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  • Lista de Exer í ios de Cál ulo I doProf. Jair SalvadorPrimeira Edição V1.3Fevereiro de 2011

    Mar o A. P. CabralProfessor do Instituto de Matemáti aUniversidade Federal do Rio de JaneiroRio de Janeiro - Brasil

    Cópias são autorizadas e bem vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o sítiowww.labma.ufrj.br/~m abral/livros ou entre em ontato om o autor emmap abral(at)ufrj(dot)br.

  • PrefácioPara o EstudanteEsta lista de exer í ios foi ompilada pelo Professor Jair Salvador do IM�UFRJ. O Prof. Jair temlarga experiên ia no ensino de Cál ulo e olo ou nesta lista uma seleção ex elente de exer í ios deCál ulo que foram riados por ele e por dezenas de olegas do IM�UFRJ. Esta lista tem prestado umgrande serviço aos alunos de Cal ulo I da UFRJ, prin ipalmente desde o iní io das provas uni� adasde Cál ulo em 2008. Como ela era em parte manus rita, disponível em foto ópias de foto ópia, a heique valia a pena digitalizar (em LaTex) a lista.Organizei os exer í ios da mesma forma que no meu livro Curso de Cál ulo I, que pode serusado omo fonte de estudo. Nele o aluno en ontrará exemplos e muitos outros exer í ios resolvidos.O livro Curso de Cál ulo I e esta lista estão ambos disponíveis, em formato pdf, para serem baixadoslivremente, em www.labma.ufrj.br/~m abral/livros.Mande sugestões, erros e soli ite o fonte (latex) para o autor Mar o Cabral em map abral (at)ufrj (dot) br.Softwares Gratuitos e o Cál uloÉ interessante utilizar softwares para aprender Cál ulo. Vamos apresentar alguns softwares gratuitosque podem ser utilizadas no Windows e no Linux (Ubuntu, Debian, Fedora, et .). • KmPlot: Software de visualização de grá� os de funções. É nativo do Linux. Similar aoWinplot. • Winplot: Software de visualização de grá� os de funções. É nativo do Windows mas roda omemulação do Wine no Linux. Pode-se visualizar grá� os 2D e 3D dados por função, parametrizaçãoexpli ita e implí ita. Pode-se fazer animações. • WxMaxima: Software de omputação algébri a. Cal ula, de forma exata, limites, derivadas eintegrais (entre outras entenas de oisas). Um exemplo é o limite fundamental: limit(sin(x)/x,x, 0);. Cal ula também derivadas diff(sin(2*x), x);, integral integrate(exp(1/x), x);,de omposição em frações par iais partfra (1/(x**4-1), x);.Li ençaEste trabalho está li en iado sob uma Li ença Creative Commons Atribuição (BY) �Uso Não-Comer ial (NC) � Compartilhamento pela mesma Li ença (SA) 3.0 Unported. Para veruma ópia desta li ença, visite reative ommons.org/li enses/by-n -sa/3.0/br/ou envie uma arta para Creative Commons, 171 Se ond Street, Suite 300, San Fran is o, California94105, USA.Esta li ença permite que outros possam opiar ou redistribuir esta obra sem �ns omer iais,adaptar e riar obras derivadas sobre esta obra sem �ns omer iais, ontanto que atribuam réditoao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma li ença, ou sob uma li ença similar à presente.i

  • Sumário

    Prefá io i0 Pré-Cál ulo 10.1 Pré-Cál ulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Limite 21.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Continuidade 32.1 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Derivada 53.1 Derivada Bási os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Derivada da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Apli ações da Derivada 74.1 Máximo e Mínimo Lo al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 L'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Grá� os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.4 Taxas Rela ionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.5 Derivação Implí ita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Integral 145.1 Té ni as Bási as de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Teoremas Fundamentais do Cál ulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 Integração por Frações Par iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Apli ações da Integral 166.1 Área no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 Volume de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.3 Comprimento de Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17A Respostas dos Exer í ios 18A.0 Pré-Cál ulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A.0.1 Pré-Cál ulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A.1.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19A.2.1 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19A.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19A.3.1 Derivada Bási os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19ii

  • SUMÁRIO iiiA.3.2 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19A.3.3 Derivada da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19A.4 Apli ações da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20A.4.1 Máximo e Mínimo Lo al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20A.4.2 L'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20A.4.3 Grá� os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20A.4.4 Taxas Rela ionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22A.4.5 Derivação Implí ita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A.5.1 Té ni as Bási as de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A.5.2 Teoremas Fundamentais do Cál ulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A.5.3 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A.5.4 Integração por Frações Par iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.6 Apli ações da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.6.1 Área no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.6.2 Volume de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.6.3 Comprimento de Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  • Capı́tulo 0

    Pré-Cálculo0.1 Pré-Cál ulo1. En ontre uma equação para a reta que passa por:(a) (2,−3) e tem oe� iente angular −4; (b) (−4, 2) e (3,−1);( ) (2,−4) e é paralela ao eixo x; (d) (1, 6) e é paralela ao eixo y;(e) (4,−2) e é paralela à reta x+ 3y = 7; (f) (5, 3) e é perpendi ular à reta y + 7 = 2x;(g) (−4, 3) e é paralela à reta que passa por (−2,−2) e (1, 0).2. En ontre o ponto de interseção de ada um dos seguintes pares de retas:(a) 2x+ 2y = 2 e y = x+ 1; (b) 2x− 3y = 7 e 6y = −14 + 4x.3. Dada a função f(x) = 2x2 − 3, determine:(a) f(5); (b) f(0); ( ) f(a); (d) f(−1/2); (e) f(√3);(f) x ∈ R tal que f(x) = −1; (g) um esboço do grá� o de g(x) = |f(x)|.4. Determine o domínio de ada uma das funções abaixo:(a) y = 1 x3 − 2 ; (b) y = 3√x− 1 ; ( ) y = √x− 3x− 1 ;(d) y =√1− x2

    4 + x ; (e) y = √x+√x− 2; (f) y = √3x− x2.5. Estude o sinal (determine onde é positiva e onde é negativa) das funções y = f(x):(a) y = 3x2 − 6; (b) y = x2 + 2x+ 3; ( ) y = x2 + 2x+ 1;(d) y = x2 − 4

    (x− 1)3 ; (e) y = 2xx2 + 4 ; (f) y = 4(x− 3)3√(x− 2)5 .6. Sejam f(x) = 2x2 + 3x, g(x) = √3x2 + 4, h(x) = 1 x e m(x) = senx. Determine:(a) f(x) + g(x); (b) f(x) · g(x); ( ) f(5)− g(2); (d) f(g(x));(e) h(g(0)); (f) f(m(x)); (g) f(1)g(0) −m(π/2).7. Um ilindro fe hado tem área de superfí ie �xa A. Exprima seu volume omo função do raio rda base do ilindro.8. O perímetro de um triângulo retângulo é 6 e a hipotenusa é x. Exprima a área do triângulo omofunção de x. 1

  • Capı́tulo 1

    Limite1.1 Limites1. Cal ule:(a) lim x→+∞

    ( √

    x2 + 1− x); (b) lim x→+∞

    ( 3 √

    x3 + 1− x); ( ) lim x→+∞

    √ x2 + 1−√x√

    x .2. Determine os valores de a e b de modo que

    lim x→+∞

    (

    2x2 + bx+ 3

    x+ 1 − ax

    )

    = 0.

    2

  • Capı́tulo 2

    Continuidade2.1 Continuidade1. Determine o valor da onstante c para que a função f , dada abaixo, seja ontínua em [0, +∞). f(x) =

    x+ √ x− 2

    x− 1 , 0 ≤ x < 1, cx+ 5

    x2 + 3 , x ≥ 1.2. Determine os valores de a e b para que a função f , dada abaixo, seja ontínua em [−3, 3].

    f(x) =

    a, x = −3, 9− x2

    4− √ x2 + 7