Eletricidade A - ENG04474Eletricidade A - ENG04474

Aula IIAula II

Elementos Básicos IdeaisElementos Básicos Ideais

Elemento Básico IdealElemento Básico Ideal é a forma mais simples de um BipoloBipolo

Possui apenas Possui apenas dois terminaisdois terminais, pode ser , pode ser descritodescrito matematicamente matematicamente em termos de tensão e/ou correnteem termos de tensão e/ou corrente, , não não pode ser subdivididopode ser subdividido em outros elementos em outros elementos

Fontes de TensãoFontes de Tensão

Fontes de CorrenteFontes de Corrente

ResistoresResistores

CapacitoresCapacitores

Indutores.Indutores.

IDEAISIDEAIS

Fontes de Energia IndependentesFontes de Energia Independentes

PProdução de eletricidade:rodução de eletricidade: reações químicas entre metais (pilhas níquel-cádmio), materiais piezoelétricos,

bobinas girando na presença de campo magnético, atrito entre materiais não

condutores (eletricidade eletrostática). (FONTES REAIS DE ENERGIA ELÉTRICA)

Fonte Ideal de Tensão IndependenteFonte Ideal de Tensão Independente Bipolo cuja tensãotensão entre os terminais é invariante em relação a invariante em relação a

correntecorrente que o atravessa

v

i

Corrente e tensão no bipolo indicadas de acordo com a convenção passiva.

Nesse caso: v = +5V Fonte Ideal de Corrente IndependenteFonte Ideal de Corrente Independente

Bipolo cuja correntecorrente que o atravessa é invariante em relação a invariante em relação a tensãotensão entre seus terminais.

v

i

Corrente e tensão no bipolo indicadas de acordo com a convenção passiva.

Nesse caso: i = -5A

Fontes de Energia DependentesFontes de Energia Dependentes DDispositivos eletrônicos:ispositivos eletrônicos: válvulas, transistores, amplificadores, etc. (Retiram a energia que fornecem de outras fontes de

energia elétrica)

Fonte Ideal de Tensão DependenteFonte Ideal de Tensão Dependente

Bipolo cuja tensãotensão entre os terminais não dependedepende da corrente que o atravessa, mas sim da tensão ou corrente em um outro bipoloda tensão ou corrente em um outro bipolo.

Fonte de Tensão controlada por Corrente

Fonte de Tensão controlada por Tensão

Fonte Ideal de Corrente DependenteFonte Ideal de Corrente Dependente

Bipolo cuja correntecorrente que o atravessa não dependedepende da tensão entre seus terminais, mas sim da tensão ou corrente em um outro bipoloda tensão ou corrente em um outro bipolo.

Fonte de Corrente controlada por Corrente

Fonte de Corrente controlada por Tensão

ResistorResistor Bipolo cuja função que relaciona função que relaciona vv e e ii é algébrica é algébrica, ff((vv,,ii)=0)=0 e vv=0 =0 ii=0=0

A função também pode depender de outras variáveis tais como tempo (t), intensidade luminosa () e temperatura (T) f(v,i,t,T, )=0.

Esta funçãofunção pode ser linearlinear ou não linearnão linear.

Resistores LinearesResistores Lineares

Bipolo em que a função função ff((v,iv,i)=0)=0é linearlinear e vv=0 =0 ii=0=0

convenção passiva.

O resistor linear é caracterizado por sua resistência (R - unidade Ohms ()) ou por sua condutância (G - unidade Simens (S))

Lei de OhmLei de Ohmv=Ri ou i=Gv

Para materiais homogêneos e isotrópicos é possível definir os conceitos resistividade e condutividade . Em um cilindro de área A e comprimento l:

ResistorResistorSob o ponto de vista da teoria de circuitos elétricos, uma série de dispositivos pode ser modelada como resistor.

Resistores Não LinearesResistores Não Lineares Bipolos em que a função função ff((vv,,ii))==00 é não linear e vv=0 =0 ii=0=0 Exemplos:

• Lâmpada IncandescenteLâmpada Incandescente:: em metais, a resistividade geralmente cresce com a temperatura, que por sua vez cresce com adissipação de potência, explicando a característica não linear

• Válvula triodoVálvula triodo

• Diodo SemicondutorDiodo Semicondutor

+

-

v

i

CapacitorCapacitor

Bipolo onde a carga armazenada, carga armazenada, qq, , é uma funçãofunção instantânea da tensãoda tensão.

Capacitor LinearCapacitor Linear - q=q=CCvv CC é denominado capacitânciacapacitância e sua unidade é Farad (F)Farad (F)

A passagem de corrente de um terminal a outro do capacitor corresponde a uma variação de carga (não há corrente atravessando o dielétrico)(não há corrente atravessando o dielétrico).

Num Capacitor LinearCapacitor Linear, a função função ff((ii,,vv)=0)=0 é dada por:(convenção passiva)(convenção passiva)

O Capacitor Armazena Capacitor Armazena Energia ElétricaEnergia Elétrica

IndutorIndutor

Bipolo onde o fluxo magnético, fluxo magnético, ,, é umafunçãofunção instantânea da corrente.da corrente.

Indutor Linear - Indutor Linear - =L=Lii LL é denominado indutânciaindutância e sua unidade é Henry (H)Henry (H).

Num Indutor LinearIndutor Linear, a funçãofunção ff((ii,,vv)=0)=0 é dada por:(convenção passiva)

O Indutor Armazena Indutor Armazena Energia MagnéticaEnergia Magnética

Modelos de Dispositivos ReaisModelos de Dispositivos Reais Resistores, Capacitores, Indutores, Transformadores, Diodos, Transistores, Resistores, Capacitores, Indutores, Transformadores, Diodos, Transistores,

Tiristores, etcTiristores, etc. . REAISREAIS

Um modelo de um dispositivo real descreve o funcionamento do dispositivoUm modelo de um dispositivo real descreve o funcionamento do dispositivo: de forma aproximada,de forma aproximada, utilizando um conjunto de elementos básicos ideais,utilizando um conjunto de elementos básicos ideais, para um determinado conjunto de condições de contorno.para um determinado conjunto de condições de contorno.

Exemplos:Exemplos:

ResistorResistor

1kR1

Modelo ideal do Modelo ideal do dispositivodispositivo

C

L1kR1

Modelo mais Modelo mais realista do realista do dispositivodispositivo

Imagem do Imagem do dispositivo Realdispositivo Real

Modelos de Dispositivos ReaisModelos de Dispositivos Reais

CapacitorCapacitor

IndutorIndutor

C133uF

L110mH

Imagem do Imagem do dispositivo dispositivo

RealReal

Modelo Ideal Modelo Ideal do dispositivodo dispositivo

C

33uF

LR

Modelo mais Modelo mais realista do realista do dispositivodispositivo

Imagem do Imagem do dispositivo dispositivo

RealReal

Modelo Ideal Modelo Ideal do dispositivodo dispositivo

C

L110mHR

Modelo mais Modelo mais realista do realista do dispositivodispositivo

v

i

+

-

V

Fontes Reais de EnergiaFontes Reais de Energia

Qual modelo empregar:Qual modelo empregar:

Fonte de Tensão Ideal?Fonte de Tensão Ideal?

Exemplos:Exemplos: Baterias eletroquímicas, materiais piezoelétricos, bobinas girando na presença Baterias eletroquímicas, materiais piezoelétricos, bobinas girando na presença

de campo magnético, atrito entre materiais não condutores (eletricidade eletrostática), de campo magnético, atrito entre materiais não condutores (eletricidade eletrostática),

materiais fotoelétricosmateriais fotoelétricos

Esse modelo pode ser empregado dentro da faixa de corrente e tensão em que a relação entre a corrente e a tensão nos terminais da fonte de energia puder ser expressa por:

vv= R= Rssii++VV

+

v

-

i

Rs

V+

-

+

v

-

i- Rsi +

Região de validade do

modelo

Fonte de Tensão em Série com um Resistor?Fonte de Tensão em Série com um Resistor?

O transformador é um dispositivo capaz de transferir energia elétrica de um circuito para outro por meio de um campo magnético que enlaça ambos os circuitos.

TransformadorTransformador

ip

+vp

-

+vs

-

is

Np Ns

s

p

s

p

N

N

v

v

aN

N

ii

v

viviv

s

p

p

s

s

psspp

1

sp pp

Se o campo magnético que enlaça os enrolamentos for o mesmo então, pela lei de Faraday:

Utilizado principalmente em circuitos com tensão e corrente alternadas e cíclica, apresentando um comportamento linear.

Quando operando de forma linear o modelo básico ideal do transformador pode ser determinado pelo princípio da conservação de energia (toda energia entregue ao circuito primário é repassada ao secundário) de modo que:

+

-

+vs

-

isip

+vp

-avp

ais

Modelo

Ideal

Transformador - ExemplosTransformador - Exemplos

Um circuito é linearcircuito é linear quando as relações entre tensão e correnterelações entre tensão e corrente no circuito são determinadas por uma função linearfunção linear

ff(a(axx1 + b1 + bxx2) = a2) = aff((xx1) +b 1) +b ff((xx2)2)

Equações Diferenciais LinearesEquações Diferenciais Lineares

Caso Particular de Caso Particular de Circuitos Lineares Circuitos Lineares

Funções Lineares AlgébricasFunções Lineares Algébricas

Todo circuito constituído por elementos básicos ideais lineareselementos básicos ideais lineares é um circuito linear.circuito linear.

Fontes de Tensão independente Fontes de Tensão independente Fontes de Tensão dependentesFontes de Tensão dependentes Fontes de Corrente independenteFontes de Corrente independente Fontes de Corrente dependentesFontes de Corrente dependentes Resistores linearesResistores lineares Capacitores linearesCapacitores lineares Indutores linearesIndutores lineares..

Circuito LinearCircuito Linear

vv = = i i + + ou ou ii = = v v + +

00101 vdtdv

dtvd

idtdi

dtid m

m

n

n

Exemplos de Exemplos de Circuitos Circuitos LinearesLineares

Equações diferenciais linearesEquações diferenciais lineares

Função linear AlgébricaFunção linear Algébrica

R21k

CR1L

+

-

V1

vvLL+ + vvR1R1+ + vvCC+ + vv - - V1 V1 = = 00

LL + + R1R1 i i ++ i i dtdt + + vv - - V1 V1 = = 00

ddii

dtdt 11

CC

++

vv

--

ii

+ v+ vL L

--+ v+ vR1 R1

--+ v+ vCC --

R2

R1

+

-

V1

+ v+ vR1 R1

--++

vv

--

iivvR1R1+ + vv - - V1 V1 = = 00

ii R1R1 ++ vv - -V1V1 = 0= 0

vv = - = - R1 R1 ii ++ V1V1

vv

ii

V1 V1

V 1V 1

R1R1

LaçoLaço

MalhaMalha

NNOOMMEE DDEEFFIINNIIÇÇÃÃOO EEXXEEMMPPLLOO

Nó Ponto ao qual estão ligados dois ou maisbipolos.

a

Nó Essencial Ponto ao qual estão ligados três ou mais bipolos. b

Caminho Seqüência de bipolos ligados entre si na qualnenhum bipolo é incluido mais de uma vez. V1-R1-R5-R6

Ramo Caminho que liga dois Nós R1

RamoEssencial

Caminho que liga dois Nós Essenciais sem passarpor outro Nó Essencial. V2-R4

Laço Caminho cujo último Nó coincide com o primeiro V1-R1-R5-R6-R4-V2

Malha Laço que não inclui nenhum outro Laço V1-R1-R5-R3-R2

NóNó

Nó EssencialNó Essencial

RamoRamo

Ramo EssencialRamo Essencial

Análise de Circuitos Análise de Circuitos

TerminologiaTerminologia

ExemploExemplo a b

c d e

f g

Objetivo:Objetivo: Obter Tensões e Correntes no CircuitoObter Tensões e Correntes no Circuito

Equações SimultâneasEquações Simultâneas Eqs.Eqs. == Número de ramosramos, bb, onde as correntescorrentes são desconhecidasdesconhecidas. nn NósNós ((nn-1)-1) Equações de NóEquações de Nó (se faltam equações??). bb-(-(nn-1)-1) Equações de Laço. Equações de Laço. (não garante equações independentes)

++ Equações dos Bipolos, Equações dos Bipolos, ff((v,iv,i)=0)=0..

Equações Simultâneas Independentes Equações Simultâneas Independentes Utiliza-se os Ramos Essenciais, Nós Essenciais e Malhas.Ramos Essenciais, Nós Essenciais e Malhas. Diminui o número de equaçõesDiminui o número de equações Eqs.Eqs. == Número de Ramos EssenciaisRamos Essenciais,, bbee,, onde as correntescorrentes são desconhecidasdesconhecidas. nnee Nós EssenciaisNós Essenciais ((nnee-1)-1) Equações de NóEquações de Nó (se faltam equações??). bbee -(-(nnee -1)-1) Equações deEquações de MalhaMalha (garante equações independentes).

++ Equações dos Bipolos, Equações dos Bipolos, ff((v,iv,i)=0)=0..

Técnicas de Análise de CircuitosTécnicas de Análise de Circuitos Aplicação Direta das Leis de Aplicação Direta das Leis de

KirchhoffKirchhoff

Técnicas de Análise de CircuitosTécnicas de Análise de Circuitos

Método SistemáticoMétodo Sistemático para obter Equações Simultâneas para obter Equações Simultâneas IndependentesIndependentes Marcar os Marcar os nós essenciaisnós essenciais

Contar os nós essenciais (ne) Assinalar Assinalar as correntes desconhecidasas correntes desconhecidas de cada de cada ramo essencialramo essencial

Contar as correntes desconhecidas (be) Assinalar Assinalar a tensãoa tensão de cada bipolo de cada bipolo seguindoseguindo a convenção passivaa convenção passiva Escrever asEscrever as ((nnee-1)-1) equações de nóequações de nó Marcar asMarcar as malhas malhas ( exceto as que contêm fontes de corrente) ou ( exceto as que contêm fontes de corrente) ou e super e super

malhasmalhas Escrever as Escrever as bbee-(-(nnee-1)-1) equações de malhaequações de malha Escrever as Escrever as equações dos bipolos equações dos bipolos (relaciona i com v) SubstituirSubstituir as equações dos bipolos nas equações de nó as equações dos bipolos nas equações de nó ouou nas de nas de

malhamalha Resolver o sistema com Resolver o sistema com bbee equações equações

AA

BBCC

ExemploExemplob

c e

g

01I :b Nó R7R5V1R1 iii

0 :c Nó V2R4R2R3V1R1 iii

0 :e Nó R6R2R3R5 iii

nne e = = 4 4 3 Equações de 3 Equações de NóNó

bbe e = = 66, n, ne e = = 44 6-(4-1) = 3 Equações de 6-(4-1) = 3 Equações de MalhaMalha

01V : AMalha R2R3R5R1 vvvv

02V :B Malha R4R6R3R2 vvvv

0 :C Malha R5R6R7 vvv

01V2R3R5R1R : AMalha R2R3R2R3R5V1R1 iiii

bbe e = = 6 6 6 6 EquaçõesEquações

02V4R6R3R2R :B Malha V2R4R6R2R3R2R3 iiii

05R6R7R :C Malha R5R6R7 iii

Lei de Ohm Lei de Ohm vv ==

RRii

iV1R1

iR2R3

iV2R4

iR5

iR6

iR7

- vR1 +

+ vR2 - + vR3 -

+ vR4 -

+ vR6

-

+ vR7

-

+ vI1

-

+ vR5

-

R4

I1

R3

R2R1

+

-

V1 BB

Super MalhaSuper Malha

Laço composto de malhas vizinhasmalhas vizinhas separadas por um ramo essencial que contêm uma fonte de correntefonte de corrente

AA

Super Malha AB+ vR1

-+ vR2

-+ vR3

-

Equação da Super MalhaEquação da Super Malha

0 : ABMalhaSuper R3R2R11 vvvV

03R2R1R1V : ABMalhaSuper R2R3R2R3V1R1 iii

iV1R1 iR2R3

Divisor de TensãoDivisor de Tensão

Em alguns casos é mais simples aplicar expressões derivadas das leis de Kirchhoff do que as próprias leis de Kirchhoff para determinar as tensões e correntes no circuito.

vvR1R1 ++ vvR2R2 +....+.... ++ vvRkRk +....++....+ vvRnRn -- VVbb=0=0

ii R1R1 + + ii R2R2 +.... ++.... + ii RkRk +....++....+ ii Rn-VRn-Vbb=0=0i

+ vR1- + vR2- + vRn-

+ Vb

-

Bipolo

+ vRk-

R1 R2 Rk Rnii==

R1R1 + R2+ R2 +.... ++.... + RkRk +....++....+ RnRn

VVbb

vvRkRk == ii RkRk = =R1R1 + R2+ R2 +.... ++.... + RkRk +....++....+ RnRn

VVbb

RkRk vvRkRk == VVbb

RkRk

RpRp p=np=n

p=1p=1

Divisor de CorrenteDivisor de Corrente

iiR1R1 ++ iiR2R2 +....+.... ++ iiRkRk +....++....+ iiRnRn -- IIbb=0=0

Ib

+

v

-

Bipolo iR1 R1 R2 Rk Rn

v v == IIbb

iiRkRk ==

iR2 iRk iRn

vv

R1R1

vv

R2R2

vv

RkRk

vv

RnRn-- IIb b = 0= 0++ ++ ++ ++ ++........ ........

11

R1R1

11

R2R2

11

RkRk

11

RnRn++ ++ ++ ++ ++........ ........

vv

RkRk

11

RkRk

IIbb

11

R1R1

11

R2R2

11

RkRk

11

RnRn++ ++ ++ ++ ++........ ........

== .. iiRkRk == IIbb

11

p=np=n

p=1p=1

11

RkRk 11

RpRp

..

ExemplosExemplos

Divisor de TensãoDivisor de Tensão

Divisor de CorrenteDivisor de Corrente

i+ vR1- + vR2-

+ 7V

-

Bipolo

+ vR3-

10 15 5

vvR2R2 = ? = ?

vvR2R2 ==1010 + 15+ 15 ++ 55

.. 7 = 14 V 7 = 14 V 1515

5A

+

v

-

Bipolo iR1 12 20 10iR2 iR3iiR3R3 = ? = ?

iiR3 R3 ==

60iR4

.. 5 = 2 A 5 = 2 A

11 11

1010

.. 11

1212

++ 11

2020

++ 11

1010

++ 11

6060