"----..-

EXERCíCIOS 4.1.. ',"'

;,-'~'" ti ;n n:ri/a s

Nos exercícios 1-8, determine uma primitiva para cada função.Faça mentalmente quantas você puder. Verifique suas respostasdiferenciando.

8. (a) sec x tg x7TX 7TX

(b) 4 sec 3x tg 3x (c) sec 2: tg 2:

,-~._--_. .,---.-..---

C.3JcL11:~;:nd0ki'~~graJ5

Calcule as integrais nos exercícios 9-26. Verifique suas respostasdiferenciando.

9. f (x + 1) dx

10. J (3t' + ~)dt

11. f (1 - -L )dxX X2 + 1

12. J (:,-X'-~)dx

13.J (e~' +4') dx

14. f (y'; + ~)dx

I5. J (~- )/.)dY

16.J (V; + ~)dX

17.f (~- y;/4)dy

1. (a) 6x (b) X7 (c) X7 - 6x + 8

2. (a) -3X-4 (b) X-4 (c) X-4 + 2x + 3

2(b) -.L (c) X3 - .l3. (a) -"3x 2x3 X3

4. (a) y'; (b) --L (c) y';+2y';

5 () -113 (b) 1 X-2I3 (c) -1 X-4/3. a 3x 3 3

6. (a) - 7Tsen 1TX (b) 3 sen x (c) sen 1TX- 3 sen 3x

7. (a) sec2x2 2 X 2 3x(b) - sec - (c) -sec -3 3 2

324 Capítulo 4: Integração

18. f 2x(1 - X-3) dx

. 19. J tVit~ Vi dt

20. J (-2 cos t)dt

21. J 7 sen ~ d8

22. J (-3 cosec2 x) dx

23. J (1 + tg2 8) d8 (Dica: 1 + tg2 0= sec28)

24. J cotg2x dx (Dica: 1 + coti x = cosec2x)

25. J cos 8 (tg 8 + sec (J)d8

26. f cosec 8 d8cosec 8 - sen 8

Verificando Fórmulas de IntegraçãoVerifique as fórmulas de integral nos exercícios 27-30 diferen-ciando. Na Seção 4.2, veremos de onde vêm fórmulas como essa.

J(7x - 2)4

27. (7x - 2)3dx = 28 + C

28. J (3x + 5)-2 dx = . (3x ~ 5)-1 + C

29. f cosect; 1) dx = -3 cotg(X; 1) +C

30. J x 11dx = ln (x + 1) + C, x > -1

31. Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifiquesucintamente as respostas.

f X2

(a) x senxdx = "2 senx + C

(b) J x sen x dx = -x cosx + C

(c) J x sen x dx = -x cos x + sen x + C32. Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique

sucintamente as respostas.

J(2x + 1)3

(a) (2x + 1)2dx = 3 + C

(b) f 3(2x + 1)2dx = (2x + 1)3+ C

(c) J 6(2x + 1)2dx = (2x + 1)3+ C

Problemas de Valor Inicial

33. Escrevendopara aprender Qual dos gráficos a seguir mostra asolução do problema de valor inicial

dy = 2x,dx y = 4 quandox = I?

y y

4

3

-1 Ox

-1 O

(a) (b)

y

x x

(c)

Justifique suas respostas.

34. EscrevendC!para aprender Qual dos seguintes gráficos mostra asolução do problema de valor inicial

dydx = -x, y = 1 quando x = -I?

Justifique suas respostas.

Re$olva os problemas de valor inicial nos exercícios 35-46.

dy35. dx = 2x - 7,

dy 136. -d =2+X,x x

37 dy = 3 -2/3. dx x ,

y(2) = O

x > O; y(2) = 1

y(-I) = -5

dy 138. dx = 2x ' y(1) = -1

ds39. dt = COSt + sen t, S(1T)= 1

40. dr = - 1T S 8dO en 1T, r(0) = O

41. dv = 3dt t~' t> 1,v(2) = O

42. dv = -L 2dt 1 + t2 + sec t, v(O) = 1

d2y43. 2 = 2 - 6x; y'(O) = 4, y(O)= 1dx .

d2r 2 drI

44. - = -; - = 1, r(1) = 1dt2 t3 dt t=1

y y y\f/O" x

(-1,O \ x õ'-) x\

(a) (b) . (c)

45. d3y ==6; y"(O)== -8, y/(O) ==O, y(O) ==5. dX3

46. .l4) ==. -sen t + cos t; y/II(O) == 7, y"(O) == y'(O) == -1,y(O) ==O

Determinando a Posição a partir da VelocidadeOs exercícios 47 e 48 dão a velocidade v ==dsldt e a posição ini-cial de um corpo que se desloca ao longo de um eixo coordenado.Detennme a posição do corpo no instante t.

47. v ==9,St + 5, s(O)==10

2 2t 248. v ==Ti cos 'TT" s('TT') ==1

Determinando a Posição a partir da AceleraçãoOs exercícios 49 e 50 dão a aceleração a ==d2sldt2, a velocidadeinicial e a posição inicial de um corpo que se desloca em um eixocoordenado. Determine a posição do corpo no instante t.

49. a ==32; v(O) ==20, s(O) ==5

50. a ==-4 sen 2t; v(O) ==2, s(O) ==-3----

Determinando Curvas51. Determinea curvay ==f(x) no plano xy que passa pelo ponto

(9,4) ecujocoeficienteangularemcadapontoé 3~.

52. (a) Determineuma curva y ==f(x) com as seguintespro-priedades:

. d2y .I. - == 6x4X2

ii. Seu gráfico passa pelo ponto (O, 1), tendo aí uma tan-

gente horizontal.

(b) Escrevendopara aprenderQuantas curvas como essa exis-tem? Como você sabe?

CUí'vasSolução (Integrais)Os exercícios 53-56 mostram curvas solução para equações dife-renciais. Em cada exercício, determine uma equação para a curvaque passa através do ponto marcadó.

53. y

x

4.1 Integrais Indefinidas, Equações Diferenciais e Modelagem 325

55. 56.dydx = senx- cosx

y

Aplicações

57. Quedana Lua Na Lua, a aceleração da gravidade é de 1,6 mls2.Se uma pedra cai em um buraco, qual será sua velocidade ime-diatamente antes de atingir o fundo~'30.s depois?

58. Decolandoda TerraUm foguete decolada superfícieterrestrecom uma aceleração constante de 20 m/s2. Qual será sua ve-locidade 1 min depois?

59. Parandoumcarroa tempoVocêestá dirigindoem umarodoviaa uma velocidade constante de 60 mph (88 pés/s) quando vêum acidente à frente e aciona os freios. Que desaceleraçãoconstante é necessária para frear seu carro no espaço de 242pés? Para determiná-Ia, siga os passos a seguir.

Passo 1: Resolva o problema do yalor inicial

d2s-==-kdrEquação diferencial: (k constante)

Condições iniciais:dsdt == 88 e s == Oquando t ==O.

Medjndo tempo e distância apartir do momento em que osfreios são acionados.

Passo 2: Determine o valor de t que torna ds/dt == O (a res-posta envolve k).

x

Passo 3: Determineo valor de k que tornas == 242 para ovalor de t que você encontrou no passo 2.

60. Freandouma motocicleta Um programa estadual de segurançado motociclista em lllinois exige que os condutores dirigindo a30 mph (44 pés/s) estejam aptos a parar no espaço de 45 pés.Que desaceleração constante é necessária para fazer isso?

61. Movimento ao longo de um eixo cartesianoUma partícula sedesloca ao longo de um eixo coordenado com aceleração

a == d2s1 dt2 = 15Yt - (3/Yt), desde que ds/dt = 4 e s ==Oquando t = 1. Determine

(a) a velocidade v == dsI dt em termos.de t

(b) a posição s em termos de t.

li 62. O marteloe a pena Quando o astronauta da Apollo 15 DavidScottjogou um marteloe uma pena na Lua para demonstrar.que no vácuo todos os corpos caem com a mesma aceleração

326 Capítulo 4: Integração

(constante), ele os jogou de aproximadamente 4 pés acima dosolo. A cobertura televisiva do evento mostra o martelo e apena caindo mais lentamente que na Terra, onde, no vácuo,eles deveriam ter gasto só meio segundo para cair os "4 pés.Quanto tempo gastaram o martelo e a pena para cair os 4 pésna Lua? Para descobrir, resolva o seguinte problema do valorinicial para s em função de t. Depois determine o valor de t

. que toma s igual a O.

Equação diferencial:d2s , 2- = -5,2 pes/sdr .

ds- = Oe s = 4 quandot = OdtCondições iniciais:

63. MovimentocomaceleraçãoconstanteA equação-padrãopara aposição s de um corpo que se desloca com aceleração a cons-tante ao longo de um eixo coordenado é

s = !! t2 + vot + so,2 (2)

onde Voe Sosão a velocidade e a posição no tempo t =O.De-duza essa equação resolvendo o problema do valor inicial .

d2s-=adrEquação diferencial:

Condições iniciais:dsdt = Vo e s = Soquando t = O.

64. Escrevendopara aprender:Quedalivre próximoà superticiedoplaneta (Continuaçãodo Exercício63) Para a queda livrepróximo à superfície de um planeta onde a aceleração dagravidade tem uma magnitude constante de g unidades decomprimento/s2,a Equação (2) do Exercício 63 toma a forma

- 1 2

S - -2"gt + vot+ so, (3)

onde s é a altura do corpo acima da superfície. A equação temsinal nega~vo, pois a aceleração atua para baixo, no sentido dadiminuição de s. A velocidade Voserá positiva se o objeto es-tiver subindo no tempo t = O e negativa se' o objeto estivercaindo.

Em vez de usar o resultado do Exercício 63, você podededuzir a equação (3) diretamente resolvendo um problemaadequado de valor inicial. Que problema de valor inicial? Re-solva.,o para certificar-se de que é o problema certo, expli-cando os passos da solução conforme você avança.

Teoria e Exemplos65. DeterminClndoo deslocamentoa partir de umaprimitiva da veioci-

dade

(a) Suponha que a velocidade de um corpo que se desloca aolongo do eixo s seja

ds- = v =9,8t -,3.dt

i. Determine o deslocamento do corpo no intervalo detempo' de t = 1 a t = 3 dado que s = 5 quando t = O.

ii. Determine o deslocamento do corpo de' t = 1 a t = 3

dado que s = -2 quandot = O.

fi. Agora determine o deslocamento do corpo de t = 1 at = 3 dado que s = so'quando t = O.

(b) Suponha que a posição s de um corpo que se desloca aolongo de um eixo cartesiano seja uma função diferen-ciável do tempo 1. Seria mesmo verdade que se vocêconhecer uma primitiva da função velocidade ds/dt vocêpode determinar o deslocamento de t = a a t = -b ainda

que não saiba a posição exata do corpo em nenhum dessestempos? Justifique sua resposta.

66. Síi1ljulurídor1êciesoluções Se ambas as funções diferenciáveis y= F(x) e y = G(x) resolvem o problema do valor inicial

dydx = f(x), y(xo)= Yo,

em um intervalo I, deveria ser F(x) = G(x) para cada x em I?Justifique sua resposta.

,.A;:E":~'f~

USANDO O COMPUTADOR

U~e um SAC para resolver os problemas de valor inicial nos exer-cícios 67-72. Faça um gráfico das curvas integrais.

67. y' = COS2x + senx, Y(7T)= 1

68. y' = x~, y(ln 2) = O

69. y' = lnx, y(l) = 2

170. y' = , y(O) =2

V4 - X2

71. y" = 3ex12 + x, y(O)= -1, y'(O) = 4

72. y" = ~ +~, y(1) = O, y' (1) = O