Matemática Aplicada
UNIDADE III
RESUMO DE APOSTILA
Educação a Distância – EaD
Professor: Flávio Brustoloni
Matemática Aplicada
Cronograma: Turma ADG 0096
Matemática Aplicada
Data Atividade
20/122º Encontro
1ª Avaliação Disciplina
13/12 1º Encontro
24/013º Encontro
2ª Avaliação Disciplina
31/014º Encontro
3ª Avaliação Disciplina (FINAL)
Unidade 3
MODELAGEM MATEMÁTICA
Objetivos da Unidade:
• Mostrar a aplicação da ferramenta em administração e economia;
• Resolver situações-problema aplicando os modelos matemáticos propostos a partir das aulas;
• Aplicar os conceitos compreendidos na disciplina na construção de um modelo matemático que será desenvolvido durante os estudos.
Teoria e Prática de Modelos Matemáticos
Tópico 1
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1 Introdução
Na educação brasileira, a Modelagem Matemática teve início com os cursos de especialização para professores, em 1983, na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Guarapuava –
FAFIG, hoje Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO.
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Tópico 1
Unid. 1
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1 Introdução
A modelagem angariou adeptos, pois a grande preocupação consistia em
encontrar formas alternativas para o ensino de Matemática que trabalhassem ou que tivessem a preocupação de partir de situações vivenciadas pelo aluno de
1º e 2º graus, atualmente Ensino Fundamental e Médio.
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Tópico 1
Unid. 1
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1 Introdução
A modelagem matemática é acima de tudo uma perspectiva, algo a ser
explorado, o imaginável e o inimaginável. É livre e espontânea, ela surge da
necessidade de o homem compreender os fenômenos que o cercam para
interferir ou não em seu processo de construção.
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Tópico 1
Unid. 1
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1 IntroduçãoUm dos corolários da modelagem
matemática é que é possível tratar um problema complexo abstraindo-o para
um mais simples, comensurável, isto é, com um número de variáveis
determinado, com regras de relação precisas e claras e consequente capacidade de representação do
problema tratado.
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Tópico 1
Unid. 1
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1 Introdução
Entre os tipos de problemas em que pode ser utilizada a modelagem, para ajudar no processo de decisão, encontram-se:
* Problemas de otimização de recursos* Problemas de localização* Problemas de roteirização
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Tópico 1
Unid. 1
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1 Introdução
* Problemas de carteiras de investimento* Problemas de alocação de pessoas* Problemas de previsão e planejamento
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Tópico 1
Unid. 1
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1 IntroduçãoA definição de modelagem aplicada às organizações nos leva a três objetivos inter-relacionados:
a) converter dados em informações significativasb) Apoiar o processo de tomada de decisão de formas transferíveis e independentesc) Criar sistemas computacionais úteis para os usuários não técnicos
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Tópico 1
Unid. 1
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Um Estudo de Caso Detalhado de Modelagem Matemática
Tópico 2
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2 Um Estudo de Caso
A empresa Giapetto fabrica 2 tipos de brinquedos de madeira: soldados e
trens. Os valores de venda, matéria-prima e mão de obra são os
seguintes:
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Tópico 2
Unid. 1
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2 Um Estudo de Caso
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Tópico 2
Unid. 1
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Valores por unidade
Soldado Trem
$ Venda 27 21
$ matéria-prima (MP) 10 9
$ Mão de Obra (MO) 14 10
Mão de Obra necessária para os brinquedos – em horas
Soldado Trem
Tempo de acabamento 2 1
Tempo de carpintaria 1 1
2 Um Estudo de Caso
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Tópico 2
Unid. 1
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Disponibilidades – Tempo disponível
Acabamento 100h
Carpintaria 80h
Disponibilidades – Demanda
Trens Ilimitada
Soldados 40/semana (Máx.)
2 Um Estudo de CasoSolução
Sabendo que a matéria-prima necessária é obtida sem
problemas, Giapetto tem como objetivo maximizar o lucro semanal
(receitas - custos).
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Tópico 2
Unid. 1
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2 Um Estudo de CasoVariáveis de Decisão
Em qualquer modelo matemático, as variáveis de decisão devem descrever
completamente as decisões a serem feitas. No caso de Giapetto: quantos soldados e
trens devem ser feitos na semana?
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Tópico 2
Unid. 1
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X1 = qtde soldados produzidos a cada semanaX2 = qtde de trens produzidos a cada semana
2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
* Os custos fixos (aluguel, seguro) não dependem dos valores de X1 e X2, assim ele pode se concentrar em maximizar a venda da semana.* Custos de M.P: 10X1 + 9X2
* Custos de M.O: 14X1 + 10x2
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Tópico 2
Unid. 1
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2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
Giapetto não deve produzir mais soldados que ele possa vender, assim assumimos que todos os
brinquedos produzidos podem ser vendidos.
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Tópico 2
Unid. 1
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2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
Receita da semana = receita dos soldados + receita dos trens
Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana
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Tópico 2
Unid. 1
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2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
Então Giapetto quer maximizar:
(27X1+21X2) – (10X1+9X2) – (14X1+10X2) = 3X1 + 2X2
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Tópico 2
Unid. 1
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Receita Matéria-prima Mão de obra Acabamento soldado
Acabamento trem
2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
Maximizar Z = 3X1 + 2X2 oumax Z = 3X1 + 2X2
Variável usualmente utilizada.
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Tópico 2
Unid. 1
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2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
Em todo modelo matemático existem restrições (por semana):
1. Não mais que 100h de acabamento;2. Não mais de 80h de carpintaria;3. Limitação de demanda: não mais de 40 soldados; 4. M.P sem restrições (ilimitada).
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Tópico 2
Unid. 1
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2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
Restrição 1: Não mais de 100h de acabamento/semana
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Tópico 2
Unid. 1
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Total horas de acabamento/semana = horas de acab./soldado * soldados/semana +
horas de acab./trem * trens/semana
Total horas de acabamento/semana = 2*X1 + 1*X2
Restrição 1 = 2X1 + X2 <=100
2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
Restrição 2: Não mais de 80h de carpintaria/semana
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Tópico 2
Unid. 1
84
Total horas de acabamento/semana = horas de carp./soldado * soldados/semana +
horas de carp./trem * trens/semana
Total horas de carpintaria/semana = 1*X1 + 1*X2
Restrição 2 = X1 + X2 <= 80
2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
Restrição 3: Venda máxima de soldados: 40
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Tópico 2
Unid. 1
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Restrição 3 = X1 <= 40
2 Um Estudo de CasoFunção Objetivo
Conjunto das Restrições
1. 2x1 + X2 <= 100 2. X1 + X2 <= 803. X1 <= 40
4. X1 e X2 >= 0
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Tópico 2
Unid. 1
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Programação Linear
Tópico 3
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1 Introdução
Diremos que um problema de programação linear está em sua forma padrão se tivermos uma
maximização da função objetivo e se todas as restrições forem do tipo
menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não
negativos.
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Definição
Segundo Lachtermacher (2004, p.25), programação linear é a programação matemática em que todas as funções
objetivo e restrições são representadas por funções lineares.
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Tópico 3
Unid. 1
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3 Exemplificando a Programação Linear
Um exemplo de programação linear pode ser verificado na página 94-95.
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Tópico 3
Unid. 1
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3 Exemplificando a Programação Linear
a) Faz-se o gráfico das retas referentes às restrições;b) Marcam-se suas intersecções;c) Delimita-se a região de possível solução;d) Trata-se a reta que representa a da função objetivo. Neste caso, isocusto genérica;e) Movimentam-se retas isocusto paralelas à genérica. O vértice antes de sair da região de possibilidade é a isocusto solução.
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Tópico 3
Unid. 1
95(*) Linha de isocusto. 1. Econ. Representação gráfica das diferentes combinações de fatores de produção que têm o mesmo custo para a empresa.
3 Exemplificando a Programação Linear
Neste caso, a isocusto solução contém o vértice formado pelas retas:
5X1 + 5X2 = 20 e 2X1 + 6X2 = 12
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Tópico 3
Unid. 1
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3 Exemplificando a Programação Linear
Resolvendo-se este sistema de equações, pelo método da adição multiplicamos o
primeiro termo por 2 e o segundo por -5:
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Tópico 3
Unid. 1
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5X1 + 5X2 = 20 (*2)2X1 + 6X2 = 12 (*-5)
10X1 + 10X2 = 40-10X1 - 30X2 = -60
/ -20X2 = -20X2 = -20/-20 = 1
3 Exemplificando a Programação Linear
Substituindo X2 na equação (1), teremos:
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Tópico 3
Unid. 1
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5X1 + 5X2 = 20 5X1 + 5.1 = 205X1 = 20 – 5X1 = 15/5 = 3
Logo teremos: X1 = 3 e X2 = 1
3 Exemplificando a Programação Linear
Decorre que, substituindo-se na função objetivo, resulta que o custo será de:
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Tópico 3
Unid. 1
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c = 0,60X1 + X2
c = 0,60.3 + 1 c = 2,80ou R$ 2,80 por dia.
Parabéns!!! Terminamos a Unidade.
PRÓXIMA AULA:
Matemática Aplicada
4º Encontro da Disciplina3ª Avaliação da Disciplina
(Avaliação FINAL)