΦEE

O

OEEedo

Eod

Ooppervlakn

OoppervlakE

=∫ ⋅≡

∫ ⋅≡Φ

r

r

ˆ

ˆ

doeod nˆˆ =0)ˆ,( oodE =∠

rE

∫ =⋅≡ΦOoppervlak

E Eod 0ˆr90)ˆ,( oodE =∠

r

O E

ϑcos

ˆ

OE

EedoOoppervlak

E n

=

∫ ⋅≡Φrϑ=∠ )ˆ,( odE

r

O

ϑ

E

O]/[ sldo

Ooppervlak

waterFlux

∫:""

Verband tussen:– open/dicht van de kraan– “flux” door oppervlak O

Waterkraan:

Gevolg wet van Coulomb Gevolg wet van Coulomb

επ

επεπ

επ

0

22

02

0

20

444

4QR

RQdo

RQ

doR

QdoRE

odrodrREodrE

bol

bolbol

bolbolE

==∫=

∫=∫=

∫ ⋅=∫ ⋅≡Φ

)(

)//ˆ(ˆ)()(

r

rrrrrrFlux ΦE door (denkbeeldig) boloppervlak wordt:

De essentie: - E ∝ 1/r 2

- boloppervlak ∝ r 2

ΦE =Q/ε0 geldt voor ieder omsluitend oppervlak; niet alleen voor bol met Q in middelpunt!

Q

doEr Puntlading Q in middelpunt bol

R

rrQrE ˆ)(

204

1πε

=rr

WetWet van van GaussGauss::

ε 0

QE =Φ

0=ΦE

∑=∫ ⋅≡Φomsloten

iOoppervlak

E QodEε 0

1rr

Q

Lading Q omsloten door willekeurig oppervlak

qLading q buiten een willekeurig oppervlak

QLading Q omsloten door een

boloppervlak

Dunne ∞ draad: – ladingsverdeling: λ C/m

Lijn

λ

V.b. V.b. GaussGauss: dunne draad: dunne draad

rr

Eˆ

2 0επλ=

r

επλ

ελπ

ε

π

rEhErhQ

ErhodE

omslotenE

E

E

221

20

000

=⇔≡⇒∑=Φ

=Φ

⊥=Φ

:Gauss vanWet :cilinder wand

:want:cilinder deksels :Flux rr

– “Gauss box”: cilindertje

h

r

r

E

ϕr

E

- symmetrie: E ⊥ draad, E(r)

z

z

xy

Vlakke ∞ plaat:– ladingsverdeling: σ C/m2

σ

Plaat

εσ

εσ

ε 221

2

0

0

00

22

0

222

=⇔≡⇒∑=Φ

=+=Φ

⊥=Φ

⊥=Φ

EaEaQ

EaEaEa

odE

odE

omslotenE

E

E

E

:Gauss vanWet :zijkanten

:want:rkantboven/onde

:want:rkantvoor/achte

:Flux

rrrr

V.b. V.b. GaussGauss: vlakke plaat: vlakke plaat

ε

σ02

=Er

– “Gauss box”: kubusje

a

a

y

E

E

– symmetrie: E ⊥ vlak, E(y)

E

We We beschouwenbeschouwen eeneen massievemassieve nietniet--geleidendegeleidende bolbol met met uniformeuniforme ladingsdichtheidladingsdichtheid. . WelkeWelke grafiekgrafiek geeftgeeft hethet

elektrischelektrisch veldveld alsals functiefunctie van de van de afstandafstand tot tot hethetmiddelpuntmiddelpunt van de van de bolbol??

R

E

r R

E

r

R

E

r R

E

r

A B

C D

Discussievraag 2

AnalyseerAnalyseer via via ““schetsjeschetsje””E

E

E

EDus:Indien r<R:

E-veld groeit met afstand tot centrumIndien r>R:

E-veld neemt af met afstand tot centrum

E-veld voor:bol met straal Runiforme ladingsdichtheid

V.b. V.b. GaussGauss: bolvolume: bolvolume

=≥

=≤=

rrRERr

rERrE

20

30

3ˆ:

3:

ερ

ερ

r

rrr

=⇔≡>

=⇔≡<

⇒∑=Φ

=Φ

rRE

RErRr

rEr

ErRr

Q

Er

omslotenE

E

20

3

0

3

2

00

3

2

0

2

334

4

334

41

4

ερ

ε

ρππ

ερ

ε

ρππ

ε

π

:

:

:Gauss vanWet :Flux ρ

Bol

Bolvolume:– ladingsverdeling: ρ C/m3

R

– “Gauss box”: bolletje

r

r

E

R

E

– symmetrie: E ⊥ bol, E(r)

E

Overzicht toepassingen Overzicht toepassingen wetwet van van GaussGauss

∑=∫ ⋅≡Φomsloten

iOoppervlak

E QodEε 0

1ˆ

r

Lijn

λ

E

σ

Plaat

Eρ

BolE

Symmetrievoor E-veldde essentie!

IIII: Wat heb ik geleerd?: Wat heb ik geleerd?

∫=∫ ⋅⇒

∫=⇒

volumeoppervlak

volume

dvrodE

dvrr

rE

)(1

ˆ)(4

1

0

20

rrr

rr

ρε

ρεπ

Gauss van wet via

direkt

Veld uit ρ(r)

Volume integralen: • cartesische, cilinder & bol coördinaten

Lijn

λ

E

σ

Plaat

Eρ

BolE

EXTRA V.b.: EXTRA V.b.: hoeveelhoeveel mm33 HH22O O ongeveerongeveer op op aardeaarde??

Straal aarde: ≈ 6.400×106 mGemiddelde H2O laag: ≈ 103 m

⇒ integratie domein:

r: [Ri≡6.399×106 m, Ro≡6.400×106 m]θ: [0,π]ϕ: [0,2π]

Natuurlijk zelfde als volume van een 103 m dikke bolschil bij r= 6.400×106 m:

H2O ≈ 4π(6.400×106)2 ×103 ≈ 5.15×1017 m3

( ) ( )( ) mRiRor

drrdrdr

drddrdV

RoRi

Ro

Ri

Ro

Ri

Ro

Ribolschil

317333

02

0

20

2

0

2

0

2

1015.53

4|

34

cos2sin

sin1

||

×→−=

−==

→∫

=

∫∫ ∫

∫ ∫ ∫

ππ

θπθϕθ

θϕθ

ππ π

π π

InhoudInhoudElektrostatica

1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren

0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E

rr

Griffiths:

Ø Divergentie: §1.2.4Ø Stelling van Gauss: §1.3.4Ø Energie & Arbeid: §2.4

Stelling van Stelling van GaussGauss (wiskunde)(wiskunde)

De divergentie van het De divergentie van het electrischeelectrische veldveld

De link tussen natuurkunde en De link tussen natuurkunde en wiskundewiskunde

Stelling van Stelling van GaussGauss::

( )

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

−+

+−+

+−+=∫ ⋅

zE

y

E

xE

dxdydz

(x,y,z)Edx,y,z)(xEdydz

(x,y,z)Edy,z)(x,yEdzdx

(x,y,z)Edz)(x,y,zEdxdyodE

zyx

xx

yy

zzeoppervlakj

rr

dx

dy

E(x+dx,y,z)dz

E(x,y,z)

Beschouw flux door infinitesimaalkubusje:

Compactere notatievia “divergentie”

zE

y

E

xE

E zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

≡⋅∇rr ( ) ∫ ⋅∇=⋅∇=

volumetjedvEEdxdydz

rrrr

∫= ⋅∇∫ ⋅volumeoppervlak

dvEodErrrr

i

Neem de ‘som’ van willekeurig aantal volumetjes:

Geldt voor willekeurig vectorveld

Controle: stelling van Controle: stelling van GaussGauss∫ ⋅∇=∫ ⋅

volumeoppervlakdvAodA

rrrr

rzyxrzyx

r

rz

rry

rrx

r

rz

zry

yrx

xA

223

111

2223

222

3

2

3

2

3

2

=++

=++

−=

−+−+−=

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇rr

Bereken eerst divergentie:

Neem vectorveld:

rzyx

zyxzyxA ˆ),,(),,( ≡++

=222

r

x

y

z

A(x,y,z)

Rrdrddrdrr

dvr

dvA

RdoodrodA

Rp pR

bolbol

bolbol

rA

bol

2

00

2

0

2

0

2

42422

4

ππϕθθ

π

=∫=∫ ∫∫=∫=∫ ⋅∇

=∫=∫ ⋅=∫ ⋅=

)sin(

ˆˆ

rr

rrr r

Klopt!

De link: De link: wiskundewiskunde & & natuurkundenatuurkunde

M.b.v. Stelling van Gauss kan je “integrale” verband tussen E-velden ladingsverdeling omzetten in “differentiaal verband:

∫=∫ ⋅≡ΦvolumeOoppervlak

E dvodE ρε 0

1ˆ

r:Gauss van Wet

M.b.v. Wet van Coulomb gevonden:

Q

ερ

ρε 00

1=⋅∇⇒∫=⋅=∫ ⋅∇ ∫ EdvodEdvE

volumeoppervlakvolume

rrrrrr

Wiskunde:Gauss

Natuurkunde:Coulomb/Gauss

Q

ερ 0/=⋅∇ Err

:eIllustrati

( )ερ

ερ

ερ

ερ

00003

333==∂+∂+∂=⋅∇→⋅∇ zyx

rE zyx

rrrr

ρR

simpel bolvolume

r

E

Rε

ρ

03: rERr

rr=<

BolE

E

⇒ de term divergentie!

Voor r>R vind je ∇.E=0 (mogen jullie zelf verifiëren)

HetHet veldveld rondrond lijnladinglijnlading is is hieronderhieronder geschetstgeschetst. De . De gelijkheidgelijkheid ∇∇••E = 0 E = 0 geldtgeldt::

A overalB overal, behalve op de lijnC nergens, behalve op de lijnD nergens

bovenaanzicht

Zij-aanzicht

Discussievraag 4

De kringintegraal van De kringintegraal van het elektrische veldhet elektrische veld•Potentiële energie en arbeid

ma mg→r

Ik werk!

PotentiPotentiëële Energiele EnergieHoe bepaal je potentiële energie?

Even terug naar Newton en de Zwaartekracht!

amFrr

= Arbeid (Work): ∫ •=B

A

ldFWrr

Laten we dit principe nu eens toepassen om deelektrische potentiële energie te bestuderen!

0

hW F dl mgh•= =∫

rr

Verschil in potentiële energie ≡ Benodigde ArbeidPas op met mintekens: arbeid verricht door gravitatie-kracht heeft tegengesteld teken. Hangt ook van definitie van variabelen af. Dit college: arbeid door persoon

Hoeveel Arbeid nodig om massa m van hoogte h=0 op hoogte h=h te brengen?

objectmassa m

Tore

n ho

ogte

h

l=0

l=h

l

Kringintegraal elektrisch veldKringintegraal elektrisch veldverplaats q van A naar B

(=arbeid door persoon)

Q q

B B B

persoonA A A

W F dl F dl q E dl ≡ ⋅ = − ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫

r r rr r rA

B

00 r

r r

E dlB B BW q E dl q E dl q E dr

A A AE dl dr

ϕ ϕ

θ θ

= = − ⋅ = − = ⋅ = −∫ ∫ ∫ =

rr

verplaatsing van A naar A (kringintegraal): 0A

W q E dlA

= = − ⋅∫rr

∫ =⋅ 0ldEvrgeldt voor puntlading en iedere kring, dus ook

voor uitgebreide ladingsverdelingànieuwe veldvergelijking!

20

ˆˆ

4 rQ rE E r

rπε = =

rveld van Q:

20

1 14 4 0

B Q Q Bq dr qArrA πε πε

= − − = −∫

IIIIII: Wat heb ik geleerd?: Wat heb ik geleerd?

DivergentiedvAodA

zA

y

A

xA

Azyx

volumeoppervlak

zyx

rrrr

rrr

∫ ⋅∇=∫∫ ⋅

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇⇒

∂∂

∂∂

∂∂

≡∇

:Gauss van Stelling

,,

ερ

ρε 00

1=⋅∇⇒∫=⋅=∫ ⋅∇ ∫ EdvodEdvE

volumeoppervlakvolume

rrrrrrVerband E en ρ

Wiskunde:Gauss

Natuurkunde:Coulomb/Gauss

∫ =⋅ 0ldEvrVoor iedere kring en voor iedere

ladingsverdeling:

InhoudInhoudElektrostatica

1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren

0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E

rr

Griffiths:

Ø Gradiënt: §1.3.2 en §1.3.3Ø Potentiaal V: §2.3 m.u.v. §2.3.3Ø Energie & Arbeid: §2.4

De elektrische potentiaalDe elektrische potentiaal

•Wiskunde: De gradiënt•Veld en Potentiaal•Voorbeelden

Wiskunde: de gradiWiskunde: de gradiëëntnt

rrrr ˆ≡=∇rr

rdrdfrf ˆ)( =∇

rBolsymmetrische functies:Bolsymmetrische functies:

een (scalaire) functieT(x,y,z) geeft Temperatuur

TT11 TT22

Vuurvraag: hoe verandert T en in welke richting?

∂∂

∂∂

∂∂

≡∇zyx

,,r

, ,T T T

Tx y z

∂ ∂ ∂ ∇ ≡ ∂ ∂ ∂

rantw: de gradiënt van T :

(is een vector!)

rrr

zyx

xzyx

xT ˆ,...

22

,...222

222 ≡=

++=

++

∂∂

=∇rr

rekenen: Logisch!

Tld ∇rr

//Wil je zo snel mogelijk opwarmen?Loop in de richting van T∇

r

rzyxzyxT =++= 222),,(expliciet voorbeeldexpliciet voorbeeld:T(x,y,z) als ‘afstandfunctie’

Elektrische PotentiaalElektrische Potentiaal

P PP

P

rF dr qE dr q E dr UW ∫

∞ ∞ ∞= − ⋅ =− ⋅ = − =∫ ∫

r r rr r

Arbeid door persoon= verschil in potentiële energie

==

rrQ

qEqF 204

ˆεπ

rrq

Pr Pr

Q

∞Beweeg testlading q in veld van bronlading Q vanuit naar punt P.

Er∞

=∫−=∞ r

qQrdr

rqQ

P

P 14

14 0

20 επεπ

Algemene definitie potentiaal:Let op: de potentiaal heeft geendirecte fysische betekenis!?

rqldEldEV

P

P

ijk

P

ijkP

14 0επ

=∫ ⋅−=∫ ⋅−≡∞∞=

rrrr

Veelgebruikte definitie potentiaal:(=energie om een ladingseenheid naar punt P te brengen, ‘stilzwijgend’ vanuit ijkpunt in ∞ ) r

QqUVP

PP1

4 0επ== /

P PpersoonPW U F dr F dr∫ ∫

∞ ∞= = ⋅ =− ⋅

r rr r

Potentiaal V en Elektrisch veld Potentiaal V en Elektrisch veld

Potentiaal verschil: ∫ ⋅−=∫ ⋅−∫ ⋅=−=∞∞ B

AABABAB

ldEldEldEVVVrrrrrr

Er

∫=−B

AAB dVVVV is een scalaire functie:

⇒Gradiënt van V, bepaalt Er VE ∇−=

rr

dzzVdy

yVdx

xVdV

∂∂+

∂∂+

∂∂=

( )∫ ⋅

∂∂

∂∂

∂∂

=

∫ ∂∂

+∂∂

+∂∂

=

B

A

B

A

dzdydxzV

yV

xV

dzzV

dyyV

dxxV

,,,,

( ) ∫ ⋅∇=∫ ⋅∇=B

A

B

AldVdzdydxVrrr

,,

rQldEV

PPP

14 0επ

=∫ ⋅≡∞ rr

Hoe bepaal je het elektrische veld?

GradiGradiëënt van de Potentiaalnt van de PotentiaalControle voor puntlading: r

QV

14 0επ

=VE ∇−=rr

Veldlijnen & equi-potentiaallijnen

Q<0

rr

QE ˆ2

0

14 επ

=r

222

11

zyxr ++∇=∇rr

2 2 2

2 2 2 3 / 2 2 2 2 3/2 2 2 2 3 / 2

2

1 ˆˆ ˆ......... .......

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ

i j kx y zx y z

x y zi j kx y z x y z x y zrr

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂+ +

= − − −+ + + + + +

= −

rdrdfrf ˆ)( =∇

rOf gebruik:

Grafisch: Grafisch: elektrische veldlijnenelektrische veldlijnenequipotentiaalijnenequipotentiaalijnen

Veldlijnen link .

Elektrische veldlijnen:Lijnenpatroon die richting en sterkte van het elektrisch veld weergeeft

Equipotentiaallijnen:Kollectie van krommen waarbij langs iederekromme de potentiaal een constante waarde heeft

Omdat E≡-∇V en omdat ∇V de richting aangeeft waarin V het sterkst verandert staat E ⊥ krommen met V=constant!

http://www.cco.caltech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.html

Kringintegraal elektrisch veld IIKringintegraal elektrisch veld IIverplaats q van A naar B (=arbeid door persoon)

Q

q

:

: ( )

: ( ) 0

B B

B AA A

A Akring A A

A B W F dl qE dl q V V

A A W qE dl q V V→

→ ≡ − ⋅ = − ⋅ = −∫ ∫

→ ≡ − ⋅ = − = ∫

r rr r

rrÑ

∫ =⋅ 0ldEvrWisten we al:

0

B B

AAB BA AA A

AAA AA A

W E dl V dl V V

W E dl V dl V V

= − ⋅ = ∇ ⋅ = −∫ ∫

= − ⋅ = ∇ ⋅ = − =∫ ∫

r rr r

r rr rVE ∇−=rr

nogmaals m.b.v.

def. potentiaalA

B

V.b. potentiaal V.b. potentiaal dipooldipool

Bereken nu E via de potentiaal V:

( ) ( )rep

prrp,...

r

zpypxpx

rp

ep

,...r

zpypxp

xepreprp

)(r,V)(r,E

zyxx

zyxPP

0353

0

30

30

4

ˆˆ33

41

41

4rr

rrrrr

⋅+−=

++−−=

++

∂∂−

=

⋅∇−=∇−≡ ϑϑ

-q +q2d

p=2qd

ϑ

P(r,ϑ)

r

Coördinaten voor punt P: (r,ϑ):

dcosϑ

rrp

rrp

rp

rqd

rdq

drdrq

rV P

30

20

20

20

20

0

44ˆ

4cos

4cos2cos2

4

cos1

cos1

4),(

επεπεπϑ

επϑϑ

επ

ϑϑεπϑ

rrr ⋅=

⋅=≡

=≈

+−

−≈

Potentiaal is dus handig:• geen vector•( en meetbaar)

v.b. Potentiaal uniform geladen Bolv.b. Potentiaal uniform geladen Bol

r

E

R

er?ER:r03

rr=<

ρR

BolE

E

rrR

e?ER:r ˆ

2

3

03=>

r

rR

e?r

drr

Re?r

rdrr

Re?r

ldrr

Re?rVR:r

3

032

3

032

3

032

3

03 ∫∞

=−=∫∞

⋅−=∫∞

⋅−=> '

'

'ˆ'

'ˆ'

)(rr

∫ ⋅−=∞

rldErVrr

)(

∫∫∞

−−=<r

Rdr

e?rR

drr

Re?

rVR:r ''

''

)(032

3

03

e?r

e?R

e?R

e?r

e?R

e?r

RVr

R6 0

2

02

2

6 0

2

6 0

2

03

2

6 0

2

−=+−=−= ')(

E veld m.b.v. Wet van Gauss

V

VoorVoor eeneen puntladingpuntlading geldtgeldt E~1/rE~1/r2 2 en V~1/ren V~1/rVoorVoor eeneen lijnladinglijnlading geldtgeldt E~1/r E~1/r jeje verwachtverwacht voorvoor V:V:

A V = constanteB V ~ ln rC V ~ 1/rD V ~ r

Discussievraag 3

EnergieEnergie

De energie van een ladingsverdelingDe energie van het elektrische veld

Energie van een ladingsverdelingEnergie van een ladingsverdeling

04

P P

q

P

PP

W dl qE dlF

Qqq V dl qVrπε

∞ ∞

∞

= − ⋅ = − ⋅∫ ∫

= ∇ ⋅ = =∫

r rrr

rr

1 212

0 12

1 2 1 23123

0 12 0 13 0 23

1 3 2 31 2

0 12 0 13 0 23

0

4

4 4 4

4 4 4

1 1( )

2 4 2i j

i ii j iij

q qW

r

q q q qW q

r r rq q q qq q

r r rq q

Vq rr

πε

π π πε ε ε

π π πε ε ε

πε∑ ∑≠

=

= + +

= + +

= ≡ r

0

1 1 1( ) ( )42 2 2

i ji i

volumeij

q qU W V V r dvq r

ri j iρ

πε∑ ∑ ∫≡ = = →≠

rrVoor energie U:(∆Uveld=W)

q1

q2

q4

q3

r24

Voor N ladingen q1, q2, ...Energie in ladingsconfiguratie?

Integreer kracht op q van ∞ →Ρ

∞

qQ

Pr Pr

( ) ( )

( ) ∫→

∫+∫ ⋅=∫ ⋅+⋅∇=

∫ ∇⋅−⋅∇=∫ ⋅∇=∫=

volumevolumeoppervlakvolume

volumevolumevolume

dvEdvEVEoddvEEVE

VdvEVEVdvEVdvU

20200

00

222

2221

εεε

εερ

rrrrr

rrrr

Afleiding voorliefhebbers!

energie in het E energie in het E -- veldveld

Energie in termen van E-veld?

→ 0

∫=

∑=

volume

iii

dvrVrU

rVqU

)()(21

)(21

rr

r

ρ:Continu

:DiskreetEnergie ladingsverdeling:

( ) ( ) ( )

ερ

0

......

=⋅∇∇−=

∇⋅+⋅∇=+

∂∂+

∂

∂=+

∂∂=⋅∇

EVE

VEVEExVV

xE

xVEVE

xxx

rrrr

rrrrrrGebruik:

Energie geladen boloppervlakEnergie geladen boloppervlak

Rr

V-E

straal R en lading Q (dus σ=Q/4πR2)

Rσ

επεσ

π

εσ

σσ

0

2

0

22

0

84

21

21

21

RQR

R

doR

VdoUoppervlakoppervlak

==

∫→∫=

1e methode: via σ en potentiaal

επεσπε

εσεε

0

2

20

4 20

20

2 2

020

8|

24

22

RQ

rR

dvrRdvEU

R

Rrvolume

=−

=

∫

→∫=

∞

>

2emethode: via E-veld

<

>=

0

20

2

:

ˆ:)(

Rr

rrRRr

rE ε

σrrGauss:

VE ∇−=rr

∫∞

∫∞

=+=−<

=−>

=

εσ

εσ

εσ

εσ

02

0

2

0

2

20

2

0R

RVdrr

RRr

rR

drr

RRr

rVr

r

)(:

:

)(

∫ ⋅−=∞

rldErVrr

)(

−=≤

=≥=

ερ

ερ

ερ

0

2

0

2

0

3

62

3

rRrVRr

rR

rVRrrV

)(:

)(:)(

Energie geladen bolvolume Energie geladen bolvolume

ερπ

πε

ρε

ρε

ρρρ

0

5255

0

2

0

2

0

2

154

1534

46221

21 RRR

dvrR

VdvUbolvolumebolvolume

=

−=∫

−∫= =

2e methode: via ρ en de potentiaal V

ερπ

ερ

ερπε

ερ

ερπεε

0

52

20

62

20

520

022

0

62

20

42020

154

94524

9924

2R

RRRdr

rRdrrdvEU

R

Rvolume=+=

∫ ∫+∫=

=

∞

1e methode: via het E-veld

ερπ

πε

ρπε

ρπρ

0

52

0

2

0

2 22

0

222

154

43

43

)(4 RdrrrUdrrr

dqrVdUdrrdqR

=∫=⇒==⇒=

3e methode: laagsgewijs: straal r “groeit” van r=0 naar r=R

r

V-E

R

straal R en lading Q (dus ρ=3Q/4πR3)

ρ

R

<

>=

er?R:r

rer

?RR:r

)r(E

3 0

3 20

3

rrr ˆ

We hebben gezien:

IV: Wat heb ik geleerd?IV: Wat heb ik geleerd?

( )

⋅=−⋅=

==

=

rrpV

rprprE

rQV

rrQE

rrqQ

F

200

3

02

02

0

4ˆ

4ˆˆ3

44ˆ

ˆ4

επεπ

επεπ

επ rrrr

rr

en :dipool

en :puntlading

enKracht, E-Velden Potentiaal

Gradiënt VEzV

yV

xV

Vzyx

∇−=

∂∂

∂∂

∂∂

=∇⇒

∂∂

∂∂

∂∂

≡∇rrrr

,,,,,

∫=∫== ∑≠ volumevolumeji ij

ji dvEVdvr

qqU 20

022

142

1 ερ

επEnergie

ladingsverdeling

∫ ⋅−=∞

rldErVrr

)(Puntlading

EXTRA: V.b. potentiaal EXTRA: V.b. potentiaal ∞ lange draadlange draad

dq=λdz

Wat mis? Uitdrukking V geldt indien V(∞)=0!

rr

rrdrr

rdrEV P

P

r

P

r

PPP ln

2|ln

2ˆ

2)(

0

1

0

1

0

1

επλ

επλ

επλ −==⋅∫=⋅∫≡

== rrrr

Hoe wel? Kies V=0 referentie punt anders: b.v. @ r=1 i.p.v. @ r= ∞

z

rP

zrP22 +

p( ) eerd!ongedefini→++=

∫+

=∫+

=

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

|1ln4

1441

)(

2

0

20

220

xx

x

dx

zr

dzrVP

PP

επλ

επλλ

επ

Bereken VP direct:

InhoudInhoud

Griffiths:

Ø Geleiders: §2.5Ø Beeldladingen: §3.2 m.u.v. §3.2.4Ø Condensator: §2.5.4

Elektrostatica1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren

0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E

rr

GeleiderGeleider

De karakteristiekenDe beeldladings methode

De symmetrie (Gauss) methodeDe condensator

Voorbeelden

Geleider: (∞) veel vrije ladingsdragers!

+Q Extern veld

Eextern

Materie: de geleiderMaterie: de geleider

0=⋅∫=− ldEVVB

ABA

rr– Vgeleider=constant

V=constant

0==ρEr

– E=0 in geleider bewegen! gaat lading⇒≠0rr

EKarakteristieken:

σ

anders! waar– lading op de rand00 =⋅∇= E

rrερ– ρ=0 in geleider

E

bewegen! gaat lading⇒≠0rr

E //– E ⊥ geleideroppervlak

DEMO: DEMO: LadingstransportLadingstransport

Geleider: Hoe pak je het aan?Geleider: Hoe pak je het aan?Onbekend: oppervlakteladingsverdeling σBekend: E=0 in geleider

E ⊥ geleideroppervlakpotentiaal V (of lading Q)

I. symmetrie → richting van E?⇒ wet van Gauss geeft E

QE

II. Simuleer invloed geleider door ladingen?⇒ “beeldladings methode” geeft E

V=0

Q

d

Q-Q

( ) niet! werkt methode standaard rdrr

rrrrEvolume

P

PPP

rrr

rrrrr 3

03

0

)(4

1)( ∫

−

−=

≠ρ

ρεπ

BeeldladingsmethodeBeeldladingsmethode

( )

( )

3 / 22220 0

2

3 / 2 22 22 000

2 1ˆ ( , ,0)4

2 1 |4

p

totaalplaat

s(x,y) Q dk E x ye dyx

rQ ds(x,y)dxdy d dr Qd Qdd rr

πε

ϕσπ

∞∞⇒

−= ⋅ =+ +

− −≡ = = − = −∫∫ ∫++

r La

ding

sdic

hthe

id :

( ) kdyx

dQyxVyxE ˆ2

4)0,,()0,,(

222 2/30 ++

−=∇−≡⊥

επrr

:geleider veld-E

( ) ( )2 22 22 20

1( , , )4

Q QV x y zz d z dy yx xπε

= −+ + − + + +

Pote

ntia

al:

z

y

x

k̂V=0

QE

d

-Q QE

+d-d

In de In de onderstaandeonderstaande situatiesituatie met met tweetwee even even grotegrotemaarmaar tegengesteldetegengestelde ladingenladingen geldtgeldt::

oppervlakA E=0 op het hele oppervlak

B De component van E loodrecht op het oppervlak is overal nul

C A en B zijn beide onjuist

Discussievraag 5

b

a Q

Puntlading met geleidende bolschilPuntlading met geleidende bolschil

+−∫ =⋅+<

∫ =⋅+<<

∫ =⋅>

≡

∞

rabQ

ldEaVar

bQldEbVbra

rQldEbr

rV

a

r

b

r

r

1114

)(:

14

)(:

14

:

)(

0

0

0

επ

επ

επ

rr

rr

rr

Symmetrie: E-veld radieel ⇒ wet van Gauss

E

ra b

E-V

00

=⇒=⇒+=⇒≡>

−=⇒+=⇒=<<

=⇒=⇒<

∫

∫=

rrQrEQEr

bQdqbr

aQdqQEbra

rrQrEQErar

bgeleider

aarlading

200

22

200

200

2

ˆ4

)(44

0:

410,0:

ˆ4

)(4:

επεπ

πσ

πσ

εε

επεπ

rr

rr

rr

bol Gauss

bol Gauss

bol Gauss

CondensatorCondensator

C heet: “capaciteit”Eenheid: [C]=[Q]/[V]=Coulomb/Volt≡FaradPraktijk: µF d.w.z. 10-6 F

}VC

CQ

Cq

CqdqdUUU

CqqqqVU

UUUqqq

QQ2

2

0

2

0 21

21|

21

)(

===∫∫ =→∑∆≡⇒

∆=∆=∆∆+→

∆+→

:rcondensato van Energie

CVQ

QldEVVV QQ

≡=⇒

∝∫ ⋅=−≡−

+−+

constant

rr

-Q +Q

E

V.b. plaatcondensator V.b. plaatcondensator

-Qd

+Q

0 0 0

0 0

d dV E dl dx

A AQC

V d d

σ σε ε

σ ε εσ

−∫ ∫+

⇒ ≡ ⋅ → =

⇒ ≡ = =

rr

pote

ntia

al:

capa

cite

it:Plaatcondensator:

• lading Q• separatie d• oppervlak A

E+σ E

0 0

( )2 ( )2

AAE Eσ σσ δ σδ

εε= ⇒ = G

auss

doo

sje

enke

le p

laat

:

dddr

≡ˆ

E-σ

0 0 02 2E E Eσ σ

σ σ σε ε ε+ −= + = + =

r ?

E-ve

ld tu

ssen

pla

ten:

DEMO: DEMO: PlaatcondensatorPlaatcondensator

Cilinder• lengte L>>b• stralen a en b• lading Q

ab

+Q

E

V.b. CilinderV.b. Cilinder-- en bolcondensator en bolcondensator

( )

( ) ( )abL

abaaL

VQC

abadrr

ardEV

rr

aEE

ra

Eal

rlE

b

a

r

rr

/ln2

/ln2

/ln

ˆ

22

00

00

0

00

επσ

σεπ

εσ

εσ

εσ

εσ

επσ

π

==≡⇒

=∫→∫ ⋅≡⇒

==⇒

=⇒=

−

+

:capaciteit

:potentiaal

:veld-E

:ecylindertj Gauss

rr

rrr

Boloppervlakken• stralen a en b• lading Q

a

b+Q

E

( ) abab

baaa

VQC

baadr

r

ardEV

rr

aEE

raEa

rE

b

a

r

aa

−=

−=≡⇒

−=∫→∫ ⋅≡⇒

==⇒

=⇒=

−

+

πεσ

σεπ

εσ

εσ

εσ

εσ

επσ

π

4/1/1

4

11

ˆ

44

02

20

0

2

20

2

20

2

20

2

0

22

:capaciteit

:potentiaal

:veld-E

:bolletje Gauss

rr

rrr

VV: Wat heb ik geleerd?: Wat heb ik geleerd?Materialen:

– GeleiderE via Gauss (symmetrie)

BeeldladingsmethodeV=constant

0==ρEr σ

E

Condensator

VCUCVQ 2

21

=≡= en constant

E

-Q +Q

InhoudInhoud

Griffiths:

Ø Materie: §4 m.u.v. de moeilijke stukken!

Elektrostatica1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren

0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E

rr

ElectrischeElectrische velden in velden in didi--elektricaelektrica=isolatoren=isolatoren

concepten

Polarisatie neutraal atoomPolarisatie neutraal atoom

αα ≡∝≡≡Ep

EdQp rrrrr en baarheid"polariseer"

Element Z α/ε0-------------------------------

Helium 2 3x10-30 m3

Neon 10 5x10-30 m3

Argon 18 20x10-30 m3

Waterdamp 500x10-30 m3

Kern

lading

-Q

d

E

+Q

FE

Fe

0rr

≠Ebolsymmetrisch⇒dipoolmoment

0rr

=E Relektronenwolk uniforme bol (R)

+Q

-Q

Polarisatie polair molecuulPolarisatie polair molecuul

HH

HHH

H

HH

OH H

0rr

=E

pr

O

O

O

O Moleculen intrinsiek dipoolmoment pVoor E=0: oriëntatie p random

OH H

OH H

OH H

OH H

OH H

0rr

≠E

E

pr

Voor E≠0: oriëntatie p // E

Di-electricum Macroscopisch

ßLineare materialen; netto lading alleen op rand (dit college)

⋅∇−≡

⋅≡⇔

P

nPP rr

rr

ρ

σ

pol

pol

ˆ

ß Algemene uitdrukking (voor later)

Een isolator wordt door een veld, Eogepolariseerd (P ) . Dit heeft een netto ‘gebonden’ oppervlaktelading (σpol) tot gevolg en dus een ‘extra’electrisch veld, Epol

+-+-+-+-+-+-+-+-

E o

P

E pol

Etotal=Eo+Epol

- Lineaire isolator eenvoudigste relatie E (=Etotal) en P

pole EPEP σχε ⇒=⇒∝rrrr

0χ e

Electrische susceptibiliteit=polariseerbaarheid

+-+-+-+-+-+-+-+-

PolarisatiePolarisatie van van eeneen materiaalmateriaal in in EE--veldveld

+-+-+-+-+-

+-+-+-+-+-

+-+-+-+-+-

+-+-+-+-+-

+-+-+-+-+-

+-+-+-+-+-

+-+-+-+-+-

+-+-+-+-+-

Onder aan

name

van

lineair

di-elektrikum

Opgelegd veld: Eo

EPEP e

rrrrχε 0=⇒∝Eenvoudigste relatie E en P :

+σNetto

P-σ ( )

( ) 0

00

0

000

11

1

1

E?

E

E?ee

EE

Pe

EEEE

e

e

pol

rr

rrr

rrrrr

+=

⇒−=

⇒−=+=

In materiaal

E pol

Pee

E polpol

rr00

1−==

σ

Merk op: configuratie fysischequivalent aan twee geladen platen.Dus gelijke relatie E veld en lading als plaatcondensator:

VlakkeVlakke isolator met isolator met didi--electrikumelectrikum (I)(I)

d

+σvrij=Q vrij /A (gegeven)

+ + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

++++++++

--------

Vrije lading

Vrije lading

‘Lege’ plaatcondensator:

Gauss doosjea

dAVQC

AdQd

EdzV

E

Ea

aE

vrij

vrijvrijcond

d

vrijcond

vrijboven

vrijboven

εεε

σε

σε

σ

ε

σ

0

000

0

00

22

==

===

=

⇒=→=

∫

/

Econd =Eboven + EonderEcond =2Eboven

z

Econd

χ e- - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

Met di-electrikumàveld in condensator veranderd

( )

( )

( )( ) vacuume

e

vrij

e

vrij

evrij

econd

CCdA

dAVQC

A

dQV

EE

vrij

χ

εεχ

εχ

ε

σχχ

+=

≡+==

+=

+=

+=

1

1

11

11

11

0

0

0

/

Gebondenlading

DEMO: Plaatcondensator met DEMO: Plaatcondensator met dielektridielektriccumum

VVI: Wat heb ik geleerd?I: Wat heb ik geleerd?Materialen:

⋅∇−≡

⋅≡⇔

P

nPP rr

rr

ρ

σ

pol

pol

ˆ– Isolator

p

EPEP e

rrrrχε 0=⇒∝- Eenvoudigste relatie E en P :

Gebonden lading

Polarisatie in materie verkleint E veld:

( )( ) vacuume

vrij

evrij

econd

CC

EE

χε

σχχ

+=+

=+

=

11

11

1

0Plaatcondensator

De elektrische verschuiving DDe elektrische verschuiving DE-veld wordt bepaald door totale ladingsverdeling. Daarom beschouwen het E-veldten gevolge van vrije lading en gebonden (of polarisatie) lading.

( )( )

dusen 0

00

00

DPDE

DE

DE

DEE

e

vrij

evrij

evrij

rrrr

rrrrrrrrrrrrr

εχεε

ερ

χεερ

χεερ

==⇒

⋅∇=⋅∇=

⋅∇=⋅∇+=

⋅∇=+⋅∇= Gevolg: het uiteindelijke E-veld ten gevolge van vrije ladingen en gepolariseerde(lineaire) materialen hangt alleen en slechts alleen af van de vrije ladingen!

En de polarisatie P dus ook.

Voor E-veld (divergentie stelling):

( ) DPE

PE

vrij

vrijpolvrijtotaal

rrrrr

rrrr

⋅∇≡+⋅∇=⇒

⋅∇−=+→=⋅∇

ερ

εε

ρ

ε

ρ

ε

ρ

ερ

0

00000

D is een ‘hulpveld’ om rekenenmakkelijker te maken! D hangtalleen van vrije lading af en bepaalje bij voorkeur met Gauss.

Voor liefhebbers!

d

a

a +σ

VlakkeVlakke isolator met isolator met didi--electrikumelectrikum (II)(II)

Nu volgt overal E uit D: ( ) ( )χεεεχε

χεεε

ee

e

EE

EEPED

+≡≡+=

+=+≡

11 00

000

metrr

rrrrr

( )χ evakuumisolator CC +=

≡

1

: CapaciteitVQC

εσ

εσ

σ

==⇒==

=

DEDD

D

condcondplaatcond

plaat

2

2:Gauss via D via E Dus

EPEP e

rrrrχε0=⇒∝Eenvoudigste relatie E en P:

σpol=P⋅n-ε0χeEcond

D

∫ −=⋅=⋅∇ enclosedvrijvrijQodDD

rrrr of Gebruik ρ

Voor liefhebbers!

EenEen didiëëlektrischelektrische plaatplaat bevindtbevindt zichzich voorvoor de de helfthelft in in eeneengeladengeladen condensatorcondensator. De . De condensatorcondensator is is gegeïïsoleerdsoleerd van van

de de omgevingomgeving. Op de . Op de plaatplaat werktwerkt::

+++++++++

- - - - - - - - -

A geen kracht

B een kracht naar links

C een kracht naar rechts

Discussievraag 6

d

aa

Isolatoren: energie en krachtIsolatoren: energie en krachtIsolator: ( ) VCUU vacuume

2121

χ+=→C

QVCUvacuum

vacuum

22

21

21

==Vacuüm:

dax

da

xC eχεε 002

)( +=

V

( )d

a

CQ

FCC

QCVC

VQV

CVUB eχε 0

2

2

2

22

22

2222: =⇒∆−=∆−∆=∆−∆=∆

Batterij doet werk!Condensator

χe

x

F

Gevraagd:- Kracht F op isolator

Aanpak:1. Via U(x) ⇒ F=-dU/dx

Opties:A. Q constantB. V constant (lastig!)

E

-Q

+Q

da

CQ

xU

Fxd

a

CQ

CC

QC

QUA ee χεχε 0

2

20

2

2

2

22

2222: =

∆∆

−≡⇒∆−=∆−=∆=∆

Condensator Voor liefhebbers!

Practicum Practicum ElectrostaticaElectrostatica

1. Millikan à quantisatie van lading. (mondeling + verslag)2. De Plaatcondensator & De Cilindercondensator. (mondeling +2 x verkort

labjournaal)3. De Spiegelladingà moeilijk. (mondeling + verkort labjournaal)Keuze: 1+2 of 1+3. Zie de college webpage voor meer documentatie

Test zelf de theorie! (of geloven jullie alles wat ik vertel?!)

Toetsing: Millikan verslag à denk aan foutenrekening!RMS

mean

Schatting fout op gemiddelde:

/RMS N

Mondeling à docent loopt rond tijdens practica en stelt steekproefsgewijs vragen over de opstelling/meting.

QuantisatieQuantisatie elektrische ladingelektrische ladinghttp://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/07elecst/millikan/millikan.htm

PRAKTICUM: PRAKTICUM: MillikanMillikan

PRAKTICUM: Cilindercondensator PRAKTICUM: Cilindercondensator V

0-10V

dr

radius a

Voorbeeld verkort labjournaal:

Theorie zegt:V~ln(r)(geef afleiding)

6+-0.54

4+-0.53

3+-0.52

0+- 0.51

V (Volt)

r (cm)

r

V Conclusie:theorie lijktniet helemaal goed uit te komen bij hoge r. Misschien was ............of statistiek.

Van de korte proefjesdien je altijd een verkort labjournaal in te leveren.Deze worden steekproefsgewijs nagekeken.

PlaatcondensatorPlaatcondensator

SpiegelladingSpiegelladingNo picture yet.