Universidade Federal do Para

Calculo II - Projeto Newton - 4o perıodo de 2014

3a Lista de apoio

1. Determine equacoes parametricas para reta.

(a) Reta que passa pelo ponto (2, 1) e e paralela a reta x+ y = 4.

(b) Reta que passa pelo ponto (1, 3, 4) e e perpendicular ao plano x+ y + z = 2.

(c) Reta que passa pela origem e pelo ponto (2, 5, 3).

2. Determine uma equacao geral do plano.

(a) Plano que passa pelo ponto (1, 4, 3) e e perpendicular a reta (x, y, z) = (1+2t, 3t, 2+t).

(b) Plano que passa pelos pontos (2, 0, 0), (1, 1, 5) e (1, 4, 2).

3. Desenha a trajetoria da funcao α.

(a) α : R → R2, definida por α(t) = (t, t2).

(b) α : R → R3, definida por α(t) = (t, t2, 0).

(c) α : R → R3, definida por α(t) = (t, t2, 3).

(d) α : R → R3, definida por α(t) = (t, t2, t).

4.

(a) Verifique que a trajetoria da funcao α(t) =(

cos t, sen t, 1

t2+1

)

, t ≥ 0, esta contida nocilindro x2 + y2 = 1 e faca um desenho dessa trajetoria.

(b) Verifique que a trajetoria da funcao β(t) = (cos t sen t, cos2 t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2π, estacontida na esfera x2 + y2 + z2 = 1.

5. Calcule o limite limt→t0

α(t), caso exista.

(a) α(t) =

(

t3 + 1

t + 1, t+ 2

)

, t0 = −1.

(b) α(t) =

(

1

t, t

)

, t0 = 0.

(c) α(t) =

(

t+ 1,t− 1

t2 − 1,t2 − 3t+ 2

t− 1

)

, t0 = 1.

1

Respostas

1.

(a)

{

x = 2− t

y = 1 + t

(b)

x = 1 + t

y = 3 + t

z = 4 + t

(c)

x = 2ty = 5tz = 3t

2.

(a) 2x+ 3y + z = 17

(b) 6x+ y + z = 12

5.

(a) (3, 1)

(b) Nao existe o limite.

(c)(

2, 12,−1

)

.

2