efeito da fendilhação do betão na distribuição de esforços ... · the case studies modulation...

Efeito da Fendilhação do Betão

na distribuição de esforços em Pontes Mistas

Comparação de modelos

Diogo Filipe Vaz Rosa Dias Ferreira

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Professor Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira

Orientadores: Professor Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso

Professor Doutor Eduardo Manuel Baptista Ribeiro Pereira

Vogal: Professor Doutor João Carlos de Oliveira Fernandes de Almeida

Junho de 2010

i

RESUMO

A presente dissertação tem como objectivo principal analisar a influência do

comportamento do betão à tracção em vigas mistas aço-betão de pontes de médio vão. São

considerados três casos de estudo com diferentes relações de vãos.

A análise dos casos de estudo foi realizada por meio de cinco modelos de cálculo diferentes.

Nestes modelos consideraram-se diferentes comportamentos do betão à tracção, que variam desde

a consideração de um comportamento elástico e linear, até à não consideração da sua resistência.

Um destes modelos foi desenvolvido com base na recomendação do Eurocódigo 4 para a

consideração deste efeito. Ainda foi estudada a influência de percentagem de armadura na laje de

betão.

A modelação e simulações dos casos de estudo foram realizadas com recurso a um

programa computacional que tem por base o Método de Elementos Finitos, através de análises

lineares de estruturas correntes tendo em conta efeitos não lineares.

No estudo são também desenvolvidas representações gráficas de níveis de redistribuição do

momento flector negativo devido à fissuração do betão em zonas traccionadas para os modelos de

cálculo estudados.

Palavra-chave:

Vigas mistas aço-betão

Fissuração do betão

Modelos de cálculo

Eurocódigo 4

iii

ABSTRACT

The main objective of this work is to test different models for the concrete behaviour

when subjected to tension in composite steel-concrete medium span bridges. Three case studies

are considered, corresponding to different span relations.

The case study analysis was made through the use of five different models. In these models,

different concrete behaviours in tension were considered, going from the consideration of a linear

elastic behaviour, to the non-consideration of concrete resistance. One of these models was

developed based on the recommendation of the Eurocode 4, suited to this case. Furthermore, the

influence of the reinforcement’s percentage in the slab was also studied.

The case studies modulation and simulations were performed using a computing program

based on the Finite Elements Method through linear analysis of structures.

Finally, graphical representations of negative bending moments redistributions due to

cracking of concrete were developed.

Key-words:

Composite steel-concrete beam

Concrete cracking

Design models

Eurocode 4

v

RÉSUMÉ

Cette dissertation vise analyser l’influence du béton en traction dans le comportement des

poutres mixtes acier-béton des ponts à travée moyen. On a considéré trois cas d’étude chacun

pour différents ratios de travées.

L’analyse des cas d’étude a été réalisée à l’aide de cinq modèles de calcul différents. Dans

ces modèles on a considéré de différents comportements du béton en traction qui varient dès la

considération d’un comportement élastique et linéaire jusqu’à la non considération de sa

résistance. L’un de ces modèles a été développé suivant la disposition de l’Eurocode 4 pour la

considération de ces effets. L’influence du pourcentage de l’armature dans a été dalle en béton

aussi étudié.

La modulation et les simulations des cas d’étude ont été réalisées en utilisant la méthode

des éléments finis, pour l’analyse linéaire des structures pour tenir en compte les effets non

linéaires.

Dans le travail sont aussi présentées les représentations graphiques des niveaux de

redistribution du moment fléchissant négatif dû à la fissuration du béton en traction pour les

modèles de calcul étudiés.

Mots-clés:

Poutre mixte acier-béton

Fissuration du béton

Eléments finis

Eurocode 4

vii

AGRADECIMENTOS

O desenvolvimento do presente estudo só foi tornado possível com a colaboração de várias

personalidades marcantes na minha vida académica, às quais pretendo expressar a minha sincera

gratidão:

Ao excelentíssimo Professor Francisco Virtuoso, pela orientação prestada e

transmissão de conhecimento essencial ao progresso deste estudo.

Ao excelentíssimo Professor Eduardo Pereira, pela co-orientação prestada e

transmissão de conhecimento essencial ao progresso deste estudo.

À excelentíssima Ana Cristina Ferreira, minha mãe, pela revisão ortográfica e

gramatical de língua portuguesa do presente documento.

Aos meus caros colegas, Gonçalo Correia e João Vasco Lopes, pela revisão

ortográfica e gramatical de língua inglesa do resumo alargado da tese.

Visto que a apresentação da presente tese é o culminar de um mestrado integrado, gostaria

também de agradecer às pessoas que me apoiaram durante o decorrer destes últimos cinco anos:

Aos meus pais, que sempre me incentivaram e apoiaram moral e financeiramente.

Ao excelentíssimo Professor José Roberto Santos, pelo apoio prestado e

aconselhamento.

A todos os meus colegas de curso com os quais realizei trabalhos de grupo e cruzei

dúvidas.

Ao meu grupo de estudo, que embora não estudássemos as mesmas matérias,

sempre me apoiaram e estiveram presentes.

Aos meus amigos, que sempre me apoiaram e estiveram presentes.

Aluno Nº 54964

ix

ÍNDICE

1. Introdução .................................................................................................................... 1

1.1. Generalidades ......................................................................................................... 1

1.2. Objectivos .............................................................................................................. 3

1.3. Plano da Dissertação .............................................................................................. 3

2. Definição do Modelo Estrutural .................................................................................... 5

2.1. Caracterização da estrutura ..................................................................................... 5

2.2.Caracterização das Acções ........................................................................................ 6

2.3. Materiais ................................................................................................................ 8

2.3.1. Aço ................................................................................................................. 8

2.3.2. Betão ............................................................................................................... 9

2.3.3. Mecanismo de fissuração do betão armado .................................................... 11

2.4. Comportamento de um tirante de betão armado .................................................. 13

2.5. Extensão média nas armaduras traccionadas ......................................................... 14

2.6. Homogeneização de secções mistas ....................................................................... 17

2.7. Armadura Passiva ................................................................................................. 18

2.8. Armadura mínima ................................................................................................ 19

2.8.1. Adaptação da fórmula ao caso de estudo perante cada EC ............................. 20

3. Modelos Computacionais ............................................................................................ 23

3.1.Selecção do modelo de cálculo a utilizar ................................................................ 23

3.1.1.Introdução ..................................................................................................... 23

3.1.2. Justificação da modelação e Calibração do modelo ........................................ 24

3.1.3. Modelo A ...................................................................................................... 24

3.1.4. Modelo B ...................................................................................................... 25

x

3.1.5. Comparação de resultados dos dois modelos ................................................. 27

3.2. Importância da Largura Efectiva ........................................................................... 32

3.3. Modelação das armaduras traccionadas ................................................................. 35

3.4. Modelação do Comportamento das zonas de betão traccionadas .......................... 36

3.4.1. Modelo I ....................................................................................................... 36

3.4.2.Modelo II ....................................................................................................... 36

3.4.3. Modelo I-II ................................................................................................... 37

3.4.4. Modelo Simplificado - EC4 .......................................................................... 37

3.4.5. Modelo Contribuição do betão entre fendas .................................................. 38

3.5. Calibração da Carga Aplicada / Verificação de Segurança ..................................... 41

3.5.1. Cálculo da resistência da secção ..................................................................... 41

3.5.1.1. Momento Resistente Positivo ................................................................. 42

3.5.1.2. Momento Resistente Negativo ............................................................... 43

3.5.2. Cálculo dos esforços actuantes ....................................................................... 45

3.5.2.1. nL=0,5 .................................................................................................... 46

3.5.2.2. nL=0,6 .................................................................................................... 47

3.5.2.3. nL=0,8 .................................................................................................... 48

4. Estudo Paramétrico ..................................................................................................... 51

4.1. Introdução ........................................................................................................... 51

4.2. Aspectos analisados .............................................................................................. 52

4.3. Vão Lateral de 16m (nL=0,5) ................................................................................ 53

4.4. Vão Lateral de 19,2m (nL=0,6) ............................................................................. 63

4.5. Vão Lateral de 25,6m (nL=0,8) ............................................................................. 69

4.6. Comparação de resultados .................................................................................... 75

5. Considerações Finais ................................................................................................... 79

xi

5.1. Conclusões ........................................................................................................... 79

5.2. Recomendações .................................................................................................... 80

5.3. Desenvolvimentos Futuros ................................................................................... 81

Bibliografia ...................................................................................................................... 83

xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1- Exemplo de uma P.S. com tabuleiro misto na auto-estrada A1, junto à área de serviço

de Torres Novas. ......................................................................................................................... 2

Figura 2 - Perfil longitudinal genérico e secção transversal adoptada. ........................................... 5

Figura 3 - Descrição das distribuições possíveis de sobrecarga. ..................................................... 7

Figura 4 – relação constitutiva do betão. .................................................................................... 10

Figura 5 – Método do diagrama rectangular simplificado. ......................................................... 11

Figura 6 – Diagramas de tensões com secção não fissurada(a) e secção fissurada (b) ................... 12

Figura 7– Trajectórias de transferência de tensão tangencial entre os dois materiais. .................. 13

Figura 8 – Diagrama N-ε teórico com a contribuição do betão entre fendas definida. ................ 14

Figura 9 – Diagrama σs-εs. ........................................................................................................ 15

Figura 10 – Secção homogeneizada tipo. ................................................................................... 17

Figura 11 - Viga continua com os eixos de coordenadas globais identificados. ........................... 24

Figura 13 - Vista 3D do Modelo A. ........................................................................................... 25

Figura 12 - Secção homogeneizada e suas principais propriedades. ............................................. 25

Figura 14 - Secção transversal com distância entre centros de massa........................................... 25

Figura 15 - Vista 3D do Modelo B. ........................................................................................... 26

Figura 16 - Tensões normais na secção à esquerda 0,5m do primeiro apoio interior dos modelos

de calibração. ............................................................................................................................. 27

Figura 17 - Tensões normais na secção à direita 0,5m do primeiro apoio interior dos modelos de

calibração. .................................................................................................................................. 28

Figura 18 - Tensões normais na secção à esquerda 0,5m do meio vão interior dos modelos de

calibração. .................................................................................................................................. 28

Figura 19 - Tensões normais na secção à direita 0,5m do meio vão interior dos modelos de

calibração. .................................................................................................................................. 28

Figura 20 - Momento flector não fendilhado. ............................................................................ 29

Figura 21 - Esforço normal não fendilhado do elemento de betão no modelo B. ....................... 30

Figura 22 - Diagrama de momento flector não fendilhado do banzo de betão, modelo B. ......... 30

Figura 23 - Diagrama de momento flector não fendilhado do perfil metálico, modelo B ........... 31

xiv

Figura 24 – Conceito de largura efectiva (PEDRO, 2007). ......................................................... 32

Figura 25 - Distância entre pontos de momento flector nulo ..................................................... 33

Figura 26 – Distribuição longitudinal das larguras efectivas. ...................................................... 34

Figura 27 – Diagrama comparativo entre o modelo não fendilhado e um modelo com larguras

efectivas. .................................................................................................................................... 34

Figura 28 - Vista 3D do modelo II sem armadura ordinária. ...................................................... 37

Figura 29 - Método simplificado proposto pelo EC4 (CALADO, et al., 2009). .......................... 38

Figura 30 - Modelação da viga contínua considerando a resistência do betão entre fendas para um

determinado nível de armaduras. ............................................................................................... 40

Figura 31 – Secção transversal com armaduras relativas à percentagem máxima. ........................ 44

Figura 32 – Envolvente de momentos flectores para uma carga de cálculo unitária para nL=0,5. 46



Figura 35 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de

armadura máxima. ..................................................................................................................... 53

Figura 36 – Relação N-ε para a ρs,máx. ......................................................................................... 54

Figura 37 – Relação N-ε para a ρs,mín EC2 ..................................................................................... 55

Figura 38 - Relação N-ε para a ρs,mín EC2 do Modelo I-II. ............................................................ 56

Figura 39 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S1 e

nL=0,5. ...................................................................................................................................... 56


armadura máxima. ..................................................................................................................... 58


Figura 42 – Relação N-ε para a ρs,mín EC4. .................................................................................... 61


nL=0,5. ...................................................................................................................................... 61


armadura máxima. ..................................................................................................................... 63


xv


nL=0,6. ...................................................................................................................................... 65


armadura máxima. ..................................................................................................................... 66



nL=0,6. ...................................................................................................................................... 68


armadura máxima. ..................................................................................................................... 69


Figura 52 – Relação N-ε para a ρs,mín EC2. .................................................................................... 70


nL=0,8. ...................................................................................................................................... 71


armadura máxima. ..................................................................................................................... 72


armadura mínima EC4. ............................................................................................................. 73

Figura 56 – Relação N-ε para a ρs,máx .......................................................................................... 73


nL=0,8. ...................................................................................................................................... 74

Figura 58 - Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o

"Modelo I-II". ........................................................................................................................... 75

Figura 59 – Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o

"Modelo Simplificado – EC4". .................................................................................................. 76

Figura 60 – Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o

"Modelo II". .............................................................................................................................. 76

xvii

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 - Características das percentagens de armadura consideradas. ............................. 18

Tabela 2 – Diferentes larguras efectivas ............................................................................ 34

Tabela 3 – Erro observado devido à simplificação de uma largura constante. .................... 35

Tabela 4 – “Larguras equivalentes” representativas de cada percentagem de armadura. ..... 35

Tabela 5– verificação da segurança para a viga continua 16-32-16. ................................... 47

Tabela 6 – verificação da segurança para a viga continua 19,2-32-19,2............................. 48

Tabela 7 – verificação da segurança para a viga continua 25,6-32-25,6............................. 49

Tabela 8 – Descrição das várias pontes analisadas. ............................................................ 51

Tabela 9 – Diferença de esforço axial e de “largura equivalente” entre combinações de

acções, relativas ao Método II. .......................................................................................... 59

xix

NOTAÇÃO E ACRÓNIMOS

Notação Latina

Ac – Área de betão

As – Área de armaduras ordinárias

Av – área de corte

bc – Largura do banzo de betão

beff – Largura efectiva

beq. – Largura de betão equivalente à armadura traccionada.

b . - Largura de betão equivalente à armadura traccionada, tendo em consideração a

contribuição do betão entre fendas.

bfsup – Largura do banzo superior do perfil I em aço

bfinf - Largura do banzo inferior do perfil I em aço

d – distância entre o centro de massa do banzo de betão e do perfil I, segundo o eixo z

Es - Módulo de elasticidade do aço

EaI1 – rigidez de flexão elástica

Ec - Módulo de elasticidade do betão

EaI2 – rigidez de flexão das zonas fendilhadas em vigas contínuas

F - Força resistente do elemento i do perfil metálico

F – Força resistente do banzo de betão

fcd – Valor de cálculo da tensão de rotura à compressão do betão

fctm – Valor médio da tensão de rotura à tracção do betão

fu – Tensão de rotura ou tensão última do aço

fy – Tensão de cedência do aço

fyd – valor de cálculo da tensão de cedência do aço

fyk – valor característico da tensão de cedência do aço

G – Carga permanente

hc - altura do banzo de betão

hw - Altura da alma do perfil I em aço

I – Momento de maior inércia de superfície da secção transversal de uma viga

xx

Med – Momento flector actuante

Mrd – Momento flector resistente

n – coeficiente de homogeneização para efeitos a curto prazo

Ncr – Esforço normal de fendilhação da secção de betão

Ncr’ – Nível limite de esforço normal da secção de betão, para o qual a extensão média nas

armaduras traccionadas é calculada pela limitação inferior da fórmula.

nL – rácio entre vãos consecutivos

smín – Distância mínima entre fendas

tfsup - Espessura do banzo superior do perfil I em aço

tfinf - Espessura do banzo inferior do perfil I em aço

tw – Espessura da alma do perfil I em aço

yg,perfil - Centro de massa do perfil I

yg,c – Centro de massa do banzo de betão

Notação Grega

α – Coeficiente de dilatação térmica

γ – Peso volúmico

εSI – Extensão das armaduras ordinárias em estado I

εSII - Extensão das armaduras ordinárias em estado II

εsm – Extensão média das armaduras ordinárias traccionadas

ν – Coeficiente de Poisson

ρs – percentagem de armadura

σ – Tensão normal

- Abertura de fenda

xxi

Siglas

EC – Eurocódigo

ELU – Estado limite último

LN – Linha neutra

PS – Passagem Superior

SC – Sobrecarga (acção variável)

VS – Verificação de Segurança

1

1. INTRODUÇÃO

1.1. Generalidades

Em meados do século passado, de acordo com (MARCONCIN, 2008) procurou-se

desenvolver um sistema estrutural híbrido que tivesse resistência à compressão como é

característico de os sistemas estruturais de betão armado, mas que fosse também competente ao

nível da resistência a tensões de tracção e de menor peso próprio, tal como as estruturas metálicas.

Assim surgiram os elementos estruturais mistos aço-betão, tal como são conhecidos actualmente.

O betão e o aço, apesar de muito diferentes, são materiais perfeitamente complementares e

compatíveis, como se pode constatar:

O betão é eficiente à compressão e o aço complementa-o com a sua resistência à

tracção.

O aço traz ductilidade às estruturas.

O betão restringe deslocamentos indesejáveis dos elementos de aço (evita

encurvaduras).

Ambos os materiais possuem coeficientes de dilatação térmica (α) idênticos.

Caso o betão envolva os perfis de aço, este protege o aço contra a corrosão e isola-o

de altas temperaturas (em caso de incêndio).

Comparando os elementos mistos com elementos de betão armado, para as mesmas cargas

obtêm-se elementos com menores alturas úteis ou maiores vãos. Ou seja, este tipo de construção

permite um bom rácio vão/dimensões das peças e maior disponibilidade arquitectónica.

Do ponto de vista construtivo, segundo (CALADO, et al., 2009) este tipo de estrutura tem

um ritmo de execução mais elevado que as estruturas de betão armado tradicionais, visto que

necessita de utilizar menos escoramentos e cofragens, tirando partido da resistência dos elementos

metálicos.

No que diz respeito às obras de arte, este sistema estrutural tem vindo a ter uma utilização

crescente. Segundo (REIS, 2006), o tabuleiro de uma ponte pode ser misto multi-viga de alma

cheia para vãos até 30m; para vãos médios de 30m a 80m pode-se adoptar um tabuleiro misto bi-

viga de alma cheia; para vãos entre os 80m a 120m, pode utilizar-se um tabuleiro misto em

2

caixão; e por último para vãos maiores onde a solução adoptada seja uma ponte atirantada, pode

usar-se um tabuleiro misto aerodinâmico.

De todas as tipologias descritas, as pontes com tabuleiro misto aço-betão são mais

competitivas que as pontes de betão armado e pré-esforçado e as mais utilizadas para vãos médios

entre os 30m a 120m. Esta competitividade resulta essencialmente da facilidade e rapidez de

execução e estética. A avaliação da competitividade económica destas soluções deve ser feita caso a

caso em fase de estudo prévio.

Exemplos de pontes mistas recentemente construídas são a maioria das passagens

superiores (PS) de auto-estradas em Portugal, algumas resultantes da alteração do número de vias

de trânsito.

Figura 1- Exemplo de uma P.S. com tabuleiro misto na auto-estrada A1, junto à área de serviço de Torres Novas.

Sabendo-se que este tipo de estrutura se encontra pouco estudada ao nível do

comportamento não linear dos seus materiais constituintes e como se encontra na actualidade

com bastante aplicação, sentiu-se a necessidade de desenvolver um estudo que avalie o

comportamento do betão à tracção em secções mistas para os estados limites últimos.

Assim desenvolveu-se o presente estudo, onde foram analisados três relações de vãos,

diferentes percentagens de armadura e cinco tipos de modelo de cálculo para vigas mistas

contínuas:

Modelo I, ou Modelo não fendilhado, onde se considera que o betão resiste de

igual modo à tracção e à compressão (comportamento elástico linear).

Modelo “Contribuição do betão entre fendas” que considera a resistência do betão

entre fendas.

Modelo simplificado – EC4, prescrito pelo eurocódigo 4 que consiste na redução

de capacidade resistente de secções adjacentes aos apoios interiores.

3

Modelo I-II, onde o banzo de betão tem comportamento em Estado I até atingir a

tensão média de rotura à tracção, fctm, e após esse valor comporta-se em Estado II.

Modelo II, onde se despreza a resistência do betão à tracção.

Por último, analisaram-se as diferentes redistribuições de momentos flectores negativos

associados a estes modelos de cálculo e desenvolveram-se representações gráficas das

redistribuições dependentes da relação de vão e percentagem de armadura.

1.2. Objectivos

A presente dissertação tem como principal objectivo a análise, através de um estudo

paramétrico, da influência do comportamento do betão à tracção em vigas mistas de pontes de

médio vão com conexão total e diferentes percentagens de armadura.

Pretende-se verificar se a prescrição do EC4 – parte 2 §5.4.2.3.(3), no âmbito da fissuração

do betão à tracção, se encontra adaptada aos casos de estudos através da comparação de os

resultados com os resultados de outros modelos de cálculo adoptados.

1.3. Plano da Dissertação

Em vigas mistas aço-betão, a colocação do betão em zonas de compressão e do aço em

zonas de tracção, faz com que cada material esteja a resistir a esforços e deformações para os quais

têm maior aptidão. Esta consideração é de fácil aplicação em elementos simplesmente apoiados,

onde o sentido das tensões nas fibras extremas da secção nunca se altera ao longo de toda a viga.

Mas em casos de vigas contínuas sujeitas a aplicação de cargas gravíticas permanentes, o betão

adjacente aos apoios interiores encontra-se totalmente traccionado, apresentando resistência

diminuída. Assim surge a necessidade de se desenvolver estudos incisivos sobre esta temática e que

avaliem a resistência global da viga mista e a influência da fissuração do betão em zonas

traccionadas.

No capítulo 2 da presente tese é exposto o problema em estudo, sendo definidas as

características da estrutura tipo estudada e das combinações de acções analisadas. Descreve-se

4

ainda as propriedades dos materiais envolvidos e é apresentada a formulação usualmente adoptada

para a consideração da resistência do betão entre fendas.

No capítulo 3, são descritos todos os modelos de cálculo adoptados neste estudo, incluindo

as suas calibrações computacionais e processos de implementação. Neste capítulo são ainda

apresentados alguns resultados de calibração da modelação e os ajustes das cargas aplicadas para as

análises realizadas, tendo em conta a verificação dos estados limites últimos.

O capítulo seguinte é destinado à análise de resultados. Neste capítulo desenvolve-se o

estudo paramétrico, iniciando-se pela análise individual de cada caso de estudo, tendo em conta

os diferentes modelos e as diferentes percentagens de armadura adoptadas. Seguidamente, são

analisados em simultâneo os resultados dos três casos de estudo relativos a cada modelo de cálculo

individualmente. Com base nesta análise, desenvolvem-se representações gráficas do nível de

redistribuição do momento flector negativo em vigas mistas contínuas.

Por fim, são referidas as conclusões do estudo paramétrico realizado, efectuando-se algumas

recomendações e referem-se possíveis desenvolvimentos futuros na área.

5

Figura 2 - Perfil longitudinal genérico e secção transversal adoptada.

2. DEFINIÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL

2.1. Caracterização da estrutura

Nesta subsecção, é definido o perfil longitudinal genérico das vigas contínuas e a secção

transversal adoptada. Para o presente estudo paramétrico foi definida uma tipologia base como

objecto de análise. Essa tipologia é definida como uma viga de três tramos com vão central de

média dimensão.

Na Figura 2 encontram-se caracterizados o perfil longitudinal genérico da viga contínua e a

secção transversal adoptada no estudo.

O vão central foi considerado com uma dimensão de 32m, tendo sido adoptadas três

relações entre os vãos laterais e o vão central: nL=0,5; nL=0,6; e nL=0,8.

Para além das características apresentadas, é associado ao caso de estudo um carregamento

uniformemente distribuído em sentido gravítico que será quantificado ao estado limite último de

resistência da viga contínua para os diferentes perfis longitudinais e percentagens de armadura

adoptadas. Para as operações de calibração dos modelos computacionais, é utilizado um

carregamento de intensidade de 200 kN/m.

[mm]bc 6000hc 250

bfsup 450

tfsup 30

hw 1280tw 14

bfinf 600

tfinf 40

6

2.2.Caracterização das Acções

A acção aplicada no presente estudo é constituída por uma parcela de carga permanente,

que engloba o peso próprio da estrutura e a restante carga permanente; e uma parcela de carga

variável, constituída pela sobrecarga (SC). Como o presente estudo não se alargou à determinação

pormenorizada das acções (G e Q), considerou-se uma proporção de uma vez e meia para a

relação entre a sobrecarga e a carga permanente, tal como descrito nas equações (2. 1) e (2. 2).

1,5. (2. 1)

0,6 (2. 2)

Pretendendo-se considerar a alternância de sobrecarga, foram analisadas as combinações de

acções consideradas condicionantes para a verificação aos Estados Limites Últimos (ELU), como

prescrito no EC0. A equação geral para o Estado Limite Último é a seguinte:

. . (2.3)

sendo,

G – acção permanente

Q – acção variável

– coeficiente de majoração da acção permanente

– coeficiente de majoração da acção variável

Assim considerando a alternância de sobrecarga, tem-se as seguintes combinações de

acções:

1 1 (2. 4)

2 2 (2. 5)

3 2 (2. 6)

4 3 (2. 7)

5 3 (2. 8)

7

Os vários tipos de distribuição de sobrecarga encontram-se numerados de acordo com a

seguinte figura:

Figura 3 - Descrição das distribuições possíveis de sobrecarga.

A diferença entre a combinação S2 e S3 ou S4 e S5 consiste na consideração da carga

permanente, G, como uma carga favorável, 1.0, ou como carga desfavorável com 1.5,

respectivamente, (EN 1990, 2001). Como SC2 e SC3 não se encontram distribuídas por toda a

viga, a carga permanente poderá ter um efeito favorável ou desfavorável, sendo necessária a análise

dos dois efeitos.

O EC0 recomenda que o coeficiente de majoração de acções permanentes relativo ao

Estado Limite Último seja tomado igual a 1,35, mas por simplificação este foi considerado igual

ao coeficiente de majoração de acções variáveis, 1,5, tal como evidenciado na expressão (2. 9).

1,5 (2. 9)

8

2.3. Materiais

Os materiais constituintes de um tabuleiro misto são o aço estrutural, o betão e as

armaduras passivas. É pouco usual a utilização de armaduras activas de pré-esforço, neste tipo de

tabuleiros.

Tanto o betão como o aço, quando sujeitos a elevadas solicitações, apresentam um

comportamento fisicamente não linear. Deste modo, estudos admitindo o comportamento

elástico linear dos dois materiais são apropriados para estados de serviço e estados de construção,

onde os níveis de solicitação do tabuleiro não são muito elevados. No caso de análises à rotura das

estruturas, a consideração do comportamento não linear dos materiais é mais correcta e torna-se

pouco adequado despreza-lo. Assim neste tipo de análises os efeitos não lineares dos materiais

devem ser considerados.

Por motivos de extensão do estudo e por se considerar mais importante e influente no

comportamento global de uma viga mista, apenas se analisará o comportamento não linear do

betão. De seguida são descritas as características e comportamento dos materiais envolvidos no

presente estudo.

2.3.1. Aço

O aço é uma liga metálica formada essencialmente por ferro e carbono, com percentagens

deste último variando entre 0,80% a 2,11%. Numa secção de betão estrutural é importante a

utilização de armaduras ordinárias de aço para controlo indirecto da fendilhação e para melhorar a

resistência da secção. Deste modo, ao longo deste estudo foram consideradas armaduras ordinárias

constituídas por A500NR, com um comportamento elástico e linear e com as seguintes

propriedades:

Módulo de elasticidade, Es = 210 GPa

Coeficiente de Poisson, ν= 0,3

Coeficiente de dilatação térmica, α = 10-5 ºC-1

Valor característico da tensão de cedência, fyk = 500 MPa

Valor cálculo da tensão de cedência, fyd = 434,78 MPa

Peso volúmico, γ = 76,97 kN/m3

9

Por forma a analisar-se várias percentagens de armadura e existir um controlo de qualidade

dos resultados obtidos, serão analisadas quatro percentagens de armadura. Estas percentagens de

armadura serão definidas e justificada a sua adopção em “2.7. Armadura Passiva”.

Como referido anteriormente, para além do aço nas armaduras ordinárias, a secção mista

utilizada é constituída por um perfil metálico em I, mais propriamente uma viga de alma cheia.

Para o perfil, o aço adoptado foi o S355 com comportamento isotrópico e as seguintes

propriedades:

Módulo de elasticidade, Ea = 210 GPa

Coeficiente de Poisson,ν= 0,3

Coeficiente de dilatação térmica, α = 10-5 ºC-1

Valor característico da tensão de cedência, fy = 355 MPa

Valor característico da tensão última, fu = 510 MPa

Peso volúmico,γ = 76,97 kN/m3

2.3.2. Betão

A relação constitutiva que melhor se adapta ao comportamento do betão encontra-se

definida na Figura 4. O conhecimento da relação constitutiva é um dos aspectos importantes de

uma análise não linear, dado que o betão apresenta comportamentos diferentes quando

submetido a esforços de tracção ou compressão. Em compressão a relação constitutiva inclui duas

partes distintas: uma primeira ascendente designada por “strain-hardening”, em que a tensão

aumenta com o acréscimo da deformação; e uma segunda parte designada por “strain-softening”,

em que acréscimos de deformação correspondem à redução da tensão instalada.

10

No caso de tracções, o betão tem um comportamento elástico linear enquanto a tensão for

inferior à tensão de rotura do betão à tracção simples (fct). Quando a tensão de tracção excede fct,

desenvolvem-se fissuras no betão, ficando a resistir apenas a armadura ordinária existente nesses

locais. A resistência à tracção do betão é um parâmetro que apresenta grande variabilidade.

Conhecendo-se o comportamento adoptado do betão, serão definidas a classe e as

propriedades do betão utilizado. Neste estudo foi considerado um betão da classe C30/37 com as

seguintes propriedades:

o Módulo de elasticidade, Ec = 32 GPa

o Coeficiente de Poisson,ν= 0,2

o Coeficiente de dilatação térmica, α = 10-5 ºC-1

o Valor de cálculo da tensão de rotura à compressão, fcd = 20 MPa

o Peso volúmico, γ = 25 kN/m3

o Valor médio da tensão de rotura à tracção, fctm = 2900 kPa

No cálculo da capacidade resistente da secção de betão armado será utilizado um método

simplificado que permite simular, de forma simples, a resultante das tensões de compressão

desenvolvidas no betão. Esse método é conhecido por método do diagrama rectangular

simplificado e consiste em admitir que a área de tensões parabólicas desenvolvidas no betão

equivale a uma área rectangular onde a largura do rectângulo mantém-se igual a 0,85fcd e a altura

é 80% da altura da zona comprimida de betão. O processo encontra-se ilustrado na Figura 5.

Figura 4 – relação constitutiva do betão.

11

Figura 5 – Método do diagrama rectangular simplificado.

Salienta-se que no estudo paramétrico será adoptado um comportamento elástico e linear

para o betão à compressão, independentemente do modelo de cálculo adoptado.

2.3.3. Mecanismo de fissuração do betão armado

Neste subcapítulo, será explicado e analisado o mecanismo de fissuração de um tirante de

betão armado e de um tirante misto aço/betão. Para definir o início da fissuração é utilizado o

valor médio da resistência à tracção, fctm, como referência.

Um tirante de betão armado solicitado por uma carga de tracção apresenta três fases de

comportamento, tal como descrito em (FAVRE, et al., 1980) & (APPLETON, et al., 2006). A

fase A constituída pela não fendilhação do tirante, a fase B constituída pelo aparecimento da

primeira fenda e pela fase C constituída pela estabilização do número de fendas no tirante.

Até ser atingida a tensão de fendilhação, σcr, o tirante apresenta-se não fendilhado – fase A.

Nesta fase, o tirante tem uma extensão igual à extensão de um tirante de betão simples, visto que

a armadura apenas acompanha a extensão do betão, comportando-se como um só material. As

tensões nos dois materiais podem ser observadas na Figura 6 a) que se representa a relação entre o

módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade do betão.

Quando a tensão de fendilhação é ultrapassada, é formada a primeira fenda – fase B. Esta

fenda é dada devido ao betão simples atingir a sua extensão máxima, observando-se a rotura do

tirante numa zona mais fragilizada. Neste local a armadura ordinária absorve todos os esforços de

12

tracção anteriormente suportados pela secção de betão (Naço = Ncr = Ac x fctm), fazendo com que

haja alongamentos diferentes entre a armadura e o betão, que se traduz na abertura de uma fenda.

No caso de secções mistas, o aço, que absorve os esforços, é constituído pelas armaduras e pelo

perfil metálico o que fará com que esta abertura de fendas seja inferior, quando comparada, para a

mesma solicitação, com uma secção de betão armado, visto que a extensão no aço é inferior,

devido à existência de uma área maior de aço a resistir. Salienta-se para o facto de a abertura de

fendas ter uma relação directamente proporcional à extensão da secção em questão.

Após fissuração, poderão ser observados valores de tensão normal na armadura ordinária da

secção mista inferiores ao esforço axial de fissuração do banzo de betão, visto que parte desse

esforço é absorvido pelo perfil metálico. Os diagramas característicos de tensões normais no aço e

no betão relativos à fase B poderão ser observados na Figura 6 b).

Figura 6 – Diagramas de tensões com secção não fissurada(a) e secção fissurada (b)

13

Em regiões adjacentes a fendas, o betão opõe-se aos alongamentos excessivos do aço e por

efeito de aderência ocorre transferência de tensão tangencial, , do aço para o betão, tal como

ilustrado nas Figura 6 e Figura 7.

Figura 7– Trajectórias de transferência de tensão tangencial entre os dois materiais.

A partir de uma certa distância da fissura, Sr, a compatibilidade dos alongamentos aço -

betão é restabelecida. Teoricamente, é a partir desta distância Sr que a resistência à tracção do

betão é novamente atingida. E como consequência uma nova fissura pode formar-se. Na prática,

quando há um pequeno aumento de carga, a fissura aparece onde a resistência à tracção do betão

for menor.

Uma terceira fissura entre as duas primeiras, pode aparecer apenas se a transferência por

aderência da força de tracção do aço para o betão for suficiente para que seja atingida a resistência

à tracção do betão, fctm. E assim ininterruptamente até ao momento em que a tensão à tracção do

betão entre duas fendas não consiga atingir a tensão de cedência, fctm.

Com um determinado grau de solicitação da peça, atinge-se uma fase onde o número de

fissuras e as suas distâncias não se alteram, chegando-se a um nível de fissuração estabilizada – fase

C.

2.4. Comportamento de um tirante de betão armado

Neste subcapítulo será descrito teoricamente o comportamento não linear à tracção do

betão. Este comportamento encontra-se descrito como um comportamento intermédio entre o

estado elástico linear não fendilhado (Estado I) e o estado elástico linear fendilhado (Estado II),

onde se considera a contribuição do betão entre fendas para a resistência da viga.

Relembra-se que no Estado I não se considera a fissuração do betão, facto que corresponde

à realidade para solicitações inferiores ao esforço axial de fendilhação, Ncr. A partir desse esforço,

14

os valores das extensões afastam-se das observadas na realidade. No Estado II, para solicitações de

tracção apenas se considera a resistência das armaduras passivas. Este estado é muito conservativo

para pequenas solicitações, mas para solicitações maiores, os valores das extensões aproximam-se

da realidade.

Figura 8 – Diagrama N-ε teórico com a contribuição do betão entre fendas definida.

A Figura 8 descreve o comportamento não fendilhado (Estado I), o comportamento

fendilhado (Estado II) e o comportamento real da secção, alvo de análise na presente tese.

Segundo (APPLETON, et al., 2006), após a peça formar a primeira fenda (N>Ncr), este

comportamento caracteriza-se como uma curva entre o estado I e o estado II, onde o betão entre

fendas também contribui para a resistência da secção. A curva em questão inicia-se quando o

esforço normal atinge Ncr e com o aumento de esforço normal a curva aproxima-se

assimptoticamente da recta do estado II.

2.5. Extensão média nas armaduras traccionadas

Neste subcapítulo será deduzida uma fórmula utilizada no estudo paramétrico para calcular

a extensão média nas armaduras traccionadas. O elemento resistente numa secção de betão

fissurada é o aço. Assim torna-se importante o cálculo da extensão média desse elemento.

Dado que o betão entre duas fendas mantém-se solidário em tracção com as armaduras, a

extensão das armaduras no estado II é e é reduzido de certo valor ∆ devido à contribuição da

rigidez do betão para a extensão média da armadura, (2. 10). Estas grandezas podem ser

observadas na Figura 9.

15

Figura 9 – Diagrama σs-εs.

Numa viga sujeita à tracção pura que se encontre parcialmente fendilhada, ou seja, numa

viga que apresente algumas fendas, mas que ainda possua capacidade para formar mais fendas

í , poder-se-á calcular e medir na prática a extensão máxima nas armaduras traccionadas

nas zonas de fendas, onde só existe armadura resistir. A extensão média nas armaduras já tem em

conta os efeitos da rigidez de toda a zona traccionada e será deduzida seguidamente.

Como já referido e tendo por base a Figura 9, observa-se que:

∆ . (2. 10)

Segundo ensaios de Rostasy, Rao e (FAVRE, et al., 1980), pode-se afirmar que a redução

da extensão média das armaduras, , segue uma lei hiperbólica em função da tensão na

armadura, , da forma:

∆ max ∆ . (2. 11)

e como,

max∆ (2. 12)

Desprezando a extensão do betão e substituindo-se a equação (2. 12) na equação (2. 11),

tem-se que:

∆ . . (2. 13)

e assim,

. 1 (2. 14)

16

A esta fórmula apenas lhe foi acrescentado dois parâmetros, e , para melhor ajuste às

várias situações. Assim a extensão média na armadura pode ser calculada pela seguinte fórmula

presente em (REBAP, 2007) & (Betão Armado e Pré-esforçado, 1988) & (Decreto-Lei n.º 60/96/M)

e anteriormente deduzida:

1 0,4 (2. 15)

onde,

σs – tensão normal de tracção na armadura, correspondente ao esforço resultante da

combinação de acções em causa; esta tensão deve ser calculada em secção fendilhada.

β1 – coeficiente dependente das características de aderência dos varões da armadura, que

deve de ser tomado igual à unidade para varões de alta aderência (NR).

β2 – coeficiente dependente da permanência ou da repetição das acções, que deve ser

tomado igual a 0,5 no caso de combinações frequentes ou quase permanentes.

σsr – tensão de tracção na armadura, calculada em secção fendilhada, correspondente ao

esforço que provoca o início da fendilhação; este esforço é o que, em secção não fendilhada,

conduz a uma tensão de tracção máxima no betão de valor de fctm.

17

2.6. Homogeneização de secções mistas

Após a descrição do comportamento dos dois materiais estruturais de vigas mistas, para

análises elásticas é conveniente homogeneizar um material em relação ao outro, com o intuito de

se trabalhar apenas com um material. Para que tal aconteça, é utilizado o coeficiente de

homogeneização para efeitos a curto prazo, sem a consideração de efeitos diferidos, n, tal como

referido em (CALADO, et al., 2009):

21032

6,563 (2. 16)

Para homogeneizar uma secção mista, segundo (PIRES, 1987), basta dividir a largura do

banzo de betão por n, obtendo-se uma largura homogeneizada do banzo, . Assim transforma-se

a secção mista numa secção equivalente e homogénea composta por apenas aço, tal como

ilustrado na Figura 10.

Figura 10 – Secção homogeneizada tipo.

Para a secção adoptada ao longo deste trabalho e descrita na Figura 2, obtém-se o seguinte

.

6,06,563

0,914

Todas as propriedades da secção podem ser calculadas através da secção homogeneizada.

Para calcular a tensão normal na fibra extrema superior referente ao betão, é necessário dividir a

tensão normal pelo coeficiente de homogeneização para se obter a real tensão normal observada:

.. (2. 17)

18

2.7. Armadura Passiva

Numa peça linear de betão estrutural, é sempre necessário que essa peça seja composta por

betão e armaduras ordinárias passivas. As principais funções de armaduras passivas são o controlo

indirecto da abertura de fendas da peça de betão e o aumento de resistência da secção de betão.

Como já referido, o betão sujeito a esforços de tracção a partir da tensão média de fendilhação,

fctm, fissura ao longo da peça. Existem regulamentos de betão armado que aconselham a utilização

de certas fórmulas para o cálculo de áreas de armadura mínima, cuja única função é a limitação de

abertura de fendas. Neste subcapítulo são abordadas as várias percentagens de armadura utilizadas

e a formulação das expressões prescritas pelos eurocódigos para o cálculo de armadura mínima.

Na presente dissertação serão adoptadas quatro percentagens de armaduras diferentes,

como indicado na Tabela 1.

Armadura ρs As [cm2] Máxima 1,257% 188,52

Intermédia 0,804% 120,60 Mínima - EC2 0,580% 87,00 Mínima - EC4 0,384% 57,66

Tabela 1 - Características das percentagens de armadura consideradas.

A percentagem de armadura máxima não é a percentagem de armadura máxima

regulamentar da secção de betão, mas é um valor máximo de referência de projecto para a secção

em questão. A percentagem de armadura intermédia foi determinada como um valor de referência

comummente utilizado e que se situa entre a ρ , á e ρ , . As percentagens de armadura

mínimas foram determinadas com base nas fórmulas de armadura mínima presentes no

Eurocódigo 2 e Eurocódigo 4.

19

2.8. Armadura mínima

O conceito de armadura mínima existe para evitar uma rotura frágil de um elemento de

betão, assim aquando da fendilhação do elemento a tensão de fissuração é absorvida por esta

armadura havendo a formação de uma fissura, sem rotura total do elemento de betão armado. No

caso das secções mistas em estudo, a armadura mínima é constituída pela armadura do banzo de

betão e pelo banzo superior do perfil metálico. Assim admite-se que a armadura ordinária mínima

de uma secção de betão armado é superior à armadura ordinária mínima de uma secção mista de

banzo de betão igual.

Surge assim a fórmula presente em (EN 1992: Dezembro, 2004) & (EN 1994-2: Outubro,

2005) para o cálculo das armaduras mínimas de controlo de fendilhação relativas a secções de

betão armado e secções mistas:

, í , (2.18)

onde,

As,mín – área mínima de armadura ordinária na zona traccionada.

ks – coeficiente que tem em conta o efeito da redução do esforço normal do banzo de betão

devido à fendilhação inicial e ao deslizamento local no conector de corte.

kc – coeficiente que tem em conta quer a natureza da distribuição de tensões na secção

imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da força. Esta distribuição de

tensões é resultante da combinação dos efeitos das acções e das deformações impostas impedidas.

k – coeficiente que considera o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes.

fct,ef – valor médio da resistência do betão à tracção, na idade em que se prevê a ocorrência

das primeiras fendas.

Act – área de betão traccionada imediatamente antes da formação da primeira fenda.

σs – tensão máxima admissível na armadura imediatamente após a formação da fenda.

20

2.8.1. Adaptação da fórmula ao caso de estudo perante cada EC

Eurocódigo 2

De acordo com (EN 1992: Dezembro, 2004) & (APPLETON, et al., 2006), o coeficiente ks

não se encontra representado na fórmula, assim deve de ser tomado pela unidade. Para o

coeficiente kc, é recomendado o valor da unidade no caso de tracção simples. O caso em estudo

pode ser tomado como se o banzo de betão estivesse totalmente sob tracção simples, k deve ser

tomado igual à unidade, uma vez que é o valor recomendado para o carregamento em questão

(cargas aplicadas) e para secções rectangulares com altura inferior a 0,30m. fct,ef deve ser tomado

como a tensão média de rotura do betão à tracção (fctm). Act é equivalente à secção total de betão,

visto que esta se encontra totalmente traccionada. σs foi considerada como o valor característico

da tensão de rotura nas armaduras, fyk.

, í 1,0 1,0 1,0 29006,0 0,25500000

87,00

logo, , í _ 0,580%

Eurocódigo 4

De acordo com (EN 1994-2: Outubro, 2005), para o valor do coeficiente ks foi adoptado

0,9, seguindo-se a respectiva indicação. Para o cálculo do coeficiente kc, foi utilizada a seguinte

fórmula:

1

1 2

0,3 1,0 (2 19)

onde,

hc – altura do banzo de betão, excluindo algum reforço.

z0 – distância entre o centro de massa do banzo de betão não fendilhado e o centro de

massa da secção mista não fendilhada, calculado usando o coeficiente de homogeneização elástico,

n.

21

Assim, para a secção adoptada, ilustrada na Figura 2, tem-se que:

0,250

Cálculo de z0

,, 1,2951

Com,

0,05542

,∑ , 0,5537

Simplificadamente, tem-se que:

21,35 0,125 1,475

0,914 0,250 0,2285

0,05542 0,2285 0,2839

Assim, obtiveram-se os seguintes parâmetros:

, 0,1798 0,180

1

1 0,2502 0,180

0,3 0,890 1,0

O coeficiente k foi tomado como 0,8, tal como prescrito. A tensão efectiva de tracção do

betão, fct,ef, foi adoptada igual a 3000 kPa, visto que fctm era inferior a este valor. E o regulamento

prescreve usar-se o valor de fctm até um mínimo de 3000 kPa. Act é equivalente à secção total de

betão, visto que esta se encontra totalmente traccionada. σs foi considerada como o valor

característico da tensão de rotura nas armaduras, fyk.

, í 0,90 0,89 0,80 30001,5

50000057,66

logo, , í _ 0,384%

23

3. MODELOS COMPUTACIONAIS

3.1.Selecção do modelo de cálculo a utilizar

3.1.1.Introdução

Toda a modelação realizada ao longo da dissertação foi realizada com recurso a ficheiros

input, ou seja, nada foi modelado através do interface do programa. Tudo foi programado em

Excel de forma a gerar modelos computacionais de SAP2000. Após a informação ser toda

colectada em ficheiros do tipo .s2k, o programa lê essa informação e gera automaticamente o

modelo pretendido. Um exemplo deste ficheiro pode ser analisado no anexo I.

Como já referido anteriormente, a presente dissertação consiste no estudo da influência da

fendilhação do betão na distribuição de esforços em vigas mistas em pontes, tornando possível a

modelação do problema através de um modelo onde se considera a secção homogeneizada e a viga

constituída apenas por um tipo de elemento de barra (Modelo A), ou através de um modelo

constituído por dois tipos de elementos barra em paralelo, um representando a lâmina de betão e

o outro o perfil de aço, com compatibilização de deslocamentos entre nós pertencentes à mesma

secção mista (Modelo B).

Na modelação do comportamento da viga a efectuar no presente trabalho, é conveniente a

modelação em separado da secção de betão armado e do perfil de aço (modelo B). Assim por

forma a calibrar a utilização deste modelo, será analisado o comportamento da viga em regime

elástico e linear, utilizando os modelos A e B e verificando se os esforços e deformações obtidas

são iguais.

No processo de calibração será utilizada a viga mista com secção transversal descrita na

Figura 2 e uma relação de vãos (nL) igual a 0,5. A carga aplicada é uma carga uniformemente

distribuída de 200kN/m com sentido gravítico (ecarga_aplicada = - ez). De seguida, este processo de

calibração e respectivas ilações serão descritas.

24

3.1.2. Justificação da modelação e Calibração do modelo

Primeiramente, eliminaram-se certos graus de liberdade de cada nó que não são necessários

à obtenção de resultados deste tipo de modelos. Esta operação teve como intuito de tornar o

modelo mais “leve” computacionalmente e eliminar alguma propagação de erros inerentes à

resolução de um número de equações maior do que o número de equações necessário. Como se

irá realizar uma análise longitudinal, usar-se-ão elementos de barra para a modelação da viga

mista, os graus de liberdade não necessários são: uy (deslocamento transversal), rx e rz (rotações fora do

plano que contem o eixo longitudinal, eixo z). Os eixos de coordenadas globais encontram-se

ilustrados na Figura 11.

Figura 11 - Viga continua com os eixos de coordenadas globais identificados.

O grau de refinamento considerado inicialmente foi o de elementos barra com o

comprimento de um metro.

3.1.3. Modelo A

Este modelo, como já referido, é apenas constituído por um tipo de elemento de barra. A

secção transversal deste elemento de barra é definida pelas propriedades da secção homogeneizada.

Assim, no programa computacional é definida esta secção como uma secção genérica, onde são

caracterizadas as propriedades da secção: área e momento de inércia segundo o eixo de maior

inércia. Para o cálculo de essas propriedades da secção homogeneizou-se o betão em relação ao

aço, obtendo-se assim a secção homogeneizada, observada na Figura 12. Salienta-se para o facto

de que a homogeneização foi efectuada utilizando-se o coeficiente de homogeneização para efeitos

a curto prazo, sem a consideração de efeitos diferidos, n, presente na equação (2. 16).

25

Figura 12 - Secção homogeneizada e suas principais propriedades.

66,5625

0,914

0,284

0,0569

Após a definição da secção genérica em SAP2000, modelaram-se os tramos da ponte com

elementos barra, tal como ilustrado na Figura 13.

Figura 13 - Vista 3D do Modelo A.

3.1.4. Modelo B

Este modelo é constituído por dois elementos de barra em paralelo, onde cada elemento

corresponde a um material estrutural. Assim, os dois elementos de barra são modelados em

paralelo a uma distância segundo o eixo Z de d. d é a distância entre os centróides do banzo de

betão e do perfil metálico I, tal como exemplificado na Figura 14.

Figura 14 - Secção transversal com distância entre centros de massa.

26

Por forma a ter em conta o funcionamento conjunto dos dois elementos foi utilizado a

hipótese das secções planas, hipótese de Bernoulli, através da compatibilização dos deslocamentos

entre os nós dos elementos de barra de materiais diferentes. Caso a compatibilização não

acontecesse e como as restrições de apoio são definidas no centróide do perfil I, o banzo de betão

deslizaria sobre o perfil de aço.

A compatibilização dos deslocamentos foi conseguida com o recurso a uma função do

programa, “joint constraint – body”. Esta função faz com que os nós associados se movam

tridimensionalmente em conjunto como um corpo rígido. Por definição, todos os graus de

liberdade se encontram ligados. Assim as equações do constrangimento, definidas em (Computers

and Structures, Inc., 2008), relacionam deslocamentos dos nós associados, tal como expresso de

seguida:

∆ (3. 1)

(3.2)

onde,

∆ (3. 3)

Observa-se na figura seguinte o resultado da modelação do modelo B.

Figura 15 - Vista 3D do Modelo B.

O momento flector global da estrutura não é obtido directamente do modelo

computacional, pois a partir do modelo apenas são obtidos o diagrama de momentos flectores e o

diagrama de esforço normal referente ao elemento de barra de betão e referente ao elemento de

barra do perfil I. É necessário calcular o momento flector resultante em relação ao centro elástico

da secção mista. Este valor pode ser calculado pela seguinte fórmula:

, ,

27

na ausência de esforço axial na secção global,

e , , , tal como

exemplificado na Figura 14.

(3. 4)

A extensão de um elemento de barra também não é obtida directamente do programa

SAP2000. São obtidos os deslocamentos longitudinais de nós consecutivos e calculada a extensão

através da seguinte fórmula:

, %∆

100, com (3. 5)

3.1.5. Comparação de resultados dos dois modelos

Com o intuito de confirmação dos bons resultados, calcularam-se tensões normais em

diferentes secções. Os resultados das tensões normais a 0,5m do primeiro apoio interior e do meio

vão interior apresentam-se de seguida.

Figura 16 - Tensões normais na secção à esquerda 0,5m do primeiro apoio interior dos modelos de calibração.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

‐330 ‐280 ‐230 ‐180 ‐130 ‐80 ‐30 20

h (m)

σ [MPa]

1º Apoio ‐ Esquerda

Modelo A

Modelo B

28

Figura 17 - Tensões normais na secção à direita 0,5m do primeiro apoio interior dos modelos de calibração.

Figura 18 - Tensões normais na secção à esquerda 0,5m do meio vão interior dos modelos de calibração.

Figura 19 - Tensões normais na secção à direita 0,5m do meio vão interior dos modelos de calibração.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

‐330 ‐280 ‐230 ‐180 ‐130 ‐80 ‐30 20

h (m)

σ [MPa]

1º Apoio ‐ Direita

Modelo A

Modelo B

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

‐20 30 80 130 180 230 280

h (m)

σ [MPa]

1/2 Vão ‐ Esquerda

Modelo A

Modelo B

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

‐20 30 80 130 180 230 280

h (m)

σ [MPa]

1/2 Vão ‐ Direita

Modelo A

Modelo B

29

Figura 20 - Momento flector não fendilhado.

Denota-se que a esta escala e para as diferentes secções estudadas é imperceptível a

diferença entre as tensões dos diferentes modelos. Acrescenta-se ainda que os erros relativos foram

calculados para as várias situações e a sua média não ultrapassa 0,03%, podendo-se afirmar que se

atingiu uma boa calibração do modelo B.

Este modelo será o modelo adoptado para desenvolvimentos futuros, visto permitir uma

actuação directa e intuitiva na modelação do banzo de betão e torna a secção metálica não

susceptível a alterações de modelação quando se pretende alterar propriedades do banzo de betão,

reduzindo-se possíveis erros.

Assim o andamento do diagrama de momentos flectores elásticos da viga contínua

analisada é o seguinte:

O andamento do diagrama é parabólico com valores negativos de pico sobre os apoios

interiores e o valor máximo e mínimo são verificados a meio vão do vão interior e nos apoios

interiores, respectivamente. Todos os aspectos referidos são os esperados para o problema em

questão.

Na Figura 20 encontra-se indicado o diagrama de momentos flectores global da viga. No

entanto analisando-se o modelo B, pode-se também analisar os diagramas de esforço normal e

momentos flectores de elementos de barra do banzo de betão e do perfil de aço.

De seguida, na Figura 21 encontra-se o diagrama de esforço normal não fendilhado do

banzo de betão.

11225,7

‐14374,3

1205,6

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector não fendilhado

30

Figura 21 - Esforço normal não fendilhado do elemento de betão no modelo B.

O diagrama de esforço normal apresentado é constante ao longo de cada elemento de

barra, havendo descontinuidades no diagrama aquando da passagem de um elemento para outro.

Este esforço normal é igual e de sentido contrário ao obtido nos elementos de barra do perfil

metálico. A sua variação ao longo do vão representa o fluxo de corte na ligação entre os dois

materiais.

Relativamente aos diagramas de momento flector do banzo de betão e do perfil metálico,

podem ser observados nas Figura 22 e Figura 23, respectivamente.

Figura 22 - Diagrama de momento flector não fendilhado do banzo de betão, modelo B.

‐10000

‐7500

‐5000

‐2500

0

2500

5000

7500

10000

0 16 32 48 64

N [kN

] L [m]

Esforço Normal não fendilhado

‐400

‐300

‐200

‐100

0

100

200

300

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento flector do banzo de betão

31

Figura 23 - Diagrama de momento flector não fendilhado do perfil metálico, modelo B

As descontinuidades dos momentos flectores de cada material são observadas na transição

de um elemento de barra para o seguinte, tal como observado no diagrama de esforço normal

(Figura 21). Este facto deve-se à compatibilização de deslocamentos imposta em cada nó do

elemento, gerando-se um esforço normal em cada elemento. O equilíbrio na viga é verificado,

uma vez que o diagrama de momentos flectores global não apresenta qualquer descontinuidade,

tal como pode ser observado na Figura 20. Ou seja, as oscilações dos diagramas de momentos

flectores de cada material são compensadas com as oscilações dos diagramas de esforço normal,

todas contabilizadas para o cálculo do momento flector global, tal como indicado na equação (3.

4).

Entenda-se que o termo descontinuidade é aqui utilizado para descrever oscilações de pico

locais não expectáveis nos diagramas.

‐6000

‐4000

‐2000

0

2000

4000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento flector do perfil metálico

32

3.2. Importância da Largura Efectiva

Neste subcapítulo será avaliado a importância da utilização da largura efectiva na

estabilidade global de uma ponte. A largura efectiva simula o efeito de “shear lag” e consiste na

definição de uma região do banzo de betão que funcione em conjunto com cada perfil metálico

na resistência às forças exteriores aplicadas, e na qual a distribuição de tensões se admite ser

uniforme e igual à tensão máxima que se desenvolve ao longo da largura do banzo, tal como

demonstrado na Figura 24.

Esta distribuição de tensões não uniforme ao longo de toda a largura real do banzo de

betão (Figura 24 a)) é devida a forças concentradas aplicadas pelos conectores que actuam

longitudinalmente no banzo de betão e geram deformações por corte longitudinal no seu próprio

plano, fazendo com que as secções transversais do elemento deixem de ser planas. Assim somando

as deformações devidas à flexão do elemento com as da actuação do corte longitudinal obtêm-se

deformações que variam ao longo de cada secção transversal.

Para o caso de estudo inicial foram calculadas as diferentes larguras efectivas e

implementadas num modelo computacional. O objectivo era comparar os diagramas de esforços

desse modelo com o modelo onde o banzo de betão tem a largura original constante em todo o

comprimento da ponte. O cálculo das larguras efectivas será evidenciado seguidamente.

Figura 24 – Conceito de largura efectiva (PEDRO, 2007).

a) b)

33

Cálculo das larguras efectivas

O cálculo da largura efectiva encontra-se regulamentado em EC4 - parte 2 §5.4.1.2.(5)e(6)

e em (CALADO, et al., 2009).

Para as secções de apoios de extremidade, a largura efectiva é calculada pelas seguintes

fórmulas:

, ∑ , (3. 6)

0,55 0,025 / 1,0 (3. 7)

Para as restantes secções, a largura efectiva é calculada pela seguinte fórmula:

, ∑ , (3. 8)

onde,

bo – distância entre centros das filas de conectores exteriores na mesma secção.

bei – valor da largura efectiva do banzo para cada lado da alma do perfil e é tomado como

Le/8, recomendado em EC4

bi – largura real da secção

Le – distância entre pontos de momento flector nulo

As diferentes distâncias entre pontos de momento flector nulo foram calculadas com base

na Figura 25, retirada de (EN 1994-2: Outubro, 2005).

Figura 25 - Distância entre pontos de momento flector nulo

34

A Tabela 2 mostra os valores das larguras efectivas para as várias secções.

Secção bo [m] Lei [m] βi beff [m] Apoio de extremidade 0,0 13,6 0,75 2,55

1/2 vao lateral 0,0 13,6 - 3,40 Apoio interior 0,0 12,0 - 3,00

1/2 vao interior 0,0 22,4 - 5,60

Tabela 2 – Diferentes larguras efectivas

Salienta-se para o facto de que em todas as secções a largura entre conectores de corte na

mesma secção, bo, foi considerada nula, sendo a situação mais desfavorável.

Na Figura 26, encontra-se descrita a distribuição longitudinal de larguras do banzo de

betão adoptada no modelo.

Figura 26 – Distribuição longitudinal das larguras efectivas.

Na Figura 27 demonstra-se a ligeira diferença entre se usar a largura original ou a largura

efectiva prescrita pelo EC4, para o caso em estudo.

Figura 27 – Diagrama comparativo entre o modelo não fendilhado e um modelo com larguras efectivas.

2,5

3,5

4,5

5,5

0 16 32 48 64

beff [m

]

L [m]

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

0 16 32 48 64M [kN

.m]

L [m]

Diagrama de momentos flectores

Não Fendilhado

Beff

35

Como se pode constatar pela Figura 27, relativamente a resultados finais a diferença é

mínima, não se justificando toda a complexidade no modelo inerente à implementação das

diferentes larguras efectivas ao longo de toda a viga. Assim e como análise preliminar calculou-se o

erro relativo obtido nas secções de maiores momentos.

Modelos M+ [kN.m] M- [kN.m] Não Fendilhado 8980,59 -11499,41 beff 9283,55 -11196,45

Erro 3,263% 2,706%

Tabela 3 – Erro observado devido à simplificação de uma largura constante.

Sendo o erro do momento flector sempre inferior a 3,3% nas duas secções analisadas,

reafirma-se que em cálculos futuros se desprezará o cálculo as larguras efectivas e se usará a largura

original uniforme ao longo da viga.

3.3. Modelação das armaduras traccionadas

Com o objectivo de se considerar a resistência à tracção das armaduras ordinárias existentes

no banzo de betão da secção mista, foi desenvolvida uma secção de betão com uma “largura

equivalente” representativa da resistência das armaduras. Esta secção continua a ser rectangular e

com a altura original, hc. A fórmula utilizada para a largura equivalente é deduzida de seguida.

.

. (3. 9)

Assim obtêm-se larguras equivalentes diferentes para cada percentagem de armadura

analisada, tal como evidenciado na Tabela 4.

Armadura ρs As [cm2/m] beq. [m] Máxima 1,257% 188,52 0,495

Intermédia 0,804% 120,60 0,317 Mínima - EC2 0,580% 87,00 0,228 Mínima - EC4 0,384% 57,66 0,151

Tabela 4 – “Larguras equivalentes” representativas de cada percentagem de armadura.

36

Na subsecção seguinte, serão apresentados os cinco modelos de cálculo adoptados na

presente dissertação e também será descrita o procedimento como as “larguras equivalentes” serão

implementadas.

3.4. Modelação do Comportamento das zonas de betão traccionadas

Os modelos de cálculo que são abordados ao longo desta subsecção, foram desenvolvidos

tendo em conta o comportamento do betão traccionado e foram os modelos adoptados no

presente estudo paramétrico:

Modelo I (não fendilhado)

Modelo II (fendilhado)

Modelo I-II

Modelo Simplificado – EC4

Modelo Contribuição do betão entre fendas

3.4.1. Modelo I

O modelo I, ou modelo não fendilhado, consiste no modelo B anteriormente descrito na

secção “3.1.4. Modelo B” do presente documento. Este modelo representa um comportamento

elástico linear puro da estrutura, ou seja, não considera o efeito de fendilhação do banzo de betão.

Assim este modelo será o modelo de referência para a análise dos outros modelos estudados. Será

o modelo para os quais se irão obter momentos flectores negativos maiores.

3.4.2.Modelo II

No modelo II considera-se desprezável a resistência à tracção do betão. Assim, em zonas

onde o banzo de betão se encontra traccionado, ou seja, em zonas adjacentes aos apoios interiores,

é utilizada apenas a rigidez de flexão dos elementos de aço, armaduras ordinárias e perfil metálico,

EaI2.

37

Em situações de ausência de armadura, o método de implementação deste modelo

consistiu na eliminação progressiva dos elementos de barra referentes a banzos de betão

traccionados até se atingir o elemento de barra a partir do qual o esforço normal é negativo. O

resultado final de um destes procedimentos encontra-se ilustrado na Figura 28.

Figura 28 - Vista 3D do modelo II sem armadura ordinária.

Para casos onde se considerou a armadura, a eliminação dos banzos traccionados é

substituída pela troca dos elementos de betão traccionados por elementos de betão de igual

resistência à armadura considerada, tal como apresentado na secção “3.3. Modelação das

armaduras traccionadas”.

3.4.3. Modelo I-II

O modelo I-II considera um comportamento elástico linear do betão, até este atingir a

tensão de fendilhação; e após esta seja excedida a resistência considerada é a resistência das

armaduras existentes no banzo de betão.

Assim afirma-se que este modelo apresenta um comportamento em Estado I até o banzo de

betão atingir fctm, e em Estado II quando excedida este tensão.

3.4.4. Modelo Simplificado - EC4

O modelo simplificado – EC4 é um modelo de cálculo previsto no regulamento europeu.

Poder-se-á encontrar em EC4 – parte 2 § 5.4.2.3 (3) (EN 1994-2: Outubro, 2005) & (CALADO,

et al., 2009), a proposta de análise de vigas mistas contínuas através de um método simplificado

de análise global elástica.

Assim em EC4 está referido que para vigas mistas contínuas com banzo de betão sobre o

perfil metálico e sem forças horizontais impostas (quer por pré-esforço, quer por funcionarem

38

como contraventamento), o seguinte método simplificado poderá ser adoptado. Para vigas em que

os rácios de comprimentos adjacentes excedam 0,6, o efeito de fendilhação do betão

poderá ser tomado em conta utilizando-se a rigidez de flexão dos elementos de aço, EaI2 ao longo

de 15% para ambos os lados de cada apoio interior, enquanto que no restante da viga

considera-se a rigidez de flexão elástica da secção mista, EaI1, tal como ilustrado na Figura 29.

Figura 29 - Método simplificado proposto pelo EC4 (CALADO, et al., 2009).

Embora a viga continua considerada inicialmente tenha um rácio de vãos inferior a 0,6

0,5 , este método simplificado também foi aplicado a este caso.

3.4.5. Modelo Contribuição do betão entre fendas

Considerando o banzo de betão à tracção, a resistência do betão entre fendas é

comummente desprezada, simplificando-se o modelo de cálculo. Este procedimento é previsto no

modelo II e no modelo I-II já apresentados.

O presente modelo, tal como os dois modelos anteriores, baseia-se numa análise elástica

global modificada da viga mista. Assim e com base na extensão média das armaduras traccionadas,

εsm, é calculada uma “largura equivalente” do banzo de betão passível de substituir a largura do

banzo inicial de betão e que depende da contribuição do betão entre fendas. Este procedimento é

semelhante ao realizado anteriormente, sendo que a principal diferença consiste na “largura

equivalente” ser dinâmica, isto é, muda de elemento para elemento, visto que agora a largura

depende da extensão média e consequentemente do esforço normal do elemento que vai

1 2 3

39

aumentando com o aproximar ao apoio interior. Assim, realiza-se uma nova análise elástica global

direccionada para a análise do comportamento não linear do betão.

De seguida, é deduzida a fórmula para a “largura equivalente” utilizada, partindo do

pressuposto que a área de armaduras equivalente é igual ao quociente entre a área de betão

equivalente e o coeficiente de homogeneização para efeitos de curto prazo.

, ., .

.

. , como

. (3. 10)

Considerando a fórmula de a extensão média nas armaduras traccionadas descrita

anteriormente (2. 15) e em (REBAP, 2007):

1 0,4

Para o valor da tensão no aço, σs, foi admitido como sendo a relação entre o esforço

normal do elemento i e a área de armadura, desprezando-se a parcela devido ao momento flector.

Parcela que é diminuta comparando-se com o valor da parcela do esforço axial. O valor de β1 foi

considerado igual à unidade, devido à utilização de varões de alta aderência (NR); e β2 igual a 0,5,

tal como recomendado. O valor de σsr foi considerado igual à relação entre o esforço normal de

fendilhação da secção e a área de armadura. Relações descritas pelas seguintes fórmulas:

Salienta-se para o facto de que a secção equivalente descrita, só foi utilizada em elementos

de betão fendilhado, ou seja, elementos que com a sua área original atingem esforços axiais

superiores ao esforço axial de fendilhação, Ncr.

40

Procedimento

Após o cálculo das primeiras larguras equivalentes, foram substituídos alguns elementos de

betão pelos novos de larguras equivalentes. Num processo iterativo, foi-se ajustando estas larguras

aos novos valores de esforços normais adquiridos no novo modelo. O processo foi dado por

concluído ao ser atingia a convergência das larguras equivalentes, com um erro aceitável. Este

procedimento foi efectuado para as quatro diferentes percentagens de armadura ordinária, já

descritas. Um resultado final de um determinado modelo pode ser observado na Figura 30.

Figura 30 - Modelação da viga contínua considerando a resistência do betão entre fendas para um determinado nível de armaduras.

Para melhorar a qualidade dos dados obtidos, foi utilizado um refinamento nas zonas

traccionadas de 0,5m de comprimento do elemento de barra.

Como complemento à Figura 30, encontram-se no Anexo II as larguras equivalentes

definidas para todos os modelos analisados e um exemplo de evolução das larguras equivalentes

até à convergência do modelo.

41

3.5. Calibração da Carga Aplicada / Verificação de Segurança

Tendo em conta que no presente trabalho se irão considerar diferentes valores para as

relações de vão e diferentes percentagens de armadura, é conveniente adoptar um critério coerente

para o valor das cargas aplicadas. Só assim será possível aferir a verdadeira influência do modelo

“contribuição do betão entre fendas” no comportamento das vigas em análise. Deste modo, foi

calibrada a intensidade do carregamento aplicado, adoptando-se o modelo simplificado - EC4 e

um carregamento uniformemente distribuído com possíveis alternâncias de sobrecarga. Esta

calibração foi realizada individualmente para cada relação de vãos consecutivos e para as quatro

percentagens de armadura utilizadas. Este processo pretende que a carga aplicada esteja calibrada

aos estados limites últimos.

A verificação de segurança à flexão simples é conferida pela seguinte inequação:

1,0 (3. 11)

onde,

Med – Momento flector actuante.

Mrd – Momento flector resistente.

O momento flector resistente pode ser calculado de acordo com uma distribuição de

tensões plásticas, se a secção pertencer à classe 1 ou 2; ou com distribuições de tensões elásticas se

a secção for de classe três ou inferior.

3.5.1. Cálculo da resistência da secção

Todos os cálculos da resistência da secção são realizados considerando a hipótese

simplificativa de o betão ter resistência nula à tracção e aquando da compressão adoptar-se-á o

diagrama rectangular simplificado, características já descritas em “2.3.2. Betão”. A secção utilizada

nos cálculos apresentados, como em todo o presente estudo, encontra-se descrita na Figura 2.

42

3.5.1.1. Momento Resistente Positivo

Classificação da secção

Para o cálculo do momento resistente e conseguinte classificação da secção foi adoptada a

hipótese de distribuição de tensões plásticas, sendo necessário provar a veracidade desta hipótese

(necessário que a secção seja de classe 1 ou 2). Para isso é necessário o cálculo da posição da Linha

Neutra plástica [LNplást]:

0,85 25500,0

. f 4792,5

f 6361,6

8520,0

∑ 19674,1

como:

∑ á . está ã ç

çã 1 2,

ó çã õ á .

0 0,85 19674,1 0,0

0,1929

Cálculo do Mrd,pl+ em relação à posição da LNplást :

,0,1929

20,85 20 10 6 4792,5 0,25 0,1929

0,032

6361,6

0,25 0,1929 0,031,282

8520

0,25 0,1929 0,03 1,280,042

18686,88 .

43

3.5.1.2. Momento Resistente Negativo

Devido à elevada interacção momento flector/esforço transverso (M-V) em zonas dos

apoios interiores, para o cálculo do momento resistente negativo foi desprezada a resistência da

alma do perfil metálico. Considerando-se que a resistência da alma do perfil estaria totalmente a

resistir ao esforço transverso. Esta elevada interacção M-V é demonstrada seguidamente.

Por exemplo, para o carregamento admitido inicialmente (psd = 200 kN/m), o esforço

transverso actuante relativo ao tramo interior junto aos apoios é pL/2, ou seja, 3200,00 kN, sendo

o esforço transverso resistente da alma do perfil dado por:

√3672,87 0,87

Assim fica provado a elevada interacção M-V para cargas iguais ou superiores às cargas

iniciais.

Para o cálculo do momento resistente foi utilizado a hipótese de distribuição de tensões

elástica linear, uma vez que a alma do perfil metálico era de classe 3 ou 4 dependendo da

percentagem de armadura analisada. Devido a se analisar várias distribuições de armadura, obter-

se-ão diferentes momentos resistentes para cada uma das diferentes percentagens de armadura.

As propriedades do perfil metálico são constantes e têm os seguintes valores:

∑ 0,05542

,∑ , 0,5537

∑ , , 0,0178136

44

Figura 31 – Secção transversal com armaduras relativas à percentagem máxima.

o As,máx = 0,01885 m2

As propriedades da secção total são as seguintes:

0,05635

0,8278

0,027562

,,

0,03329

, . , 11819,44 .

o As,int = 0,01206 m2 (distribuída igualmente pelos dois níveis de armadura do banzo de

betão – o superior e o inferior).


0,04956

0,7323

0,023792

,,

0,03249

, . , 11534,13 .

45

o As,mín EC2 = 0,0087 m2 (distribuída igualmente pelos dois níveis de armadura do banzo

de betão – superior e inferior).


0,0462

0,6782

0,021792

,,

, .

0,02514

, . , 10936,59 .

o As,mín EC4 = 0,005766 m2 (distribuída igualmente pelos dois níveis de armadura do

banzo de betão – o superior e o inferior).


0,04327

0,6243

0,019791

,,

, .

0,02150

, . , 9350,65 .

3.5.2. Cálculo dos esforços actuantes

Como já referido, a calibração da carga aplicada será realizada em diferenciado para as

diferentes relações de vãos, sendo o momento negativo condicionante, obter-se-ão cargas

actuantes diferentes para cada percentagem de armadura, visto o momento negativo resistente

depender da taxa de armadura da secção mista.

No intuito de determinar o carregamento limite à verificação de segurança do estado limite

último, aplicou-se uma carga unitária no “modelo simplificado - EC4” para as diferentes

percentagens de armadura em cada relação de vãos consecutivos analisada.

De seguida, a carga actuante será calibrada, caso a caso.

46

3.5.2.1. nL=0,5

Para a relação de vãos igual a 0,5, obteve-se a seguinte envolvente de momentos flectores

para a percentagem de armadura máxima. As restantes envolventes de esforços para as outras

percentagens de armadura encontram-se no anexo III.

Figura 32 – Envolvente de momentos flectores para uma carga de cálculo unitária para nL=0,5.

A partir da Figura 32, pode-se concluir que para a verificação de segurança nas secções

onde ocorrem os maiores momentos positivos e negativos, as combinações de acções

condicionantes são as combinações S3 e S1, respectivamente. Assim, serão as únicas combinações

de acções futuramente abordadas.

Calibração do Carregamento

Após o cálculo dos esforços resistentes e actuantes, calibrou-se o carregamento aplicado

tendo em conta a verificação de segurança da viga.

Na Tabela 5, é verificada a segurança para os diferentes casos de percentagens de armadura

e quantifica-se o valor da carga a aplicar:

‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector EC4+As,max

S1S2S3S4S5

47

EC4+ρmáx EC4+ρint EC4+ρmín EC2 EC4+ρmín EC4 Msd

+ [kN.m] 70,34 72,30 73,55 74,84Mrd,pl

+ [kN.m] 18686,88 18686,88 18686,88 18686,88Psd

+ [kN/m] 265,67 258,46 254,08 249,68Msd

- [kN.m] -61,73 -59,62 -58,28 -56,89Mrd,elást

- [kN.m] -11819,44 -11534,13 -10936,59 -9350,65Psd

- [kN/m] 191,47 193,46 187,66 164,37Psd utilizado [kN/m] 190,0 190,0 185,0 160,0Gsd [kN/m] 76,0 76,0 74,0 64,0SCsd [kN/m] 114,0 114,0 111,0 96,0

Tabela 5– verificação da segurança para a viga continua 16-32-16.

Como referido anteriormente, o carregamento uniformemente distribuído adoptado a

estudos futuros difere entre 190 e 160 kN/m em sentido gravítico, consoante a percentagem de

armadura utilizada.

3.5.2.2. nL=0,6

Para a relação de vãos igual a 0,6, obteve-se a seguinte envolvente de momentos flectores

para a percentagem de armadura máxima. As restantes envolventes de esforços para as outras

percentagens de armadura encontram-se no anexo III.


‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]

Envolvente de momento flector de EC4+As,máx

S1

S3

48

A partir da Figura 33, pode-se concluir que, para a verificação de segurança nas secções


condicionantes são a combinação S3 e S1, respectivamente.




Na Tabela 6 é verificada a segurança para os diferentes casos de percentagens de armadura



+ [kN.m] 71,31 73,27 74,51 74,51Mrd,pl

+ [kN.m] 18686,88 18686,88 18686,88 18686,88Psd

+ [kN/m] 262,04 255,04 250,78 250,78Msd

- [kN.m] -63,38 -61,18 -59,78 -59,78Mrd,elást

- [kN.m] -11819,44 -11534,13 -10936,59 -9350,65Psd


Tabela 6 – verificação da segurança para a viga continua 19,2-32-19,2.



armadura utilizada.

3.5.2.3. nL=0,8

Para a relação de vãos consecutivos igual a 0,8, obteve-se a seguinte envolvente de

momentos flectores para a percentagem de armadura máxima. As restantes envolventes de

esforços relativas às outras percentagens de armadura encontram-se no anexo III.

49


A partir da Figura 34, pode-se concluir que, para a verificação de segurança nas secções


condicionantes são a combinação S3 e S1, respectivamente.




Na Tabela 7 é verificada a segurança para os diferentes casos de percentagens de armadura



+ [kN.m] 70,85 72,88 74,17 78,81Mrd,pl

+ [kN.m] 18686,88 18686,88 18686,88 18686,88Psd

+ [kN/m] 263,74 256,39 251,95 237,12Msd

- [kN.m] -71,60 -69,03 -67,40 -61,52Mrd,elást

- [kN.m] -11819,44 -11534,13 -10936,59 -9350,65Psd


Tabela 7 – verificação da segurança para a viga continua 25,6-32-25,6.

‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]

Envolvente de momento flector de EC4+As,máx

S1

S3

50



armadura utilizada.

51

4. ESTUDO PARAMÉTRICO

4.1. Introdução

O presente estudo paramétrico consiste numa análise comparativa da influência da

fissuração do betão em pontes mistas Aço/Betão de médio vão com conexão total. Inicialmente os

casos de estudo serão apresentados e analisados individualmente comparando-se os diferentes

modelos adoptados para a mesma relação de vãos, nL. Posteriormente, os casos serão comparados

e analisados conjuntamente para cada modelo de cálculo.

Cada caso de estudo é constituído por três tramos, onde os dois vãos laterais têm o mesmo

comprimento e o vão central tem uma maior extensão, embora permaneça, em todos os casos de

estudo, com 32m de comprimento. A diferença entre os três casos analisados encontra-se

evidenciada na Tabela 8 e consiste nas diferentes relações de vãos consecutivos, nL. O primeiro

caso é constituído por uma relação de vãos de 0,5, onde o vão lateral é de 16m. No segundo caso,

o vão lateral é de 19,2m (com nL=0,6) e por último, o terceiro caso consideraram-se vãos laterais

com 25,6m (com nL=0,8).

nL Llateral [m] Lcentral [m]

0,5 16,0 32,0

0,6 19,2 32,0

0,8 25,6 32,0

Tabela 8 – Descrição das várias pontes analisadas.

Salienta-se ainda que foi adoptada uma secção transversal constante para os três casos de

estudo, sendo esta apresentada na Figura 2. Visto que se pretende analisar situações referentes ao

estado limite último e a secção transversal é a mesma para todos os casos, foi necessário o ajuste da

carga aplicada para cada relação de vãos, tal como explicado na secção “3.4. Modelação do

Comportamento das zonas de betão traccionadas”. Para as diferentes aplicações de carga, serão

analisadas as combinações de acções S1 e S3, descritas em “2.2.Caracterização das Acções”.

52

4.2. Aspectos analisados

Para os três casos estudados, foram estipulados diferentes aspectos alvos de análise. Assim

os aspectos analisados nos diferentes casos são:

Diagramas de momentos flectores da viga contínua;

Relação esforço axial extensão do banzo de betão;

Taxa de redistribuição do momento flector negativo para as diferentes percentagens

de armadura.

Por motivos de não convergência do modelo “Contribuição do betão entre fendas” para

percentagens de armadura mínimas, os resultados referente a este modelo de cálculo e para as

percentagens de armadura em questão não serão apresentados.

53

4.3. Vão Lateral de 16m (nL=0,5)

Todos os resultados analisados neste subcapítulo são referentes ao primeiro caso de estudo

constituído por uma relação entre vãos consecutivos de 0,5.

Combinação de Acções S1

Para a combinação de acções S1 e a percentagem de armadura máxima, obtiveram-se os

seguintes diagramas de momentos flectores, perante os diferentes modelos adoptados.

Figura 35 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de armadura máxima.

Através da análise da Figura 35, observa-se a descida dos diagramas de momentos flectores

em relação ao digrama do modelo I. Esta descida é causada pela perda de rigidez de flexão nos

banzos de betão traccionados junto aos apoios interiores, adoptada pelos outros modelos

representativa da fendilhação do betão traccionado. As maiores descidas do diagrama de

momentos flectores são observadas no modelo II, modelo simplificado - EC4 e modelo I-II,

respectivamente, existindo apenas uma pequena diferença entre estes modelos. O modelo que

apresenta resultados mais próximos dos resultados do modelo I, como era expectável, é o modelo

“Contribuição do betão entre fendas”, onde se contabiliza a resistência do betão entre fendas.

Tornando o modelo mais rígido, absorvendo maiores momentos flectores negativos.

Ainda relativamente à Figura 35, pode-se afirmar que o andamento de todos os diagramas

é parabólico e simétrico em relação ao centro longitudinal da viga (x=32m). Afirma-se também

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector As,máx

Modelo I ‐ ρs,máx

Modelo II ‐ ρs,máx

Modelo I‐II ‐ ρs,máx

Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,máx

Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx

54

que todas as ilações aqui justificadas, podem ser justificadas através dos diagramas semelhantes

relativos às outras percentagens de armaduras. Estes diagramas encontram-se no anexo IV. Os

valores dos esforços obtidos não podem ser comparados entre os diferentes gráficos relativos a

diferentes percentagens de armadura, visto que o carregamento aplicado é diferente.

Relativamente ao comportamento do betão entre fendas, foi analisada a relação N-ε nas

secções traccionadas de betão próximas dos apoios interiores. A Figura 36 evidencia as várias

relações N-ε existentes nos vários modelos para a ρ , á .

Figura 36 – Relação N-ε para a ρs,máx.

No modelo I, obtém-se uma relação N-ε típica de um comportamento elástico linear no

estado I, onde não é contabilizado a fendilhação do betão armado. Assim a série em questão pode

ser aproximadamente linearizada por uma recta (y=mx+b) de ordenada na origem nula (b=0) e

com um declive directamente proporcional à rigidez axial da secção de betão . .

Relativamente à série “Estado II”, também foi obtida uma relação N-ε elástica linear, onde

o declive é directamente proporcional à rigidez axial da secção de armaduras ordinárias

. e ordenada na origem nula (b=0).

No modelo onde é considerada a resistência à tracção do betão entre fendas, obtém-se um

comportamento em Estado I, até ser atingido o esforço axial de fendilhação, Ncr, e a partir desse

nível de esforço axial a série apresentou um comportamento não linear e com tendência

assimptótica à recta do Estado II, tal como esperado.

É de salientar que no modelo “Contribuição do betão entre fendas”, o esforço axial no

banzo de betão após se formar a primeira fenda poderá ser inferior ao esforço de fendilhação, visto

que se trata de uma secção mista onde após a fendilhação, os elementos estruturais resistentes são

0

3000

6000

9000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15%

N [kN

]

ε (%)



Estado II ‐ ρs,máx

55

as armaduras ordinárias e o perfil metálico, havendo uma redistribuição de esforço axial pelos dois

elementos. Reduzindo-se o esforço axial de tracção nas armaduras. Facto que não se verifica em

secções de betão armado, uma vez que quando o betão se encontra fendilhado, apenas a armadura

resiste. E assim após ser atingido Ncr, este é transferido na totalidade para a armadura.

Em gráficos N- ε para casos que a percentagem de armadura seja próxima da armadura

mínima, poderão existir alguns pontos, situados após ser atingido Ncr, que divergem dos valores

esperados e da tendência assimptótica à recta do Estado II. Este facto poderá ser verificado para

quando se considera a limitação inferior da fórmula de cálculo da . 0,4 , ou para

quando esta não é considerada e o processo iterativo de obtenção de resultados credíveis não

converge. Na Figura 37 pode ser observado um caso dessa divergência em alguns pontos.

Figura 37 – Relação N-ε para a ρs,mín EC2

Através da Figura 37, observam-se alguns valores da série “Modelo Contribuição do betão

entre fendas” que divergem de outros valores obtidos e dos valores expectados. Os valores de

extensão entre 0,05% e 0,10% são exemplo de valores pouco consonantes comparando-se com os

outros valores da série e com outros valores obtidos para outras taxas de armadura, é resultado da

limitação inferior do modelo já abordada.

Para estes casos onde os resultados não são totalmente fiáveis, foi ainda analisada a relação

N-ε para o modelo I-II, tal como observada na Figura 38.

0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)

Modelo I ‐ ρs,mín EC2

Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC2

Estado II ‐ ρs,mín EC2

56

Figura 38 - Relação N-ε para a ρs,mín EC2 do Modelo I-II.

A Figura 38 ilustra na perfeição o comportamento pretendido com a construção do

modelo I-II. Assim a viga apresenta um comportamento elástico em Estado I até atingir fctm, e

excedido esse valor a viga comporta-se em Estado II, tal como pretendido.

No anexo V, são apresentados os outros gráficos N-ε referentes às outras percentagens de

armadura.

Após o tratamento de todos os resultados, foi analisado o nível de redistribuição dos

momentos flectores na secção sobre os apoios interiores para os diferentes modelos e percentagens

de armadura adoptadas. A Figura 39 ilustra a redistribuição obtida.

Figura 39 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S1 e nL=0,5.

0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,02% 0,04% 0,06% 0,08% 0,10% 0,12% 0,14% 0,16% 0,18% 0,20%

N [kN

]

ε (%)

Modelo II ‐ ρs,mín EC2


Modelo I‐II ‐ρs,mín EC2

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20%

M/M

elást.

ρ (%)

Redistribuição do Momento Flector NegativoModelo Contribuição do betão entre fendas

Modelo I‐II

Modelo Simplificado ‐ EC4

Modelo II

57

A Figura 39 confirma o já referido anteriormente. Adoptando o modelo “Contribuição do

betão entre fendas”, obtêm-se valores mais próximos dos elásticos e menores redistribuições de

momento flector negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas as

percentagens de armadura analisadas.

O modelo II é o modelo que permite maiores redistribuições. E o modelo simplificado –

EC4 encontra-se entre os dois modelos já analisados, mas sempre mais próximo do modelo que

permite maiores redistribuições, algo já salientado aquando da análise dos diagramas de

momentos flectores.

Relativamente ao modelo I-II, este é o modelo que apresenta um comportamento mais

próximo do modelo simplificado – EC4, embora apresente sempre menores redistribuições de

momento flector negativo.

58



seguintes diagramas de momentos flectores.


Através da análise da Figura 40, observa-se a descida do diagrama de momentos flectores

em relação ao diagrama do modelo I. As maiores descidas no diagrama de momentos flectores são

também observadas no modelo II, no modelo simplificado – EC4 e no modelo I-II,

respectivamente, existindo uma maior sobreposição de valores nestes últimos dois modelos.

Verifica-se ainda uma maior aproximação a estes modelos do modelo “Contribuição do betão

entre fendas”, comparando-se com os resultados obtidos para a combinação de acções S1. Este

facto é causado pela ausência de sobrecarga nos vãos laterais na combinação de acções S3, assim o

valor dos momentos flectores é sempre negativo ao longo dos vãos laterais. Deste modo, o betão

está sempre traccionado e fissura mais longe dos apoios interiores, atingindo menores valores de

pico de esforço axial, quando comparado com S1. Tal pode ser verificado na tabela seguinte.

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector As,máx




Modelo Simplificado ‐EC4 ρs,máx


59

N [kN] bc,eq [m]

L [m] S1 S3 S1 S3

11,0 2624,8 4329,4 6,000 6,000

11,5 3144,3 3832,3 6,000 1,237

12,0 3698,0 4103,3 6,000 1,130

12,5 4286,1 4288,5 6,000 1,019

13,0 4006,4 4471,7 1,205 0,939

13,5 4355,2 4667,1 0,987 0,875

14,0 4678,8 4875,9 0,872 0,822

14,5 5040,5 5096,7 0,789 0,778

15,0 5431,8 5328,5 0,729 0,742

15,5 5850,8 5571,0 0,684 0,712

16,0 5779,0 5413,7 0,691 0,731

16,5 5222,1 4869,5 0,758 0,823

17,0 4704,1 4377,4 0,865 0,978

17,5 4175,9 4615,7 1,082 6,000

18,0 4349,9 3654,5 6,000 6,000

Tabela 9 – Diferença de esforço axial e de “largura equivalente” entre combinações de acções, relativas ao Método II.

Na Tabela 9, para a combinação de acções S3, a fissuração do banzo de betão no vão lateral

dá-se numa maior distância do que para S1 (mais um metro), razão pela qual resiste menos a

momentos flectores negativos nessa zona do que em S1, afastando-se mais do modelo I. Na

tabela, células com fundo cinza indicam a secção a partir da qual a secção fissurou e se utilizou a

fórmula (3. 10) para calcular a largura equivalente. A negrito encontram-se evidenciados os

valores pico de esforço normal atingidos. Salienta-se para o facto de, para a combinação S1, o

esforço axial de pico no banzo de betão é superior.

Afirma-se que as ilações aqui justificadas através da Figura 40, podem ser fundamentadas

através de diagramas semelhantes relativos às outras percentagens de armaduras. Estes gráficos

encontram-se no anexo IV.

A Figura 41 evidencia as várias relações N-ε nas secções traccionadas de betão próximas dos

apoios interiores, para a ρ , á .

60


Nos modelos I e II, obtêm-se relações N-ε típicas de um comportamento elástico linear.

No modelo onde é considerada a resistência à tracção do betão entre fendas obtém-se um

comportamento em Estado I até se atingir o esforço axial de fendilhação, Ncr, e a partir desse nível

de esforço axial a série apresenta um comportamento não linear e com tendência assimptótica à

recta do Estado II, tal como esperado e obtido para a combinação de acções S1.

Em gráficos N-ε relativos às outras percentagens de armadura mais baixas, tal como

observado em outros casos, existem alguns pontos relativos ao modelo “Contribuição do betão

entre fendas”, que divergem dos valores esperados e da tendência assimptótica à recta do Estado

II. Para níveis de armadura próximos dos mínimos, após atingido Ncr todos os valores divergem,

tornando impossível a convergência do processo iterativo de obtenção de resultados credíveis do

modelo. Assim e à semelhança do já apresentado para casos semelhantes, onde não se alcançaram

resultados aceitáveis estudaram-se as relações N-ε do modelo I-II. Na Figura 42 observa-se a

relação N-ε relativa a ρs,mín EC4.

0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15%

N [kN

]

ε (%)




61

Figura 42 – Relação N-ε para a ρs,mín EC4.

No anexo IV, encontram-se os outros gráficos N-ε referentes às percentagens de armadura

intermédia e mínima EC2.

Após o tratamento de todos os resultados, foi analisado o nível de redistribuição dos

momentos flectores na secção sobre os apoios interiores para os diferentes modelos utilizados. A

Figura 43 ilustra a redistribuição.


A Figura 43 confirma que adoptando-se o modelo “Contribuição do betão entre fendas”,

obtêm-se valores mais próximos dos valores elásticos e menores redistribuições de momento

0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%

N [kN

]

ε (%)

Modelo II ‐ρs,mín EC4

Modelo I ‐ρs,mín EC4


0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%

M/M

elast

ρ (%)

Redistribuição do Momento Flector Negativo


Modelo I‐II


Modelo II

62

flector negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas percentagens de

armadura analisadas, tal como na combinação de acções S1.

O modelo II é o modelo que permite maiores redistribuições. Perante a Figura 43 e para

esta combinação de acções, os modelos Contribuição do betão entre fendas, I e II apresentam um

comportamento em consonância entre si, ou seja, os modelos são aproximadamente paralelos.

O modelo I-II não apresenta andamento semelhante aos outros modelos devido ao nível de

refinamento utilizado. Pois para este tipo de modelo o ponto onde se deixa de considerar a

resistência do betão apresenta um esforço axial preponderante no resultado do momento flector

negativo final. Uma vez que perante a fórmula (3. 4) no cálculo do momento flector resultante a

parcela mais relevante é a do esforço axial, sendo difícil obter um refinamento ideal para todas as

situações estudadas. Assim acredita-se que os resultados obtidos através deste modelo de cálculo

são resultados fidedignos, podendo sofrer pequenas oscilações pontuais de acordo com o

andamento dos outros modelos.

O modelo simplificado – EC4 apresenta um andamento mais próximo do modelo I-II que

na combinação de acções S1, tendo-se obtido valores de redistribuição de momentos flectores

muito próximos entre estes dois modelos. Verifica-se um afastamento do modelo II, obtendo-se

menores redistribuições.

Perante o diagrama de redistribuição de momentos flectores obtido e na sua globalidade

pode-se afirmar que as séries são aproximadamente paralelas.

63

4.4. Vão Lateral de 19,2m (nL=0,6)

Todos os resultados analisados neste subcapítulo são referentes ao segundo caso de estudo

constituído por uma relação entre vãos consecutivos de 0,6.



seguintes diagramas de momentos flectores, perante os diferentes modelos adoptados.


Tal como para os diagramas de momentos flectores apresentados nas Figura 35 e Figura

40, a partir da Figura 44 podem-se retirar ilações semelhantes. Ambos os diagramas têm

andamento parabólico com valores de pico sobre os apoios interiores e máximo absoluto a meio

vão interior. Os diagramas são sempre simétricos em relação ao meio vão interior, este facto é

devido à simetria verificada de comprimentos de vão, de condições de apoio, utilização simétrica

de secção transversal e aplicação da carga.

Observa-se uma descida em todos os diagramas de momentos flectores comparando-se com

o diagrama do modelo I, estando o modelo II, o modelo simplificado – EC4 e o modelo I-II

quase que sobrepostos, enquanto que o modelo “Contribuição do betão entre fendas” é o modelo

que se encontra a cima destes três modelos.

Os diagramas relativos a outras percentagens de armadura analisadas, encontram-se no

anexo IV e pode-se retirar o mesmo tipo de ilações. Os valores dos esforços obtidos não podem

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector As,máxModelo I ‐ ρs,máx





64

ser comparados entre percentagens de armadura diferentes, visto que a carga de cálculo aplicada é

diferente.

Relativamente ao comportamento do betão entre fendas, obteve-se a Figura 45 para a

ρ , á .


Tal como na Figura 36 e Figura 41, através da Figura 45 obtêm-se ilações idênticas. Os

modelos “I” e “II” têm uma relação N-ε linear, com ordenada na origem nula (b=0) e com um

declive directamente proporcional à rigidez axial da secção . .

A partir do modelo “Contribuição do betão entre fendas”, obtém-se um comportamento

em “Estado I”, até se atingir o esforço axial de fendilhação, Ncr, e a partir desse nível de esforço

axial a série apresenta um comportamento não linear e com tendência assimptótica à recta em

“Estado II”.

Também para este caso de estudo, houve um caso para o qual o modelo “Contribuição do

betão entre fendas” não convergiu, ρ , í ; ou obtiveram-se alguns pontos divergentes do

andamento esperado e do andamento dos outros pontos obtidos no mesmo caso, como é o caso

de ρ , í (figuras no anexo V).

No anexo V, encontram-se os restantes gráficos N-ε.

Para finalizar a análise dos resultados obtidos através desta combinação de acções, foi

analisado o nível de redistribuição dos momentos flectores na secção sobre apoios interiores para

os diferentes modelos de cálculo utilizados, descrito na Figura 46.

0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15%

N [kN

]

ε (%)




65


A Figura 46 confirma o expresso anteriormente. Através do modelo “Contribuição do

betão entre fendas”, são obtidos valores mais próximos dos elásticos e menores redistribuições de

momento flector negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas

percentagens de armadura analisadas.

O “modelo II” é o modelo que permite maiores redistribuições, embora o “modelo

simplificado – EC4” atinja redistribuições bastante próximas para todas as percentagens de

armadura.

Na Figura 46, o “modelo I-II” apresenta um comportamento típico de ganho de rigidez

aquando da percentagem de armadura mínima EC4. Este facto não se encontra correcto e é

obtido por motivos de refinamento do modelo e do elemento de barra onde é alterada de rigidez

do mesmo após ser atingida a tensão de fendilhação. Ou seja, para esta determinada relação de

vãos, percentagem de armadura e combinação de acções a tensão de fendilhação do banzo de

betão não é verificada na mudança de elemento de barra utilizado. Assim adoptou-se um valor de

esforço normal do elemento em estado I mais elevado do que Ncr, e por consequência através

desse valor foi obtido um valor de máximo de momento flector negativo mais elevado do que o

esperado. Assim foi obtido o “ganho de rigidez” expressa na Figura 46.

Comparando os resultados obtidos com os obtidos para a relação de vão nL=0,5 e

respectiva combinação de acções, verifica-se agora uma maior aproximação do modelo

simplificado – EC4 ao modelo II e afastamento do modelo I-II.

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%

M/M

elastico

ρ (%)



Modelo I‐II


Modelo II

66

Pode-se ainda afirmar que da percentagem de armadura mínima prescrita pelo EC2 para

percentagens mais elevadas, todas as séries têm um comportamento idêntico, podendo-se

considerar que as séries são aproximadamente paralelas entre si. Facto já identificado nos casos de

estudo anteriormente analisados.



seguintes diagramas de momentos flectores, perante os diferentes métodos adoptados.



em relação ao digrama do modelo I verificada em todos os diagramas apresentados com ilações

semelhantes às descritas.

Os restantes diagramas de momentos flectores relativos a outras percentagens de armadura

adoptadas, dos quais as conclusões são similares, encontram-se no anexo IV.

A Figura 48 evidencia as várias relações N-ε existentes para a ρ , á .

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

20000

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector com As,máxModelo I ‐ ρs,máx





67


Nos modelos “I” e “II”, obtêm-se duas relações N-ε típicas de um comportamento elástico

linear. No modelo onde é considerada a resistência à tracção do betão entre fendas, obtém-se um

comportamento em Estado I, até se atingir o esforço axial de fendilhação, Ncr, e a partir desse

nível de esforço axial a série apresenta um comportamento não linear e com tendência

assimptótica à recta do Estado II, tal como esperado e como verificado em todos os casos já

apresentados na presente dissertação.

Em gráficos N-ε relativos às outras percentagens de armadura, existem alguns pontos,

situados após ser atingido o esforço axial de fendilhação, que divergem dos valores esperados e

divergindo da tendência assimptótica à recta do Estado II. E para níveis de armadura mínimos, os

elementos de betão fissurado não conseguem atingir o Ncr’, tornando impossível a convergência

do processo iterativo.

No anexo V, encontram-se os outros gráficos N-ε referentes às percentagens de armadura

intermédia, mínima EC2 e EC4.

Por último, analisou-se a redistribuição dos momentos flectores na secção sobre os apoios

interiores para os diferentes métodos e percentagens de armadura utilizadas. O seguinte gráfico

ilustra a redistribuição.

0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15%

N [kN

]

ε (%)




68


Observando-se a Figura 49, constata-se o andamento paralelo entre si de todas as séries do

gráfico ao longo da variação da percentagem de armadura.


obtêm-se valores mais próximos dos valores elásticos e menores redistribuições de momento

flector negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas percentagens de

armadura analisadas, tal como em todos os casos já analisados.

O “modelo II” é o modelo que permite maiores redistribuições para qualquer taxa de

armadura, seguindo-se o “modelo simplificado – EC4”, o “modelo I-II” e por último o modelo

“Contribuição do betão entre fendas”.

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%

M/M

elást

ρ (%)



Modelo I‐II

Modelo Simplificado ‐EC4

Modelo II

69

4.5. Vão Lateral de 25,6m (nL=0,8)

Todos os resultados analisados neste subcapítulo são referentes a uma relação entre vãos

consecutivos de 0,8.



seguintes diagramas de momentos flectores, perante os diferentes métodos adoptados.


Tal como em diagramas semelhantes, a partir dos diagramas de momentos flectores

evidenciados na Figura 50 podem-se retirar ilações análogas. Ambos os gráficos têm andamento

parabólico com valores de pico sobre os apoios interiores e máximo absoluto a meio vão interior.

Os diagramas são sempre simétricos em relação ao meio vão interior.

Observa-se uma descida em todos os diagramas de momentos flectores comparando-se com

o diagrama do “modelo I”, estando o “modelo II” e o “modelo simplificado – EC4” sobrepostos

na maioria dos elementos, enquanto que no modelo “Contribuição do betão entre fendas”

encontra-se acima destes dois modelos e o “modelo I-II”.

Os diagramas relativos a outras percentagens de armadura analisadas, encontram-se no

anexo IV e poder-se-ão obter as conclusões similares.

Relativamente ao comportamento do betão entre fendas, obteve-se o seguinte gráfico N-ε

para a ρ , á .

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector com As,máxModelo I ‐ ρs,máx





70


Tal como em gráficos anteriores, através da Figura 51 obtêm-se ilações idênticas relativas

ao comportamento das séries apresentadas.

Também na presente relação de vãos, houve um caso de estudo para o qual o modelo

“Contribuição do betão entre fendas” não convergiu, ρ , í ; ou obtiveram-se alguns pontos

divergentes do andamento esperado e do andamento dos outros pontos obtidos no mesmo caso,

como é o caso de ρ , í (caso explicito na Figura 52).

Figura 52 – Relação N-ε para a ρs,mín EC2.

Relativamente à Figura 52, os três primeiros pontos da série “modelo Contribuição do

betão entre fendas” após ser atingido Ncr, são pontos calculados com base na limitação inferior da

fórmula (2. 15), obtendo-se uma “largura equivalente” constante ao longo desses três elementos de

betão traccionado. Assim estes resultados não serão representativos, tal como identifica o gráfico.

0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15%

N [kN

]

ε (%)


Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,máx


0

2000

4000

6000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)




71


intermédia e mínima EC4.

Após o tratamento de todos os resultados, foi obtido o gráfico seguinte que representa o

nível de redistribuição dos momentos flectores na secção sobre os apoios interiores para os

diferentes modelos utilizados.


A Figura 53 confirma que através do modelo “Contribuição do betão entre fendas”, são

obtidos valores mais próximos dos elásticos e menores redistribuições de momento flector

negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas percentagens de

armadura analisadas.

O “modelo II” é o modelo que permite maiores redistribuições para qualquer percentagem

de armadura, seguido de o modelo simplificado – EC4. Pode-se ainda afirmar que todas as séries

são paralelas entre si, tal como verificado em gráficos semelhantes já apresentados.

Comparando a Figura 53 com as figuras similares relativas a outras relações de vão e

combinação de acções, salienta-se uma maior aproximação do modelo simplificado – EC4 ao

modelo II. Este facto traduz que para a combinação de acções S1 e relações de vão próximas da

unidade, as prescrições do EC4 implicam a não consideração da resistência do betão quando este

se encontra traccionado.

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%

M/M

elást

ρ (%)

Redistribuição do Momento Flector NegativoModelo Contribuição do betão entre fendas

Modelo I‐II


Modelo II

72



seguintes diagramas de momentos flectores adoptando-se os diferentes modelos de cálculo já

descritos.



em relação ao digrama do “modelo I” verificada em todos os diagramas já apresentados com

ilações semelhantes às descritas para nL=0,5 combinação de acções S3.

Os diagramas semelhantes relativos às percentagens de armadura intermédia e mínima

EC2, dos quais as conclusões são similares, encontram-se no anexo IV. Tal como ilustrado na

Figura 55, o diagrama de momentos flectores relativos à armadura mínima recomendada pelo

EC4, o “modelo II” é a série que apresenta o maior valor absoluto, tornando-se assim o modelo

que apresenta maiores redistribuições.

Em oposição o modelo que atinge menores redistribuições continua a ser o modelo

“Contribuição do betão entre fendas”, seguido do “modelo I-II” e por último o “modelo

simplificado – EC4”, tal como em todos os casos já analisados, existindo apenas uns afastamentos

entre as séries de caso para caso.

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector com As,máx




Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,máx


73

Figura 55 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de armadura mínima EC4.

A Figura 56 evidencia as várias relações N-ε analisadas para a ρ , á .

Figura 56 – Relação N-ε para a ρs,máx

As conclusões que se podem auferir da Figura 56 em relação ao comportamento das séries

descritas, são similares às já descritas aquando da análise de figuras semelhantes.

Tal como nos outros casos de estudos, em gráficos N-ε relativos às outras percentagens de

armadura mais baixas, existem alguns pontos da série “modelo Contribuição do betão entre

fendas”, situados após ser atingido o esforço axial de fendilhação, que divergem dos valores

esperados e divergindo da tendência assimptótica à recta do modelo II. E para níveis de armadura

mínimos, os elementos de betão fissurado não conseguem atingir o Ncr’, tornando impossível que

o método iterativo convirja.

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector com As,mín EC4


Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC4Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC4

Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC4


0

2000

4000

6000

0,00% 0,02% 0,04% 0,06% 0,08% 0,10%

N [kN

]

ε (%)


Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,máx


74


intermédia, mínima EC2 e EC4.

Por último, foi analisado o nível de redistribuição dos momentos flectores na secção sobre

os apoios interiores para os diferentes métodos utilizados.



obtêm-se valores mais próximos dos elásticos e menores redistribuições de momento flector

negativo, comparando-se com os outros modelos de cálculo adoptados e para todas as

percentagens de armadura analisadas, tal como em todos os outros casos analisados.

Conforme já referido na análise de gráficos semelhantes, através da observação da Figura 57

afirma-se que as séries são aproximadamente paralelas, exceptuando para a série “modelo I-II”

para taxas de percentagem inferiores à recomendada por EC4, visto apresentar uma mudança de

inclinação não consonante com o comportamento das outras séries.

Tal como verificado na Figura 49, pode-se também afirmar que para a combinação de

acções S3 e relações de vão próximas da unidade, o modelo simplificado – EC4 aproxima-se do

modelo II e por conseguinte afastando-se do modelo I-II, embora não seja tão denunciado como

para a combinação de acções S1. Este facto é verificado independentemente da percentagem de

armadura adoptada.

0,650

0,750

0,850

0,950

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%

M/M

elást

ρ (%)



Modelo I‐II


Modelo II

75

4.6. Comparação de resultados

Na presente subsecção, serão analisados os resultados dos modelos de cálculo adoptados

mais representativos, ou seja, cruzar-se-ão os valores obtidos dos níveis de redistribuição de

momentos flectores negativos relativos às três relações de vãos consecutivos estudadas, obtendo-se

uma representação gráfica para cada modelo utilizado. Através destas representações, poder-se-á

aferir o nível de redistribuição do momento flector negativo aproximado, bastando conhecer-se a

percentagem de armadura e a relação entre vãos consecutivos da ponte mista de médio vão em

questão.

As representações gráficas a seguir apresentadas correspondem à combinação de acções S1.

Para o “modelo I-II”, foi obtida a seguinte representação gráfica.

Figura 58 - Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o "Modelo I-II".

Como já afirmado anteriormente, o “modelo I-II” é um modelo sensível a resultados finais,

visto que a transição do estado I para o estado II não é totalmente exacta devido à adaptabilidade

do refinamento utilizado para todos os casos de estudo. Como este facto influencia directamente a

intensidade de esforço normal verificado em cada elemento de barra e de acordo com a equação

(3. 4), para o cálculo de o momento flector global negativo a parcela preponderante é a parcela do

esforço normal, naturalmente que o valor do momento poderá em alguns casos se encontrar um

pouco distorcida da realidade. Assim encontra-se justificada a oscilação da Figura 58.

76

Para o “modelo simplificado – EC4”, foi obtida a seguinte representação gráfica.

Figura 59 – Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o "Modelo Simplificado – EC4".

Através da Figura 59, poder-se-á aferir o nível de redistribuição do momento flector

negativo atingido adoptando-se o modelo de cálculo sugerido pelo EC4, dependente da

percentagem de armadura e relação de vãos consecutivos.

Para o “modelo II”, foi obtida a seguinte representação gráfica.

Figura 60 – Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o "Modelo II".

Perante a Figura 60, acredita-se que a grande oscilação de redistribuição do momento

flector para níveis de armadura baixos e a relação entre vãos de 0,5 não corresponde à realidade, e

assim para casos de percentagem de armadura abaixo da percentagem mínima regulamentar, esta

representação não deverá ser adoptada.

Relativamente a todos os outros casos, afirma-se que foram obtidos valores credíveis

77

Salienta-se para o facto de que as três representações gráficas apresentadas nesta subsecção,

foram desenvolvidas apenas para os casos de estudo descritos no presente estudo, tendo sido

extrapolados para casos intermédios.

No anexo VI, encontram-se as representações gráficas relativas à combinação de acções S3 e

planificações em estilo ábaco (gráficos 2D) de todas as representações gráficas. Assim acredita-se

que em necessidade da obtenção de níveis de redistribuição de momentos flectores negativos para

um determinado caso, fica mais facilitada a tarefa utilizando-se um gráfico a duas dimensões.

79

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

5.1. Conclusões

A presente dissertação teve como principal objectivo efectuar um estudo paramétrico sobre

a influência do comportamento do betão à tracção em vigas mistas no comportamento de pontes

de médio vão. Para que este estudo fosse possível, foram desenvolvidos cinco modelos de cálculo

diferentes de análise elástica global de vigas contínuas. O modelo I consistindo numa análise

elástica pura. O modelo II, desprezando-se todo o betão à tracção. O modelo I-II, que se

considerou a resistência do betão à tracção até ser atingida a tensão de fendilhação. O modelo

simplificado, que adopta a prescrição patente no EC4. E por último, o modelo “Contribuição do

betão entre fendas” que consiste em contabilizar a resistência do betão entre fendas. Estes modelos

foram aplicados a três casos de estudo com diferentes relações de vãos e para cada caso de estudo

foram estudadas quatro percentagens de armadura possíveis.

Através da obtenção de resultados, foi analisado cada caso de estudo individualmente e por

fim, analisou-se cada modelo de cálculo, relacionando-se os casos de estudo. Através desta análise

foram criadas representações gráficas relativas ao nível de redistribuição de momento flector

negativo obtido, dependendo apenas da percentagem de armadura e da relação entre vãos

consecutivos da ponte mistas em questão.

Perante o presente estudo paramétrico, pode-se afirmar que:

O banzo de betão em secções mistas com percentagens de armadura elevadas,

comporta-se de forma idêntica a uma secção de betão armado. Após ser atingido o

Ncr, foi determinada uma relação constitutiva, N-ε, com comportamento

tendencialmente não linear e assimptótico à recta do estado II, tal como conhecido

para secções de betão armado. A única diferença verificada consiste na possível

descida de esforço normal para valores abaixo de Ncr, devido à existência de

resistência da parte de o perfil metálico.

A redistribuição de momentos flectores negativos oscila entre 8% e 42% em

situações extremas. A gama de valores mais obtidos encontra-se entre 12% e 22%,

analisando-se os resultados obtidos através dos cinco modelos de cálculos

adoptados.

80

O modelo simplificado – EC4 simula situações intermédias entre a não

consideração da resistência à tracção do betão e a consideração da configuração

segundo o modelo I-II. À medida que a relação de vãos aumenta, , a

redistribuição de momentos flectores negativos do modelo simplificado – EC4

aproximando-se da redistribuição obtida com o modelo II e afastando-se da obtida

com o modelo I-II, independentemente da percentagem de armadura e da

combinação de acções.

Os resultados obtidos segundo o modelo simplificado – EC4 para a combinação

de acções S3 são sempre mais próximos dos resultados do modelo I-II do que a

combinação de acções S1.

A consideração do modelo “Contribuição do betão entre fendas” desenvolvido a

partir da fórmula (2. 15) para casos de tirantes de betão armado, não é adaptável a

casos de secções mistas com baixas percentagens de armadura.

5.2. Recomendações

De acordo com os resultados obtidos no presente estudo paramétrico, efectuam-se as

seguintes recomendações:

O modelo simplificado prescrito pelo EC4 pode ser adoptado mesmo para relações

de vão inferiores a 0,6. (Bom comportamento no primeiro caso de estudo –

nL=0,5).

O modelo “Contribuição do betão entre fendas” para secções mistas com baixas

percentagens de armadura não deve ser adoptado.

Perante as conclusões e recomendações apresentadas, afirma-se que os objectivos da

presente dissertação inicialmente delineados foram atingidos.

81

5.3. Desenvolvimentos Futuros

Todas as conclusões e recomendações obtidas na presente dissertação poderão ser ainda

mais certificadas, se se diversificar e aumentar o número de resultados obtidos, ou seja,

desenvolvendo-se mais casos de estudo para outros vãos não estudados e melhorando a modelação

da consideração da resistência do betão entre fendas

Como já referido, as representações gráficas apresentados em “4.6. Comparação de

resultados” foram desenvolvidas para os casos de estudo analisados, tendo-se obtido valores

intermédios através de interpolação linear. Com a necessidade da realização de mais casos de

estudo, deve-se melhorar o refinamento destas representações. Para que tal possa acontecer, no

anexo VI encontram-se os valores utilizados para a construção de cada representação gráfica.

Visto que todos os estudos apresentados foram desenvolvidos considerando conexão total,

futuramente poder-se-á desenvolver um estudo paramétrico avaliando o nível de redistribuição do

momento flector negativo em vigas mistas em pontes, considerando o comportamento do betão

com variação de percentagem de conexão.

83

BIBLIOGRAFIA

APPLETON, Júlio e MARCHÃO, Carla. 2006. BETÃO ARMADO E PRÉ-

ESFORÇADO I: Folhas de apoio às aulas - Módulo 3 - Verificação da segurança aos Estados Limites

de Utilização. Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura, Instituto Superior Técnico.

Lisboa : s.n., 2006.

Betão Armado e Pré-esforçado, I. 1988. Volume II (teoria) - Estados Limites de

Utilização. Lisboa : Secção de Folhas - AEIST, Setembro de 1988.

CALADO, Luís e SANTOS, João. 2009. Estruturas Mistas de Aço e Betão. Lisboa :

ISTPress, 2009. ISBN 978-972-8469-84-9.

Computers and Structures, Inc. 2008. CSI Analysis Reference Manual For SAP2000®,

ETABS®, and SAFE™. California, EUA : s.n., 2008.

Decreto-Lei n.º 60/96/M. Imprensa Oficial - Decreto-Lei n.º 60/96/M. Imprens Oficial -

Região Administrativa Especial de Macau. [Online] http://bo.io.gov.mo/bo/i/96/41/declei60.asp.

EN 1990. 2001. Eurocode 0 - Basis of structural design. Bruxelas, Bélgica : CEN, 2001.

EN 1992-1-1: Dezembro. 2004. Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1.1:

General rules and rules for buildings. Bruxelas, Bélgica : CEN, 2004.

EN 1994-2: Outubro. 2005. Eurocode 4 - Design of composite steen and concrete structures

- Part 2: General rules and rules for bidges. Bruxelas, Bélgica : CEN, 2005.

FAVRE, R., KOPRNA, M. e RADOJICIC, A. 1980. Effets Différés, fissuration et

déformations des structures en béton. [ed.] École Polytechnique Fédéral de Lausanne - Département

de Génie Civil. Lausanne : Georgi Saint-Saphorin, 1980. ISBN 2604000458.

84

MARCONCIN, Liliane do Rocio. 2008. Modelagem numérica de vigas mistas aço-

concreto. Curitiba, Brasil : Universidade Federal do Paraná, 2008.

PEDRO, José J. C. B. de Oliveira. 2007. Pontes Atirantadas Mistas: Estudo do

comportamento estrutural. s.l. : Universidade Técnica de Lisboa: Instituto Superior Técnico, 2007.

PIRES, Eduardo Borges. 1987. Resistência dos Materiais. s.l. : IST, 1987.

REBAP. 2007. Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-esforçado. Porto,

Portugal : Porto Editora, Junho de 2007. Decreto-lei Nº 349-C/83, de 30 de Julho; Decreto-lei

Nº 129/99, de 21 de Abril; Decreto-lei Nº 28/2007, de 12 de Fevereiro. ISBN 978-972-0-

06806-4.

REIS, A.J. 2006. Folhas da disciplina de Pontes - 2007/2008. s.l. : Instituto Superior

Técnico, 2006.

85

ANEXOS

87

ÍNDICE

Anexo I……………………………………………………………………………... 89

Anexo II……………………………………………………………………………. 95

Anexo III…………………………………………………………………………… 115

Anexo IV…………………………………………………………………………… 119

Anexo V……………………………………………………………………………. 129

Anexo VI…………………………………………………………………………… 141

89

ANEXO I

Programação tipo para gerar modelos computacionais através do SAP2000:

“

TABLE: "PROGRAM CONTROL"

ProgramName=SAP2000 Version=12.0.0 ProgLevel=Advanced CurrUnits="kN, m, C"_

TABLE: "ACTIVE DEGREES OF FREEDOM"

UX=Yes UY=No UZ=Yes RX=No RY=Yes RZ=No

TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 01 - GENERAL"

Material=A500NR Type=Rebar SymType=Isotropic TempDepend=No

Color=Blue

Material=S355 Type=Steel SymType=Isotropic TempDepend=No Color=Orange

Material=C30/37 Type=Concrete SymType=Isotropic TempDepend=No Color=Cyan

TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 02 - BASIC MECHANICAL PROPERTIES"

Material=A500NR UnitWeight=76,9728639422648 UnitMass=7,84904613136724

E1=210000000 G12=80769230,7692308 U12=0,3 A1=0,00001

Material=S355 UnitWeight=76,9728639422648 UnitMass=7,84904613136724 E1=210000000

G12=80769230,7692308 U12=0,3 A1=0,00001

Material=C30/37 UnitWeight=25 UnitMass=2,54929001253435 E1=32000000

G12=13333333,3333333 U12=0,2 A1=0,00001

TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 03A - STEEL DATA"

Material=S355 Fy=355000 Fu=510000 EffFy=355000 EffFu=510000

SSCurveOpt=Simple SSHysType=Kinematic SHard=0,015 SMax=0,11 SRup=0,17

FinalSlope=-0,1

TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 03B - CONCRETE DATA"

90

Material=C30/37 Fc=20000 LtWtConc=No SSCurveOpt=Mander SSHysType=Takeda

SFc=0,002 SCap=0,005 FinalSlope=-0,1 FAngle=0 DAngle=0

TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 03E - REBAR DATA"

Material=A500NR Fy=434782,608695652 Fu=620528,21 EffFy=434782,608695652

EffFu=620528,21 SSCurveOpt=Simple SSHysType=Kinematic SHard=0,01 SCap=0,09

FinalSlope=-0,1 UseCTDef=No

TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 06 - DAMPING PARAMETERS"

Material=C30/37 ModalRatio=0 VisMass=0 VisStiff=0 HysMass=0 HysStiff=0

TABLE: "FRAME SECTION PROPERTIES 01 - GENERAL"

SectionName="Banzo de Betão" Material=C30/37 Shape=Rectangular t3=0,25 t2=6

ConcCol=Yes ConcBeam=Yes Color=Cyan _

FromFile=No AMod=1 A2Mod=0 A3Mod=0 JMod=0,0001 I2Mod=1

I3Mod=1 MMod=1 WMod=1

SectionName="Perfil I" Material=S355 Shape="SD Section" ConcCol=Yes ConcBeam=Yes

Color=Red _

FromFile=No AMod=1 A2Mod=0 A3Mod=0 JMod=0,0001 I2Mod=1

I3Mod=1 MMod=1 WMod=1

TABLE: "SECTION DESIGNER PROPERTIES 01 - GENERAL"

SectionName="Perfil I" DesignType="General Steel" DsgnOrChck=Check BaseMat=S355

nTotalShp=1 nIWideFlng=1 nChannel=0 nTee=0 nAngle=0 nDblAngle=0

nBoxTube=0 nPipe=0 nPlate=0 nSolidRect=0 nSolidCirc=0

nSolidSeg=0 nSolidSect=0 nPolygon=0 nReinfSing=0 nReinfLine=0 nReinfRect=0

nReinfCirc=0 nRefLine=0 nRefCirc=0 nCaltransSq=0 nCaltransCr=0 nCaltransHx=0

nCaltransOc=0

TABLE: "SECTION DESIGNER PROPERTIES 04 - SHAPE I/WIDE FLANGE"

91

SectionName="Perfil I" ShapeName=SH1 ShapeType="User Defined" ShapeMat=S355

ZOrder=1 FillColor=4210752 XCenter=0 YCenter=0 Height=1,35

TopWidth=0,45 TopThick=0,03 WebThick=0,014 BotWidth=0,6 BotThick=0,04 _

Rotation=0 Reinforcing=No

TABLE: "SECTION DESIGNER PROPERTIES 30 - FIBER GENERAL"

SectionName="Perfil I" NumFibersD2=3 NumFibersD3=3 GridAngle=0 LumpRebar=No

FiberPMM=No FiberMC=No

TABLE: "LOAD PATTERN DEFINITIONS"

LoadPat=DEAD DesignType=DEAD SelfWtMult=1

LoadPat="Carga Aplicada" DesignType=DEAD SelfWtMult=0

TABLE: "LOAD CASE DEFINITIONS"

Case=DEAD Type=LinStatic InitialCond=Zero DesTypeOpt="Prog Det" DesignType=DEAD

AutoType=None RunCase=Yes CaseStatus=Finished

Case=MODAL Type=LinModal InitialCond=Zero DesTypeOpt="Prog Det" DesignType=OTHER

AutoType=None RunCase=Yes CaseStatus=Finished

Case="Carga Aplicada" Type=LinStatic InitialCond=Zero DesTypeOpt="Prog Det"

DesignType=DEAD AutoType=None RunCase=Yes CaseStatus=Finished

TABLE: "CASE - STATIC 1 - LOAD ASSIGNMENTS"

Case=DEAD LoadType="Load pattern" LoadName=DEAD LoadSF=1

Case="Carga Aplicada" LoadType="Load pattern" LoadName="Carga Aplicada" LoadSF=1

TABLE: "CASE - MODAL 1 - GENERAL"

Case=MODAL ModeType=Eigen MaxNumModes=12 MinNumModes=1 EigenShift=0

EigenCutoff=0 EigenTol=0,000000001 AutoShift=Yes

TABLE: "MASSES 1 - MASS SOURCE"

MassFrom=Loads LoadPat="Carga Aplicada" Multiplier=1

92

TABLE: "JOINT COORDINATES"

Joint=1 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=0 Z=0 SpecialJt=No

GlobalX=0 GlobalY=0 GlobalZ=0

Joint=2 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=0 Z=0,9213

SpecialJt=No GlobalX=0 GlobalY=0 GlobalZ=0,9213

Joint=3 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=1 Y=0 Z=0 SpecialJt=No

GlobalX=1 GlobalY=0 GlobalZ=0

(…)

Joint=129 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=64 Y=0 Z=0

SpecialJt=No GlobalX=64 GlobalY=0 GlobalZ=0

Joint=130 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=64 Y=0

Z=0,9213 SpecialJt=No GlobalX=64 GlobalY=0 GlobalZ=0,9213

TABLE: "CONNECTIVITY - FRAME"

Frame=1 JointI=1 JointJ=3 IsCurved=No Length=1 CentroidX=0,5 CentroidY=0

CentroidZ=0

Frame=2 JointI=3 JointJ=5 IsCurved=No Length=1 CentroidX=1,5 CentroidY=0

CentroidZ=0

(…)

Frame=127 JointI=126 JointJ=128 IsCurved=No Length=1

CentroidX=62,5 CentroidY=0 CentroidZ=0

Frame=128 JointI=128 JointJ=130 IsCurved=No Length=1

CentroidX=63,5 CentroidY=0 CentroidZ=0

TABLE: "JOINT RESTRAINT ASSIGNMENTS"

Joint=1 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No

Joint=33 U1=No U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No

93



TABLE: "FRAME SECTION ASSIGNMENTS"

Frame=1 SectionType=S355 AutoSelect=N.A. AnalSect="Perfil I" DesignSect="Perfil I"

MatProp=Default

(…)

Frame=64 SectionType=S355 AutoSelect=N.A. AnalSect="Perfil I"

DesignSect="Perfil I" MatProp=Default

Frame=65 SectionType=C30/37 AutoSelect=N.A. AnalSect="Banzo de Betão"

DesignSect="Banzo de Betão" MatProp=Default

(…)

Frame=128 SectionType=C30/37 AutoSelect=N.A. AnalSect="Banzo de Betão"

DesignSect="Banzo de Betão" MatProp=Default

TABLE: "CONSTRAINT DEFINITIONS - BODY"

Name=Body1 CoordSys=GLOBAL UX=Yes UY=Yes UZ=Yes RX=Yes RY=Yes RZ=Yes

(…)

Name=Body65 CoordSys=GLOBAL UX=Yes UY=Yes UZ=Yes RX=Yes RY=Yes RZ=Yes

TABLE: "JOINT CONSTRAINT ASSIGNMENTS"

Joint=1 Constraint=Body1 Type=Body


(…)




(…)


94

TABLE: "JOINT LOADS - FORCE"

Joint=3 LoadPat="Carga Aplicada" CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-200 M1=0 M2=0

M3=0

Joint=5 LoadPat="Carga Aplicada" CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-200 M1=0 M2=0

M3=0

(…)

Joint=127 LoadPat="Carga Aplicada" CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-200 M1=0

M2=0 M3=0

END TABLE DATA

“

95

ANEXO II

No anexo II será exemplificado o processo iterativo inerente ao modelo “Contribuição do

betão entre fendas”. Serão também apresentados todos resultados finais deste processo obtidos

através dos diversos casos de estudo construídos ao longo do desenvolvimento da presente tese.

Exemplo

O exemplo apresentado na presente subsecção é referente a uma relação de vãos de 0,5 com

a combinação de acções S1 e a percentagem de armadura máxima.

Tal como explicado em 3.4.5. Modelo Contribuição do betão entre fendas, o processo

iterativo consiste no ajuste sucessivo da largura equivalente dos elementos de betão fendilhados.

Assim após ser atingido Ncr, que para a secção em questão é de 4350kN, calcula-se a largura

equivalente do elemento de betão através da equação (3. 10) e vai-se ajustando essa largura através

dos novos valores de esforço normal que se obtém a partir de modelos novos considerando as

larguras equivalentes anteriores. Este processo termina quando se obtém uma convergência das

larguras equivalentes na ordem dos 5 centímetros em secções sobre os apoios.

96

1ª Iteração:

Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm

beq,c [m]

73 713,3 37838,6 ‐17,593565 7,207E‐05 6,00

7301 1056,1 56023,2 ‐7,481997 1,067E‐04 6,00

74 1433,3 76028,5 ‐3,605538 1,448E‐04 6,00

7401 1844,8 97854,8 ‐1,780160 1,864E‐04 6,00

75 2290,6 121501,9 ‐0,803299 2,314E‐04 6,00

7501 2770,7 146969,9 ‐0,232472 2,799E‐04 6,00

76 3285,1 174258,7 0,123313 3,319E‐04 6,00

7601 3833,9 203368,4 0,356325 3,874E‐04 6,00

77 4417,0 234299,0 0,515055 5,747E‐04 6,00

7701 5034,4 267050,5 0,626710 7,970E‐04 6,00

78 5686,2 301622,9 0,707379 1,016E‐03 6,00

7801 6372,3 338016,0 0,766998 1,235E‐03 6,00

79 7092,7 376230,1 0,811927 1,455E‐03 6,00

7901 7847,4 416265,1 0,846364 1,678E‐03 6,00

80 8636,5 458120,9 0,873155 1,905E‐03 6,00

Alinhamento de Pilares

8001 9459,9 501797,6 0,894275 2,137E‐03 6,00

81 9339,5 495413,0 0,891533 2,103E‐03 6,00

8101 8275,4 438967,1 0,861844 1,802E‐03 6,00

82 7245,6 384342,1 0,819782 1,500E‐03 6,00

8201 6250,2 331538,0 0,757804 1,196E‐03 6,00

83 5289,0 280554,7 0,661781 8,841E‐04 6,00

8301 4362,2 231392,3 0,502794 5,540E‐04 6,00

84 3469,7 184050,8 0,214116 3,506E‐04 6,00

8401 2611,6 138530,1 ‐0,387221 2,639E‐04 6,00

85 1787,7 94830,3 ‐1,960324 1,806E‐04 6,00

8501 998,2 52951,4 ‐8,494642 1,009E‐04 6,00

Na primeira iteração, corre-se o modelo com comportamento elástico linear do betão

(beq,c=b).

97

2ª. Iteração:


beq,c [m]

73 713,3 37838,6 ‐17,593565 7,207E‐05 6,00

7301 1056,1 56023,2 ‐7,481997 1,067E‐04 6,00

74 1433,3 76028,5 ‐3,605538 1,448E‐04 6,00

7401 1844,8 97854,8 ‐1,780160 1,864E‐04 6,00

75 2290,6 121501,9 ‐0,803299 2,314E‐04 6,00

7501 2770,7 146969,9 ‐0,232472 2,799E‐04 6,00

76 3285,1 174258,7 0,123313 3,319E‐04 6,00

7601 3833,9 203368,4 0,356325 3,874E‐04 6,00

77 4417,0 234299,0 0,515055 5,747E‐04 0,96

7701 5034,4 267050,5 0,626710 7,970E‐04 0,79

78 5686,2 301622,9 0,707379 1,016E‐03 0,70

7801 6372,3 338016,0 0,766998 1,235E‐03 0,65

79 7092,7 376230,1 0,811927 1,455E‐03 0,61

7901 7847,4 416265,1 0,846364 1,678E‐03 0,58

80 8636,5 458120,9 0,873155 1,905E‐03 0,57


8001 9459,9 501797,6 0,894275 2,137E‐03 0,55

81 9339,5 495413,0 0,891533 2,103E‐03 0,56

8101 8275,4 438967,1 0,861844 1,802E‐03 0,57

82 7245,6 384342,1 0,819782 1,500E‐03 0,60

8201 6250,2 331538,0 0,757804 1,196E‐03 0,65

83 5289,0 280554,7 0,661781 8,841E‐04 0,75

8301 4362,2 231392,3 0,502794 5,540E‐04 0,98

84 3469,7 184050,8 0,214116 3,506E‐04 6,00

8401 2611,6 138530,1 ‐0,387221 2,639E‐04 6,00

85 1787,7 94830,3 ‐1,960324 1,806E‐04 6,00

8501 998,2 52951,4 ‐8,494642 1,009E‐04 6,00

Na segunda iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que

tenham excedido o Ncr na iteração anterior.

98

3ª Iteração:


beq,c [m]

73 32,0 1698,2 ‐9229,84600 3,235E‐06 6,00

7301 333,5 17692,4 ‐84,047290 3,370E‐05 6,00

74 669,4 35507,5 ‐20,115140 6,763E‐05 6,00

7401 1039,6 55143,4 ‐7,754813 1,050E‐04 6,00

75 1444,1 76600,1 ‐3,537059 1,459E‐04 6,00

7501 1882,9 99877,8 ‐1,668676 1,902E‐04 6,00

76 2356,1 124976,3 ‐0,704426 2,381E‐04 6,00

7601 2863,5 151895,7 ‐0,153832 2,893E‐04 6,00

77 2606,5 138262,1 ‐0,392603 2,634E‐04 6,00

7701 2867,0 152076,8 ‐0,151087 2,897E‐04 6,00

78 3170,6 168183,6 0,058834 3,203E‐04 6,00

7801 3509,1 186139,8 0,231657 3,546E‐04 6,00

79 3877,9 205702,7 0,370851 3,918E‐04 6,00

7901 4274,3 226727,0 0,482122 5,205E‐04 6,00

80 4696,4 249119,9 0,571040 6,774E‐04 0,87


8001 5143,2 272818,7 0,642328 8,345E‐04 0,77

81 5060,8 268446,9 0,630583 8,061E‐04 0,78

8101 4450,8 236091,4 0,522390 5,873E‐04 0,95

82 3868,7 205213,7 0,367849 3,909E‐04 6,00

8201 3317,9 175994,9 0,140524 3,352E‐04 6,00

83 2804,7 148776,3 ‐0,202724 2,834E‐04 6,00

8301 2343,7 124321,1 ‐0,722439 2,368E‐04 6,00

84 2148,4 113959,3 ‐1,049908 2,171E‐04 6,00

8401 1290,2 68438,4 ‐4,683734 1,304E‐04 6,00

85 466,4 24738,5 ‐42,499805 4,712E‐05 6,00

8501 ‐323,1 ‐17140,6 ‐89,611476 ‐3,265E‐05 6,00

Na terceira iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que


99

4ª Iteração:


beq,c [m]

73 464,4 24634,6 ‐42,867376 4,692E‐05 6,00

7301 792,1 42018,9 ‐14,078031 8,004E‐05 6,00

74 1154,2 61224,0 ‐6,102155 1,166E‐04 6,00

7401 1550,6 82250,0 ‐2,935155 1,567E‐04 6,00

75 1981,3 105096,9 ‐1,410206 2,002E‐04 6,00

7501 2446,3 129764,6 ‐0,580961 2,472E‐04 6,00

76 2945,7 156253,2 ‐0,090375 2,976E‐04 6,00

7601 3479,4 184562,7 0,218470 3,515E‐04 6,00

77 4047,4 214693,0 0,422439 4,319E‐04 6,00

7701 4649,7 246644,3 0,562386 6,605E‐04 0,88

78 5286,4 280416,3 0,661447 8,832E‐04 0,75

7801 5957,4 316009,3 0,733416 1,104E‐03 0,67

79 6662,7 353423,1 0,786870 1,324E‐03 0,63

7901 7402,4 392657,9 0,827335 1,547E‐03 0,60

80 6066,9 321815,8 0,742949 1,139E‐03 0,67


8001 6416,4 340354,4 0,770189 1,248E‐03 0,64

81 6364,4 337598,1 0,766421 1,232E‐03 0,65

8101 5940,1 315090,5 0,731859 1,098E‐03 0,68

82 6762,9 358734,2 0,793134 1,355E‐03 0,62

8201 5767,4 305930,0 0,715561 1,042E‐03 0,69

83 4806,3 254946,7 0,590424 7,168E‐04 0,84

8301 3879,4 205784,3 0,371349 3,920E‐04 6,00

84 2987,0 158442,7 ‐0,060447 3,018E‐04 6,00

8401 2128,8 112922,0 ‐1,087740 2,151E‐04 6,00

85 1305,0 69222,2 ‐4,555751 1,319E‐04 6,00

8501 515,5 27343,3 ‐34,606829 5,208E‐05 6,00

Na quarta iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que


100

5ª Iterção:


beq,c [m]

73 101,2 5370,6 ‐921,962787 1,023E‐05 6,00

7301 407,0 21587,4 ‐56,126077 4,112E‐05 6,00

74 747,0 39625,0 ‐15,954918 7,548E‐05 6,00

7401 1121,4 59483,5 ‐6,523871 1,133E‐04 6,00

75 1530,1 81162,8 ‐3,041287 1,546E‐04 6,00

7501 1973,1 104663,0 ‐1,430229 1,994E‐04 6,00

76 2450,5 129984,1 ‐0,575625 2,476E‐04 6,00

7601 2962,1 157126,1 ‐0,078294 2,993E‐04 6,00

77 3508,1 186088,9 0,231237 3,545E‐04 6,00

7701 3048,1 161684,8 ‐0,018346 3,080E‐04 6,00

78 3325,2 176385,7 0,144329 3,360E‐04 6,00

7801 3647,1 193457,2 0,288682 3,685E‐04 6,00

79 4004,9 212439,4 0,410120 4,149E‐04 6,00

7901 4393,9 233074,2 0,509944 5,660E‐04 0,97

80 5089,7 269981,1 0,634770 8,161E‐04 0,78


8001 5547,2 294251,0 0,692533 9,704E‐04 0,71

81 5464,5 289861,0 0,683150 9,429E‐04 0,72

8101 4833,9 256414,2 0,595098 7,266E‐04 0,83

82 4007,9 212598,9 0,411005 4,161E‐04 6,00

8201 3481,4 184668,1 0,219362 3,517E‐04 6,00

83 3011,7 159755,3 ‐0,043094 3,043E‐04 6,00

8301 3175,1 168423,2 0,061510 3,208E‐04 6,00

84 2282,6 121081,6 ‐0,815840 2,306E‐04 6,00

8401 1424,5 75560,8 ‐3,662734 1,439E‐04 6,00

85 600,6 31860,9 ‐25,225186 6,069E‐05 6,00

8501 ‐188,9 ‐10018,1 ‐264,252417 ‐1,908E‐05 6,00

Na quinta iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que


101

6ª Iteração:


beq,c [m]

73 403,9 21424,3 ‐56,999242 4,081E‐05 6,00

7301 727,9 38613,9 ‐16,854456 7,355E‐05 6,00

74 1086,3 57624,4 ‐7,017153 1,098E‐04 6,00

7401 1479,1 78455,9 ‐3,324967 1,494E‐04 6,00

75 1906,1 101108,2 ‐1,604122 1,926E‐04 6,00

7501 2367,5 125581,4 ‐0,688042 2,392E‐04 6,00

76 2863,2 151875,4 ‐0,154141 2,893E‐04 6,00

7601 3393,2 179990,3 0,178258 3,428E‐04 6,00

77 3957,5 209926,1 0,395911 3,999E‐04 6,00

7701 4556,2 241682,7 0,544234 6,263E‐04 6,00

78 5189,2 275260,2 0,648645 8,502E‐04 0,76

7801 5856,5 310658,7 0,724154 1,071E‐03 0,68

79 6558,2 347877,9 0,780022 1,292E‐03 0,63

7901 5599,2 297009,1 0,698217 9,875E‐04 0,71

80 5782,2 306717,7 0,717020 1,047E‐03 0,69


8001 6170,6 327315,6 0,751515 1,171E‐03 0,66

81 6109,7 324089,6 0,746543 1,152E‐03 0,66

8101 5621,1 298169,6 0,700562 9,947E‐04 0,71

82 6645,5 352507,9 0,785762 1,319E‐03 0,63

8201 5650,0 299703,7 0,703620 1,004E‐03 0,70

83 4688,9 248720,4 0,569661 6,747E‐04 6,00

8301 3762,1 199558,0 0,331509 3,801E‐04 6,00

84 2869,6 152216,4 ‐0,148976 2,899E‐04 6,00

8401 2011,4 106695,7 ‐1,338514 2,032E‐04 6,00

85 1187,6 62995,9 ‐5,708256 1,200E‐04 6,00

8501 398,1 21116,9 ‐58,700102 4,022E‐05 6,00

Na sexta iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que


102

7ª Iteração


beq,c [m]

73 161,5 8565,9 ‐361,814088 1,632E‐05 6,00

7301 470,9 24976,3 ‐41,675423 4,757E‐05 6,00

74 814,5 43207,6 ‐13,259821 8,230E‐05 6,00

7401 1192,6 63259,7 ‐5,652414 1,205E‐04 6,00

75 1604,9 85132,7 ‐2,673167 1,622E‐04 6,00

7501 2051,6 108826,6 ‐1,247831 2,073E‐04 6,00

76 2532,6 134341,3 ‐0,475076 2,559E‐04 6,00

7601 3047,9 161677,0 ‐0,018445 3,080E‐04 6,00

77 3597,6 190833,4 0,268988 3,635E‐04 6,00

7701 4181,6 221810,8 0,458911 4,847E‐04 6,00

78 3416,4 181224,6 0,189413 3,452E‐04 1,24

7801 3732,9 198009,1 0,321010 3,772E‐04 1,24

79 4087,7 216829,8 0,433766 4,479E‐04 1,14

7901 4759,4 252460,6 0,582317 7,001E‐04 0,85

80 5233,2 277591,9 0,654522 8,652E‐04 0,76


8001 5676,6 301111,5 0,706385 1,013E‐03 0,70

81 5597,9 296937,5 0,698072 9,871E‐04 0,71

8101 4992,3 264814,2 0,620378 7,823E‐04 0,80

82 4100,0 217482,2 0,437158 4,527E‐04 1,13

8201 3583,4 190081,6 0,263194 3,621E‐04 1,24

83 4218,8 223782,8 0,468406 4,991E‐04 6,00

8301 3291,9 174620,3 0,126940 3,326E‐04 6,00

84 2399,5 127278,6 ‐0,643322 2,424E‐04 6,00

8401 1541,3 81757,9 ‐2,982669 1,557E‐04 6,00

85 717,5 38058,0 ‐17,379862 7,249E‐05 6,00

8501 ‐72,0 ‐3821,0 ‐1822,36433 ‐7,278E‐06 6,00

Na sétima iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que


103

Última Iteração:


beq,c [m]

73 260,4 13810,4 ‐138,578976 2,631E‐05 6,00

7301 575,7 30538,7 ‐27,545222 5,817E‐05 6,00

74 925,4 49087,8 ‐10,048078 9,350E‐05 6,00

7401 1309,4 69457,7 ‐4,518138 1,323E‐04 6,00

75 1727,8 91648,6 ‐2,169437 1,746E‐04 6,00

7501 2180,4 115660,3 ‐0,990055 2,203E‐04 6,00

76 2667,4 141492,9 ‐0,329732 2,695E‐04 6,00

7601 3188,7 169146,4 0,069518 3,222E‐04 6,00

77 3744,4 198620,7 0,325185 3,783E‐04 6,00

7701 4334,4 229915,9 0,496389 5,435E‐04 6,00

78 4057,9 215252,0 0,425435 4,361E‐04 1,16

7801 4596,9 243842,6 0,552272 6,413E‐04 0,90

79 5061,5 268483,8 0,630685 8,063E‐04 0,78

7901 5189,9 275295,2 0,648734 8,504E‐04 0,76

80 5534,2 293559,0 0,691082 9,661E‐04 0,72


8001 5937,7 314961,8 0,731640 1,097E‐03 0,68

81 5869,9 311368,3 0,725410 1,076E‐03 0,68

8101 5344,3 283484,9 0,668736 9,027E‐04 0,74

82 5096,9 270362,2 0,635799 8,186E‐04 0,78

8201 4395,9 233178,2 0,510382 5,667E‐04 0,97

83 4410,5 233954,1 0,513624 5,722E‐04 6,00

8301 3483,7 184791,6 0,220405 3,520E‐04 6,00

84 2591,2 137450,0 ‐0,409108 2,618E‐04 6,00

8401 1733,1 91929,2 ‐2,150114 1,751E‐04 6,00

85 909,2 48229,4 ‐10,444862 9,187E‐05 6,00

8501 119,7 6350,4 ‐659,141245 1,210E‐05 6,00

Na última iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que


104

Resultados Finais

De seguida apresentam-se os resultados finais dos diversos processos iterativos realizados ao

longo da presente dissertação.

nL=0,5, S1 com , :

Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm beq,c [m]

73 136,4 11308,0 ‐507,407 2,154E‐05 6,00

7301 444,3 36826,6 ‐46,936 7,015E‐05 6,00

74 786,4 65190,8 ‐14,297 1,242E‐04 6,00

7401 1162,9 96400,3 ‐5,996 1,836E‐04 6,00

75 1573,8 130455,4 ‐2,820 2,485E‐04 6,00

7501 2018,9 167355,9 ‐1,321 3,188E‐04 6,00

76 2498,4 207101,9 ‐0,516 3,945E‐04 6,00

7601 3012,2 249693,5 ‐0,043 4,756E‐04 6,00

77 3560,4 295130,5 0,254 5,622E‐04 6,00

7701 4142,8 343412,9 0,449 7,338E‐04 6,00

78 3430,2 284343,1 0,196 5,416E‐04 0,79

7801 3899,5 323241,5 0,378 6,157E‐04 0,79

79 4341,3 359866,5 0,498 8,534E‐04 0,64

7901 4524,4 375044,7 0,538 9,605E‐04 0,59

80 4781,4 396344,3 0,586 1,106E‐03 0,54

Alinhamento de pilares

8001 5078,8 420994,9 0,633 1,269E‐03 0,50

81 5026,0 416624,9 0,625 1,241E‐03 0,51

8101 4636,8 384361,8 0,560 1,025E‐03 0,57

82 4360,3 361441,9 0,502 8,646E‐04 0,63

8201 3698,1 306545,5 0,308 5,839E‐04 0,79

83 4170,1 345675,9 0,456 7,505E‐04 6,00

8301 3243,3 268849,6 0,101 5,121E‐04 6,00

84 2350,8 194868,6 ‐0,712 3,712E‐04 6,00

8401 1492,7 123733,3 ‐3,246 2,357E‐04 6,00

85 668,9 55443,3 ‐20,149 1,056E‐04 6,00

8501 ‐120,7 ‐10001,1 ‐648,960 ‐1,905E‐05 6,00

105

nL=0,5, S3 com , á :


beq,c [m]

73 2496,6 132432,7 ‐0,518 2,523E‐04 6,00

7301 2767,8 146815,5 ‐0,235 2,796E‐04 6,00

74 3052,6 161926,5 ‐0,015 3,084E‐04 6,00

7401 3351,2 177766,0 0,158 3,386E‐04 6,00

75 3663,6 194333,7 0,295 3,702E‐04 6,00

7501 3989,6 211629,8 0,406 4,087E‐04 6,00

76 4329,4 229654,3 0,495 5,416E‐04 6,00

7601 3832,3 203283,7 0,356 3,872E‐04 1,24

77 4103,3 217659,2 0,438 4,541E‐04 1,13

7701 4288,5 227483,2 0,486 5,260E‐04 1,02

78 4471,7 237201,8 0,527 5,951E‐04 0,94

7801 4667,1 247564,2 0,566 6,668E‐04 0,87

79 4875,9 258639,4 0,602 7,415E‐04 0,82

7901 5096,7 270350,8 0,636 8,185E‐04 0,78

80 5328,5 282649,7 0,667 8,974E‐04 0,74


8001 5571,0 295510,2 0,695 9,782E‐04 0,71

81 5413,7 287167,8 0,677 9,260E‐04 0,73

8101 4869,5 258302,8 0,601 7,392E‐04 0,82

82 4377,4 232200,2 0,506 5,598E‐04 0,98

8201 4615,7 244837,3 0,556 6,481E‐04 6,00

83 3654,5 193852,6 0,292 3,692E‐04 6,00

8301 2727,7 144688,8 ‐0,272 2,756E‐04 6,00

84 1835,2 97346,0 ‐1,809 1,854E‐04 6,00

8401 977,0 51823,9 ‐8,912 9,871E‐05 6,00

85 153,1 8122,9 ‐402,475 1,547E‐05 6,00

8501 ‐636,4 ‐33757,4 ‐22,361 ‐6,430E‐05 6,00

106

nL=0,5, S3 com , :


beq,c [m]

73 2399,8 198926,0 ‐0,643 3,789E‐04 6,00

7301 2665,1 220915,5 ‐0,332 4,208E‐04 6,00

74 2944,1 244043,1 ‐0,092 4,648E‐04 6,00

7401 3236,8 268309,0 0,097 5,111E‐04 6,00

75 3543,3 293713,0 0,246 5,595E‐04 6,00

7501 3863,5 320255,1 0,366 6,100E‐04 6,00

76 4197,4 347935,6 0,463 7,671E‐04 6,00

7601 4545,1 376754,2 0,542 9,724E‐04 6,00

77 3536,0 293114,0 0,243 5,583E‐04 0,79

7701 3806,4 315523,9 0,347 6,010E‐04 0,79

78 3956,0 327928,0 0,395 6,246E‐04 0,79

7801 4051,8 335865,8 0,424 6,776E‐04 0,75

79 4257,1 352882,2 0,478 8,031E‐04 0,66

7901 4451,0 368954,6 0,522 9,179E‐04 0,61

80 4634,2 384139,9 0,559 1,023E‐03 0,57


8001 4819,8 399532,1 0,593 1,128E‐03 0,53

81 4695,9 389260,3 0,571 1,058E‐03 0,55

8101 4232,4 350835,5 0,472 7,882E‐04 0,67

82 3908,6 323995,0 0,381 6,171E‐04 0,79

8201 4427,9 367040,6 0,517 9,044E‐04 6,00

83 3466,7 287366,8 0,213 5,474E‐04 6,00

8301 2539,9 210538,6 ‐0,467 4,010E‐04 6,00

84 1647,4 136555,9 ‐2,486 2,601E‐04 6,00

8401 789,2 65418,5 ‐14,191 1,246E‐04 6,00

85 ‐34,7 ‐2873,3 ‐7873,377 ‐5,473E‐06 6,00

8501 ‐824,2 ‐68319,7 ‐12,928 ‐1,301E‐04 6,00

107

nL=0,6, S1 com , á :


beq,c [m]

166 ‐561,0 ‐29757,4 ‐29,064 ‐5,668E‐05 6,00

167 ‐186,2 ‐9874,3 ‐272,038 ‐1,881E‐05 6,00

168 222,1 11781,7 ‐190,786 2,244E‐05 6,00

169 663,8 35210,7 ‐20,473 6,707E‐05 6,00

170 1138,9 60412,7 ‐6,294 1,151E‐04 6,00

171 1647,4 87387,6 ‐2,486 1,665E‐04 6,00

172 2189,4 116135,5 ‐0,974 2,212E‐04 6,00

173 2764,8 146656,3 ‐0,238 2,793E‐04 6,00

174 3373,6 178950,0 0,169 3,409E‐04 6,00

175 4015,8 213016,8 0,413 4,193E‐04 6,00

176 3839,2 203651,4 0,358 3,879E‐04 1,24

177 4255,3 225723,4 0,478 5,133E‐04 1,04

178 4611,1 244596,0 0,555 6,465E‐04 0,89

179 5001,3 265293,1 0,622 7,855E‐04 0,80

180 5420,7 287541,2 0,678 9,284E‐04 0,73


181 5867,2 311226,0 0,725 1,075E‐03 0,68

182 5815,6 308487,6 0,720 1,058E‐03 0,69

183 5269,4 279513,2 0,659 8,775E‐04 0,75

184 4757,0 252333,4 0,582 6,992E‐04 0,85

185 4288,0 227454,8 0,485 5,258E‐04 1,02

186 4530,4 240312,0 0,539 6,168E‐04 6,00

187 3627,9 192442,2 0,281 3,666E‐04 6,00

188 2758,9 146345,4 ‐0,243 2,788E‐04 6,00

189 1923,3 102021,6 ‐1,558 1,943E‐04 6,00

190 1121,1 59470,7 ‐6,527 1,133E‐04 6,00

191 ‐382,9 ‐20312,2 ‐63,524 ‐3,869E‐05 6,00

108

nL=0,6, S1 com , :


beq,c [m]

166 ‐660,8 ‐54773,1 ‐20,683 ‐1,043E‐04 6,00

167 ‐290,3 ‐24062,9 ‐111,346 ‐4,583E‐05 6,00

168 113,6 9417,9 ‐732,406 1,794E‐05 6,00

169 550,9 45669,3 ‐30,189 8,699E‐05 6,00

170 1021,7 84691,2 ‐8,069 1,613E‐04 6,00

171 1525,9 126483,8 ‐3,066 2,409E‐04 6,00

172 2063,5 171047,0 ‐1,223 3,258E‐04 6,00

173 2634,5 218380,7 ‐0,364 4,160E‐04 6,00

174 3238,9 268485,1 0,098 5,114E‐04 6,00

175 3876,8 321360,1 0,370 6,121E‐04 6,00

176 4548,1 377005,6 0,542 9,736E‐04 6,00

177 3785,7 313805,8 0,339 5,977E‐04 0,79

178 3996,1 331246,5 0,407 6,422E‐04 0,78

179 4345,6 360219,8 0,499 8,554E‐04 0,64

180 4703,9 389917,3 0,572 1,062E‐03 0,55


181 5052,0 418779,6 0,629 1,254E‐03 0,50

182 5011,0 415376,3 0,623 1,232E‐03 0,51

183 4574,0 379152,3 0,547 9,885E‐04 0,58

184 4104,2 340209,7 0,438 7,095E‐04 0,72

185 3818,9 316560,1 0,351 6,030E‐04 0,79

186 4363,0 361666,8 0,503 8,657E‐04 6,00

187 3460,6 286860,5 0,209 5,464E‐04 6,00

188 2591,6 214825,0 ‐0,410 4,092E‐04 6,00

189 1756,0 145560,0 ‐2,070 2,773E‐04 6,00

190 953,8 79065,6 ‐9,406 1,506E‐04 6,00

191 ‐550,2 ‐45611,4 ‐30,268 ‐8,688E‐05 6,00

109

nL=0,6, S3 com , á :


beq,c [m]

166 2385,5 126540,5 ‐0,663 2,410E‐04 6,00

167 2649,4 140539,4 ‐0,348 2,677E‐04 6,00

168 2926,7 155247,3 ‐0,105 2,957E‐04 6,00

169 3217,4 170664,5 0,086 3,251E‐04 6,00

170 3521,4 186790,8 0,237 3,558E‐04 6,00

171 3838,8 203626,4 0,358 3,879E‐04 6,00

172 4169,5 221171,1 0,456 4,800E‐04 6,00

173 4513,6 239425,0 0,536 6,106E‐04 6,00

174 3970,7 210625,9 0,400 4,012E‐04 1,24

175 4117,9 218432,0 0,442 4,598E‐04 1,12

176 4343,4 230396,9 0,498 5,469E‐04 0,99

177 4538,4 240737,7 0,541 6,198E‐04 0,92

178 4744,3 251662,4 0,580 6,947E‐04 0,85

179 4961,3 263172,7 0,616 7,715E‐04 0,80

180 5188,3 275211,0 0,649 8,499E‐04 0,76


181 5424,9 287760,4 0,679 9,297E‐04 0,73

182 5270,9 279593,0 0,659 8,780E‐04 0,75

183 4733,2 251073,1 0,578 6,907E‐04 0,86

184 4216,4 223655,8 0,468 4,982E‐04 1,06

185 4447,3 235903,7 0,522 5,860E‐04 6,00

186 3511,4 186261,0 0,233 3,548E‐04 6,00

187 2609,0 138391,3 ‐0,390 2,636E‐04 6,00

188 1739,9 92294,5 ‐2,125 1,758E‐04 6,00

189 904,3 47970,6 ‐10,569 9,137E‐05 6,00

190 102,2 5419,7 ‐905,327 1,032E‐05 6,00

191 ‐1401,9 ‐74363,3 ‐3,814 ‐1,416E‐04 6,00

110

nL=0,6, S3 com , :


beq,c [m]

166 2278,8 188894,4 ‐0,823 3,598E‐04 6,00

167 2538,0 210383,9 ‐0,470 4,007E‐04 6,00

168 2810,6 232981,5 ‐0,198 4,438E‐04 6,00

169 3096,6 256687,5 0,013 4,889E‐04 6,00

170 3396,0 281501,7 0,179 5,362E‐04 6,00

171 3708,7 307424,1 0,312 5,856E‐04 6,00

172 4034,8 334454,7 0,418 6,665E‐04 6,00

173 4374,2 362593,7 0,505 8,723E‐04 6,00

174 3406,8 282397,2 0,184 5,379E‐04 0,79

175 3670,7 304274,2 0,297 5,796E‐04 0,79

176 3944,2 326949,8 0,391 6,228E‐04 0,79

177 4030,7 334119,9 0,417 6,639E‐04 0,76

178 4184,8 346890,4 0,459 7,589E‐04 0,69

179 4395,8 364380,3 0,510 8,850E‐04 0,62

180 4574,3 379179,0 0,548 9,887E‐04 0,58


181 4748,5 393619,1 0,580 1,087E‐03 0,55

182 4638,6 384508,5 0,560 1,025E‐03 0,57

183 4289,8 355592,6 0,486 8,222E‐04 0,65

184 3774,6 312891,4 0,336 5,960E‐04 0,79

185 4268,2 353805,7 0,480 8,093E‐04 6,00

186 3332,3 276228,9 0,147 5,262E‐04 6,00

187 2429,9 201422,8 ‐0,603 3,837E‐04 6,00

188 1560,9 129387,2 ‐2,886 2,465E‐04 6,00

189 725,3 60122,2 ‐16,996 1,145E‐04 6,00

190 ‐76,9 ‐6372,2 ‐1601,022 ‐1,214E‐05 6,00

191 ‐1580,9 ‐131049,2 ‐2,788 ‐2,496E‐04 6,00

111

nL=0,8, S1 com , á :


beq,c [m]

204 ‐840,8 ‐44600,6 ‐12,383 ‐8,495E‐05 6,00

205 ‐286,2 ‐15181,4 ‐114,508 ‐2,892E‐05 6,00

206 298,2 15819,1 ‐105,382 3,013E‐05 6,00

207 912,5 48400,9 ‐10,364 9,219E‐05 6,00

208 1556,5 82563,9 ‐2,905 1,573E‐04 6,00

209 2230,3 118308,2 ‐0,902 2,253E‐04 6,00

210 2934,0 155633,9 ‐0,099 2,964E‐04 6,00

211 3667,5 194540,8 0,297 3,706E‐04 6,00

212 4430,8 235029,0 0,518 5,798E‐04 6,00

213 4193,3 222431,3 0,462 4,893E‐04 1,07

214 4579,0 242893,2 0,549 6,347E‐04 0,90

215 4999,4 265192,5 0,621 7,848E‐04 0,80

216 5453,6 289283,7 0,682 9,393E‐04 0,73


217 5936,2 314884,2 0,732 1,097E‐03 0,68

218 5933,1 314719,3 0,731 1,096E‐03 0,68

219 5444,5 288804,1 0,681 9,363E‐04 0,73

220 4985,1 264431,1 0,619 7,798E‐04 0,80

221 4560,8 241926,7 0,545 6,280E‐04 0,91

222 4169,4 221165,4 0,456 4,800E‐04 1,09

223 4365,9 231590,4 0,504 5,554E‐04 6,00

224 3590,9 190477,1 0,266 3,628E‐04 6,00

225 2845,6 150945,0 ‐0,168 2,875E‐04 6,00

226 2130,2 112994,2 ‐1,085 2,152E‐04 6,00

227 1444,5 76624,7 ‐3,534 1,460E‐04 6,00

228 788,7 41836,5 ‐14,210 7,969E‐05 6,00

229 162,7 8629,5 ‐356,490 1,644E‐05 6,00

230 ‐433,5 ‐22996,2 ‐49,341 ‐4,380E‐05 6,00

112

nL=0,8, S1 com , :


beq,c [m]

204 ‐976,7 ‐80960,5 ‐8,924 ‐1,542E‐04 6,00

205 ‐425,7 ‐35285,8 ‐51,246 ‐6,721E‐05 6,00

206 155,1 12860,0 ‐392,345 2,450E‐05 6,00

207 765,8 63476,9 ‐15,144 1,209E‐04 6,00

208 1406,2 116564,7 ‐3,788 2,220E‐04 6,00

209 2076,5 172123,7 ‐1,196 3,279E‐04 6,00

210 2776,5 230153,8 ‐0,228 4,384E‐04 6,00

211 3506,4 290655,0 0,230 5,536E‐04 6,00

212 4266,1 353627,2 0,480 8,080E‐04 6,00

213 3643,5 302021,5 0,287 5,753E‐04 0,79

214 4124,7 341908,2 0,444 7,221E‐04 0,71

215 4456,0 369371,2 0,523 9,203E‐04 0,61

216 4774,0 395732,5 0,585 1,102E‐03 0,54


217 5128,0 425077,9 0,640 1,295E‐03 0,49

218 5125,0 424831,4 0,640 1,294E‐03 0,50

219 4765,4 395020,7 0,583 1,097E‐03 0,54

220 4419,9 366376,7 0,515 8,992E‐04 0,61

221 4113,1 340949,4 0,440 7,150E‐04 0,72

222 3593,6 297884,1 0,267 5,674E‐04 0,79

223 4181,4 346610,7 0,459 7,568E‐04 6,00

224 3406,3 282362,7 0,184 5,378E‐04 6,00

225 2661,1 220585,8 ‐0,337 4,202E‐04 6,00

226 1945,6 161280,0 ‐1,501 3,072E‐04 6,00

227 1260,0 104445,3 ‐4,963 1,989E‐04 6,00

228 604,2 50081,7 ‐24,936 9,539E‐05 6,00

229 ‐21,8 ‐1811,0 ‐19834,013 ‐3,449E‐06 6,00

230 ‐618,1 ‐51232,5 ‐23,784 ‐9,759E‐05 6,00

113

nL=0,8, S3 com , á :


beq,c [m]

204 2372,5 125847,7 ‐0,681 2,397E‐04 6,00

205 2666,2 141426,7 ‐0,331 2,694E‐04 6,00

206 2971,8 157638,2 ‐0,071 3,003E‐04 6,00

207 3289,3 174482,3 0,126 3,323E‐04 6,00

208 3618,8 191958,9 0,278 3,656E‐04 6,00

209 3960,2 210068,0 0,397 4,001E‐04 6,00

210 4313,5 228809,6 0,492 5,355E‐04 6,00

211 3828,9 203100,8 0,355 3,869E‐04 1,24

212 4078,5 216344,1 0,431 4,442E‐04 1,15

213 4278,7 226962,9 0,483 5,222E‐04 1,02

214 4451,1 236107,8 0,522 5,874E‐04 0,95

215 4657,8 247073,1 0,564 6,635E‐04 0,88

216 4874,2 258548,9 0,602 7,409E‐04 0,82


217 5099,5 270500,0 0,636 8,194E‐04 0,78

218 4973,1 263797,1 0,617 7,756E‐04 0,80

219 4498,5 238619,7 0,532 6,050E‐04 0,93

220 4053,0 214992,9 0,424 4,341E‐04 1,17

221 4194,0 222470,3 0,462 4,896E‐04 6,00

222 3359,3 178194,4 0,162 3,394E‐04 6,00

223 2554,4 135499,7 ‐0,450 2,581E‐04 6,00

224 1779,4 94386,4 ‐1,988 1,798E‐04 6,00

225 1034,1 54854,3 ‐7,847 1,045E‐04 6,00

226 318,7 16903,5 ‐92,171 3,220E‐05 6,00

227 ‐367,0 ‐19466,1 ‐69,255 ‐3,708E‐05 6,00

228 ‐1022,8 ‐54254,2 ‐8,044 ‐1,033E‐04 6,00

229 ‐1648,8 ‐87461,2 ‐2,480 ‐1,666E‐04 6,00

230 ‐2245,0 ‐119086,9 ‐0,877 ‐2,268E‐04 6,00

114

nL=0,8, S3 com , :


beq,c [m]

204 2277,3 188773,8 ‐0,825 3,596E‐04 6,00

205 2568,5 212910,0 ‐0,435 4,055E‐04 6,00

206 2871,6 238034,5 ‐0,148 4,534E‐04 6,00

207 3186,6 264147,6 0,068 5,031E‐04 6,00

208 3513,5 291249,0 0,233 5,548E‐04 6,00

209 3852,4 319338,8 0,362 6,083E‐04 6,00

210 4203,2 348417,2 0,464 7,701E‐04 6,00

211 4565,9 378483,9 0,546 9,839E‐04 6,00

212 3560,6 295152,2 0,253 5,622E‐04 0,79

213 3839,2 318245,8 0,358 6,062E‐04 0,79

214 3952,1 327598,5 0,394 6,240E‐04 0,79

215 4045,5 335346,2 0,422 6,732E‐04 0,75

216 4249,9 352288,6 0,476 7,983E‐04 0,67


217 4451,1 368961,9 0,522 9,174E‐04 0,61

218 4330,6 358977,2 0,495 8,465E‐04 0,64

219 3960,6 328306,4 0,396 6,253E‐04 0,79

220 3552,5 294477,3 0,250 5,609E‐04 0,79

221 4064,8 336941,5 0,427 6,851E‐04 6,00

222 3230,1 267751,3 0,093 5,100E‐04 6,00

223 2425,2 201032,3 ‐0,610 3,829E‐04 6,00

224 1650,1 136784,3 ‐2,477 2,605E‐04 6,00

225 904,9 75007,5 ‐10,562 1,429E‐04 6,00

226 189,4 15701,6 ‐262,854 2,991E‐05 6,00

227 ‐496,2 ‐41133,1 ‐37,448 ‐7,835E‐05 6,00

228 ‐1152,0 ‐95496,8 ‐6,133 ‐1,819E‐04 6,00

229 ‐1778,1 ‐147389,3 ‐1,994 ‐2,807E‐04 6,00

230 ‐2374,3 ‐196810,8 ‐0,679 ‐3,749E‐04 6,00

115

ANEXO III

De seguida, serão apresentadas as envolventes unitárias de momentos flectores para as , ,

, í e , í relativas às várias relações de vão analisadas e as diferentes combinações de acções..

nL=0,5

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector EC4+As,int

S1

S2

S3

S4

S5

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector EC4+As,mín EC2

S1

S2

S3

S4

S5

116

nL=0,6

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector EC4+As,mín EC4

S1

S2

S3

S4

S5

‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]

Momento flector de EC4+As,int

S1

S3

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]

Momento flector de EC4+As,mín EC2

S1

S3

117

nL=0,8

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]


S1

S3

‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]

Momento flector de EC4+As,int

S1

S3

‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]


S1

S3

118

‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]


S1

S3

119

ANEXO IV

Diagramas de momentos flectores não apresentados no corpo principal da presente dissertação:

nL=0,5

o Combinação de acções S1

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector com As,int

Modelo I ‐ ρs,int

Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,int

Modelo I‐II ‐ ρs,int

Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,int

Modelo II ‐ ρs,int

120

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]




Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC2



‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]







121


‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]







‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]







122

nL=0,6


‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 16 32 48 64

M [kN

.m]

L [m]







‐20000

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]







123

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]







‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]







124


‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector com As,intModelo I ‐ ρs,int




Mdelo II ‐ ρs,int

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector com As,mín EC2Modelo I ‐ ρs,mín EC2





125

nL=0,8


‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70

M [kN

.m]

L [m]

Momento Flector com As,mín EC4Modelo I ‐ ρs,mín EC4





‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]







126

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]







‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]







127


‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]



Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,int




‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

15000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

M [kN

.m]

L [m]



Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,mín EC2




129

ANEXO V

Gráficos Esforços axial – extensão (N-ε) não apresentados no corpo principal da presente

dissertação:

nL=0,5


0

2000

4000

6000

8000

10000

‐0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25%

N [kN

]

ε (%)

Fendilhação do Betão com As,intEstado I


Estado II

0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25%

N [kN

]

ε (%)

Fendilhação do Betão com As,int

Estado I

Modelo I‐II ‐ρs,int

Estado II

130


0

2000

4000

6000

8000

‐0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%

N [kN

]

ε (%)

Fendilhação do Betão com As,mín EC4

Estado I


Estado II

0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%

N [kN

]

ε (%)


Estado II

Estado I


0

2000

4000

6000

8000

10000

‐0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%

N [kN

]

ε (%)


Estado I


Estado II

131

0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15%

N [kN

]

ε (%)


Estado I


Estado II

0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15%

N [kN

]

ε (%)


Estado I



0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado II

Estado I


132

nL=0,6


0

2000

4000

6000

8000

‐0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado I



0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado II ‐ ρs,int

Estado I


0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado II

Estado I


133

0

2000

4000

6000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)

Fendilhação do Betão As,mín EC2

Estado I



0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado II

Estado I


134

0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado I



0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado II

Estado I


135


0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)



Estado I

Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,int

0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado II

Estado I


136

0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado I



0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado II

Estado I


137

0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)





0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Estado II

Estado I


138

nL=0,8


0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Método II ‐ ρs,int

Não Fendilhado ‐ρs,int


0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Não Fendilhado ‐ ρs,mín EC4

Método II ‐ ρs,mín EC4


139


0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Método II ‐ρs,int

Não Fendilhado ‐ ρs,int


0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%

N [kN

]

ε (%)


Não Fendilhado ‐ρs,mín EC2

Método II ‐ ρs,mín EC2


0

2000

4000

6000

8000

0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%

N [kN

]

ε (%)


Não Fendilhado ‐ ρs,mín EC4

Método II ‐ρs,mín EC4

Estado II ‐ρs,mín EC4

141

ANEXO VI

No anexo VI são apresentados os pontos utilizados para a construção das representações

gráficas apresentadas em 4.6. Comparação de resultados. Também serão apresentadas as projecções

no plano das representações gráficas.

Os pontos apresentados são resultado da análise de resultados de modelos computacionais

desenvolvidos ao longo da presente tese. Para a obtenção das representações gráficas, como já

referido, foi realizada interpolação simples com o intuito de escalar os resultados obtidos.


Modelo I‐II

ρ\nL 0,5 0,6 0,8

0,00% 0,803 0,810 0,786

0,38% 0,820 0,857 0,837

0,58% 0,839 0,845 0,855

0,80% 0,839 0,846 0,871

1,26% 0,869 0,875 0,896


ρ\nL 0,5 0,6 0,8

0,00% 0,741 0,737 0,730

0,38% 0,783 0,788 0,782

0,58% 0,812 0,808 0,802

0,80% 0,830 0,827 0,821

1,26% 0,859 0,856 0,852

Modelo II

ρ\nL 0,5 0,6 0,8

0,00% 0,580 0,716 0,728

0,38% 0,758 0,769 0,778

0,58% 0,779 0,789 0,798

0,80% 0,799 0,809 0,817

1,26% 0,832 0,841 0,847

142


Modelo I‐II

ρ\nL 0,5 0,6 0,8

0,00% 0,758 0,766 0,815

0,38% 0,815 0,821 0,833

0,58% 0,814 0,840 0,851

0,80% 0,835 0,858 0,869

1,26% 0,866 0,870 0,894


ρ\nL 0,5 0,6 0,8

0,00% 0,742 0,739 0,733

0,38% 0,792 0,789 0,784

0,58% 0,812 0,809 0,804

0,80% 0,830 0,828 0,823

1,26% 0,859 0,857 0,853

Modelo II

ρ\nL 0,5 0,6 0,8

0,00% 0,651 0,661 0,690

0,38% 0,715 0,722 0,745

0,58% 0,739 0,746 0,767

0,80% 0,763 0,769 0,788

1,26% 0,800 0,805 0,821

143

De seguida apresentam-se as projecções das representações gráficas relativas aos níveis de

redistribuição de momento flector negativo para cada modelo de cálculo tipo e à combinação de

acções S1.

144

De seguida apresentam-se as representações gráficas e respectivas projecções relativas aos

níveis de redistribuição de momento flector negativo para cada modelo de cálculo tipo e à

combinação de acções S3.

efeito da fendilhação do betão na distribuição de esforços ... · the case studies modulation...

Documents