edwin esquivel
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Tesis1.1 Historia y antecedentes 1.1.1 Monstruos matemáticos 1.1.2
Julia 1.1.3 Mandelbrot
1.2 Comprendiendo al Fractal 1.2.1 La teoría del caos 1.2.2 ¿Qué es un fractal? 1.2.3 Características 1.2.4 Geometría Euclidiana VS Geometría Fractal
Capítulo II LA GEOMETRÍA FRACTAL
2.1 El Fractal en el mundo que nos rodea 2.1.1 Naturaleza 2.1.2 Seres vivos
2.2 El Fractal en las ciencias y sus aplicaciones 2.2.1 Medicina 2.2.2 Biología 2.2.3 Telecomunicaciones 2.2.4 Compresión de imágenes 2.2.5 Animación y efectos especiales 2.2.6 Ecología
2.3 El fractal en el arte 2.3.1 Música 2.3.2 Pintura
Capítulo III COMPOSICIÓN Y RETICULADO EN EL DISEÑO GRÁFICO
3.1 La Composición en el diseño editorial 3.1.1 El soporte 3.1.2 Rectángulo ternario y otros 3.1.3 Número de caracteres por línea 3.1.4 Columnas 3.1.5 Márgenes 3.1.6 La sección Áurea 3.1.7 La composición en el diseño
3.2 La retícula 3.2.1 Conceptos básicos 3.2.1 Retícula de manuscrito 3.2.3 Retícula modular 3.2.4 Retícula jerárquica 3.2.5 Deconstrucción de la retícula
Capítulo IV INTRODUCCIÓN DEL FRACTAL AL DISEÑO GRÁFICO
4.1 Composición fractal general 4.2 Composición fractal con ángulos 4.3 Reticulado fractal de columnas 4.4 Reticulado fractal jerárquico 4.5 Reticulado fractal modular
CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA MESOGRAFÍA REFERENCIAS DE IMÁGENES
mal.
AGRADECIMIENTOS
A partir de la experiencia personal e indagaciones propias, se ha tenido contacto con los fractales, que, llevados a la imagen, dan tanta información a la vista que el espectador lo único que hace en el momento es asombrarse.
Los fractales son tan fascinantes, asombrosos y complejos que se han encontrado usos a partir de sus cualidades y características, como la compresión de imágenes, la arquitectura, la música, etc. Sin embargo, han carecido de su uso y explotación en el diseño, tanto en la ense- ñanza en la licenciatura como en la práctica en la vida profesional del diseñador. Los sistemas educativos actuales en México no contem- plan al fractal en la trayectoria académica del estudiante, como un método de composición, ni como un movimiento artístico.
Una composición gráfica no es un sistema estándar, único. Los mis- mos elementos se pueden organizar según diferentes esquemas lógi- cos, deberán estar dispuestos según una retícula que les aporte equi- librio y estabilidad visual.
Dado su sinnúmero de aplicaciones, ¿por qué no utilizar las caracte- rísticas de los fractales en el quehacer del Diseñador Gráfico?
El estudio del concepto de la geometría fractal, una rama de las ma- temáticas relativamente nueva, ha generado una evolución increíble en la percepción del mundo y ha dado pauta a un sinnúmero de aplicaciones en prácticamente todas las ramas de la ciencia y el arte, entre las que se encuentran la física, la biología, la geografía, la medicina, la música, la poesía, la arquitectura, la producción de efectos especiales, las telecomunicaciones, etc.
INTRODUCCIÓN
En su sentido más amplio, la palabra composición refiere
a la acción y resultado de componer, en tanto, la mis-
ma presenta otras referencias más específicas de acuerdo al
contexto en el cual se emplee la palabra.*
Para el mundo de las artes como la escultura, la fotogra-
fía, la pintura, entre otras, una composición será el arte de
distribuir los elementos de una obra. Por ejemplo, la com-
posición fotográfica refiere a aquella manera en la cual se ordenarán los objetos vistos
dentro del encuadre.
Al conocer a fondo al fractal, se ha notado que su flexibilidad para adaptarse y vincularse virtualmente a cualquier aspecto de la ciencia posibilita su uso en el campo de diseño. Sin embar- go, poco se ha hecho para introducir y vincular la geometría fractal al diseño gráfico.
A partir de esto, surge la interrogante: ¿Cómo puede el diseñador gráfico explotar las características de los fractales e introducir el uso de la geometría fractal en la disciplina? Las características propias de los fractales matemáticos se pueden abstraer y ser aplicadas al diseño gráfico. El presente documento precisamente pretende comprender a fondo el concepto fractal e integrarlo a la disciplina para su uso y explotación en dos campos muy concretos del diseño: la composición y el reticulado.
El presente texto explicará a grandes rasgos, de una manera sencilla y sin tener que utilizar las matemáticas, conceptos y temas clave para la comprensión profunda de la generación de fractales y su funcio- namiento. Contiene la información suficiente y clara para que sea digerible y asimilada por cualquier persona, esté o no familiarizada con el tema.
Este libro da por sentado que el diseñador está familiarizado con el diseño editorial, comprende y sabe hacer uso de una retícula; sus co- nocimientos previos harán que el diseñador pueda entender y aplicar el reticulado y la composición fractal al diseño gráfico. Este docu- mento no pretende analizar las interrelaciones del espacio y la retícula ni medir de qué manera afecta ésta en el espectador. Propone alternativas viables a las técnicas de composición co- munes como el uso de sección áurea, la generación de colum- nas, campos reticulares, módulos, medianiles, márgenes, etc.
A lo largo del Capítulo I el lector se irá familiarizando con los térmi- nos más usados y comprenderá poco a poco la historia y la esencia propia de los fractales matemáticos. Se conocerán los modelos frac- tales más comunes, desde los monstruos matemáticos del siglo XIX, como el conjunto de Cantor o el triángulo de Sierpinski, hasta la ima- gen matemática más impresionante jamás descubierta; el conjunto de Mandelbrot.
El Capítulo II explicará cómo el fractal se encuentra inmerso en el mundo que nos rodea, desde las estructuras naturales, como los ríos, las costas, las montañas y las nubes, hasta la asombrosa cualidad frac- tal del ADN para formar toda la cadena de la vida a partir de instruc- ciones bastante simples. Describirá cómo la geometría fractal estudia y aplica al fractal en diversas ramas de las ciencias y de las artes, tales como la biología, la medicina, las telecomunicaciones, la ecología, la pintura, la música, etc.
Después de comprender a fondo el concepto fractal y la manera en que la geometría fractal está aplicándose en las ciencias y las artes, nos damos cuenta que el fractal puede ser explotado en el diseño. El Capítulo III muestra dos campos muy concretos en los que se puede introducir el uso del concepto fractal: la composición y la retícula en el diseño gráfico.
El Capítulo IV aplica la geometría fractal en la disciplina del diseño gráfico con propuestas de composición y reticulado fractal, se abs- traen y utilizan las características de los fractales para ser integradas al proceso de diseño. Las propuestas aquí presentadas servirán de base para generar nuevas y diferentes composiciones fractales, variando las condiciones iniciales de cada una de ellas.
CAPÍTULO I El fractal
EL FRACTAL 1.1 Historia y antecedentes
1.1.1 Monstruos matemáticos
A finales del siglo XIX, los matemáticos habían puesto por es- crito una descripción formal de cómo debía ser una curva*, a grandes rasgos todo aquello que se dibujara sin levantar el lápiz; pero dentro de esa descripción había más cosas,
elementos que satisfacían esa definición pero que eran tan raros que ni siquiera se podía pensar en dibujarlos, eran vistos como monstruos o cosas más allá de lo real. Los científicos de aquella época supusie- ron que esas mismas funciones discontinuas eran muy escasas y que raramente surgirían en sistemas naturales, por lo que las consideraban excepciones a la matemática tradicional y simplemente las dejaban de lado, o si no las ignoraban realizaban aproximaciones a través de redondeos, lo cual aún hoy en día se continúa haciendo con éxito en diferentes sistemas, pero dichos redondeos se vuelven peligrosos en sistemas con una dinámica caótica. **
Un grupo de matemáticos comenzó a darse cuenta que en la natura- leza se daba muy seguido el fenómeno de irregularidades y que no eran excepciones como se suponía.
* “Sobre la historia del concepto topológico de curva.PDF”[en línea], disponible en: http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/ autores/pag/mat/Historia11.pdf [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013]. ** “Curso Geometría Fractal.PDF” [en línea], disponible en: http://fractaltec.org [Recuperado el día 11 de octubre de 2011].
Conjunto de Cantor
Si acercamos el Conjun- to de Cantor, el patrón sigue siendo el mismo, y si tomamos una par- te, podemos observar que mantiene la misma apariencia que el todo, es autosimilar.
Otra forma extraña fue presentada por el matemático sueco Hel- ge Von Koch en 1904, quien tomó un triángulo equilátero, el ter- cio central de cada lado se sustituye por dos líneas más grandes que la original, formando otro triángulo equilátero y así sucesivamente. Cada ciclo añade otro pequeño triángulo. El proceso se repite un nú- mero infinito de veces.
En aquella época se denominó “curva patológica”, ya que carecía de sentido según la forma de pensar de la gente acerca de las medidas, la geometría euclidiana, las figuras matemáticas, etc.*
* “+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponi- ble en: http://www.youtube.com/watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]
La curva de Koch es una para- doja, a la vista la curva parece finita, pero matemáticamente resulta infinita, lo que supone
que no se puede medir.
Ciertamente, esta figura ocupa un lugar concreto en el espa-
cio, sin embargo no ocupa dos dimensiones, y sus característi- cas hacen que tampoco sea un
objeto unidimensional.
Estas figuras se encuentran en una dimensión espacial entre 1
y 2, su dimensión es un número fraccionario.
El diseño gráfico necesita poner elementos dentro de determi- nado espacio, ¿será el fractal
alguna manera de realizar dicha tarea?
Triángulo de Sierpinski
1.1.2 Julia
El matemático Gastón Julia (1893-1978) fue uno de los grandes precursores de la matemática fractal. Se interesó por las iteraciones de números complejos. En Paris, en 1917 publicó el artículo “Infor- me sobre la iteración de las funciones racionales” de 199 páginas en la revista francesa Journal de Mathématiques Pures et Apliques, ello le mereció un galardón por parte de la Academia de ciencias de Francia.
Julia intentaba averiguar qué ocurre cuando se toma una simple ecua- ción y se itera mediante una retroalimentación, eso significa que to- mamos un número, lo introducimos en la fórmula y el resultado de ello se pone de vuelta al principio, se realiza la misma operación un número indeterminado de veces. La serie de números que se obtienen se denomina conjunto, el Conjunto de Julia.
Sin embargo, dibujar esta figura matemática a mano era una tarea im- posible. Se llevaron a cabo intentos para dibujarlo a mano mediante la aritmética, pero se había que retroalimentar millones de veces. El desarrollo de este nuevo tipo de matemáticas tenía que esperar hasta la invención de la computadora.
Conjunto de Julia.
y trazado en el plano cartesiano, generan- do una espectacular
imagen, la cual puede ser amplifica- da infinitamente, sin
perder detalle.
1.1.3 Mandelbrot *
Benoît Mandelbrot (1924) se interesó mucho por la posibilidad de que una regla o cierto tipo de orden determinaran el ruido que se proyectaba en las comunicaciones entre computadoras. Trazó la in- formación del ruido y lo que vio fue sorprendente y bastante curioso. Sin tener en cuenta la escala de tiempo, el gráfico resultaba idéntico a cualquier escala, un día, una hora, un segundo, pareciéndose mucho a los patrones del Conjunto de Cantor. Resultó haber encontrado interferencia con autosimilitud.
Sin embargo, una de sus aportaciones más significativas la pudo rea- lizar gracias a la invención de la computadora, ya que Mandelbrot la utilizó para transformar los números del conjunto de Julia en puntos en un gráfico. En marzo de 1980 creó su propia ecuación, una que combinaba todo el Conjunto de Julia en una sola imagen, cuando iteró su ecuación consiguió su propio conjunto de números: el Con- junto de Mandelbrot.
Z=z2+c Los números de esta ecuación son números complejos, coordenadas que representan un punto en el plano cartesiano. El aspecto más sig- nificativo de esta ecuación y de los fractales en general es que exis- te un tráfico de los números para ambos lados, retroalimentándose constantemente. Este proceso cíclico es llamado Iteración, donde se le da un valor inicial y se la aplica la fórmula, el resultado de ésta es tomado ahora como el valor inicial y se vuelve a aplicar el proceso,
infinitamente.
Algo que es demasiado remarcable acerca del set de Mandelbrot es que esas formas tan complejas son basadas en un principio increíble- mente simple, de hecho, toda persona que sepa multiplicar y sumar
* “+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponi- ble en: http://www.youtube.com/watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]
puede entender los principios en los que está basado. La razón por la que el descubrimiento de esta imagen tan espectacular es relativa- mente reciente es que esas operaciones simples se tienen que repetir miles de millones de veces, [de hecho, un término más exacto sería Iterar infinitamente], y eso sólo se pudo lograr con el surgimiento de la computadora.
Una de las revoluciones resultado de este descubrimiento, es que co- menzamos a darnos cuenta que las formas de la naturaleza no son suaves líneas continuas, comenzamos a notar que los objetos de la naturaleza son explicados por la geometría fractal. La geo- metría fractal es la manera por la cual la naturaleza se rige.
El Set de Mandelbrot es uno de los mayo- res descubrimientos en la historia de las
matemáticas. A par- tir de instrucciones
bastante simples, se pueden crear estruc-
turas infinitamente complejas.
IMG- Proyecto Universo FractalIMG- Proyecto Universo Fractal
Mediante esta imagen, Mandelbrot dejó en duda visiblemente las ideas que se tenían acerca de los límites de las matemáticas, se quita- ron el antifaz y la gente comenzó a ver formas que siempre habían estado ahí, pero habían sido invisibles.
El conjunto de Mandelbrot es un gran ejemplo de lo que se puede hacer en la geometría fractal, al igual que el círculo era el arquetípico ejemplo de la geometría clásica.
Recorrido a través del conjunto de Mandelbrot
Los colores son creados arbitrariamente, pero
no sin importancia, ya que el cambio gradual
de color se da por cada iteración aplicada.
IMG-Geometría Fractal
IMG-Geometría Fractal
IMG-Geometría Fractal
IMG-Geometría Fractal
Si lo acercas lo vuelves a ver, de modo que
hay autosimilitud, si se acerca muchas veces parece el mismo sitio pero en realidad no
es así, es solo que esa parte contiene la misma estructura que el punto de donde partimos, de
modo que una sola par- te es similar al todo.
IMG-Geometría Fractal IMG-Geometría Fractal
IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón
IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrónIMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón
Daniel Esquivel Bandera terrestre
CAPÍTULO II La Geometría
Fractal
LA GEOMETRÍA FRACTAL* La generación de fractales obedece a una simple regla que ha de regir el comportamiento y formación de estructuras más complejas.
Un fractal se forma al aplicar una transformación a una figura mate- mática u objeto partiendo de instrucciones relativamente simples, esa transformación se volverá a aplicar al objeto resultante una y otra vez haciéndolo cada vez más complejo. Como hemos visto en la teoría del caos, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales dan como resultado un número infinito de posibilidades. El universo como lo conocemos hoy no sería posible si las condiciones iniciales y las leyes físicas que lo rigen fueran minúsculamente diferentes.
La geometría fractal, al igual que la geometría tradicional, busca com- prender el espacio y representar diferentes aspectos de la realidad. Si muchos aspectos de la realidad están concebidos con base en un diseño fractal llenan un espacio y tiempo cuantificable, y sobre todo, manipulable.
La geometría fractal busca tener un entendimiento mayor del funcionamiento del mundo y aplicar ese conocimiento para nuestro beneficio. No podemos cambiar las leyes físicas, pero podemos manipular las condiciones iniciales del mundo a nues- tro alrededor.
Un diseñador manipula información sobre un espacio visual, ¿será el fractal una forma de llenar este espacio?
El atractivo visual de los fractales tal vez obedezca a la belleza mate- mática que los envuelve y las infinitas posibilidades de diseño hacen de éstos una posible herramienta a utilizar en el ámbito del diseño gráfico.
* “Geometría Fractal” [en línea]disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=CgVqX0a49HM [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]
IMG- Xeometría, Arte e NaturalezaIMG- Proyecto Universo Fractal
El fractal está presen- te en las formas que
adapta la naturaleza, esto es debido a la gran eficiencia en
recursos y su distri- bución por todo el
organismo.
rreteras, sólo necesita un pequeño trozo de
información, llamado gen (que es como una ecuación), el cual dirá
unas simples instruc- ciones que se repeti-
rán una y otra vez (se iterará la ecuación)
para concluir con una estructura sumamente compleja: una red de vasos sanguíneos que cubre por completo al
ser vivo y suministra eficientemente sangre
a todos los rincones del organismo.
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
en el Diseño Gráfico
COMPOSICIÓN Y RETICULADO EN EL DISEÑO GRÁFICO
3.1 La Composición en el diseño editorial*
«Desde Gutenberg la tipografía ha trabajado con reglas fijas que se aplican a la configuración de obras impresas. (…) Las reglas tipográfi- cas se refieren no solo a las distancias entre letras y entre palabras, al interlineado, al tipo de letra, etc., sino también al establecimiento de las proporciones de la mancha, de las columnas, de los márgenes y de
los formatos de página. (…)»
Josef Müller-Brockmann
E n el acto de construir y recibir un mensaje se establecen relaciones de tiempo y espacio. En una composición, el ordenamiento de los elementos en el plano con base en reglas de proporcionalidad le confiere a la pieza un
determinado ritmo y coherencia. Esto es utilizado por el diseña- dor como herramienta para establecer jerarquías visuales y manifestar con claridad su intención comunicacional.
La actividad humana puede observarse desde épocas muy remotas como una tendencia al orden. El deseo de organizar lo múltiple y diverso de los fenómenos y las cosas corresponde a una profunda necesidad del hombre.
Pitágoras (580-500 a.C.) enseñó que los números simples y sus re- laciones recíprocas, así como las figuras geométricas sencillas, repre- sentan el secreto íntimo de la naturaleza. Los griegos encontraron también las relaciones de la proporción áurea y demostraron que las mismas se encuentran en el cuerpo humano; los artistas y arquitectos, por su parte, basaron en ellas sus obras.
* “Tipografía y proporciones” [en línea], disponible en: http:// www.oert.org/tipografia-y-proporciones/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013].
En el Renacimiento, filósofos, arquitectos y artistas como Pitágoras, Vitrubio, Durero, y Le Corbusier, elaboraron sus teorías sobre la pro- porción, en las que expresan las ideas de la época. Los artistas recono- cieron en la medida y en las proporciones los principios de sus com- posiciones, estudiando y aplicando las matemáticas y la geometría.
Composición. “Es la organización estructural voluntaria de uni- dades visuales en un campo dado, de acuerdo a leyes perceptua- les con vistas a un resultado integrado y armónico.
Los elementos o sus equivalentes perceptuales, (unidades ópticas) reciben en la composición una distribución que tiene en cuenta su valor individual como parte, pero subordinada al total. Así en el campo, las direcciones principales del espacio aparecen represen- tadas por sus bordes exteriores y las líneas de fuerza de tensión de campo circunscripto. (Mapa estructural) Estos dictan las leyes del campo perceptivo a las que se ciñen las formas, líneas, colores, espacios, en una relación dinámica que los transforma en fuerzas perceptuales.”*
Organizar el espacio no responde a un capricho estético ni estilístico, es un recurso de diseño inteligente y práctico que permite la resolu- ción de problemas complejos de comunicación en forma múltiple y diversa, y que a la vez asegura la unidad y el comportamiento armó- nico de los elementos utilizados.
Proporción
1.f. Disposición, conformidad o correspondencia debida de las par- tes de una cosa con el todo o entre cosas relacionadas entre sí.
2.f. Mayor o menor dimensión de una cosa.
3.f. Mat. Igualdad de dos razones. Proporción aritmética, geomé- trica.
(Real Academia Española, 2001, 22º ed.).
* “Composición” [en línea], disponible en: http://www.esceno- grafia.cl/comp.htm/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013]
A continuación se mos- trarán algunos de los recursos que se utilizan para la composición en el diseño, desde el for- mato ISO 216 hasta el uso de la sección áurea. Es necesario entender sus principios para saber utilizarlos. Como vere- mos, algunos métodos se relacionan estrecha- mente con algunas ca- racterísticas de los frac- tales, esto hace aún más posible la utilización de una retícula fractal, basándose en los prin- cipios básicos que rigen las siguientes técnicas.
CAPÍTULO IV Introducción del fractal al
Diseño Gráfico
INTRODUCCIÓN DEL FRACTAL AL DISEÑO GRÁFICO
Hasta ahora hemos conocido las características del fractal y las aplicaciones en las que ha estado inmerso el concep- to. También se han explicado las partes que integran una retícula y la función que tiene cada tipo de retícula en un
diseño. Es momento ahora de aplicar esos conocimientos para crear nuevas formas de composición.
Las siguientes propuestas de composición y reticulado abstraen y utilizan las características de la geometría fractal para ser in- tegradas en el proceso de diseño. Cabe destacar que las propuestas aquí presentadas servirán de ejemplo para generar nuevas y diferen- tes composiciones, variando simplemente las propiedades iniciales de cada una de ellas.
El principio básico para la generación de retículas y composi- ciones fractales es la iteración: Se parte de un objeto inicial (rec- tángulo, triángulo, cuadrado, etc.) dentro del espacio de trabajo, este objeto tiene determinadas propiedades, las cuales se modificarán: se copiará y se le aplicará una transformación en su tamaño, su inclina- ción y/o su posición. Estas condiciones iniciales regirán las subsecuen- tes transformaciones, y sólo con modificar un poco alguna de ellas, el resultado final será muy diferente.
Los valores aquí dados han sido dados arbitrariamente, es tarea del diseñador experimentar con los valores y decidir qué resultados son óptimos y funcionales con base en sus necesidades. El límite es la imaginación.
“+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponible en: http://www.youtube.com/ watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]. “Composición” [en línea], disponible en: http://www.escenografia.cl/comp.htm/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013]. “Curso Geometría Fractal.PDF” [en línea], disponible en: http://fractaltec.org [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]. “Definición de composición” [en línea], disponible en: http://www.definicionabc.com/general/ composicion.php [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013]. ”Fractales: Los colores del infinito” [en línea] disponible en: http://www.youtube.com/ watch?v=5x9NPln3erM [Recuperado el día 11de octubre de 2011]. “Fractales, una nueva geometría” [en línea] Disponible en: http://usuarios.multimania.es/sisar [Recuperado el día 20 de marzo de 2011]. “Geometría Fractal” [en línea] disponible en: http://www.http://www.youtube.com/ watch?v=dKarsTZ0RjM [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]. “La sección áurea” [en línea], disponible en: http://www.fotonostra.com/grafico/reglaaurea. htm [Recuperado el día 6 de junio de 2012]. “Universo matemático, orden en el caos” [en línea], http://www.youtube.com/ watch?v=G2escEYqOUo [Recuperado el 11 de octubre de 2011]. “Sobre la historia del concepto topológico de curva.PDF”[en línea], disponible en: http://vir- tual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/Historia11.pdf [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013]. “Tipografía y proporciones” [en línea], disponible en: http://www.oert.org/tipografia-y-pro- porciones/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013].
“Antenas Fractales 2” [en línea], disponible en: http://www.vi.sualize.usaura_by_jo- yce_hinterding_installation_fractal_antenna_sound_picture_muez.html [Recuperado el día 11 de enero de 2013].
“Ciencia hoy, Arte de la ciencia exacta“ [en línea], disponible en: http://www. w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd” [Recuperado el día 11 de enero de 2013].
“Conjunto de Julia” [en línea], disponible en: http://math.youngzones.org/Frac- tal%20webpages/history_fractals.html [Recuperado el día 11 de enero de 2013].
DÁVILA, Mela (2005) Diseñar con y sin retícula, Ed. Gustavo Gill, Barcelona.
ELAM, Kimberly (2003), Geometría del diseño: estudio en proporción y composición, Ed. Trillas, México.
“Geometría Fractal” [en línea], disponible en: http://www.youtube.com/ watch?v=CgVqX0a49HM [Recuperado el día 11 de octubre de 2011].
“Las Matemáticas en el Cine” [en línea], disponible en: http://catedu.es/matemáti- cas_mundo/CINE/cine_estructura.htm [Recuperado el día 11 de enero de 2013].
“Los sistemas complejos, entre el caos y el patrón” [fuera de línea], [Recu- perado el día 11 de octubre de 2011].
Obras de fotografía e ilustración digital de Proyecto Fractales. Autor: Daniel Esquivel.
“Proyecto Universo Fractal” [en línea], disponible en: http://www.facebo- ok.com/pages/Proyecto-Universo Fractal/174811115917211?ref=hl [Recupe- rado el día 11 de enero de 2013].
“Tipografía y proporciones” [en línea], disponible en: http://www.oert.org/ tipografia-y-proporciones/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013].
“Xeometría, Arte e Natureza, Polígonos, Fractales, Caos” [en línea], dispo- nible en: http://www.youtube.com/watch?v=eIhqmyPDlf4 [Recuperado el día 11 de octubre de 2011].
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CAPÍTULO IV
MESOGRAFÍA
1.2 Comprendiendo al Fractal 1.2.1 La teoría del caos 1.2.2 ¿Qué es un fractal? 1.2.3 Características 1.2.4 Geometría Euclidiana VS Geometría Fractal
Capítulo II LA GEOMETRÍA FRACTAL
2.1 El Fractal en el mundo que nos rodea 2.1.1 Naturaleza 2.1.2 Seres vivos
2.2 El Fractal en las ciencias y sus aplicaciones 2.2.1 Medicina 2.2.2 Biología 2.2.3 Telecomunicaciones 2.2.4 Compresión de imágenes 2.2.5 Animación y efectos especiales 2.2.6 Ecología
2.3 El fractal en el arte 2.3.1 Música 2.3.2 Pintura
Capítulo III COMPOSICIÓN Y RETICULADO EN EL DISEÑO GRÁFICO
3.1 La Composición en el diseño editorial 3.1.1 El soporte 3.1.2 Rectángulo ternario y otros 3.1.3 Número de caracteres por línea 3.1.4 Columnas 3.1.5 Márgenes 3.1.6 La sección Áurea 3.1.7 La composición en el diseño
3.2 La retícula 3.2.1 Conceptos básicos 3.2.1 Retícula de manuscrito 3.2.3 Retícula modular 3.2.4 Retícula jerárquica 3.2.5 Deconstrucción de la retícula
Capítulo IV INTRODUCCIÓN DEL FRACTAL AL DISEÑO GRÁFICO
4.1 Composición fractal general 4.2 Composición fractal con ángulos 4.3 Reticulado fractal de columnas 4.4 Reticulado fractal jerárquico 4.5 Reticulado fractal modular
CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA MESOGRAFÍA REFERENCIAS DE IMÁGENES
mal.
AGRADECIMIENTOS
A partir de la experiencia personal e indagaciones propias, se ha tenido contacto con los fractales, que, llevados a la imagen, dan tanta información a la vista que el espectador lo único que hace en el momento es asombrarse.
Los fractales son tan fascinantes, asombrosos y complejos que se han encontrado usos a partir de sus cualidades y características, como la compresión de imágenes, la arquitectura, la música, etc. Sin embargo, han carecido de su uso y explotación en el diseño, tanto en la ense- ñanza en la licenciatura como en la práctica en la vida profesional del diseñador. Los sistemas educativos actuales en México no contem- plan al fractal en la trayectoria académica del estudiante, como un método de composición, ni como un movimiento artístico.
Una composición gráfica no es un sistema estándar, único. Los mis- mos elementos se pueden organizar según diferentes esquemas lógi- cos, deberán estar dispuestos según una retícula que les aporte equi- librio y estabilidad visual.
Dado su sinnúmero de aplicaciones, ¿por qué no utilizar las caracte- rísticas de los fractales en el quehacer del Diseñador Gráfico?
El estudio del concepto de la geometría fractal, una rama de las ma- temáticas relativamente nueva, ha generado una evolución increíble en la percepción del mundo y ha dado pauta a un sinnúmero de aplicaciones en prácticamente todas las ramas de la ciencia y el arte, entre las que se encuentran la física, la biología, la geografía, la medicina, la música, la poesía, la arquitectura, la producción de efectos especiales, las telecomunicaciones, etc.
INTRODUCCIÓN
En su sentido más amplio, la palabra composición refiere
a la acción y resultado de componer, en tanto, la mis-
ma presenta otras referencias más específicas de acuerdo al
contexto en el cual se emplee la palabra.*
Para el mundo de las artes como la escultura, la fotogra-
fía, la pintura, entre otras, una composición será el arte de
distribuir los elementos de una obra. Por ejemplo, la com-
posición fotográfica refiere a aquella manera en la cual se ordenarán los objetos vistos
dentro del encuadre.
Al conocer a fondo al fractal, se ha notado que su flexibilidad para adaptarse y vincularse virtualmente a cualquier aspecto de la ciencia posibilita su uso en el campo de diseño. Sin embar- go, poco se ha hecho para introducir y vincular la geometría fractal al diseño gráfico.
A partir de esto, surge la interrogante: ¿Cómo puede el diseñador gráfico explotar las características de los fractales e introducir el uso de la geometría fractal en la disciplina? Las características propias de los fractales matemáticos se pueden abstraer y ser aplicadas al diseño gráfico. El presente documento precisamente pretende comprender a fondo el concepto fractal e integrarlo a la disciplina para su uso y explotación en dos campos muy concretos del diseño: la composición y el reticulado.
El presente texto explicará a grandes rasgos, de una manera sencilla y sin tener que utilizar las matemáticas, conceptos y temas clave para la comprensión profunda de la generación de fractales y su funcio- namiento. Contiene la información suficiente y clara para que sea digerible y asimilada por cualquier persona, esté o no familiarizada con el tema.
Este libro da por sentado que el diseñador está familiarizado con el diseño editorial, comprende y sabe hacer uso de una retícula; sus co- nocimientos previos harán que el diseñador pueda entender y aplicar el reticulado y la composición fractal al diseño gráfico. Este docu- mento no pretende analizar las interrelaciones del espacio y la retícula ni medir de qué manera afecta ésta en el espectador. Propone alternativas viables a las técnicas de composición co- munes como el uso de sección áurea, la generación de colum- nas, campos reticulares, módulos, medianiles, márgenes, etc.
A lo largo del Capítulo I el lector se irá familiarizando con los térmi- nos más usados y comprenderá poco a poco la historia y la esencia propia de los fractales matemáticos. Se conocerán los modelos frac- tales más comunes, desde los monstruos matemáticos del siglo XIX, como el conjunto de Cantor o el triángulo de Sierpinski, hasta la ima- gen matemática más impresionante jamás descubierta; el conjunto de Mandelbrot.
El Capítulo II explicará cómo el fractal se encuentra inmerso en el mundo que nos rodea, desde las estructuras naturales, como los ríos, las costas, las montañas y las nubes, hasta la asombrosa cualidad frac- tal del ADN para formar toda la cadena de la vida a partir de instruc- ciones bastante simples. Describirá cómo la geometría fractal estudia y aplica al fractal en diversas ramas de las ciencias y de las artes, tales como la biología, la medicina, las telecomunicaciones, la ecología, la pintura, la música, etc.
Después de comprender a fondo el concepto fractal y la manera en que la geometría fractal está aplicándose en las ciencias y las artes, nos damos cuenta que el fractal puede ser explotado en el diseño. El Capítulo III muestra dos campos muy concretos en los que se puede introducir el uso del concepto fractal: la composición y la retícula en el diseño gráfico.
El Capítulo IV aplica la geometría fractal en la disciplina del diseño gráfico con propuestas de composición y reticulado fractal, se abs- traen y utilizan las características de los fractales para ser integradas al proceso de diseño. Las propuestas aquí presentadas servirán de base para generar nuevas y diferentes composiciones fractales, variando las condiciones iniciales de cada una de ellas.
CAPÍTULO I El fractal
EL FRACTAL 1.1 Historia y antecedentes
1.1.1 Monstruos matemáticos
A finales del siglo XIX, los matemáticos habían puesto por es- crito una descripción formal de cómo debía ser una curva*, a grandes rasgos todo aquello que se dibujara sin levantar el lápiz; pero dentro de esa descripción había más cosas,
elementos que satisfacían esa definición pero que eran tan raros que ni siquiera se podía pensar en dibujarlos, eran vistos como monstruos o cosas más allá de lo real. Los científicos de aquella época supusie- ron que esas mismas funciones discontinuas eran muy escasas y que raramente surgirían en sistemas naturales, por lo que las consideraban excepciones a la matemática tradicional y simplemente las dejaban de lado, o si no las ignoraban realizaban aproximaciones a través de redondeos, lo cual aún hoy en día se continúa haciendo con éxito en diferentes sistemas, pero dichos redondeos se vuelven peligrosos en sistemas con una dinámica caótica. **
Un grupo de matemáticos comenzó a darse cuenta que en la natura- leza se daba muy seguido el fenómeno de irregularidades y que no eran excepciones como se suponía.
* “Sobre la historia del concepto topológico de curva.PDF”[en línea], disponible en: http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/ autores/pag/mat/Historia11.pdf [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013]. ** “Curso Geometría Fractal.PDF” [en línea], disponible en: http://fractaltec.org [Recuperado el día 11 de octubre de 2011].
Conjunto de Cantor
Si acercamos el Conjun- to de Cantor, el patrón sigue siendo el mismo, y si tomamos una par- te, podemos observar que mantiene la misma apariencia que el todo, es autosimilar.
Otra forma extraña fue presentada por el matemático sueco Hel- ge Von Koch en 1904, quien tomó un triángulo equilátero, el ter- cio central de cada lado se sustituye por dos líneas más grandes que la original, formando otro triángulo equilátero y así sucesivamente. Cada ciclo añade otro pequeño triángulo. El proceso se repite un nú- mero infinito de veces.
En aquella época se denominó “curva patológica”, ya que carecía de sentido según la forma de pensar de la gente acerca de las medidas, la geometría euclidiana, las figuras matemáticas, etc.*
* “+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponi- ble en: http://www.youtube.com/watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]
La curva de Koch es una para- doja, a la vista la curva parece finita, pero matemáticamente resulta infinita, lo que supone
que no se puede medir.
Ciertamente, esta figura ocupa un lugar concreto en el espa-
cio, sin embargo no ocupa dos dimensiones, y sus característi- cas hacen que tampoco sea un
objeto unidimensional.
Estas figuras se encuentran en una dimensión espacial entre 1
y 2, su dimensión es un número fraccionario.
El diseño gráfico necesita poner elementos dentro de determi- nado espacio, ¿será el fractal
alguna manera de realizar dicha tarea?
Triángulo de Sierpinski
1.1.2 Julia
El matemático Gastón Julia (1893-1978) fue uno de los grandes precursores de la matemática fractal. Se interesó por las iteraciones de números complejos. En Paris, en 1917 publicó el artículo “Infor- me sobre la iteración de las funciones racionales” de 199 páginas en la revista francesa Journal de Mathématiques Pures et Apliques, ello le mereció un galardón por parte de la Academia de ciencias de Francia.
Julia intentaba averiguar qué ocurre cuando se toma una simple ecua- ción y se itera mediante una retroalimentación, eso significa que to- mamos un número, lo introducimos en la fórmula y el resultado de ello se pone de vuelta al principio, se realiza la misma operación un número indeterminado de veces. La serie de números que se obtienen se denomina conjunto, el Conjunto de Julia.
Sin embargo, dibujar esta figura matemática a mano era una tarea im- posible. Se llevaron a cabo intentos para dibujarlo a mano mediante la aritmética, pero se había que retroalimentar millones de veces. El desarrollo de este nuevo tipo de matemáticas tenía que esperar hasta la invención de la computadora.
Conjunto de Julia.
y trazado en el plano cartesiano, generan- do una espectacular
imagen, la cual puede ser amplifica- da infinitamente, sin
perder detalle.
1.1.3 Mandelbrot *
Benoît Mandelbrot (1924) se interesó mucho por la posibilidad de que una regla o cierto tipo de orden determinaran el ruido que se proyectaba en las comunicaciones entre computadoras. Trazó la in- formación del ruido y lo que vio fue sorprendente y bastante curioso. Sin tener en cuenta la escala de tiempo, el gráfico resultaba idéntico a cualquier escala, un día, una hora, un segundo, pareciéndose mucho a los patrones del Conjunto de Cantor. Resultó haber encontrado interferencia con autosimilitud.
Sin embargo, una de sus aportaciones más significativas la pudo rea- lizar gracias a la invención de la computadora, ya que Mandelbrot la utilizó para transformar los números del conjunto de Julia en puntos en un gráfico. En marzo de 1980 creó su propia ecuación, una que combinaba todo el Conjunto de Julia en una sola imagen, cuando iteró su ecuación consiguió su propio conjunto de números: el Con- junto de Mandelbrot.
Z=z2+c Los números de esta ecuación son números complejos, coordenadas que representan un punto en el plano cartesiano. El aspecto más sig- nificativo de esta ecuación y de los fractales en general es que exis- te un tráfico de los números para ambos lados, retroalimentándose constantemente. Este proceso cíclico es llamado Iteración, donde se le da un valor inicial y se la aplica la fórmula, el resultado de ésta es tomado ahora como el valor inicial y se vuelve a aplicar el proceso,
infinitamente.
Algo que es demasiado remarcable acerca del set de Mandelbrot es que esas formas tan complejas son basadas en un principio increíble- mente simple, de hecho, toda persona que sepa multiplicar y sumar
* “+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponi- ble en: http://www.youtube.com/watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]
puede entender los principios en los que está basado. La razón por la que el descubrimiento de esta imagen tan espectacular es relativa- mente reciente es que esas operaciones simples se tienen que repetir miles de millones de veces, [de hecho, un término más exacto sería Iterar infinitamente], y eso sólo se pudo lograr con el surgimiento de la computadora.
Una de las revoluciones resultado de este descubrimiento, es que co- menzamos a darnos cuenta que las formas de la naturaleza no son suaves líneas continuas, comenzamos a notar que los objetos de la naturaleza son explicados por la geometría fractal. La geo- metría fractal es la manera por la cual la naturaleza se rige.
El Set de Mandelbrot es uno de los mayo- res descubrimientos en la historia de las
matemáticas. A par- tir de instrucciones
bastante simples, se pueden crear estruc-
turas infinitamente complejas.
IMG- Proyecto Universo FractalIMG- Proyecto Universo Fractal
Mediante esta imagen, Mandelbrot dejó en duda visiblemente las ideas que se tenían acerca de los límites de las matemáticas, se quita- ron el antifaz y la gente comenzó a ver formas que siempre habían estado ahí, pero habían sido invisibles.
El conjunto de Mandelbrot es un gran ejemplo de lo que se puede hacer en la geometría fractal, al igual que el círculo era el arquetípico ejemplo de la geometría clásica.
Recorrido a través del conjunto de Mandelbrot
Los colores son creados arbitrariamente, pero
no sin importancia, ya que el cambio gradual
de color se da por cada iteración aplicada.
IMG-Geometría Fractal
IMG-Geometría Fractal
IMG-Geometría Fractal
IMG-Geometría Fractal
Si lo acercas lo vuelves a ver, de modo que
hay autosimilitud, si se acerca muchas veces parece el mismo sitio pero en realidad no
es así, es solo que esa parte contiene la misma estructura que el punto de donde partimos, de
modo que una sola par- te es similar al todo.
IMG-Geometría Fractal IMG-Geometría Fractal
IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón
IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrónIMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón
Daniel Esquivel Bandera terrestre
CAPÍTULO II La Geometría
Fractal
LA GEOMETRÍA FRACTAL* La generación de fractales obedece a una simple regla que ha de regir el comportamiento y formación de estructuras más complejas.
Un fractal se forma al aplicar una transformación a una figura mate- mática u objeto partiendo de instrucciones relativamente simples, esa transformación se volverá a aplicar al objeto resultante una y otra vez haciéndolo cada vez más complejo. Como hemos visto en la teoría del caos, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales dan como resultado un número infinito de posibilidades. El universo como lo conocemos hoy no sería posible si las condiciones iniciales y las leyes físicas que lo rigen fueran minúsculamente diferentes.
La geometría fractal, al igual que la geometría tradicional, busca com- prender el espacio y representar diferentes aspectos de la realidad. Si muchos aspectos de la realidad están concebidos con base en un diseño fractal llenan un espacio y tiempo cuantificable, y sobre todo, manipulable.
La geometría fractal busca tener un entendimiento mayor del funcionamiento del mundo y aplicar ese conocimiento para nuestro beneficio. No podemos cambiar las leyes físicas, pero podemos manipular las condiciones iniciales del mundo a nues- tro alrededor.
Un diseñador manipula información sobre un espacio visual, ¿será el fractal una forma de llenar este espacio?
El atractivo visual de los fractales tal vez obedezca a la belleza mate- mática que los envuelve y las infinitas posibilidades de diseño hacen de éstos una posible herramienta a utilizar en el ámbito del diseño gráfico.
* “Geometría Fractal” [en línea]disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=CgVqX0a49HM [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]
IMG- Xeometría, Arte e NaturalezaIMG- Proyecto Universo Fractal
El fractal está presen- te en las formas que
adapta la naturaleza, esto es debido a la gran eficiencia en
recursos y su distri- bución por todo el
organismo.
rreteras, sólo necesita un pequeño trozo de
información, llamado gen (que es como una ecuación), el cual dirá
unas simples instruc- ciones que se repeti-
rán una y otra vez (se iterará la ecuación)
para concluir con una estructura sumamente compleja: una red de vasos sanguíneos que cubre por completo al
ser vivo y suministra eficientemente sangre
a todos los rincones del organismo.
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
en el Diseño Gráfico
COMPOSICIÓN Y RETICULADO EN EL DISEÑO GRÁFICO
3.1 La Composición en el diseño editorial*
«Desde Gutenberg la tipografía ha trabajado con reglas fijas que se aplican a la configuración de obras impresas. (…) Las reglas tipográfi- cas se refieren no solo a las distancias entre letras y entre palabras, al interlineado, al tipo de letra, etc., sino también al establecimiento de las proporciones de la mancha, de las columnas, de los márgenes y de
los formatos de página. (…)»
Josef Müller-Brockmann
E n el acto de construir y recibir un mensaje se establecen relaciones de tiempo y espacio. En una composición, el ordenamiento de los elementos en el plano con base en reglas de proporcionalidad le confiere a la pieza un
determinado ritmo y coherencia. Esto es utilizado por el diseña- dor como herramienta para establecer jerarquías visuales y manifestar con claridad su intención comunicacional.
La actividad humana puede observarse desde épocas muy remotas como una tendencia al orden. El deseo de organizar lo múltiple y diverso de los fenómenos y las cosas corresponde a una profunda necesidad del hombre.
Pitágoras (580-500 a.C.) enseñó que los números simples y sus re- laciones recíprocas, así como las figuras geométricas sencillas, repre- sentan el secreto íntimo de la naturaleza. Los griegos encontraron también las relaciones de la proporción áurea y demostraron que las mismas se encuentran en el cuerpo humano; los artistas y arquitectos, por su parte, basaron en ellas sus obras.
* “Tipografía y proporciones” [en línea], disponible en: http:// www.oert.org/tipografia-y-proporciones/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013].
En el Renacimiento, filósofos, arquitectos y artistas como Pitágoras, Vitrubio, Durero, y Le Corbusier, elaboraron sus teorías sobre la pro- porción, en las que expresan las ideas de la época. Los artistas recono- cieron en la medida y en las proporciones los principios de sus com- posiciones, estudiando y aplicando las matemáticas y la geometría.
Composición. “Es la organización estructural voluntaria de uni- dades visuales en un campo dado, de acuerdo a leyes perceptua- les con vistas a un resultado integrado y armónico.
Los elementos o sus equivalentes perceptuales, (unidades ópticas) reciben en la composición una distribución que tiene en cuenta su valor individual como parte, pero subordinada al total. Así en el campo, las direcciones principales del espacio aparecen represen- tadas por sus bordes exteriores y las líneas de fuerza de tensión de campo circunscripto. (Mapa estructural) Estos dictan las leyes del campo perceptivo a las que se ciñen las formas, líneas, colores, espacios, en una relación dinámica que los transforma en fuerzas perceptuales.”*
Organizar el espacio no responde a un capricho estético ni estilístico, es un recurso de diseño inteligente y práctico que permite la resolu- ción de problemas complejos de comunicación en forma múltiple y diversa, y que a la vez asegura la unidad y el comportamiento armó- nico de los elementos utilizados.
Proporción
1.f. Disposición, conformidad o correspondencia debida de las par- tes de una cosa con el todo o entre cosas relacionadas entre sí.
2.f. Mayor o menor dimensión de una cosa.
3.f. Mat. Igualdad de dos razones. Proporción aritmética, geomé- trica.
(Real Academia Española, 2001, 22º ed.).
* “Composición” [en línea], disponible en: http://www.esceno- grafia.cl/comp.htm/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013]
A continuación se mos- trarán algunos de los recursos que se utilizan para la composición en el diseño, desde el for- mato ISO 216 hasta el uso de la sección áurea. Es necesario entender sus principios para saber utilizarlos. Como vere- mos, algunos métodos se relacionan estrecha- mente con algunas ca- racterísticas de los frac- tales, esto hace aún más posible la utilización de una retícula fractal, basándose en los prin- cipios básicos que rigen las siguientes técnicas.
CAPÍTULO IV Introducción del fractal al
Diseño Gráfico
INTRODUCCIÓN DEL FRACTAL AL DISEÑO GRÁFICO
Hasta ahora hemos conocido las características del fractal y las aplicaciones en las que ha estado inmerso el concep- to. También se han explicado las partes que integran una retícula y la función que tiene cada tipo de retícula en un
diseño. Es momento ahora de aplicar esos conocimientos para crear nuevas formas de composición.
Las siguientes propuestas de composición y reticulado abstraen y utilizan las características de la geometría fractal para ser in- tegradas en el proceso de diseño. Cabe destacar que las propuestas aquí presentadas servirán de ejemplo para generar nuevas y diferen- tes composiciones, variando simplemente las propiedades iniciales de cada una de ellas.
El principio básico para la generación de retículas y composi- ciones fractales es la iteración: Se parte de un objeto inicial (rec- tángulo, triángulo, cuadrado, etc.) dentro del espacio de trabajo, este objeto tiene determinadas propiedades, las cuales se modificarán: se copiará y se le aplicará una transformación en su tamaño, su inclina- ción y/o su posición. Estas condiciones iniciales regirán las subsecuen- tes transformaciones, y sólo con modificar un poco alguna de ellas, el resultado final será muy diferente.
Los valores aquí dados han sido dados arbitrariamente, es tarea del diseñador experimentar con los valores y decidir qué resultados son óptimos y funcionales con base en sus necesidades. El límite es la imaginación.
“+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponible en: http://www.youtube.com/ watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]. “Composición” [en línea], disponible en: http://www.escenografia.cl/comp.htm/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013]. “Curso Geometría Fractal.PDF” [en línea], disponible en: http://fractaltec.org [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]. “Definición de composición” [en línea], disponible en: http://www.definicionabc.com/general/ composicion.php [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013]. ”Fractales: Los colores del infinito” [en línea] disponible en: http://www.youtube.com/ watch?v=5x9NPln3erM [Recuperado el día 11de octubre de 2011]. “Fractales, una nueva geometría” [en línea] Disponible en: http://usuarios.multimania.es/sisar [Recuperado el día 20 de marzo de 2011]. “Geometría Fractal” [en línea] disponible en: http://www.http://www.youtube.com/ watch?v=dKarsTZ0RjM [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]. “La sección áurea” [en línea], disponible en: http://www.fotonostra.com/grafico/reglaaurea. htm [Recuperado el día 6 de junio de 2012]. “Universo matemático, orden en el caos” [en línea], http://www.youtube.com/ watch?v=G2escEYqOUo [Recuperado el 11 de octubre de 2011]. “Sobre la historia del concepto topológico de curva.PDF”[en línea], disponible en: http://vir- tual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/Historia11.pdf [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013]. “Tipografía y proporciones” [en línea], disponible en: http://www.oert.org/tipografia-y-pro- porciones/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013].
“Antenas Fractales 2” [en línea], disponible en: http://www.vi.sualize.usaura_by_jo- yce_hinterding_installation_fractal_antenna_sound_picture_muez.html [Recuperado el día 11 de enero de 2013].
“Ciencia hoy, Arte de la ciencia exacta“ [en línea], disponible en: http://www. w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd” [Recuperado el día 11 de enero de 2013].
“Conjunto de Julia” [en línea], disponible en: http://math.youngzones.org/Frac- tal%20webpages/history_fractals.html [Recuperado el día 11 de enero de 2013].
DÁVILA, Mela (2005) Diseñar con y sin retícula, Ed. Gustavo Gill, Barcelona.
ELAM, Kimberly (2003), Geometría del diseño: estudio en proporción y composición, Ed. Trillas, México.
“Geometría Fractal” [en línea], disponible en: http://www.youtube.com/ watch?v=CgVqX0a49HM [Recuperado el día 11 de octubre de 2011].
“Las Matemáticas en el Cine” [en línea], disponible en: http://catedu.es/matemáti- cas_mundo/CINE/cine_estructura.htm [Recuperado el día 11 de enero de 2013].
“Los sistemas complejos, entre el caos y el patrón” [fuera de línea], [Recu- perado el día 11 de octubre de 2011].
Obras de fotografía e ilustración digital de Proyecto Fractales. Autor: Daniel Esquivel.
“Proyecto Universo Fractal” [en línea], disponible en: http://www.facebo- ok.com/pages/Proyecto-Universo Fractal/174811115917211?ref=hl [Recupe- rado el día 11 de enero de 2013].
“Tipografía y proporciones” [en línea], disponible en: http://www.oert.org/ tipografia-y-proporciones/ [Recuperado el día 24 de septiembre de 2013].
“Xeometría, Arte e Natureza, Polígonos, Fractales, Caos” [en línea], dispo- nible en: http://www.youtube.com/watch?v=eIhqmyPDlf4 [Recuperado el día 11 de octubre de 2011].
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