Eletromagnetismo – Aula 7Maria Augusta Constante Puget (Magu)

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Circuitos RC – Carregando o Capacitor (1)

Vamos supor um capacitor de capacitância C, conectado em série a um resistor de resistência R e a uma bateria ideal de fem E, conforme mostra a figura.

Com a chave aberta não há corrente e o capacitor está descarregado.

S

E

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Circuitos RC – Carregando o Capacitor (2)

Quando o circuito é fechado, as cargas começam a fluir entre uma placa do capacitor e um terminal da bateria sobre cada um dos lados do capacitor.

Esta corrente aumenta a carga q sobre as placas e a diferença de potencial Vc entre as duas placas do capacitor.

Quando esta diferença de potencial iguala a diferença de potencial entre os terminais da bateria, a corrente cessa.

A carga final de equilíbrio sobre o capacitor então plenamente carregado é igual a CE.E

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Circuitos RC – Carregando o Capacitor (3)

Vamos examinar o processo de carregamento: como a carga q(t) sobre as placas do capacitor, também a diferença de potencial VC(t) entre as placas do capacitor e a corrente i(t) variam com o tempo durante o processo de carregamento.

E

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Circuitos RC – Carregando o Capacitor (4)

Aplicando a lei das malhas ao circuito, percorrendo-o no sentido horário a partir do terminal negativo da bateria, obtemos:

O último termo do lado esquerdo representa a diferença de potencial entre as placas do capacitor.

E

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Circuitos RC – Carregando o Capacitor (5)

A equação:

contém duas variáveis i e q. Mas estas variáveis não são independentes. Estão relacionadas entre si por:

E

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Circuitos RC – Carregando o Capacitor (6)

Assim podemos reescrever a equação como:

Esta equação diferencial descreve a variação da carga q sobre o capacitor.

Para resolvê-la, precisamos encontrar a função q(t) que satisfaz esta equação e que também satisfaz a condição de o capacitor estar inicialmente descarregado, ou seja: q = 0 em t = 0.

E

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Circuitos RC – Carregando o Capacitor (7)

A solução para a equação de carga é:

Nesta solução devemos observar que:A condição inicial é satisfeita: Em t = 0 q =

0.Quando t , o termo exponencial vai a zero e

q = que é o valor correto para a carga completa (de equilíbrio).

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Circuitos RC – Carregando o Capacitor (8)

A derivada de q(t) é a corrente i que carrega o capacitor:

Observa-se que:Em t = 0 i = /R.Quando t , o termo exponencial vai a zero e

i =

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Circuitos RC – Carregando o Capacitor (9)

Sabendo-se que q = CV, expressamos VC em termos de q:

Observa-se que:Em t = 0 VC = 0.Quando t , o termo exponencial vai a zero e

VC =

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Circuitos RC – A Constante de Tempo (1)

O produto RC que aparece na expressão de q(t), i(t) e Vc(t) é chamado de constante de tempo capacitiva do circuito e é representada pelo símbolo :

= RCOs tempos de carga para circuitos RC são

frequentemente expressos em termos de .

Quanto maior for , maior será o tempo necessário para carregar o capacitor.

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Circuitos RC – Descarregando o Capacitor (1)

Vamos supor que agora o capacitor esteja totalmente carregado a um potencial V0 igual a fem da bateria.

No circuito abaixo, quando a chave S passa para o ponto b, o capacitor é desconectado da bateria e fica ligado apenas ao resistor em série. Neste caso =0 e a lei das malhas nos fornece:

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Circuitos RC – Descarregando o Capacitor (2)

A solução para a equação de descarga é:

onde q0 = CV0 é a carga inicial do capacitor.

Esta expressão nos diz que a carga q diminui exponencialmente com o tempo a uma taxa que é determinada pela constante de tempo capacitiva = RC.

Observe que um maior valor de corresponde a um maior tempo de descarga.

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Circuitos RC – Descarregando o Capacitor (3)

Derivando q(t) com relação ao tempo, obtemos i(t):

Esta expressão nos diz que a corrente também diminui exponencialmente com o tempo a uma taxa determinada por .

A corrente inicial i0 é igual a q0/RC. A expressão de i0 também poderia ser determinada aplicando-se a lei das malhas ao circuito em t = 0.

O sinal negativo na expressão de i(t) pode ser ignorado. Ele indica apenas que a carga q no capacitor está diminuindo com o tempo.

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Circuitos RC – Energia (1)