Mecânica – Aula 1Maria Augusta Constante Puget (Magu)

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MecânicaMecânica: Estudo das relações

entre movimento, massa e força.

Cinemática: Parte da mecânica que estuda o movimento, sem se preocupar com as suas causas.

Dinâmica: Relação entre o movimento e suas causas.

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Tipo mais simples de movimento

Partícula (ponto material) se deslocando ao longo de uma linha reta.

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PartículaUm corpo pode ser considerado

como uma partícula quando suas dimensões não interferem no estudo de seu movimento. Ex:

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Movimento Unidimensional

Para descrever o movimento de uma partícula, introduzimos grandezas físicas como velocidade e aceleração.

Estas grandezas são vetoriais, porém, inicialmente, trabalhando em apenas uma dimensão, não é necessário o tratamento matemático completo de vetores.

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Referencial: Movimento e Repouso (1)

A posição de uma partícula fica determinada pelas suas coordenadas x, y e z, num sistema cartesiano ortogonal.

Um tal sistema é chamado sistema de referência ou referencial.

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Referencial: Movimento e Repouso (2)

Se as coordenadas de um ponto material permanecerem constantes no decorrer do tempo, dizemos que ele se encontra em repouso em relação ao referencial.

Se pelo menos uma das coordenadas que determinam sua posição variar no decorrer do tempo, ele estará em movimento em relação ao referencial.

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Trajetória (1)É o lugar geométrico dos pontos

ocupados pelo móvel, em relação ao referencial adotado, isto é, é a linha sobre a qual se move o ponto material.

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Função Horária (1)O movimento de um ponto material ao

longo de uma trajetória conhecida fica completamente determinado se for conhecido o espaço do móvel a cada instante.

Assim, associando o espaço ao tempo, o movimento de um ponto material fica completamente determinado.

A esta relação espaço X tempo damos o nome de função horária do movimento, que pode ser apresentada na forma de gráfico, tabela ou equação.

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Deslocamento Escalar (1)

s0: Posição inicial. Posição ocupada pelo móvel no instante em que começamos a observá-lo. Ou seja, quando ligamos o cronômetro.

s: Posição final. Posição ocupada pelo móvel no instante em que encerramos a nossa observação.

Deslocamento escalar (s): É a diferença entre os pontos final e inicial de um espaço (trajetória).

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Deslocamento Escalar (2) Se um carro parte de um ponto X e vai até um ponto Y,

percorrendo uma distância de 100 m, e em seguida, retorna ao ponto X, seu deslocamento escalar será 0 (zero), pois ele inicia e termina seu movimento no mesmo lugar.

Outro exemplo:

Se um objeto percorrer o caminho A-B-C-D-A, seu deslocamento será zero. Se percorrer A-B-C-D (partir de A e parar em D), seu deslocamento será de 7m.

Distância Percorrida: É o valor do comprimento de todo o caminho feito pelo objeto.

A distância percorrida do mesmo objeto que fez o caminho A-B-C-D-A será de: 10+5+5+7 = 27m, que é a medida em metros de todo o percurso.

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Deslocamento Escalar (3)

s = s – s0 Com relação ao sinal do deslocamento escalar:1. s > 0 s > s0: A partícula se desloca no

mesmo sentido da orientação da trajetória. 2. s < 0 s < s0: A partícula se desloca no

sentido contrário ao da orientação da trajetória.3. s = 0 s = s0: A partícula não se desloca em

relação à sua posição inicial.

0 P0 Ps0

ss

Instante t0 Instante t

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Distância Percorrida X Deslocamento (1)

O deslocamento escalar NÃO deve ser confundido com a distância percorrida.

Ele é apenas um indicativo global do movimento de uma partícula entre dois instantes.

A distância é uma grandeza escalar e é sempre positiva.

O deslocamento pode ser positivo, negativo ou nulo.

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Distância Percorrida X Deslocamento (2)

Em uma dimensão, a distância percorrida só é igual (em módulo) ao deslocamento quando não houver inversão de movimento.

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Velocidade Média (1)Consideremos uma partícula que

percorre determinada trajetória em relação a um certo referencial, passando pelo ponto P0 no instante t0 e pelo ponto P no instante t > t0.

Seja s0 o espaço do ponto material no instante t0 e s o espaço no instante t.

A velocidade escalar média vm no intervalo de tempo t = t – t0 é dada por:

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Velocidade Instantânea (1)Para descrever o movimento com

maiores detalhes, é necessário definir a velocidade em um instante ou em um ponto específico ao longo da trajetória.

Para designar a velocidade instantânea, usaremos o símbolo v, sem nenhum índice.

A velocidade instantânea é definida como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero:

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Velocidade: Unidade (1)No SI, a unidade de comprimento

é o metro (m) e a unidade de tempo é o segundo (s).

Assim, velocidades são expressas em m/s.

Outras unidades muito comumente usadas são km/h e mi/h.

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Aceleração Média (1)A aceleração média de uma partícula

que se move do ponto P0 ao ponto P entre os instantes t0 e t com t > t0, com uma velocidade v0 no instante t0 e uma velocidade v no instante t é dada por:

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Aceleração Instantânea (1)A aceleração instantânea é definida

como o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero:

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Aceleração: Unidade (1)No SI, a unidade de aceleração é o m/s2.

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Movimento com Velocidade Constante (1)

No movimento com velocidade constante, a velocidade média é igual à velocidade instantânea. Daí:

aonde s0 é a posição no instante inicial e t0 é o instante inicial. Fazendo t0 = 0 e isolando s, temos:

s = s0 + vt

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Movimento com Aceleração Constante (1)

No movimento com aceleração constante, a aceleração média é igual à aceleração instantânea. Daí:

aonde v0 é a velocidade no instante inicial e t0 é o instante inicial. Fazendo t0 = 0 e isolando v, temos:

v = v0 + at

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Movimento com Aceleração Constante (2)

Por outro lado, como:

podemos escrever:

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Movimento com Aceleração Constante (3)

Isolando t na equação v = v0 + at:

Substituindo esta expressão na equação:

s = s0 + v0t + at2/2

após um pouco de manipulação algébrica, chega-se a:

v2 = v02 + 2a(s – s0)

conhecida como equação de Torricelli.

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Movimento Progressivo X Retrógrado (1)

Movimento ProgressivoAquele em que o móvel caminha no

mesmo sentido da orientação da trajetória.

Os espaços crescem no decorrer do percurso em função do tempo.

A velocidade escalar é positiva: v > 0.

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Movimento Progressivo X Retrógrado (2)

Movimento Retrógrado (Regressivo)O móvel caminha contra a orientação

da trajetória. Seus espaços decrescem no decorrer

do tempo.Sua velocidade escalar é negativa: v

< 0.

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Movimento Acelerado X Retardado (1)

Movimento Acelerado Movimento no qual a velocidade

aumenta em módulo no decorrer do tempo.

Isto equivale a afirmar que a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal.

Caso 1: Movimento acelerado e progressivo v > 0 sempre

a > 0

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Movimento Acelerado X Retardado (2)

Movimento Acelerado Movimento no qual a velocidade

aumenta em módulo no decorrer do tempo.

Isto equivale a afirmar que a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal.

Caso 2: Movimento acelerado e retrógrado v < 0 sempre

a < 0

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Movimento Acelerado X Retardado (3)

Movimento Retardado Movimento no qual a velocidade

diminui em módulo no decorrer do tempo.

Isto equivale a afirmar que a velocidade e a aceleração têm sinais opostos.

Caso 3: Movimento retardado e progressivo v > 0 sempre

a < 0

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Movimento Acelerado X Retardado (4)

Movimento Retardado Movimento no qual a velocidade

diminui em módulo no decorrer do tempo.

Isto equivale a afirmar que a velocidade e a aceleração têm sinais opostos.

Caso 4: Movimento retardado e retrógrado v < 0 sempre

a > 0

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Classificação dos movimentos: Resumindo...Progressivo Versus Retrógrado

(MU)Itu Sorocaba

Progressivo: x > 0, v > 0

Itu SorocabaRetrógrado: x < 0, v < 0

Acelerado Versus Retardado (MU e MUV)Acelerado: Acelerador

(Velocidade aumenta em módulo)

Retardado: Freio(Velocidade diminui em módulo)

Progressivo: v > 0, v > 0, a > 0Retrógrado: v < 0, v < 0, a < 0

Progressivo: v > 0, v < 0, a < 0Retrógrado: v < 0, v > 0, a > 0

v e a com mesmo sinal

v e a com sinais opostos

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Gráficos (1)Gráfico da reta: y = mx + nm coeficiente angularn coeficiente linear

y

x

y

x

m > 0 m < 0

n

n

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Gráficos (2)Gráfico da parábola:

y = ax2 + bx + ca > 0 Parábola com a concavidade voltada para cima.a < 0 Parábola com a concavidade voltada para baixo.

= b2 – 4.a.c > 0 A função do segundo grau tem duas raízes reais e distintas: Intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. = 0 A função do segundo grau tem apenas uma raiz real: Intercepta o eixo das abscissas em um ponto. < 0 A função do segundo grau não possui raízes reais: Não intercepta o eixo das abscissas em nenhum ponto.

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Gráficos (3)Gráfico da parábola:

>0

=0

<0

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Gráficos – Movimento Retilíneo Uniforme (1)

Equação horária do MRU: s = s0 + vt

s0: Coeficiente linear da retav: Coeficiente angular da reta ou inclinação da reta.

Gráfico s X t Para obter s0, basta fazer t = 0 na equação horária. A velocidade escalar é obtida a partir do gráfico s versus t, calculando a inclinação da reta:

v = Inclinação da reta = s/ t = (s - s0)/(t - t0)

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Gráficos – Movimento Retilíneo Uniforme (2)Gráfico v X t

Sendo a velocidade constante em qualquer instante e intervalo de tempo, a função v = f(t) é uma função constante e o gráfico v versus t é uma reta paralela ao eixo do tempo.

Pode-se calcular a variação de espaço ocorrida em um intervalo de tempo, calculando-se a área abaixo da reta obtida (área hachurada), que é a área de um retângulo.s = Aretângulo= base * altura

= t . v

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Gráficos – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (1)

Equação horária do MRUV: s = s0 + v0t + at2/2

Equação da velocidade:v = v0 + at

Gráfico v X t• A aceleração escalar é obtida

a partir do gráfico v versus t, calculando a inclinação da reta:

a = Inclinação da reta = v/ t = (v - v0)/(t - t0)

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Gráficos – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (2)

A equação horária do MRUV: s = s0 + v0t + at2/2

é uma função do segundo grau. O gráfico é uma parábola.

Gráfico s X t